九年级数学分解因式法北师大版知识精讲
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初三数学分解因式法北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容： 1. 分解因式法 2. 为什么是0.618
二. 教学目标：
1. 会用分解因式法解一元二次方程。
2. 能根据一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
3. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，认识方程模型的重要性。
三. 重点及难点： 重点：
1. 用分解因式法解一元二次方程。
2. 利用一元二次方程解决实际问题，理解方程是一种重要的数学模型。
难点：
1. 根据一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2. 列方程时如何寻找等量关系。
四. 课堂教学： ［知识要点］
1. 分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易分解成两个一次因式的乘积时，就把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。
即0ab =，则0a =或0b =。
2. 分解因式的方法：提取公因式法、公式法。
3. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥答。
4. 根与系数的关系（韦达定理）：设一元二次方程2
0ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的两个根分别为12,x x ，则12,b x x a +=-12c
x x a
⋅=。
【典型例题】
例1. 用适当方法解方程。
（1）()2
224x x +=+ （2）()()2
2
2192x x -=+ （3）2
352y y -=
解：（1）原方程可化为：()2
22(2)x x +=+ ()2
22(2)0x x +-+= ()()2220x x ++-= ()20x x += ∴20x +=或0x =
∴12x =-，20x =
（2）法一：原方程可化为：()()2
2
21920x x --+= ()()22
21[32]0x x --+=
()()()()[2132][2132]0x x x x -++--+= ()()5570x x +--= ∴550x +=或70x --= ∴11x =-，27x =-
法二：原方程可化为；()()2
2
21[32]x x -=+
21[3(2)]x x -=±+ ∴213(2)x x -=+或21[3(2)]x x -=-+ ∴11x =-，27x =-
（3）原方程可化为；2
3520y y --= 3,5,2
a b c ==-=- ()()2
2
45432
252449
b a
c -=-
-⨯⨯-=+=>0
∴57
6
x ±=
=
∴12x =，21
3
x =-
总结：遇到解具体的一元二次方程时，一定要分析方程的特征，灵活选择方法，掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本。
例2. 关于x 的方程2
30x x k -+=有一个根是1，求它的另一个根和k 的值。
解法一：把1x =代入2
30x x k -+=得2
1310k -⨯+= ∴k =2
∴原方程为；2
320x x -+= 解方程得：12x =，21x =
∴方程的另一个根是2， k 的值为2。
解法二：设2
30x x k -+=的两个根分别为12,x x 则12213x x x +=+= ∴22x =
又12122x x k ⋅=⨯==
∴方程的另一个根是2， k 的值为2。
总结：此题利用根与系数的关系求得结果比较简单，但技巧性较强，作题时要认真体会。
例3.
空气阻力，炮弹以45度仰角射出时，高度h ，射程S 和时间t
（1）炮弹落地（h=0）需要多少时间（精确到0.1秒）；（2）射程S 是多少？（精确到1米）
解：（1）因为炮弹落地时的高度是0
答：（1）炮弹落地需要57.7秒才落地。
（2）射程S是16318米。
例4. 某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因经营不善，销售额下降10%，以后加强改进管理，经减员增效大大激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？
解：x。
答：三、四月份平均每月增长的百分率为33.3%。
例5. 已知：如图（1），A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向D移动。
问：（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33cm2？（2）P、Q10cm？
x秒时，四边形PBCD
AP=3x
解得：x=5
答：P、Q两点从出发开始5秒时，四边形PBCQ
（2）P、Q两点从出发开始到y秒时，点P点Q间的距离是10cm
则
答：P、Q两点从出发开始到1.6秒或4.8秒时，点P点Q间的距离是10cm。
例6. 某百货商场服装柜在销售中发现，某品牌服装平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了迎接国庆，商场决定采取适当的降价措施扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发现，如果每件降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在这种品牌服装上盈利1200元。
那么每件这种品牌的服装应降价多少元？
解：
因要尽快地减少库存，故x=20
答：每件这种品牌的服装应降价20元。
【模拟试题】
一.
1.
C.
2.
法依次是（）
A. 公式法、分解因式法、分解因式法
B. 分解因式法、分解因式法、公式法
C. 分解因式法、公式法、分解因式法
D. 配方法、公式法、分解因式法
3. 市政府计划2年内将市区人均住房面积由现在的10平方米提高到1
4.4平方米，设每年
，则x满足的方程是（
B.
C.
4. 一家商店将某种服装按成本价提高40%标价，又以8折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件服装可获利15元，则这种服装每件的成本价是（）
A. 120元
B. 125元
C. 135元
D. 140元
5. 一个两位数等于它的个位上的数与十位上的数之和的平方，并且个位上的数比十位上的数小7，这个两位数是（）
A. 78
B. 79
C. 81
D. 80
二.
1. a的值为_____________，方程。
2. 点A B y轴的直线上，则x的值为_____________，y的值是_____________。
3. 设C点是长为2cm的线段AB的黄金分割点，则AC的长为_____________。
4. 一个小组共有若干人，新年互送贺年片1张，已知全组共送贺年片72张，则这个小组有_____________人。
5. 国家规定存款利息的纳税方法是利息税=利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%。
今小王取出一年到期的本金及利息时，支付了利息税4.5元，则小王一年前存入银行的钱为_____________。
三. 解答题：
1. 如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一。
把耕地分成大小不等的六块作试验田，且使试验地面积为
2. ________。
3. 某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程，如果由甲、乙两个工程队
合作，12天可完成，如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成。
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数。
（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元，如果请乙队施工，公司每日需付费用1400元，在规定时间内：A. 请甲队单独完成此项工程，B. 请乙队单独完成此项工程，C. 请甲、乙两队合作完成此项工程。
以上三种方案哪一种花钱最少。
4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向C点匀速运动，其速度均为的面积是△ABC的面积的一半。
5. 将进货单价为40元的商品按50元售出时就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1价，其销量就减少10个，若想获得8000元利润，售价应为多少？
【试题答案】
一.
1. A
2. C
3. C
4. B
5. C
二.
1.
3.
4. 9
5. 1000元
三.
∵x=35>20
∴x=35不合题意，舍去
x=1
2.
分四种情况讨论：
（1）若三角形的三边长都是2，则此三角形为等边三角形，周长为6。
（2）若三角形的三边长都是4，则此三角形为等边三角形，周长为12。
（3）若三角形的两边长为2，一边长为4，因为2＋2=4，不符合三角形三边关系（舍去）。
（4）若三角形的两边长为4，一边长为2，因4、4、2符合三角形三边关系，故周长为10。
综上所述，三角形三边长为6或12或10。
3. 解：（1x天
因为x=4不合题意，所以只取x=30
30天
（21400×30=42000元
所以单独请甲队完成此项工程花钱最少。
PCQ的面积为△ABC面积的一半，则有
答：1.5s后△PCQ的面积为△ABC面积的一半。
5. 解：设商品的单价涨价x
因此，商品的售价可定为60元或80元。
