初中数学第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (52)(含解析)

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (2)一、解答题1．已知抛物线y=ax 2+bx+3的对称轴是直线x=1． （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．2．抛物线()21y x m x m =-+-+与y 轴交于点()03，． （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）①当x 取什么值时，0y >？②当x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？ 3．已知函数()211y kx k x =+++（k 为实数）（1）当3k =时，求此函数图像与x 轴的交点坐标； （2）判断此函数与x 轴的交点个数，并说明理由.4．若抛物线与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形，则称该抛物线为“等边抛物线”． （1）判断抛物线C 1：y ＝3x 2﹣23x 是否为“等边抛物线”？如果是，求出它的对称轴和顶点坐标；如果不是，说明理由．（2）若抛物线C 2：y ＝ax 2+2x+c 为“等边抛物线”，求ac 的值；（3）对于“等边抛物线”C 3：y ＝x 2+bx+c ，当1＜x ＜m 时，二次函数C 3的图象落在一次函数y ＝x 图象的下方，求m 的最大值．5．有一种市场均衡模型是用一次函数和二次函数来刻化的：根据市场调查，某种商品的市场需求量y 1（吨）与单价x （百元）之间的关系可看作是二次函数y 1=4﹣x 2，该商品的市场供应量y 2（吨）与单价x （百元）之间的关系可看作是一次函数y 2=4x ﹣1．（1）当需求量等于供应量时，市场达到均衡．此时的单价x （百元）称为均衡价格，需求量（供应量）称为均衡数量．求所述市场均衡模型的均衡价格和均衡数量． （2）当该商品单价为50元时，此时市场供应量与需求量相差多少吨？（3）根据以上信息分析，当该商品①供不应求②供大于求时，该商品单价分别会在什么范围内？6．已知二次函数y=-x 2 +2mx-m 2+4 (1)当m=1时，抛物线的对称轴和顶点坐标:(2)求证:不论m 取何值时该二次函数的图像与x 轴必有两个不同交点(3)若该二次函数的图像与x 轴交于点A ， B(点Ａ在点Ｂ的左侧)，顶点为C ，则这时△ＡBC 的面积为7．已知在平面直角坐标系xOy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）求配方法求这条抛物线的顶点坐标； （2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m （0m >），过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线x=2与x 轴相交于点B ，连结OA ，二次函数y=x 2图象从点O 沿OA 方向平移，与直线x=2交于点P ，顶点M 到A 点时停止移动．（1）求线段OA 所在直线的函数解析式；（2）设二次函数顶点M 的横坐标为m ，当m 为何值时，线段PB 最短，并求出二次函数的表达式；（3）当线段PB 最短时，二次函数的图象是否过点Q （a ，a ﹣1），并说理由． 9．已知二次函数y=x 2-2mx+m 2-4.．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴有两个交点；（2）若把它的图象向上平移1 个单位，再向左平移2个单位后图象经过原点，求m 的值．10．春节期间，为了满足百姓的消费需求，某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．冰箱、彩电的进价、售价如表：进价（元/台）售价（元/台）冰箱M2500彩电m ﹣4002000（1）商场用80000元购进冰箱的数量用64000元购进彩电的数量相等，求表中m 的值； （2）为了满足市场需要要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的；若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，求能获得的最大利润w 的值．11．已知二次函数y ＝x 2﹣4x+3．（1）用配方法将y ＝x 2﹣4x+3化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）写出当x 为何值时，y ＞0．12．在画二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下x…… ﹣1 0 1 2 3 ……y 甲…… 6 3 2 3 6 ……乙写错了常数项，列表如下：x…… ﹣1 0 1 2 3 …… y 乙……﹣2﹣12714……通过上述信息，解决以下问题：(1)求原二次函数()20y ax bx c a =++≠的表达式；(2)对于二次函数()20y ax bx c a =++≠，当x _____时，y 的值随x 的值增大而增大；(3)若关于x 的方程()20ax bx c k a ++=≠有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．13．直线：()1:0l y ax a a =+≠，与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，抛物线L :()2230y ax bx a a =+-≠，经过点A ，且与x 轴的另一个交点为点C ．（1）若1a =，求此时抛物线的解析式、顶点坐标及点C 坐标；（2）在直线l 与抛物线L 围成的封闭图形边界上，横、纵坐标均为整数的点称为“神秘点”，求出在（l ）的条件下“神秘点”的个数； （3）①直线l 与x 轴的交点A 的坐标会变吗？说明理由；②若抛物线L 与直线5y =在06x ≤≤的范围内有唯一公共点，请直接写出a 的取值范围．14．已知二次函数243y x x =-+ . （1）求二次函数与x 轴的交点坐标； （2）求二次函数的对称轴和顶点坐标；（3）写出y 随x 增大而减小时自变量x 的取值范围. 15．（本题满分8分）已知：二次函数243y x x =-+． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0.16．已知抛物线C 1的函数解析式为y ＝ax 2＋bx －3a （b ＜0），若抛物线C 1经过点（0，－3），方程ax 2＋bx －3a ＝0的两根为x 1，x 2，且12x x ＝4．(1)求抛物线C 1的顶点坐标．(2)已知实数x＞0，请证明x+1x≥2，并说明x为何值时才会有x＋1x＝2．(3)若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A（m，y1），B（n，y2）是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB＝90°，m＞0，n＜0．请你用含m 的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式．17．已知直线y＝kx+m（k＜0）与抛物线y＝x2+bx+c相交于抛物线的顶点P和另一点Q．（1）若点P（2，﹣c），Q的横坐标为﹣1．求点Q的坐标；（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y＝x2+bx+c的对称轴相交于点E，直线PQ与y轴交于点M，若PE＝2EQ，c＝284b-（﹣52≤b＜﹣2），求点Q的纵坐标；（3）在（2）的条件下，求△OMQ的面积S的最大值．18．若二次函数y＝kx2+（3k+2）x+2k+2．（1）求证：抛物线与x轴有交点．（2）经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．（3）若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内，请比较y1，y的大小．19．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝ba-；x1•x2＝ca．应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝，x1•x2＝．（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．20．如图二次函数2y x bx c=++的图象经过A（－1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．（1）试确定b、c的值；（2）若点M为此抛物线的顶点，求△MBC的面积．【答案与解析】一、解答题1．（1）见解析；（2）x=－2试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a ，b 的值，进而解方程得出即可．试题解析：（1）证明：∵对称轴是直线x=1=﹣2ba，∴b=－2a ∴2a+b=0； （2）∵ax 2+bx ﹣8=0的一个根为4，∴16a+4b ﹣8=0，∵b=﹣2a ，∴16a ﹣8a ﹣8=0， 解得：a=1，则b=﹣2，∴a 2x +bx ﹣8=0为：2x ﹣2x ﹣8=0， 则（x ﹣4）（x+2）=0，解得：1x =4，2x =﹣2， 故方程的另一个根为：﹣2．考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点2．（1）2y x 2x 3=-++；（2）x 轴：()30A ，、()10B -，；Y 轴：()03C ， （3）见解析.试题分析：（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m 的值；（2）可以令y=0，可得出一个关于x 的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x 轴交点的横坐标；（3）根据（2）中抛物线与x 轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x 的取值范围． 试题解析：（1）将点（0，3）代入抛物线y=-x 2+（m-1）x+m ， m=3，∴抛物线的解析式y=-x 2+2x+3； （2）令y=0，-x 2+2x+3=0， 解得x 1=3，x 2=-1；x 轴：A （3，0）、B （-1，0）； y 轴：C （0，3）（3）抛物线开口向下，对称轴x=1； 所以）①当-1＜x ＜3时，y ＞0； ②当x≥1时，y 的值随x 的增大而减小．3．（1）(1,0)-、1(,0)3-；（2）当0k =、1k =时，交点只有一个；当0k ≠且1k ≠时，交点有两个，理由见详解.（1）当3k =时，代入()211y kx k x =+++，由函数图像与x 轴的交点，即当0y =时，解出方程可得. （2）()211y kx k x =+++（k 为实数），可分为0k =和0k ≠情况进行分析讨论.（1）解：当3k =时，代入()211y kx k x =+++可得：2341y x x =++，要求函数图像与x 轴的交点坐标，令0y =，即23410x x ++=，解得113x =-或21x =-，交点坐标为(1,0)-、1(,0)3-.（2）解：∵()211y kx k x =+++（k 为实数），∴二次项系数k 可分为0k =和0k ≠情况进行分析讨论，当0k =，()2111y kx k x x =+++=+，令0y =，解得1x =-，只有一个交点(1,0)-.当0k ≠，()211y kx k x =+++，由二次函数24b ac ∆=-，得()()221410k k k ∆=+-=-≥可知当1k =，0∆=，()211y kx k x =+++有两个相等的根，即与x 轴的交点只有一个.当1k ≠，>0∆，()211y kx k x =+++有两个不相等的根，即与x 轴的交点有两个.综上所述：当0k =、1k =时，()211y kx k x =+++与x 轴的交点只有一个，当0k ≠且1k ≠时，()211y kx k x =+++与x 轴的交点有两个.【点睛】考查二次函数图像与直线的交点、利用二次函数的判别式来判断根的情况，进而判断交点. 4．（1）抛物线y＝2x 2﹣是“等边抛物线”；对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣2）ac ＝﹣2；（3）m 的最大值为6． （1）根据“等边抛物线”的定义得到抛物线C 1：y2﹣是“等边抛物线”；然后根据抛物线的性质求得它的对称轴和顶点坐标；（2）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0），知AB ＝|x 1﹣x 2|＝＝|，结合顶点坐标（﹣1a ，ac 1a -）2，据此求解可得； （3）依照（2）的方法推出b 2﹣4ac ＝12知c ＝2124b -，结合等边抛物线过（1，1）求得b ＝﹣6或b ＝2，依据对称轴位置得b ＝﹣6，联立266y x x y x⎧=-+⎨=⎩，求得x ＝1或x ＝6，从而得出答案． （1）抛物线yx 2﹣是“等边抛物线”．对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣由y2﹣（12x ﹣2）知，该抛物线与x 轴的交点是（0，0），（4，0）． 又因为y2﹣x ﹣2）2﹣所以其顶点坐标是（2，﹣）．∴抛物线与x 轴的两个交点及其顶点构成等边三角形的边长为4， ∴抛物线y2﹣x 是“等边抛物线”． 对称轴x ＝2，顶点坐标为（2，﹣（2）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）， 令y ＝ax 2+bx+c ＝0，∴x＝22a-，∴AB ＝|x 1﹣x 2|＝|22a -+﹣22a -|＝|a|＝|＝|a|． 又∵抛物线的顶点坐标为（﹣1a ，ac 1a-），∵4﹣4ac≠0， ∴|∴ac ＝﹣2；（3）设等边抛物线与x 轴的两个交点分别为A （x 1，0），B （x 2，0）， 令y ＝ax 2+bx+c ＝0，∴x＝2b -±，∴AB＝|x 1﹣x 2|＝又∵抛物线的顶点坐标为24,24b c b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2=∵240b c -≠，= 得b 2﹣4c ＝12，∴c ＝2124b -，∴C 3：y ＝x 2+bx+2124b -，∵1＜x ＜m 时，总存在实数b ，使二次函数C 3的图象在一次函数y ＝x 图象的下方，即抛物线与直线有一个交点为（1，1）， ∴该等边抛物线过（1，1），∴1+b+2124b -＝1，解得b ＝﹣6或b ＝2， 又对称轴x ＝﹣2b a ＝﹣2b＞1， ∴b ＜﹣2， ∴b ＝﹣6， ∴y ＝x 2﹣6x+6，联立266y x x y x ⎧=-+⎨=⎩，解得x ＝1或x ＝6， ∴m 的最大值为6． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是理解等边抛物线的概念和等边三角形的性质、抛物线与x 轴的交点问题及抛物线与直线的交点问题等知识点．5．（1）所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨；（2）此时市场供应量与需求量相差﹣2.75吨；（3）①供不应求时，由题意：y 1＞y 2，观察图象可知14＜x ＜1，②供大于求时，y 1＜y 2，观察图象可知1＜x ＜2．（1）令y 1=y 2，解方程4﹣x 2=4x ﹣1，即可求出均衡家，进而求出均衡数量；（2）把分别代入y1=4﹣x2，y2=4x﹣1，求出y2﹣y1的值，然后y2﹣y1即可；（3）（3）①供不应求时，即y1＞y2，观察图象可的答案；②供大于求时，即y1＜y2，观察图象可得答案．（1）令y1=y2，得到4﹣x2=4x﹣1，解得x=1或﹣5（舍弃），y2=4×1﹣1=3（吨）．答：所述市场均衡模型的均衡1百元和均衡数量为3吨．（2）当x=0.5时，y1=3.75，y2=1，y2﹣y1=﹣2.75，答：此时市场供应量与需求量相差﹣2.75吨．（3）①供不应求时，由题意：y1＞y2，观察图象可知＜x＜1，②供大于求时，y1＜y2，观察图象可知1＜x＜2．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，已知自变量的值求函数值，根据图像解不等式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.6．（1）对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；（2）证明见解析；（3）8.（1）把m=1代入到二次函数解析式中，用配方法整理成顶点式，即可得到其对称轴和顶点坐标；（2）应用根的判别式即可证明；（3）令y=0，求出A、B横坐标，用m表示顶点C坐标，求△ABC面积.（1）把m=1代入到y=-x 2 +2mx-m 2+4中，得y=-x 2 +2x+3=-(x-1)2+4，所以对称轴为x=1，顶点坐标为(1，4)；（2）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，∵b2-4ac=4m2-4×（-1）×（-m2+4）=16＞0，∴此一元二次方程有两个不相等的实数根，∴该二次函数的图象与x轴必有两个不同交点；（3）当y=0时，-x2+2mx-m2+4=0，解得：x1=m+2，x2=m-2，∵点A在点B的左侧，∴点A、B横坐标分别为m-2，m+2，∴AB=4，配方得y=-x2+2mx-m2+4=-（x-m）2+4，∴抛物线顶点为（m，4）∴S△ABC=12×4×4=8，故答案为8.【点睛】。

一、基础知识（一）二次函数和一元二次方程的关系对于二次函数c bx ax y ++=2)0(≠a 来说，当0=y 时，就得一元二次方程02=++c bx ax )0(≠a ，因此我们可以利用一元二次方程求二次函数图像与x 轴的交点坐标.进一步我们还可以探讨一元二次方程ac b 42-=∆的取值与二次函数图像与x 轴的交点坐标的情况之间的关系：1.当042>-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点；2.当042=-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有唯一交点（这个唯一交点就是抛物线的顶点）；3.当042<-=∆ac b 时，一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴没有交点（抛物线要不全部在x 轴上方，要不全部在x 轴下方）.拓展：我们可以利用一元二次方程来研究抛物线与c bx ax y ++=2与直线bkx y +=（当0≠k 时为一次函数的图像，当0=k 时为平行于x 轴或与x 轴重合的一条直线b y =）的交点情况.二、重难点分析本课教学重点：利用一元二次方程根与系数的关系解决有关二次函数图像与x 轴交点横坐标的有关求值问题：当一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根1x 、2x 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A(1x ,0)、B(2x ,0)，此时有a b x x -=+21，1x ·ac x =2.此时抛物线与x 轴两交点的距离为：AB=21x x -=221)(x x -212214)(x x x x -+=224a ac b -=a ∆=（公式①）. 本题教学难点：利用二次函数图象解决一元二次方程的解一方面，反过来，我们可以根据抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的交点情况去判断一元二次方程02=++c bx ax 的根的情况.另一方面，我们还可以利用二次函数图像比较直观地去解决有关一元二次方程的解的问题以及有关系数的值的问题.典例精析：例1．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A ．a ＞0B ．c ＜0C ．b 2－4ac ＜0D ．a ＋b ＋c ＞0【答案】D【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程例2.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）A ．向上平移4个单位B ．向下平移4个单位C ．向左平移4个单位D ．向右平移4个单位【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程三、感悟中考1.（2013年杭州）定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为[2m,1-m ,-1–m]的函数的一些结论：①当m ＝-3时，函数图象的顶点坐标是(31，38)； ② 当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于23； ③ 当m<0时，函数在x >41时，y 随x 的增大而减小；④ 当m ≠ 0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③④D ．②④【答案】B【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程2.（2013年扬州市中考题改编）若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．【答案】102213-<<-a ．【考点】 人教新课标九年级上册•22章二次函数•22.2二次函数与一元二次方程四、专项训练。

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(48)一、解答题1．已知：抛物线y=﹣x 2+4x ﹣3与x 轴相交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），顶点为P ．（1）求A 、B 、P 三点坐标；（2）画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零； （3）确定此抛物线与直线y=﹣2x+6公共点的个数，并说明理由． 2．在平面直角坐标系中，已知二次函数解析式为243y x x =-+．（1）完成表格，根据数据在平面直角坐标系中画出二次函数的图象：x... 0 1 2 3 4 ... y......（2）当x 满足 ______时，函数值大于0； （3）当14x <<时，y 的取值范围是______．3．已知抛物线()243y x k x =---的对称轴是直线1x =，此抛物线与x 轴交于A 、B两点，与y 轴交于点C ． （Ⅰ）求ABC 的面积；（Ⅱ）若抛物线的顶点为P ，求线段PC 的长．4．已知二次函数2y x bx c =-++的图像经过点()(),1,00,3A C -()1求二次函数的解析式；()2求二次函数的顶点坐标；()3当0y ≤时，求x 的取值范围（直接写出答案）．5．已知二次函数的图象经过点（-1，-8），顶点为（2，1）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求图象与x 轴的交点坐标．6．已知：抛物线C 1：2211(2)22y x m x m =-+++与抛物线C 2：222y x mx n =++具有下列特征：①都与x 轴有交点；②与y 轴相交于同一点．（1）求m ，n 的值；（2）试写出x 为何值时，y 1＞y 2？（3）试描述抛物线C 1通过怎样的变换得到抛物线C 2．7．如图，已知抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，该抛物线顶点为D ，对称轴交x 轴于点H ．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）设点P 在x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点P 的坐标； （3）以OB 为边最第四象限内作等边△OBM ．设点E 为x 轴的正半轴上一动点（OE ＞OH ），连接ME ，把线段ME 绕点M 顺时针旋转60°得MF ，求线段DF 的长的最小值． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点A 、C 的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣3），直线x=1为抛物线的对称轴，点D 为抛物线的顶点，直线BC 与对称轴相交于点E ．（1）求抛物线的解析式并直接写出点D 的坐标； （2）求△BCD 的面积；（3）点P 为直线x=1右方抛物线上的一点（点P 不与点B 重合），记A 、B 、C 、P 四点所构成的四边形面积为S ，若S=S △BCD ，求点P 的坐标．9．小明根据学习函数的经验，对函数4254y x x =-+的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：()1自变量x 的取值范围是___________，x 与y 的几组对应数值如下表：x94-115 2-32-54-1- 12- 14- 01412154 322115y 4.33.22.2- 1.4- 0 2.83.7 4 3.7 2.8 0 1.4- 2.2- m 3.2其中m = ；()2如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；()3观察函数图象，写出一条该函数的性质______；()4进一步探究函数图象发现：①方程42540x x -+=有______个互不相等的实数根；②有两个点()11,x y 和()22,x y 在此函数图象上，当212x x >>时，比较1y 和2y 的大小关系为：1y ______2y (填,><=或)③若关于x 的方程4254x x a -+=有4个互不相等的实数根，则a 的取值范围是 ．10．一个二次函数的图像经过（0，－2），（－1，－1），（1,1）三点，求这个二次函数的解析式11．如图1，对于平面上小于等于90°的∠MON ，我们给出如下定义：若点P 在∠MON 的内部或边上，作PE ⊥OM 于点E ，PF ⊥ON 于点F ，则将PE+PF 称为点P 与∠MON 的“点角距”，记作d （∠MON ，P ）．如图2，在平面直角坐标系xOy 中，x 、y 正半轴所组成的角为∠xOy ．（1）已知点A （5，0）、点B （3，2），则d （∠xOy ，A ）= ，d （∠xOy ，B ）= ． （2）若点P 为∠xOy 内部或边上的动点，且满足d （∠xOy ，P ）=5，画出点P 运动所形成的图形．（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy 中，射线OT 的函数关系式为y=43x （x≥0）． ①在图3中，点C 的坐标为（4，1），试求d （∠xOT ，C ）的值； ②在图4中，抛物线y=-12x 2+2x+52经过A （5，0）与点D （3，4）两点，点Q 是A ，D 两点之间的抛物线上的动点（点Q 可与A ，D 两点重合），求当d （∠xOT ，Q ）取最大值时点Q 的坐标．12．如图，抛物线26y x x =-+与x 轴交于O ，A 两点，与直线y=2x 交于O ，B 两点．点P 在线段OA 上以每秒1个单位的速度从点O 向终点A 运动，作EP ⊥x 轴交直线OB 于E ；同时在线段OA 上有另一个动点Q ，以每秒1个单位的速度从点A 向点O 运动（不与点O 重合）．作CQ ⊥x 轴交抛物线于点C ，以线段CQ 为斜边作如图所示的等腰直角△CQD ．设运动时间为t 秒．（1）求点B 的坐标；（2）当t =1秒时，求CQ 的长；（3）求t 为何值时，点E 恰好落在△CQD 的某一边所在的直线上；13．（8分）已知抛物线y 1=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴相交于点A ，B （点A ，B 在原点O 两侧），与y 轴相交于点C ，且点A ，C 在一次函数y 2=43x +n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222y x mx m m =-+-+的顶点为D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）若该抛物线经过点A （1，m ），求m 的值；（3）在（2）的条件下，抛物线与x 轴是否有交点，若有，求出交点坐标，若没有，说明理由.15．（1）解下列方程：（x +1）（x +2）=2x +4（2）若抛物线y =x 2+3x +a 与x 轴有交点，求实数a 的取值范围． 16．设二次函数y=-2a（x+1）（x-a ）（a 为正数）的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点．直线l 过M （0，m ）（0＜m ＜2且m≠1）且与x 轴平行，并与直线AC 、BC 分别相交于点D 、E ．二次函数y=-2a（x+1）（x-a ）的图象关于直线l 的对称图象与y 轴交于点P ．设直线PD 与x 轴交点为Q ，则： （1）求A 、C 两点的坐标；（2）求AD 的值（用含m 的代数式表示）；（3）是否存在实数m ，使CD•AQ=PQ•DE ？若能，则求出相应的m 的值；若不能，请说明理由．17．已知函数()2142y m x x =-++，（1）当m 取何值时抛物线开口向上？（2）当m 为何值时函数图像与x 轴有两个交点？ （3）当m 为何值时函数图像与x 轴只有一个交点？ 18．如图，抛物线y=12x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A(一1，0)．(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；(3)点M 是x 轴上的一个动点，当△DCM 的周长最小时，求点M 的坐标．19．已知二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象如图所示，该抛物线与x 轴的一个交点（-1,0）为请回答以下问题（1）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标（2）一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的解为（3）不等式()200ax bx c a ++<≠的解集是20．已知某二次函数的对称轴平行于轴，图像顶点为，且与轴交于点；（1）求该二次函数的解析式；（2）设为该二次函数图像上横坐标为2的点，记，，试用、表示；【答案与解析】一、解答题1．（1）A（1，0），B（3，0），P（2，1）；（2）1＜x＜3时，y＞0；（3）一个交点．试题分析：将二次函数转化成顶点式以及交点式，从而得出三点的坐标；根据图形得出y ＞0时x的取值范围；根据二次函数和一元一次方程得出x的值，从而得出函数与一元一次方程的解的个数．试题解析：（1）∵y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣1）（x﹣3）=﹣（x﹣2）2+1，∴A（1，0），B（3，0），P（2，1）．（2）作图如下，由图象可知：当1＜x＜3时，y＞0．（3）由题意列方程组得：，转化得：x2﹣6x+9=0，即x=3，∴方程的两根相等，方程组只有一组解，∴此抛物线与直线有唯一的公共点．考点：一元二次方程与函数．2．（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）x<1，或x>3，（3）-1≤y<3．(1)计算函数值填表；然后根据表格造平面直角坐标系中，描点，用平滑的曲线顺次连结即可，(2)利用图像法，先理解 y>0，找出y>0，在x轴上半平面，即在方程的两根之外，在图上找到抛物线与交点横坐标即可，(3)抛物线的对称轴x=2，在1<x<4抛物线可以取到最小值-1，在边值上进行比较，取两值中较大的即可．（1）从左到右表格依次填写3，0，-1，0，3，（2）由y>0，图像在x 轴的上方，说明在两个之外，由图可知y=0时x 2-4x+3=0的两根为，x=1,与x=3， 为此x<1，或x>3， 答案为：x<1，或x>3， (3) 当1<x<4时，-1≤y<3． 答案为：-1≤y<3． 【点睛】本题考查。

人教版九年级数学22.2二次函数与一元二次方程的关系练习（含答案）二次函数与一元二次方程的关系知识要点：1. 二次函数与一元二次方程的关系一般地，从二次函数y=ax 2+bx+c 的图像可得如下结论.（1）如果抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有公共点，公共点的横坐标为x 0，那么当x=x 0时，函数值是0，因此x=x 0是方程的ax 2+bx+c=0的一个根.（2）二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况：没有实数根，有两个相等实数根，有两个不相等实数根。

2.利用抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点的横坐标求一元二次方程ax 2+bx +c =0的根．具体过程如下：①在平面直角坐标系中画出抛物线y =ax 2+bx +c ；②观察图象，确定抛物线与x 轴的交点的横坐标；③交点的横坐标为一元二次方程ax 2+bx +c =0的根．3.用两点夹逼法估计一元二次方程的根，具体方法如下：在交点（抛物线与x 轴的交点）的两侧各取一点，则一元二次方程的根在这两个点的横坐标之间．一、单选题1．如图，一次函数与二次函数为的图象相交于点，1y x =-22y ax bx c =++M ，则关于的一元二次方程的根的情况是（ ）N x 2(1)0ax b x c +++=A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根【答案】A 2．已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx +c =0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个同号的实数根D ．没有实数根【答案】D 3．抛物线与轴的交点坐标为（ ）2321y x x =-+-y A ．B ．C ．D ．()0,1()0,1-()1,0-()1,0【答案】B4．根据下面表格中的对应值：x 3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c ﹣0.020.010.03判断关于x 的方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的一个解x 的范围是（ ）A ．x ＜3.24B ．3.24＜x ＜3.25C ．3.25＜x ＜3.26D ．x ＞3.26【答案】B5．已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）A．k≥3B．k＜3C．k≤3且k≠2D．k＜2【答案】C6．若二次函数y=x2﹣2x+c的图象与x轴没有交点，则c的值可能是（）A．﹣3B．﹣2C．0 D．2【答案】D7．二次函数y=x2+bx+1的图象与x轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是（ ）A．（1，0）B．（2，0）C．（﹣1，0）或（﹣2，0）D．（﹣1，0）或（1，0）【答案】D8．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】By=ax2+bx+c(a≠0)x ax2+bx+c=09．函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个同号的实数根C．有两个相等实数根D．无实数根【答案】A10.函数y=kx2+（2k+1）x+1的图象与x轴的交点有A．2个B．1个C．0个D．1或2个【答案】A11．抛物线y＝－2x2－x＋2与坐标轴的交点个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A12．若抛物线y=x2﹣2x﹣1与x轴的交点坐标为（a，0），则代数式a2﹣2a+2017的值为（ ）A．2019 B．2018 C．2017 D．2016【答案】B13．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为( ). A．－1或2 B．－1或1C．1或2 D．－1或2或1【答案】D14．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26【答案】C二、填空题15．抛物线与y 轴的公共点的坐标是____________．232y x x =++【答案】（0，2）16．二次函数的图象如图所示，则 的两根分别是2y x bx c =++2=0x bx c ++_________.【答案】-3，117．二次函数y ＝x 2﹣3x+c 的图象与x 轴有且只有一个交点，c ＝_____．【答案】9418．函数y=2x 2中，自变量x 的取值范围是____，函数值y 的取值范围是____．【答案】全体实数y ≥0.三、解答题19．抛物线经过和.y =ax 2-4x +c A(-1,-1)B(3,-9)（1）求该二次函数的表达式；（2）直接写出当时，的取值范围；y >0x （3）若点在该函数图像上，求点的坐标.P(m,m)P 【答案】.解：（1）根据题意得：，{a +4+c =-19a -12+c =-9解得：，{a =1c =-6所以抛物线的解析式为；y =x 2-4x -6（2）令，x 2-4x -6=0解得，，x 1=2+10x 2=2-10根据二次函数的性质可得时的取值范围是或y >0x x <2-10x >2+10（3）把代入，得，P(m,m)y =x 2-4x -6m =m 2-4m -6解得：，，m 1=-1m 2=6∴点的坐标为或.P (-1,-1)(6,6)故答案为：（1）；（2）或；（3）点的坐标为y =x 2-4x -6x <2-10x >2+10P 或.(-1,-1)(6,6)21．我们把使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点. 例如，对于函数y=-x+1，令y=0，可得x=1，我们就说x=1是函数y=-x+1的零点.己知函数y=x 2-2(m+1)x-2(m+2) (m 为常数) .（1）当m=-1时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，求此时的函数解析式，并1x 2x 321121-=+x x 判断点(n+2，n 2-10)是否在此函数的图象上.【答案】(1)、当时，该函数为，令，可得.1m =-22y x =-0y =x =∴当时，该函数的零点为和. 1m =-x =x =(2)、令，得0y =[][]222(1)42(2)4(2)10m m m ∆=-+--+=++>∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根，即m 22(1)2(2)0x m x m -+-+=无论取何值，该函数总有两个两个零点.m (3)、根据题意，得，，，122(1)x x m +=+122(2)x x m =-+∵，∴，即，解得.321121-=+x x 121223x x x x +=2(1)22(2)3m m +=-+1m =∴函数的解析式为.∴配方得，，把代入可得246y x x =--2(2)10y x =--2x n =+.210y n =-∴点在函数的图象上.)102(2-+n n ，246y x x =--考点：(1)、新定义型；(2)、二次函数的性质22．已知抛物线的顶点为A （1，4)，抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点。

学生做题前请先回答以下问题问题1：二次函数与一元二次方程之间的关系:①一元二次方程的根是二次函数的图象与_____________；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当时，二次函数图象与x轴_______交点．②方程的根是对应的________________，求两个函数交点的坐标就是求对应方程组的解．问题2：结合一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，思考函数y值比大小，主要利用函数的________和数形结合；两函数值比大小，借助数形结合，_____________________．二次函数与一元二次方程一、单选题(共10道，每道10分)1.若关于x的二次函数的图象与x轴仅有一个公共点，则k的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象与方程、不等式2.如图是二次函数（a，c为常数，）与一次函数（k，b为常数，）的图象，方程的解为_______；不等式的解集为_________．( )A.；B.；C.；D.；答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想3.已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当时，x的取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数的对称性4.若一元二次方程的两个实数根分别为，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象上点的坐标特征5.已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，则实数的大小关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：二次函数图象平移6.方程的根有( )个．A.0B.1C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想7.方程的根的个数为( )个A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想8.已知函数，当直线y=k与此图象有两个公共点时，k的取值范围是( )A. B.C. D.或k=-1答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合思想9.关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a取值范围是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想10.方程（k是实数）有两个实根，且，那么k的取值范围是( ) A. B. C. D.无解答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：数形结合的思想第11页共11页。

九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案-人教版一、单选题1．若二次函数y=ax²+1图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）²+1=0实数根为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=-2，x2=6C．x1= 32，x2= 52D．x1=-4，x2=02．已知关于x的方程x2+1=kx有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0C．k≤0 D．k≥03．下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y ﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A．1.6＜x1＜1.8 B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2 D．2.2＜x1＜2.44．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解分别为x1，x2，则x1+x2的值为（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．如果二次函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数，a≠0)的部分图象如图所示，它的对称轴过点(－1，0)，那么关于x的方程ax2+bx+c=0的一个正根可能是( )A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.56．二次函数y=−x2+bx+c的图象如图，则一元二次方程−x2+bx+c−4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c−3=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根8．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，若方程ax2+bx+c=0的两个根为x1= 1，x2=−5，下列结论中：①bc>0；②b=4a；③a−b+c>0；④5b+4c=0 .其中所有正确的结论有（）A．①②B．③④C．②③④D．②③二、填空题9．无论x取何值，二次函数y=x2﹣（2a+1）x+（a2﹣1）的函数值恒大于0，则a的取值范围为．10．一元二次方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=5，那么二次函数y=3x2+x−10与3x轴的交点坐标是．11．二次函数y=x2−6x+m（m是常数）的图象与x轴的一个交点为(-1，0)，则关于x的一元二次方程x2−6x+m=0的根是．12．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是．13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的图象的一部分，请你根据图象写出方程ax2+bx+c＝0的两根是．三、解答题14．若抛物线y＝x2+3x+2a与x轴只有一个交点，求实数a的值．15．已知二次函数的图象经过最高点（2，5）和点（0，4）.（1）试确定此二次函数的解析式；x2+x+1=0的根的情况.（画出简图）（2）请你用图象法判断方程−1416．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现，该商品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系：w=-2x+80.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下，销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?17．已知二次函数y=x2﹣4x．（1）在给出的直角坐标系内用描点法画出该二次函数的图象；（2）根据所画的函数图象写出当x在什么范围内时，y≤0？（3）根据所画的函数图象写出方程：x2﹣4x=5的解．x2 18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=13于点B、C，求BC的长.19．已知，二次函数y=−x2+bx+c的图象，如图所示，解决下列问题：（1）关于x的一元二次方程−x2+bx+c=0的解为；（2）求出抛物线的解析式；（3）x为何值时y<0．参考答案1．A2．B3．C4．D5．B6．C7．A8．C9．a >−5410．(−2,0)11．x1=−112．﹣1＜x2＜013．x1＝﹣3，x2＝114．解：根据抛物线与x轴只有一个交点，得到方程x2+3x+2a=0有两个相等的实数根，．则Δ=b2−4ac=32−4×2a=0，解得a=9815．（1）解；∵二次函数最高点也是函数的顶点（2，5）∴函数的表达式为y=a（x-2）2+5把（0，4）代入上式，解得：a=- 14∴二次函数的解析式为：y=- 1x2+x+44x2+x+4=3（2）解：原方程变形为：- 14x2+x+1=0根的情况∴上述问题转化为- 14∴函数值为3的点有2个则方程- 1x2+x+1=0由两个不相等的实数根.416．解：（1）y=w（x-20）=（x-20）（-2x+80）=-2x2+120x-1600则y=-2x2+120x-1600．由题意，有{x≥20−2x+80≥0解得20≤x≤40．故y与x的函数关系式为：y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40；（2）∵y=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200∴当x=30时，y有最大值200．故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元；（3）当y=150时，可得方程-2x2+120x-1600=150整理，得x2-60x+875=0解得x1=25，x2=35．∵物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，∴x2=35不合题意，应舍去．故当销售价定为25元/千克时，该农户每天可获得销售利润150元．17．解：（1）y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，则抛物线的对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，﹣4）如图（2）当0≤x≤4时，y≤0．（3）由图象可知，x2﹣4x=5的解为x1=﹣1，x2=5．18．解：BC=619．（1）解：观察图象可看对称轴出抛物线与x轴交于x=-1和x=3两点∴方程的解为x1=-1，x2=3故答案为：-1或3；（2）解：设抛物线解析式为y=-（x-1）2+k∵抛物线与x轴交于点（3，0）∴（3-1）2+k=0解得：k=4∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4即：抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（3）解：抛物线与x轴的交点（-1,0），（3,0），当y＜0时，则函数的图象在x轴的下方，由函数的图象可知：x＞3或x＜-1。

九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》同步练习题及答案(人教版)班级姓名学号一、单选题1．二次函数y＝−x2+（6 −m）x+8，当x＞− 2时，y随x的增大而减小；当x＜− 2时，y随x的增大而增大，则m的值为（）A．10 B．8 C．6 D．42．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1，0)，(3，0)则关于x的一元二次方程a(x+1)2−cx=a+2b 的解为（）A．x=−1或x=−4B．x=−1或x=−2C．x=−4或x=−2D．x=−1或x=3,y3)在函数y=x2+2x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是3．已知点(−1,y1)，(3,y2)，(12（）A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y2>y3>y1D．y3>y1>y24．根据下面表格中的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．3.22＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.265．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=46．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列说法错误的是（）A．对称轴是直线x=1B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣1，x2=3C．当x＜1，y随x的增大而增大D．当﹣1＜x＜3时，y＜07．如图，已知关于x的一元二次方程a(x−k)2−1=0的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）A．-1 B．0 C．1 D．28．已知关于x的一元二次方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根x1，x2有下列结论：①x1=2,x2=3；②m>−1；③三次函数y=(x−x1)(x−x2)+m的图象与x轴交点的横坐标分别为4a和b则a+b=5．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题9．已知关于x的方程（x+1）（x﹣3）+m＝0（m＜0）的两根为a和b，且a＜b，用“＜”连接﹣1、3、a、b的大小关系为.10．如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是11．下列表格是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的部分对应值，则一元二次方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的一个近似解是.（精确度0.1）x 6.1 6.2 6.3 6.4y−0.3−0.10.20.412．已知抛物线y=ax2+bx+c(b>a>0)与x轴只有一个交点，以下四个结论：①该抛物线的对⩽称轴在y轴左侧；②关于x的方程ax2+bx+c+2=0有实数根；③a+b+c>0；④b−ac1．其中结论正确的为．13．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx=m有实数根，则m的最小值为三、解答题14．利用图象法求一元二次方程x2﹣2x﹣2=0的近似根．（精确到0.1）15．已知：二次函数y=x2−mx+m−2，求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都在两个交点；16．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，你能确定关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解？17．如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y=−14与抛物线分别交于点D，E，求线段DE的长．18．已知二次函数y=x2+x−m的部分图象如图所示（1）求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x−m=0的解. （2）向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式。

九年级数学上册《第二十二章二次函数与一元二次方程》》练习题及答案-人教版一、选择题1.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )x ﹣1 0 1y＝ax2 1y＝ax2＋bx＋c 8 3A.y＝x2﹣4x＋3B.y＝x2﹣3x＋4C.y＝x2﹣3x＋3D.y＝x2﹣4x＋82.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y＝﹣2x2相同，则这个二次函数的解析式是( )A.y＝﹣2x2﹣x＋3B.y＝﹣2x2＋4C.y＝﹣2x2＋4x＋8D.y＝﹣2x2＋4x＋63.若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y关于x的二次函数的表达式为( ).A.y＝x2﹣4x＋3B.y＝x2﹣3x＋4C.y＝x2﹣3x＋3D.y＝x2﹣4x＋84.已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( )A.x1＝1，x2＝－1 B.x1＝1，x2＝2C.x1＝1，x2＝0 D.x1＝1，x2＝35.函数y＝kx2﹣6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠06.如图是二次函数y＝－x2＋2x＋4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( )A.－1≤x≤3B.x≤－1C.x≥1D.x≤－1或x≥37.若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：x …﹣10 1 2 3 …y (7)4﹣54﹣94﹣5474…则下列说法错误的是( )A.二次函数图象与x轴交点有两个B.x≥2时y随x的增大而增大C.二次函数图象与x轴交点横坐标一个在﹣1～0之间，另一个在2～3之间D.对称轴为直线x＝1.58.已知抛物线y＝x2﹣x﹣2与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2﹣m＋2 023的值为( )A.2 023B.2 024C.2 025D.2 0269.如图，一次函数y＝﹣x与二次函数为y＝ax2＋bx＋c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2＋(b＋1)x＋c＝0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数C.没有实数根D.以上结论都正确10.关于二次函数y＝ax2＋bx＋c图象有下列命题：(1)当c＝0时，函数的图象经过原点；(2)当c＞0时，函数的图象开口向下时，方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不等实根；(3)当b＝0时，函数图象关于原点对称.其中正确的个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题11.若二次函数y＝(k﹣2)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是.12.抛物线y＝2x2＋8x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为.13.如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是__________.14.如图，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于它的对称轴直线x＝1对称，则点Q的坐标为________.15.如果a＜0，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，那么抛物线y＝ax2＋bx ＋c的顶点在x轴________.(填“上方”或“下方”)16.已知函数y＝|x2﹣2x﹣3|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣2x﹣3|＝m(m为实数)有2个不相等的实数根，则m的取值范围是.三、解答题17.已知二次函数y＝﹣316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B(﹣4，﹣92)两点(1)求b、c的值；(2)二次函数y＝﹣316x2＋bx＋c的图象与x轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由.18.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋2．(1)抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴的交点坐标为；(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．19.已知抛物线y＝x2﹣4mx＋4m2﹣1．(1)求此抛物线的顶点的坐标；(2)若直线y＝n与该抛物线交于点A、B，且AB＝4，求n的值；(3)若这条抛物线经过点P(2m＋1，y1)，Q(2m﹣t，y2)，且y1＜y2，求t的取值范围．20.已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3.(1)求函数图象的顶点坐标和图象与x轴交点坐标；(2)当x取何值时，函数值最大？(3)当y＞0时，请你写出x的取值范围.21.已知关于x的方程x2＋mx＋n＋3＝0的一根为2.(1)求n关于m的关系式(2)求证：抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴有两个交点.22.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的对称轴为直线x＝﹣2.(1)b＝________；(用含a的代数式表示)(2)当a＝﹣1时，若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，求c的取值范围；(3)若抛物线过点(﹣2，﹣2)，当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a 的值.参考答案1.A2.D3.A4.B.5.C.6.D.7.D.8.C9.B.10.C.11.答案为：k ≤3且k ≠2.12.答案为：8.13.答案为：x 1＝－2，x 2＝1.14.答案为：(－2，0).15.答案为：上方.16.答案为：m ＝0或m ＞4.17.解： (1)将点A(0，3)，B(﹣4，﹣92 )代入二次函数解析式，得⎩⎨⎧c ＝3，－316×（－4）2－4b ＋c ＝－92， 解得⎩⎨⎧c ＝3b ＝98.(2)由(1)知，二次函数解析式为y ＝﹣316x 2＋98x ＋3令y ＝0，得﹣316x 2＋98x ＋3＝0整理得x 2﹣6x ﹣16＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8即该二次函数的图象与x 轴有两个不同交点，坐标分别为(﹣2，0)，(8，0). 18.解：(1)∵抛物线y ＝ax 2﹣4ax ＋2的对称轴为直线x ＝2．令x ＝0，则y ＝2．∴抛物线y＝ax2﹣4ax＋2与y轴的交点为(0，2)．故答案为：x＝2；(0，2)．(2)∵抛物线y＝ax2﹣4ax＋2的对称轴为直线x＝2∴顶点在1≤x≤5范围内∵当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6∴当a＜0时，抛物线开口向下，x＝5时y有最小值﹣6∴25a﹣20a＋2＝﹣6，解得a＝﹣∴抛物线为y＝﹣x2＋x＋2当x＝2时，y＝﹣×22＋×2＋2＝∴此时y的最大值为．当a＞0，抛物线开口向上，x＝2时y有最小值﹣6∴4a﹣8a＋2＝﹣6，解得a＝2∴抛物线为y＝2x2﹣8x＋2当x＝5时，y＝2×25﹣8×5＋2＝12∴此时y的最大值12．综上，y的最大值为12．19.解：(1)∵y＝x2﹣4mx＋4m2﹣1＝(x﹣2m)2﹣1∴抛物线顶点坐标为(2m，﹣1)．(2)∵点A，B关于抛物线对称轴对称，AB＝4，对称轴为直线x＝2m ∴抛物线经过(2m＋2，n)，(2m﹣2，n)将(2m＋2，n)代入y＝(x﹣2m)2﹣1得n＝22﹣1＝3．(3)点P(2m＋1，y1)关于抛物线对称轴的对称点P'坐标为(2m﹣1，y1)∵抛物线开口向上∴当2m﹣t＞2m＋1或2m﹣t＜2m﹣1时，且y1＜y2解得t＜﹣1或t＞1．20.解：(1)∵y＝﹣x2＋2x＋3＝﹣(x﹣1)2＋4 ∴图象顶点坐标为(1，4)当y＝0时，有﹣x2＋2x＋3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)；(2)由(1)知，抛物线顶点坐标为(1，4)，且抛物线开口方向向下，当x＝1时，函数值最大；(3)因为图象与x轴交点坐标为(﹣1，0)，(3，0)，且抛物线开口方向向下所以当y＞0时，﹣1＜x＜3.21.解：(1)将x＝2代入方程，得：4＋2m＋n＋3＝0整理可得n＝﹣2m﹣7；(2)∵△＝m2﹣4(n＋3)＝m2﹣4(﹣2m﹣7)＝m2＋8m＋28＝(m＋4)2＋12＞0∴一元二次方程x2＋mx＋n＝0有两个不相等的实根∴抛物线y＝x2＋mx＋n与x轴有两个交点.22.解：(1)4a；(2)当a＝﹣1时，∵关于x的方程﹣x2﹣4x＋c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解，即关于x的方程x2＋4x﹣c＝0在﹣3＜x＜1的范围内有解∴根的判别式＝16＋4c≥0，即c≥﹣4抛物线y＝x2＋4x＝(x＋2)2﹣4与直线y＝c在﹣3＜x＜1的范围内有交点.当x＝﹣2时，y＝﹣4；当x＝1时，y＝5.由图象可知：﹣4≤c＜5.(3)∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点(﹣2，﹣2)∴c＝4a﹣2∴抛物线对应的函数解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a﹣2＝a(x＋2)2﹣2.方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上.∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2∴当﹣1≤x≤0时，y随x增大而增大.∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4由图象可知：4a﹣2＝4.∴a＝3 2 .②当a＜0时，抛物线开口向下. ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2∴当﹣1≤x≤0时，y随x增大而减小. ∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4由图象可知：4a﹣2＝﹣4.∴a＝﹣1 2 .综上所述：a＝32或a＝﹣12.。

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(55)一、解答题1．如图①，抛物线y=ax 2上有一点C ，CA ⊥y 轴于点A ，直线l ：y=﹣1垂直于y 轴，CB ⊥l 于点B ，且CA=CB=2，点A 的坐标是（0，1）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，若点P 是抛物线上的任意一点，PD ⊥l ，垂足为D ，则总有PA=PD 吗？请经过计算验证你的结论；（3）在（2）的条件下，连接AD ，当△PAD 是等边三角形时，求点P 的坐标．2．如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y=4-x 于C 、D 两点．抛物线y=ax 2+bx+c 经过O 、C 、D 三点． （1）求抛物线的表达式；（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，二次函数()2y 2x m =++的图象与y 轴交于点C ，点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y kx b =+的图象经过二次函数图象上的点()1,0A -及点B ．（1）求二次函数的解析式（2）根据图象，写出满足()22x m kx b ++≥+的x 取值范围．4．已知抛物线y＝34x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k+1的顶点在坐标轴上，求k的值．5．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；6．（1）求二次函数y＝x2－4x＋1图象的顶点坐标，并指出当x在何范围内取值时，y随x 的增大而减小；（2）若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与坐标轴有2个交点，求字母c应满足的条件．7．先阅读理解下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式＞0.解：令y=，画出y=如图所示，由图像可知：当x＜1或x＞2时，y＞0.所以一元二次不等式＞0的解集为x＜1或x＞2.填空：（1）＜0的解集为；（2）＞0的解集为；用类似的方法解一元二次不等式＞0.8．为了改善市民的生活环境,我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场．在Rt△内修建矩形水池,使顶点、在斜边上,、分别在直角边、上;又分别以、、为直径作半圆,它们交出两弯新月（图中阴影部分）,两弯新月部分栽植花草;其余空地铺设地砖．其中米324=AB ,︒=∠60BAC ．设x EF =米,y DE =米．（1）求y 与x 之间的函数解析式;（2）当x 为何值时,矩形的面积最大?最大面积是多少?（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积,并求当x 为何值时,矩形的面积等于两弯新月面积的31?9．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．（1）求b 、c 的值；（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．10．（2015秋•吴中区期末）如图，抛物线y=x 2﹣3x+k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣4）．（1）k= ；（2）点A的坐标为，B的坐标为；（3）设抛物线y=x2﹣3x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积．11．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k2+1=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若抛物线y=x2﹣（k+1）x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点O的距离分别为OA、OB，且满足OA+OB﹣4OA•OB+5=0，求k的值．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13．已知抛物线（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知y轴上一点A（0，-2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点 N，使以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．14．已知二次函数y=12x 2﹣x+m 的图象经过点A(1，﹣2) (1)求此函数图像与坐标轴的交点坐标；(2)若P(-2，y 1)，Q(5，y 2)两点在此函数图像上，试比较y 1，y 2的大小 15．已知二次函数2221y x mx m =-+-（m 为常数）．（1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有公共点．（2）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像的顶点都在函数2(1)y x =--的图像上． （3）已知点(,1)A a -、(2,1)B a +-，线段AB 与函数2(1)y x =--的图像有公共点，则a 的取值范围是__________．16．已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3．（1）抛物线与x 的交点坐标是 ，顶点是 ．（2）选取适当的数据填入下表．在直角坐标系中利用五点法画出此抛物线的图象． X … … y……（3）结合函数图象，回答下题：若抛物线上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）的横坐标满足x 1＜x 2＜1比较y 1，y 2的大小： ．当y ＜0，自变量x 的取值范围是 ．17．如图，抛物线经过点A（1,0），与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出P点坐标．18．某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100~150亩稻田，预计原360亩稻田今年每亩可收益440元，新增稻田x今年每亩的收益为（440-2x）元，试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收入最大？最大收益是多少？19．已知二次函数的图象是由函数的图象向左平移一个单位得到．反比例函数与二次函数的图象交于点A（1，n）．（1）求a，p，q，m，n的值；（2）要使反比例函数和二次函数在直线的一侧都是y随着x的增大而减小，求t的最大值；（3）记二次函数图象的顶点为B，以AB为边构造矩形ABCD，边CD与函数相交，且直线AB与CD的距离为，求出点D，C的坐标．20．如图，已知直线y=x与抛物线y=x2交于A、B两点．（1）求交点A、B的坐标；（2）记一次函数y=x的函数值为y1，二次函数y=x2的函数值为y2.若y1＞y2，求x的取值范围．【答案与解析】一、解答题1．（1）y=x2；（2）若点P是抛物线上的任意一点，PD⊥l，垂足为D，则总有PA=PD，证明见解析；（3）当△PAD是等边三角形时，点P的坐标（，），（﹣，）．试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得AP的长，根据点到直线的距离，可得PD的长，可得答案；（3）根据等边三角形的定义，可得AD=PD，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．解：（1）由A（0，1），AC=2，得C（2，1）．将C点坐标代入函数解析式，得1=4a．解得a=，抛物线的解析式为y=x2；（2）若点P是抛物线上的任意一点，PD⊥l，垂足为D，则总有PA=PD，证明：设P（m，m2），AP2=m2+（m2﹣1）2=（m2+1）2，PD2=（m2+1）2，∴AP2=PD2，∴AP=PD；（3）设P（m，m2），D（m，﹣1），A（0，1），当△PAD是等边三角形，得PA=PD=AD．即AD2=PD2，m2+（m2）2=（m2+1）2．化简，得m2=2，解得m=或m=﹣．当m=时，m2=，即P（，）；当m=﹣时，m2=，即P（﹣，）；综上所述：当△PAD是等边三角形时，点P的坐标（，），（﹣，）．考点：二次函数综合题．2．（1）抛物线解析式为y=-x2+x，（2）或或m=．试题分析：（1）先确定出点C，D的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式，（2）根据题意设出点M的坐标，表示出点N坐标，以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形只要AC=MN，用它建立方程求出m即可．试题解析：（1）∵过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点，∴点C（1，3），D（3，1），∵抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点，∴c=0，a+b=3，9a+3b=1．∴a=-，b=，c=0，∴抛物线解析式为y=-x2+x，（2）∵A（1，0），C（3.0），∴AC=3，∵AC⊥x轴，MN⊥x轴，∴AC∥MN，∵以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，∴AC=MN，∵点D坐标为（3，1），∴直线OD解析式为y=x，∵点M为直线OD上的一个动点，∴设M（m，m），∴N（m，-m2+m），∴MN=|-m2+m-m|=|4m2-12m|，∵AC=MN，∴|4m2-12m|=3，∴|4m2-12m|=9，①当4m2-12m＞0时，即m＜0，或m＞4，∴4m 2-12m=9， ∴m=，∴点M 的横坐标为或，②当4m 2-12m ＜0时，即0＜m ＜4，∴4m 2-12m=-9， ∴m=，即：存在符合条件的点M ，求此时点M 的横坐标为或或m=．考点：二次函数综合题.3．（1）()221y x =+-；（2）4x ≤-或1x ≥-（1）先利用待定系数法先求出m ，即可求得二次函数的解析式．（2）先求得点B 坐标，再根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x 的取值范围．（1）∵抛物线()2y 2x m =++经过点A （-1，0）， ∴01m =+， ∴1m =-，∴抛物线解析式为()2y 21x =+-；（2）∵抛物线解析式为22(2)143y x x x =+-=++，∴点C 坐标（0，3），∵对称轴2x =-，B 、C 关于对称轴对称， ∴点B 坐标（-4，3）， 由图象可知，当4x ≤-或1x ≥-，二次函数()2y 2x m =++的图象在直线y kx b =+的上方， ∴()22x m kx b ++≥+的x 取值范围为4x ≤-或1x ≥-． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． 4．12，2或-1 根据题意，利用分类讨论的方法可以分别求得相应的k 的值． 当抛物线y=34x 2-（2k-1）x+k 2-k+1的顶点在y 轴上时，。

二次函数与一元二次方程（习题）➢例题示范例：若一元二次方程(x-a)(x-b)（）的两个实数根分别为x1，x2，则实数a，b，x1，x2的大小关系为（）A．B．C．D．思路分析a，b可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴交点的横坐标，x1，x2可以看做抛物线y=(x-a)(x-b)与直线的交点的横坐标．如图所示，结合图象可得，．故选B．➢巩固练习1.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是（）A．B．C．D．或第1题图第2题图2.二次函数（a≠0）的图象如图所示，若（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．B．C．D．3.抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（）A．B．C．或D．或第3题图第4题图4.函数的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（）A．B．C．D．或5.如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（）A．B．C．D．第5题图第6题图6.如图，若抛物线与双曲线的交点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是（）A．B．C．D．7.坐标平面上，若平移二次函数y=2(x-175)(x-176)+6的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（）A．向上平移3个单位B．向下平移3个单位C．向上平移6个单位D．向下平移6个单位8.设一元二次方程（）的两根分别为α，β，且，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；的解集为_____________．9.若二次函数的图象与直线没有交点，求的取值范围．10.已知P(-3，m)和Q(1，m)是抛物线上的两点．（1）求b的值；（2）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x轴的交点情况．11.已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个交点，则C1的顶点坐标为__________．12.若关于x的一元二次方程无实数根，则函数的图象顶点在第______象限．13.抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：①一元二次方程的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)；③在对称轴右侧，y随x的增大而_________．（2）确定抛物线的解析式，并求出该函数的最值．➢思考小结1.对于二次函数和一元二次方程的关系，尝试着进行总结：①函数与x轴交点坐标，与方程的根：__________________________________________．②函数与x轴交点个数，与方程解的个数：当时，函数与x轴有____个交点，方程有______根；当时，函数与x轴有_____个交点，方程有_______根；当时，函数与x轴______交点，方程________根．【参考答案】➢巩固练习1. A2. C3. B4. D5. D6. D7. D8.1＜α＜β＜3；α＜x＜β9.10.（1）b=4 （2）无交点11.(-1，0)12.一13.（1）①x1=-2，x2=1 ②8 ③增大（2）y=2x2+2x-4，最小值：➢思考小结1.①函数与轴交点的横坐标即为方程的根②两，两；一，一；无，无．。

2020年人教版九年级数学上册22.2《二次函数与一元二次方程》课后练习1.抛物线y=2x2-2x+1与坐标轴的交点个数是( )A.0B.1C.2D.32.已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4),B(8,2),如图所示,能使y1>y2成立的x的取值范围是( )A.x<-2B.-2<x<8C.x>8D.x<-2或x>83.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则方程ax2+bx+c=0的两根之和为.4.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,自变量x与函数值y的部分对应值如下表:x …-1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …则当y>0时,x的取值范围是.5.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m的取值范围是.6.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k≤4且k≠3B.k<4且k≠3C.k<4D.k≤47.若抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),则(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)= .8.如图,二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,则四边形OCDA的面积的最大值是.9.如图,抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A(3,0).以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,再以BD为边向上作正方形BDEF,则点E的坐标是.10.已知二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,则k的取值范围是( )A.k>-B.k≥-且k≠0C.k≥-D.k>-且k≠011.根据下列表格的对应值:x 3.23 3.24 3.25 3.26y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09判断方程ax2+bx+c=0(a≠0,a、b、c为常数)的一个解x的范围是( )A.3.00<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.2612.若抛物线y=x2-(2k+1)x+k2+2与x轴有两个交点,则整数k的最小值是.13.若函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,则m的值为( )A.-2或3B.-2或-3C.1或-2或3D.1或-2或-314.如图,平面直角坐标系中,点M是直线y=2与x轴之间的一个动点,且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点,则方程x2+bx+c=1的解的个数是( )A.0或2B.0或1C.1或2D.0,1或215.二次函数y=x2+x+c的图象与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2,点P(m,n)是图象上一点,那么下列判断正确的是( )A.当n<0时,m<0B.当n>0时,m>x2C.当n<0时,x1<m<x2D.当n>0时,m<x116.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+n>ax2+bx+c的解集是.17.已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m是常数.(1)求证:无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点;(2)若该抛物线的对称轴为直线x=.①求该抛物线的函数解析式;②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点?18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”,[a,b,c]称为“抛物线三角形系数”,若抛物线三角形系数为[-1,b,0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形,则b的值为( )A.±2B.±3C.2D.319.若m,n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)+2=0的两根,且a<b,则a,b,m,n的大小关系是(用“<”连接).参考答案1.答案为：C 因为Δ=b2-4ac=(-2)2-4×2×1=0,所以抛物线与x轴有一个交点,因为c=1,所以抛物线与y轴相交于(0,1),故抛物线与坐标轴有2个交点,故选C.2.答案为：D 由图象看出当x<-2或x>8时,二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)的图象在一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象的上方,∴能使y1>y2成立的x的取值范围是x<-2或x>8.3.答案为：4解析：设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)和x轴交点横坐标为x1和x2,∵其对称轴为x=(x1+x2)=2,∴x1+x2=4,即方程ax2+bx+c=0的两根之和为4.4.答案为：-1<x<3解析：由题表可得x=0和x=2时,y=3,则此二次函数图象的对称轴为直线x=1.易知当x=-1,以及x=3时,y=0,且图象开口向下,故当y>0时,x的取值范围是-1<x<3.5.答案为：m>解析：∵二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,∴m+5>0,Δ<0,∴m>-5,4(m+1)2-4(m+5)×m<0,解得m>.6.答案为：D 当k-3=0,即k=3时,此函数为一次函数,它的图象与x轴有交点;当k-3≠0,即k≠3时,此函数为二次函数,若它的图象与x轴有交点,则Δ=22-4×(k-3)×1≥0,解得k≤4.综上,k的取值范围是k≤4.故选D.7.答案为：2 019解析：∵抛物线y=x2-2 018x+2 019与x轴的两个交点为(m,0)与(n,0),∴m2-2 018m+2 019=0,n2-2 018n+2 019=0,m+n=2 018,mn=2 019,∴(m2-2 019m+2 019)(n2-2 019n+2 019)=-m·(-n)=mn=2 019.8.答案为：8答案为：在y=-x2-x+2中,当x=0时,y=2,∴C(0,2),当y=0时,有-x2-x+2=0,解得x=-4或x=1,∴点A(-4,0)、B(1,0),∵点D(m,n)是抛物线在第二象限的部分上的一动点,∴D,过点D作DH ⊥x轴于点H,则DH=-m2-m+2,AH=m+4,HO=-m,∵S四边形OCDA=S△ADH+S四边形OCDH,∴S=(m+4)×+×(-m)=-m2-4m+4=-(m+2)2+8(-4<m<0),则m=-2时,S取得最大值,最大值为8.9.答案为：(+1,+1)解析：∵抛物线y=ax2-x-与x轴正半轴交于点A(3,0),∴9a-3-=0.解得a=.以OA为边在x轴上方作正方形OABC,延长CB交抛物线于点D,∴点B的坐标为(3,3),点D的纵坐标为3,将y=3代入y=x2-x-得,3=x2-x-.解得x1=1+,x2=1-(舍去).∴点D的坐标为(1+,3).∴BD=1+-3=-2.∴DE=-2.∴点E的纵坐标为-2+3=+1,横坐标为+1.∴点E的坐标为(+1,+1).10.答案为：B ∵二次函数y=kx2-5x-5的图象与x轴有交点,∴Δ=b2-4ac=25+20k≥0,且k≠0,解得k≥-,且k≠0.故选B.11.答案为：C 由题中表格知,当x=3.24时,y=-0.02;当x=3.25时,y=0.03,∴方程ax2+bx+c=0的一个解x的范围是3.24<x<3.25.故选C.12.答案为：2解析：由题意得[-(2k+1)]2-4(k2+2)>0,解得k>,故整数k的最小值是2.13.答案为：C 当m=1时,函数解析式为y=-6x+,是一次函数,图象与x轴有且只有一个交点;当m≠1时,函数为二次函数,∵函数y=(m-1)x2-6x+m的图象与x轴有且只有一个交点,∴(-6)2-4×(m-1)×m=0,解得m=-2或3,故选C.14.答案为：D 分三种情况:点M的纵坐标小于1,即点M在直线y=1下方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是2;点M的纵坐标等于1,即点M在直线y=1上,则方程x2+bx+c=1的解的个数是1;点M的纵坐标大于1,即点M在直线y=1上方,则方程x2+bx+c=1的解的个数是0.故方程x2+bx+c=1的解的个数是0,1或2.故选D.15.答案为：C 由已知得,函数图象开口向上,对称轴在y轴左侧,画出草图(如图),当n>0时,m<x1或m>x2;当n<0时,x1<m<x2.故选C.16.答案为：x<-1或x>4解析：观察函数图象可知:当x<-1或x>4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.17.解析：(1)证明:∵y=(x-m)2-(x-m)=(x-m)(x-m-1),∴令y=0,得x1=m,x2=m+1.∵m≠m+1,∴无论m为何值,该抛物线与x轴一定有两个公共点(m,0),(m+1,0).(2)①∵y=(x-m)(x-m-1)=x2-(2m+1)x+m(m+1),∴该抛物线的对称轴为直线x=-=,又该抛物线的对称轴为x=,∴=,解得m=2,∴该抛物线的函数解析式为y=x2-5x+6.②∵y=x2-5x+6=-,∴该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后,得到的抛物线与x轴只有一个公共点.18.答案为：A ∵抛物线三角形系数为[-1,b,0],∴抛物线的解析式为y=-x2+bx=-+,∴顶点坐标为,令y=0,则-x2+bx=0,解得x1=0,x2=b,∴与x轴的交点坐标为(0,0),(b,0),∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形,∴=|b|,∴b2=2b或b2=-2b,∴b=0或b=2或b=-2.∵当b=0时,抛物线与x轴只有一个交点(0,0),∴b=0不符合题意,∴b=2或b=-2,故选A.19.答案为：a<m<n<b解析：∵(x-a)(x-b)+2=0,∴(x-a)(x-b)=-2,∴m、n可看作抛物线y=(x-a)(x-b)与直线y=-2的两交点的横坐标, ∵抛物线y=(x-a)(x-b)与x轴的两交点坐标为(a,0),(b,0),又a<b,m<n,∴a<m<n<b.。

22.2二次函数与一元二次方程1．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－1所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的解是________，________；(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是________，________，∴抛物线y＝x2＋3x＋2与x轴的公共点坐标是________和________．图22－2－12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图22－2－2所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是()图22－2－2A．x1＝－3，x2＝1 B．x1＝3，x2＝1 C．x＝－3 D．x＝－23．若二次函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为()A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝－2，x2＝6 C．x1＝32，x2＝52 D．x1＝－4，x2＝04．已知抛物线y＝x2－6x＋m－1，当m________时，抛物线与x轴有两个公共点；当m________时，抛物线与x轴有唯一公共点；当m________时，抛物线与x轴没有公共点．5．抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的公共点个数是()A．3 B．2 C．1 D．06．若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝________．7．如图22－2－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，则方程ax2＋bx＋c＝0的一个根可能是()图22－2－3A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.458．下表是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的4组x，y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的取值范围是()A.3.00＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.269．如图22－2－4是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是()图22－2－4A．－1<x<5 B．x>5 C．x<－1 D．x<－1或x>5 10．如图22－2－5，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于A(－1，p)，B(4，q)两点，则关于x的不等式mx＋n>ax2＋bx＋c的解集是____________．图22－2－511．已知抛物线y＝x2－2x＋1与x轴的一个公共点为(m，0)，则代数式m2－2m＋2021的值为()A．2018 B．2019C．2020 D．202112．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象如图22－2－6所示，则下列结论正确的是( )图22－2－6A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0B ．－b2a ＝1C ．a ＋b ＋c ＜0D ．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝－1有两个不相等的实数根13．[2019·烟台] 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0＜x ＜4时，y ＞0；④抛物线与x 轴的两个公共点间的距离是4；⑤若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上两点，则x 1＜x 2.其中正确结论的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．514．2018·河北对于题目“一段抛物线L ：y ＝－x(x －3)＋c(0≤x≤3)与直线l ：y ＝x ＋2有唯一公共点．若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c ＝3或4，则( )A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确15．若关于x 的一元二次方程a(x ＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x 1＝－1，x 2＝3，则抛物线y ＝a(x ＋m －2)2－3与x 轴的公共点坐标为__________________________________． 16．2018·云南已知二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，3)，B(－4，－92)两点． (1)求b ，c 的值． (2)二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴是否有公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，请说明理由．17．如图22－2－7，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；(2)求直线AC的解析式；(3)设点M是第二象限内抛物线上的一点，且S△MAB＝6，求点M的坐标；(4)若点P在线段BA上以每秒1个单位长度的速度从B向A运动(不与点B，A重合)，同时点Q在射线AC上以每秒2个单位长度的速度从A开始运动．设运动时间为t秒，请求出△APQ的面积S与t之间的函数解析式，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少．图22－2－7答案1．(1)x1＝－3x2＝1(2)x1＝－2x2＝－1(－2，0)(－1，0)2．A[解析] ∵抛物线与x轴的一个公共点是(1，0)，对称轴是直线x＝－1，∴抛物线与x轴的另一个公共点是(－3，0)．故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝－3，x2＝1.故选A.3．A[解析] 因为函数y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，其对称轴为y轴，所以它与x 轴的另一公共点为(2，0)．根据二次函数与对应的一元二次方程的关系可得x－2＝－2或x －2＝2，解得x1＝0，x2＝4.4．＜10＝10＞10[解析] Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4(m－1)＝－4m＋40.当Δ＞0，即－4m＋40＞0，m＜10时，抛物线与x轴有两个公共点；当Δ＝0，即－4m＋40＝0，m＝10时，抛物线与x轴有唯一公共点；当Δ<0，即－4m＋40<0，m＞10时，抛物线与x轴没有公共点．5．A6．4[解析] 二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，说明“Δ＝b2－4ac ＝0”，即(－4)2－4×1·n＝0.所以n＝4.7．D[解析] ∵图象上有两点分别为A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，∴当x＝2.18时，y＝－0.51；当x＝2.68时，y＝0.54.∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项D符合．故选D.8．C[解析] 由表格看出，当x＝3.24时，y＝－0.02，当x＝3.25时，y＝0.03，∴当y＝0时，3.24＜x＜3.25.即方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的取值范围是3.24＜x＜3.25.故选C .9．D [解析] 观察图象可知抛物线的对称轴为直线x ＝2，且抛物线与x 轴的一个公共点坐标是(5，0)．依据抛物线的对称性可求出抛物线与x 轴的另一个公共点坐标为(－1，0)．由二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是x<－1或x ＞5.故选D .10．x ＜－1或x ＞4 [解析] 由函数图象可知：在点A 的左侧和点B 的右侧，一次函数的图象在二次函数的图象的上方．∵A(－1，p)，B(4，q)，∴关于x 的不等式mx ＋n ＞ax 2＋bx ＋c 的解集是x ＜－1或x ＞4.11．C [解析] ∵抛物线y ＝x 2－2x ＋1与x 轴的一个公共点为(m ，0)．∴m 2－2m ＋1＝0.∴m 2－2m ＝－1.∴m 2－2m ＋2021＝－1＋2021＝2020.故选C .12．D [解析] (1)∵抛物线的开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴－b2a ＞0.∴b ＞0.∵抛物线与y 轴的负半轴相交，∴c ＜0.可见选项A 错误．(2)∵对称轴在直线x ＝1的右侧，∴－b2a＞1.可见选项B 错误．(3)∵抛物线经过点(1，0)，∴当x ＝1，y ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.可见选项C 错误． (4)由图象可知，y 的最大值是1，∴直线y ＝－1与抛物线有两个公共点，即关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝－1有两个不相等的实数根．可见选项D 正确．综上所述，只有选项D 中的结论是正确的，故选D . 13．B 14.D15．(1，0)，(5，0) [解析] ∵关于x 的一元二次方程a(x ＋m)2－3＝0的两个实数根分别为x 1＝－1，x 2＝3，∴抛物线y ＝a(x ＋m)2－3与x 轴的两个公共点坐标是(－1，0)，(3，0)．抛物线y ＝a(x ＋m －2)2－3是将抛物线y ＝a(x ＋m)2－3向右平移2个单位长度得到的， ∴抛物线y ＝a(x ＋m －2)2－3与x 轴的公共点坐标是(1，0)，(5，0)． 16．解：(1)把A(0，3)，B(－4，－92)分别代入y ＝－316x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，－316×16－4b ＋c ＝－92，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝98，c ＝3. (2)有．由(1)可得该二次函数的解析式为y ＝－316x 2＋98x ＋3. 当y ＝0时，－316x 2＋98x ＋3＝0.∵Δ＝b 2－4ac ＝(98)2－4×(－316)×3＝22564＞0，∴二次函数y ＝－316x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有公共点． ∵－316x 2＋98x ＋3＝0的解为x 1＝－2，x 2＝8，∴公共点的坐标是(－2，0)，(8，0)．17．解：(1)令－x 2－2x ＋3＝0， 解得x 1＝－3，x 2＝1. 所以A(－3，0)，B(1，0)． 令x ＝0，则y ＝3，所以C(0，3)．(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝3，所以直线AC 的解析式为y ＝x ＋3. (3)设点M 的坐标为(x ，－x 2－2x ＋3)． 因为A(－3，0)，B(1，0)，所以AB ＝4.因为点M 在第二象限，所以－x 2－2x ＋3＞0.所以12(－x 2－2x ＋3)×4＝6，解得x 1＝0(不合题意，舍去)，x 2＝－2.所以y M ＝－(－2)2－2×(－2)＋3＝3. 所以点M 的坐标为(－2，3)．(4)由题意，得BP ＝t ，AQ ＝2t ，则AP ＝4－t. 因为AO ＝3，CO ＝3，所以△AOC 是等腰直角三角形． 因为点Q 在射线AC 上，且AQ ＝2t ， 所以点Q 的纵坐标为2t ，则S ＝12×2t×(4－t)＝－22t 2＋2 2t(0<t<4)．因为S ＝－22(t 2－4t ＋4－4)＝－22(t －2)2＋2 2，所以当t ＝2时，△APQ 的面积最大，最大面积是2 2.。

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (3)一、解答题1．（1）已知二次函数c ax y +=2的图像经过点（-2，8）和（-1，5），求这个函数的表达式；（2）已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式．2．已知二次函数y ＝x 2＋（k －1）x －2k －3．（1）求证：该二次函数图像与x 轴总有两个公共点；（2）若点A （－1，y 1）、B （1，y 2）在该二次函数的图像上，且y 1＞y 2，求k 的取值范围．3．已知点P （﹣1，n ）和Q （3，n ）都在二次函数y=x 2+bx ﹣1的图象上．（1）求b 、n 的值；（2）将二次函数图象向上平移几个单位后，得到的图象与x 轴只有一个公共点？4．抛物线y=ax 2+bx +c 的对称轴为直线x=1，该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B ，与y 轴的交点为C ，其中A （﹣1，0）．（1）写出B 点的坐标_____；（2）若抛物线上存在一点P ，使得△POC 的面积是△BOC 的面积的2倍，求点P 的坐标； （3）点M 是线段BC 上一点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点D ，求线段MD 长度的最大值．5．如图, 已知抛物线2y ax bx c =++经过A （-2，0）、B （4，0）、C （0，4）三点． （1）求此抛物线的解析式；（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；（3）若点D （2，m ）在此抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△BDP 是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为m，点P的横坐标为x，求m 与x的函数关系式，并求出m的最大值．7．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A 、B 两点，如果直线y=m 与、的图象形成的封闭曲线交于C 、D 两点（C 在左侧），直线y=﹣m 与、的图象形成的封闭曲线交于E 、F 两点（E 在左侧），求证：四边形CEFD 是平行四边形．8．已知函数2321y x x =--，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标9．抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴分别交于点A （-2，0）和点B ，与y 轴交点C 的坐标为（0，-6）．（1）求抛物线的表达式并在图2中直接绘出图像；（2）阅读：我们知道，平行线间距离处处相等，这个原理也常被用于图形等面积转换，如图1，在l 1//l 2，A （1，-2）、B （-3，1）、C （1，2）分别在l 1、l 2上，求两直线解析式即两直线距离；（3）点E 为抛物线顶点，F 为抛物线上对称轴右侧的一个动点，当△CBF 和△CEB 面积相等时，求F 点坐标．10．（12分）为了节能环保，新建的阜益路上路灯都是太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，有甲、乙两经销商销售此产品．甲用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元．（1）分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；（2）若政府投资120万元，最多能购买多少个太阳能路灯？11．（1）已知二次函数y=2ax +bx+1的图象经过点（1，3）和（3，﹣5），求a 、b 的值；（2）已知二次函数y=2x -+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1和2．求这个二次函数的表达式．12．已知：关于的一元二次方程(m-1)x 2+(m-2)x-1=0（m 为实数）（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y=(m-1)x 2+(m-2)x-1总过x 轴上的一个固定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+(m-2)x-1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=(m-1)x 2+(m-2)x-1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．13．已知抛物线y=-3x 2+12x-9.(1)求它的对称轴;(2)求它与x 轴的交点A ,B 的坐标(点A 在点B 左边),以及与y 轴的交点C 的坐标.14．已知二次函数y=12x 2+bx+c 的图象经过点A （﹣3，6），并与x 轴交于点B （﹣1，0）和点C ，与y 轴交于点E ，顶点为P ，对称轴与x 轴交于点D（Ⅰ）求这个二次函数的解析式；（Ⅱ）连接CP ，△DCP 是什么特殊形状的三角形？并加以说明；（Ⅲ）点Q 是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO ，求出点Q 的坐标． 15．已知函数2y x 2x 3=--． ()1画出此函数的图象；(要求：列表、描点、连线)()2若方程2x 2x 3k --=有实数解，则实数k 的取值范围为______．16．如图所示,矩形ABCD 的边AB=3,AD=2,将此矩形置入直角坐标系中,使AB 在x 轴上,点C 在直线y=x-2上.(1)求矩形各顶点坐标;(2)若直线y=x-2与y 轴交于点E,抛物线过E 、A 、B 三点,求抛物线的关系式;(3)判断上述抛物线的顶点是否落在矩形ABCD 内部,并说明理由.17．已知二次函数y ＝x 2﹣4x +3（1）利用配方法求抛物线y ＝x 2﹣4x +3的对称轴和顶点坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，求△ABC 的面积．18．如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ，（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使21y y <的x 的取值范围．19．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）该运动员身高1.7米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？．20．可以用如下方法估计方程22100x x +-=的解：当x =2时，2210x x +-=-2<0，当x =-5时，2210x x +-=5>0，所以方程有一个根在-5和2之间．（1）参考上面的方法，找到方程22100x x +-=的另一个根在哪两个连续整数之间； （2）若方程220x x c ++=有一个根在0和1之间，求c 的取值范围．【答案与解析】一、解答题1．（1）y=x 2+4；（2）y=-2（x+1）2-3． 试题分析：（1）根据待定系数法，把两点代入函数解析式，可求得函数的解析式；（2）根据已知顶点，可设顶点式的解析式，然后把与y 轴的交点代入可求解析式． 试题解析：解：将（-2，8）和（-1，5）分别代入y=ax 2+c ， 得485a c a c +=⎧⎨+=⎩解得14a c =⎧⎨=⎩∴y=x 2+4； （2）设y=a （x+1）2-3将（0，-5）代入，得a-3=-5解得a=-2∴y=-2（x+1）2-3． 考点：待定系数法求函数的解析式2．（1）答案见解析；（2）k ＜1．分析：（1）根据△恒大于0即可证明；（2）将x=-1和x=1代入y ＝x 2＋（k －1）x －2k －3,再根据12y y >，可得结果.本题解析：（1）由题意得，令0y =，得到方程()21230x k x k +---= a ＝1，b ＝k ﹣1，c ＝﹣2k ﹣3，则b 2﹣4ac ＝（k ﹣1）2﹣4（﹣2k ﹣3）＝k 2＋6k ＋13＝（k ＋3）2＋4，．∵()230k +≥，∴（k ＋3）2＋4＞0，即240b ac ->，∴方程()21230x k x k +---=有两个不相等的实数根∴二次函数图像与x 轴有两个公共点． ．（2）∵A （－1，y 1）、B （1，y 2）在该二次函数的图像上，∴y 1＝1﹣（k ﹣1）﹣2k ﹣3＝﹣3k ﹣1，y 2＝1+k ﹣1﹣2k ﹣3＝﹣k ﹣3，又∵y 1＞y 2，∴﹣3k ﹣1＞﹣k ﹣3，解得k ＜1． ． （另解：数形结合，根据图像可得：102k -->，解得k ＜1） 点睛：本题考查了抛物线与x 的交点、二次函数y=ax²+bx+c(b ，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系，△=b²-4ac 决定抛线与x 轴的交点个数．△=b²-4ac>0，抛物线与x 轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．（1）b=-2，n=2；（3）二次函数图象向上平移2个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．试题分析：（1）先利用抛物线的对称性可确定抛物线的对称轴方程，从而可求出b的值，然后计算自变量为3所对应的函数值即可得到n的值；（2）设平移后抛物线的关系式为y＝x2－2x－1＋k，根据判别式的意义△＝0得到关于k的方程，然后解方程求出k的值即可判断抛物线向上平移的距离．试题解析：解：（1）∵点P（﹣1，n）和Q（3，n）都在二次函数y＝x2＋bx﹣1的图象上，且两点纵坐标都为n，∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，∴抛物线对称轴是直线x ＝＝1，∴﹣＝1，解得b＝﹣2，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣1，当x＝3时，n＝32﹣2×3﹣1＝2；（2）设平移后抛物线的关系式为y＝x2﹣2x﹣1＋k，∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，∴△＝4＋4﹣4k＝0，解得k＝2，即将二次函数图象向上平移2个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．点睛：本题考查了二次函数与x轴的交点，关键是掌握对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．（3，0）分析：（1）直接利用二次函数的对称性得出B点坐标即可；（2）利用三角形面积求法结合抛物线上点的坐标性质得出答案；（3）结合题意得出MD的函数关系式，进而得出答案．详解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，该抛物线与x轴的两个交点分别为A和B，与y轴的交点为C，其中A（﹣1，0），∴B点的坐标为：（3，0）；故答案为：（3，0）；（2）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，A（﹣1，0），B（3，0），则93012a b ca b cba⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪-=⎩，解得：123abc=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，故抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3，∴C （0，﹣3）． ∴193322BOC S ∆=⨯⨯=． ∴S △POC =2S △BOC =9． 设点P 的横坐标为x P ，求得x P =±6．代入抛物线的表达式，求得点P 的坐标为（6，21），（﹣6，45）．（3）由点B （3，0），C （0，﹣3），得直线BC 的表达式为y=x ﹣3，设点M （a ，a ﹣3），则点D （a ，a 2﹣2a ﹣3）．∴MD=a ﹣3﹣（ a 2﹣2a ﹣3）=﹣a 2+3a=23924a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭， ∴当32a =时，MD 的最大值为94． 点睛：此题主要考查了抛物线与x 轴的交点以及三角形面积求法，正确得出函数关系式是解题关键．5．（1）2142y x x =-++；（2）最大值为92；（3）符合条件的P 点的坐标为1(0? )2P ，或(0?2)P ，． 分析：（1）将A （-2，0）、B （4，0）、C （0，4）代入y=ax 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）由于二次项系数a=-12＜0，所以抛物线有最大值，最大值为244ac b a -，代入计算即可；（3）先将点D （2，m ）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出m 的值，得到点D 的坐标，然后假设在y 轴的正半轴上存在点P （0，y ）（y ＞0），使得△BDP 是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD ；②BP=BD ；③DP=DB ；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y 的方程，解方程即可．详解：（1）将A （-2，0）、B （4，0）、C （0，4）代入y=ax 2+bx+c ，得42016404a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪⎩＝＝＝， 解得：1214a b c ＝＝＝⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 所以此抛物线的解析式为y=-12x 2+x+4； （2）∵y=-12x 2+x+4，a=-12＜0， ∴抛物线有最大值，最大值为214()4192124()2⨯-⨯-=⨯-； （3）∵点D （2，m ）在抛物线y=-12x 2+x+4上， ∴m=-12×22+2+4=4， ∴D （2，4），∵B （4，0）， ∴假设在y 轴的正半轴上存在点P （0，y ）（y ＞0），使得△BDP 是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD ，那么42+y 2=22+（y-4）2，解得y=12， 所以P 1（0，12）； ②如果BP=BD ，那么42+y 2=20，解得y=±2（负值舍去）， 所以P 2（0，2）；③如果DP=DB ，那么22+（y-4）2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，（0，8）与D ，B 三点共线，不合题意舍去；综上可知，所有符合条件的P 点的坐标为P 1（0，12），P 2（0，2）．。

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题 (4)一、解答题1．二次函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表： x … -2 -1 0 1 2 … y =ax 2+bx +c…tm-2-2n…根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c 的值和该二次函数图象的对称轴； （2）写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =t 的根； （3）若m =-1，求此二次函数的解析式．2．已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0，2）、B （4，0）、C （5，-3）三点，当0x ≥时，其图象如图所示．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的顶点坐标； （2）求该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标．3．（2015秋•汉滨区期末）如图，二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数的解析式；（2）设直线AB 解析式为y 2，根据图形，确定当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．4．已知抛物线2221y x x m =--+，直线2y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ．（1）求证：抛物线与x 轴必有公共点；（2）若抛物线与x 轴交于A 、B 两点，且抛物线的顶点C 落在此直线上，求ABC 的面积；（3）若线段MN 与抛物线有且只有一个公共点，求m 的取值范围．5．如图，已知直线1y kx =-（k 为常数）经过抛物线24y x x m =-++上的点A(1，0)及抛物线的顶点B ．抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴的另一个交点为点D ．（1）求k 的值和点B 、D 的坐标；（2）根据图像，直接写出满足241x x m kx -++>-的x 的取值范围． 6．已知a 、b 满足（1）求a 、b 的值； （2）求二次函数图象与x 轴交点坐标；（3）写出（2）中，当y >0时，x 的取值范围．7．为深化“携手节能低碳，共建碧水蓝天”活动，发展“低碳经济”，某单位进行技术革新，让可再生资源重新利用．今年1月份，再生资源处理量为40吨，从今年1月1日起，该单位每月再生资源处理量每一个月将提高10吨．月处理成本（元）与月份之间的关系可近似地表示为：450100502++=x x p ，每处理一吨再生资源得到的新产品的售价定为100元．若该单位每月再生资源处理量为y （吨），每月的利润为w （元）． （1）分别求出y 与x ，w 与x 的函数关系式； （2）在今年内．．．．该单位哪个月获得利润达到5800元？ （3）随着人们环保意识的增加，该单位需求的可再生资源数量受限．今年三月的再生资源处理量比二月份减少了m%，该新产品的产量也随之减少，其售价比二月份的售价增加了m 6.0%．四月份，该单位得到国家科委的技术支持，使月处理成本比二月份的降低了20%．如果该单位四月份在保持三月份的再生资源处理量和新产品售价的基础上，其利润比二月份的利润减少了60元，求m 的值．8．如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣3与x 轴交于A （﹣1，0）he B （3，0）两点，交y 轴于点E ．（1）求次抛物线的解析式；（2）若点D是抛物线上的一点（不与点E重合），且S△ABD=S△ABE，求点D的坐标．9．在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);(2)若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.10．已知抛物线y=-x2-2x+c与x轴的一个交点是(1,0)．（1）C的值为_______；（2）选取适当的数据补填下表，并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像；x•••1-1•••y•••0•••（3）根据所画图像，写出y>0时x的取值范围是_____．11．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．（1）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当﹣2＜x ＜3时，观察图象直接写出函数y 的取值范围； （4）若直线y ＝k 与抛物线没有交点，直接写出k 的范围．12．在函数的学习中，读图能力是一项很重要的基本功.请仔细阅读如图，解决下列问题：（1）函数1(0)y x x x=+>在x = 时，有最小值y =最小 ； （2）依据（1）的结论，结合换元思想求1(1)1y x x x =+>-的最小值，并求函数值最小时的x 的取值； （3）求函数221223y x x x x =++++的最小值. 13．如图，Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，()2,2A ，//AC y 轴，2AC AB ==，抛物线21:()2L y x t t =--+(0)t >的顶点为M ，与y 轴交点为N .（1）设P 为BC 中点，直接写出直线AP 的函数表达式：______________. （2）求点N 最高时的坐标；（3）抛物线有可能经过点C 吗？请说明理由；（4）在L 的位置随t 的值变化而变化的过程中，求点M 在ABC ∆内部所经过路线的长.14．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值． 15．如图，抛物线（m ＞0）经过点A （0，m ），与x 轴交于点B 、点C ，抛物线的对称轴交抛物线和x 轴于点D 、点E ．（1）求点B 、点C 的坐标；（2）当∠BAC=90°时，求证：△ADE 是等腰直角三角形；（3）在（2）的条件下，除点D 外，第一象限内的抛物线上是否存在点P ，使△AEP 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．16．已知直线2721+=x y 与茹x 、y 轴分别相交于B ，A 两点，抛物线c bx ax y ++=2过A ，B 两点，且对称轴为直线3-=x ．（1）求A ，B 两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P 以1个单位/秒的速度从点B 沿x 轴向点O 运动．过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．设点P 运动的时间为t ，MN 的长度为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出当t 为何值时，S 取得最大值?（3）设抛物线的对称轴CD 与直线AB 相交于点D ，顶点为C ．问：在（2）条件不变情况下，是否存在一个t 值，使四边形CDMN 是平行四边形?若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．17．二次函数的图象顶点是(﹣1，4)，且过(2，﹣3) (1)求函数的解析式.(2)求出函数图象与坐标轴的交点. 18．在平面直角坐标系中，二次函数21262y x x =-++的图象交x 轴于点A ，B （点A 在点B 的左侧）.（1）求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出0y ≥时x 的取值范围.（2）把点B 向上平移m 个单位得到点1B ，若点1B 向左平移n 个单位，将与该二次函数图象上的点2B 重合；若点1B 向左平移()6n +个单位，将与该二次函数图象上的点3B 重合，已知0m >，0n >，求m ，n 的值.19．已知抛物线y ＝ax 2+（3b +1）x +b ﹣3（a ＞0），若存在实数m ，使得点P （m ，m ）在该抛物线上，我们称点P （m ，m ）是这个抛物线上的一个“和谐点”． （1）当a ＝2，b ＝1时，求该抛物线的“和谐点”；（2）若对于任意实数b ，抛物线上恒有两个不同的“和谐点”A 、B ． ①求实数a 的取值范围； ②若点A ，B 关于直线y ＝﹣x ﹣（21a +1）对称，求实数b 的最小值． 20．已知抛物线y=ax 2+bx+c 过点A （0，2），且抛物线上任意不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都满足：当x 1＜x 2＜0时，（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＞0；当0＜x 1＜x 2时，（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0．以原点O 为圆心，OA 为半径的圆与抛物线的另两个交点为B ，C ，且B 在C 的左侧，△ABC 有一个内角为60°． （1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．【答案与解析】一、解答题1．（1）c =-2，对称轴为直线12x =；（2）-2,3是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =t 的根；（3） 2112.22y x x =-- (1)根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可求得c 的值; (2)根据二次函数的对称性即可求得; (3)根据待定系数法求得即可. （1）c =-2，对称轴为直线12x =. （2）由对称性可知，-2,3是关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =t 的根. （3） 由题意知，二次函数的图象经过点（-1，-1），（0，-2），（1，-2）. ∴-1=2,2 2.a b a b --⎧⎨-=+-⎩解得 1,21.2a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴ 二次函数的解析式为2112.22y x x =-- 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，能熟练求解函数对称轴是解题的关键. 2．（1）213222y x x =-++，顶点坐标为325,28⎛⎫⎪⎝⎭；（2）图象与x 的另一个交点的坐标为（-1，0）．(1)把A 、B 、C 三点的坐标代入抛物线2y ax bx c =++，解方程组即可;将抛物线化成顶点式即可得出顶点坐标;(2)令y=0,得到方程，解方程即可．解：（1）依题意，得216402553c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=-⎩，解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为22131325222228y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∴顶点坐标为325,28⎛⎫⎪⎝⎭． （2）令2132022x x -++=， 解得：121,4x x =-=，∴图象与x 的另一个交点的坐标为(-1,0)． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式、与x 轴的交点：掌握待定系数法求函数解析式，和把求二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程是解题的关键．3．（1）y 1=﹣（x ﹣2）2．（2）0＜x ＜2．试题分析：（1）将点A （0，﹣1），代入抛物线解析式，即可求出a 值，进而确定二次函数解析式．（2）确定y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围即为抛物线图象在一次函数图形上方时对应的x 的取值范围，观察图形即可得出．解：（1）∵二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线交于A （0，﹣1），∴﹣1=a （x ﹣2）2，解得：a=﹣，∴二次函数的解析式为：y 1=﹣（x ﹣2）2．（2）∵二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线交于A （0，﹣1），B （2，0）两点，直线AB 解析式为y 2，∴y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围为0＜x ＜2．考点：二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式． 4．（1）见解析；（2）1；（3）3m =或13m <或31m -<-（1）根据根的判别式2=4∆-b ac 的正负性，即可求证；（2）利用顶点的特点，求得点C 的坐标，将点C 坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式，继而可得抛物线与x 的交点A 、B 坐标，继而根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出点M 、N 的坐标，再分两种情况讨论即可： 解：（1）∵()222(2)4140m m ∆=---+=≥ ∴抛物线与x 轴必有公共点．（2）∵2221y x x m =--+∴其定点C 的横坐标为1212--⨯= 又∵定点C 在直线2y x =-上，所以定点C 的坐标为(1,1)-把点(1,1)-代入抛物线2221y x x m =--+中，解得21m = ∴抛物线方程为22(2)y x x x x =-=- ∴抛物线与x 轴的交点分别为(0,0)和(2,0) ∴2AB =∴1121122ABC C SAB y =⋅=⨯⨯= （3）当0x =时，2y =-，则N 为(0,2)-当0y =时，20x -=，即M 为(2,0) ∵拋物线的对称轴为1x = ∴分两种情况：①由22221y x y x x m =-⎧⎨=--+⎩，得22330x x m --+=∴()22(3)410m ∆=---+=，解得m =时， 线段MN 与抛物线有且只有一个公共点；②当2210m --+<，解得13m<或1m <-时， 线段MN 与抛物线有且只有一个公共点．综上所述，m 的取值范围是m =或13m <或1m <-．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合问题，涉及到根的判别式，解题的关键是综合运用所学知识，特别是二次函数的性质，有一定的难度． 5．（1）1k =，B(2，1)，D(3，0)；（2）12x <<（1）将A 的坐标带入抛物线解析式 y=kx−1 即可得出k 的值，同理求出m 的值，然后利用配方法把一般式配为顶点式，即可得出B 、D 的坐标；（2）利用函数图像，写出二次函数图像在一次函数图像上方所对应的自变量的范围即可．。

第二十二章第2节《二次函数与一元二次方程方程》解答题(25)一、解答题1．阅读材料：已知两数的和为4，求这两个数的积的最大值．（1）解：设其中一个数为x ，则另一个数为（4﹣x ），令它们的积为y ，则： y=x （4﹣x ）=﹣x 2+4x =﹣（x ﹣2）2+4． ∵﹣1＜0，∴y 最大值=4．问题解决：（1）若一个矩形的周长为20cm ，则它面积的最大值为 cm 2． （2）观察下列两个数的积，猜想哪两个数积最大，并用二次函数的知识说明理由： 99×1.98×2.97×3.96×4，…，50×50．拓展应用：（3）若m 、n 为任意实数，则代数式（m ﹣2n ）（8﹣m+2n ）的最大值是 ，此时，m 和n 之间的关系式是 ．2．已知二次函数22169y x x t =-+-（1）当t=0时，试判断二次函数y 1的图象与x 轴是否有公共点，如果有，请写出公共点的坐标；（2）若二次函数y 1的图象与x 轴的两个不同公共点，且这两个公共点间的距离为8，求t 的值；3．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整．例题：求一元二次方程210x x --=的两个解．（1）解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：210x x --=；（2）解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解，如图1所示，把方程210x x --=的解看成是二次函数y= 的图象与x 轴交点的横坐标，即x 1，x 2就是方程的解．（3）解法三：利用两个函数图象的交点求解．①把方程210x x --=的解看成是一个二次函数y= 的图象与一个一次函数y= 的图象交点的横坐标；②画出这两个函数的图象，用x 1，x 2在x 轴上标出方程的解．4．（2015秋•顺义区期末）已知抛物线y=（m ﹣1）x 2+（m ﹣2）x ﹣1与x 轴相交于A 、B 两点，且AB=2，求m 的值．5．如图，对称轴为直线1x =的抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,C 连接,AC AD 、其中A 点坐标()1,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）直线332y x =-与抛物线交于点,,C D 与x 轴交于点,E 求ACD 的面积； （3）在直线CD 下方抛物线上有一点,Q 过Q 作QP y ⊥轴交直线CD 于点P .四边形PQBE 为平行四边形，求点Q 的坐标．6．如图，抛物线y=ax 2+bx-4a 的对称轴为直线x=32，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x ≤4时y 的取值范围；（2）已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，点D 关于直线BC 的对称点为点E ，求点E 的坐标．7．如图，抛物线y=﹣x ﹣4与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，P 是线段AB 上一动点（端点除外），过P 作PD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CP ．（1）直接写出A 、B 、C 的坐标；（2）求抛物线y=﹣x ﹣4的对称轴和顶点坐标；（3）求△PCD 面积的最大值，并判断当△PCD 的面积取最大值时，以PA 、PD 为邻边的平行四边形是否为菱形．8．已知一个二次函数的对称轴是x ＝1，图象最低点P 的纵坐标是﹣8，图象过（﹣2，10）且与x 轴交于A ，B 与y 轴交于C ．求：（1）这个二次函数的解析式；（2）△ABC 的面积．9．新定义：如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像经过点（-1，0），那么称此二次函数的图像为“定点抛物线”（1）试判断二次函数2257y x x =--的图像是否为“定点抛物线”（2）若定点抛物线22y x mx k =-+-与x 轴只有一个公共点，求k 的值． 10．已知二次函数的图象以()1,4A -为顶点，且过点()2,5B -．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将函数图象向左平移个单位，该函数图象恰好经过原点．11．（12分）如图所示，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣2，0）、B （4，0），其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上的一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）设P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为S，求S与x之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取值最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P′，请直接写出P′点的坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．12．如图所示，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，抛物线与x轴相交于O、M两点，OM=4；矩形ABCD的边BC在线段的OM上，点A、D在抛物线上．。