二次曲线的射影理论

《高等几何》课程教学大纲课程名称：高等几何英文名称：课程代码: 课程类别: 专业必修学分: 3 学时: 48开课单位: 数学系适用专业: 数学与应用制订人：制订日期: 2011.11.18审核人：（教研室主任签字）审核日期：审定人: （分管教学副主任签字）审定日期:一、课程性质与目的（一）课程的性质高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门选修课程。

高等几何课程更是大学“数学与应用数学”专业的重要基础课程，在人才培养中有着最基本的重要性，是大学、研究生阶段的数学学习和未来从事数学教学、研究的重要基础。

（二）课程的目的本课程的目的是使学生在已学习初等几何，解析几何和高等代数的基础上，系统地学习射影几何的知识。

并通过学习实射影平面几何的基础知识，使学生认识射影空间、欧氏空间的内在联系。

从而发展空间概念，更深入地掌握初等几何，解析几何和高等代数的知识，在数学思想上得到启发，在数学方法上得到初步训练，为教好中学数学打下较坚实的基础。

二、与相关课程的联系与分工高等几何、高等数学、数学分析统称为“三高”，它们是高等师范院校数学专业的三门基础课程。

但是，本课程与其他两门课程相比，地位就相形见绌了。

同时本课程是以射影几何学为理论基础，因此学习本课程的学生应具备相应的初等几何、解析几何、高等代数等课程的基础知识。

三、教学内容及要求第一章仿射坐标与仿射变换【教学要求】本章是基于变换群的观点，对几何学的高度抽象概括，给出研究几何学的变换群观点。

要求掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换、仿射坐标系，并能熟练地求出仿射变换的代数表示式，区别什么是射影平面，仿射平面，欧氏平面【教学重点】仿射坐标系；仿射变换的代数表示【教学难点】仿射性质；射影观点的建立；仿射变换的应用【教学内容】第一节透视放射对应第二节仿射对应与仿射变换第三节仿射坐标一、仿射坐标系二、放射变换的代数表示三、几种特殊的仿射变换第四节仿射的性质第二章射线平面【教学要求】本章作为学习全课程的基础和中心内容，重点讲解欧氏平面的拓展过程，在此基础上给出射影直线和影射平面的概念和模型，使得学生明确了解欧氏直线和射影直线、欧氏平面和影射平面的区别和联系。

［课外训练方案］部分第一章、仿射坐标与仿射变换第二章、射影平面一、主要内容：基本概念：射影直线与射影平面；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素基本定理：德萨格定理：如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。

德萨格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点对偶原理：在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。

二、疑难解析无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点. 此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点. 无穷远点记为P ，平面内原有的点叫做有限远点.无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点. 因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线. 一般记为l，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线.平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面. 若对仿射平面上无穷远元素(无穷远点、无穷远直线)与有穷远元素(有穷远点、有穷远直线)不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面.三、典型例题：1、求直线x 1 0 与直线x 3y 4 0 上无穷远点的齐次坐标解：( 1)直线x 1 0 即x 1它与y 轴平行所以位y 轴上的无穷远点(0,1,0)1 4 1(2) 由直线x 3y 4 0 得y x 故无穷远点为(1, ,0) 或( 3，1，0)3 3 32、求证：两直线x1 x2 x3 0 和2x1 x2 2x3 0 的交点C 与两点A( 3, 1,B2), ( 2三,点共线x1 x2 x3 0证明：解方程组：1 2 3的交点C(1, 4, 3)2x1 x2 2x3 0143因为行列式 3 1 2 0 所以三点共线2 5 53、试证：两共轭复点的连线是一实直线证明：设a=(u 1,u 2,u 3),与a (u 1,u 2,u 3)是共轭复点，两点连线为 l 由定理 a 在l 上，a 在l上，又 a 在l 上，所以 a 的共轭 a 也在直线 l 上u 1 u 1 ( u 1 )即u1 与u1 都为实数u 3 u 3 u 3 u 2 u 3所以 u 1:u 2 : u 3与一组实数成比例，即直线为实直线。

二次曲线- 二次曲线二次曲线- 正文也称圆锥曲线或圆锥截线，是直圆锥面的两腔被一平面所截而得的曲线。

当截面不通过锥面的顶点时，曲线可能是圆、椭圆、双曲线、抛物线。

当截面通过锥面的顶点时，曲线退缩成一点、一直线或二相交直线。

在截面上的直角坐标系(x,y)之下,这些曲线的方程是x,y 的二元二次方程：。

若截面不通过锥面的顶点，令截面与锥面轴线所成的角为θ,锥面的半顶角为α，则当时，所截曲线为圆；当时，截面与锥面的所有母线都相交,所截曲线为椭圆；当θ=α时，截面与锥面的一条母线平行，所截曲线为抛物线；当0≤θ<α时,截面与锥面的两条母线平行，所截曲线为双曲线。

焦点与准线如果圆锥曲线不是圆，则在圆锥曲线所在的平面上存在一定点和一定直线，使得圆锥曲线上任何一点到该定点和定直线的距离之比为常数，这个定点称为圆锥曲线的焦点，定直线称为圆锥曲线的准线。

为了得到焦点与准线，只需作一个球面内切于圆锥面并同时与圆锥曲线所在的平面σ相切。

设球面与平面σ相切于点F，球面与圆锥面相切于一个圆,这个圆所在的平面为ω，ω与σ相交于直线l，则点F，就是焦点，直线l就是准线（图1）。

二次曲线二次曲线这时,圆锥曲线上任意一点P到焦点F的距离｜PF｜与到准线l的距离｜PD｜之比为：。

其中θ,α都与P在曲线上的位置无关，所以是常数。

这个常数称为圆锥曲线的离心率，记为e。

当截线是椭圆时，e<1；当截线是双曲线时，e>1；当截线是抛物线时，e=1。

对于椭圆或双曲线，存在两个合于以上要求的球面，因此椭圆或双曲线都有两个焦点与两条准线。

每个焦点与其相应的准线都有上述性质。

抛物线只有一个焦点与一条准线。

若椭圆的两个焦点为F1,F2。

如图2所示的球面与圆锥面相切的圆为C1,C2。

这时对于椭圆上任意一点P，令通过P的母线OP（O为圆锥面的顶点）与C1、C2的交点分别为A、B。

则P 到F1的距离｜PF1｜与P到F2的距离｜PF2｜之和为｜PF1｜｜PF2｜=｜P A｜｜PB｜=｜AB｜。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。

在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。

这两个图形叫做对偶图形。

在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。

这两个命题叫做对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原则。

在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。

同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。

比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

基于二次曲线的完全四点形的性质探究龚雪【摘要】分别从射影变换、仿射变换和正交变换下研究内接于二次曲线的完全四点形的不同性质,求证出二次曲线的射影性质、仿射性质、度量性质与内接的完全四点形关系,进而推导出相关结论.【期刊名称】《辽宁师专学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(021)001【总页数】4页(P1-3,65)【关键词】二次曲线;无穷远元素;极点;极线【作者】龚雪【作者单位】锦州师范高等专科学校计算机系 ,辽宁锦州 121000【正文语种】中文【中图分类】O182在射影平面内，由四个点（其中无三点共线）以及连接其任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形，其中已知的四个点叫做顶点，六条直线叫做边，而三对对边的交点构成了一个对边三点形［1］．根据交比经中心射影后不变的性质得出其对边三点形中，每条边上都有四个点成调和比，若将完全四点形内接于一条非退化的二阶曲线中，在射影、仿射及正交三种变换群下，通过已知的二次曲线方程可求出完全四点形的相应性质和特殊形式，这里分别称为完全四点形的射影性质、仿射性质和正交性质．1 完全四点形的射影性质根据Pascal定理（对于任意一个内接于非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上［1］．），可以把完全四点形ABCD 中的A、C顶点看成六点形P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6中P 1 P 6顶点和P 3 P 4顶点分别重合的情形，如图1，这样就可以得出内接于一条非退化的二阶曲线的完全四点形中，对边AB与CD、AD与BC的交点P、Q及其对顶点的切线的交点M、N，四点必在直线r上，并称直线r为Pascal线．与此同时，四条切线构成了一条简单四线形，即外切于一条非退化的二级曲线，根据对偶原则，得到了Brianchon定理（对于任意一个外切于非退化的二级曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线通过一个点［1］．）中二级曲线的外切四线形情况，则其中必有四线共点，该点就是完全四点形AC与BD的交点R，称为Brianchon点［2］．由此可以得出，完全四点形ABCD的四个顶点若在一条非退化的二阶曲线上，那么其内部必有一个Brianchon点和一条Pascal线．根据完全四点形的调和性（在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点，其中两个点是对边点，另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点［1］．）可知，Brianchon点和Pascal线又是极点与极线（定点关于二阶曲线的共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做定点关于此二阶曲线的极线，定点叫做这条直线关于此二阶曲线的极点［1］．）的关系，根据配极原则（如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点［1］．）得到，M 点的极线是边AC，N 点的极线是边BD，那么边AC与边BD的交点R的极线为直线r，这就证明了完全四点形ABCD 中对边三点形PQR的相关命题，即三顶点分别是其对边的极点．完全四点形ABCD中的Brianchon点和Pascal线是极点与极线的关系．因此，四点形中相应的点与线是配极变换，于是设二阶曲线的方程为那么在内接于该条二次曲线的完全四点形ABCD中，Brianchon点和Pascal线的坐标满足配极变换式，其中k≠0，成配极对应的点、线坐标分别为（p 1，p 2，p 3）和［u 1，u 2，u 3］，通过变换式，在相应的已知条件下，可求出完全四点形ABCD 中点或线的坐标．如图1所示：在二阶曲线方程给出的前提下，若Brianchon点R坐标已知，则根据配极变换式可求出Pascal线r的坐标，若完全四点形ABCD的四个顶点坐标已知，则可根据配极变换式分别求出其对应的四条切线AM、BN、CM、DN 的坐标．反之，已知极线坐标也可求出对应的极点坐标［3、4］．在二阶曲线方程未给出的前提下，若完全四点形ABCD中对边三点形PQR的三个顶点和三条边的坐标都已知，则根据配极变换式可求出其外接的二阶曲线方程．2 完全四点形的仿射性质若直线r为无穷远直线x 3＝0，则在仿射变换下，变为x 3＝0，由此得出直线r 在仿射变换下为自对应直线，故以此直线为基础研究完全四点形的仿射性质，而此时的二次曲线与无穷远直线的位置关系为相离，因此二次曲线定义为椭圆，它的中心为无穷远直线r的极点R，即完全四点形内对边三点形的一个顶点，其对边为无穷远直线r．二次曲线的中心坐标求法如下：所以．完全四点形中直线r上的点均为无穷远点，根据前面讨论的射影性质以及二次曲线直径（无穷远点关于二次曲线的有穷极线［1］）的概念，我们知道完全四点形的对边AC与BD为二次曲线的直径，另外两组对边AB与CD、AD与BC相互平行且分别平行于两条共轭直径（一条直径与无穷远直线交点的极线［1］）RP、RQ．证明：如图1，若直线r为无穷远直线，则点P、Q为无穷远点，所以相交于此两点的直线AB与CD、AD与BC相互平行，完全四点形ABCD为平行四边形．直线r的极点为AC与BD的交点R，即为椭圆的中心，故对角线AC与BD是两条直径．P的极线是RQ，Q的极线是RP，所以RP、RQ是两条共轭直径，它们分别平行于平行四边形ABCD的两组对边．因此，完全四点形ABCD为平行四边形并且内接于一个椭圆中，其对角线AC与BD的交点R为椭圆的中心，根据上述讨论，可得出点R的坐标为．完全四点形ABCD中的对边三点形PQR中的边RP与RQ为一组共轭直径，若设点P （μ，φ，0），则对应的直径RQ方程为共轭直径RP方程为其中3 完全四点形的度量性质在正交变换下不变的性质称为度量性质，正交变换又是仿射变换的特殊情况，因此完全四点形的度量性质是在仿射性质的基础上进行讨论的．（1）设完全四点形的两组对边交点P、Q 为圆环点I（1，i，0），J（1，－i，0），则完全四点形中的边AB 与CD、AD 与BC 均为迷向直线（通过圆环点I（1，i，0）或J（1，－i，0）的直线［1］．），由于（AD，EJ）＝－1，R（AD，EJ）＝－1，根据Laguerre定理可推出AC与BD 垂直，又由于完全四点形的边AC与BD交于二次曲线的中心点R，这时边AC与BD为椭圆的两条主轴，完全四点形的四个顶点A、B、C、D 为椭圆的四个顶点，从I（AD，EJ）＝－1，可以推出（ACR）＝－1，因此中心R还是边AC与BD的中点，即此时内接椭圆的平行四边形为正方形．主轴AC与BD的方程分别为：其中（MN，IJ）＝＝－1，化简得到k珔k＝－1，则得到关系式（2）设完全四点形中对应顶点的切线交点 M、N 为圆环点I（1，i，0），J（1，－i，0），那么 M、N点处的四条切线构成的完全四线形的六个顶点中除M、N 两个圆环点外，其他四个顶点为二次曲线的焦点（自二圆环点引二次曲线的切线，它们彼此的有穷交点［5］．），在完全四点形的对边三点形的两条边上，即二次曲线的两主轴上．焦点的求法如下：分别过I（1，i，0），J（1，－i，0）圆环点的两组切线MA 与MC、NB 与ND 均为迷向直线，方程为，带入二次曲线方程中，得，该式为关于的二次方程，因为迷向直线MA与MC、NB与ND均为二次曲线的切线，那么根据重根条件Δ＝0可求出参数t，代入方程x 2＝±ix 1＋tx 3中，得到迷向切线MA与MC、NB与ND 的方程，最后四条直线方程联立求得除圆环点以外的四个交点坐标，为完全四点形ABCD外接的二次曲线即椭圆的四个焦点的坐标［6］．【相关文献】［1］梅向明，刘增贤，王汇淳，等．高等几何［M］．北京：高等教育出版社，2008．34－158．［2］李修穆．高等几何［M］．上海：华中师范大学出版社，1993．47－58．［3］李建华．射影几何入门［M］．北京：科学出版社，2011．32－67．［4］黄振华，周建新．非退化二阶曲线内接完全四点形的性质［J］．湖北师范学院学报：自然科学版，2014，（3）：49－51．［5］朱维宗，王颂昌．利用复仿射平面上的完全四点形表示二次曲线的度量性［J］．云南师范大学学报：自然科学版，1998，（3）：13－15．［6］赵临龙．完全四点（边）形中三点（线）共线（点）的理论［J］．河南科学，2014，（9）：1389－1390．。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)1 引言 (1)2 求二次曲线渐近线的几种方法 (2)2.1 欧氏定义法 (3)2.2 极线法 (3)2.3 自共轭直径法 (5)2.4 中心法 (6)2.5 不变量法 (7)参考文献： (9)致谢................................................................................................ 错误!未定义书签。

例谈二次曲线渐近线的几种求法摘要：本文从二次曲线渐近线的欧式定义和射影定义出发，阐述了二次曲线渐近的两种定义虽然在形式上有所不同,但两种定义是一致的,并且结合实例总结出了求解二次曲线渐近线方程的五种方法,从而从不同的角度来理解二次曲线渐近线本质特征，并且通过对这些实例的解答,对这些方法在解题时的优缺点进行了小结.同时用射影的观点阐明了二次曲线渐近线的本质特征,加强了射影几何中常用无穷远点、极点、极线的直观理解,从而感受高等几何对初等几何的指导作用.关键词：二次曲线；渐近线；射影Asymptotic line of the second curve Few SolutionsAbstract：This article from the conic ou definition and projective relation, expounds the definition of conic asymptotic of two kinds of different in formally defined though, but the two definition is consistent, and examples for solving quadratic curves summarized relation, and five methods from different view of quadratic curves, and relation nature of these examples by the answer of these methods in when the problem solving the advantages and disadvantages of summary. Meanwhile allusive view illustrates with the essential characteristics of conic relation, strengthen the projective geometry infinity points, commonly used in the poles, extremely line, thus verstehende feel higher geometry to elementary geometry guidance.Keywords：conic; asymptote; projective1 引言二次曲线的渐近线是研究二次曲线性质和作图时常用的重要曲线,用初等的方法求解一般二次曲线的渐近线,不但求解方法繁杂,而且对渐近线与二次曲线位置关系的理解仅局限于表面。

《高等几何》课程论文06040240 路尚群 2007-1-21对高等代数中的二次型与高等几何中的二次曲线内容作比较讨论[摘要] 几何是代数概念产生和发展的源泉，结合我们学过的高等代数中二次型内容与高等几何中的二次曲线相关理论，我们会发现二者的研究对象是紧密相联的。

可以说，高等几何中的二次曲线为高等代数二次型的研究及相关问题提供直观背景，高等代数中的二次型正是概括高等几何中的具体对象而产生更抽象更本质的概念，其来源之一正是化二次曲线为标准方程。

在此，我们将几何与代数相结合，对二者内容进行比较讨论，学习上将会获得事半功倍的效果。

[关键字] 高等代数 二次型 高等几何 二次曲线 比较讨论 引言 接触高等几何后，我们发现其主要特点是：在采用坐标法的同时，应用代数方法来研究几何对象。

高等几何里面的许多内容与高等代数中的相关理论密切联系，特别是在化二次曲线的射影标准方程所涉及的射影坐标变换，坐标三点形的选取，射影坐标变换逆式与高等代数中二次型化标准型中的线性坐标变换，非奇异矩阵的选取，线性坐标变换逆式等密切相关，本文将对此进行比较讨论。

首先，我们引出相关概念，在数域P 上的一个n 元二次型可表示为f （1x ，2x ，……n x ）= 11a 21x +212a 1x 2x +…+2n a 11x n x +221a 1x 2x +22a 22x +…nn a 2n x =∑∑ij a j i x x （i ，j=1，2，3）.当我们对此二次型取n=3且令f （1x ，2x ，3x ）=0即为高等几何中二次曲线的代数形式S=∑ij a j i x x =0（i ，j=1，2，3）了。

关于对二者的讨论，我们主要通过二者化标准型过程中的联系与区别来进行比较。

下面我们来看一道关于化标准方程的题目：用非退化线性变换化二次型 f （1x ，2x ，3x ）=21x 2x +21x 3x -62x 3x 为标准型.解：二次型的矩阵A= 011103130⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭作非退化线性变换 11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 得C1=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⇨ 原二次型化为f （1x ，2x ，3x ）=2231y ）（y --223y -222y +831y y 再令 1132233z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ 得C2 = 101010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇨ f （1x ，2x ，3x ）=23232216222z z z z +--）（ 最后令 1122333z w z w w z w =⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 得C3 = 100012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=> f （1x ，2x ，3x ）=232221622w w w +-即为二次型的标准型。