593 第五章能带理论总结

能带理论能带理论摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近⾃由电⼦近似模型、紧束缚近似模型。

两者的假设不同，近⾃由近似模型认为价电⼦近似⾃由，晶体的周期性势场微扰很⼩；紧束缚近似模型认为电⼦受到原⼦核作⽤⽐较强，将其他原⼦的作⽤看做微扰。

两者共同基础是周期性势场中电⼦共有化运动，由两种模型研究电⼦的运动状态得出同⼀结论--能带。

在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。

Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near -free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.概述（背景、出发点）能带理论是讨论晶体（包括⾦属、绝缘体和半导体的晶体）中电⼦的状态及其运动的⼀种重要的近似理论。

晶体的能带理论一、能带理论（Energy band theory ）概述能带理论是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出，它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来交换作用，是一种晶体周期性的势场。

即认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动的；由此得出，共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。

二、能带的形成图11.电子共有化对于只有一个价电子的简单情况：电子在离子实电场中运动，单个原子的势能曲线表示如图1。

图2 当两个原子靠得很近时：每个价电子将同时受到两个离子实电场的作用，这时的势能曲线表示为图2。

当大量原子形成晶体时，晶体内形成了周期性势场，周期性势场的势能曲线具有和晶格相同的周期性!（如图3所示）即:在N 个离子实的范围内，U 是以晶格间距d 为周期的函数。

实际的晶体是三维点阵，势场也具有三维周期性。

图3分析：1.能量为E1的电子，由于E1小，势能曲线是一种势阱。

因势垒较宽，电子穿透势垒的概率很微小，基本上仍可看成是束缚态的电子，在各自的原子核周围运动；2.具有较大能量E3 的电子，能量超过了势垒高度，电子可以在晶体中自由运动；3.能量E2 接近势垒高度的电子，将会因隧道效应而穿越势垒进入另一个原子中。

这样在晶体场内部就出现了一批属于整个晶体原子所共有的电子，称为电子共有化。

价电子受母原子束缚最弱，共有化最为显著！可借助图4理解电子共有化：图4晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近.致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。

能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。

本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。

了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()ni k R n r R e r ψψ⋅+= ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik rr e u r ψ⋅= ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+ ，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。

2）证明过程：a. 定义平移算符 T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m =b ． 证明 T 与ˆH 的对易性。

ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出 T 在 T 与ˆH 共同本征态下的本征值 λ。

第五章 能带理论3.1 根据a k π±=状态简并微扰结果，求出与E+、E- 对应的本征态波函数+ψ、-ψ，说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布（即2ψ），说明能隙的来源。

假设( V n = V n *)。

3.2 写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1,2,3)中，简约波数ak 2π=的0级波函数。

3.3 电子在周期场的势能函数⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-+≤≤---=b na x b a n b na x b na ，na x b m x V )1(,0])([21)(222当当ω其中ω,4b a =为常数(1) 试画出此势能曲线，并求其平均值。

(2) 用近自由电子近似模型求出晶体的第一个及第二个带隙宽度。

3.4 设有二维正方晶格，其晶格势场)/2cos()/2cos(4),(a y a x U y x V ⋅⋅-=ππ，按弱周期场(近自由电子近似)处理，求出布里渊区角处)/,/(a a ππ的能隙。

3.5* 考虑晶格常数为a 和c 的三维简单六角晶体的第一布里渊区。

令G c 为平行于晶格c 轴的最短倒格矢。

(1) 证明对于六角密堆积结构，晶体势场V ( r ) 的傅里叶分量V ( G c )为零。

(2) V ( 2 G c ) 是否也为零？(3) 为什么二价原子构成的简单六角晶格在原则上有可能是绝缘体？(4) 为什么不可能得到由单价原子六角密堆积形成的绝缘体？3.6用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s ( k )。

3.7 用 | n > 表示一维晶格第n 个格点的s 态，在只计入近邻作用的紧束缚近似下，写出矩阵元 < m | H | n > 的表达式。

3.8 由相同原子组成的一维原子链，每个原胞中有两个原子，原胞长度为a ，原胞内两个原子的相对距离为b :(1) 根据紧束缚近似，只计入近邻相互作用，写出原子s 态相对应的晶体波函数的形式。

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带"中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的,因而其能量与波失间的关系E （k ）较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容.本章采用一些近似讨论能带的形成,并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时,可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似:让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似: 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型(1）近自由电子模型1、模型概述 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的.因此,我们可以把自由电子看成是它的零级近似，(222U m ∇+)()(r U R r U n=+而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似）2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E （K ）是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E （K ）在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带,连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式.由于周期势场的微扰，E （k ）函数将在 处断开，本征能量发生突变,出现能量间隔2︱V n ︱,间隔内不存在允许的电子能级，称禁带；其余区域仍基本保持自由电子时的数值。

能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。

这种多电子系统严格的解显然是不可能的。

能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。

能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。

在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。

在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。

通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。

1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。

根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。

Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。

具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。

5.3 晶体的能带结构1 导体、半导体和绝缘体的能带解释能态总数 根据周期性边界条件，布洛赫电子量子态k 在k 空间量子态的密度为V /83π，V 为晶体体积。

每个能带中的量子态数受第一布里渊区体积的限制为N 。

N 为原胞数。

考虑到每个量子态可以填充自旋相反的两个电子，每个能带可以填充2N 个电子。

简单晶格晶体的每个原子内部满壳层的电子总数肯定为偶数，正好填满能量最低的几个能带。

不满壳层中的电子数为偶数的，也正好填满几个能带，为奇数的则必定有一个能带为半满。

复式晶格可以根据单胞数N 和每个单胞中的原子和每个原子的电子数讨论电子填充能带的情况。

满带电子不导电 由于布洛赫电子的能量在k 空间具有反演对称性，即()()k k -=n n E E (5.3.1)因此布洛赫电子在k 空间是对称分布的。

在同一能带中k 和k 态具有相反的速度：()()k k --=υυ(5.3.2)在一个被电子填满的能带中，尽管对任一个电子都贡献一定的电流υq -，但是k 和 k 态电子贡献的电流正好相互抵销，所以总电流为零。

即使有外加电场或磁场，也不改变k 和k 态电子贡献的电流正好相互抵销，总电流为零的情况。

在外场力的作用下，每一个布洛赫电子在k 空间作匀速运动，不断改变自己的量子态k ，但是简约区中所有的量子态始终完全占据，保持整个能带处于均匀填满的状态，k 和 k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

因此满带电子不导电。

导体和非导体模型 部分填充的能带和满带不同，虽然没有外场力作用时，布洛赫电子在k 空间对称分布，k 和k 态电子贡献的电流始终正好相互抵销。

但是在外场力作用下，由于声子、杂质和缺陷的散射，能带中布洛赫电子在k 空间对称分布被破坏，逆电场方向有一小的偏移，电子电流将只能部分抵销，抵销不掉的量子态上的电子将产生一定的电流。

根据布洛赫电子填充能带和在外场力作用下量子态的变化，提出了导体和非导体能带填充模型。

在非导体中，电子恰好填满最低的一系列能带（通常称为价带），其余的能量较高的能带（通常称为导带）中没有电子。

本文是关于能带结构概念部分学习的小结，不保证理解准确，欢迎高中低手们批评指教，共同提高。

能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。

能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。

1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。

一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。

因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。

价带（valence band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。

在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。

对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。

对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。

3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。

根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。

“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。

海平面即是费米能级。

一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。

成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。

4. 能量色散（dispersion of energy）。

§5.11 导体、半导体和绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子，但有些固体具有很好的电子导电性能，而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。

对于固体为什么分为导体、绝缘体和半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释，能带论对这一问题给出了一个理论说明，并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体和半导体的现代理论。

晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带，每个能带均由N 个准连续能级组成（N 为晶体原胞数），所以，每个能带可容纳2N 个电子。

晶体电子从最低能级开始填充，被电子填满的能带称作满带，被电子部分填充的能带称为不满带，没有电子填充的能带称为空带。

能带论解释固体导电的基本观点是：满带电子不导电，而不满带中的电子对导电有贡献。

5. 11. 1 满带电子不导电从前面的知识中，已经知道，晶体中电子能量本征值E (k )是k 的偶函数，可以证明v (-k )=-v (k )，即v (k )是k 的奇函数。

一个完全填满的电子能带，电子在能带上的分布，在k 空间具有中心对称性，即一个电子处于k 态，其能量为E(k )，则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。

当不存在外电场时，尽管对于每一个电子来证，都带有一定的电流-e v ，但是k 态和-k 态的电子电流-e v (k )和-e v (-k )正好一对对相互抵消，所以说没有宏观电流。

当存在外电场或外磁场时，电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。

以一维能带为例，图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。

如上所述，在外电场E 的作用下，所有电子所处的状态都以速度d e dt=-k E…………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。

由于布里渊区边界A 和A '两点实际上代表同一状态，在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下，从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来，因而整个能带仍处于均匀分布填满状态，并不产生电流。

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