勾股定理综合难题含答案解析[超好打印版](最新整理)
- 格式:pdf
- 大小:489.44 KB
- 文档页数:26
勾股定理中考难题(有答案详解)勾股定理中考难题2、如图,在平⾯直⾓坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为(3,),点C的坐标为(,0),点P 为斜边OB 上的⼀个动点,则PA+PC 的最⼩值为()3、如图,已知直线a ∥b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为3,AB=.试在直线a 上找⼀点M,在直线b 上找⼀点N ,满⾜MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短,则此时4、已知:如图在△ABC ,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC ,AD=AE ,点C ,D ,E 三点在同⼀条直线上,连接BD ,BE .以下四个结论:①BD=CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE2=2(AD 2+AB 2),1题 2题 3题 4题 6题 6、如图,有两颗树,⼀颗⾼10⽶,另⼀颗⾼4⽶,两树相距8⽶.⼀只鸟从⼀颗树的树梢飞到另⼀颗树的树梢,问⼩鸟⾄少飞⾏() A .8⽶ B .10⽶ C .12⽶ D .14⽶7、如图,若∠A =60°,AC =20m ,则BC ⼤约是(结果精确到0.1m)( ) A .34.64m B .34.6m C .28.3m D .17.3m8、如图,△ABC 中,D 为AB 中点,E 在AC 上,且BE ⊥AC .若DE=10,AE=16,则BE 的长度为何?()A .10B .11C .12D .139、如图,圆柱形容器中,⾼为1.2m ,底⾯周长为1m ,在容器内壁..离容器底部0.3m 的点ACB第7题图B处有⼀蚊⼦,此时⼀只壁虎正好在容器外壁..的点A处,则壁虎捕捉蚊⼦的..,离容器上沿0.3m与蚊⼦相对最短距离为 m(容器厚度忽略不计).10、(2013?滨州)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为.11、(2013⼭西,1,2分)如图,在矩形纸⽚ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对⾓线BD上的点A′处,则AE的长为______.12、(2013?黄冈)已知△ABC为等边三⾓形,BD为中线,延长BC⾄E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .13、(2013?张家界)如图,OP=1,过P作PP1⊥OP,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;⼜过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法继续作下去,得OP2012= .14、(2013?包头)如图,点E是正⽅形ABCD内的⼀点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.15、(2013?巴中)若直⾓三⾓形的两直⾓边长为a、b,且满⾜,则该直⾓三⾓形的斜边长为.16、(2013?雅安)在平⾯直⾓坐标系中,已知点A(﹣,0),B(,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满⾜条件的所有点C的坐标.17、(2013哈尔滨)在△ABC中,AB=,BC=1,∠ ABC=450,以AB为⼀边作等腰直⾓三⾓形ABD,使∠ABD=900,连接CD,则线段CD的长为.18、(2013哈尔滨)如图。
勾股定理及逆定理习题及答案1、由于0.3,0.4,0.5不是勾股数,所以0.3,0.4,0.5为边长的三角形不是直角三角形()2、由于0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数()3.下列几组数据能作为直角三角形的三边的有( )(1)9,12,15; (2)15,36,39;(3)12,35,36 ; (4)12,18,22.4.一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,25cm,则这个三角形的面积是()cm2 .(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=9,AD=12,AC=20,则△ABC是().(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形6.如图,在一块平地上,张大爷家屋前9 m远处有一棵大树.在一次强风中,这棵大树从离地面6 m处折断倒下,量得倒下部分的长是10 m.出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到.大树倒下时会砸到张大爷的房子吗?请你通过计算、分析后给出正确的回答( )A.一定不会B.可能会C.一定会D.以上答案都不对7.为了迎接新年的到来,同学们做了许多拉花布置教室,准备召开新年晚会,小王搬来一架长为 2.5 m的木梯,准备把梯子架到 2.4 m高的墙上,则梯脚与墙角的距离为( )A.0.7 m B.0.8 m C.0.9 m D.1.0 m 8.某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时,海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行,海监船乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行,则它们离开港口2小时后相距( )海里.9. 在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c +a =2b ,c -a = 12 b ,则△ABC 是什么特殊三角形?1x 2.x 3.(1)(2)(4) B (5)D 6.A 7.A(8)50海里9. 解:因为c +a =2b ,c -a =12b ,所以(c +a)(c -a)=2b·12b.所以c 2-a 2=b 2,即a 2+b 2=c 2.所以△ABC 是∠C =90°的直角三角形.。
CBA D EF1 如图,圆柱的高为10 cm ,底面半径为2 cm.,在下底面的A 点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A点相对的B 点处,需要爬行的最短路程是多少?2 如图,长方体的高为3 cm ,底面是边长为2 cm 的正方形. 现有一小虫从顶点A 出发,沿长方体侧面到达顶点C 处,小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=5AB3、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B’点沿纸箱爬到D 点,那么它所行的最短路线的长是_____________。
4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,该纸片宽AB 为8cm ,•长BC•为10cm .当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处〔折痕为AE 〕.想一想,此时EC 有多长?•5.如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠,使C 点与A 点重合,那么EB 的长是〔 〕. A .3 B .4 C D .5BCAFEDCBAB ’C ’B ′A ′C ′DC D 6.:如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB 的垂直平分线交BC 于D ,垂足为E ,BD=4cm .求AC 的长.7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使其落在斜边AB 上,且与AE 重合,那么CD 的长为8、如图,在矩形ABCD 中,,6=AB 将矩形ABCD 折叠,使点B 与点D 重合,C 落在C '处,假设21::=BE AE ,那么折痕EF 的长为 。
9、如图,:点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点,现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折,使DC 落在对角线DB 上,那么EB ∶CE =_________.10、如图,AD 是△ABC 的中线,∠ADC =45o ,把△ADC 沿AD 对折,点C 落在C´的位置,假设BC =2,那么BC´=_________.E题5图FBC ′ BA CD A C11.如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC =6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,那么CD 等于〔 〕A.2cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗?13、如图,在△ABC 中,∠B=90,AB=BC=6,把△ABC 进行折叠,使点A 与点D 重合,BD:DC=1:2,折痕为EF ,点E 在AB 上,点F 在AC 上,求EC 的长。
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是( B. AB 、EF 、 D. AB 、G1) sa 倾 2) 解題患跖 解答过程=屮在gJ^EAF 中.Arm, AE=3,根据勾股定理,得EF = Q 苗十上尸'* =品+F =同理 AE = 2忑、CrjV= ^/13| ID = 2爲©计算发现(心r (2罷¥ =(届厂即血U E 严=閒士,根据 勾股定理的逆左理得到l^ADs ET, GH 为辺的三角形是直®三垢形•故选 B.屮解題后ffi 思专.*L 勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形°因此5解题时一定更认真分析题目所给条皆,看是否可用匈股定理来解口 : 2. 在运用勾股定理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为 “匚"就是斜迫而“固执”地运用公式二/十迁 其冥,同样是厶, 丄C 不—定就等于g (K 疋不一定就是斜过,AA3C 不一定就是直®三® 孰*)GHCD EFA. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GH +J本题考查幻股定理及勾股宦理的逆定理.4 可利用勾般定理直接求出各边长,再e 行判斷.43. 直角三角形的判定条件与勾股定理是S 逆的・区别在于勾股定理的运 用是一个从'「形''(一个三角形是直角三角形)到 嘟(十沪) 的过程,而直甬三«形的利定是一个从 懺段【一个三角影的三辺S 足 匚2 =亍+色询条件)到“形-1这个三甬形是直角三角形)的过程.44. 在应用勾股定理解题时,聲全®地琴虑间题.注意间题中存在的多种 可能性,避免漏辭.“W 1;如图,有一块直角三甬形紙椅屈C,两貢角迫月^孔皿3*沁. 现将直角边AC 沿直绘AD 折盞 便它落在斜边上.且点C 落到点E 处, fflCT 等于()4扎2 cm 1) SA 倾 本题着查勾股定理的应用仪:)龜思路,車题若直接在中运用勾股定理是无法求得仞a 匕的,因为貝知道一条边卫U 的长,由题意可知,△月CT 和△/£刀关于直 线KQ 对称,因而ZvlCD 竺△血Q ・进一歩则有 血TCMmh CL=ED, ED 丄AS,设则在Rt A ASC*中,由勾股定理可得TV A?月筋贋=1 皿,Aa=iacm,在 皿刃述中,Cio-fi ) 2= C S —X )$0 解得 益 4B.-IB 龜后的思肴:茫勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。
专题04勾股定理常考压轴题汇总一.选择题(共23小题)1.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c.若b﹣a=2,c=10,则a+b的值为()A.12B.14C.16D.18【答案】B【解答】解:由图可得,a2+b2=c2,∴且a、b均大于0,解得,∴a+b=6+8=14,故选:B.2.如图,长方体的长为3,宽为2,高为4,一只蚂蚁从点A出发,沿长方体表面到点B处吃食物,那么它爬行最短路程是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面,则这个长方形的长和宽分别是6和3,则所走的最短线段是=3;第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是5和4,所以走的最短线段是=;第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,则这个长方形的长和宽分别是7和2,所以走的最短线段是=;三种情况比较而言,第二种情况最短.所以它需要爬行的最短路线的长是,故选:B.3.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为()A.S1+S2+S3=S4B.S1+S2=S3+S4C.S1+S3=S2+S4D.不能确定【答案】C【解答】解:如图,设Rt△ABC的三条边AB=c,AC=b,BC=a,∵△ACG,△BCH,△ABF是等边三角形,∴S1=S△ACG﹣S5=b2﹣S5,S3=S△BCH﹣S6=a2﹣S6,∴S1+S3=(a2+b2)﹣S5﹣S6,∵S2+S4=S△ABF﹣S5﹣S6=c2﹣S5﹣S6,∵c2=a2+b2,∴S1+S3=S2+S4,故选:C.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,以△ABC的各边为边作三个正方形,点G落在HI 上,若AC+BC=6,空白部分面积为10.5,则AB的长为()A.3B.C.2D.【答案】B【解答】解:∵四边形ABGF是正方形,∴∠FAB=∠AFG=∠ACB=90°,∴∠FAC+∠BAC=∠FAC+∠ABC=90°,∴∠FAC=∠ABC,在△FAM与△ABN中,,∴△FAM≌△ABN(ASA),=S△ABN,∴S△F AM=S四边形FNCM,∴S△ABC∵在△ABC中,∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,∵AC+BC=6,∴(AC+BC)2=AC2+BC2+2AC•BC=36,∴AB2+2AC•BC=36,=10.5,∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC=10.5,∴3AB2=57,解得AB=或﹣(负值舍去).故选:B.5.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为()A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2【答案】C【解答】解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,∴BE=ED.∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE.∴BE=9﹣AE,根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2.解得AE=4.∴△ABE的面积为3×4÷2=6.故选:C.6.如图,阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形,面积分别记作S1和S2.若S1+S2=7,AC=3,则BC长是()A.3.5B.C.4D.5【答案】B【解答】解:以AC为直径的半圆的面积=×π×=π,同理:以BC为直径的半圆的面积=π,以AB为直径的半圆的面积=π,∴S1+S2=π+π+△ABC的面积﹣π,∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,∴S1+S2=△ABC的面积=AC•BC=7,∵AC=3,∴BC=.故选:B.7.如图,在长方体ABCD﹣EFGH盒子中,已知AB=4cm,BC=3cm,CG=5cm,长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入,木棒的一端I与底面ABCD接触,当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时,GJ长度的最小值为()A.(10﹣5)cm B.3cm C.(10﹣4)cm D.5cm【答案】A【解答】解:当GI最大时,GJ最小,当I运动到点A时,GI最大,此时GI=cm,而AC2=AB2+BC2=42+32=25,∴GI===5(cm),∴GJ长度的最小值为(10﹣5)cm.故选:A.8.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入长方形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,点D,E,F,G,H,I都在长方形KLMJ的边上,则长方形KLMJ的面积为()A.420B.440C.430D.410【答案】B【解答】解:如图,延长AB交KL于P,延长AC交LM于Q,由题意得,∠BAC=∠BPF=∠FBC=90°,BC=BF,∴∠ABC+∠ACB=90°=∠PBF+∠ABC,∴∠ACB=∠PBF,∴△ABC≌△PFB(AAS),同理可证△ABC≌△QCG(AAS),∴PB=AC=8,CQ=AB=6,∵图2是由图1放入长方形内得到,∴IP=8+6+8=22,DQ=6+8+6=20,∴长方形KLMJ的面积=22×20=440.故选:B.9.国庆假期间,妍妍与同学去玩寻宝游戏,按照藏宝图,她从门口A处出发先往东走9km,又往北走3km,遇到障碍后又往西走7km,再向北走2km,再往东走了4km,发现走错了之后又往北走1km,最后再往西走了1km,就找到了宝藏,则门口A到藏宝点B的直线距离是()A.3km B.10km C.6km D.km【答案】D【解答】解:过点B作BC⊥AC,垂足为C.观察图形可知AC=9﹣7+4﹣1=5(km),BC=3+2+1=6(km),在Rt△ACB中,AB=(km).答:门口A到藏宝点B的直线距离是km,故选:D.10.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AB=9,BC=6,则BD的长为()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解答】解:∵∠ACB=90°,AB=9,BC=6,∴,∵,∴AC•BC=AB•CD,,,∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴,故选:B.11.如图,某小区有一块长方形花圃,为了方便居民不用再走拐角,打算用瓷砖铺上一条新路,居民走新路比走拐角近()A.2m B.3m C.3.5m D.4m【答案】D【解答】解:根据勾股定理求得,AB==10(m),∴AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4(m),故选:D.12.如图,是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=12,BC=7,将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是()A.148B.100C.196D.144【答案】A【解答】解:设将CA延长到点D,连接BD,根据题意,得CD=12×2=24,BC=7,∵∠BCD=90°,∴BC2+CD2=BD2,即72+242=BD2,∴BD=25,∴AD+BD=12+25=37,∴这个风车的外围周长是37×4=148.故选:A.13.如图,四边形ABCD中,AD⊥CD于点D,BC=2,AD=8,CD=6,点E是AB的中点,连接DE,则DE的最大值是()A.5B.C.6D.【答案】C【解答】解:如图,连接AC,取AC的中点为M,连接DM、EM,∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∵AD=8,CD=6,∴AC=,∵M是AC的中点,∴DM=AC=5,∵M是AC的中点,E是AB的中点,∴EM是△ABC的中位线,∵BC=2,∴EM=BC=1,∵DE≤DM+EM(当且仅当点M在线段DE上时,等号成立),∴DE≤6,∴DE的最大值为6.故选:C.14.如图,长为8cm的橡皮筋放置在数轴上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点,则橡皮筋被拉长了()A.2cm B.3cm C.4cm D.1cm【答案】A【解答】解:∵点C为线段AB的中点,∴AC=AB=4cm,在Rt△ACD中,CD=3cm;根据勾股定理,得:AD==5(cm);∵CD⊥AB,∴∠DCA=∠DCB=90°,在△ADC和△BDC中,,∴△ADC≌△BDC(SAS),∴AD=BD=5cm,∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2(cm);∴橡皮筋被拉长了2cm.故选:A.15.如图的数轴上,点A,C对应的实数分别为1,3,线段AB⊥AC于点A,且AB长为1个单位长度,若以点C为圆心,BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P,则点P表示的实数为()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:由题意可得∠BAC=90°,AB=1,AC=3﹣1=2,则CB==,那么点P表示的实数为3﹣,故选:A.16.“四千年来,数学的道理还是相通的”.运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理.若图中空白部分的面积是11,整个图形(连同空白部分)的面积是25,则大正方形的边长是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:如下图,设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边为c,∵图中空白部分的面积是11,整个图形(连同空白部分)的面积是25,∴可有,解得c2=18,解得或(不合题意,舍去),∴大正方形的边长是.故选:D.17.如图所示的一段楼梯,高BC是3米,斜边AB长是5米,现打算在楼梯上铺地毯,至少需要地毯的长度为()A.5米B.6米C.7米D.8米【答案】C【解答】解:∵△ABC是直角三角形,BC=3m,AB=5m∴AC==4(m),∴如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯为AC+BC=7米,故选:C.18.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,是数形结合的重要细带.数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理.以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ,正方形ABFE,正方形BCIH,连接AH.CF,具中正方形BCIH面积为1,正方形ABFE面积为5,则以CF为边长的正方形面积为()A.4B.5C.6D.10【答案】D【解答】解:过点C作CM⊥EF于点M,交AB于点N,∵正方形ABFE面积为5,正方形BCIH面积为1,∴CN⊥AB,BC=1,AB=MN=,BN=FN,∵△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,∴AC===2,∴,即=CN,∴CN=,∴BN=FM===,∴CM=CN+MN==,∴CF=10,∴以CF为边长的正方形面积为10.故选:D.19.如图,Rt△ABC中,∠C=90°.分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN.四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3,若S=10,则S1+S2+S3等于()A.10B.15C.20D.30【答案】C【解答】解:如图,过E作BC的垂线交ED于D,连接EM.在△ACB和△BDE中,∠ACB=∠BDE=90°,∠CAB=∠EBD,AB=BD,∴△ACB≌△BND(AAS),同理,Rt△GDE≌Rt△HCB,∴GE=HB,∠EGD=∠BHC,∴FG=EH,∴DE=BC=CM,∵DE∥CM,∴四边形DCME是平行四边形,∵∠DCM=90°,∴四边形DCME是矩形,∴∠EMC=90°,∴E、M、N三点共线,∵∠P=∠EMH=90°,∠PGF=∠DGE=∠BHC=∠EHM,∴△PGF≌△MHE(AAS),∵图中S1=S Rt△EMH,S△BHC=S△EGD,∴S1+S3=S Rt△ABC.S2=S△ABC,∴S1+S2+S3=Rt△ABC的面积×2=20.故选:C.20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆,它们的面积分别记作S1、S2、S3,若S1=25,S3=16,则S2为()A.9B.11C.32D.41【答案】A【解答】解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴AB2=AC2+BC2.∵S1=(AB)2π=AB2=25,∴AB2=25×.同理BC2=16×.∴AC2=AB2﹣BC2=25×﹣16×=9×.∴S1=(AC)2π=AC2=×9×=9.故选:A.21.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC,记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知S△ABC=S,则下列结论:①S4=S;②S2=S;③S1+S3=S2;④S1+S2+S3+S4=2.5S.其中正确的结论是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④【答案】A【解答】解:由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC,∴S4=S;故①正确;过F作AM的垂线交AM于N,由题意,得Rt△ANF≌Rt△ABC,Rt△NFK≌Rt△CAT,所以S2=S,故②正确;连接FP,FQ,由题意,可得△AQF≌△ACB,则F,P,Q三点共线,由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK,∴S3=S△FPT,可得Rt△AQF≌Rt△ACB,∴S1+S3=S Rt△AQF=S,故③正确;S1+S2+S3+S4=(S1+S3)+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC=S Rt△ABC×3=S Rt△ABC=3S,故④不正确.故选:A.22.如图,有一个水池,水面是一边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,这根芦苇的长度为()尺.A.10B.12C.13D.14【答案】C【解答】解:设水深为x尺,则芦苇长为(x+1)尺,根据勾股定理得:x2+()2=(x+1)2,解得:x=12,芦苇的长度=x+1=12+1=13(尺),答:芦苇长13尺.故选:C.23.将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状,形成正方形ABCD和正方形EFGH.现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长,且A′E=ME.B′F =NF,C′G=PG,D′H=HQ,得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片,即△A′EF,△B′FG,△C′CH.△D′HE.若FM平分∠BFE,正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1:5.若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m,则正方形EFCH的面积是()A.B.C.3m D.【答案】B【解答】解:∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状,形成正方形ABCD和正方形EFCH.正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1:5.∴设正方形ABCD的边长为a,则正方形EFGH的边长为5a,设AE=BF=CG=DH=x,在△BEF中,BE2+BF2=EF2,即(x+a)2+x2=(5a)2,x2+ax﹣12a2=0,(x+4a)(x﹣3a)=0,x=﹣4a(舍去)或x=3a,∴BE=4a,BF=3a,EF=5a,∵FM平分∠BFE,∴△EMF边EF上的高为BM,+S△MBF=S△BEF,则S△BMF即,∴,∴BM=,∵A'E=ME=BE﹣BM=4a﹣a,若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m,=S△EF A'=m,∴S△EMF∴,∴a m,∴a=∴EF=5a=,=EF=,∴S正方形EFCH故选:B.二.填空题(共14小题)24.如图①,四个全等的直角三角形与一个小正方形,恰好拼成一个大正方形,这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm,短直角边为3cm,连结图②中四条线段得到如图③的新图案,则图③中阴影部分的周长为32cm.【答案】32.【解答】解:由题意得:BD=7cm,AB=CD=3cm,∴BC=7﹣3=4(cm),由勾股定理得:AC==5(cm),∴阴影的周长=4(AB+AC)=4×(3+5)=32(cm).故答案为:32.25.如图,在△ABC中,已知:∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发,沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动的时间为t秒,连接PA,当△ABP为等腰三角形时,t的值为16或10或.【答案】16或10或.【解答】解:在△ABC中,∠ACB=90°,由勾股定理得:BC=cm,∵△ABP为等腰三角形,当AB=AP时,则BP=2BC=16cm,即t=16;当BA=BP=10cm时,则t=10;当PA=PB时,如图:设BP=PA=x cm,则PC=(8﹣x)cm,在Rt△ACP中,由勾股定理得:PC2+AC2=AP2,∴(8﹣x)2+62=x2,解得x=,∴t=.综上所述:t的值为16或10或.故答案为:16或10或.26.如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”,若AM=4,MN=5,则斜边BN的长为.【答案】.【解答】解:当BN为最大线段时,∵点M,N是线段AB的勾股分割点,∴BN===,故答案为:.27.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形,现有如图所示“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O,若AB=6,CD=10,则AD2+BC2=136.【答案】136.【解答】解:∵BD⊥AC,∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°,∴BO2+CO2=CB2,OB2+OA2=AB2=36,OA2+OD2=AD2,OC2+OD2=CD2=100,∴BO2+CO2+OA2+OB2=36+100,∴AD2+CB2=BO2+CO2+OA2+OB2=136;故答案为:136.28.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(30,0)(0,12),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为15的等腰三角形时,点P 的坐标为(9,12)或(3,12)或(24,12).【答案】(9,12)或(6,12)或(24,12).【解答】解:由题意,当△ODP是腰长为15的等腰三角形时,有三种情况:(1)如答图①所示,PD=OD=15,点P在点D的左侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=12.在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE===9,∴OE=OD﹣DE=15﹣9=6,∴此时点P坐标为(6,12);(2)如答图②所示,OP=OD=15.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△POE中,由勾股定理得:OE===9,∴此时点P坐标为(9,12);(3)如答图③所示,PD=OD=5,点P在点D的右侧.过点P作PE⊥x轴于点E,则PE=4.在Rt△PDE中,由勾股定理得:DE===9,∴OE=OD+DE=15+9=24,∴此时点P坐标为(24,12).综上所述,点P的坐标为:(9,12)或(6,12)或(24,12);故答案为:(9,12)或(6,12)或(24,12).29.《勾股》中记载了这样一个问题:“今有开门去阃(kǔn)一尺不合2寸,问门广几何?”意思是:如图推开两扇门(AD和BC),门边沿D,C两点到门槛AB的距离是1尺(1尺=10寸),两扇门的间隙CD为2寸,则门槛AB长为101寸.【答案】101.【解答】解:设OA=OB=AD=BC=r寸,如图,过D作DE⊥AB于点E,则DE=10寸,OE=CD=1(寸),AE=(r﹣1)寸,在Rt△ADE中,由勾股定理得:AE2+DE2=AD2,即(r﹣1)2+102=r2,解得:r=50.5,∴2r=101,即门槛AB长为101寸,故答案为:101.30.如图,在某次军事演习中,舰艇1号在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处,并且OA=OB.接到行动指令后,舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到两舰艇分别到达点E,F处,若∠EOF=75°,EF=210海里,则m的值为80.【答案】80.【解答】解:延长AE、BF相交于点C,∵∠AOB=30°+90°+30°=150°,∠EOF=75°,∴∠EOF=∠AOB,又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(60°+60°)=180°,延长FB至D,使BD=AE,连接OD,∵∠OBD=∠OBC,∴.∠OBD=∠A,∴△OBD≌△OAE(SAS),∴OD=OE,∠BOD=∠AOE,∵∠EOF=∠AOB=∠EOD,∴.∠EOF=∠DOF,又∵OF=OF,∴△EOF≌△DOF(SAS),∴EF=AE+BF,即EF=1.5×(60+m)=210.解得m=80.故答案为:80.31.如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,恰好拼成一个大正方形ABCD.连结EG并延长交BC于点M.若AB=5,EF=1,则GM的长为.【解答】解:由图可知∠AED=90°,AB=5,EF=1,∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成,故AE=BF=GC=DH,设DE=x,则在Rt△AED中,AD=AB=5,AE=1+x,根据勾股定理,得AD2=DE2+AE2,即52=x2+(1+x)2,解得:x1=3,x2=﹣4(舍去).过点M作MN⊥FB于点N,如图所示.∵四边形EFGH为正方形,EG为对角线,∴△EFG为等腰直角三角形,∴∠EGF=∠NGM=45°,故△GNM为等腰直角三角形.设GN=NM=a,则NB=GB﹣GN=3﹣a,∵MN∥AF,∴△BMN∽△BAF,∴=,将MN=a,AF=3,BN=3﹣a,BF=4代入,得=,解得a=,∴MN=GN=,在Rt△MGN中,由勾股定理,得GM===.32.如图,铁路上A、D两点相距25千米,B,C为两村庄,AB⊥AD于A,CD⊥AD于D,已知AB=15km,CD=10km,现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P,使得B、C 两村到P站的距离相等,则P站应建在距点A10千米.【答案】10.【解答】解:设AP=x千米,则DP=(25﹣x)千米,∵B、C两村到P站的距离相等,∴BP=PC.在Rt△APB中,由勾股定理得BP2=AB2+AP2,在Rt△DPC中,由勾股定理得PC2=CD2+PD2,∴AB2+AP2=CD2+PD2,又∵AB=15km,CD=10km,∴152+x2=102+(25﹣x)2,∴x=10.故答案为:10.33.如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度不计).【答案】见试题解答内容【解答】解:如图:将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接A′B,则A′B即为最短距离,A′B===20(cm).故答案为20.34.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,AD⊥BC.若P、Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是.【答案】.【解答】解:如图,连接BP,在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,AD=8,∴BD=DC,∴BP=PC,∴PC+PQ=BP+PQ=BQ,∴当B,P,Q共线时,PC+PQ的值最小,∴当BQ⊥AC时,BQ的值最小,令AQ'=a,则CQ'=10﹣a,∵BQ'⊥AC,∴AB2﹣AQ'2=BC2﹣CQ'2,即102﹣a2=122﹣(10﹣a)2,解得a=,∴BQ'==,∴PC+PQ的最小值为,故答案为:.35.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=,AC=6,BC>4,点E,F分别在BC,AC边上,且AF=CE,则AE+BF的最小值为2.【答案】2.【解答】解:过A点作AG∥BC,截取AG=AC,连接FG,BG,过B作BR⊥AG,交AG的反向延长线于R,则∠RBC=∠BRA=90°,∴∠GAF=∠ACE,在△AFG和△CEA中,,∴△AFG≌△CEA(SAS),∴GF=AE,∴AE+BF的最小值,即为BG的长,∵∠ABC=45°,∴∠RAB=∠EBA=45°,∵AB=4,∴BR=AR=4,∵AC=6,∴AG=AC=6,∴RG=AR+AG=4+6=10,∴BG===2,即AE+BF的最小值为2.故答案为:2.36.如图,在△ABC中,AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,M是BC边上的动点,MD⊥AB,ME⊥AC,垂足分别是D、E,线段DE的最小值是cm.【答案】.【解答】解:∵在△ABC中,AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,∴BC2=AB2+AC2,∴∠A=90°,∵MD⊥AB,ME⊥AC,∴∠A=∠ADM=∠AEM=90°,∴四边形ADME是矩形,∴DE=AM,当AM⊥BC时,AM的长最短,根据三角形的面积公式得:AB•AC=BC•AM,∴9×12=15AM,AM=,即DE的最小值是cm.故答案为:.37.如图,Rt△ABC中,.点P为△ABC内一点,PA2+PC2=AC2.当PB的长度最小时,△ACP的面积是.【答案】.【解答】解:如图所示,取AC中点O,连接PO,BO,∵PA2+PC2=AC2,∴∠APC=90°,∴,∵BP+OP≥OB,∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值,即此时BP有最小值,∵∠ACB=90°,∴,∴BP=BO﹣OP=2,∴BP=PO,又∠ACB=90°,∴PC=BO=2,∴PC=PO=CO,∴△OPC是等边三角形,∴∠PCO=60°,∠PAC=30°∴AP==2,∴,故答案为:.三.解答题(共4小题)38.如图,∠AOB=90°,OA=9cm,OB=3cm,一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿BC方向匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球.如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是多少?【答案】见试题解答内容【解答】解:∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,运动时间相等,∴BC=CA.设AC为x,则OC=9﹣x,由勾股定理得:OB2+OC2=BC2,又∵OA=9,OB=3,∴32+(9﹣x)2=x2,解方程得出x=5.∴机器人行走的路程BC是5cm.39.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).(1)求BC边的长.(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.【答案】或10或16.【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,AC=6cm,∴BC=,当AP=BP时,如图1,则AP=t,PC=BC﹣BP=8﹣t,在Rt△ACP中,AC2+CP2=AP2,∴62+(8﹣t)2=t2,解得t=;当AB=BP时,如图2,则BP=t=10;当AB=AP时,如图3,则BP=2BC;∴t=2×8=16,综上,t的值为或10或16.40.今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区,风力强,累计降雨量大,影响范围大,有极强的破坏力.如图,台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动,已知点C为一海港,且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB =500km,经测量,距离台风中心260km及以内的地区会受到影响.(1)海港C受台风影响吗?为什么?(2)若台风中心的移动速度为28千米/时,则台风影响该海港持续的时间有多长?【答案】(1)海港C受台风影响,理由见解答过程;(2)台风影响该海港持续的时间为小时.【解答】解:(1)海港C受台风影响,理由:∵AC=300km,BC=400km,AB=500km,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°;过点C作CD⊥AB于D,∵△ABC是直角三角形,∴AC×BC=CD×AB,∴300×400=500×CD,∴CD=240(km),∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域,∴海港C受台风影响;(2)当EC=260km,FC=260km时,正好影响C港口,∵ED=(km),∴EF=2ED=200km,∵台风的速度为28千米/小时,∴200÷28=(小时).答:台风影响该海港持续的时间为小时.41.请阅读下列材料:已知:如图(1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45°.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90°,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式,直接写出你的猜想;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图(2),其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明;(3)已知:如图(3),等边三角形ABC中,点D、E在边AB上,且∠DCE=30°,请你找出一个条件,使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,并求出此时等腰三角形顶角的度数.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)DE2=BD2+EC2;(2)关系式DE2=BD2+EC2仍然成立.证明:将△ADB沿直线AD对折,得△AFD,连FE∴△AFD≌△ABD,∴AF=AB,FD=DB,∠FAD=∠BAD,∠AFD=∠ABD,又∵AB=AC,∴AF=AC,∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°,∠EAC=∠BAC﹣∠BAE=90°﹣(∠DAE﹣∠DAB)=45°+∠DAB,∴∠FAE=∠EAC,又∵AE=AE,∴△AFE≌△ACE,∴FE=EC,∠AFE=∠ACE=45°,∠AFD=∠ABD=180°﹣∠ABC=135°∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=135°﹣45°=90°,∴在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,即DE2=BD2+EC2;解法二:将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB.连接DT.∴∠ABT=∠C=45°,AT=AE,∠TAE=90°,∵∠ABC=45°,∴∠TBC=∠TBD=90°,∵∠DAE=45°,∴∠DAT=∠DAE,∵AD=AD,∴△DAT≌△DAE(SAS),∴DT=DE,∵DT2=DB2+EC2,∴DE2=BD2+EC2;(3)当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形.如图,与(2)类似,以CE为一边,作∠ECF=∠ECB,在CF上截取CF=CB,可得△CFE≌△CBE,△DCF≌△DCA.∴AD=DF,EF=BE.∴∠DFE=∠1+∠2=∠A+∠B=120°.若使△DFE为等腰三角形,只需DF=EF,即AD=BE,∴当AD=BE时,线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形,且顶角∠DFE为120°.。
勾股定理中考难题1、如图,点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是( )A . 48B . 60C . 76D . 802、如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为(3,),点C 的坐标为(,0),点P 为斜边OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为( )A .B .C .D . 23、如图,已知直线a ∥b ,且a 与b 之间的距离为4,点A 到直线a 的距离为2,点B 到直线b 的距离为3,AB=.试在直线a 上找一点M ,在直线b 上找一点N ,满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短,则此时AM+NB=( )A . 6B . 8C . 10D . 124、已知:如图在△ABC ,△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC ,AD=AE ,点C ,D ,E 三点在同一条直线上,连接BD ,BE .以下四个结论:①BD=CE ;②BD ⊥CE ;③∠ACE+∠DBC=45°;④BE 2=2(AD 2+AB 2),其中结论正确的个数是( )A . 1B . 2C . 3D . 41题 2题 3题 4题 6题5、一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为( )A . 5B .C .D . 5或6、如图,有两颗树,一颗高10米,另一颗高4米,两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢,问小鸟至少飞行( )A .8米B .10米C .12米D .14米7、如图,若∠A =60°,AC =20m ,则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A .34.64mB .34.6mC .28.3mD .17.3m8、如图,△ABC 中,D 为AB 中点,E 在AC 上,且BE ⊥AC .若DE=10,AE=16,则BE 的长度为何?( )A .10B .11C .12D .139、如图,圆柱形容器中,高为1.2m ,底面周长为1m ,在容器内壁..离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁..,离容器上沿0.3m 与蚊子相对..的点A 处,则壁A C B第7题图虎捕捉蚊子的最短距离为 m(容器厚度忽略不计).10、(2013•滨州)在△ABC中,∠C=90°,AB=7,BC=5,则边AC的长为.11、(2013山西,1,2分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=12,BC=5,点E在AB上,将△DAE沿DE折叠,使点A落在对角线BD上的点A′处,则AE的长为______.12、(2013•黄冈)已知△ABC为等边三角形,BD为中线,延长BC至E,使CE=CD=1,连接DE,则DE= .13、(2013•张家界)如图,OP=1,过P作PP1⊥OP,得OP1=;再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1,得OP2=;又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1,得OP3=2;…依此法继续作下去,得OP2012= .14、(2013•包头)如图,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.15、(2013•巴中)若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足,则该直角三角形的斜边长为.16、(2013•雅安)在平面直角坐标系中,已知点A(﹣,0),B(,0),点C在坐标轴上,且AC+BC=6,写出满足条件的所有点C的坐标.17、(2013哈尔滨)在△ABC中,AB=22,BC=1,∠ ABC=450,以AB为一边作等腰直角三角形ABD,使∠ABD=900,连接CD,则线段CD的长为.18、(2013哈尔滨)如图。
勾股定理经典例题含答案11页勾股定理是一个基本的初等几何定理,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么a²+b²=c²,若a、b、c都是正整数,(a,b,c)叫做勾股数组。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一.“勾三,股四,弦五"是勾股定理的一个最著名的例子。
远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理,还知道许多勾股数组。
古埃及人也应用过勾股定理。
在中国,西周的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。
在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
类型一:勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中,∠C=90°(1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a。
思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。
解析:(1)在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b=(2)在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c=(3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2-CD2=132-122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16∴AB= 4∴AB的长是4。
类型二:勾股定理的构造应用2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长。
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是()A.CD、EF、GHC. AB、CD GHB.AB、EF、GHD. AB、CD EF愿路分乐屮1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断•』解答过整屮在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. *縮題后KJ思专:*1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形・因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口*2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过程.a4•在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初例玉如圏,有一块直角三角形®椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m・现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、*C/) "禎B. 3cm G-Icnin題童分析,本题着查勾股定理的应用刎:)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ・进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸九4解龜后的思琴尸勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。
(6) 如图(1),图中的数字代表正方形的面积,则正方形A 的面积为。
3、运用勾股定理进行计算(重难点)(12)如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容:在RT△中,__________________________ 勾股定理的应用:在RT△中,知两边求第三边,关键在于确定斜边或直角典型题型(7)如图(2),三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。
(8)在RtAABC 中,/ C= 90°,若AC= 6, BO 8,则AB的长为( )A、6B、8C、10(9)在直线l上依次摆放着七个正方形已知斜放置的三个正方形的面积分别是D、12(如图4所示)。
1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S I S2 S3 S4= ------------------------ 。
1、对勾股定理的理解(1)已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长c,则下列关于a,b,c的关系不成立的是( )A、c2- a2=b2C、a2- c2=b2(2) 在直角三角形中,/ 立的是( )A、BC2- AB2=AC2C、AB2+AC2= BC22、应用勾股定理求边长(3) 已知在直角三角形求AC的长.B、c2- b2=a2D、a2+b2= c2A=90°,则下列各式中不成B、BC2- AC2=AB2D、AC2+BC2= AB2AB=10 cm, BC=8 cm ABC中,(4)在直角△中,若两直角边长为a、b,且满足Va- 6a +9 + |b- 4| = 0,则该直角三角形的斜边长为__________3、利用勾股定理求面积(5)已知以直角△的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积为25兀,16兀,求另一个半圆的面积。
【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等,由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。
典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有 AB CD EF 、GH 四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )1) 题意分析:本题考查勾照定理及勾股定理的逆定理./2) 解题思踏;可利用勾照定理直接求出各也长,再进行判断.卜 解答过程:#ai^AEAF 中,AF=h AE=2,根据勾股定理,得。
跻=J 招己'十』十F = 姊同理 = 2思* QH. = 1 CD = 2^5计算发现(右尸十0招”=(雁沪t 即/费+寥=奇,根据 勾股定理的迎定理得到以AE 、EF 、GH 为也的三角形是直角三角形.故选 B. *解题后B0思考、1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角形. 因此,解跑时一定要认真分析题目所蛤条件,看是否可用勾股定理来解n ,L 在运用勾股定理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为 七”就是斜诳而.固执"地运用公式"二/十舛 其实,同样是四"6 NC 不一定就等于叩幻I 不一定就是斜遮,A ABC 不一定就是直角三痢 形.卜A. CD 、EF 、GH C. AB 、CD GHB. AB 、EF 、GHD. AB 、CD EF3.直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从"形胡(一个三角形是直角三角形)到板'3’ =疽十瑟)的辿程,而直角三角形的判定是一个从W〔一个三角形的三满是L = ^+广的条件)到胃形'这个三弟形是直急三甬形)的过程.甘1在应用勾股定理解题时,要全面地毒虑问题.注意m题中存在的多种可能性,避免漏解。
/例2-如图'有一块直角三角形舐板幽G两直角边ACMkm, BWg 现博直甬边AC沿直线AD折叠,庾它落在斜辿AB上,且点C落到点E处, 则CD等于(EC 。
A. 2cmB. 3cm C 4an D 5cm*" iiEMraZJ VI :『n暴意分析,本题考查勾股定理的应用,:)解题思路;本题若直接在△XOQ中运用勾股定理是无法求得® ffi 长的,因为只知道一条迫应。