高一数学知识点总结-高中数学集合-理科学霸高中--立体几何平行证明

高一数学立体几何知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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高一立体几何存在性知识点立体几何是数学中的一个分支，研究的是空间内的物体，如立方体、球体、棱柱等。

在高中阶段的数学课程中，学生会接触到一些关于立体几何存在性的知识点。

本文将探讨几个典型的高一立体几何存在性知识点，并加入一些实际生活中的例子，以帮助学生更好地理解和应用这些知识。

一、平行线和平面平行线和平面是几何学中的基础概念，也是许多立体几何存在性问题的基础。

平行线是指在同一个平面内始终保持等距离且永不相交的两条直线。

平面则是指无限延伸的二维空间。

在现实生活中，我们常常遇到平行线的存在性，如公路上的车道、相邻的铁轨等。

当我们需要证明两条线是否平行时，可以利用平行线存在性的性质进行推理。

二、平行四边形平行四边形是由两对平行的边所围成的四边形。

在高中阶段，我们需要了解平行四边形的存在性以及一些性质。

为了证明一个四边形是平行四边形，需要确保其边对应的角相等。

例如，如果一个四边形的对角线互相平分，那么可以得出这个四边形是平行四边形的结论。

这个结论同样可以应用于实际生活中。

比如，在建筑工程中，如果两道相交的墙壁的对角线互相平分，那么可以推论出这两道墙壁平行。

三、正方体和长方体正方体和长方体是高中几何学中常见的立体形状。

正方体是指六个面都是正方形的立体，而长方体则是由六个面都是矩形的立体构成。

当我们研究这些立体的存在性时，常常需要证明它们的相应边长和角度是否满足特定条件。

例如，如果一个长方体的对边相等，那么可以推断这个长方体是一个正方体。

在实际生活中，我们可以将此应用于盒子的制作。

如果一个盒子的对立面的边长相等，那么盒子就是一个长方体。

四、球体和圆柱体球体和圆柱体是另外两个常见的几何形状。

球体是一个由所有到球心距离相等的点所构成的立体，而圆柱体则是由两个平行圆面和连接它们的侧面所构成的立体。

当我们研究球体和圆柱体的存在性时，经常需要考虑它们的半径、直径和高是否满足特定条件。

例如，如果一个球体的直径等于圆柱体的高度，那么可以推断这个圆柱体可以放入这个球体中。

高考立体几何证明知识点立体几何是数学中的一个重要分支，旨在研究空间中的图形和物体的性质及其相互关系。

在高考中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到很多证明题。

本文将介绍几个高考常见的立体几何证明知识点，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。

一、平行关系证明在立体几何中，平行关系是经常需要证明的一个知识点。

首先，我们需要了解平行的定义：若两条直线在同一个平面内，且不相交，则称这两条直线平行。

为了证明两条直线平行，我们可以利用以下几个常见的方法：1.同位角相等法：如果两条直线被平行线所截，那么可以利用同位角的性质来确定这两条直线平行。

同位角是指两条直线被平行线所截时，对应角或内错角两对角，它们的度数相等。

在证明过程中，我们需要找到直线间的对应角或内错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。

2.共线错角相等法：如果两条直线被平行线所截，可以利用共线错角相等的性质来确定这两条直线平行。

共线错角是指两条直线被平行线所截时，同侧的内错角，它们的度数相等。

在证明过程中，我们需要找到两条直线间的共线错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。

二、相似三角形证明相似三角形是立体几何中另一个重要的证明知识点。

首先，我们需要了解相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。

证明相似三角形的方法主要有以下几个：1.对应边成比例法：若两个三角形的两对对应边成比例，那么可以证明这两个三角形相似。

在证明过程中，我们需要找到两个三角形中对应的边，并运用对应边成比例的性质来证明它们相似。

2.三角形内相等角法：若两个三角形中，其中一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，那么可以证明这两个三角形相似。

在证明过程中，我们需要找到这两个相等的角，并证明它们与其他角的关系，从而得出两个三角形相似的结论。

三、垂直关系证明垂直关系也是立体几何中常见的一个证明知识点。

首先，我们需要了解垂直的定义：两条直线或线段在平面或空间中互相垂直，即两条直线或线段相交且相交的角度为90度。

高一数学集合知识点总结集合及其表示1、集合的含义：“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。

数学上的“集合”和这个意思是一样的，只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集，其中每一个对象叫元素。

比如高一二班集合，那么所有高一二班的同学就构成了一个集合，每一个同学就称为这个集合的元素。

2、集合的表示通常用大写字母表示集合，用小写字母表示元素，如集合A={a，b，c}。

a、b、c就是集合A中的元素，记作a∈A，相反，d不属于集合A，记作dA。

有一些特殊的集合需要记忆：非负整数集(即自然数集)N正整数集N-或N+整数集Z有理数集Q实数集R①列举法：{a,b,c……}③语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素3、集合的三个特性(1)无序性指集合中的元素排列没有顺序，如集合A={1,2}，集合B={2,1}，则集合A=B。

例题：集合A={1,2}，B={a,b}，若A=B，求a、b的值。

解：____，A=B注意：该题有两组解。

(2)互异性指集合中的元素不能重复，A={2,2}只能表示为{2}(3)确定性集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确，不允许有模棱两可、含混不清的情况。

高一数学集合知识点总结（二）集合的分类(1)按元素属性分类，如点集，数集。

(2)按元素的个数多少，分为有/无限集关于集合的概念：(1)确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，这就是说，不能确定的对象就不能构成集合，也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，这就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素。

(3)无序性：判断一些对象时候构成集合，关键在于看这些对象是否有明确的标准。

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.ba b a a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂βαβα3、平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.4、平面与平面平行的性质定理：①如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.βαβα//,//a a ⇒⊂②如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行. b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα γba βαβαββαα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂b a P b a b aααα////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄βαm l如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面.ααα⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥l P b a b a b l a l6、直线与平面垂直的性质定理：①如果一条直线与一个平面垂直，那么它就与平面内的任何一条直线垂直.b a b a ⊥⇒⊂⊥αα,②如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.ba b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα7、平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.8、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.ββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=b b b a βαβαβα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a b a a b1、直线与平面平行的判定定理：2、直线与平面平行的性质定理：3、平面与平面平行的判定定理：4、平面与平面平行的性质定理：①②6、直线与平面垂直的性质定理：①②7、平面与平面垂直的判定定理：8、平面与平面垂直的性质定理：。

立体几何知识点一.根本概念和原理：1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。

公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法2平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)〔规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]〕斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直，那么这条直线垂直于这个平面。

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

行，那么这条直线和这个平面平行。

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

面，那么这两个平面平行。

行。

8.〔1〕二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

二面角的取值范围为[0°，180°]〔2〕二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

高一数学知识点立体几何立体几何作为高中数学的重要内容之一，是研究空间中各种几何体的性质和关系的学科。

在高一学年中，学生将学习到一些基本的立体几何知识点，本文将对其中几个常见的知识进行介绍。

1. 空间几何体的分类空间几何体是指三维空间中具有形状和体积的物体，常见的空间几何体有球体、圆柱体、锥体、棱柱体和棱锥体等。

它们可以根据底面形状和侧面性质进行分类，比如底面为圆形的称为圆柱体，底面为三角形的称为棱锥体等。

2. 球体的性质球体是指空间中所有离某一点相等距离的点的集合，具有以下性质：（1）球心：球体中心点称为球心；（2）半径：球心到球体表面上任意一点的距离称为球的半径；（3）直径：通过球心，并且在球体内部，的一条线段称为球的直径；（4）表面积：球的表面积公式为4πr²，其中r为球的半径；（5）体积：球的体积公式为4/3πr³。

3. 圆柱体的性质圆柱体是一种底面为圆形的几何体，具有以下性质：（1）底面积：圆柱体的底面积公式为πr²，其中r为底面圆的半径；（2）侧面积：圆柱体的侧面积是一个矩形，其面积公式为2πrh，其中r为底面圆的半径，h为圆柱体的高；（3）表面积：圆柱体的表面积公式为2πrh+2πr²，即底面积加上侧面积；（4）体积：圆柱体的体积公式为πr²h。

4. 锥体的性质锥体是一种底面为多边形，顶点和底面外一点通过直线相连而成的几何体，具有以下性质：（1）底面积：锥体的底面积是底面多边形的面积；（2）侧面积：锥体的侧面积是由底面的每条边和顶点相连形成的多个三角形的面积之和；（3）表面积：锥体的表面积是底面积加上侧面积；（4）体积：锥体的体积公式为1/3 ×底面积 ×高，其中底面积为底面多边形的面积，高为顶点到底面的距离。

5. 棱柱体的性质棱柱体是一种底面为多边形，侧面为平行于底面的矩形的几何体，具有以下性质：（1）底面积：棱柱体的底面积是底面多边形的面积；（2）侧面积：棱柱体的侧面积是每个矩形的面积之和；（3）表面积：棱柱体的表面积是底面积加上侧面积；（4）体积：棱柱体的体积公式为底面积 ×高，其中底面积为底面多边形的面积，高为棱柱体的高。

高一数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是三维空间中的物体和形状。

在高一数学学习中，我们接触到了许多立体几何的知识点，本文将对这些知识点进行总结和归纳。

一、点、线、面与体1. 点：点是几何中最基本的概念之一，具有位置但没有大小和形状。

2. 线：线由无数个点组成，是一维的，具有长度但没有宽度和厚度。

3. 面：面由无数个线组成，是二维的，具有长度和宽度但没有厚度。

4. 体：体由无数个面组成，是三维的，具有长度、宽度和厚度。

二、图形的投影1. 平行投影：平行投影是指投影线与物体平行的投影方式，常见的有水平投影和垂直投影。

2. 斜投影：斜投影是指投影线与物体不平行的投影方式，常见的有等腰斜投影和近似斜投影。

三、多面体与相关概念1. 多面体：多面体是由多个平面多边形组成的立体图形，常见的多面体有正方体、长方体、棱柱等。

2. 顶点：多面体的尖角部分称为顶点，每个顶点都是多面体的三个或更多个面的交点。

3. 棱：多面体的边称为棱，每条棱都是多面体的两个顶点之间的线段。

4. 面：多面体的平面多边形称为面，每个面都由多条棱围成。

四、平行线与平面1. 平行线：在同一个平面内，永不相交的线称为平行线。

2. 平面：平面是在三维空间中无限延伸的一个二维空间，具有长度和宽度但没有厚度。

五、重心、中心与轴1. 重心：重心是多边形或多面体的质心，是该图形内所有点重心坐标之和的平均值。

2. 中心：中心是某个图形的特殊点，如三角形的外心、内心、垂心等。

3. 轴：轴是对称图形的特殊线，有横轴、纵轴、对称轴等。

六、立体图形的体积与表面积1. 体积：立体图形的体积是指其所占的空间大小，常用单位为立方厘米、立方米等。

2. 表面积：立体图形的表面积是指其外表面的总面积，常用单位为平方厘米、平方米等。

七、正方体与长方体1. 正方体：所有棱的长度相等且所有面均为正方形的立体图形为正方体，它有六个面、八个顶点和十二条棱。

2. 长方体：所有棱的长度相等且相邻面均为长方形的立体图形为长方体，它有六个面、八个顶点和十二条棱。

S 'S S 'S 圆柱表 圆锥表 立体几何知识点1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1） 几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2） 特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高， h ' 为斜高，l 为母线）S= ch S = 2r h S = 1 ch ' S =rl 直棱柱侧面积 S= 1 (c + c )h ' 圆柱侧S 正棱锥侧面积 2 = (r + R )l 圆锥侧面积 正棱台侧面积 2 1 2 圆台侧面积 S = 2r (r + l ) S = r (r + l ) S （3） 柱体、锥体、台体的体积公式 = (r 2 + rl + Rl + R 2 )V 柱 = Sh V 圆柱 = Sh =r 2h V = 1 Sh 锥 3V 圆锥 = 1r 2h 3 V = 1 (S ' + + S )h 台 3V 圆台 = 1 (S ' + + S )h = 1(r 2 + rR + R 2 )h 3 3 （4）球体的表面积和体积公式：V = 4R 3 ； S = 4R 2球 3 球面圆台表⎪ ⎭⎭ a ⊂⎬ ⎭ 1、平面及基本性质 公理 1 A ∈ l , B ∈ l , A ∈, B ∈⇒ l ⊂公理 2 若 P ∈, P ∈ ,则⋂ = a 且 P ∈公理 3 不共线三点确定一个平面（推论 1 直线和直线外一点,2 两相交直线,3 两平行直线）2、空间两直线的位置关系共面直线：相交、平行（公理 4） 异面直线3、异面直线 （1） 对定义的理解：不存在平面，使得 a ⊂ 且b ⊂（2） 判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理： P 15★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.②向量法 cos =| cos < a ,b >|= | a ⋅ b | | a || b |（注意异面直线所成角的范围(0,]）2 （4） 证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；②向量法 a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0（5） 求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.9.2 直线与平面的位置关系1、直线与平面的位置关系a ⊂ , a //, a ⋂= A 2、直线与平面平行的判定 b ⊄ ⎫ （1） 判定定理: b // a ⎬ ⇒ b // (线线平行，则线面平行 P 17)a ⊂ ⎪ // ⎫（2） 面面平行的性质： a ⊂ ⎬⇒ a // (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质a //,a ⊂ ⎫⇒ a //b (线面平行，则线线平行 P ) ⋂= b ⎬ 18★4、直线与平面垂直的判定 （1） 直线与平面垂直的定义的逆用l ⊥ ,⎫ ⇒ l ⊥ a ⎭⎬ 51 ⎭ ⎭ ⎭⎭⎭ l ⊥ m , l ⊥ n ⎫⎪（2） 判定定理： m , n ⊂ m ⋂ n = A a // b ⎫⎬ ⇒ l ⊥ （线线垂直，则线面垂直 P 23 ） ⎪ ⎭（3） b ⊥ ⎭⎬ ⇒ a ⊥ （ P 25 练习 第 6 题）⊥ （4） 面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫ ⎪ ⇒ a ⊥（面面垂直，则线面垂直 P ） a ⊂, a ⊥ l ⎪ // ⎫（5） 面面平行是性质： l ⊥ ⎬ ⇒ l ⊥ 5、射影长定理 ★6、三垂线定理及逆定理 线垂影 ⇔ 线垂斜9.3 两个平面的位置关系1、空间两个平面的位置关系 相交和平行2、两个平面平行的判定 a //,b // ⎫ （1） 判定定理： a ,b ,a ⋂ b = P ⎬ ⇒// （线线平行，则面面平行 P 19 ） l ⊥ ⎫ （2） l ⊥ ⎬⇒ // 垂直于同一平面的两个平面平行 （3） //,//⇒ // 平行于同一平面的两个平面平行 （ P 21 练习 第 2 题）3、两个平面平行的性质（1）性质 1：// , a ⊂ ⇒ a //// ⎫ （2）面面平行的性质定理：⋂= a ,⋂= b ⎬ ⇒ a // b （面面平行，则线线平行 P 20 ） （3）性质 2：// , l ⊥ ⇒ l ⊥4、两个平面垂直的判定与性质 （1） 判定定理： a ⊥ ,a ⊂⇒⊥（线面垂直，则面面垂直 P 50 ）⎬ 51 ⎭ ⊥ （2） 性质定理：面面垂直的性质定理：⋂ = l ⎫⎪ ⇒ a ⊥ （面面垂直，则线面垂直 P ）a ⊂ , a ⊥ l⎪9.4 空间角1、异面直线所成角（9.1）2、斜线与平面所成的角 (0, 2 )（1） 求作法（即射影转化法）：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足.（2） 向量法：设平面的法向量为 n ，则直线 AB 与平面所成的角为，则sin =| cos < AB , n >|= （3） 两个重要结论| AB ⋅ n | ∈ (0,) 2最小角定理 P 48 ： cos = cos 1 cos 2 ， P 26 , 例 4 P 28 第 6 题9.5 空间距离1、求距离的一般方法和步骤（1） 找出或作出有关的距离；（2） 证明它符合定义；（3） 在平面图形内计算（通常是解三角形）2、求点到面的距离常用的两种方法（1） 等体积法——构造恰当的三棱锥；（2） 向量法——求平面的斜线段，在平面的法向量上的射影的长度： d = | AB ⋅ n | | n |3、直线到平面的距离，两个平行平面的距离通常都可以转化为点到面的距离求解4、异面直线的距离① 定义：和两异面直线都垂直相交且夹在异面直线间的部分（公垂线段）② 求法：法 1 找出两异面直线的公垂线段并计算，法 2 转化为点面距离| AB ⋅ n |向量法 d = | n | （ A ， B 分别为两异面直线上任意一点， 为垂直于两异面直线的向量）注意理解应用： l 2 = m 2 + n 2 + d 2 ± 2mn c os 重点例题： P 51 和 P 55 例 2“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

高一数学《》重点知识点归纳高一数学《集合》重点知识点归纳在年少学习的日子里，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点就是学习的重点。

想要一份整理好的知识点吗？下面是店铺为大家整理的高一数学《集合》重点知识点归纳，希望对大家有所帮助。

高一数学《集合》重点知识点归纳1一．知识归纳：1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互异性（若a?A，b?A，则a≠b）和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符号条件2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则A B（或A B）；2）真子集：A B且存在x0∈B但x0 A；记为A B（或，且）3）交集：A∩B={x x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x x∈A或x∈B}5）补集：CUA={x x A但x∈U}注意：①? A，若A≠?，则? A ；②若，则；③若且，则A=B（等集）3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：（1）与、的区别；（2）与的区别；（3）与的区别。

4．有关子集的几个等价关系①A∩B=A A B；②A∪B=B A B；③A B C uA C uB；④A∩CuB = 空集 CuA B；⑤CuA∪B=I A B。

5．交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩? = ?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪? =A，A∪B=B∪A；③Cu (A∪B)= CuA∩CuB，Cu (A∩B)= CuA∪CuB；6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非空子集，2n－2个非空真子集。

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

高一数学立体几何中的平行关系总结在高一数学学习中，立体几何是一个重要的内容模块。

其中，平行关系是我们必须要掌握和理解的一个重要概念。

本文将对高一数学中立体几何中的平行关系进行总结与归纳，以帮助学生更好地理解和应用此知识点。

1. 平行线和平面内的平行关系在立体几何中，平行线和平面的平行关系是我们首先需要学习和掌握的。

平面内平行线的特点是：它们永不相交，在平面内具有相同方向。

我们可以利用平行线的性质解决一些几何问题，例如证明出两直线平行或通过平行关系求解线段长度等。

2. 空间几何中的平行关系除了平行线和平面内的平行关系外，立体几何中还存在着空间几何中的平行关系。

空间几何中的平行关系不仅包括平行线和平行面的情况，还包括平行线与平行面之间的关系。

3. 平行关系的判定方法在立体几何中判断平行关系的方法有很多，我们常用的方法有以下几种：- 通过判断夹角关系：当两条线或者两个面之间的夹角等于180°时，它们之间存在平行关系。

- 利用平面内的平行线性质：利用平面内平行线的性质，查看线段是否具有相同的方向和相等的比例关系，来判断是否平行。

- 利用一组平行关系的性质：通过已知的一组平行关系，推出其他线段或角度的平行关系。

- 通过向量法判断：利用向量的知识，通过向量的方向和模的性质，判断线段或面是否平行。

4. 平行线与平面的应用在实际生活中，平行线与平面的知识并不仅限于数学领域，而是有很多应用。

例如，在建筑学中，我们经常需要绘制地面、墙壁和屋顶等的布局图，这时我们就需要运用平行线和平面的知识来保证布局的准确性和美观性。

尽管立体几何中的平行关系是数学学科的一部分，但其应用广泛，不仅仅局限于课堂和考试中。

掌握平行关系的知识将使学生在解决几何问题和应用几何知识时更加得心应手。

总结起来，高一数学立体几何中的平行关系是我们学习的重要内容，涉及到的知识点较多，但通过不断练习和实践，我们能够逐渐理解和掌握其核心概念和判定方法。

高一数学立体几何基础知识总结立体几何是数学中的一个分支，研究的是三维空间中的图形和其性质。

高一学年是学生接触立体几何的开始，本文将总结高一数学中的立体几何基础知识，包括几何体的定义与性质、投影与视图等内容。

1. 几何体的定义与性质几何体是指三维空间中的实体，包括点、线、面和体。

几何体有以下几个基本性质：（1）它们的边界是由点、线或曲线组成的；（2）它们包含有一定的空间；（3）它们是有限的；（4）它们具有一定的形状。

在高一阶段，常见的基本几何体有球体、长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和棱柱体等。

这些几何体各自具有不同的性质，比如球体的表面积和体积计算公式与其他几何体有所不同。

2. 投影与视图投影是指立体几何体在平面上的阴影。

在高一数学中，常见的投影有正射投影和斜投影。

正射投影是指投影线与平面垂直的投影方式，而斜投影则是投影线与平面不垂直的情况。

视图是从不同方向观察立体几何体得到的平面图形。

常见的视图有三个：主视图、俯视图和侧视图。

主视图是从正对立体几何体的方向观察，俯视图是从上方向下观察，侧视图是从侧面观察。

通过不同的视图，我们可以更好地认识立体几何体的结构和性质。

3. 空间坐标系空间坐标系是用来描述三维空间中点的位置的工具。

常见的空间坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。

直角坐标系通过三条相互垂直的坐标轴确定空间中的点的位置。

坐标轴分别是x轴、y轴和z轴，它们的交点是空间的原点O。

利用直角坐标系，我们可以确定一个点在空间中的具体位置。

柱面坐标系采用直角坐标系中的x轴和y轴，再加上一个与z轴的夹角θ和与z轴的距离z，来确定空间中的点的位置。

柱面坐标系适用于圆柱体和圆锥体等柱面状的几何体。

通过空间坐标系，我们可以更直观地描述和计算立体几何体的性质。

4. 空间中的直线与平面空间中的直线可以用两点确定，也可以用一点和方向确定。

直线与直线之间有平行和相交的关系。

空间中的平面可以通过三点确定，也可以通过一点和法向量确定。

立体几何知识梳理一 、空间几何体 （一） 空间几何体的类型1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其中，这条直线称为旋转体的轴．（二） 几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱． 1.2 棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 性质：Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；1.3 棱柱的面积和体积公式ch S 直棱柱侧（c 是底周长，h 是高）S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h2 、棱锥的结构特征2.1 棱锥的定义（1） 棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形图1-1 棱柱2.2 正棱锥的结构特征Ⅰ、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；Ⅱ、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；Ⅲ、两个特征三角形：（1）POH ∆（包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径）；（2）POB ∆（包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径） 正棱锥侧面积：1'2S ch =正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高） 体积：13V Sh =棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为a 22的正方体问题． 对棱间的距离为a 2（正方体的边长） 正四面体的高a 6（正方体体对角线l 32=） 正四面体的体积为32a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-） 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1（正方体体对角线正方体体对角线：l l 2161=） 3 、棱台的结构特征3.1 棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台． 3.2 正棱台的结构特征（1）各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2）正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形； （3）正棱台的对角面也是等腰梯形； （4）各侧棱的延长线交于一点． 4 、圆柱的结构特征4.1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲ABC D POH面所围成的几何体叫圆柱．4.2 圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面(轴截面)是全等的矩形．4.3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4 圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径，h为圆柱的高)V圆柱= S底h = πr2h5、圆锥的结构特征5.1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2 圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；图1-5 圆锥（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2 = r2 + h25.3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2 圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3 圆台的面积和体积公式S圆台侧= π·(R + r)·l (r、R为上下底面半径)V圆台= 1/3 (π r2+ π R2+ π r R) h (h为圆台的高)7 球的结构特征7.1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2 球的结构特征⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r 2 = R 2 – d 2 ⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长． 7-3 球的面积和体积公式S 球面 = 4 π R 2 (R 为球半径)； V 球 = 4/3 π R 3 （三）空间几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积 ：222S rl r ππ=+圆锥的表面积：2S rl r ππ=+圆台的表面积：22S rl r Rl R ππππ=+++球的表面积：24S R π= 空间几何体的体积柱体的体积 ：V S h =⨯底；锥体的体积 ：13V S h =⨯底台体的体积：1)3V S S h =++⨯下上（；球体的体积：343V R π=斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；二 、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直．如图，已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面α内一条直线．①三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA．即垂直射影则垂直斜线．②三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA．即垂直斜线则垂直射影．（10）若一直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于平面内所有直线．补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条．3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（5）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．判定定理：性质定理：★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义(反证法)：lα=∅，则l∥α (用于判断)；⑵利用判定定理：线线平行线面平行(用于证明)；⑶利用平面的平行：面面平行线面平行(用于证明)；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)．2线面斜交和线面角：l∩α = A2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ．2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；当直线垂直于平面时，θ=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面．判定定理：性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线．即：（2）垂直于同一平面的两直线平行．即：★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明．⑵利用判定定理证明．⑶一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面．⑷一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个．⑸如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面．5、面面平行的判断：（4）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行．（13）垂直于同一条直线的两个平面平行．6、面面垂直的判断：（15）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直．判定定理：性质定理：（1）若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90°；（2）（二）、其他定理结论：（1）确定平面的条件：①不共线的三点；②直线和直线外一点；③两条相交直线；④两条平行直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短．（5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所成的角．（6）异面直线的判定：①反证法；②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线．（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内．（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线．（三）、唯一性定理结论：（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直．（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行．（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行．四、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）（1）异面直线所成的角：平移转化，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线o o（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为o 0； ②线面垂直：线面所成的角为o 90；③斜线与平面所成的角：射影转化，即转化为斜线与它在平面内的射影所成的角．o o 线面所成的角范围090o o α≤≤ （3）二面角：关键是找出二面角的平面角，o o α≤<； 五、距离的求法：（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线段的长、点与线、面间的距离是点到线、面垂足间线段的长．求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算．注意：求点到面的距离的方法：①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）； ②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）； ③体积法：利用三棱锥体积公式．。

高中数学知识点总结及公式大全立体几何中的平行与垂直问题高中数学知识点总结及公式大全：立体几何中的平行与垂直问题在高中数学中，几何是一个重要的分支，而立体几何更是其中的重要内容之一。

在立体几何中，平行和垂直是我们经常遇到的问题。

本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，并提供一些常用的公式。

一、平行与垂直的概念在几何中，平行和垂直是两个基本的关系。

平行指的是两条直线永远不会相交的情况，可以想象成两条铁轨永远平行。

垂直则指的是两条直线相互成直角，可以想象成两根彼此垂直的木棍。

二、平行与垂直的判定方法1. 平行关系的判定方法：(1) 同位角相等定理：如果两条直线被一组相交线段所切割，且这些相交线段的对应角相等，则这两条直线是平行的。

(2) 平行线的性质定理：如果一条直线上的两个点分别与另一条直线上的两个点相连，且相连的线段互相平行，则这两条直线是平行的。

(3) 平行线的判定定理：如果两条直线的斜率相等且不相交，则这两条直线是平行的。

2. 垂直关系的判定方法：(1) 两条直线相交且相交角为90度，则这两条直线是垂直的。

(2) 垂直线的性质定理：如果一条直线与另一条直线相互垂直，且这两条直线各自还与第三条直线相交，则第三条直线与这两条直线也是垂直的。

(3) 垂直线的判定定理：如果两条直线的斜率互为负倒数，则这两条直线是垂直的。

三、常用公式在立体几何中，我们经常使用一些公式来求解问题。

下面是一些常用的公式：1. 立方体的表面积公式：立方体的表面积等于6倍的边长平方。

2. 立方体的体积公式：立方体的体积等于边长的立方。

3. 正方体的表面积公式：正方体的表面积等于6倍的边长平方。

4. 正方体的体积公式：正方体的体积等于边长的立方。

5. 圆柱体的表面积公式：圆柱体的表面积等于2πr² + 2πrh，其中r为底面半径，h为高。

6. 圆柱体的体积公式：圆柱体的体积等于πr²h，其中r为底面半径，h为高。

高一数学集合知识点总结_高三数学知识点总结高一数学的集合部分主要包括集合的概念、集合的运算、集合的表示方法以及集合的分区等内容。

下面是高一数学集合知识点的总结：1. 集合的概念：- 集合是由一些确定的对象所组成的整体。

- 集合中的对象称为元素，用小写字母表示。

- 表示集合的方法有列举法、描述法和图形法。

2. 集合的关系：- 包含关系：一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

- 相等关系：两个集合的所有元素一样，即元素相同。

- 全集：指定一个特定的集合，包含了所有讨论的元素。

- 空集：不包含任何元素的集合。

5. 集合的分区：- 集合的划分：将一个集合分成若干个互不相交的子集合。

- 等价关系：将一个集合划分为若干个互相关联的子集合。

高三数学知识点总结高三数学的知识点相对来说比较复杂，内容包括了函数的极限、导数、不等式、数列与数学归纳法、三角函数等等。

下面是高三数学知识点的总结：1. 函数的极限：- 函数极限的定义：当自变量趋于某一值时，函数值的变化情况。

- 函数极限的性质和运算法则。

- 函数的左极限和右极限。

2. 导数与微分：- 导数的概念和求导公式。

- 导函数与原函数的关系。

- 高次导数和隐函数求导。

- 微分的概念和应用。

3. 不等式：- 不等式的性质与运算法则。

- 绝对值不等式与分段函数。

- 二次函数与不等式。

- 系数判别法和根的判别式。

4. 数列与数学归纳法：- 数列的概念和常见数列的性质。

- 数列的通项公式和前n项和公式。

- 数学归纳法的基本原理和应用。

必 修 一第一章 集合与函数的概念一、集合：1．集合的定义与表示（1）集合的定义：把一些元素组成的总体叫做集合（2）集合的表示：常用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示，集合中的元素一般用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示 （3）集合的性质：确定性、互异性、无序性（集合中元素的性质） （4）元素与集合的关系：属于(A a ∈) , 不属于(A a ∉) （5）常用数集：R Q Z N N ,,,,*（6）集合的表示：列举法，描述法2．集合间的基本关系（从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）子集：一般地，对于两个集合,A B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（读作A 含于B ）或A B ⊇（读作B 包含A ）。

韦恩表示图略 （2）集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），称集合A 与集合B 相等。

记作A B =。

韦恩表示图略 （3）真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素,x B ∈且,x A ∉称集合A 是集合B 的真子集，记作B A ≠⊂（读作A真含于B ）或A B ≠⊃（读作B 真包含A ）。

韦恩表示图略（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集。

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集 （5）集合的子集个数：含有n 个元素的集合的子集个数为n2，真子集个数为12-n，非空真子集个数为22-n3．集合的基本运算从文字语言、图形语言、符号语言等方面理解） （1）并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作A B（读作：“A 并B ”），即{},A B x x A x B =∈∈或，韦恩表示图略（2）交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的交集，记作A B （读（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作UA ，即{}=,UA x x U x A ∈∉且，韦恩表示图略，数轴表示略说明：求并集、交集与补集时可借用数轴处理4．集合的主要性质和运算律二、函数及其表示1．函数的定义：（集合对应定义法）设A B 、是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}()f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合B 的子集.函数三要素：定义域（集合），值域（集合），解析式（表达式）区间（集合的另一种表示方式）：开区间、闭区间、半开半闭区间（左开右闭、左闭右开） [][)(]()(]()[)()(,);,;,,,;,,,;,,,,,a b a b a b a b a a b b -∞-∞+∞+∞-∞+∞ 无穷大的引入：-∞+∞∞,, 2．函数的表示：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系 分段函数：映射：设A B 、是非的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。

一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行2. 线面相交l符号表示：符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。

方法二：用面面平行实现。

mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβαmlml////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα方法三：用线面垂直实现。

若αα⊥⊥ml,，则ml//。

2.线面平行：方法一：用线线平行实现。

ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。

αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂3.面面平行：方法一：用线线平行实现。

方法二：用线面平行实现βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll。

βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：l1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。

方法二：用面面垂直实现。

αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。

方法二：计算所成二面角为直角。

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。

m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。

PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭。