浙江省义乌中学等9+1高中联盟2019~2020学年高二第二学期期中考试数学试卷(含答案)

2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。

2019-2020学年浙江省9 1高中联盟高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设全集U ={x|x >0}，集合M ={x|x −3>0}，则∁U M =( )A. {x|0<x ≤3}B. {x|x <3}C. {x|x ≤3}D. {x|0<x <3}2. x ∈[0,2π]，y =√tanx +√−cosx 定义域为( )A. x ∈[0,π2)B. (π2,π]C. [π,3π2)D. (3π2,2π]3. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D ，若OC⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m +n 的取值范围是( ) A. (0,1) B. (1,+∞) C. (−∞,−1) D. (−1,0)4. 已知z =m −1+(m +2)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−2,1)C. (1,+∞)D. (−∞,−2)5. 不等式a 1x 2+b 1x +c <0和a 2x 2+b 2x +c 2<0解集分别为M ，N 则a1a 2=b1b 2=c1c 2是M =N 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 要得到函数y =2cosx ⋅sin(x +π6)−12的图象，只需将y =sinx 的图象( )A. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变) B. 先向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变) C. 先将所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度 D. 先将所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位长度7. 若a ，b 在区间[0,√3]上取值，则函数f(x)=13ax 3+bx 2+14ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( )A. 14B. 1−√32C. 34D. √328. 将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、上海交大和浙大3所大学，若每所大学至少保送1人，则不同的保送方案共有( )种．A. 114B. 100C. 72D. 1509. 定义在R 上的奇函数f(x)对任意x ∈R 都有f(x +1)=f(3−x)，若f(1)=−2，则2012f(2012)−2013f(2013)=( )A. −4026B. 4026C. −4024D. 402410. 已知函数f(x)={ax 2+1,(x ≥0)(a +2)e ax ,(x <0)为R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围是( )A. ( 0,+∞)B. [−1,0 )C. (−2,0)D. (−∞,−2)二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 要做一个母线长为30cm 的圆锥形的漏斗，要使其体积最大，则其底面半径为______cm ． 12. 已知函数f(x)={x(x +4),x ≥0x(x −4),x <0，则f(1)+f(−3)=______．13. 已知向量a ⃗ =(2,1)，b ⃗ =(k,−3)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥a ⃗ ，则实数k =______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知点A(2,0)，B(1,2)，C(2,2)，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，O 为坐标原点，则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的取值范围是 ．15. 袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次1球，摸取3次，则恰有两次红球的概率为 (1) ；若有放回摸球，每次1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为 (2) ．16. 若(1+x)(1−2x)7=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 8x 8，则a 1+a 2+⋯+a 7的值是 ；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有 种不同的取法． 17. 对于实数x ，用[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.3]=0，[5.6]=5.若n ∈N ∗，a n =[n4]，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 8= (1) ；S 4n = (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知函数f(x)=2√3sinx ⋅cosx +cos2x ，x ∈R ．(1)求f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[−π6,π3]，求f(x)的最大值和最小值．19.汽车租赁业被称为“朝阳产业”，因为它具有无须办理保险、无须年检维修、车型可随意更换等优点，以租车代替买车来控制陈本，正慢慢受到国内企事业单位和个人用户的青睐，可以满足人民群众个性化出行、商务活动需求和保障重大社会活动．2013年国庆长假期间某汽车租赁公司为了调查P、Q两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如表：P型车出租天数1234567车辆数51030351532Q型车出租天数1234567车辆数1420201615105(1)根据一周内的统计数据，预测该公司一辆P型车，一辆Q型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(2)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从P、Q两种车型中购买一辆，请你给出建议应该购买哪一种车型，并说明理由．20.(本小题满分12分)已知向量=3i−4j，=6i−3j，=(5−m)i−(3+m)j其中i，j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量(1)A，B，C能够成三角形，求实数m应满足的条件。

2019-2020学年浙江省9+1联盟高二下学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★（解析版）一、选择题（本大题共10题,每小题4分,共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,不选、多选,错选均不得分）1.设集合{}1,2,3,4A =,,m n A ∈,则方程221x y m n+=表示焦点位于x 轴上的椭圆有( ) A. 6个B. 8个C. 12个D. 16个【答案】A【解析】 根据m n >,对A 中元素进行分析即可求解.【详解】因为椭圆焦点在x 轴上,所以m n >,当2m =时,1n =；当3m =时,1,2n =；当4m =时,1,2,3n =,一共有6个符合要求的椭圆,故选：A2.设,x y R ∈,则11()()22x y >是22log log x y <成立的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】 根据指数函数的单调性、对数函数的单调性,可得出结论. 【详解】因为1()2x y =为R 上的减函数,2log y x =是(0,)+∞上的增函数, 所以由11()()22x y >可得x y <（,x y R ∈）22log log x y <,由22log log x y <可得x y <（,x y R +∈）⇒11()()22x y >, 故11()()22x y >是22log log x y <成立的必要不充分条件, 故选：B3.下列函数中是偶函数,且在0∞+（，）上单调递增的是（）A. 3y x =B. 2y lgx =-C. 2x y =D. y =【答案】D【解析】根据各函数的性质与单调性逐个判断即可.【详解】.A 函数为奇函数,不满足条件． B .函数的定义域为{|0}x x ≠,函数为偶函数,当0x >时,22y lgx lgx =-=-为减函数,不满足条件．C .2x y =为增函数,为非奇非偶函数,不满足条件．D .令()f x =定义域为R ,()()f x f x -===,该函数为偶函数,当0x >时,y =,满足条件,故选：D ．4.用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时,由n k =到1n k =+时,不等试左边应添加的项是( ) A.12(1)k + B. 112122k k +++ C. 11121221k k k +-+++ D. 1111212212k k k k +--++++ 【答案】C【解析】分别代入,1n k n k ==+,两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k 时,左边为11112k k k k+++++, 当n=k+1时,左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++。

2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）A. ﹣1﹣2iB. ﹣1+2iC. 1﹣2iD. 1+2i【答案】D【解析】【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为3. 设随机变量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及可知期望与方差.【详解】因为随机变量，且，所以由对称性知，由正态分布知方差.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.4. 从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．5. 在的展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，6. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】第一种情况表示1个3， ,第二种情况表示2个3，，所以，故选D.7. 如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.【详解】由题知AB面BCD, AB CD,又BC=BD，点是的中点， BE CD,且BE=又，CD面ABE,过B作BF于E，则CD BF,又AE CD=E, BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.,解得BA=4 , ,利用等面积知 .故选D.【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF 面ACD是关键.8. 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数是在上的增函数，需满足，解得．所以实数取值范围是．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.10. 下列说法正确的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“，”的否定是“，”C. “”是“”必要而不充分条件D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.11. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A. 若复数，则．B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则．C. 若复数，满足，则．D. 复数的虚部是3．【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C 正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是【答案】BC【解析】【分析】举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误．【详解】根据题意知，．，，，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；，，，，D错误．故选BC．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________．【答案】(1,3)【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到，解得答案.【详解】，，函数为奇函数，，函数单调递增，，即，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数．【详解】解：（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.（3）通项公式：由，，可得含的项的系数为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质．18. 已知函数f（x）（k＞0）（1）若f（x）＞m的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，求不等式5mx2+kx+3＞0的解集；（2）若存在x＞3，使得f（x）＞1成立，求k的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系：-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，即利用韦达定理得方程组，解方程组可得m,k的值，代入不等式5mx2+kx+3＞0再解一元二次不等式即可（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题：，再根据基本不等式求最值，即得k的取值范围．试题解析：解：（1）不等式，∵不等式mx2-2kx+6km＜0的解集为{x|x＜-3，或x＞-2}，∴-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，∴，故有，∴不等式5mx2+kx+3＞0的解集为．（2）．存在x＞3，使得f（x）＞1成立，即存在x＞3，使得成立．令，则k＞g（x）min．令2x-6=t，则t∈（0，+∞），，当且仅当即时等号成立．所以故k∈（6，+∞）．点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.19. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点．（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，，，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；（2）设，，根据（1）可知，平面，则到平面距离，设到面距离为，根据三棱锥等体积法有，得，得，因为与平面所成的角为30°，可求出，结合线面垂直的判定定理证出平面，进而得出为二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值．【详解】解：（1）取中点，连接、，∵∴，∵平面，平面，∴，而平面，平面，∴平面，∵为中点，∴，，∴，，∴四边形为平行四边形，∴．∴平面．（2）设，，则，，，∴∴，，到平面距离，设到面距离为，由，得，即，得，因为与平面所成的角为30°，所以，而在直角三角形中，，所以，解得．因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以，所以平面，∵平面，平面所以为二面角的平面角，而，可得四边形是正方形，所以，则，所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20. 交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0503.841787910.828【答案】（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】（1）平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计因为，，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）服从，即，.所以的分布列如下的期望【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.21. 已知为给定的正整数，设，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用二项式定理可求出和的值；（2）利用组合数公式得出，可得出，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，；（2）当时，，又因为，当时，；当时，，当时，也符合.所以的值为.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.22. 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）A. ﹣1﹣2iB. ﹣1+2iC. 1﹣2iD. 1+2i【答案】D【解析】【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案．【详解】i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为3. 设随机变量，若，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及可知期望与方差.【详解】因为随机变量，且，所以由对称性知，由正态分布知方差.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.4. 从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可．5. 在的展开式中，含的项的系数是（）A. 74B. 121C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，6. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】第一种情况表示1个3， ,第二种情况表示2个3，，所以，故选D.7. 如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.【详解】由题知AB面BCD, AB CD,又BC=BD，点是的中点， BE CD,且BE=又，CD面ABE,过B作BF于E，则CD BF,又AE CD=E, BF面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.,解得BA=4 , ,利用等面积知 .故选D.【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF面ACD是关键.8. 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数是在上的增函数，需满足，解得．所以实数取值范围是．故选D．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.【点睛】本题考查数学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.10. 下列说法正确的是（）A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“，”的否定是“，”C. “”是“”必要而不充分条件D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.11. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（）A. 若复数，则．B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则．C. 若复数，满足，则．D. 复数的虚部是3．【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是【答案】BC【解析】【分析】举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误．【详解】根据题意知，．，，，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；，，，，D错误．故选BC．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则__________．【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值．详解：计算=×（0+1+3+5+6）=3，=×（1+m+3m+5.6+7.4）=，∴这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，∴=1×3+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基础题．14. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________．【答案】(1,3)【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到，解得答案.【详解】，，函数为奇函数，，函数单调递增，，即，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15. 已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．16. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有______种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为①②③④⑤，再分两步讨论①②③和④⑤的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为①②③④⑤，对于区域①②③，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域④⑤，若④与②颜色相同，则⑤有3种情况，若④与②颜色不同，则④有2种情况，⑤有2种情况，共有种情况，所以④⑤共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；。

教学联盟2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算法则，求得答案.【详解】因为故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.函数的导数是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则，求得答案.【详解】对函数求导，可得导函数故选：C【点睛】本题考查导数的运算中复合函数求导，属于基础题. 3.从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算总的基本事件个数，和满足条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】设事件A：从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女，则总的基本事件个数有个；恰好选到一男一女的基本事件个数有，则，故选：B【点睛】本题考查利用组合公式求古典概型问题的概率，属于基础题.4.展开式中的常数项为（）A. 80B. -80C. 270D. -270【答案】D【解析】【分析】由公式表示二项展开式的通项，令其指数为零，即可表示指定项的系数.【详解】该二项展开式的通项为，令，即时，有故选：D【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.5【答案】A【解析】【分析】由正态分布的对称性可知，再由对立事件的概率计算方式求得答案.【详解】由正态分布的对称性可知，故故选：A【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求概率，属于基础题.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知函数在区间上单调递减转化其导函数在该区间上恒小于等于零，进而由恒成立问题解决即可.【详解】因为若函数在区间上单调递减，则其导函数在区间上恒小于等于零，即有，令，显然其在上单调递减，则故故选：A【点睛】本题考查由已知区间单调性求函数中参数的取值范围，属于简单题.7.用0，1，2，…，8这九个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】特殊元素优先考虑，优先考虑最高位置不排0，再任选2个数字全排列，由分步计数原理运算公式计算即可.【详解】第一步：优先考虑最高位放置非0外的8个数中的任意一个有8种可能；第二步：从除上述数字意外的8个数字中任选2个在后面全排列，有种可能；故已知要求的事件的个数是.故选：B【点睛】本题考查由排列问题中排数问题，属于基础题.8.若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（）A. 4B. 10C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】对函数求导整理得，分类讨论当时，在上单调递增且，则不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则该零点处就是极值处，进而构建方程求得参数，再利用导数求三次函数的最值即可.【详解】因为，则，当时，显然，则原函数在上单调递增，又因为，则在上没有零点，不符合题意；当时，由于，令即函数在上单调递减，在上单调递增；又因为函数在有且仅有一个零点，则所以，即，令，解得或2故其单调性为：+极大值20所以函数的极大值为，右端点值为，故函数在区间上的最大值为20故选：D【点睛】本题考查由函数零点个数求参数，并求三次函数在指定区间的最值，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】CD【解析】【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题.10.下列等式中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】选项A，选项B，选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.【详解】选项A，左边==右边，正确；选项B，右边左边，正确；选项C，右边左边，错误；选项D，右边左边，正确.【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为计算曲线与直线的最短距离，由导数的几何意义求得即可.【详解】设直线与曲线相切于点，则，因为解得，即，故曲线与直线的最短距离为所以可以为故选：CD【点睛】本题考查导数的几何意义，属于中档题.12.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（）A. 恰有四支球队并列第一名为不可能事件B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名C. 恰有两支球队并列第一名的概率为D. 只有一支球队名列第一名的概率为【答案】ABD【解析】【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B，其中6场比赛中，依次获胜的可以是，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，若选中a，b，其中第一类a赢b，有a,b,c,d,a,b和a,b,d,c,a,b两种情况，同理第二类b赢a，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为，错误；选项D，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有种，故只有一支球队名列第一名的概率为，正确.故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．13.曲线在点处的切线方程为________．【答案】【解析】【分析】求函数求导，利用导数的几何意义求得切线方程的斜率，再由点斜式表示切线方程.【详解】对函数求导得，则切线的斜率为，故切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查求利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属于基础题.14.在复平面内，若复数满足，则的最大值为________．【答案】【解析】【分析】由已知表示复数z在复平面的运动轨迹为圆，又因为所求可视为两点间的距离，最后计算点到圆心的距离加半径即为最大值.【详解】设复数，则，即故复数z在复平面上的运动轨迹是以为圆心，2为半径的圆，则可视为在复平面上点与间的距离，由圆的性质可知.故答案为：【点睛】本题考查复数的几何意义，还考查了与圆有关的距离的最值问题，属于简单题.15.设随机变量的概率分布列如下表所示：1其中，，成等差数列，若随机变量均值为，则的方差为_________．【答案】【解析】【分析】利用等差中项的性质与分布列中概率和为1和均值的计算公式构建方程求得参数，再由方差的计算公式求得答案.【详解】因为，，成等差数列，则，其在分布列中，所以，又因为机变量的均值，且,故所以的方差为故答案为：【点睛】本题考查分布列的性质与均值的计算，还考查了方差公式的应用与计算，属于简单题.16.已知函数，，其中为自然对数的底数，若函数与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点，从而构建不等式，解得答案.【详解】函数与函数的图象有两个交点，等价于函数与函数的图象有两个交点，对函数求导，得，,，函数单调递增；,，函数单调递减，在处取得极大值，也是最大值为，对二次函数，其对称轴为，顶点坐标为分别作出图象，其若要有两个交点，则故答案为：【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数（，是虚数单位）．（1）若是纯虚数，求实数的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用复数除法公式计算并整理，再由纯虚数中实部为零，虚部不为零构建方程组，求得答案；（2）由共轭复数和复数的加减法计算公式整理，再由复数的几何意义构建不等式组，求得答案.【详解】（1），因为为纯虚数，所以，解得．（2）因为是的共轭复数，所以，所以．因为复数在复平面上对应的点位于第二象限，所以，解得．【点睛】本题考查复数中利用纯虚数的定义求参数取值范围，还考查了由复数的几何意义求参数范围，属于基础题.18.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数”可以分解为，“恰好取出个红球和个黑球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案.【详解】（1）题意知的所有可能取值为，，，，且服从参数为，，的超几何分布，因此．所以，，，．故的分布列为：（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件，“恰好取出个红球和个黑球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，“恰好取出个红球”为事件，由于事件，，彼此互斥，且，而，，，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：．答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题.19.（1）解不等式：；（2）已知，且．求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由排列数公式转化已知，再解一元二次不等式，最后注意排列数公式中；（2）由二项展开式的通项公式表示的系数，从而求得n，最后由赋值法分别赋值与x=-1再相加除以2即可.【详解】（1）由题得，化简得，即，所以．因为，且所以不等式的解集为．（2）二项式展开中的系数为，所以，化简得，即，因为，所以．所以，当①当，②①+②得，所以．【点睛】本题考查运用排列数公式求参数取值范围，还考查了二项展开式中由指定项系数求参数并利用赋值法求系数和问题，属于中档题.20.已知函数．(是自然对数的底数，)（1）求函数的单调区间；（2）设函数，求证：当时，．【答案】（1）单调增区间为，，单调减区间为，；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）优先确定定义域，再由求导法则求导，分别令导函数大于0与小于0构建不等式，解得解集即为对应的单调区间；（2）由（1）表示的解析式，欲证，等价转化为证明大于0，再对求导分析单调性并求最值，从而说明即可得证.【详解】（1）由题得函数的定义域为，化简得．令，解得或，所以单调增区间为，，令，解得或，所以单调减区间为，，综上的单调增区间为，，单调减区间为，．（2），即，令，令得．列表-+极小值所以当时，最小值为，所以．因为当时，，所以，得证．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，还考了利用导数证明不等式，属于较难题.21.某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．【答案】（1）分布列详见解析，数学期望；（2）不会超过预算，理由详见解析．【解析】【分析】（1）该事件满足二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np计算均值；（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定.【详解】（1）题意知的所有可能取值为，，，，4，且服从参数为的二项分布，所以，，，，．故的分布列为：从而．（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．，．所以=，化简得，令，，解得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，的最大值为．实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算．【点睛】本题考查求二项分布事件的分布列与均值，利用数学期望解决实际问题，还考查了利用导数求最值，属于较难题.22.已知，函数，函数．（1）当函数图象与轴相切时，求实数的值；（2）若函数对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论函数在区间上的零点个数．【答案】（1）；（2）；（3）当时，在区间有1个零点，当时，在区间内无零点．【解析】【分析】（1）设切点，由导数的几何意义为切线的斜率构建方程，求得答案；（2）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递增，再分类讨论当，当，两种情况下的单调性和最值即可；（3）结合已知表示函数的解析式，对其求导，由导函数解析式可知在单调递减，分类讨论当时，易证，无零点；当时，由不等式性质与单调性易证得有1个零点；当时，由零点的存在性定理可知存在唯一，使得，再利用导数分析单调性，进而分析出此时无零点.详解】（1）由题得设切点，，所以，，解得；（2），因为在单调递增，所以在单调递增，所以．当，，在单调递增，所以恒成立，所以．当，，所以，当，所以，使得，当，，在单调递减，所以时，，与矛盾舍去．综上．（3），，在单调递减．当时，，因为，所以，即在单调递增．则，所以在区间内无零点．当时，，所以，，所以存在唯一，使得．所以在区间有1个零点．当时，在单调递减，所以存在唯一，使得，当，，在单调递增，当，，在单调递减，所以当时，最大值为，代入得，，因为，所以，故，所以，在在区间内无零点．综上，当时，在区间有1个零点，当时，在区间内无零点．【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数，利用导数由不等式恒成立求参数的取值范围，还考查了利用导数研究函数零点问题，属于难题.教学联盟2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数满足，则复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】利用复数的除法运算法则，求得答案.【详解】因为故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题.2.函数的导数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则，求得答案.【详解】对函数求导，可得导函数故选：C【点睛】本题考查导数的运算中复合函数求导，属于基础题.3.从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别计算总的基本事件个数，和满足条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式求得答案.【详解】设事件A：从5名男生和4名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女，则总的基本事件个数有个；恰好选到一男一女的基本事件个数有，则，故选：B【点睛】本题考查利用组合公式求古典概型问题的概率，属于基础题.4.展开式中的常数项为（）A. 80B. -80C. 270D. -270【答案】D【解析】【分析】由公式表示二项展开式的通项，令其指数为零，即可表示指定项的系数.【详解】该二项展开式的通项为，令，即时，有故选：D【点睛】本题考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题.5.已知随机变量服从正态分布，若，则（）A. 0.8B. 0.7C. 0.6D. 0.5【答案】A【解析】【分析】由正态分布的对称性可知，再由对立事件的概率计算方式求得答案.【详解】由正态分布的对称性可知，故故选：A【点睛】本题考查利用正态分布的对称性求概率，属于基础题.6.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将已知函数在区间上单调递减转化其导函数在该区间上恒小于等于零，进而由恒成立问题解决即可.【详解】因为若函数在区间上单调递减，则其导函数在区间上恒小于等于零，即有，令，显然其在上单调递减，则故故选：A【点睛】本题考查由已知区间单调性求函数中参数的取值范围，属于简单题.7.用0，1，2，…，8这九个数字组成无重复数字的三位数的个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】特殊元素优先考虑，优先考虑最高位置不排0，再任选2个数字全排列，由分步计数原理运算公式计算即可.【详解】第一步：优先考虑最高位放置非0外的8个数中的任意一个有8种可能；第二步：从除上述数字意外的8个数字中任选2个在后面全排列，有种可能；故已知要求的事件的个数是.故选：B【点睛】本题考查由排列问题中排数问题，属于基础题.8.若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（）A. 4B. 10C. 16D. 20【答案】D【解析】【分析】对函数求导整理得，分类讨论当时，在上单调递增且，则不符合题意；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则该零点处就是极值处，进而构建方程求得参数，再利用导数求三次函数的最值即可.【详解】因为，则，当时，显然，则原函数在上单调递增，又因为，则在上没有零点，不符合题意；当时，由于，令即函数在上单调递减，在上单调递增；又因为函数在有且仅有一个零点，则所以，即，令，解得或2故其单调性为：+极大值20所以函数的极大值为，右端点值为，故函数在区间上的最大值为20故选：D【点睛】本题考查由函数零点个数求参数，并求三次函数在指定区间的最值，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A. 第3项B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】CD【解析】【分析】该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，表示出第3项与第8项的系数，可求得n，再表示该展开式中二项式系数最大的项即可.【详解】由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，又因为其相等，则所以该展开式中二项式系数最大的项为与项即为第5项；第6项.故选：CD【点睛】本题考查表示二项展开式的项的系数，还考查了求其中系数最大的项，属于基础题.10.下列等式中，正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】选项A，选项B，选项D，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C，由组合数性质还原化简即可判定.【详解】选项A，左边==右边，正确；选项B，右边左边，正确；选项C，右边左边，错误；选项D，右边左边，正确.故选：ABD【点睛】本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题.11.在平面直角坐标系中，点在曲线上，则点到直线的距离可以为（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】将问题转化为计算曲线与直线的最短距离，由导数的几何意义求得即可.【详解】设直线与曲线相切于点，则，因为解得，即，故曲线与直线的最短距离为所以可以为故选：CD【点睛】本题考查导数的几何意义，属于中档题.12.4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（）A. 恰有四支球队并列第一名为不可能事件B. 有可能出现恰有三支球队并列第一名C. 恰有两支球队并列第一名的概率为D. 只有一支球队名列第一名的概率为【答案】ABD【解析】【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况；选项B，举特例说明即可；选项C，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有场比赛，比赛的所有结果共有种；选项A，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；。

2019-2020学年浙江省A9协作体高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3}2．θ为第二象限角且tanθ＝﹣2，则cos（π﹣θ）＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．对于空间中的两条不同直线m，n和一个平面α，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n4．设f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），则a＝（）A．4B．2C．D．5．已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（1，]D．（1，）7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（）A．B．C．D．9．数列{a n}是等差数列，b n＝a n a n+1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，若a12＝＞0，则S14，S15，S16，S17中最小的是（）A．S16或S14B．S17C．S14D．S1510．三棱锥P﹣ABC的六条棱长都相等，M是棱AB上一点，若直线PM与直线BC所成角的余弦值为，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图（单位：cm）则该几何体的表面积为cm2，体积为cm3．12．已知2a＝3，则4a+4﹣a＝，log418＝．（用a表示）13．函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）（x∈R）的最小正周期为．该函数的最小值为．14．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是．15．f（x）＝e x（e为自然对数的底数），x∈[0，1]，将区间[0，1]n等分，区间两端点及等分点依次为A0，A1，…，A n﹣1，A n，其中A0（0，0），A n（1，0），过点A i（i＝0，1，…，n）作x轴的垂线交该函数图象于点B i（i＝0，1，…，n），顺次连接这些交点，依次得到n个小梯形A0B0B1A1，…，A n﹣1B n﹣1B n A n，如图，设梯形A i﹣1B i﹣1B i A i的面积为S i（i ＝1，2，…，n），则S1+S2+…+S n＝．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点为x1，x2，且满足0＜x1＜x2＜2，记f（x）（x∈R）的最小值为m，则m的取值范围是．17．已知||＝1，|+|+|﹣|＝4，则|﹣|的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝2．（1）若△ABC的面积S＝，且a＜c，求a，c的值；（2）若a＝1，求cos C的值．19．等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a1、a2、a5成等比数列，数列{b n}满足b1＝1且＝﹣（n∈N*）．（1）求a n、b n；（2）若c n＝，数列{c n}的前n项和为S n；（i）求S n；（ⅱ）求使S n＞的最小正整数n．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2DC，M是BC边的中点．（1）求证：PM⊥AD；（2）若PB＝AB，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．21．已知抛物线x2＝4y．（1）点P（x0，y0）是该抛物线上任一点，求证：过点P的抛物线的切线方程为x0x＝2y0+2y；（2）过点M（t，﹣1）（t∈R）作该抛物线的两条切线，切点分别为A（x1，y1）B（x2，y2），设△MAB的面积为S，求S的最小值．22．f（x）＝x2+ax+b，x∈[0，1]，a，b∈R．（1）若b＝1﹣a且|f（x）|是增函数，求a的取值范围；（2）若|f（x）|≤1恒成立，求a2+b2的最大值．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3}解：∵A＝{1，2，3}，B＝{﹣1，0，8，3}，∴A∪B＝{1，2，3}∪{﹣1，0，5，3}＝{﹣1，0，1，2，5}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．θ为第二象限角且tanθ＝﹣2，则cos（π﹣θ）＝（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵θ为第二象限角，且tanθ＝＝﹣2，∴sinθ＝﹣2cosθ，平方得sin2θ＝4cos2θ，即sin2θ+cos2θ＝5cos2θ＝1，∴cos（π﹣θ）＝﹣cosθ＝．故选：A．3．对于空间中的两条不同直线m，n和一个平面α，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：对于A，若m∥α，n∥α，可得m，n平行、相交或异面，故A错误；对于B，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于D，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于题意平面的两直线平行，可得m∥n，故D正确．故选：D．4．设f（x）＝，若f（a）＝f（a+1），则a＝（）A．4B．2C．D．解：∵函数f（x）＝，函数在各自定义域内，都是增函数，实数a满足f（a）＝f（a+1），故选：C．5．已知a∈R，则“a≤1”是“a2≤a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由“a2≤a”，解得0≤a≤1．∴“a≤1”是“a2≤a”的必要不充分条件．故选：B．6．若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝没有公共点，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，2]B．（1，2）C．（1，]D．（1，）解：∵双曲线与直线y＝x无交点，∴双曲线的渐近线方程y＝x，满足≤∴c2≤4a2，得≤4即e2≤4，∴1＜e≤2，故选：A．7．函数f（x）＝（﹣且x≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．解：，为奇函数，故排除选项AC，又，当时，f′（x）＜0恒成立，故函数f（x）在递减，故排除选项D．故选：B．8．若x，y满足y＝，x＞0，则x+y的最小值是（）A．B．C．D．解：因为x＞0，y＝＝，则x+y＝x＝＝，故选：B．9．数列{a n}是等差数列，b n＝a n a n+1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，若a12＝＞0，则S14，S15，S16，S17中最小的是（）A．S16或S14B．S17C．S14D．S15解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a12＝＞0，∴8（a1+11d）＝2（a1+4d），∵a5＝a2+4d＞0，∴d＜0，a8＞0．∴b n＝a n a n+1＝d2（n﹣）（n﹣）．∴S16＜S15，S14＜S15，S16＜S17．因此n＝16时，数列{b n}的前n项和S n，取得最小值．故选：A．10．三棱锥P﹣ABC的六条棱长都相等，M是棱AB上一点，若直线PM与直线BC所成角的余弦值为，则＝（）A．B．C．D．解：设三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为a，AM＝λAB，λ∈（0，1）．过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接PN，则∠PMN即为直线PM与直线BC所成角．在△APM中，由余弦定理知，cos∠PAM＝，即cos60°＝，在△PMN中，MN＝λBC＝λa，化简得2λ2+λ﹣1＝0，解得λ＝（舍负）．故选：D．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11．某几何体的三视图如图（单位：cm）则该几何体的表面积为cm2，体积为cm3．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为2，高为2的半个圆锥，所以圆锥的侧面积为，半圆锥的体积为．故答案为：；12．已知2a＝3，则4a+4﹣a＝，log418＝．（用a表示）解：∵2a＝3，∴4a+4﹣a＝＝9+＝，∵2a＝3，∴a＝log23＝log49，故答案为：，．13．函数f（x）＝2sin x（sin x+cos x）（x∈R）的最小正周期为π．该函数的最小值为1﹣．解：f（x）＝2sin x（sin x+cos x）＝2sin2x+3sin x cos x，＝1﹣cos2x+sin2x，结合正弦函数的性质可知，函数的周期T＝π，最小值7﹣．故答案为：π，1﹣14．不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0表示的平面区域为M，则该区域的面积为2+π，若P（x，y）是M中的任一点，则z＝x+y的最大值是2．解：不等式x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，化为：+≤，对x，y分类讨论，可得可行域．则该区域的面积＝+2＝2+π．由圆心（，）到此直线的距离＝＝，解得z＝2，或0（舍去）．故答案为：2+π，2．15．f（x）＝e x（e为自然对数的底数），x∈[0，1]，将区间[0，1]n等分，区间两端点及等分点依次为A0，A1，…，A n﹣1，A n，其中A0（0，0），A n（1，0），过点A i（i＝0，1，…，n）作x轴的垂线交该函数图象于点B i（i＝0，1，…，n），顺次连接这些交点，依次得到n个小梯形A0B0B1A1，…，A n﹣1B n﹣1B n A n，如图，设梯形A i﹣1B i﹣1B i A i的面积为S i（i＝1，2，…，n），则S1+S2+…+S n＝．解：根据题意：，又，所以＝．＝＝．故答案为：．16．已知函数f（x）＝x2+ax+b的两个零点为x1，x2，且满足0＜x1＜x2＜2，记f（x）（x∈R）的最小值为m，则m的取值范围是（﹣1，0）．解：由题意可得，，即，其表示的平面区域如图所示的阴影部分，不含边界，当移动到阴影部分边界时，m取得最大值0，当过（﹣5，0）时取为小值﹣1，故答案为：（﹣1，0）17．已知||＝1，|+|+|﹣|＝4，则|﹣|的最小值是．解：设＝（1，0），＝（x，y），则＝（x+1，y），＝（x﹣1，y），∴+＝4＞5，∵＝（x﹣，y），当x＝1时，则﹣|取最小值．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知B＝60°，b＝2．（1）若△ABC的面积S＝，且a＜c，求a，c的值；（2）若a＝1，求cos C的值．解：（1）由题意可得：，可得，又a＜c，（2）由正弦定理，可得sin A＝＝，故A为锐角，cos A＝＝，可得cos C＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝．19．等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，且a1、a2、a5成等比数列，数列{b n}满足b1＝1且＝﹣（n∈N*）．（1）求a n、b n；（2）若c n＝，数列{c n}的前n项和为S n；（i）求S n；（ⅱ）求使S n＞的最小正整数n．解：（1）由已知得：，又a1＝1，d≠0，得d＝2．由＝﹣，得当n≥2时，有＝．而b1＝1适合上式，∴；，∴＝．（ⅱ）∵c n＞2，∴S n是关于n的单调增函数，∴使S n＞的最小正整数n＝4．20．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝2DC，M是BC边的中点．（1）求证：PM⊥AD；（2）若PB＝AB，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点N，连接PN，MN，∵△PAD是正三角形，∴PN⊥AD，∴MN⊥AD，∴AD⊥平面PMN，又PM⊂平面PMN，（2）解：∵PB＝AB，AB＝AD＝PA，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴平面ABCD⊥平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，不妨设DC＝1，则P（5，0，），A（1，0，0），B（4，2，0），M（0，，6），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，∴cos＜＞＝＝＝﹣．故直线PM与平面PAB所成角的正弦值为．21．已知抛物线x2＝4y．（1）点P（x0，y0）是该抛物线上任一点，求证：过点P的抛物线的切线方程为x0x＝2y0+2y；（2）过点M（t，﹣1）（t∈R）作该抛物线的两条切线，切点分别为A（x1，y1）B（x2，y2），设△MAB的面积为S，求S的最小值．解：（1）证明：y＝x2的导数为y'＝x，则过点P的抛物线C的切线斜率为x0，即为y﹣y0＝x0x﹣x02＝x0x﹣2y0，（3）由（1）可得切线MA的方程为：y﹣y1＝x1（x﹣x1），即y＝x1x﹣y1，由M（1，﹣1）是MA、MB交点可知：﹣4＝tx1﹣y1，﹣1＝tx2﹣y2，所以直线AB：tx﹣2y+2＝0，且直线AB过定点F（2，1）．则|AB|＝＝t5+4，所以△MAB的面积为S＝，所以当t＝0时，△MAB的面积最小为4．22．f（x）＝x2+ax+b，x∈[0，1]，a，b∈R．（1）若b＝1﹣a且|f（x）|是增函数，求a的取值范围；（2）若|f（x）|≤1恒成立，求a2+b2的最大值．解：（1）由题意可得f（x）在[0，1]必为单调函数，且在[0，1]无零点．又b＝1﹣a，故f（7）＝2＞0，当且仅当，即，可得a的取值范围是[0，4]；则|a+1|＝|（1+a+b）﹣b|≤|1+a+b|+|b|≤2，可得﹣2≤a≤1，又当a＝﹣3，b＝1时，f（x）＝x2﹣4x+1在[0，1]递减，综上可得a2+b2的最大值为10．。

2019—2020学年第二学期期中考试高二数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1.设i 是虚数单位，则复数i 3－2i＝（ ）A.－iB.－3iC.iD.3i2．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒 B.12516米/秒 C ．8米/秒D.674米/秒3．函数y ＝cos(－x )的导数是( )A ．cos xB ．－cos xC ．－sin xD ．sin x4. 校园科技节展览期间，安排小王、小李等4位志愿者到3个不同展区提供义务服务，每个展区至少有1人，则不同的安排方案共有的种数为（ ）。

A 、36B 、72C 、18D 、815. 过曲线y ＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在点P 处的切线垂直的直线方程为( ) A ．2x －3y －2π3＋32＝0 B.3x ＋2y －3π3－1＝0 C ．2x ＋3y －2π3＋32＝0 D.3x ＋2y －3π3＋1＝0 6. 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )7. 给出下列结论：①(sin x)′＝cos x；②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－227；③(e x)′＝e x；④(log4x)′＝1x ln 4.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8. 若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0，3)C．(1，4) D．(2，＋∞)10. 已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则( ) A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤011. （X+2）6的展开式中x3的系数是（）。

某某高级中学高二数学（理科，选修2-1，2-2）试卷一、选择题1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝xa ＋yb ＋zc ．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B.1 C. 2 D. 3 2、已知点P在椭圆1204022=+y x 上，21,F F 是椭圆的两个焦点，21PF F ∆是直角三角形，则这样的点P 有A 2个 B4个 C 6个 D8个 3、函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()y f x =的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 4、已知点()1,3,4P--，且该点在三个坐标平面yoz 平面，zox 平面，xoy 平面上的射影的坐标依次为()111,,x y z ，()222,,x y z 和()333,,x y z ，则（）A 、2222310x y z ++=B 、2221230x y z ++=C 、2223120x y z ++=D 、以上结论都不对5、 已知动点P(x 、y )满足1022)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．无法确定6、已知三棱锥P —ABC 的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足0=⋅PB PA ，0=⋅PC PB ，0=⋅PA PC ，则三棱锥P —ABC 的侧面积的最大值为（ ）A ．1B ． 2C ．21D ．417、已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB=，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为 （ ） A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)3338、设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 的切线的斜率为k ，若()0k g x =，则函数()0k g x =，],[0ππ-∈x 的图象大致为( )ABCDx9、设A 、B 两点的坐标分别为(-1,0),(1,0)，条件甲：0>⋅BC AC ； 条件乙：点C 的坐标是方程 x 24+y 23=1 (y ≠0)的解. 则甲是乙的（ ）（Ａ）充分不必要条件 （Ｂ）必要不充分条件（Ｃ）充要条件 （Ｄ）既不是充分条件也不是必要条件 10、设,x y R ∈，集合{}22(,)1,A x y x y =-=}2)1(|),{(+-==x t y y x B ，若A B 为单元素集，则t 值的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题11、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：S ）存在关系h(t)= －4.9t 2+6.5t+10,则起跳后1s 的瞬时速度是 12、椭圆x 2m + y 24 = 1 的焦距为2，则m 的值等于13、已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则p ⌝是_____________________14、函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值是最小值是15、过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P ：2212x y +=交于A 、C 与B 、D ，则四边形ABCD面积最小值为 三、解答题16、已知二面角l αβ--，点,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C，BD l D⊥于，且1AC CD DB ===， 求证：AB=2的充要条件l αβ--=120017、动点P 到两定点(,0)A a ,(,0)B a -连线的斜率的乘积为k ,试求点P 的轨迹方程,并讨论轨迹是什么曲线？18、如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D 为AB 的中点。