空间点线面的位置关系(优质课)

(1)证明的主要依据是公理3： 如果两个平面相交，则这两个平面的公共点共线； 如果两个平面相交，那么一个平面内的直线和另一平面的交点
必在这两个平面的交线上.
(2)证明的常用方法： ①首先找出两个平面，再证这三个点都是这两个平面的公共点； ②选择其中两点确定一条直线，然后证明另一个点也在其上（一 般地，这条直线看作某两个平面的交线，往证第三个点也是两个 面的公共点）； ③证明三线共点问题：先证明两条直线交于一个点，再证明第三 条直线经过这个点（转化为证明点在线上的问题）
G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连结EF，FG，GH，HE，求证：
EFGH是一个平行四边形.
证明：连结BD，
∵ EH是△ABD的中位线，
∴EH ∥BD且EH =
1 2
BD．
1
同理，FG ∥BD且FG = 2 BD．
∴EH ∥FG且EH =FG．
A
H E
D G
∴EFGH是一个平行四边形．
B
F
back
3.平面的基本性质
公理1： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
①图形语言：
A B C
②符号语言：
A, B,C不共线 有且只有一个平面，使得A, B ,C
3.平面的基本性质
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B aC
已知点A a，求证过点A和直线a可以确定一个平面.
3.平面的基本性质
(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表示: a // b,b // c a // c.
c
a
a
α
bc
注4：①平行具有传递性；
②该公理是判断空间两条直线平行的方法之一.即要证明两条 直线平行，一般利用第三条直线作为联系两直线的中间环节.
例 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线AB与C1D1 ，AD1与 BC1是什么位置关系？为什么？
5.证明三点共线、三线共点的问题
空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和CB上的点，G，H分别 是CD和AD上的点，且EH与FG相交于K. 求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.
分析：
A
已知EH∩FG=K，要证EH，BD，FG共点. 即要证明B，D，K三点共线.
E
H
而BD是面ABD和面CBD的交线.
练习
5.判断下列命题是否正确:
(1)平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点. ×
(2)经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个
平面. √ (3)经过两条相交直线,有且只有一个平面. √
(4)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个
平面重合. √
back
3.平面的基本性质
我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行,
§4 空间图形的基本关系与公理
空间图形是丰富的，它由一些基本的图形： 点、线、面组成.认识清楚它们的位置关系，对 于我们认识空间图形是很重要的.
观察长方体，你能发现长方体的顶点、棱所在的直线， 以及侧面、地面之间的关系吗？
长方体由上下、前后、左右六个面围成，有些面是平行的， 有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在 的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看作是某个面内 的直线等等.
那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
D'
C'
观察：在右图的长方体中，
BB '// AA', DD '// AA'，那么 A'
B'
BB '与DD '平行吗？
D
C
A
B
观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, …
之间有何关系？
abcde
a∥b ∥c ∥d ∥e ∥ …
又 D BD,CD, AD ,即AD, BD,CD共面.
4.点线共面问题
证明：一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面.
cB
已知：a//b，a∩c=A，b∩c=B. 求证：直线a，b，c共面.
Aa b
证明： 因为a//b，
所以直线a，b确定一个平面 .（推论3）
因为A∈a，B∈b，所以A∈，B∈.
不会！因为平面是无限延展的. 因此，两个平面有一个公共点，必然有无数个公共点， 并且这些公共点在一条直线上.
3.平面的基本性质
公理3：若两个不重合的平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线.
①图形语言：

P

l
②符号语言： P , P l P l
③该公理反映了平面与平面的位置关系：
解：1）∵AB∥A1B1， C1D1 ∥A1B1， D1
C1
∴ AB ∥ C1D1
A1
B1
2）∵AB ∥C1D1 ，且AB = C1D1
D
C
∴ ABC1D1为平行四边形
A
B
故AD1 ∥ BC1
练习：上例中，AA1与CC1，AC与A1C1的位置是什么关系？
例 已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，E，F，
A
又因为C, D分别为棱边的中点,
CD为 GEF的中位线.
B
DC // EF且DC 1 EF. 2
即DC // AB且DC 1 AB. 2
四边形ABCD为梯形.
back
4.点线共面问题
(1)证明的主要依据：公理1；公理2及其三个推论.
(2)证明的常用方法： ①纳入平面法：先由部分元素确定一个平面，再证明其余有关的 点、线在此平面内；
思考：
(1)不共面的四点可以确定多少个平面? 4 个 (2)共点的三条直线可以确定多少个平面? 1个或3个
3.平面的基本性质
公理2：若一条直线上的两点在一个平面内， 则这条直线在此平面内.
①图形语言：

A
l
B
②符号语言：Al, B l且A, B l
3.平面的基本性质
思考：两个平面会不会只有一个公共点呢？
β
如果一个平面被另一个平面挡住，
则这遮挡的部分用虚线画出来也可以不画。 α
.




1.空间点与直线的位置关系有两种：
①点A在直线上
A
记作： Al
②点B在直线外
记作： B b
2.空间点与平面的位置关系有两种：
①点B在平面内
记作： B
②点A在平面外
记作： A
l
B
b
A
B
3. 空间直线与平面的位置关系有三种：
C
“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行的常用方法．
问1:若上例加上条件AC=BD，则四边形EFGH是一个什么图形？ 菱形
“见中点找中点”构造三角形的中连接EF ,
C
因为AE // BC且AE BC,
F
所以四边形ABFE为平行四边形.
AB // EF且AB EF.
练 已知a ，b ，a∩b=A，P∈b，PQ//a . 求证：PQ .
b Aa

P
Q
证明: PQ // a,直线PQ与a确定一个平面，设为. P,a .
又P b , a ,且P a.
由推论1，过P，a有且只有一个平面.
和重合，即有PQ .
5.证明三点共线、三线共点的问题
3.填空: (1)___不__在__同__一__直__线__上__的三点确定一个平面;
(2)两条 平行或 相交直线确定一个平面;
(3)有一个公共点的两个平面交于 唯一的一条直线.
4.下列命题正确的是( D) A. 经过三点确定一个平面 B.经过一条直线和一个点确定一个平面 C.四边形确定一个平面 D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
(2)若E, F分别是AB, A1A的中点，求证：CE, D1F, DA三线共点.
D1
C1
A1
F
A
D M
E
B1 C
B
例 如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， (1)判断下列命题是否正确，并说明理由：
A×. 直线AC1在平面CC1B1B内； B×. 点A,O,C可确定一个平面；
∵ l ∩a=A， l ∩b=B，∴ A∈，B∈. 又A∈l，B∈l，故l .
同理，直线b，c确定一个平面，且l .
∴平面与都过两相交直线b，l.
又∵两相交直线确定一个唯一的平面.
∴与重合.
故l与a，b，c共面.
证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法.
4.点线共面问题
所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，所以B∈，C∈， 故BC.（公理1）
因此直线AB，BC，CA共面.
4.点线共面问题
练 已知A, B,C l,D l,求证:直线AD,BD,CD共面.
D
Al B C 证明: D l.l与D确定平面 .
又 A, B,C l, l A, B,C .
3.平面的基本性质
公理2： 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
A B C
B
A
aC
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
a
α
b
a
b
α
注3： 公理2及其三个推论是确定平面以及判断两个平面重合的依据， 是证明点、线共面的依据，也是作截面、辅助平面的依据.
②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元 素确定平面，最后证明平面、重合.