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第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
第一章 随机过程及其分类在概率论中，我们研究了随机变量，n 维随机向量。
在极限定理中我们研究了无穷多个随机变量，但只局限在它们之间相互独立的情形。
将上述情形加以推广，即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。
1． 随机过程的概念定义：设),,(P ∑Ω是一概率空间，对每一个参数T t ∈，),(ωt X 是一定义在概率空间),,(P ∑Ω上的随机变量，则称随机变量族});,({T t t X X T ∈=ω为该概率空间上的一随机过程。
其中R T ⊂是一实数集，称为指标集或参数集。
随机过程的两种描述方法： 用映射表示T X ，R T t X →Ω⨯:),(ω即),(⋅⋅X 是一定义在Ω⨯T 上的二元单值函数，固定T t ∈，),(⋅t X 是一定义在样本空间Ω上的函数，即为一随机变量；对于固定的Ω∈ω，),(ω⋅X 是一个关于参数T t ∈的函数，通常称为样本函数，或称随机过程的一次实现，所有样本函数的集合确定一随机过程。
记号),(ωt X 有时记为)(ωt X 或简记为)(t X 。
参数T 一般表示时间或空间。
常用的参数一般有：（1）},2,1,0{0 ==N T ；（2）},2,1,0{ ±±=T ；（3）],[b a T =，其中a 可以取0或∞-，b 可以取∞+。
当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。
随机过程});({T t t X ∈可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作S 。
S 中的元素称为状态。
状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。
实际应用中，随机过程的状态一般都具有特定的物理意义。
例1：抛掷一枚硬币，样本空间为},{T H =Ω，借此定义：⎩⎨⎧=时当出现，时当出现T 2H ,cos )(t t t X π ),(∞+-∞∈t 其中2/1}{}{==T P H P ，则)},(,)({∞+-∞∈t t X 是一随机过程。
《随机过程》课程教学大纲课程名称随机过程课程编码131510019 课程类型（学院内）跨专业课程适用范围数学与应用数学学分数 3 先修课程数学分析，概率论学时数48 其中实验学时其中实践学时考核方式考试制定单位数学与信息科学学院执笔者审核者一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务随机过程理论在自然科学、社会科学和工程技术的多个领域得到广泛的应用。
本课程是作为数学专业本科生基地班的专业基础课而开的。
该课程通过讲述随机过程的基本理论，介绍若干常用的随机过程，使学生掌握随机过程的基本工具和基本方法，从而为进一步学习随机分析以及随机过程的专业领域应用打下理论基础。
（二）教学目的和要求通过本课程的学习，应使学生对随机过程的基本理论有一个全面的认识，能够利用随机过程的理论和方法解决一些实际中遇到的相关问题。
学习本课程后，要求学生了解随机过程的基本概念和若干基本类型，理解不同类型随机过程在不同领域的应用，掌握随机过程理论的基本工具和基本方法，重点掌握几种在理论和实际应用都占有重要地位的特殊随机过程：泊松过程、布朗运动、马尔可夫过程、鞅过程等。
（三）课程教学方法与手段利用数学软件对随机过程进行绘图和动态模拟，加强学生对抽象随机过程的直观认识，培养学生对数学概念的直觉思考能力。
（四）课程与其它课程的联系随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分，因此本课程是先修课程概率论在理论上的深化，也可看做先修课程数学分析在概率论中的深入应用。
数学分析中的积分和傅里叶变换是学习随机过程必备的基本理论工具。
随机过程是后继课程随机分析、随机微分方程的直接基础，这些后继课程以随机过程为基本研究对象，特别是以布朗运动、马尔可夫过程、鞅过程等基本随机过程为基础，进一步应用分析工具得到更加深刻的理论结果。
（五）教材与教学参考书1．方兆本、缪柏其，随机过程，科学出版社，2011年．2．何声武，随机过程引论，高等教育出版社，1999 年．3．张波、张景肖，应用随机过程，清华大学出版社，2004年．4．杜雪樵、惠军，随机过程，合肥工业大学出版社，2006．二、课程的教学内容、重点和难点第一章随机过程的基本概念和统计描述1．1 基本概念和例子．1．2 有限维分布和数字特征．1．3 平稳过程和独立增量过程．第二章两个重要的基本随机过程2．1 布朗运动及其变换．（重点）2．2 泊松过程及其推广．（重点）第三章马尔可夫链3．1 马尔可夫性及其概率刻画．3．2 转移矩阵和多步转移概率的确定．（重点）3．3 极限定理与平稳分布．（重点）3．4 分支过程．第四章鞅论初步4．1 条件数学期望．4．2 鞅的定义和例子．4．3 鞅的停时定理．（难点）4．4 鞅的收敛定理．（难点）四、课内实践教学安排无。
随机过程讲义
随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它主要用于表示不确定性和不确定性，在工程领域中有着广泛的应用。
本文将从定义和性质出发，论述随机过程的基本概念。
随机过程可以分为离散和连续两类。
离散随机过程是指在一定时间间隔内，其值只能在有限的取值集合中取值的变量。
例如，随机游戏的获胜概率可以用离散随机过程来表示。
连续随机过程是指在一定时间间隔内，其值可以取任何实数值的变量。
例如，温度变化可以用连续随机过程来表示。
随机过程有几个基本性质，如期望值、方差、协方差、自相关系数、相关系数和谱密度等。
期望值是指在一定时间间隔内，一个随机变量的预期值；方差表示变量的变化范围；协方差表示两个变量的关联性；自相关系数表示一个变量的变化，对另一个变量的影响；相关系数表示两个变量之间的相关性；谱密度表示变量的频率分布。
随机过程的应用非常广泛，它可以用于统计学、信号处理、系统建模和控制等领域。
它可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，并分析系统的性质，以及系统响应的变化。
它还可以用于分析信号传输系统中的信号噪声，以及与环境变量相关的随机变量。
总之，随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它有几个基本性质，可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，它在工程领域有着广泛的应用，可以用于控制、分析、模拟等众多方面。
