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2019最新北师大版九年级上期数学教案第一章特殊平行四边形1．菱形的性质与判定（一）一、学生知识状况分析“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。

九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。

其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。

在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。

所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。

综上所述，本节的教学目标为：1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力三、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备；第二环节：设置情境，提出课题；第三环节：猜想、探究与证明；第四环节：性质应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。

2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）一元二次方程3x2﹣x﹣2＝0的二次项系数是3，它的一次项系数是（）A．﹣1B．﹣2C．1D．02．（3分）把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）军运会射击运动中，运动员每次射击击中靶的环数为1到10，不考虑脱靶的情况下，下列事件为随机事件的是（）A．某运动员两次射击总环数大于1B．某运动员两次射击总环数等于1C．某运动员两次射击总环数大于20D．某运动员两次射击总环数等于20 4．（3分）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．不能确定5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4＝0，下列变形正确的是（）A．（x﹣6）2＝﹣4+36B．（x﹣6）2＝4+36C．（x﹣3）2＝﹣4+9D．（x﹣3）2＝4+96．（3分）二次函数y＝﹣2x2+4x+1的图象如何移动就得到y＝﹣2x2的图象（）A．向左移动1个单位，向上移动3个单位B．向右移动1个单位，向上移动3个单位C．向左移动1个单位，向下移动3个单位D．向右移动1个单位，向下移动3个单位7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则四边形ABCE的面积为（）A．B．C．D．8．（3分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D，则CD的长为（）A．B．C．D．10．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为．13．（3分）经过两年的连续治理，某城市的大气环境有了明显改善，其每月每平方公里的降尘量从50吨下降到40.5吨，则平均每年下降的百分率是%．14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是⊙O上一点（不与G、E重合），∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是．15．（3分）已知一个圆心角为270°的扇形工件，没搬动前如图所示，A、B两点触地放置，滚动至点B再次触地时停止，扇形工件直径为5m，则圆心O所经过的路线长是m．16．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），与y轴的交点为C，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①；②若点P（﹣2﹣t2，y1）和Q（t2+3，y2）是该抛物线上的两点，则y1＞y2；③不等式cx2+bx+a＜0的解集为；④在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形．其中一定正确的是（填序号即可）．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）若关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，求b的值及方程的另一个根．18．（8分）如图，将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，使点A的对应点C落在AB边上，过点D作DE∥AB，交AO的延长线于点E，求证：∠BCO＝∠E．19．（8分）一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．求第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率．（2）随机摸出一个小球然后不放回，则两次摸出的小球标号之和为的概率最大，这个最大概率是．20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）．（1）如图1，点E是▱ABCD边CD上一点，在AB边上取一点F，使得DE＝BF；（2）如图2，在3×3正方形网格中，点A、B、C在格点上，过点C作CH⊥AB于H；（3）如图3，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，点C在⊙O外，过点C作CG∥DE交AB 于G；（4）如图4，点E是正方形ABCD边BC上一点，连接AE，将△ABE绕A点逆时针旋转90°得到△ADG，画出△ADG．21．（8分）如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以点D为圆心、DA为半径做圆弧交半圆O于点P．连接DP并延长交AB于点E．（1）求证：DE为半圆O的切线；（2）求的值．22．（10分）个体户小陈新进一种时令水果，成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天内的日销售量m（kg）与时间t（天）的关系如表：时间t（天）1351036…日销售量m（kg）9490867624…未来40天内，前20天每天的价格y1（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y1＝t+25（1≤t≤20且t为整数），后20天每天的价格y2（元/kg）与时间t（天）的函数关系式为y2＝﹣t+40（21≤t≤40且t为整数）．（1）直接写出m（kg）与时间t（天）之间的关系式；（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，个体户小陈决定每销售1kg水果就捐赠a元利润（a＜4且a为整数）给贫困户，通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户多少钱？23．（10分）【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF、BE、DF之间的数量关系是EF＝BE+DF，【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，若∠B、∠D都不是直角，且∠B+∠D＝180°，求证：EF＝BE+DF．【联系拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系是．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（A 在B的左边），与y轴交于C，且OB＝4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线y＝x交抛物线于D、E两点，点F在抛物线上，且在直线DE下方，若以F为圆心作⊙F，当⊙F与直线DE相切时，求⊙F最大半径r及此时F坐标；（3）如图2，M是抛物线上一点，连接AM交y轴于G，作AM关于x轴对称的直线交抛物线于N，连接AN、MN，点K是MN的中点，若G、K的纵坐标分别是t、n．求t，n的数量关系．2021-2022学年湖北省武汉市新动力九年级元月调考数学模拟练习试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案．【解答】解：一次项系数为﹣1，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．2．【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后和原图形重合．3．【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、某运动员两次射击总环数大于1，是必然事件，不合题意；B、某运动员两次射击总环数等于1，是不可能事件，不合题意；C、某运动员两次射击总环数大于20，是不可能事件，不合题意；D、某运动员两次射击总环数等于20，是随机事件．故选：D．【点评】此题主要考查了随机事件，正确掌握相关定义是解题关键．4．【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜边上的高为：＝4.8，∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm，∴圆与该直线AB的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B．【点评】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握d与r 的大小关系所决定的直线与圆的位置关系．5．【分析】根据配方法，可得方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣4＝0，移项，得x2﹣6x＝4，配方，得（x﹣3）2＝4+9．故选：D．【点评】本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方．6．【分析】利用二次函数的图象的性质．【解答】解：二次函数y＝﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），∴向左移动1个单位，向下移动3个单位．故选：C．【点评】讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．7．【分析】由旋转的性质得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代换得到AD＝DE，即△AED为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，即为AB的长，再根据矩形和三角形的面积公式求出矩形ABCD的面积和△ADE的面积，即可得到四边形ABCE的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝90°，由旋转得：BC＝EF，AB＝AE，∵DE＝EF，∴AD＝DE＝2，即△ADE为等腰直角三角形，根据勾股定理得：AE＝＝＝2，则AB＝AE＝2，∴四边形ABCE的面积＝矩形ABCD的面积﹣△ADE的面积＝AB•AD﹣AD•DE＝4﹣2，故选：C．【点评】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．8．【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率．【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：＝，故选：D．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性．9．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF＝a﹣0.5a＝0.5a，再由切割线定理可得BF2＝BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE＝OH，利用相似三角形的性质即可求出BH ＝BD，最终由CD＝BC+BD，即可求出答案．【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC、BC相切于点E、F，与AB分别相交于点G、H，且EH的延长线与CB的延长线交于点D∴连接OE、OF，由切线的性质可得OE＝OF＝⊙O的半径，∠OEC＝∠OFC＝∠C＝90°∴OECF是正方形∵由△ABC的面积可知×AC×BC＝×AC×OE+×BC×OF∴OE＝OF＝a＝EC＝CF，BF＝BC﹣CF＝0.5a，GH＝2OE＝a∵由切割线定理可得BF2＝BH•BG∴a2＝BH（BH+a）∴BH＝或BH＝（舍去）∵OE∥DB，OE＝OH∴△OEH∽△BDH∴∴BH＝BD，CD＝BC+BD＝a+．故选：B．【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．10．【分析】由题意可得a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，则有a+b＝2，又由a2＝2a+2021，将所求式子变形为a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3，然后再求值即可．【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上，∴a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，∴a+b＝2，∵将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022，∴a2﹣2a﹣2022＝﹣1，∴a2＝2a+2021，∴a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3＝2（a+b）+2018＝4+2018＝2022，故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与方程之间的关系是解题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．【解答】解：点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．12．【分析】用圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故答案为．【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝某事件对应的面积与总面积之比．13．【分析】设平均每年下降的百分率是x，降尘量经过两年从50吨下降到40.5吨，所以可以得到方程50（1﹣x）2＝40.5，解方程即可求解．【解答】解：设平均每年下降的百分率是x，根据题意得50（1﹣x）2＝40.5解得x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）所以平均每年下降的百分率是10%．【点评】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．14．【分析】连接DG，先由BC与⊙A相切于点D，证明∠ADB＝∠ADC＝90°，再证明△ADG是等边三角形，则∠DAG＝60°，由∠ADE＝∠AED＝90°﹣18°＝72°得∠CAE ＝36°，于是∠GAE＝60°+36°＝96°，当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝48°；当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝132°．【解答】解：如图，连接DG，∵BC与⊙A相切于点D，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB＝6，AG＝AD＝3，∴BG＝AG＝3，∴DG＝AB＝AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∴∠CDE＝18°，∴∠AED＝∠ADE＝90°﹣18°＝72°，∴∠CAE＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠GAE＝60°+36°＝96°，当点F在⊙O上且在△ABC的外部时，则∠GFE＝∠GAE＝×96°＝48°；当点F′在⊙O上且在△ABC的内部时，则∠GF′E＝180°﹣∠GFE＝180°﹣48°＝132°，故答案为：48°或132°．【点评】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．15．【分析】根据图形运动方式可知，点O经过的路线有两次旋转45°的弧，中间是平移．【解答】解：∵∠AOB＝360°﹣270°＝90°，∴∠ABO＝45°，∴圆心O旋转的长度为2×＝（m），圆心O移动的距离为＝（m），∴圆心O所经过的路线长是（m），故答案为：5π．【点评】本题主要考查了图形的运动，弧长公式等知识，正确理解点O经过的路线是解题的关键．16．【分析】由图可得a＜0，b＝2a＜0，c＞0；图象与x轴有两个不同的交点，则Δ＝b2﹣4ac＞0；将（1，0）代入y＝ax2+bx+c，可得c＝﹣3a，所以y＝ax2+2ax﹣3a；再分别对每个选项进行验证即可．【解答】解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，∵图象与x轴有两个不同的交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴，故①不正确；∵﹣1﹣（﹣2﹣t2）＝1+t2，t2+3+1＝t2+4，∴t2+4＞1+t2，∴y1＞y2，故②正确；∵函数经过（1，0），∴a+b+c＝0，即a+2a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴cx2+bx+a＜0可化为﹣3ax2+2ax+a＜0，∴﹣3x2+2x+1＞0，解得﹣＜x＜1，故③正确；过点C作CM垂直对称轴交于点M，设BN＝m，则BM＝﹣3a﹣m，当∠ABC＝90°时，∠BAN＝∠CBM，∴＝，∴m2+3am+2＝0，∵Δ＝9a2﹣8≥0时，m存在，∴当a≤﹣时，∠ABC＝90°，∴在对称轴上存在一点B，使得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，故④不正确；故答案为：②③．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．三、解答题（共8小题，共72分）17．【分析】把x＝1代入方程计算求出b的值，进而求出另一根即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2＝0有一个根是x＝1，∴1﹣b+2＝0，解得：b＝3，把b＝3代入方程得：x2﹣3x+2＝0，设另一根为m，可得1+m＝3，解得：m＝2，则b的值为3，方程另一根为x＝2．【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．18．【分析】由旋转的性质可得AO＝CO，可得∠A＝∠ACO，由平行线的性质和邻补角的性质可得结论．【解答】证明：∵将Rt△AOB绕直角顶点O顺时针旋转得到Rt△COD，∴AO＝CO，∴∠A＝∠ACO，∵AB∥DE，∴∠A+∠E＝180°，又∵∠ACO+∠BCO＝180°，∴∠BCO＝∠E．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．19．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的结果数，再根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到标号之和出现次数最多的数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）列表如下：12341（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）由表可知，共有16种等可能结果，其中第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的有8种结果，∴第二次摸出的小球标号能整除第一次摸出的小球标号的概率为＝；（2）列表如下：12341345235634574567由表知，共有12种等可能结果，其中两次摸出的小球标号之和为5的次数最多，有4次，所以两次摸出的小球标号之和为5的概率最大，最大概率为＝，故答案为：5、．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．20．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，点F即为所求；（2）取格点E，F，连接EF交AB于点H，连接CH，线段CH即为所求；（3）连接CE交AB于点R，交⊙O于点T，连接DT，CB交于点J，连接DR，延长DR 交⊙O于W，连接JW交AB于点K，连接TK，延长TK交⊙O于点L，连接BL，延长BL，DW交于点C′，连接CC′交AB于点G，直线CG即为所求．（4）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AD于点F，连接BF交AC于点J，连接DJ，延长DJ交AB于点K，连接KF，延长KF交CD的延长线于点G，连接AG，△ADG即为所求．【解答】解：（1）如图1中，点F即为所求；（2）如图2中，线段CH即为所求；（3）如图3中，直线CG即为所求；（4）如图4中，△ADG即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，灵活运用所学知识解决问题．21．【分析】（1）根据SSS证得△ODP≌△ODC，从而证得∠OPD＝∠OCD＝90°，即可证得结论；（2）根据切线定理和勾股定理得到AB＝3EB，即可证得AE＝3EB，从而求得＝3．【解答】（1）证明：连接OP，OD，∵BC是⊙O的直径，∴OP＝OC，∵以点D为圆心、DA为半径做圆弧，∴PD＝CD，在△ODP和△ODC中，，∴△ODP≌△ODC（SSS），∴∠OPD＝∠OCD＝90°，∵P点在⊙O上，∴DE为半圆O的切线；（2）解：∵以点O为圆心、OB为半径做圆弧，四边形ABCD是正方形，∴EB是⊙D的切线，∵DE为半圆O的切线，∴EB＝EP，设正方形的边长为a，EB＝EP＝x，∴AE＝a﹣x，DE＝a+x，∵AD2+AE2＝DE2，∴a2+（a﹣x）2＝（a+x）2，解得x＝，∴BE＝，∴AE＝3EB，∴＝3．【点评】本题考查了正方形的性质，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切割线定理，切线长定理，解题时注意切割线定理的运用．22．【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；（2）日利润＝日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a的取值范围，确定a的值，算出总的销量可得答案．【解答】解：（1）设一次函数为m＝kt+b，将和代入一次函数m＝kt+b中，有，∴．∴m＝﹣2t+96．经检验，其它点的坐标均适合以上解析式，故所求函数解析式为m＝﹣2t+96；（2）设前20天日销售利润为p1元，后20天日销售利润为p2元．由p1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20）＝（﹣2t+96）（t+5）＝﹣t2+14t+480＝﹣（t﹣14）2+578，∵1≤t≤20，∴当t＝14时，p1有最大值578（元）．由p2＝（﹣2t+96）（﹣t+40﹣20）＝（﹣2t+96）（﹣t+20）＝t2﹣88t+1920＝（t﹣44）2﹣16．∵21≤t≤40，此函数对称轴是t＝44，∴函数p2在21≤t≤40上，在对称轴左侧，随t的增大而减小．∴当t＝21时，p2有最大值为（21﹣44）2﹣16＝529﹣16＝513（元）．∵578＞513，故第14天时，销售利润最大，为578元；（3）p1＝（﹣2t+96）（t+25﹣20﹣a）＝﹣t2+（14+2a）t+480﹣96a对称轴为t＝14+2a．∵1≤t≤20，∴当t≤2a+14时，P随t的增大而增大，又∵每天扣除捐赠后的日利润随时间t的增大而增大，∴19.5＜2a+14，∴2.75＜a＜4．又∵a为整数，∴a＝3，40天的总销量＝（﹣2×1+96）+（﹣2×2+96）+...+（﹣2×20+96）＝﹣2×（1+2+ (20)+96×20＝﹣2×+1920＝﹣420+1920＝1500，∴小陈共捐赠给贫困户＝1500×3＝4500元．答：前20天中个体户小陈共捐赠给贫困户4500元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．23．【分析】【问题背景】把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；【迁移应用】把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，证明△AFG≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质可得出结论；【联系拓展】仍然用（1）中的方法，将BD、DE、EC转化为同一直角三角形的三条边，即可得到所猜想的结论．【解答】【问题背景】证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，AG＝AE，∵∠ADG＝∠B＝90°，∴∠ADC+∠ADG＝180°，∴点F、D、G在同一条直线上；∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，【迁移应用】证明：如图2，由题意得，AB＝AD，∠BAD＝90°，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则∠DAG＝∠BAE，∠ADG＝∠B，AG＝AE，∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADG+∠ADC＝180°，∴点F、D、G在同一条直线上；∵∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠GAF＝∠EAF，∵AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，【联系拓展】DE2＝BD2+EC2，证明：如图3，由题意得，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°；把△ABD绕点A逆时针旋转90°到△ACG，则∠CAG＝∠BAD，∠ACG＝∠B＝45°，AG＝AD，CG＝BD，∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°；∵∠DAE＝45°，∵∠GAE＝∠CAG+∠CAE＝∠BAD+∠CAE＝90°﹣45°＝45°，∴∠GAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AED（SAS），∴GE＝DE，∵GE2＝CG2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2．故答案为：DE2＝BD2+EC2．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．【分析】（1）根据题意，即可求出点B和点C的坐标，然后将A、C两点的坐标代入解析式中即可求出结论；（2）联立方程即可求出D、E坐标，从而求出DE，设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），由DE为＝DE•FH可知：定值，S△DEF当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，利用“铅垂高，水平宽”求出△DEF的面积的最大值，即可求出r的最大值和此时点F的坐标；（3）设AN与y轴交于点P，利用待定系数法求出直线AM和AN的解析式，联立方程即可求出点M和点N的坐标，再根据中点公式即可求出结论．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∴OB＝OC＝4OA＝4，∴B（4，0），C（0，﹣4），将点A、点C的坐标代入y＝x2+bx+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；（2）联立，解得或，∴D（2﹣2，2﹣2），E（2+2，2+2），∴DE＝8，设⊙F与DE相切于H，连接FH，FD，FE，过点F作FG⊥x轴交DE于G，设点F的坐标为（x，x2﹣3x﹣4），∴FH⊥DE，G（x，x），∴FG＝x﹣（x2﹣3x﹣4）＝﹣x2+4x+4，∵DE为定值，S△DEF＝DE•FH＝4FH，∴当△DEF的面积最大时，FH最大，即r最大，而S△DEF＝FG（x E﹣x D）＝（﹣x2+4x+4）[（2+2）﹣（2﹣2）]＝﹣2（x﹣2）2+16，∵﹣2＜0，∴当x＝2时，S△DEF 最大，其最大值为16，此时FH＝4，点F的坐标为（2，﹣6）；（3）设AN与y轴交于点P，由题意可知，点G的坐标为（0，t），由对称的性质可知，点P的坐标为（0，﹣t），设直线AM的解析式为：y＝kx+a，将A、G的坐标代入，得，解得，∴直线AM的解析为：y＝tx+t，同理可求得，直线AN的解析式为：y＝﹣tx﹣t，联立，解得或，∴点M的坐标为（4+t，t2+5t），同理可得点N的坐标为（4﹣t，t2﹣5t），∴点K的纵坐标为n＝＝t2，即n＝t2．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数表达式，圆的切线的性质与判定，三角形的面积，中点坐标公式等知识，关键（2）熟练掌握三角形面积的不同求解方法；（3）待定系数法求解析式的熟练应用．。

第1章反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力，体会由实际问题转化为数学模型，认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入，初步认知1．复习小学已学过的反比例关系，例如：(1)当路程s一定，时间t与速度v成反比例，即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时，长a和宽b成反比例，即ab＝S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U＝IR，当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗？【教学说明】对相关知识的复习，为本节课的学习打下基础.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数的概念（1）一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时，各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系？并写出它们之间的关系式.（2）利用（1）的关系式完成下表：（3）随着时间t的变化，平均速度v发生了怎样的变化？（4）平均速度v 是所用时间t 的函数吗？为什么？（5）观察上述函数解析式，与前面学的一次函数有什么不同？这种函数有什么特点？ 【归纳结论】一般地，如果两个变量x,y 之间可以表示成y=kx（k 为常数且k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数.其中x 是自变量，常数k 称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数，了解所讨论的函数的表达形式．探究2：反比例函数的自变量的取值范围思考：在上面的问题中，对于反比例函数v=3000/t ，其中自变量t 可以取哪些值呢？分析：反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数，但是在实际问题中，应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t 代表的是时间，且时间不能为负数，所有t 的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论，提问学生，师生互动． 三、运用新知，深化理解 1.见教材P3例题.2.下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm 2，它的一边是acm ，这边上的高是hcm ，则a 与h 的函数关系；(2)压强p 一定时，压力F 与受力面积S 的关系；(3)功是常数W 时，力F 与物体在力的方向上通过的距离s 的函数关系．(4)某乡粮食总产量为m 吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x 的函数关系式． 分析：确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合y=kx(k 是常数，k ≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．解：(1)a=12/h ，是反比例函数； (2)F ＝pS ，是正比例函数； (3)F=W/s ，是反比例函数； (4)y=m/x ，是反比例函数． 3.当m 为何值时，函数y=224m x－是反比例函数，并求出其函数解析式．分析：由反比例函数的定义易求出m 的值．解：由反比例函数的定义可知：2m －2＝1，m=3/2．所以反比例函数的解析式为y=4x．4.当质量一定时，二氧化碳的体积V 与密度ρ成反比例.且V=5m 3时，ρ=1．98kg ／m 3 （1）求p 与V 的函数关系式，并指出自变量的取值范围. （2）求V=9m 3时，二氧化碳的密度. 解：略5.已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 2成反比例，且x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．求y 与x 间的函数关系式．分析：y1与x 成正比例，则y1＝k1x ，y2与x2成反比例，则y2=k2x2，又由y ＝y1＋y2，可知，y=k1x+k2x2，只要求出k1和k2即可求出y 与x 间的函数关系式．解：因为y 1与x 成正比例，所以y 1＝k 1x ；因为y 2与x 2成反比例，所以y 2=22k x ，而y ＝y 1＋y 2，所以y=k 1x+22k x，当x ＝2与x ＝3时，y 的值都等于19．【教学说明】加深对反比例函数概念的理解，及掌握如何求反比例函数的解析式. 四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好，但在求函数解析式时，解题不够灵活，如解答第5题时，不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象与性质（1）教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象；2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质，并能灵活应用.教学过程一、情景导入，初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢？一次函数有什么性质呢？反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中，进一步认识函数，图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究，获取新知探究1：反比例函数图象的画法画出反比例函数y=6x的图象．分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表：取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数，所以不能取x的值为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值.(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出各点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．（3）连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．思考：（1）观察上图，y 轴右边的各点，当横坐标x 逐渐增大时，纵坐标y 如何变化？y 轴左边的各点是否也有相同的规律？（2）这两条曲线会与x 轴、y 轴相交吗？为什么？探究2：反比例函数所在的象限画出函数y=3x的图形，并思考下列问题： （1）函数图形的两个分支分别位于哪些象限？（2）在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化是如何变化的？ 【归纳结论】一般地，当k>0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小.探究3：反比例函数y=－6x的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数y=－6x 的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数y=6x 与y=－6x 之间的关系，画出y=－6x的图象．【归纳结论】一般地，当k<0时，反比例函数y=kx的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大.探究4：反比例函数的性质反比例函数y=－6x与y=6x的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．【归纳结论】反比例函数y=kx(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时，图象在一、三象限；当k<0时，图象在二、四象限.反比例函数y=kx与y=-kx(k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象，掌握反比例函数的性质.三、运用新知，深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y＝2x k＋1的图象是双曲线，那么k＝．【答案】-23.如果反比例函数y=3kx－的图象位于第二、四象限内，那么满足条件的正整数k的值是．【答案】1，24.已知直线y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=kbx的图象在第象限．【答案】二、四5.反比例函数y=1x的图象大致是图中的( )．解析：因为k=1>0，所以双曲线的两支分别位于第一、三象限. 【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数23()2m y m x －－为反比例函数．(1)求m 的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y 随x 的增大如何变化？ (3)当－3≤x ≤－12时，求此函数的最大值和最小值．8.作出反比例函数y=12x的图象，并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时，求y 的值； (2)当y ＝－2时，求x 的值； (3)当y ＞2时，求x 的范围． 解：列表：由图知： (1)y ＝3； (2)x ＝－6； (3)0＜x ＜69.作出反比例函数y=－4x的图象，结合图象回答： （1)当x ＝2时，y 的值；(2)当1＜x ≤4时，y 的取值范围； (3)当1≤y ＜4时，x 的取值范围． 解：列表：由图知：(1)y＝－2；(2)－4＜y≤－1；(3)－4≤x＜－1．【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题，在研究每一题时，要紧扣性质进行分析，达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质，并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看，学生掌握的不够好，应多加练习.第2课时反比例函数的图象与性质（2）教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式；2.巩固反比例函数图象和性质，通过对图象的分析，进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入，初步认知1.反比例函数有哪些性质？2.我们学会了根据函数解析式画函数图象，那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗？【教学说明】复习上节课的内容，同时引入新课.二、思考探究，获取新知1.思考：已知反比例函数y=kx的图象经过点P（2,4）（1）求k的值，并写出该函数的表达式；（2）判断点A（-2，-4），B(3,5)是否在这个函数的图象上；（3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x 的增大如何变化？分析：(1)题中已知图象经过点P（2，4），即表明把P点坐标代入解析式成立，这样能求出k，解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上，就是把A、B的坐标代入函数解析式中，如能使解析式成立，则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性，利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y 随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=kx的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是k>0还是k<0？说明理由；（2）如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点，试比较y1，y2的大小.分析：（1）由图象可知，反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0，-2<0.所以点A、B 都位于第三象限，又因为-3<-2，由反比例函数的图像的性质可知：y1>y2.【教学说明】通过观察图象，使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知，深化理解1.若点A(7，y1)，B(5，y2)在双曲线y=－3x上，则y1、y2中较小的是．【答案】y22.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y=kx(k＞0)的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则有( )．A.y1＜0＜y2B.y2＜0＜y1C.y1＜y2＜0D.y2＜y1＜0【答案】 A3.若A(a1，b1)，B(a2，b2)是反比例函数图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是( )A.b 1＜b 2B.b 1=b 2C.b 1＞b 2D.大小不确定 【答案】 D 4.函数y=-1x的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若0＜x 1＜x 2，则( ) A.y 1＜y 2 B.y 1＞y 2 C.y 1=y 2 D.y 1、y 2的大小不确定 【答案】 A5.已知点P(2，2)在反比例函数y=kx(k ≠0)的图象上， (1)当x=-3时，求y 的值；(2)当1＜x ＜3时，求y 的取值范围．6.已知y=kx(k ≠0，k 为常数)过三个点A(2，-8)，B(4，b)，C(a ，2)． (1)求反比例函数的表达式； (2)求a 与b 的值． 解：（1）将A （2，-8）代入反比例解析式得：k=-16，则反比例解析式为y=-16x； （2）将B （4，b ）代入反比例解析式得：b=-4；将C （a ，2）代入反比例解析式得：2=-16a，即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,－2)． (1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析：(1)反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A 在反比例函数的图象上，易求出m 的值，再验证点A 关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．解：(1)设：反比例函数的解析式为：y=kx (k ≠0)．而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x ＝1时，y ＝－2．所以－2=1k，k ＝－2．即反比例函数的解析式为：y=－2x．(2)点A(－5,m)在反比例函数y=－2x图象上，所以m=25-- =25 ，点A 的坐标为(－5, 25)．点A 关于x 轴的对称点(－5,－25)不在这个图象上；点A 关于y 轴的对称点(5, 25)不在这个图象上；点A 关于原点的对称点(5,－25)在这个图象上；【教学说明】通过练习，巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中，我深深地体会到：要想让学生真正掌握求函数解析式的方法，教师应在给出相应的典型例题的条件下，让学生自己去寻找答案，自己去发现规律.最后，教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围，以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天，教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来，教会学生如何学，让学生自己去探究，自己去学习，去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定：教师不仅是学生的引导者，也是学生的合作者.教学中，要让学生通过自主讨论、交流，来探究学习中碰到的问题、难题，教师从中点拨、引导，并和学生一起学习，探讨，才能真正做到教学相长，也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质（3）教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题． 【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程，逐步提高运用知识的能力. 【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题，培养学生看图（象）、识图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数，反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入，初步认知 1.正比例函数有哪些性质？ 2.一次函数有哪些性质？ 3.反比例函数有哪些性质？【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习，让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究，获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P （-3,4），试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解：设正比例函数，反比例函数的表达式分别为y=k 1x,y=2k x,其中，k 1,k 2是常数，且均不为0. 由于这两个函数的图象交于P （-3,4），则P （-3,4）是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式.因此，4=k 1×(-3),4=23k －解得，k 1=43k 2=-12所以，正比例函数解析式为y=43 x,反比例函数解析式为y=-12x.函数图象如下图.【教学说明】通过图象，让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=6x的图象上取两点Ｐ（1，6），Ｑ（6，1），过点Ｐ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S 1= ；过点Ｑ分别作x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2= ；S 1与S 2有什么关系？为什么？【归纳结论】反比例函数y=kx（k ≠0）中比例系数k 的几何意义：过双曲线y=kx（k ≠0）上任意一点引x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为k 的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．三、运用新知，深化理解1.已知如图，A 是反比例函数y=kx 的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是( )A.3B.-3C.6D.-6分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S ＝12|k|．解：根据题意可知：S △AOB ＝12|k|＝3，又反比例函数的图象位于第一象限，k ＞0，则k ＝6．【答案】 C 2.反比例函数y=6x 与y=2x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x 轴的直线分别交双曲线于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积为( )A.12B.2C.3D.1分析：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，再根据反比例函数系数k 的几何意义分别求出四边形OEAC 、△AOE 、△BOC 的面积，进而可得出结论．解：分别过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，过B 作BC ⊥y 轴，点C 为垂足，∵由反比例函数系数k 的几何意义可知，S 四边形OEAC =6，S △AOE =3， S △BOC =1，∴S △AOB =S 四边形OEAC -S △AOE -S △BOC =6-3-1=2．【答案】 B3.已知直线y ＝x ＋b 经过点A(3,0)，并与双曲线y=kx的交点为B(－2，m)和C ，求k 、b 的值．解：点A(3,0)在直线y ＝x ＋b 上，所以0＝3＋b ，b ＝－3．一次函数的解析式为：y ＝x －3．又因为点B(－2，m)也在直线y ＝x －3上，所以m ＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．而点B(－2,－5)又在反比例函数y=kx上，所以k ＝－2×(－5)＝10．4.已知反比例函数y=1k x的图象与一次函数y ＝k 2x －1的图象交于A(2,1)． (1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A 点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．分析: (1)因为点A 在反比例函数和一次函数的图象上，把A 点的坐标代入这两个解析式即可求出k 1、k 2的值．(2)把点A 关于坐标原点的对称点A ′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A ′是否在这两个函数图象上．解：(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2． 1＝2k 2－1，k 2＝1．所以反比例函数的解析式为：y=2x；一次函数解析式为：y ＝x －1．(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A ′(－2,－1)．把A ′点的横坐标代入反比例函数解析式得，y=22=－1，所以点A 在反比例函数图象上．把A ′点的横坐标代入一次函数解析式得，y ＝－2－1＝－3，所以点A ′不在一次函数图象上．5.已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的y=－3x的图象上．(1)求a的值．(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．分析：(1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y 的值在－1≤y ≤3范围内时，相应的x 的值为：－1≤x ≤1．(4)从图象可知，y 随x 的增大而减小，又m ＋1＞m ，所以y 1＞y 2. 或解：当x 1＝m 时，y 1＝－2m ＋1；当x 2＝m ＋1时，y 2＝－2×(m ＋1)＋1＝－2m －1所以y 1－y 2＝(－2m ＋1)－(－2m －1)＝2＞0，即y 1＞y2.6.如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y=mx的图象交于A 、B 两点．(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x 的取值范围．分析:(1)把A 、B 两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式． (2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标．【教学说明】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，以基础题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习，发现了一些问题，因此必须强调：教学反思1．综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往用待定系数法．2．观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题．1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据，然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程，体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型，进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入，初步认知复习回顾1.什么是反比例函数？2.反比例函数的图象是什么？3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何？【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究，获取新知1.某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗？(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=FS，请你判断：当F一定时，p是S的反比例函数吗？(2)如人对地面的压力F=450N，完成下表：（3）当F=450N时，试画出该函数的图象，并结合图象分析当受力面积S 增大时，地面所受压强p是如何变化的，据此，请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解：（1）对于p=FS，当F一定时，根据反比例函数的定义可知，p是S的反比例函数.（2）因为F=450N，所以当S=0.005m2时，由p=FS得：p=450/0.005=90000（Pa)类似的，当S=0.01m2时，p=45000Pa；当S=0.02m2时，p=22500Pa；当S=0.04m2时，p=11250Pa(3)当F=450N时，该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示，由图象的性质可知，当受力面积S增大时，地面所受压强p会越来越小，因此，该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强，从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律（在温度不变的情况下，气体的压强p与它的体积V 的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释：为什么使劲踩气球时，气体会爆炸？【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力，提高感知水平；此外，在解决实际问题时，要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知，深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3，如果从水管中每小时流出xm3的水，经过yh可以把水放完，那么y与x的函数关系式是，自变量x的取值范围是．【答案】y=12x；x＞03.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的13，高为y，面积为60，则y与x的函数关系是(不考虑x的取值范围)．【答案】y=90 x4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示．设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系，不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时，所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24，它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时，压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中，所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映y与x之间的关系的式子是( )．A.y＝3000xB.y＝6000xC.y=3000xD.y=6000x【答案】D。

九年级数学（上）检测一(人教版21.1)一、选择题（每小题3分，共30分）1．要使关于x 的方程20ax bx c ++=为一元二次方程的条件是…………………………（ ） A ．0abc ≠ B ．0ab ≠且0ac = C ．0a =或0b = D ．0a ≠2.若一元二次方程3(2)x x =+经整理后二次项的系数为1，则一次项的系数是………（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．03．方程28x =的实数根是…………………………………………………………………（ ） A ．4 B ．22 C ．22± D ．4±4．下列说法正确的是………………………………………………………………………（ ） A ．一元二次方程一定是整式方程 B ．整式方程一定是一元二次方程C ．任何一个一元二次方程的解一定是2个D ．一个一元二次方程，转化为一般形式后，二次项系数，一次项系数和常数项是唯一的 5．已知22a a +=，则代数式222a a --的值为…………………………………………（ ） A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．26．关于方程30x -=，下列说法正确的是………………………………………………（ ） A ．它不是方程 B ．它是一个一元二次方程 C ．方程的根是0或3 D ．方程的根是37．关于x 的一元二次方程260x kx --=的一个解是3x =，则实数k 的值是……（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－28．若关于x 的一元二次方程250(0)ax bx a ++=≠的一个解是1x =，则2013a b --的值是…………………………………………………………………………………………（ ） A ．2018 B ．2008 C ．2014 D ．2012 9．已知方程20x bx a ++=有一个根是x a =-，则下列代数式中，值为常数的是……（ ） A ．ab B ．abC ．a b +D ．a b -10．若实数a 满足210a +=，则代数式44a a -+的值是…………………………（ ）A ．124B ．C ．62D ．78二、填空题（每小题3分，共24分）11.16的平方根是 ．12.根据“x +2与x -3的积比x 大5”，可列得方程是 ．13.关于x 的方程2(2)20m x mx --=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 14.一元二次方程2(2)(2)35x x x x +-=-的一般式可以是 ． 15.若关于x 的一元二次方程2210x x a ++-=有一个根是x =0，则a = ．16.已知关于x 的方程22(4)(2)1m x m x ---=，当m 时，它是一元二次方程， 当m ＝ 时，它是一元一次方程．17. 已知x =－1是一元二次方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n -+的值为 ． 18. 某超市一月份的营业额是36万元，三月份的营业额是48万元，若每月的增长率相同，设增长率为x ，则可得方程 ．三、解答题（共46分）19.（本题6分）将下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项（1）2(1)2x -=；（2）(3x x x +=．20.（本题6分）已知一元二次方程2522()(1)433x x x -=- （1）写出其一种一般形式；（2）若转化后的一般形式中二次项系数a ＝1，写出一次项系数b 和常数项c ，并求出24b ac -的值．21.（本题8分）已知方程111x =-的解是x k =，求关于x 的方程20x kx +=的解．22.（本题8分）（1）化简分式：22213211143a a a a a a a +-+-+-++； （2）当a 方程2280x x +-=的一个根时，求（1）中分式的值．23.（本题8分）观察下列等式：2222+=⨯，333322+=⨯，333344-+=-⨯… （1）请写出两个数，同样具体上述的特性，你找到的两个数是 ；（2）为了找到一种数学方法，使得满足它们的和等于它们的积的等式一个不漏，我们自然会想到列方程．①若一个数为2，求满足上述关系的另一个数x ；②若两数不相等，设两数分别是,a b ，求,a b 满足的关系式．24.（本题10分）（1）已知14a a +=，求1a a-的值； （2）已知m 是方程2310x x -+=的一个根，求21m m -的值．九年级数学（上）检测二(人教版21.2)一、选择题（每小题3分，共30分）1．方程22x x =的根是……………………………………………………………………（ ） A ．2 B ．0或2 C ．1或2 D ．22．我们知道，解二元一次方程组的主要数学方法是消元，则解一元二次方程的主要的数学方法是………………………………………………………………………………………（ ） A ．消元 B ．降幂 C ．换元 D ．数形结合 3．对于一元二次方程225x x -=，下列配方正确的是……………………………………（ ）A ．2(1)5x -= B ．2(1)6x -= C ．2(2)1x -= D ．2(2)9x -=4.下列一元二次方程有两个相等实数根的是……………………………………………（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1)2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝0 5.已知关于x 的一元二次方程)0(02≠=++m k nx mx 有两个实数根，则下列关于判别式mk x 42-的判断正确的是……………………………………………………………（ ）A ．042<-mk nB ． 042=-mk n C ． 042>-mk n D ．042≥-mk n6.下列方程中，两实数根之和等于2的方程是…………………………………………（ ） A.B. C. D.7.若方程20x px q ++=的两个根是－2和3，则p q +的值为…………………………（ ） A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－7 8. 关于一元方二次方程95)2(882=-x 的两根，下列判断正确的是……………………（ ） A ．一根小于1，另一根大于3 B ．一根小于－2，另一根大于2 C ．两根都小于0 D ．两根都大于29. 正比例函数(1)y a x =+的图象经过第二、四象限，若a 同时满足一元二次方程22(12)0x a x a +-+=，则此方程的根的情况是………………………………………（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．不能确定10.有下列说法： ①若122b ac =+,则一元二次方程20ax bx c ++=必有一根为-2 ②若0ac <, 则关于x 的一元二次方程20cx bx a ++=有两个不等实数根 ③若240b ac -=, 则关于x 的一元二次方程20cx bx a ++=有两个相等实数根其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ） A.O 个 B.l 个 C.2个 D ．3 个二、填空题（每小题3分，共24分）11.方程2(3)0x x -=的解是 ．12.若,a b 分别是一元二次方程2470x x --=的两个根，则ab ＝ ．13. 已知关于x 的方程错误!未找到引用源。

新动力2019年中考数学预测卷（四）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．－12的相反数是（）．A ．12 B ．－12 C ．－2 D ．22在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．x ≥－1C ．x ≥1D ．x ≤－13．下列说法：①掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数可能是7”；②“射击运动员射击一次，刚好射中靶心”（ ）．A ．只有①正确B ．只有②正确C ．①②都正确D ．①②都错误4．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．5．左图中是一个正三棱柱，它的主视图是（ ）．6．《孙子算经》中有一道题，大意是：100匹马拉100片瓦，一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？如果设大马有x 匹，小马有y 匹，则可列方程组是（ ）． A ．10033100x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．1003100x y x y +=⎧⎨+=⎩ C ．100131002x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D ．100131003x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩7．把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，将上、中、下各三段组成三堆图片，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率是（ ）．A ．127B ．19 C ．29 D ．138．如图是某同学设置的密码破译的钥匙，“钥匙x －3”表示“把一个字母或一个数字，换成依次排列的字母表或从小到大排列的数字表中，向前移动3位的字母或数字”，规定字母a 接在2的后面，数字0接在9的后面，如：密码“zkhq 199”破译为“when 866”，则密码“acj 03”破译为（ ）．A ．“xzg 70”B ．“d cm 70”C ．“x cm 36”D ．“dzg 36”9．已知直线y ＝ax ＋b 与双曲线y ＝k x 交于A （t ，t －5），B （t ＋3，t －4）两点，则不等式ax ＋b ＞k x 的解集是（ ）．A ．x ＞6或0＜x ＜3B ．3＜x ＜6或x ＜0C ．x ＜－2或－1＜x ＜0D ．x ＜－2或0＜x ＜6DC BA ABC D10．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，动点P 从点B 出发，在边BA 上以每秒5个单位的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在边CB 上P 以每秒4个单位的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．如果以PO 为直径的圆与AC 相切，则t 的值是（ ）．A ．12873B ．11964C ．85 D ．58二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11的结果是 ． 12．武汉市某学校5名同学的身高（单位/cm ）分别是：178，176，150，183，176，则这组数据的中位数是 ．13．计算：221m -－11m -的结果是 ． 14．在△ABC 中，∠B ＝20°，D 是BC 边上的一点，若△ABD 是直角三角形，△ADC 是等腰三角形，则∠BAC 的度数是 ．15．若对于任意非零实数a ，抛物线y ＝ax 2＋ax －2a 总不经过点P （m ，m ＋2），则点P 的坐标是 ．16．如图，Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠ACB ＝90°，D 、E 分别是AC 、BC 的中点，将△DCE 绕C 点顺时针方向旋转α角度，当B 、D 、E 三点在一条直线上时，则AD 的长为 ．三、解答题（共8小题，共72分）17．（本题8分）计算：a 3⋅a 4⋅a ＋(a 2)4＋(－2a 4)2．AC DE18．（本题8分）如图，点D 、点E 、点F 分别是△ABC 的边BC 、边CA 、边AB 上的点，已知DE /∥BA ，∠BFD ＝∠DEC ，求证：DF //C A ．19．（本题8分）脱贫工作是全面建成小康社会的重大政治任务．某校数学兴趣小组就某小区居民家庭对某贫困山区捐款发展经济的情况，随机调查部分家庭捐款额度，居委会提供的部分信息：①该小区共有1000户居民家庭；②该小区参与捐款的家庭户数占全小区居民家庭户数的95%；③该小区参与捐款的居民家庭的捐款额度只有100元（记为A ）、200元（记为B ）、300元（记为C ）、400元（记为D ）共四类．下面是根据调查结果（不含没有捐款的家庭）进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）一共调查了该小区居民家庭 户；（2）请你补全条形统计图，并写出扇形统计图中表示“B 类”的扇形圆心角为 度；（3）根据以上的统计估计该小区捐款的总数是多少元？CE D AB F调查结果扇形统计图户数20．(本题8分)如图，在下列6×6的网格中，△ABC 的顶点都在格点上(小正方形的顶点)，按下列要求作出△DEF ，要求△DEF 的顶点都在格点上．(1)在图1中画出△DEF ，使得△DEF 与△ABC 关于直线MN 成轴对称;(2)在图2中，将△ABC 绕某一格点O 旋转180°得到△DEF ，使得△DEF 与△ABC 关于点O 成中心对称，请在图中标出对称中心O 点的位置，并作出△DEF ;(3)在图3中，将△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△DEF ，使得△DEF ∽△ABC ，其中点D 与点A 重，请在图中作出△DEF ．图1 图2 图321．(本题8分)已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动(不与点B 重合)，连接CD ，且CD ＝O A ．(1)如图1，若OC ＝2，请你判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论;(2)如图2，若CD 的延长线与⊙O 相交于另一点E ，连接AE ．①当D 为CE 中点时，∠CAE 的度数为_______;②连接OD ，若OD ∥AE ，求AE DE 的值．图1A 图222．(本题8分)某校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：(1)共需租多少辆汽车?(2)求最节省费用的租车方案； (3)若租车公司使用如下的优惠方案:毎辆甲种客车减少2m 元，每辆乙种客车减少m 元(m ≤20)，若学校租车的最少费用不高于2000元，请你直接写出m 的取值范围．23．(本题10分)如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，过D 点的直线交AC 边于E 点，交AB 边的延长线于F 点．(1)如图1，已知∠ACB ＝∠AFE ，求证：BC EF ＝AC AF; (2)如图2，若∠ACB ＞∠AFE ，AB ＜AC ，请你探究：∠A 与∠BDE 满足什么关系时，BC EF ＝AC AF 成立?直接写出∠A 与∠BDE 满足的关系式并证明你的结论;(3)如图3，若∠A ＞90°，AC ＝AF ，tan ∠AEF ＝43，tan ∠ABC ＝2，请直接写出BC EF的值．图1EDC BA 图2FE D C B A图3F E D C B A24．(本题12分)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx－4a的顶点坐标为(0，－1)，且抛物线与x轴交于A、B 两点(点A在点B的左侧)．(1)求A、B两点的坐标；(2)若M(－4，t)，N是抛物线上两点，且锐角∠OMN的正切值不小于2，求N点的横坐标x N的取值范围；(3)如图2，己知在坐标平面内有点E(8，6)，点P是抛物线上的任意一个点，PQ⊥x轴于点Q，求EP＋PQ的最小值及此时P点的坐标．E图2。

湘教版2019年秋季九年级上册数学期末复习：解答题专项一、解答题。

1.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？2.俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售.设每天销售为y本，销售单价为x元.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；(2) 当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？(3) 将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元.3.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）根据题意知：CQ=______，CP=______；（用含t的代数式表示）（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？4.某服装店出售某品牌的棉衣，进价为100元件，当售价为150元件时，平均每天可卖30件；为了减少库存迎接“元旦”的到来，商店决定降价销售，增加利润，经调查每件降价5元，则每天可多卖10件，现要想平均每天获利2000元，且让顾客得到实惠，那么每件棉衣应降价多少元？5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝7，求m的值．6.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？7.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E.（1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式；（2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？8.已知A(-4,2)、B（n,-4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图像的两个交点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图像，直接写出不等式kx+b->0的解集9.如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（-1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C．（1）求m，n的值；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得S△PAB=S△DAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．10.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD=2DB，AM=2MO，一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y=的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．11.已知一次函数与反比例函数的图象交于点P（-2，1）和Q（1，m）．（Ⅰ）求反比例函数的关系式；（Ⅱ）求Q点的坐标和一次函数的解析式；（Ⅲ）观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？12.如图，已知A（-3，n），B（2，-3）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点。

新动力2019年中考数学预测卷（四）一、选择题（本大题共小10题，每小题3分，共30分）1．－12的相反数是（）A．12B．－12C．－2 D．2答案：A2x的取值范围是（）A．x≥0B．x≥－1 C．x≥1D．x≤－1答案：B3．下列说法：①掷一枚质地均匀的骰子，“朝上一面的点数可能是7”；②“射击运动员射击一次，刚好射中靶心”（）A．只有①正确B．只有②正确C．①②都正确D．①②都错误答案：D4．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C5．左图是一个正三棱柱，它的主视图是（）A．B．C．D．答案：B6．《孙子算经》中有一道题，大意是：100匹马拉100片瓦，一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？如果设大马有x匹，小马有y匹，则可列方程组是（）A．10033100x yx y+=⎧⎨+=⎩B．1003100x yx y+=⎧⎨+=⎩C．100131002x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩D．100131003x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩答案：D7．把三张形状、大小相同但画风不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的三段，将上、中、下各三段组成三堆图片，从三堆图片中随机各抽出一张，则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率是（）A．127B．19C．29D．13答案：B8．如图是某同学设置的密码破译的钥匙，“钥匙x－3”表示“把一个字母或一个数字，换成依次排列的字母表或从小到大排列的数字表中，向前移动3位的字母或数字”，规定字母a接在z的后面，数字0接在9的后面，如：密码“zkhq199”破译为“when866”，则密码“acj03”破译为（）A ．“xzg 70”B ．“d cm 70”C ．“x cm 36”D ．“dzg 36”答案：A9．已知直线y ＝ax ＋b 与双曲线y ＝k x 交于A （t ，t －5），B （t ＋3，t －4）两点，则不等式ax ＋b ＞k x的解集是（ ） A ．x ＞6或0＜x ＜3 B ．3＜x ＜6或x ＜0 C ．x ＜－2或－1＜x ＜0 D ．x ＜－2或0＜x ＜6答案：A解析：将A 、B 两点坐标分别代入直线和双曲线方程中，得54(3)t at b t a t b -=+⎧⎨-=++⎩和543k t tk t t ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-⎩，解这两个方程组可以得到131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，66k t =⎧⎨=⎩，所以所要求的不等式为13x －1＞6x ，考虑x ≥0和x ＜0两种情况，解得x ＞6或0＜x ＜3，所以正确答案是A 。

第1章 反比例函数 1．1 反比例函数1．理解并掌握反比例函数的概念，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．(重点) 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式，体会函数模型的思想．(重点)阅读教材P2～3，完成下列内容： (一)知识探究形如y ＝kx (k 是常数，________)的函数称为________，其中x 是________，y 是________．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． (二)自学反馈下列函数中，属于反比例函数的是________；每一个反比例函数的比例系数是多少？ ①y ＝2x ＋1；②y ＝2x 2；③y ＝15x ；④y ＝－23x；⑤xy ＝3；⑥2y ＝x ；⑦xy ＝－1.判断是不是反比例函数，一定要根据反比例函数的定义，牢记反比例函数的三种形式．活动1 小组讨论例 如图，已知菱形ABCD 的面积为180，设它的两条对角线AC ，BD 的长分别为x ，y.写出变量y 与x 之间的函数表达式，并指出它是什么函数．解：∵菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半， ∴S 菱形＝12xy ＝180.∴xy ＝360(定值)，即y 与x 成反比例关系． ∴y ＝360x.因此，当菱形的面积一定时，它的一条对角线长y 是另一条对角线长x 的反比例函数． 活动2 跟踪训练1．下面的函数是反比例函数的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2＋2xC ．y ＝x 2D ．y ＝3x2．在函数y ＝3x 中，自变量x 的取值范围是( )A ．x ≠0B ．x ＞0C ．x ＜0D ．一切实数 3．若函数y ＝kx k－2是反比例函数，则k ＝________.4．已知函数y ＝－6x ，当x ＝－2时，y 的值是________．5．列出下列问题中的函数表达式，并指出它们是什么函数．(1)某农场的粮食总产量为1 500 t ，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数表达式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数表达式；(3)小明完成100 m 赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数表达式． 活动3 课堂小结本节课我们学习了反比例函数的定义，并归纳总结出反比例函数的表达式为y ＝kx (k 为常数，k ≠0)，自变量x 不能为零．还能根据定义和表达式判断某两个变量之间的关系是否是函数，是什么函数？【预习导学】 知识探究k ≠0 反比例函数 自变量 因变量 自学反馈 ③④⑤⑦ ③y ＝15x 中k ＝15；④y ＝－23x 中k ＝－23；⑤xy ＝3中k ＝3；⑦xy ＝－1中k ＝－1. 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.1 4.3 5.(1)y ＝1 500x ，反比例函数． (2)y ＝4.75x ，正比例函数． (3)t ＝100v，反比例函数．1．2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数y ＝kx(k>0)的图象与性质1．能用“描点法”画反比例函数y ＝kx(k>0)的图象．(重点)2．通过反比例函数图象的分析，探索并掌握反比例函数y ＝kx(k>0)的性质．(重点)阅读教材P5～7，完成下列内容： (一)知识探究1．类比一次函数的图象画法，画反比例函数的图象的一般步骤：________、________、________. 2．一般地，当k>0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x 轴、y 轴都________，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而________． (二)自学反馈你能画出反比例函数y ＝2x的图象吗？它是什么形状？有什么特点？活动1 小组讨论例1 画出反比例函数y ＝6x 的图象．解：列表，如下： x …－6－5 －4 －3－2－1123456…y ＝6x… －1－1.2－1.5－2 －3 －6 6 3 2 1.5 1.2 1 …描点、连线，如图所示：列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；描点时：尽量多描一些点，这样既可以方便连线，又能较准确地表达函数变化趋势；连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连接，从中体会函数的增减性． 例2 在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数y ＝3x的图象．解：列表，如下：x …－6－5－4－3－2－1123456…y ＝3x… －12 －35 －34－1－32－3 332134 35 12…描点、连线，如图所示．例3 观察画出的y ＝6x ，y ＝3x 的图象，思考下列问题：(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？(2)在每一象限内，函数值y 随自变量x 的变化如何变化？ 解：(1)两个函数的图象都分别位于第一、三象限． (2)y 随x 的增大而减小．(1)当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，每个象限内y 随x 的增大而减小．(2)反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有两条：直线y ＝x 和y ＝－x.对称中心是原点． 活动2 跟踪训练1．反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．减小B ．增大C ．不变D ．先减小，后不变2．反比例函数y ＝2x 的图象位于平面直角坐标系的( )A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二象限D ．第三、四象限3．已知P 1(－2，y 1)，P 2(－1，y 2)，P 3(1，y 3)是反比例函数y ＝2x 的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 2＜y 1B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 14．反比例函数y ＝2x的图象与两坐标轴________相交(填“会”或“不会”)．5．已知反比例函数y ＝1－mx的图象如图所示，则m 的取值范围是________． 活动3 课堂小结反比例函数y ＝kx(k>0)的图象与性质：k 的符号 k>0 图象形状 双曲线 图象位置 一、三象限性质每个象限内，y 随x 的增大而减小【预习导学】 知识探究1．列表 描点 连线 2.一 三 曲线 不相交 减小 自学反馈 答案略【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.C 4.不会 5.m ＜1第2课时 反比例函数y ＝kx(k<0)的图象与性质1．会画反比例函数y ＝kx (k<0)的图象．(重点)2．探索并掌握y ＝kx(k<0)的性质．(重点)阅读教材P7～9，完成下列内容： (一)知识探究当k<0时，反比例函数y ＝kx 的图象由分别在第________、________象限内的两支________组成，它们与x 轴、y 轴________，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而________． (二)自学反馈下列函数：①y ＝1x ；②y ＝－3x ；③y ＝12x ；④y ＝－7x .(1)图象位于第二、四象限的有________；(2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大的有________； (3)在每一象限内，y 随x 的增大而减小的有________．活动1 小组讨论例 画反比例函数y 1＝4x 和y 2＝－4x 的图象．解：列表→描点→连线，如图所示．反比例函数y ＝k x 的图象与y ＝－kx的图象关于x 轴、y 轴对称．当k<0时，反比例函数y＝kx 的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成，它们与x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大． 活动2 跟踪训练1．反比例函数y ＝－1x(x ＞0)的图象如图所示，随着x 值的增大，y 值( )A ．增大B ．减小C ．不变D ．先增大后减小2．反比例函数y ＝－1－a 2x (a 是常数)的图象分布在( )A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限3．点(1，y 1)、(2，y 2)在函数y ＝－2x 的图象上，则y 1________y 2(填“＞”“＝”或“＜”)．4．已知反比例函数y ＝3－kx，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围： (1)函数图象位于第一、三象限； (2)在每一象限内，y 随x 的增大而增大．牢记函数图象的性质，严格按照函数图象性质判断比例系数的符号．活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究二 四 曲线 不相交 增大 自学反馈(1)②④ (2)②④ (3)①③ 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．A 2.C 3.＜ 4.(1)∵函数图象位于第一、三象限，∴3－k ＞0.解得k ＜3. (2)∵在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∴3－k ＜0.解得k ＞3.第3课时 反比例函数的图象与性质的综合应用1．能根据已知点坐标确定反比例函数的表达式．2．能借助一次函数与反比例函数的图象解决简单的实际问题．阅读教材P10～11，完成下列内容： 自学反馈已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (2)点B(3，4)、C(－212，－445)和D(2，5)是否在这个函数的图象上？活动1 小组讨论例1 如图是反比例函数y ＝kx 的图象．根据图象，回答下列问题：(1)k 的取值范围是k>0，还是k<0？说明理由；(2)如果点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该函数图象上的两点，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)由图可知，反比例函数y ＝kx 的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，因此，k>0.(2)因为点A(－3，y 1)，B(－2，y 2)是该图象上的两点，所以点A ，B 都位于第三象限．又因为－3<－2，由反比例函数图象的性质可知：y 1>y 2.例2 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点P(－3，4)．试求出它们的表达式，并在同一坐标系内画出这两个函数的图象．解：设正比例函数、反比例函数的表达式分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ，其中k 1，k 2为常数，且均不为零．由于这两个函数的图象交于点P(－3，4)，则点P(－3，4)是这两个函数图象上的点，即点P 的坐标分别满足这两个表达式． 因此4＝k 1×(－3)，4＝k 2－3. 解得k 1＝－43，k 2＝－12.因此这两个函数的表达式分别为y ＝－43x 和y ＝－12x .它们的图象如图所示：活动2 跟踪训练1．已知反比例函数y ＝kx的图象经过点(2，－2)，则k 的值为( )A ．4B ．－12C ．－4D ．－22．如图，已知直线y ＝mx 与双曲线y ＝kx 的一个交点坐标为(3，4)，则它们的另一个交点坐标是( )A ．(－3，4)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(4，3)3．设反比例函数y ＝k ＋1x ，(x 1，y 1)、(x 2，y 2)为其图象上的两点，若x 1<0<x 2时，y 1>y 2，则k 的取值范围是________．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象与反比例函数y ＝mx (m ≠0)的图象相交于A 、B 两点．求：(1)根据图象写出A 、B 两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象写出：当x 为何值时，一次函数值大于反比例函数值．活动3 课堂小结 本课时学会解决的问题：1．根据点的坐标确定反比例函数表达式．2．根据反比例函数的图象比较已知两点坐标值的大小． 3．综合利用图象及性质解决一次函数与反比例函数的交点问题．【预习导学】 自学反馈(1)设这个反比例函数为y ＝k x ，∵图象过点A(2，6)，∴6＝k2.解得k ＝12.∴这个反比例函数的表达式为y ＝12x .∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y 随x 的增大而减小．(2)把点B 、C 、D 的坐标代入y ＝12x，可知点B 、C 的坐标满足函数关系式，点D 的坐标不满足函数关系式，∴点B 、C 在函数y ＝12x的图象上，点D 不在这个函数的图象上． 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．C 2.C 3.k<－1 4.(1)由图象可知：点A 的坐标为(2，12)，点B 的坐标为(－1，－1)．∵反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象经过点A(2，12)，∴m ＝1.∴反比例函数的表达式为y ＝1x .∵一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象经过点A(2，12)，点B(－1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝12，－k ＋b ＝－1.解得⎩⎨⎧k ＝12，b ＝－12.∴一次函数的表达式为y ＝12x －12.(2)由图象可知：当x ＞2或－1＜x ＜0时，一次函数值大于反比例函数值.1.3 反比例函数的应用1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．(重点、难点) 2．体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．阅读教材P14～15，完成下列内容： 自学反馈某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m 2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N. (1)用含S 的代数式表示p ，p 是S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为0.2 m 2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa ，木板面积至少要多大？ (4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象；(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的实际问题．建立反比例函数模型，能帮助我们更好地解决实际问题．活动1 小组讨论例 已知某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间有如下关系式：U ＝IR ，且该电路的电压U 恒为220 V .(1)写出电流I 关于电阻R 的函数表达式；(2)若该电路的电阻为200 Ω，则通过它的电流是多少？(3)如果该电路接入的是一个滑动变阻器，怎样调整电阻R ，就可以使电路中的电流I 增大？ 分析：由于该电路的电压U 为定值，即该电路的电阻R 与电流I 的乘积为定值，因此该电路的电阻R 与电流I 成反比例函数关系．解：(1)因为U ＝IR ，且U ＝220 V ，所以IR ＝220，即该电路的电流I 关于电阻R 的函数表达式为I ＝220R. (2)因为该电路的电阻R ＝200 Ω，所以通过该电路的电流I ＝220200＝1.1(A)．(3)根据反比例函数的图象及性质可知，当滑动变阻器的电阻R 减小时，就可以使电路中的电流I 增大．当我们把物理电学问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题即可迎刃而解．活动2跟踪训练1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，如图所示，则用气体体积V表示气压p的函数表达式为()A．p＝120 VB．p＝－120 VC．p＝96 VD．p＝－96 V2．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y ＝20.则y与x的函数图象大致是()3．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是________米．4．近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y(度)与镜片焦距x(米)之间的函数表达式为____________；500度的近视眼镜镜片的焦距为________．5．学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y与另一边x之间的函数关系式如图所示．(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40 m，那么它的宽应控制在什么范围内？x(m) 10 20 30 40y(m)活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】自学反馈(1)p＝600S(S>0)，p是S的反比例函数．(2)p＝3 000 Pa.(3)至少0.1 m2.(4)图略．(5)问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于 6 000，求这些点所处的位置及它们的横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p＝6 000下方的图象上．【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.C 3.0.5 4.y＝100x(x>0)0.2米 5.(1)绿化带面积为10×40＝400(m2)．设该反比例函数的表达式为y＝kx，∵图象经过点A(40，10)，把x＝40，y＝10代入，得10＝k40，解得k＝400.∴函数表达式为y＝400x.(2)402040310若长不超过40 m，则它的宽应不小于10 m.第2章一元二次方程2．1一元二次方程1．会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想．2．能理解一元二次方程的概念；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．阅读教材P26～27，完成下列问题： (一)知识探究如果一个方程通过整理可以使右边为________，而左边是只含有________个未知数的________次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是____________，其中________，________，________分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项．二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． (二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( ) A ．x －y 2＝1 B.x 2－1＝0 C.1x 2－1＝0 D.x 22－x －13＝02．将方程(2x ＋1)x ＝(3x －2)x ＋2化简整理写成一般形式后，其中a 、b 、c 分别是____________．活动1 小组讨论例1 判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x 2＝0； (2)2(x 2－1)＝3y ； (3)2x 2－3x －1＝0； (4)1x 2－2x ＝0； (5)(x ＋3)2＝(x －3)2； (6)9x 2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似(5)这样的方程要化简后才能判断．例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x 2－13x ＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．活动2跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x2－6x＝0；(2)2x2－5xy＋6y＝0；(3)2x2－13x－1＝0；(4)x2＋2x－3＝1＋x2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x2－1＝4x；(2)4x2＝81；(3)4x(x＋2)＝25；(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．已知方程(a－4)x2－(2a－1)x－a－1＝0.(1)a取何值时，方程为一元二次方程？(2)a取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x的方程：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.活动3课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】知识探究0一二ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)a b c自学反馈1．D 2.3－2，－3， 2【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)是一元二次方程． 2.(1)5x2－4x－1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1. 3.(1)a≠4.(2)a＝4. 4.(1)4x2＝25.(2)x(x－2)＝100.(3)x＝(1－x)2.2．2.1配方法第1课时根据平方根的意义解一元二次方程1．会根据平方根的意义解形如x2＝a(a≥0)或(mx＋n)2＝a(a≥0)的一元二次方程．2．理解解一元二次方程的基本思路，体会降次和转化的思想方法．阅读教材P30～31，完成下列问题：(一)知识探究1．一元二次方程的解也叫作一元二次方程的________．2．解一元二次方程的基本思路是通过________，将一个一元二次方程转化为两个________方程．(二)自学反馈1．根据平方根的意义解下列方程：(1)x2－49＝0；(2)4x2－49＝0.解：①移项，得x2＝____. 解：②移项，得____．直接开平方，得x＝____. 两边同时除以4，得____．∴x1＝____，x2＝____. 直接开平方，得____．∴x1＝____，x2＝____.用平方根的意义解一元二次方程的一般步骤：先通过移项，用等式的性质等将方程化为形如x2＝a(a≥0)的形式．再利用平方根的意义求得方程的解为x＝±a.2．方程(x＋1)2＝3能根据平方根的意义求解吗？解：若把(x＋1)看成整体，再根据平方根的意义，得x＋1＝________或x＋1＝________，解得x1＝________，x2＝________.若(mx＋n)2＝a(a≥0)，则开平方，得mx＋n＝±a；若a＜0，则此一元二次方程无解．活动1小组讨论例1下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3．－4，－3，－2，－1，0，1，2，3， 4.直接将x的值代入方程，检验方程两边是否相等．例2 根据平方根的意义解下列方程： (1)4x 2－1＝0； (2)13x 2－27＝0.解：原方程可化为x 2＝14. 解：原方程可化为x 2＝81.x ＝±14， x ＝±81， ∴x 1＝12，x 2＝－12. ∴x 1＝9，x 2＝－9.例3 根据平方根的意义解下列方程： (1)(x ＋1)2－25＝0; (2)9(x ＋1)2－25＝0.解：原方程可化为(x ＋1)2＝25. 解：原方程可化为[3(x ＋1)2]＝25. x ＋1＝±5, 3x ＋3＝±5，∴x 1＝4，x 2＝－6. ∴x 1＝23，x 2＝－83.运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．活动2 跟踪训练1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 2．解下列方程： (1)x 2－3＝0; (2)4x 2－20＝0； (3)(x －2)2＝9; (4)(2x ＋1)2－49＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．根 2.降次 一元一次 自学反馈1．(1)49±497－7(2)4x2＝49x2＝494x＝±49472－72 2.3－3－1＋3－1－ 3【合作探究】活动2跟踪训练1．B 2.(1)x1＝3，x2＝－ 3.(2)x1＝5，x2＝－ 5.(3)x1＝5，x2＝－1.(4)x1＝3，x2＝－4.第2课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程1．了解用配方法解一元二次方程的基本步骤，并能熟练运用配方法解二次项系数为“1”的一元二次方程．2．经历用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会“化归”的思想方法．阅读教材P32～33，完成下列问题：(一)知识探究1．在方程的左边加上一次项系数的________的________，再________这个数，使得含未知数的项在一个________里，这种做法叫作配方．配方、整理后就可以直接根据____________来求解了．这种解一元二次方程的方法叫作配方法．2．配方是为了直接运用____________，从而把一个一元二次方程转化为两个________方程来解．(二)自学反馈1．用适当的数填空：(1)x2－8x＋(______)2＝(x－______)2；(2)x2＋10x＋(______)2＝(x＋______)2.2．用配方法解下列方程：(1)x2＋2x＝7；(2)x2－5x＋14＝0.活动1小组讨论例用配方法解下列关于x的方程：(1)x2－8x＋1＝0; (2)x2＋1＝3x.解：x1＝4＋15，解：x1＝52＋32，x 2＝4－15. x 2＝－52＋32. (1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边．(2)配方时所加常数为一次项系数的一半的平方． (3)注意：配方时一定要在方程的两边同加． 活动2 跟踪训练1．把二次三项式x 2＋8x ＋2进行配方，正确的是( ) A ．(x ＋8)2－1 B ．(x ＋4)2－14 C ．(x ＋4)2＋18 D ．(x ＋2)2－16 2．填空：(1)x 2－4x ＋______＝(x －______)2； (2)x 2＋6x ＋______＝(x ＋______)2； (3)x 2－7x ＋______＝(x －______)2.3．解方程x 2－3x －2＝0，配方，得(x －______)2＋______＝0. 4．用配方法解下列方程： (1)x 2－2x ＝1; (2)x 2＋6x －2＝0； (3)x 2＋4x ＋3＝0; (4)x 2＋x －1＝0. 活动3 课堂小结学生试述：今天学到了什么？【预习导学】 知识探究1．一半 平方 减去 完全平方式 平方根的意义 2.平方根的意义 一元一次 自学反馈1．(1)4 4 (2)5 5 2.(1)x 1＝－1＋22，x 2＝－1－2 2.(2)x 1＝52＋6，x 2＝52－ 6.【合作探究】 活动2 跟踪训练1．B 2.(1)4 2 (2)9 3 (3)494 72 3.32 －1744．(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.(2)x 1＝11－3，x 2＝－11－3.(3)x 1＝－1，x 2＝－3.(4)x 1＝－1＋52，x 2＝－1－52. 第3课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程1．运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，并能熟练掌握其基本步骤． 2．通过利用配方法将一元二次方程变形的过程，体会“转化”的数学思想方法．阅读教材P34～35，完成下列问题： (一)知识探究用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤： (1)化——化二次项系数为________；(2)配——________，使原方程变为(x ＋m)2－n ＝0的形式； (3)移——移项，使方程变为(x ＋m)2＝n 的形式； (4)开——如果n ≥0，就可左右两边开平方得________； (5)解——方程的解为x ＝________. (二)自学反馈1．解方程2x 2－4x －1＝0.解：将方程两边同时除以2，得________． 把方程的左边配方，得________， 即(x －________)2－32＝0.x －1＝________， ∴x 1＝2＋62，x 2＝2－62.当方程的二次项系数不为1时，先根据等式的性质将方程两边同时除以二次项系数，化二次项系数为1，再配方求方程的解． 2．用配方法解下列关于x 的方程： (1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋2＝5.解一元二次方程的实质是：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．活动1 小组讨论例1 用配方法解方程：(1)2y 2－4y －126＝0； (2)3x(x ＋3)＝94. 解：原方程可化为 解：原方程可化为y 2－2y －63＝0. x 2＋3x －34＝0. ∴y 2－2y ＋12－12－63＝0, ∴x 2＋3x ＋(32)2＝34＋(32)2， 即(y －1)2＝64. 即(x ＋32)2＝3. ∴y －1＝±8. ∴x ＋32＝±3. 解得y 1＝9，y 2＝－7. ∴x 1＝－3＋232，x 2＝－3－232. 例2 用配方法解方程：－3y 2＋12y ＋36＝0.解：方程两边同时除以－3，得y 2－4y －12＝0，即(y －2)2＝16.∴y －2＝±4.∴y 1＝6，y 2＝－2.(1)用配方法解一元二次方程时，方程左边分别为二次项和一次项，常数项放右边，二次项系数不为1的，可以将方程各项除以二次项系数．(2)配方时所加常数为一次项系数一半的平方．(3)注意：配方时一定要在方程两边同加．活动2 跟踪训练1．用配方法解方程2x 2－4x －3＝0，把二次项系数化为1后，方程两边都应加上( )A ．1B ．2C ．4D ．82．解一元二次方程2x 2＋2x －3＝0，配方正确的是( )A ．(x ＋12)2＝74B ．(x ＋1)2＝4C ．(2x ＋1)2＝4D ．(x ＋12)2＝1343．在下列各式中填上适当的数，使等式成立：(1)2x 2＋4x ＋______＝2(x ＋______)2；(2)3x 2＋6x －1＝3(x ＋______)2＋______.4．用配方法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0； (2)2x 2－4x －3＝0；(3)3x 2－4x ＋1＝0; (4)6x 2－x －12＝0.活动3 课堂小结用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式；②把二次项系数化为1；③配方，得到方程(x ＋m)2－n ＝0的形式；④利用平方根的意义求解．【预习导学】知识探究(1)1 (2)配方 (4)x ＋m ＝±n (5)－m±n自学反馈1．x 2－2x －12＝0 x 2－2x ＋1－1－12＝0 1 ±622．(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.(2)x 1＝62，x 2＝－62. 【合作探究】活动2 跟踪训练1．A 2.A 3.(1)2 1 (2)1 －4 4.(1)x 1＝1，x 2＝－12.(2)x 1＝1＋102，x 2＝1－102.(3)x 1＝1，x 2＝13.(4)x 1＝32，x 2＝－43. 2.2.2 公式法1．经历推导求根公式的过程，进一步发展逻辑思维能力．2．能熟练运用公式法解一元二次方程．阅读教材P35～37，完成下列问题：(一)知识探究1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)在b 2－4ac ≥0的条件下，它的根为：x ＝______________(b 2－4ac ≥0)．我们通常把这个式子叫作一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．2．运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作________．(二)自学反馈1．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，探究求根公式：因为a ≠0，方程两边都除以a ，得______________．把方程的左边配方，得________________，即(x ＋________)2－________＝0.若b 2－4ac ≥0，原方程可化为(x ＋b 2a)2＝(________)2. 由此得出：x ＋b 2a ＝________或x ＋b 2a＝－________. x ＝________或x ＝________.若b 2－4ac ＜0，则此方程________． 2．用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 解方程：3x 2＝4x －1.解：将方程化为一般形式，得3x 2－4x ＋1＝0.a ＝3，b ＝－4，c ＝1，b 2－4ac ＝(－4)2－4×3×1＝4，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝4±42×3＝4±26． ∴x 1＝1，x 2＝13． 例2 用公式法解方程：x(x －6)＋18＝9.解：将方程化为一般形式，得x 2－6x ＋9＝0.因此a ＝1，b ＝－6，c ＝9，b 2－4ac ＝(－6)2－4×1×9＝0，∴x ＝－b±b 2－4ac 2a ＝6±02×1＝3. ∴x 1＝x 2＝3.活动2 跟踪训练1．用公式法解x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( )A ．1，3，－1B ．1，－3，－1C ．1，－3，1D ．1，3，12．用公式法解下列方程： (1)x 2＋5x －1＝0； (2)x 2＋4x －6＝0；(3)x 2＋22x －1＝0; (4)2x 2－3x ＋1＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程写成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)形式，确定a ，b ，c 的值，求出b 2－4ac 的值；②若b 2－4ac ≥0，则代入公式求解；若b 2－4ac<0，则原方程无解．【预习导学】知识探究1.－b±b 2－4ac 2a2.公式法 自学反馈1．x 2＋b a x ＋c a ＝0 x 2＋b a x ＋(b 2a )2－(b 2a )2＋c a ＝0 b 2ab 2－4ac 4a 2 ±b 2－4ac 2ab 2－4ac 2a b 2－4ac 2a －b ＋b 2－4ac 2a －b －b 2－4ac 2a 无解 2.(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解． 【合作探究】活动2 跟踪训练1．A 2.(1)x 1＝－5＋292，x 2＝－5－292.(2)x 1＝－2＋10，x 2＝－2－10.(3)x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.(4)x 1＝1，x 2＝12.2．2.3因式分解法第1课时用因式分解法解一元二次方程1．理解因式分解法的基本原理，会用因式分解法解一元二次方程．2．理解一元二次方程与一元一次方程的联系，体会“降次化归”的思想方法．阅读教材P37～39，完成下列问题：(一)知识探究1．对于一元二次方程，先将方程右边化为________，然后对方程左边进行________，使方程化为两个一次式的________的形式，再使这两个一次式分别等于________，从而实现降次，这种解法叫作因式分解法．2．如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么x＋1＝0或________，即x＝－1或________．3．若我们把方程x2＋bx＋c＝0的左边进行因式分解后，写成x2＋bx＋c＝________＝0，则d和h 就是方程x2＋bx＋c＝0的根．反过来，如果d和h是方程x2＋bx＋c＝0的根，则方程的左边就可以分解成x2＋bx＋c＝________.(二)自学反馈1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0.2．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.活动1小组讨论例1用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15.解：(1)x1＝0，x2＝45.(2)x1＝23，x2＝－12.(3)x1＝－5，x2＝－2.解这里的(2)(3)题时，注意整体化归的思想．例2 用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0； (2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12. 解：(1)x 1＝6，x 2＝－6.(2)x 1＝43，x 2＝－2. (3)x 1＝12，x 2＝－12.(4)x 1＝x 2＝2. 注意本例中的方程可以使用多种方法．活动2 跟踪训练1．用因式分解法解方程，下列方法中正确的是( )A ．(2x －2)(3x －4)＝0，∴2－2x ＝0或3x －4＝0B ．(x ＋3)(x －1)＝1，∴x ＋3＝0或x －1＝1C ．(x －2)(x －3)＝2×3，∴x －2＝2或x －3＝3D ．x(x ＋2)＝0，∴x ＋2＝02．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0； (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3； (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.3．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 活动3 课堂小结1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为0；(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积；(3)令每个因式分别为0，得两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．【预习导学】知识探究。

第一章特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1 菱形的性质与判定3课时2 矩形的性质与判定3课时3 正方形的性质与判定2课时1 菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?一、情景交流[过渡语] 今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的?ABCD 相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD ＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是 6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°，∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展] (1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是( )A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°，所以ΔABD是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD ＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为 ( )A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为( )A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为 ( )A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC ＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为 1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA 的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD＝2,那么AP的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是( )A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由. 【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)。