++1卷积积分的数值计算

f 2 ( ) f1 (t )d
f 2 (t ) f1 (t )
2.分配律：
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
3.结合律：
[ f1 (t ) f 2 (t )] f 3 (t ) f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )]
0 0
t
t
1 2 t 6e e d 6e [ e ]0 0 2 3e t (e 2t 1) 3(e t e 3t )U (t )
t t 2 t
2.
i'L (t ) 3(e
(t 2)
e
3( t 2 )
)U (t 2)
例2. 已知一LTI网络，冲击响应为 h(t ) e tU (t ) ，求当输入
例：求如图（a）（b）所说函数f(t)和h(t)的卷积积分。
解： （1）写出表达式：
f (t ) { h(t ) {
A 0 0
t
0t a
其余
f(t)
t<0
A 0 a
B
h(t)
Be
Be-t
0 t
t>0
t
(a)
f(t) A 0 a A 0
（ b）
f(t)
(C)
（ d）
a t

（2）计算卷积积分：


f ( ) ( t )d

f (t )
或写为



f (t ) ( )d ( )
f (t )
推论：

形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数）， 该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式

t

e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t

f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )


f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)， 求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)

y f (t )
e e
f H t d
f t f t d


f h t d


(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分

3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被 积函数存在的时域范围的 上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1

k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图 所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )

§2–4 卷积积分
一零状态响应与冲激响应的关系——卷积积分的定
由§1-4节，
称为f(t)与h(t)的卷积积分，可记为f(t) * h(t) . 用符号“*”表示。

当h(t)为因果信号而f(t)为无时限信号时，卷积的上限可变为t；
当h(t)为无时限信号而f(t)为因果信号时，卷积的下限可变为02；
而当h(t)和f(t)均为因果信号时，卷积的上、下限可变为t与02。

若h(t)和f(t)出现分段定义的情形，则卷积积分上、下限的确定最好借助于图解法：
二、卷积的图解法
以图示f1(t)与f2(t)卷积图解法为例，其步骤如下：
（1）画出f1(t)和f2(t)的波形。

（2） f2(t)折叠 => f2(2t)的波形。

（3） f2(2t)平移t => f2(t2t)的波形(t$0时为右移，t￠0时为左移)。

（4）信号相乘 => f1(t)f2(t2t)的波形(注意t在区间(2:,:)上取值不同时，会出现f1(t)f2(t2t)的若干种情况)。

（5）图解计算各种情况下相乘信号f1(t)f2(2t)非零的面积。

根据下述图解法可得f1(t)与f2(t)卷积积分的分段表达式为
注意到两个时限信号卷积后仍为时限信号，其左边界为原两左边界之和，右边界为原两右边界之和。