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试求下列性能泛函达到极值的必要条件

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离散系统的极小值原理

离散系统的极小值原理

u * (k ) = 0.2
x* (k ) = 1 − 0.2k
k = 0,1, 2,3, 4,
总结 应用离散欧拉方程求解等式约束和不等式约束 的离散极值问题比较麻烦，而用离散极小值原理处 理这种约束问题却很方便。特别是，当控制序列受 约束时，离散变分法不再适用，只能用离散极小值 原理或离散动态规划来求解离散极小值问题。
2 离散极小值原理
庞特里亚金发表极小值原理时，只讨论了连续系 统的情况。为了获得离散系统的极小值原理，有 人曾经从离散系统与连续系统比较接近这一事实 出发，设想把连续极小值原理直接推广到离散系 统中去，但除了采样周期足够小的情况外，结果 是失败的。 离散极小值原理的普遍论述比较复杂，证明过程 也十分冗长。为了简单起见，下面介绍控制向量 序列不受约束情况下的离散极小值原理，然后不 加证明地推广到控制向量序列受约束的情况。
因为： ∂Lk = λ (k + 1)
∂x(k )
∂Lk = u (k ) + λ (k + 1) ∂u (k )
∂Lk −1 = −λ ( k ) ∂x(k )
所以由离散欧拉方程（3-6）可得：
λ ( k + 1) = λ ( k ) = c
u ( k ) = −λ ( k + 1) = −c
其中 c为待定的常数。 将 u (k ) = −c 代入状态差分方程，有
离散极小值原理可以叙述如下： 定理3 [定理3-7] （关于离散系统末端状态受约束） [定理3-8] （关于离散系统末端状态自由） 定理3
[定理3-7] 定理3 7]（关于离散系统末端状态受约束） 设离散系统状态方程
x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), k ]

西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程

西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程

3 泛函求极值的一般步骤
问题：由 min J ( y) x1 F (x, y(x), y'(x))dx 求 yˆ, J ( yˆ)
y
x0
（1）由EULER方程
d
Fy
dx
(
F y
'
)
0
解出y的通解。
（2）由横截条件求出
F y
'
0
的表达式。
（3）将边值条件代入y的通解与
F y
'
0
求出积分常数，得到 yˆ
当一个端点固定时（假定x0固定）
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
Fy'y x0
y(x0 ) 0
Fy'y x1 0Fy' x1 0
y(x0 ) y0
横截条件
F y x1 y' x0
0
当两个端点均可变时
y
y1(x)
y*(x)
δy1
δy0
y2(x)
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
x1 0(横截条件)
x0
写成向量形式
t f
t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
标量函数F对y的一阶偏导
梯度向量，列向量
向量形式
tf t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
n维列向量
泛函极值存在的必要条件：
Fy
d dx
Fy
0
函数极值存在的必要条件

§6.3 泛函的条件极值

§6.3 泛函的条件极值

§6.3 泛函的条件极值一、泛函条件极值问题的提出（等周问题）求在连接A 、B 长度为L 的所有曲线中与直线AB所围成面积最大的曲线？AB 弧长：dx y L ba ∫+=2'1 （1） 曲线AB 与直线AB 所围成面积：()∫=ba dx x y S （2） 边界条件：()()0,0==b y a y （3）在满足约束条件（1）和边界条件（3）的情况下，寻找满足由方程（2）的构成泛函问题的极小曲线函数。

二、一般泛函条件极值的E-L 方程泛函[]()∫=ba dx y y x F y J ',,，约束条件()L dx y y x G ba =∫',,， 其中[][]()(){}2120,,,y b y y a y b a C y y y D ==∈=。

设()x y 是所求泛函的极值函数，取任意光滑函数()[]b a C x ,20∈η ()()()x x y x y εη+=1，()()0,0==b a ηη从而构成一元函数()[]()∫++=+=ba dx y y x F y J '',,εηεηεηεϕ ()L dx y y x G ba =++∫'',,εηεη 利用拉格朗日乘子法，定义新的泛函()()()[]∫+++++=Φba dx y y x G y y x F '',,'',,,εηεηλεηεηλε （4） 其中，λ为常数。

泛函()λε,Φ取极值，即需()0,0=Φ=εελεd d()()0'''',''''''''''0=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=⋅−++⋅−+=+++=+++=Φ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫=b a y y y y b a y b a y b ay ba yb a y b a y b a y b a y b a y b a y bay y y y dx G dx d G F dx d F dx G dx d G dx G dx F dx d F dx F dx G dx G dx F dx F dx G G F F d d ηλληληληληηηηληληηηληληηελεε由变分引理得（5） E-L 方程。

等式约束下泛函的条件极值

等式约束下泛函的条件极值
4 Nhomakorabea*
*
1
例 3.4
已知系统由两个积分环 节组成，始端条件为
θ (0) = 1，ω (0) = 1；终端条件为 θ (1) = 0，ω (1) = 0。
1 1 2 求最优控制 u ( t )，使性能指标 J = ∫ u ( t )dt为极小值。 2 0 解：令 x1 ( t ) = θ ( t ), x 2 ( t ) = ω ( t )，则系统的状态方程为
2
泛函J取极值的必要条件为 : d Fx − Fx & = 0 dt d Fu − Fu & = 0 dt & = Ax + bu x ⇔ & 1 = x2 ⎧x ⎨ &2 = u ⎩x ⇔ d ⎧ &1 = 0 ⎪ Fx1 − dt Fx ⎨ d ⎪ Fx − Fx &2 = 0 2 dt ⎩
x1 (0) = 1, x 2 (0) = 1 x1 (1) = 0, x 2 (1) = 0
*
⎡0 1⎤ ⎡ 0⎤ & = Ax + bu，A = ⎢ ，b = ⎢ ⎥ x ⎥ ⎣ 0 0⎦ ⎣1 ⎦ 引入待定拉格朗日乘子 λ ( t )，构造函数 1 2 & − Ax − bu) F = u ( t ) + λT ( t )( x 2 1 2 & 1 − x 2 ) + λ 2 ( t )( x & 2 − u) = u ( t ) + λ1 ( t )( x 2
3
由此得方程 & =0 ⎧ λ 1 ⎪λ & = −λ 2 1 ⎪ ⎪ ⎨u = λ2 ⎪x &1 = x2 ⎪ &2 = u ⎪ ⎩x 解得最优控制 u ( t ) = 18 t − 10

CH4泛函的条件极值问题

CH4泛函的条件极值问题
I y, z F x , y , z , y ', z ' x G ( x , y , z ) dx x0
x1

的欧拉方程组
x1 x0
H x , y , z , y ', z ', x dx
d H H 0 y dx y ' H d H 0 z dx z '
2
y
x
0 x y' C1 2 2 1 y' z' x1 z' x dx C 2 2 2 x0 1 y' z' 2 z 1 x
11
泛函的条件极值问题
let ds 1 y '2 z '2 dx dy C1 ds x1 dz x dx C 2 ( x ) x 0 ds 1 x2 1 x2 dx dz x ds x x

2 1 C1 s C2

12
泛函的条件极值问题
例2 求在约束条件 下，泛函
dx u x dt
1 t1 2 2 J x t u dt t 0 2
的极值曲线。边界条件为x(0)=x0，x(t1)任意 解 作辅助函数 t
I
1
0 t1
1 2 2 2 x u t u x x dt H t , x , u, x , u dt
Gz 0
z x, y
G x, y, ( x, y) 0
从约束条件可确定一函数 使 由于所求曲线 位于曲面上

11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法

11.1泛函和泛函的极值-武汉大学数学物理方法

考虑：δ ∫ [ F ( x, y, y′) + λG ( x, y, y′)]dx = 0
a
b
则→
∂F ∂y
+λLeabharlann ∂G ∂y−d dx
[(
∂F ∂y ′
)+λ
d
dx ∂y ′
(
∂G
)] = 0
积分常数 C1 , C 2和λ可由附加条件定出
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
1 ⎧ 2 ⎪ J [ y ( x )] = ∫ y ′ dx 0 ⎪ 1 ⎪ 2 例 2 .⎨ y dx = 1 ∫ ⎪ 0 ⎪ y ( 0 ) = 0， y (1 ) = 1 ⎪ ⎩
考虑
δ ∫ ( y′2 + λy 2 )dx = 0
0
1
不显含x, 也可推出一阶Euler方程, 此处直接用二阶Euler d 也不困难 : 2λy − (2 y′) = 0 dx
§11.1 泛函和泛函的极值
四.泛函的条件极值
即 : y′′ − λy = 0 y = C1e
λx
+ C2 e −
λx
§11.1 泛函和泛函的极值
二、泛函的极值
2.变分
(1) : 函数的变分 : 若 y ( x ) 微变 y ( x ) + t η ( x ), t为小参数 , 则记
δ ( y ) = tη ( x ) ( 2 ) — 称 tη ( x )为 y ( x )的变分 . 注意 : δ y 不同于 dy , dy 有一取极值过程 , δ y 不取
δ ( y ) → y ′( x )的变分
即： δ ( y ′) ≡
d dx
δ ( y)

有限元基础(泛函、变分与变分法)

有限元基础(泛函、变分与变分法)

因此
aT K a ＝ aT K a
＝ aT( Ka - P ) ＝ 0 由 a 的任意性，就得到(1.3.6)式：
Ka — P ＝ 0
1.3.2 变分原理的建立
1.线性、自伴随微分算子
线性算子
具有以下性质的算子 L 称为线性算子
其中和是两个常数
内积
算子L(u)与任意函数v的 内积 定义为
则被积函数 (x) 在区间 a ≤x≤b 上必处处为零，即
1.3 变分原理和里兹方法
1.3.1 变分原理
变分原理定义
部分物理问题存在一个泛函： 而问题的解 u 使泛函取驻值，即 利用此式求解的方法称为变分法或变分原理
里兹（Ritz）法
选择试探函数：
其中N为已知函数，a为待定参数
代入泛函积分式，泛函变为普通实函数 令泛函变分为零
5. 变分法
求泛函极值的数学方法称为变分法。 泛函极值的必要条件： J = 0
充分条件：J = 0 且：2J >0 极小值 2J < 0 极大值
变分法基本预备定理：
设 (x) 是闭区间 a ≤x≤b 上的连续函数，y 是该区间上自变函数 y(x) 的变分，如果 y 在满足 约束条件的前提下任意变化时，下式始终成立
与以上微分提法相等效的伽辽金提法为
(1.3.21)
若算子L是线性、自伴随的，则有如下关系：
将其代入(1.3.21)式得
若令 则上式可表示为变分原理：
(1.3.23) 此处Π就是原问题的泛函，因为此泛函中u的最高 次为二次，所以是二次泛函。

3. 泛函的极值性
条件：
1.算子L是偶数（2m）阶的；
由于 y 与 y, y, , y(n) 无关，所以

最优控制汉密尔顿函数

最优控制汉密尔顿函数

这就是说，对定常系统，沿最优轨线H恒为常值。
整理课件
46
例4：给定系统状态方程为
x 00
1 0 0x1u
设初始状态x(0)= 0，终端状态约束曲线
x1(1)+x2(1)-1=0求使性能泛函
J 1 1u2tdt 20
取极小时的最优控制u*(t)及最优轨线x*(t)。
解 这是个终端时间tf给定，但终端状态受约束 的拉格朗日问题。
那么，关系式 H 0 不成立，这种情况留待极 u
小值原理中讨论。
式(5-12)称为横截条件。常用于补充边界条件。
例如，若始端固定，终态自由时，由于δx(t0)=0， δx(tf)任意，则有
xt0x0
(5-13)
tf 0
(5-14)
若始端和终端都固定时，δx(t0)=0，δx(tf)=0则以
xt0x0
J´的变分为：
J tt0 f x T H x u T H u d t x T
tf t0
使J´取极小的必要条件是，对任意的δu和δx，
都有δJ´=0成立。
因此得
H 0
x H x H 0 u
tf 0 t0
(5-9) (5-10) (5-11) (5-12)
终端时刻由下式计算
H x tf,u tf,tf,tf Φ x t tf f,tf N T x t t ff,tf 0
(5-32) 式中H[x(tf), u(tf), λ(tf), tf]函数H最优轨线终端处 的值。上述总共个2n+r+q+1方程，可联解出 2n+r+q+1个变量。
最后，分析哈密尔顿函数沿最优轨线随时间 的变化规律。哈密顿函数H对时间的全导数为

（二）泛函的极值

（二）泛函的极值

（⼆）泛函的极值极值的概念函数f(x) 在x0处取得极⼩值，是指当x在x0点及其附近 |x−x0|<ε时，恒有f(x)≥f(x0)若有f(x)≤f(x0)则称函数f(x) 在x0点取极⼤值。

函数f(x) 在点x0处取得极值的必要条件是在该点处的导数为 0，即f′(x)=0泛函的极值必要条件仿照函数极值必要条件的到处⽅法，得到泛函取得极值的必要条件。

⾸先，设所考虑的变量函数均通过固定的两个端点：y(x0)=a,y(x1)=0即δy(x0)=0,δy(x1)=0考虑泛函的差值J[y+δy]−J[y]=∫x1x[F(x,y+δy,y′+(δy)′)−F(x,y,y′)]dx当函数的变分δy⾜够⼩时，可将上式进⾏泰勒展开，有J[y+δy]−J[y]=∫x1x0[δy∂∂y+(δy)′∂∂y′]F+12![δy∂∂y+(δy)′∂∂y"]2F+⋯dx=δJ[y]+12!δ2J[y]+⋯其中，δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx是泛函J[y] 的⼀级变分。

泛函J[y] 取极⼩值的必要条件是泛函的⼀级变分为 0，即：δJ[y]≡∫x1x0[∂F∂yδy+∂F∂y′(δy)′]dx=0将上式积分中的第⼆项分部积分，同时代⼊边界条件，有δJ[y]=∂F∂y′δy|x1x0+∫x1x[∂F∂yδy−ddx∂F∂y′δy]dx=∫x1x0[∂F∂y−d∂x∂F∂y′]δydx=0由于δy的任意性，可以得到{}∂F ∂y−d∂x∂F∂y′=0这个⽅程为 Euler-Lagrange ⽅程，它是泛函J[y] 取得极⼩值的必要条件的微分形式。

数学知识补充泰勒展开。

函数的极值及其必要条件

函数的极值及其必要条件
设 f ( x ) ln x ， 则 f ( x ) 在[1, 1 x ] 上满足Lagrange
定理的条件 , 于是
ln( 1 x ) ln1 1 f () , (1 x )1
由于 f ( x ) f ( x0 ), 所以
f ( x) f ( x0 ) 当 x ( x 0 , x 0 ) 时, 有 0, x x0
f ( x) f ( x0 ) 当 x ( x 0 , x 0 ) 时, 有 0, x x0
由极限的保号性可得：
证： x1 , x2 (a ,b ) ，且 x1 x2 ， 推论1是“常数函数的导数是零”的逆命题. 则 f ( x )在[ x1 , x2 ]上连续 , 在 ( x1 , x2 )内可导 .
应用 Lagrange 定理得：
f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( )( x 2 x1 ) （ x1 x 2 ）
例 3．证明：可导函数 f ( x ) 的任意两个相异的零点 之间必存在导数值与函数值相等的点.
分析 x x f, (且 x( )2 )f x2 )0, 证 ：设：设 x1 x x1 )f (f (0, 1 1x 2 , 且2
要证至少存在一点 ( x1, x2 ) ，使 x x f ( ) f ( ) ， 并设 g( x )e f ( x ), g ( x ) e [ f ( x ) f ( x )] ，
[ f ( x ) g( x )] f ( x ) g ( x ) 0,
故 f ( x ) g( x ) C , x (a, b),
即 f ( x ) g( x ) C , x (a, b).
推论 3 设函数 f 在 [ x0 , b) （或 (a, x0 ] ）上连续， f ( x) A 在 ( x0 , b) （或 (a, x0 ) ）内可导，且 lim

第二章 泛函极值及变分法(补充内容)

第二章 泛函极值及变分法(补充内容)

第二章 泛函极值及变分法（补充内容）2.1 变分的基本概念2.1.1 泛函和变分泛函是一种广义的函数，是指对于某一类函数{y (x )}中的每一个函数y (x )，变量J 有一值与之对应，或者说数J 对应于函数y (x )的关系成立，则我们称变量J 是函数y (x )的泛函，记为J [y (x )]。

例1：如果表示两固定端点A (x A ，y A )，B (x B ，y B )间的曲线长度J （图2.1.1），则由微积分相关知识容易得到：dx dx dy J BAx x ⎰+=2)/(1 （2.1.1）显然，对于不同的曲线y (x )，对应于不同的长度J ，即J 是函数y (x )的函数，J =J [y (x )]。

图2.1.1 两点间任一曲线的长度例2：历史上著名的变分问题之一——最速降线问题，如果2.1.2所示。

设在不同铅垂线上的两点P 1与P 2连接成某一曲线，质点P 在重力作用下沿曲线由点P 1自由滑落到点P 2，这里不考虑摩擦作用影响，希望得到质点沿什么样的曲线滑落所需时间最短。

图2.1.2 最速降线问题选取一个表示曲线的函数y (x )，设质点从P 1到P 2沿曲线y =y (x )运动，则其运动速度为：dsv dt ==其中，S 表示曲线的弧长，t 表示时间，于是：dt =设重力加速度为g ，则gy v 2=。

因为P 1和P 2点的横坐标分别为x 1到x 2，那么质点从P 1到P 2所用时间便为：1[()]x x J y x =⎰211/2211[()]2[()()]x x y x dx g y x y x ⎧⎫'+=⎨⎬-⎩⎭⎰（2.1.2）则最速降线问题对应于泛函J [y (x )]取最小值。

回顾函数的微分：对于函数的微分有两种定义： 一种是通常的定义，即函数的增量：),()()()(x x x x A x y x x y y ∆+∆=-∆+=∆ρ （2.1.3） 其中A （x ）与∆x 无关，且有∆x →0时ρ（x ,∆x ）→0，于是就称函数y (x )是可微的，其线性部分称为函数的微分()()dy A x x y x x '=∆=∆，函数的微分就是函数增量的主部。

泛函求极值

泛函求极值

§ 7.2 泛函极值与变分法变分法是解决泛函极值的基本方法。

1. 泛函例 指标 0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T =+⎰的值依()x t 、0(),[,]u t t t T ∈是函数的函数 泛函 ()x t 和()u t 作为泛函的“自变量”，称为泛函的宗量例7.1 最短弧长问题：设()y y x =过11(,())A x y x 和22(,())B x y x若()y x 连续可微，则 2121d x x J yx =+⎰，(7.5) 是()y x 的泛函. 2. 泛函极值 设 (())J J y x =，(){}y x Y ∈=函数集若有y Y *∈，使()min ()y YJ y J y ∈*=或()max ()y YJ y J y ∈*=，则称泛函J 有极小值或极大值。

xo y))(,(22x y x B ))(,(11x y x A ∙∙)(x y 7.1图3. 变分 ≈函数的微分 宗量变分：在()y x 处的增量()()()y x yx y x δ=- Ox()y x ()y x ()yx ()()()y x yx y x δ =-O x泛函增量：[()][()]J J yx J y x ∆=- [()()][()]J y x y x J y x δ=+-泛函变分： 若[(),()][(),()],J L y x y x r y x y x ∆δδ=+式中：[(),()]L y x y x δ是()y x δ的线性连续泛函，即[(),()][(),()]L y x k y x k L y x y x δδ⋅=⋅ [(),()]r y x y x δ是()y x δ的高阶无穷小项，则称泛函J 是可微的，而称[(),()]L y x y x δ为泛函的变分，记为[(),()]J L y x y x δδ=。

引理7.1 若泛函可微，则变分[]()()a J J y x a y x aδδ=∂=+∂.证[]0()()a J y x a y x aδ=∂+∂0lima Ja∆→=00[(),()][(),()]lim lim a a L y x a y x r y x a y x a aδδ→→=+00[(),()][(),()]lim lim ()()[(),()]a a aL y x y x r y x a y x y x a a y x L y x y x J δδδδδδ。

泛函求极值的必要条件

泛函求极值的必要条件

泛函求极值的必要条件泛函求极值可是个很有趣的事儿呢。

咱就像探索一个神秘的宝藏一样去研究它的必要条件。

你想啊，泛函就像是一个超级复杂的魔法函数，它可不是普通函数那么简单。

极值呢，就像是这个魔法世界里的特殊点，特别又神秘。

那求这个极值的必要条件，就好比是在寻找宝藏入口的钥匙。

这个条件啊，是我们了解泛函在什么时候会达到那种特殊的极值状态的关键。

就像我们在生活里找东西，要知道一些特定的线索才能找到我们想要的宝贝一样。

泛函的极值必要条件可不是随便就能琢磨透的。

它涉及到很多数学概念的纠缠和拉扯。

比如说，它可能会跟变分法有着千丝万缕的联系。

这就像是一个复杂的人际关系网，每一个概念都是网里的一个小节点，牵一发而动全身。

从某种角度看，泛函求极值的必要条件就像是一个严格的规矩。

泛函要想达到极值，就得按照这个规矩来。

就像我们玩游戏，也得遵守游戏规则才能获胜一样。

如果不遵守这个必要条件，泛函就别想达到极值啦。

在探索这个必要条件的道路上，我们可能会遇到好多挫折呢。

有时候你觉得自己已经很接近答案了，可突然又发现走进了死胡同。

不过这也是乐趣所在呀。

就像我们走迷宫，虽然可能会碰壁，但每次碰壁后重新找路的过程都是充满期待的。

我们在研究这个的时候，不能只是死板地按照公式来。

要带着一种好奇和探索的精神。

把那些数学符号都当成是有生命的小精灵，它们组合在一起就是在讲述一个关于极值的故事。

每一个等式，每一个推导，都是这个故事里的精彩情节。

泛函求极值的必要条件虽然难，但是当我们真正理解它的时候，就像是打开了一扇通往新世界的大门。

我们能看到数学的这个小角落里藏着的美妙风景，那种成就感是无法言喻的。

就像是你在沙漠里走了好久，突然看到了一片绿洲一样兴奋。

这也是数学的魅力所在呀，总是能在看似枯燥的背后给我们带来意想不到的惊喜。

用变分法求解最优控制问题

用变分法求解最优控制问题

t
tt0 f F xx F xx o (x )2 ,(x )2 d t
上式中 o[(x)2,(x)2]是高阶项。
（泰勒级数展开）
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
5.1 变分法基础回顾
相关的定义：
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函，记为
JJX(t)
简单来说，泛函是以函数为自变量的函数。
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
J(X)J(Xˆ)
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2 J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2 J 。
5.2 无约束条件的泛函极值问题
5.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
于是有约束条件的泛函 J 的极值问题化为无约
束条件的增广泛函 J a 的极值问题。 再引入一个标量函数
H (X ,U ,,t) F (X ,U ,t) T f(X ,U ,t) （5-18）
它称为哈密顿（Hamilton）函数，在最优控制中 起着重要的作用
于是J a 可写成
J aX ( tf)tf, tt 0 f H (X ,U ,,t) T X dt
的线性主部。
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则

第2章 泛函的极值

第2章 泛函的极值

第2章 泛函的极值在讨论泛函的极值以前, 我们先来回顾一下函数的极值问题。

2.1函数的极值性质2.1.1 函数的连续性任意一个多元函数12(),(,,...,)T nn f x x x R =∈x x , 0>∀ε, 如果0)(>=∃εδδ, 当0δ-<x x (或者说0(,)O δ∈x x )时, 有0()()f f ε-<x x那么, 我们称()f x 在0x 处是连续的, 记为00()lim ()f f →=x x x x 。

2.1.2 函数的可微性更进一步, 如果存在1(,,)T n n A A R ∃=∈A , 使得01000(,,,,)()lim,1i n i i if x x x f A i n x x →-=∀≤≤-x x x那么我们称()f x 在0x 处是可微的, 或者说存在(一阶)导数,记为'()f =x A或者记为12'(),,...,Tn f f f f f x x x ⎛⎫∂∂∂== ⎪∂∂∂⎝⎭x ∇其中∇为梯度算子(或者Hamilton 算子, 见附1)。

同理, 可以定义该函数的两阶导数"()f x2222112122222122222222"()n n n n n ff f x x x x x f f f f f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥==∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦D x及更高阶导数。

这里f D 也称为Jacobi 矩阵。

如果函数()f x 在某点0x 足够光滑, 那么我们就可以在该点附近把函数作以下的展开221002!020(d )()d d (d )d d ()d d ()d T T f f f f o f f f f +=+++==x x x x x x x D x x∇其中()o ⋅为高阶小量, 2d ,d f f 分别为函数()f x 的一阶微分和两阶微分。

泛函极值及变分法

泛函极值及变分法

J y( x) ≥J y( x) y( x)
令 f ( ) J y( x) y( x)，则有：
（2.1.15）
f ( )
0
J y( x) J y( x) y( x) f ( )
（2.1.16）
上式表示 f ( ) 在 0 处有极大值，根据函数取极值的必要条件：
2J

x2 2 F
x1
2F 2F 2 yy (y ) 2 dx 2 (y ) 2 yy ( y) y
（2.1.10）
也可以通过拉格朗日泛函变分的定义，得到：
J

J y ( x) y ( x) 0
x2 J y y F ( x, y y, y y ) y F ( x, y y, y y ) y dx x1 y y
（2.1.27） 令 0 ，则：
其变分为：
（2.1.12）
J s
F u
u
F F F F F v ux uy vx v y ds v u x u y vx v y
（2.1.13）
依此类推，不难得到多个多元函数的变分。
3
此处，泛函的变分满足下面的一些运算规律：
y y( x x) y( x) A( x)x ( x, x)
（2.1.3）
其中 A（x）与 x 无关，且有 x→0 时 ρ（x, x）→0，于是就称函数 y(x)是可微的，其
线性部分称为函数的微分 dy A( x)x y( x)x ，函数的微分就是函数增量的主部。 函数微分的另外一种定义： 通过引入一小参数 ε，对 y( x x) 关于 ε 求导数，并令 ε→0 的途径得到，即：

函数取得极值的必要条件

函数取得极值的必要条件

函数取得极值的必要条件一个函数取得极值的必要条件可以通过以下几个方面进行解释和说明：1.函数连续性：函数在取得极值的区间内必须是连续的。

这意味着函数在极值点的左右两侧的函数值是存在的，且极值点本身也是函数的定义域内的。

如果函数在极值点处不连续，那么该点就不可能是极值点。

2.函数可导性：如果一个函数在某个点取得极值，那么在该点处函数的导数必须存在或者导数趋于无穷大。

这是因为导数反映了函数在某一点的斜率变化情况，而极值点处函数的斜率为零或者不存在。

3.导数为零点：函数在取得极值的点处的导数为零。

这是因为导数为零表示函数在该点处的斜率为零，即函数在该点的切线为水平线。

在极大值点处，函数在该点左侧的斜率为正且右侧斜率为负；在极小值点处，函数在该点左侧的斜率为负且右侧斜率为正。

4.导数变号：函数在取得极值的点附近的导数变号。

这是因为函数的导数反映了函数的增减情况，当函数取得极值时，函数由增转减或由减转增，导数也由正转负或由负转正。

5.函数的二阶导数：函数在取得极值的点处的二阶导数可以用来确定极值的类型。

当二阶导数大于零时，函数在该点处取得极小值；当二阶导数小于零时，函数在该点处取得极大值；当二阶导数等于零时，函数可能是拐点，需要进一步分析或者使用其他方法确定极值的类型。

以上是函数取得极值的一些必要条件，但并不一定是充分条件，也就是说满足这些条件的点不一定是函数的极值点。

因此，在确定极值点时，需要对满足这些条件的点进行进一步的验证，例如通过求解函数的一阶导数以及二阶导数，或者通过绘制函数图像来观察函数的增减情况。

同时，还可以利用拉格朗日乘子法、牛顿法等优化方法来寻找函数的极值点。

总之，了解函数取得极值的必要条件可以帮助我们在数学问题中更好地理解和解决极值问题，并为进一步的数学分析提供基础。

含高阶导数积分型性能泛函极值存在的必要条件

含高阶导数积分型性能泛函极值存在的必要条件

含高阶导数积分型性能泛函极值存在的必要条件
宋铁铮;宋万清
【期刊名称】《上海工程技术大学学报》
【年(卷),期】2012(026)004
【摘要】对性能泛函求极值用欧拉(Euler)方程和横截条件,现有文献仅讨论性能泛函形式为J(x)=f(t1 t*)Lx,x,t)dt,即状态量x最高为一阶导数的Euler方程和横截条件.用数学归纳法推导出状态变量x为高阶导数的性能泛函极值的必要条件,并以二阶导数为例,用Matlab进行了极值求解.
【总页数】4页(P374-377)
【作者】宋铁铮;宋万清
【作者单位】合肥工业大学电气与自动化工程学院,合肥230009;上海工程技术大学电子电气工程学院,上海201620
【正文语种】中文
【中图分类】O232
【相关文献】
1.等式约束条件极值存在的必要条件及其应用 [J], 唐军强
2.条件泛函极值的必要条件的数学分析证明 [J], 邢继祥：
3.关于多元函数极值存在的必要条件的研究 [J], 朱章
4.两类积分型泛函极值问题的充分条件 [J], 刘玉蓉
5.含边界在内的一般极值的必要条件与拉格朗日乘数法 [J], 张新建;朱健民
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多元函数取得极值的条件

多元函数取得极值的条件

二阶充分条件
设n元函数f ( x)存在二阶连续偏导数，f ( x*) 0, 则
(1)当 f ( x*)正定时，x * 是f ( x)的严格极小值点；
2
(2)当 f ( x*)负定时，x * 是f ( x)的严格极大值点；
2
(3)当 f ( x*)不定时，x * 不是f ( x)的极值点；
可行域： X {x | x R n , ci ( x) 0, c j ( x) 0, i 1,2,, me ; j me 1,, m}
则称d是X在x * 处的可行方向。X在x * 处的所有可行方向集合记为FD( x*, X )
指 标 集
设x X，令 E {1,2,, me } I {me 1,, m} I ( x) { j | c j ( x) 0, j I }
i 1
m
考虑集合W {a | a i ci ( x*)
i 1
me
显然f ( x*) W。由于W是闭凸锥，根据凸锥分离定理 必存在d R n，使得 d T f ( x*) 0 d T a,
下面证明d∈cl(S*)
jI ( x*)

j c j ( x*), i R, j 0}
(1) AC B 2 0
时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0
时有极小值。
(2) AC B 2<0时没有极值
n元函数取得 极值的条件
(3) AC B 0
2
？
不能确定
设n元函数f ( x) f ( x1 , x2 ,, xn )
具有偏导数，
n
点x* ( x1*, x2 *,, xn *) R
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取极小值,并求最优轨线 .
10-25 已知系统状态方程
控制约束 ,试确定最小时间控制 ,使系统由任意初始状态最快地转移到终端状态 .要求写出开关曲线方程 并画出 曲线的图形.
10-26 设系统状态方程
控制约束 ,目标集要求 ,试求使系统从初态 转移到目标集的最短时间 .
10-27 设线性时变系统状态方程为
10-45 设一阶非线性系统为
性能指标
若设
其中 待定.试用连续动态规划求最优控制 .
10-46 设系统状态方程
性能指标
试分别利用连续动态规划和调节器方法确定最优控制 .
10-47 对于线性时变系统
和有限时间性能指标
试用连续动态的方法证明:最优控制
和黎卡提方程
是成立的.
其中， 不受约束; 自由, 有限；对于 ，均连续、有界; .K(t)为非负定矩阵.
(2)如果使系统转移到 的终端时间 自由,问 应如何确定?
10-18 设二次积分模型为
性能指标
已知 自由，试求最优控制 和最优轨线 。Unknown
10-19 设系统状态方程
性能指标
要求达到 ,试求:
(1) 时的最优控制 ;
(2) 自由时的最优控制 .
10-20 设一阶系统方程
性能指标
已知x(1)=0.某工程师认为,从工程观点出发可取最优控制函数 =-1.试分析他的意见是否正确,并说明理由.
性能指标为
其中R(t)为正定对称矩阵,P为非负矩阵, 为非负对称矩阵, 为有限值.试确定最优控制律 .
10-28 设有一阶非线性系统
性能指标
试证哈密顿-雅可比方程按照 是线性的，按照 是二次的。
10-29 已知一阶系统
性能指标
试求最优控制 和最优性能指标 .
10-30 已知一阶系统
性能指标
求最优控制 .
10-40 一位公务员乘坐出租车要从机场赶到会场参加重要会议, 已知交通网络图如下图所示.图上数字为每条支路的驾驶时间,全部支路全是单行线. 试利用动态规划找出到达会场的最短时间路线.
10-41 设离散系统方程
性能指标
约束条件为:
试求作为x解析函数的最小代价函数J(x,k)和最优决策 .其中k=0,1,2.
10-37 对于离散状态调节器
性能指标
其中,u(k)无约束; .
10-38 试用离散极小值原理证明: 最优控制序列 为
Unknown
设离散系统状态差分方程
性能指标
试用离散动态规划求最优控制 ，最优轨线 和最优性能指标 .
10-39 在水管道建设中,基于水压的分部和布局方面的考虑,一组可能的管线图如下图所示.图中节点A、B、C、...、M的实际位置已由设计者确定, 节点之间链线上的箭头指示管道中水流方向,各链线上的数学表达该条链线的建设成本.试确定从A至M建设费用最低的管线走向.
10-31 设二阶系统如下图所示.试写出系统的可控标准型,并求使性能指标
为最小的最优控制 .其中,r和q为已知正常数, .
10-32 设一阶系统方程为
其性能指标为
其中a,b,α为常数,b和a非负.试求最优闭环系统特征值λ,并用图解法表示λ随a,b
和α变化时的情况.
10-33 试求下列黎卡提矩阵代数方程的正定解
求性能指标
在边界条件x(0)=0,x(1)自由情况下的极值曲线.
10-6 已知性能指标函数为
试求:(1) 的表达式;
(2)当 和 时的变分 和 的值.
10-7 试求下列性能指标的变分
10-8 试求泛函
在满足边界条件x(0)=1, 的极值曲线.
10-9 设泛函
端点 固定,端点 可沿空间曲线
移动.试证：当泛函取极值时,横截条件为
10-21 考虑下列二阶系统
控制结束为 ,要求最优控制 ,使系统在 时转移到 ,并使
其中 自由.
10-22 设一阶系统方程
控制约束 .性能指标
终端状态自由.试求 和 .
10-23 设一阶系统
边界条件为: .
性能指标
试确定最优控制 和最优轨线 .
10-24 设有二阶系统
控制约束 ,当系统终端自由时,求最优控制 ,使性能指标
已知 自由.
10-15 已知系统方程
约束条件
]
其中, ,要求选择 及 使性能泛函
极小,试确定极值的必要条件.
10-16 求使系统
由初态 出发,在 时转移到目标集: ,并使性能指标
为最小值的最优控制 及相应的最优轨线 .
10-17 已知一阶系统
(1)试确定最优控制 ,使系统在 时转移到x(2)=0,并使性能泛函
10-10 求性能泛函
在边界条件x(1)=1,x(2)=2时的极值曲线 和泛函极值 .
10-11 设系统状态方程
性能坐标
已知边界条件: .试求最优控制 和最优轨线 .
10-12已知状态方程
边界条件: .试求下列性能指标的极小值
10-13 求泛函
在满足边界条件 时的极值曲线。
10-14 求下列性能泛函的极值曲线
10-1 试求下列性能泛函达到极值的必要条件
给定边界条件为: 自由.
10-2 已知状态初值和终值为: 但自由,,试求试下列性能泛函达到极值的极值曲线
10-3 试利用变分公式
求泛函
的变分，并写出欧拉方程。
பைடு நூலகம்10-4 求通过x(0)=1,x(1)=2,使下列性能指标为极值的曲线
10-5 设x=x(t), ,求从x(0)=0到x(1)=1间的最短曲线.Unknown
式中
并设r和q为正常数,另设 .
10-34 设有二次积分模型
要求的性能指标为
试构造最优输出调节器，并求最优性能指标 。
10-35 设有时间跟踪系统
是完全可观的,其中 为确定性输入噪声向量.性能指标取为
其中z(t)为希望输出向量, .试用极小值原理的方法求最优控制 .
10-36 已知二阶离散系统
其中u(k)无约束.要求最优控制序列 ,使系统在2个采样周期内由初态x(0)转移到状态空间原点.
10-42 设离散系统方程
性能指标
其中,u(k)限取+1或-1.要求终端状态x(4)=2试求最优控制 和最优轨线 (k=0,1,2,3).
10-43 给定下列一阶离散系统
,
性能指标
试求最优控制序列 ,k=0,1,2,3和最小性能指标 .
10-44 设一阶离散系统
,
求使性能指标
为极小的最优控制 和最优轨线 .