2017年秋学期海南省海口市微课大赛---初高中数学衔接教材---韦达定理公开课教学设计

初高衔接[3]根与系数的关系——韦达定理一元二次方程02=++c bx ax 如果有两根1x ，2x ，则有根与系数的关系a b x x -=+21，acx x =21我们称此为一元二次方程的韦达定理，在初中是通过求根公式证明的，现在给出另外更通用的证明方式．因为1x ，2x 是方程的两根，所以21212212)())((x ax x x x a ax x x x x a c bx ax ++-=--=++对比两边的系数即得韦达定理．韦达定理给出了在不解出两根的情况下，两根和与两根积的表达，在高中数学中占有非常重要的地位．例1. 已知a ，b 是方程0142=++x x 的两根，求下列各式的值： (1)22b a +，33b a +； (2)b a 11+，ba ab +； (3)b a - ．分析与解 一元二次方程的判别式为正，由韦达定理知4=+b a ，1=ab .于是(1)中：142)(222=-+=+ab b a b a ， 52))((2233-=+-+=+b ab a b a b a .(2)中：411=+=+abb a b a ， 1422=+=+abb a b a a b . (3)因为ab b a b a b a 4)()(22-+=-=-，所以32=-b a ．注 事实上，所有关于a ，b 的对称式（即交换a ，b 的顺序后，式子不变）都可以用b a +，ab 表示出来．例2 .已知α，β是方程012=--x x 的两根，写出一个以α1，β1为两根的一元二次方程，并求βα86+的值．分析与解 由韦达定理知1=+βα，1-=⋅βα，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+=+111111βααββαβα，从而以α1，β1为两根的一元二次方程为01)1(2=---x x ,即012=-+x x ．由韦达定理知αβ-=1，代入知ααβα88866-+=+.下面来写6α：因为α是方程的解，所以有αα+=12，从而24)1(αα+=)1(21αα+++= α32+=所以有426ααα⋅=)32)(1(αα++= )1(352αα+++=58+=α从而有1386=+βα． 注 事实上，令xt 1=，整理得到的关于t 的一元二次方程就是以α1，β1为两根的一元二次方程．一元二次方程的韦达定理可以推广到一元n 次方程中去，我们处理较多的是一元三次方程，如果)0(023≠=+++a d cx bx ax 有三个实数根1x ，2x ，3x ，那么有d cx bx ax +++23))()((321x x x x x x a ---=32132312123213)()(x x ax x x x x x x x a x x x x a ax -+++++-= 从而得到一元三次方程的韦达定理⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++a d x x x a c x x x x x x ab x x x 321323121321例3. 设α，β，γ是三次方程0133=+-x x 的三个根．(1)以α1，β1，γ1为根的三次方程是______________； (2)以βα11+，γβ11+，αγ11+为根的三次方程是______________．分析与解 由三次方程的韦达定理知⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=++.1,3,0αβγγαβγαβγβα (1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⋅⋅=++=⋅+⋅+⋅=++=++.11110111111,3111γβααβγγβααγγββααβγαβαγβγγβα，所以以α1，β1，γ1为根的三次方程是 0)1(0323=--⋅+-x x x即01323=+-x x ． (2)先计算三根和有)11()11()11(αγγββα+++++)111(2γβα++=6=因为211γγγαββαβα=--=+=+,所以我们知道这三根就是2α，2β，2γ，从而三根积为1)(2=αβγ．最后计算222222αγγββα++的值．先介绍一个三项的完全平方式ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++.从而有222222αγγββα++)222()(2222βγααβγγαβγαβγαβ++-++= αβγγβα)(29++-=9=综上知所求的三次方程为019623=-+-x x x ．最后给出两道练习：练习一 已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两根，求2221x x +，3231x x +，)1)(1(21++x x ，2111x x +，21x x -的值．答案 7，18，5，3，5．练习二 已知a ，b ，c 是方程0164223=---x x x 的三个根，求cb a 111++，222c b a ++的值．答案 −6，10．提示 ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．。

浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中重要的定理之一，通过证明和相关推导可以帮助学生理解其原理。

在解决高中数学题目中，韦达定理的应用不仅能够简化计算，还能够提高解题效率。

特别是在几何问题中，利用韦达定理可以更快速地找到解答。

韦达定理与其他数学定理之间也存在联系，通过举例说明可以更好地理解其实际应用。

总结来看，韦达定理在高中数学学习中扮演着重要的角色，展望未来，它仍有着广阔的应用前景，将继续为学生提供帮助和启发。

【关键词】韦达定理、高中数学、引言、正文、结论、证明、推导、应用、几何问题、联系、实际应用、作用、应用前景1. 引言1.1 介绍韦达定理的基本概念韦达定理是代数学中一个非常重要的定理，它可以用来解决关于多项式方程的根的问题。

韦达定理由法国数学家韦达于16世纪提出，至今仍然被广泛应用于数学领域。

韦达定理的核心思想是：对于一个n 次多项式方程，它的n个根之和等于多项式方程的一次项系数的相反数，而且这n个根两两之间的乘积等于多项式方程的二次项系数的相反数。

具体来说，对于一个n次多项式方程\[a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0\]其n个根分别为\(x_1, x_2, ..., x_n\)，则有\[x_1 + x_2 + ... + x_n = - \frac{a_{n-1}}{a_n}\]\[x_1x_2 + x_1x_3 + ... + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\]韦达定理在高中数学学习中的应用非常广泛，可以帮助学生更好地理解多项式方程的根与系数之间的关系，从而更加深入地理解代数学的相关知识。

通过学习韦达定理，学生可以更加灵活地解决各种数学问题，为以后的学习打下坚实的基础。

1.2 韦达定理在高中数学学习中的重要性在高中教学中，韦达定理的学习不仅有助于拓展学生的数学思维，更可以培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

浅谈韦达定理在高中数学学习中的应用【摘要】韦达定理是高中数学中一个重要的定理，它在解方程、证明、几何、概率以及数学竞赛中都有广泛的应用。

通过韦达定理，我们可以更加方便地解决一些复杂的数学问题，提高数学解题的效率。

在高中数学学习中，深入理解韦达定理的定义和重要性，可以帮助我们更好地掌握数学知识，提升数学解题能力。

结合实际案例，探讨韦达定理在不同领域中的具体应用，可以帮助我们更好地理解和运用这一定理。

通过对韦达定理的综合应用和进一步拓展，我们可以进一步拓宽数学思维，提升数学解题的能力。

了解和掌握韦达定理在高中数学学习中的实际意义，对我们的数学学习和思维能力具有重要的启发作用。

【关键词】关键词：韦达定理、高中数学学习、方程、证明、几何、概率、数学竞赛、实际意义、综合应用、进一步拓展。

1. 引言1.1 韦达定理的定义韦达定理，又称韦达方程或韦达公式，是解代数方程组的一种重要方法。

它由法国数学家韦达在16世纪提出，是一种利用多项式系数的关系，将代数方程组的解和系数之间的关系联系起来的方法。

韦达定理的基本形式可以表示为：如果有一个n次多项式f(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1x + a_0，其中a_n \neq 0，那么f(x)的所有复根x_1, x_2, \ldots, x_n满足以下关系式：\begin{aligned}x_1 + x_2 + \ldots + x_n & = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \\x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n & = \frac{a_{n-2}}{a_n} \\& \vdots \\x_1x_2\ldots x_{n-1} + x_1x_2\ldots x_{n-2}x_n + \ldots +x_2x_3\ldots x_n & = (-1)^n\frac{a_0}{a_n}\end{aligned}韦达定理的本质是利用多项式的系数与根之间的关系，通过对未知数的组合取值进行消元，从而求解未知数的值。

韦达定理详细讲解韦达定理是数学中的一个重要定理，它被广泛应用于代数、几何和概率等领域。

该定理的内容较为复杂，但通过详细的讲解，我们可以更好地理解和应用韦达定理。

我们来了解一下韦达定理的基本概念。

韦达定理又称作“韦达三角定理”或“韦达方程”，它是代数中关于多项式根与系数之间的关系的一个重要定理。

韦达定理是指对于一个二次方程，其两个根的和等于系数b的相反数，而两个根的乘积等于方程的常数项c。

为了更好地理解韦达定理，我们以一个具体的例子来说明。

假设我们有一个二次方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以使用韦达定理来求解该方程的根。

根据韦达定理，我们知道两个根的和等于系数b的相反数，即根的和等于5的相反数，即-5。

所以，我们可以得到一个等式：x1 + x2 = -5。

接下来，根据韦达定理，我们知道两个根的乘积等于方程的常数项c，即根的乘积等于6。

所以，我们可以得到另一个等式：x1 * x2 = 6。

通过这两个等式，我们可以得到一个由根和系数构成的方程组，进一步求解得到方程的根。

在本例中，我们可以得到x1 = 2和x2 = 3，即方程的两个根分别为2和3。

除了二次方程，韦达定理也可以扩展到高次方程。

对于一个n次方程，韦达定理可以表示为：方程的n个根的和等于系数b的相反数，而n个根的乘积等于方程的常数项c。

韦达定理在代数中的应用非常广泛。

它可以用于求解方程的根，进一步用于因式分解、求解多项式的系数和揭示方程与根之间的关系。

通过韦达定理，我们可以更好地理解和解决各种代数问题。

除了代数中的应用，韦达定理在几何和概率中也有重要的应用。

在几何中，韦达定理可以用于求解三角形的边长，利用三角形的边长关系来解决几何问题。

在概率中，韦达定理可以用于计算多个独立事件同时发生的概率，从而帮助我们进行概率分析和计算。

总结一下，韦达定理是数学中的一个重要定理，它可以用于代数、几何和概率等领域。

通过韦达定理，我们可以求解方程的根，进行因式分解，揭示方程与根之间的关系，解决几何问题和计算概率等。

韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。

历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

韦达定理介绍韦达定理英文名称：Viete theorem韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。

这里讲一元二次方程两根之间的关系。

一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，两根X1,X2有如下关系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韦达简介韦达他1540年生于法国的普瓦图。

1603年12月13日卒于巴黎。

年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。

韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”。

韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展。

韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法。

他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系。

给出三次方程不可约情形的三角解法。

著有《分析方法入门》、《论方程的识别与订正》等多部著作。

韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著。

他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。

他被称为现代代数符号之父。

韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。

他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了。

解析几何韦达定理二级结论韦达定理是解析几何中的重要定理之一，它描述了一个三角形内部的点与三边上的点所构成的三个小三角形的面积之和等于整个大三角形的面积。

在韦达定理的基础上，还有一些二级结论，本文将就这些二级结论进行详细的解析。

一、韦达定理我们先回顾一下韦达定理的内容。

韦达定理指出，对于一个任意三角形ABC，如果P是三角形内部的一个点，那么有以下等式成立：△PAB + △PBC + △PCA = △ABC其中，△PAB表示由点P和线段AB所构成的三角形。

这个定理的证明可以通过向量法、面积法等多种方法来完成，但由于本文不得包含数学公式和计算公式，因此将不对韦达定理进行详细的证明。

二、二级结论在韦达定理的基础上，我们可以得到一些有趣的二级结论。

接下来，将逐一介绍这些二级结论。

1. 三点共线对于任意三角形ABC，如果点P在三角形的边AB上，那么点P与点C必定共线。

换句话说，点P在边AB上的投影点必定在边AC或边BC上。

这个结论可以通过反证法来证明。

假设点P不与点C共线，那么根据韦达定理，△PAB + △PBC + △PCA = △ABC成立。

然而，由于点P不与点C共线，所以△PCA的面积为0，从而导致△PAB + △PBC 的面积之和等于△ABC的面积，与韦达定理相矛盾。

因此，点P必与点C共线。

2. 三角形中点对于任意三角形ABC，如果点P是三角形内部的一个点，那么它与三角形的三个顶点A、B、C所构成的三个小三角形的面积之和等于整个三角形的面积。

这个结论可以通过韦达定理进行证明。

根据韦达定理，△PAB + △PBC + △PCA = △ABC。

而根据三角形的面积公式，△ABC = 1/2 × AB × h，其中h为三角形ABC到边AB的距离。

同理，△PAB = 1/2 × AP × h1，△PBC = 1/2 × BP × h2，△PCA = 1/2 × CP × h3。

第4讲、韦达定理1、定理内容对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-=。

注：①韦达定理研究的是一元二次方程根和方程系数之间的关系；②定理成立的条件：判别式240b ac ∆=-≥即方程有解的情况下（个数不要求）；③方程要先化为一般式；④1212,b c x x x x a a+=-=负号不要忘。

2、证明过程先由公式法求出一元二次方程一般式20(0)ax bx c a ++=≠的两根12,x x ，即42b x a-±=；再计算12x x +、12x x ⋅的值即可。

3、推论：（1）以根12,x x 的一元二次方程可表示为21212()0x x x x x x -++⋅=或0))((21=--x x x x 。

（2）若一元二次方程首项系数为1（20x px q ++=）的两根为12,x x ，则1212,x x p x x q +=-⋅=。

4、韦达定理的应用（1）判定根的符号①若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=->则：两根同正，120,0x x >>；②若120c x x a ⋅=>，120b x x a +=-<则：两根同负，120,0x x <<；③若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=->则：两根异号，12,x x 一正一负；①若120c x x a ⋅=<，120b x x a +=-<则：两根异号，12,x x 一正一负。

（2）常见变形：2212x x +=1211x x +=2112x x x x +=12x x -==++)1)(1(21x x 注意：求与方程的根有关代数式的值时，一般先将所求的形式化为两根之和积的形式再整体代入。

高一数学（初高中数学知识衔接）——一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【知识链接】已知，、是关于x 的一元二次方程的两根。

求证：； 分析：由求根公式计算一下， 可以找到一元二次方程根与系数的关系，这条性质也称作韦达定理。

证明：由求根公式有：，∴注：① 当一元二次方程二次项系数为1时，即关于x 的方程时，则由韦达定理知：，，即12()p x x =-+,12q x x =⋅②以两个数12,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是:21212()0x x x x x x -++⋅=【例题分析】例1：不解方程，求下列方程的12x x +与12x x ⋅：（1）25100x x --= （2）22710x x ++=（3）23125x x -=+ （4）(1)37x x x -=+（5） 2310x x -+= (6)2322x x -=1x 2x )0( 02≠=++a c bx ax a b x x -=+21ac x x =⋅21aac b b x 242-±-=21x x +21x x ⋅a ac b b x 2421-+-=a ac b b x 2422---=a b a b a ac b b a ac b b x x -=-=---+-+-=+2224242221a ac b b a ac b b x x 24242221---⋅-+-=⋅2224)4()(a ac b b ---=a c a ac b b =+-=2224402=++q px x p x x -=+21q x x =⋅21例2：关于x 的方程10422=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝例3：已知：、是方程两个实数根。

求：①； ②；③； ④；⑤ ⑥12x x -例4：m 为何值时，的两根均为正【练习】一、选择题1.下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）．A ．B ．C ． D． 2、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（） A 、0 B 、－1 C 、1D 、±1 3．两根均为负数的一元二次方程是 （ ）1x 2x 0252=--x x 21x x +21x x ⋅2111x x +2221x x +)1)(1(21--x x 0)32()1(2=-++-m x m x 0122=--x x 0322=+-x x 3322-=x x 0442=+-x xA.271250x x -+=B.261350x x --=C.242150x x ++=D.21580x x +-=4.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）A. B.且 C. D. 且5．若方程20x px q ++=的两根中只有一个为0，那么 （ ）A. 0p q ==B. 0p =，0q ≠C. 0p ≠，0q = D .0p ≠，0q ≠6．关于x 的一元二次方程2250ax x a a -++=的一根是0，则a 的值是（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．0 或1-7．若方程的两根为、，则的值为( ) A ．3 B ．－3 C ． D ． 8.关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．259、以5-和5+为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2-10x-1=0B ．x 2+10x-1=0C ．x 2+10x+1=0D ．x 2-10x+1=010、若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，,,a b c 满足0a b c ++=和0a b c -+=，则方程的根是（ ） A ．1，0B ．-1，0C ．1，-1D ．无法确定二、填空题 11． 若方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根为1x ，2x 则12x x += ，12.x x =12．若0和－3是方程的20x px q ++=两根，则p q +=13.关于x 的一元二次方程有实数根，则k 的取值范围是14.已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．15、已知方程0452=+-mx x 的两实根差的平方为144，则m ＝16、已知方程032=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是 ，m 的值是17、以方程0422=--x x 的两根的倒数为根的一元二次方程是 。

韦达定理详解韦达定理是解决几何中求未知量问题的重要工具之一。

它可以用来求平面上的三角形中各边平方和、角度数等问题。

本文将详细介绍韦达定理的原理、使用方法以及实例计算。

一、韦达定理的原理韦达定理是指：对于一个三角形ABC，它的三个内角所对应的边分别为a、b、c，则有以下公式成立：a²=b²+c²-2bc*cosA其中，cosA、cosB和cosC是表示对应角度余弦值的函数。

该公式由法国数学家韦达在1821年提出。

二、韦达定理的使用方法使用韦达定理时，首先需要明确已知的量和未知的量。

根据已知与未知，可以选择使用上述公式中的哪个。

一般情况下，需要根据题目条件，先确定一个角对应的两条边，再使用韦达公式求出未知边或角。

三、韦达定理的实例计算下面通过几个实例来演示韦达定理的计算方法。

1.已知三角形的三边长分别为3、4、5，求其内角度数。

解：将a=3，b=4，c=5带入公式，得到9=41-40×cosA所以∠A=cos⁻¹0.8≈36.87°，同理可得∠B≈53.13°，∠C=90°。

2.已知一个直角三角形，其中直角边为5，斜边为13，求另一条直角边长。

解：由题目条件可知a=5，c=13。

将这两个数带入公式：5²=b²+13²-2×b×13×cos90°25=b²+169b²=144∴b=12所以，另外一条直角边长为12。

解：将b=12，c=16，角A=120°代入公式：a²=144+256-384×(-0.5)a²=400∴a=20所以，第三边的长度为20。

总之，韦达定理是解决几何问题的常见方法。

通过运用韦达公式，可以求出三角形中的各边长度、角度大小等未知量，帮助我们更好地理解和掌握几何知识。

初高中衔接教材《二次函数》教学设计学习目标：知识目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。

4、利用二次函数解决实际问题。

技能目标：培养学生运用函数知识与几何知识解决数学综合题和实际问题的能力。

情感目标：1、通过问题情境和探索活动的创设，激发学生的学习兴趣；2.让学生感受到数学与人类生活的密切联系，体会到学习数学的乐趣。

学习过程：一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）1、二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式：（2）交点式：（3）一般式：2、填表：3、二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而, 在对称轴左侧，y随x的增大而4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值自评分（每空4分，共100分）二、探究、讨论、练习（先独立思考，再分小组讨论，最后反馈信息）1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下面各式的符号：(1)abc (2)b2-4ac (3)2a+b (4)a+b+c（上题主要考查学生对二次函数的图象、性质的掌握情况：b2-4ac的符号看抛物线与x轴的交点情况；2a+b看对称轴的位置；而a+b+c的符号要看x= 1时y的值）2、已知抛物线y=x2+（2k+1）x-k2+k(1) 求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设A（x1，0）和B（x2，0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足x12+x22= -2k2+2k+1，①求抛物线的解析式②此抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于3，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

（此题主要考查抛物线与一元方程的根的判别式、根与系数的关系的联系，以及函数与几何知识的综合）三归纳小结：提问：通过本节课的练习，你学到了什么知识？四、用数学（利用二次函数解决实际问题）一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到的最大高度是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮球中心到地面的距离为3.05米，（1）根据题意建立直角坐标系，并求出抛物线的解析式。

韦达定理及其应用的教学设计教材分析韦达定理是初中代数中的一个重要定理，这是因为通过韦达定理的学习，把一元二次方程的研究推向了高级阶段，运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，韦达定理及其应用是数学命题的热点之一。

出现的题型有选择题、填空题和解答题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数，两根之差。

2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。

教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。

2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握有一定的难度，是教学的难点。

教学过程一、复习导入一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax (042≥-ac b )的两根21,x x 与系数的关系: =+21x x ＿＿＿＿＿＿ 21x x =＿＿＿＿＿＿2.(1)如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ,那么=+21x x -p, 21x x =q(2)以两个数21,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212=++-x x x x x x二、举例应用例1：已知方程015252=-+x x ，求：（1）两根的倒数和；（2）两根的平方和 解法指导：涉及一元二次方程的两根的问题，应先考虑用韦达定理。

初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。

} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。

于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根。

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。

一元二次方程的判别式及解法教学设计海口二中翁明第一、教材分析本节课内容中，“一元二次方程的判别式”从定理的推导到应用都相对简单。

但是它在整个中学数学中占有重要的地位，既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。

二、学情分析刚上来的高一学生数学基础十分薄弱。

学生的计算能力很差。

经过两个月的休息，他们已经把方程的解法忘得一干二净。

在学习习惯上，普通高中的学生也很难以去自学，研究和探索，所以教师在教导过程中，要十分的耐心，备课要以基础为主，先培养他们的习惯，再教他们高中的学习方法，进而达到内容与方法的双重衔接。

三、教学目标1.知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；2.过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。

3.情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。

四.教学重点与难点重点：（1）一元二次方程根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用；（2）会根据不同的方程特点选用恰当的方法（尤其是因式分解法和公式法）求一元二次方程的实数根，使解题过程简单合理。

难点：(1) 根的判别式定理及逆定理的运用；(2) 通过揭示各种解法的本质联系,渗透降次化归的思想方法。

教学方法⑴启发诱导式的教学模式启发诱导式教学模式是教师在学生已有的知识经验和思考基础上适当引导，使学生获得新知识。

其主要理论依据是现代认知理论和当代信息理论。

其程序是“新课引入，展示目标；启发诱导，提高升华；形成能力，反馈回授”。

⑵导学案模式导学案模式可以提高老师对学生水平的处理，同时引导学生进行自学习惯的培养，有利于学生们快速适应高中的学习。

一元二次方程【学习目标】：1．熟练掌握一元二次方程的解法及其根的判断；2．理解韦达定理并能运用其来处理相关问题。

【复习引入】：一元二次方程是中学代数的重要内容之一，是进一步学习其他方程、不等式、函数等的基础，其内容非常丰富，本讲主要介绍一元二次方程的基本解法及韦达定理的运用．1．概念:方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 称为一元二次方程．2．基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法．3．对于方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)，△=b 2-4ac 称为该方程的根的判别式．当△＞0时，方程有两个 的实数根，即当△=0时，方程有两个 的实数根，即当△＜0时，方程 实数根．4． (1)若一元二交方程ax 2+bx +c =0 （a ≠ 0）的两个根为x 1,x 2，则x 1+x 2=_____，x 1x 2=_______. （韦达定理）(2)若x 1,x 2是方程x 2+px +q =0的二根，则p =______, q =_______，以实数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是________.【典例欣赏】：例1. 试用多种方法解方程：x 2－3x +2=0例2. 已知m,n 为整数，关于x 的三个方程：x 2+(7－m )x +3+n =0有两个不相等的实数根；x 2+(4+m )x +n +6=0有两个相等实数根；x 2－(m －4)x+n+1=0没有实数根. 求m,n 的值 。

变题：已知实数x 、y 满足01222=+-+-+y x xy y x ，试求x 、y 的值。

例3．若21,x x 是方程0201022=-+x x 的两个根，试求下列各式的值：（1）21x x +，21x x ⋅；（2）2111x x +；（3）2221x x +，21x x -；（4）)1()1(21+⋅+x x例4．已知21,x x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。

高一数学暑假班（教师版）高一数学暑假课程韦达定理（教师版）1 / 20韦达定理虽是初二一元二次方程时的内容，但因为考试没有要求，很多学校都没怎么系统的讲过，很多学生还不是很了解韦达定理，更别提掌握和灵活运用了。

而韦达定理在高中阶段运用的非常频繁，许多知识点都要结合韦达定理来做，希望通过本章学习让学生能够理解掌握韦达定理．韦达定理实际上就是一元二次方程中根与系数的关系，韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．一、运用韦达定理，求方程中参数的值【例1】已知方程5x2＋kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）3 / 204 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．设方程的另一个根为1x ，则5621-=x ，531-=∴x ．由5253(k-=+-，得7-=k ．所以，方程的另一个根为53-．k 的值为-7．【巩固训练】1．1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．【难度】★★ 【答案】5132m -<≤2．0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值． 【难度】★★ 【答案】58 【解析】由方程的结构可知a 、b 1是方程08199952=+-x x 的两根，由韦达定理可得58=b a二、运用韦达定理，求代数式的值【例2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根．5 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：分别变形为可以利用x 1＋x 2和x 1x 2来表示的形式．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根，2521-=+∴x x ，2321-=x x ．(1)∵|x 1-x 2|2=21x ＋22x -2x 1x 2=(x 1＋x 2)2-4x 1x 223(425(2-⨯--=6425+=449=， 27||21=-∴x x ． (2)493425)23()23(2)25()(2)(112222121221222122212221+=--⨯--=-+=⋅+=+x x x x x x x x x x x x 937=． (3)31x ＋32x =(x 1＋x 2)(21x -x 1x 2＋22x )=(x 1＋x 2)[(x 1＋x 2)2-3x 1x 2]8215)]23(325[()25(2-=-⨯--⨯-=．评析：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：6 / 20高一数学暑假课程 韦达定理（教师版） 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a acb b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=． 于是有下面的结论：【例3】已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：运用根的意义和根与系数关系解题．解：由于α、β是方程x 2＋2x -5=0的实数根，∴α2＋2α-5=0，αβ=-5，∴α2＋2α=5 ∴α2＋αβ＋2α=α2＋2α＋αβ =5-5=0评析：注意利用变形为可以用根系关系表示的形式．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1) 恰当组合； (2) 根据根的定义降次； (3) 构造对称式．【例4】关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．7 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】3【巩固训练】1．已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．【难度】★★ 【答案】02．设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值． 【难度】★★ 【答案】3100-3．设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值． 【难度】★★ 【答案】-5三、利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的情况【例5】已知关于x 的方程x 2＋2(m -2)x ＋m 2＋4=0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】见解析8 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 【解析】分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此其根的判别式应大于等于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得x 1＋x 2=-2(m -2)，x 1·x 2=m 2＋4． ∵21x ＋22x -x 1·x 2=21， ∴(x 1＋x 2)2-3x 1·x 2=21， 即[-2(m -2)]2-3(m 2＋4)=21，化简，得m 2-16m -17=0，解得m =-1，或m =17． 当m =-1时，方程为x 2-6x ＋5=0，Δ>0，满足题意；当m =17时，方程为x 2＋30x ＋293=0，Δ=302-4×1×293<0，不合题意，舍去． 综上，m = -1．评析：在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．【例6】已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程4x 2＋4(m -1)x ＋m 2=0的两个非零实数根，问x 1和x 2能否同号？若能同号，请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析：利用判别式和根与系数关系共同解决本题．解：由Δ=-32m ＋16≥0得21≤m ．x 1＋x 2=-m ＋1，041221≥=m x x ． ∴x 1与x 2可能同号，分两种情况讨论：9 / 20韦达定理（教师版）(1)若x 1>0，x 2>0，则⎩⎨⎧>>+02121x x x x ，解得m <1且m ≠0．21≤∴m 且m ≠0． (2)若x 1<0，x 2<0，则⎩⎨⎧><+002121x x x x ，解得m >1，与21≤m 相矛盾．综上所述：当21≤m 且m ≠0时，方程的两根同号．【例7】一元二次方程240x x a -+=有两个实根，一个比3大，一个比3小，求a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】【解析】构造二次函数()a x x x f +-=42，由()03<f 即可满足题意【例8】已知一元二次方程222(9)560x a x a a +-+-+=一个根小于0，另一根大于2，求a 的取值范围． 【难度】★★【答案】 【解析】构造二次函数()()659222+-+-+=a a x a x x f ，由()00<f 且()02<f 即可满足题意【巩固训练】1．已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围3<a 382<<a10 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】m >72．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】3．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x ． (1) 求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实根．(2) 若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】分析： 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．11 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 解：(1)△=2m 2-4m +4=2(m -1)2+2>0，∴方程总有两个不相等的实数根；(2) ∵x 1·x 2=24m -≤0，∴1x 、2x 异号或其中一根为0，∴对212+=x x 可分两种情况讨论，去掉绝对值.当x 1≥0，x 2<0时，-x 2-x 1=2，即-(m -2)=2，解得m =0， 此时，方程为x 2+2x =0，解得x 1=0，x 2=-2； 当x 1≤0，x 2>0时，x 2+x 1=m -2=2，解得m =4， 当m =4时，x 2-2x -4=0， 解得11x =，21x =.4．若关于x 的方程20x x a ++=的两个根，一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围． 【难度】★★ 【答案】2a <-四、 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例9】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么baa b +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 【难度】★★ 【答案】B【解析】评析 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程12 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．【例10】解方程121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ． 【难度】★★【答案】-1，-4，28952895-+，． 【解析】分析：观察方程左边两式的关系，用换元法，令t x x xx =-++4322代入求解．【巩固训练】1．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】11182m <≤ 【解析】提示：根据两边之和、两边之差的关系及△≥0得到．2．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04721(222=+-+-m mx x 的两个根．(1) 当m =2和m >2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形? 并说明理由；(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ=1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长；13 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）(3) 在(2)的条件下，AD=BC=2，求一个一元二次方程，使它的两个根分别是tan ∠BDC 和tan ∠BCD ． 【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】(1)当m =2时，x 2-4x +4=0． ∵△=0，方程有两个相等的实数根．∴AB=CD ，此时AB ∥CD ，则该四边形是平行四边形； 当m >2时，△=m -2>0， 又∵AB+CD=2m >0，∴AB≠CD ． 该四边形是梯形．(2) 根据三角形的中位线定理可以证明：连接梯形的两条对角线的中点的线段等于梯形的上下底的差的一半． 则根据PQ=1，得CD-AB=2．由CD-AB=||||21a x x ∆=-解得m =3 当m =3时，则有x 2-6x +8=0， ∴x =2或x =4， 即AB=2，CD=4(3)根据该梯形是等腰梯形，平移一腰，则得到等边△BEC ． ∴∠BCD=60°，∠BDC=30°．tan ∠BDC•tan ∠BCD=1．评析：对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．14 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版） 注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD=m ，BD=n ，AC 2：BC 2= 2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求：m ，n 为整数时，一次函数y =mx +n 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】=∴m =2n …①， ∴4n 2-m 2-8n +16≥0，把①代入上式得n ≤2…②， 则x 1+x 2=8(n -1)，x 1•x 2=4(m 2-2)，依题意有(x 1-x 2)2<192，即[8(n -1)]2-16(m 2-12)<192， ∵m 、n 为整数，∴n 的整数值为1，2，当n =1，m =2时，所求解析式为y =2x +1，当n =2，m =4时，解析式为y =4x +2．15 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）韦达定理在高中阶段是一种非常常用且重要的解题手段，同学们一定要在充分理解的基础上加以掌握及灵活运用．同学们要能掌握根与系数的关系，知道韦达定理的常见变式与常规题型，注重设而不解，注重整体，通过整体带入来解决问题．一、选择题1．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3 【难度】★★ 【答案】C2．在R t △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 【难度】★★ 02=++p qx x16 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【答案】B3．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 【难度】★★ 【答案】C4．两个质数a 、b 恰好是整系数方程x 2-99x +m =0的两个根，则baa b +的值是 ( )A ．9413B ．1949413 C ．999413 D ．979413【难度】★★ 【答案】B5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为 ( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x【难度】★★ 【答案】D6．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )17 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）A ．0≤m ≤1B ．m ≥43 C ．143≤<m D ．43≤m ≤1【难度】★★ 【答案】C二、填空题7．关于x 的一元二次方程22(1)10m x x m -++-=有一根为0，则m 的值为______【难度】★★ 【答案】-18．CD 是R t △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ． 【难度】★★ 【答案】69．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．【难度】★★ 【答案】510．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：设x 1，x 2是方程的两个根，则①x 1+x 2=-p ，②x 1x 2=q ， ∵②-①得：p+q=28，18 / 20高一数学暑假课程∴x 1x 2-x 1-x 2=28， ∴x 1x 2-x 1-x 2+1=28+1， ∴x 1(x 2-1)-(x 2-1)=29， 即(x 1-1)(x 2-1)=29， ∵两根均为正整数，∴x 1-1=1，x 2-1=29或x 1-1=29，x 2-1=1，∴方程的两个根是：x 1=2，x 2=30．或x 1=30，x 2=2． 故答案为：x 1=30，x 2=2．三、解答题11. 若关于x 的一元二次方程3x 2+3(a +b )x +4ab =0的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：(a +b )2≤4正确．理由：原式可化为(x 1+x 2)2-=3x 1x 2+1， ∴(a +b )2=4ab +1，∵△=9(a +b )2-4×3×4ab ≥0， ∴3(a +b )2-4×4ab ≥0， ∴4ab ≤3，∴4ab +1≤4，即(a +b )2≤4．12．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ． (1) 当k 为何值时，此方程有实数根；(2) 若此方程的两个实数根1x 、2x19 / 20高一数学暑假课程韦达定理（教师版）【难度】★★ 【答案】(1)512k ≤；(2) 0．13．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2) 求22212111x mx x mx -+-的最大值． 【难度】★★ 【答案】见解析【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b 2-4ac =4(m -2)2-4(m 2-3m +3)=-4m +4>0，∴m <1， 结合题意知：-1≤m <1．(1)∵x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4(m -2)2-2(m 2-3m +3)=2m 2-10m +10=6 ∴m==∴当m =-1时，式子取最大值为10．14．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实数根，并且使方程20xx a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实数根，试求a b c ++的值．【难度】★★★【答案】见解析∴x2是方程x2+ax+1=0和x2+x+a=0的公共根，因此两式相减有(a-1)(x2-1)=0，当a=1时，这两个方程无实根，故x2=1，从而x1=1，于是a=-2，b+c=-1，所以a+b+c=-3．高一数学暑假课程韦达定理（教师版）20 / 20。

《韦达定理及其应用》教学设计设计者：海口二中庞桔云一.教材分析《韦达定理及其应用》是初高中数学衔接教材的一节重要内容.本节内容是在初中学过的二次项系数为1时根与系数的关系的基础上进行的，教材通过一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2推导出韦达定理，以及能够建立以数x1、x2为根的一元二次方程的方程模型；是对前面知识的巩固与深化，又为以后的知识打下基础，它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。

运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题，有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来，形成难度系数较大的压轴题。

通过韦达定理的教学，可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力，也为学生今后学习方程理论打下基础。

二.学情分析本课的教学对象是刚从初中升高一的学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征；在教学中应多类比初中学过的知识，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

根据教学内容的地位和作用结合学生的具体学习情况，我制定了如下的教学目标和教学重难点：三.教学目标知识与技能：理解一元二次方程根与系数的关系，并会用根与系数的关系解决各类数学问题。

过程与方法：经历观察——转化——类比的思维过程得出韦达定理，逐步掌握从特殊到一般的转化思想。

情感态度与价值观：激发求知欲，提高探索数学知识的积极性，通过合作学习，培养学生的动手探究、交流合作的能力和探索精神.四.教学重、难点教学重点：一元二次方程的根与系数的关系的应用。

教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的理解。

五.教学策略与手段教学策略与方法：观察发现、类比引导、相互探究讨论，自我展示讲解的教学方法.教学手段：将多媒体技术和传统的教学手段相结合.其目的是充分发挥各种媒体的特长，在优化组合的基础上，提高教学效率，改善教学效果.六.教学过程。