中点专题【类型一】见中线 可倍长例1、如图,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 点F ,AF=EF ,求证:A C=BE.变式、如下图所示,在△ABC 中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ,交AB 于点G ,若AD 为△ABC 的角平分线,求证:BG =CF.例2、如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90BAC ,点D 为BC 中点,点E 、F 分别为AB 、AC 上的点,且FD ED ⊥.以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形?若能,请判断此三角形的形状.变式1、 如图所示,已知M 为△ABC 中BC 边上的中点,∠AMB 、 ∠AMC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ,连接EF .求证:BE+CF>EF .4例3、已知:ABC ∆和ADE ∆是两个不全等的等腰直角三角形,其中BC BA =,DE DA =,连接EC,取EC 的中点M,连接BM 和DM.(1)如图1,如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上,那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是____________;(2)将图1中的ADE ∆绕点A 旋转到图2的位置,此时DE AC //判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.检测1、在ABC ∆中,AD 是边BC 上的中线,已知4=AB ,6=AC ,则中线AD 的取值范围是___________。
检测2、如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE ⊥DF ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF 。
①求证:BE +CF >EF 。
(4分)【类型二】见等腰三角形,想“三线合一”例4、如图所示:一幅三角板如图放置,等腰直角三角板ABC 固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D 处,且可以绕点D 旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G 、H 始终在边AB 、BC 上.(1)在旋转过程中线段BG 和CH 大小有何关系?证明你的结论.(2)若cm BC AB 4==,在旋转过程中四边形GBHD 的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.(3)若交点G 、H 分别在边AB 、BC 的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.例5、如图,点P 是等腰Rt △ABC 底边BC 上一点,过点P 作BA 、AC 的垂线,垂足为E 、F ,设点D 为BC 中点,求证:△DEF 是等腰直角三角形.检测1、如图,ABC ∆是等腰直角三角形,AC AB =,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC 边上的点,且.(1)请说明:DF DE =;(2)请说明:222EF CF BE =+;(3)若6=BE ,8=CF ,求DEF ∆的面积(直接写结果).【类型三】见斜边 想中线例6、如图,在ABC ∆中,若C B ∠=∠2,BC AD ⊥,E 为BC 边中点,求证:DE AB 2=.例7、 如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90ACB ,点D 、E 分别为AB 、BC 的中点,点F 在AC 的延长线上,B FEC ∠=∠.请问DE CF =成立吗?试说明理由.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)检测2、如图在Rt △ACB 中,C 为直角顶点,∠ABC=25°,O 为斜边中点,将OA 绕着点O 逆时针旋转θ°(0<θ<180)至OP ,当△BCP 恰为轴对称图形时,θ的值为 .【类型四】见多个中点,想中位线例8、如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).(温馨提示:在图1中,连结BD,取BD的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理,证得HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)问题一:如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论.问题二:如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连结EF交延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连结GD,判断△AGD的形状并证明.检测1、如图,在ABC ∆中,点O 是重心,10=BC ,连接AO 并延长交BC 于点D,连接BO 并延长交AC 于点E,BE AD ⊥.若62==OD BE ,6=AO ,则AC 的值为________。