二次函数增减性讲义

二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。

2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。

⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。

基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。

5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。

7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。

二次函数知识点：二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向教学目标：1． 理解二次函数的概念；2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容：（1）二次函数及其图象如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。

二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。

（2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 考查重难点与常见题型：1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2－m －2额图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2＋bx －1的图像大致是（ ）3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝53，求这条抛物线的解析式。

二次函数的增减性与凹凸性在数学中，二次函数是一类形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。

二次函数的图像通常呈现出一条平滑的弧线，这条曲线在数轴上有许多重要的性质，其中包括增减性和凹凸性。

一、二次函数的增减性二次函数的增减性是指函数图像在数轴上的增减规律。

为了分析二次函数的增减性，我们首先需要找到函数的导数。

对于f(x)=ax^2+bx+c 来说，它的导数为f'(x)=2ax+b。

当导数f'(x)大于零时，即2ax+b大于零时，二次函数的图像是上凸的，也就是说函数在该区间上是递增的。

当导数f'(x)小于零时，即2ax+b小于零时，二次函数的图像是下凸的，函数在该区间上是递减的。

具体来说，当a大于零时，二次函数的图像开口朝上，函数在整个定义域上是递增的；当a小于零时，二次函数的图像开口朝下，函数在整个定义域上是递减的。

而当a等于零时，二次函数退化成线性函数，其图像为一条直线，没有增减性。

二、二次函数的凹凸性二次函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。

通过求解二次函数的二阶导数可以确定函数的凹凸性。

对于f(x)=ax^2+bx+c，它的二阶导数为f''(x)=2a。

当二阶导数f''(x)大于零时，即2a大于零时，二次函数的图像在该区间上是向上凸起的，也就是说函数是凹的。

当二阶导数f''(x)小于零时，即2a小于零时，二次函数的图像在该区间上是向下凸起的，函数是凸的。

同样地，当a大于零时，二次函数图像开口朝上，函数在整个定义域上是凹的；当a小于零时，二次函数图像开口朝下，函数在整个定义域上是凸的。

三、增减性与凹凸性的关系二次函数的增减性与凹凸性有着密切的关系。

当二次函数是递增的时，它的图像是上凸的；当二次函数是递减的时，它的图像是下凸的。

此外，当函数同时满足递增和凹时，函数在该区域内的值是不断增加的；当函数同时满足递减和凸时，函数在该区域内的值是不断减小的。

二次函数的增减性与像分析二次函数是高中数学课程中的一大重点内容，它的形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中a、b、c为常数，a不等于零。

在本文中，我们将探讨二次函数的增减性质以及对应的像的分析方法。

一、二次函数的增减性要了解二次函数的增减性，我们首先需要知道二次函数图像的一些基本特征。

通过观察二次函数的图像，我们可以发现：1. 当a>0时，二次函数的图像开口朝上，形状如一个“U”。

这时，函数的值随着自变量的增加而增加，即函数单调递增。

2. 当a<0时，二次函数的图像开口朝下，形状如一个“∩”。

这时，函数的值随着自变量的增加而减小，即函数单调递减。

简而言之，二次函数的增减性与其开口方向相关，开口朝上时函数单调递增，开口朝下时函数单调递减。

二、像分析要进行像的分析，我们需要考虑二次函数的定义域、值域、顶点以及对称轴等要素。

下面，我们将逐一介绍这些概念及其分析方法。

1. 定义域对于任意二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，它的定义域通常为全体实数集合R，即所有实数都可以作为自变量x的取值。

2. 值域二次函数的值域可以通过求解极值来确定。

对于开口朝上的二次函数，它的值域是大于或等于顶点纵坐标的所有实数；对于开口朝下的二次函数，它的值域是小于或等于顶点纵坐标的所有实数。

3. 顶点和对称轴二次函数图像的顶点可以通过求解二次函数的导数为零来确定。

使用求导法可以得出：顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

注意，这里的横坐标取反是因为对称轴在y轴左侧。

对称轴是垂直于x轴的一条直线，过顶点，并且将图像分为两个相等的部分。

对称轴的方程为x = -b/2a。

通过计算顶点和求解对称轴的方法，我们可以更好地理解二次函数的形状和位置。

4. 过x轴的情况为了确定二次函数与x轴的交点（即零点），我们需要解二次方程ax^2 + bx + c = 0。

通过求解这个方程，我们可以找到函数与x轴相交的点，即函数的零点或根。

二次函数的增减性与凹凸性二次函数是数学中一种重要的函数形式，它具有特定的增减性和凹凸性。

我们将在本文档中讨论二次函数的增减性和凹凸性的定义和性质。

二次函数的基本形式二次函数的一般形式为：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是实数且 $a \neq 0$。

增减性二次函数的增减性指的是函数图像上的点的变化趋势。

根据二次函数的一般形式，我们可以利用一阶导数来判断二次函数的增减性。

- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。

在凹性区间内，随着$x$ 增加，函数值也会增加，所以函数是递增的。

- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凹的抛物线。

在凸性区间内，随着 $x$ 增加，函数值会减小，所以函数是递减的。

凹凸性二次函数的凹凸性指的是图像上的曲线的形状。

同样地，我们可以利用二阶导数来判断二次函数的凹凸性。

- 当 $a > 0$ 时，二次函数是开口向上的，也就是说图像是一个向上凸的抛物线。

在该情况下，函数在整个定义域内都是凹的。

- 当 $a < 0$ 时，二次函数是开口向下的，也就是说图像是一个向下凸的抛物线。

在该情况下，函数在整个定义域内都是凸的。

值得注意的是，二次函数在顶点处取得极值。

当 $a > 0$ 时，函数取得最小值；当 $a < 0$ 时，函数取得最大值。

总结通过分析二次函数的一阶导数和二阶导数，我们可以判断二次函数的增减性和凹凸性。

增减性描述了函数图像上的点的变化趋势，凹凸性描述了函数图像的形状。

理解二次函数的增减性和凹凸性对于解决实际问题和优化函数至关重要。

希望本文档对您理解二次函数的增减性和凹凸性有所帮助。

如有任何疑问，请随时咨询。

二次函数及其性质二次函数的含义：一般地，把形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数，其中x 是自变量，y 是因变量，自变量的最高次数为2，c b a ,,是常数.二次函数的性质：（1）对二次函数表达式配方，得到二次函数的顶点式：ab ac a b x a a c x a b x a c bx ax y 44)2()(2222-++=++=++=二次函数的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --； （2）二次函数的图象是一条抛物线；○1当0>a 时，二次函数图象开口朝上；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而减小，当abx 2->时，y 随着x 的增大而增大，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递减，在对称轴abx 2-=右侧单调递增；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最小值a b ac 44-，无最大值；○2当0<a 时，二次函数图象开口朝下；当abx 2-<时，y 随着x 的增大而增大，当abx 2->时，y 随着x 的增大而减小，二次函数图象在对称轴a b x 2-=左侧单调递增，在对称轴abx 2-=右侧单调递减；该二次函数在对称轴abx 2-=处取得最大值a b ac 44-，无最小值；（3）在二次函数中，若令函数值0=y ，则得到一个一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax .在此，我们研究二次函数与一元二次方程的关系.为讨论方便，在此，我们只讨论0>a 的情况. 方程的 判别式ac b 42-=∆0>∆方程有两个不相等的实数根0=∆方程有两个相等的实数根0<∆方程无实数根方程的根aacb b x aac b b x 24,242221-+-=---=ab x x 221-== 无解函数的图象（示意图）函数与x 轴交点个数及横坐标 两个aac b b a acb b x 242422-+----=和一个ab x 2-= 无交点（4）由上述一元二次方程与二次函数的对应关系，可知，当函数图象与x 轴有交点时，原函数可以表示为)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标. （5）二次函数的三种表达方式总结： ① 一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ；② 顶点式：)0()(2≠+-=a n m x a y ，其中顶点坐标为),(n m③ 交点式（两根式）：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21,x x 是二次函数图象与x 轴交点的横坐标.例题讲解例1：已知二次函数)(x f 满足1)1(,1)2(-=--=f f ，且)(x f 的最大值是8，求)(x f 的表达式.解：212121)1(,1)2(=-=∴-=--=x f f 对称轴为直线又因为)(x f 的最大值是8所以)(x f 可设为顶点式)0(8)21()(2<+-=a x a x f ， 将点)1,2(-代入，得4,1849-=-=+a a ， 即：)(x f 的表达式为)0(8)21(4)(2<+--=a x x f .例2：已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+. （1）求)(x f ； （2）)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值. 解：（1）设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，因为)(x f 满足条件1)0(=f 和x x f x f 2)()1(=-+， 代入，得⎩⎨⎧=++-++++=xc bx ax c x b x a c 2)(])1()1([122， 化简，得⎩⎨⎧=++=x b a ax c 221，即⎪⎩⎪⎨⎧=+==0221b a a c ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==111c b a ，即：1)(2+-=x x x f . （2）由二次函数解析式可知：该二次函数开口朝上，对称轴为直线2121=--=x ， 在给定区间]1,1[-上的单调性为从)21,1(-单调递减，)1,21(单调递增，1111)1(,311)1()1(,43121)21()21(222=+-==++-=-=+-=f f f 比较两端点值大小，得1)1()1(3=>-=f f ，综上所述，)(x f 在区间]1,1[-上的最大值为3，最小值为43.自我检测1. 若二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，求)(x f 的表达式.2. 若二次函数)(x f 的图象过点)1,1(，并且()()73-=≥f x f ，求)(x f 的表达式.3. 已知函数],1[,86)(2a x x x x f ∈+-=，并且函数)(x f 的最小值为)(a f ，则实数a 的取值范围.4. 已知二次函数]1,0[,12)(2∈+-=x ax x x f ，求)(x f 的最小值.参考答案1. 由题干可知，该二次函数过给定的三个点，既可以设一般式，也可以设两根式，而两根式较为容易. 因为二次函数)(x f 的图象过点)0,1(),0,1(),4,3(-，故设)0)(1)(1()(≠-+=a x x a x f ，把点)4,3(代入，得：21,48==a a ， 即：)(x f 的表达式为)1)(1(21)(-+=x x x f . 2. 由题干可知，二次函数在3=x 处取到最小值7-， 因此该二次函数开口朝上，顶点为)7,3(-，故可以设)(x f 的表达式为)0(7)3()(2≠--=a x a x f .因为)(x f 的图象过点)1,1(，把点)1,1(代入，得2,174==-a a ， 即：)(x f 的表达式为7)3(2)(2--=x x f . 3. 二次函数开口朝上，对称轴为直线3126=⨯--=x ， 对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，题干所给函数在区间右端点处取到最小值，故所给区间完全在对称轴左侧，则31≤<a .即：实数a 的取值范围为]3,1(. 4.二次函数开口朝上，对称轴为直线a ax =⨯--=122， 对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，因此，只需讨论所给区间]1,0[与对称轴的位置关系即可. ○1当0≤a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的右侧，)(x f 在]1,0[上单调递增，最小值1)0(min ==f f ；○2当1≥a 时，所给区间]1,0[完全在对称轴的左侧，)(x f 在]1,0[上单调递减，最小值a f f 22)1(min -==；○3当10<<a 时，所给区间]1,0[分布在对称轴的两侧，)(x f 在),0(a 上单调递减，在)1,(a 上单调递增，最小值2min 1)(a a f f -==.。

二次函数复习专题讲义全1.二次函数概念：指形如y=ax^2(a≠0)的函数。

2.简单二次函数：其图像为过原点的一条抛物线，对称轴为y轴，最值依赖于a的正负性。

3.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x0)，y随x的增大而增大；当a0)，y随x的增大而减小。

4.一般二次函数概念：指形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。

5.二次函数图像：是一条抛物线，开口方向依赖于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

6.对称轴：为x=-b/2a。

7.最值：当a>0时，y的最小值为c-b^2/4a；当a<0时，y 的最大值为c-b^2/4a。

8.增减性：当a>0时，在对称轴左边(x-b/2a)，y随x的增大而增大；当a-b/2a)，y随x的增大而减小。

9.待定系数法可以用来求解析式，二次函数可以应用于建立函数模型解决实际问题。

10.二次函数的三种解析式：一般式、顶点式和交点式。

其中，顶点式和交点式可以相互转换。

注意，a≠0，而b和c可以为零。

1.系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

绝对值|a|决定开口大小，|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大。

2.系数c决定抛物线与y轴的交点位置。

当c>0时，交点在y轴正半轴；当c=0时，交点在抛物线顶点上方；当c<0时，交点在y轴负半轴。

3.系数a和b共同决定抛物线对称轴的位置。

当- b/2a>0时，对称轴在y轴右侧；当- b/2a<0时，对称轴在y轴左侧；当- b/2a=0时，对称轴为y轴。

4.特别地，当a=1时，顶点坐标为(-b/2.a+b+c)，当x=-1时，有y=a-b+c。

5.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的关系：若抛物线与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实根；若抛物线与x轴有一个交点，则方程有两个相等的实根；若抛物线与x轴无交点，则方程无实根。