用数值与符号2种方法给定函数的定积分,并对结果进行比较课程设计

定积分的计算和应用教案一、引言定积分是微积分的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

在本教案中，我们将介绍定积分的计算方法以及它在实际问题中的应用。

二、定积分的计算方法1. Riemann和定积分Riemann和定积分是定积分最基础的计算方法之一。

它通过将区间分成若干小区间，并在每个小区间上取样点来逼近曲线下的面积。

2. 积分基本公式积分基本公式是定积分的重要工具，它包括线性性质、分部积分、换元积分等。

通过运用这些公式，我们可以简化计算过程，提高效率。

3. 定积分的几何意义定积分的几何意义是指定积分可以表示曲线下的面积。

我们可以通过划分区间，近似求解曲线与x轴之间的面积，从而得到定积分的几何意义。

4. 定积分的数值计算定积分的数值计算可以通过数值积分方法来实现，其中包括梯形法则、辛普森法则等。

这些方法可以在计算机上进行快速计算，提高计算精度和效率。

三、定积分在实际问题中的应用1. 曲线长度的计算定积分可以用来计算曲线的长度。

通过将曲线分割成小线段，计算每个小线段的长度并求和，即可得到曲线的总长度。

2. 平面图形的面积定积分可以用来计算平面图形的面积。

通过将图形分成若干小区域，计算每个小区域的面积并求和，即可得到图形的总面积。

3. 物体的质量和质心定积分可以用来计算物体的质量和质心。

通过将物体分成若干小部分，计算每个小部分的质量和质心的位置，并求和，即可得到物体的总质量和质心的位置。

4. 动力学问题定积分在动力学问题中有广泛的应用。

例如，通过计算物体在某段时间内受到的力的积分，可以求解物体的位移、速度、加速度等动力学参数。

四、案例分析以汽车行驶过程中的路程计算为例，通过定积分来计算车辆在不同时间段内的行驶路程。

通过将时间段分割成若干小时间段，计算每个小时间段内的速度，并将速度与时间段长度相乘求和，即可得到总行驶路程。

五、总结本教案介绍了定积分的计算方法和应用，包括Riemann和定积分、积分基本公式、定积分的几何意义和数值计算方法等。

毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 帕特里克O ．惠特莱． 应用数值分析（第7版）[M]．北京：机械工业出版社，2006，(8)： 222~225．[9]夏爱生，胡宝安，孙利民，夏凌辉．复化Simpson 数值求积公式的外推算法[J]．军事交通学院学报．2006，第8卷（第1期）： 66~68．[10]（美）David Kincaid, Ward Cheney ．王国荣，俞耀明，徐兆亮译．数值分析（原书第三版）[M]．北京：机械工业出版社，2005，(9)： 400~403．[11]M．T．Heath． Scientific Computing:An Introductory Survey, Sscond Edition[M]．清华大学出版社．英文影印版． 2001，(10)： 351~355．[12]封建湖，车刚明，聂玉．数值分析原理[M]．北京：科学出版社，2001，(9)： 111~114．[13]杨大地，涂光裕．数值分析[M]．重庆：重庆大学出版社,，2006，(9)： 139~142．[14] 黄明游，刘播，徐涛．数值计算方法[M]．北京：科学出版社，2005，(8)：137~138．[15]Jeffery J．Leader． Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．英文影印本．北京：清华大学出版社，2005，(8)： 342~349。

《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。

第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。

则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。

数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。

定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。

作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。

数值积分方法比较论文素材在数值计算领域，数值积分方法是一种常用的数值计算技术。

它通过将函数转化为离散的数值点来近似计算函数的积分值。

数值积分方法有多种不同的算法和技巧，各有优劣之处。

本文将介绍几种常见的数值积分方法，并对它们进行比较分析。

一、矩形法（Rectangle Method）矩形法是最简单的数值积分方法之一。

它的基本思想是将积分区间分为若干个小矩形，然后计算这些小矩形的面积之和作为函数积分的近似值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]其中，n表示分割的矩形数量，x_i是每个矩形的横坐标，Δx是每个矩形的宽度。

矩形法的主要优点是计算简单、直观，适用于函数变化较平缓的情况。

然而，由于它只利用了函数在各个矩形端点的函数值来进行近似，所以精度较低，对于曲线变化剧烈的函数不适用。

二、梯形法（Trapezoid Method）梯形法是另一种常用的数值积分方法。

它的思想是将积分区间分割为若干个小梯形，计算这些梯形的面积之和作为函数积分的近似值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1})+f(x_i)) \Delta x \]梯形法相对于矩形法的优势在于，它不仅利用了函数在端点的取值，还考虑了函数在每个小梯形的中点的取值。

因此，梯形法的精度比矩形法更高，适用于更多种类的函数。

三、辛普森法（Simpson's Method）辛普森法是一种更为精确的积分方法，它通过将积分区间分割为若干个小的三角形形状，计算这些三角形的面积之和来近似函数的积分值。

具体的计算公式如下：\[ \int_a^b f(x)dx \approx \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (f(x_{i-1}) +4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) + f(x_i)) \Delta x \]辛普森法相比于矩形法和梯形法，在积分近似值的计算上更为准确。

metlab用数值计算和符号计算两种方
法求定积分
在MATLAB中，你可以使用数值计算方法和符号计算方法来求解定积分。

1. 数值计算方法：数值计算方法通过将积分区间划分为小的子区间，并使用数值逼近技术来计算近似的积分值。

MATLAB中常用的数值计算函数是 integral 和 quad。

示例代码：
% 使用 integral 函数计算定积分
f = @(x) x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = integral(f, a, b); % 计算定积分值
% 使用 quad 函数计算定积分
result = quad(f, a, b); % 计算定积分值
2. 符号计算方法：符号计算方法使用符号表达式来表示积分函数，然后对符号表达式进行符号化求解。

MATLAB中的符号计算工具箱提供了符号积分的功能，可以进行精确的符号计算。

示例代码：
% 使用符号计算方法求定积分
syms x; % 声明符号变量
f = x^2 + 2*x + 1; % 定义被积函数
a = 0; % 积分下限
b = 1; % 积分上限
result = int(f, x, a, b); % 符号化求解定积分
% 将符号表达式转换为数值结果
result = double(result);
无论使用数值计算方法还是符号计算方法，你都可以根据具体的情况选择适合的方法来求解定积分。

数值计算方法适用于数值近似解，而符号计算方法适用于精确的符号解析。

《定积分》教学设计与反思学习目标1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分．2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．一、自主学习：1．定积分的定义：，2．定积分记号：思想与步骤几何意义．3．用微积分基本定理求定积分二、新知探究新知1：微积分基本定理：背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（），则物体在时间间隔内经过的位移记为，则一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移=另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为探究问题2：位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为上述两个方面中所得的位移可表达为上面的过程给了我们启示上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。

定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。

例1．计算下列定积分：新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：若求新知3：用定积分求平面图形的面积1、计算函数在区间的积分2、计算函数在区间的积分3、求与在区间围成的图形的面积通过此题的计算你发现了什么？教学反思本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。

定积分的计算的教案教案标题：定积分的计算教学目标：1. 了解定积分的概念和计算方法；2. 掌握定积分计算的基本技巧；3. 能够应用定积分计算解决实际问题。

教学准备：1. 教科书或教学参考资料；2. 黑板、白板或投影仪；3. 笔、纸和计算器。

教学过程：步骤一：引入定积分的概念（10分钟）1. 引导学生回顾不定积分的概念和意义；2. 解释定积分的概念：定积分是一个函数在给定区间上的“总和”，表示该函数在该区间上的累积效应；3. 引导学生思考定积分与不定积分的关系。

步骤二：定积分的基本性质（15分钟）1. 解释定积分的基本性质：线性性、区间可加性和积分区间的可交换性；2. 通过示例演示定积分的基本性质；3. 强调定积分与不定积分的关系，定积分是不定积分的一个特例。

步骤三：定积分的计算方法（25分钟）1. 介绍定积分的计算方法：基本积分公式、换元积分法和分部积分法；2. 通过示例演示不同计算方法的应用；3. 强调计算定积分时的注意事项，如积分限的变化和积分区间的划分。

步骤四：应用定积分解决实际问题（20分钟）1. 提供一些实际问题，如求曲线下的面积、求物体的体积等；2. 引导学生分析问题，建立数学模型；3. 指导学生利用定积分计算解决实际问题。

步骤五：练习与巩固（15分钟）1. 提供一些练习题，涵盖不同的计算方法和应用场景；2. 让学生独立或小组完成练习题；3. 鼓励学生互相讨论和解答问题，加深对定积分的理解。

步骤六：总结与拓展（10分钟）1. 总结定积分的概念、计算方法和应用；2. 提出一些拓展问题，如定积分在其他学科中的应用；3. 鼓励学生主动学习和探索，拓宽对定积分的认识。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多的定积分计算方法和应用；2. 引导学生深入了解定积分在微积分学科中的重要性和应用价值；3. 鼓励学生参与数学建模竞赛等活动，提高应用定积分解决实际问题的能力。

教学评估：1. 在课堂上进行学生的回答和讨论，检查他们对定积分概念和计算方法的理解；2. 布置作业，包括练习题和应用题，检验学生对定积分的掌握程度；3. 定期进行小测验或考试，评估学生对定积分的理解和应用能力。

定积分的计算方法定积分是微积分中重要的概念之一，用于计算曲线下面的面积、求函数的平均值等。

在本文中，将介绍一些常见的定积分计算方法，并结合例子进行说明。

1. 定积分的定义定积分可以理解为将一个函数在区间[a, b]上的曲线下方的面积进行求和。

用数学符号表示，可以写作∫[a, b]f(x)dx，其中f(x)是要进行积分的函数，[a, b]表示积分的区间。

2. 几何法几何法是一种简单直观的计算定积分的方法。

它基于几何图形的面积计算方法，通过将曲线下方的区间划分为若干个矩形、梯形或三角形来逼近曲线下方的面积。

例如，我们要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分。

首先，将区间[0, 1]平均划分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n=(1-0)/n=1/n。

然后，在每个小区间上取一个点xi，并计算出相应的函数值f(xi)。

接着，将矩形的高度设定为f(xi)，则每个小区间上的矩形的面积为f(xi)Δx。

最后，将所有小矩形的面积相加即可得到近似的定积分值。

3. 不定式法不定式法是一种通过求解原函数来计算定积分的方法。

如果给定函数f(x)在[a, b]上连续，并假设F(x)是它的一个原函数，则根据微积分基本定理，可得到∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)这意味着我们只需要找到函数f(x)的一个原函数F(x)，并计算F(b)和F(a)的差值，即可求得定积分的值。

举个例子，考虑要计算函数f(x) = x²在区间[1, 3]上的定积分。

首先，求出函数f(x)的一个原函数F(x)。

由f(x) = x²可知，F(x) = (1/3)x³ + C 是f(x)的一个原函数。

根据不定式法，定积分的值为∫[1, 3]x²dx = F(3) - F(1) = (1/3)(3³) + C - [(1/3)(1³) + C] = 9/3 - 1/3 = 8/34. 分部积分法分部积分法是一种利用积分的性质来计算定积分的方法。

几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。

本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。

1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。

矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。

左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。

2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。

它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。

接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。

3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。

它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。

在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。

然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。

4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。

龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。

在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。

然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。

通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。

上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。

求定积分的方法
在微积分的学习中，求定积分是一个非常重要的内容。

定积分的求解方法有很多种，下面我将介绍一些常用的方法。

首先，我们来介绍一下定积分的定义。

定积分是对一个函数在一个区间上的积分，通俗地说就是求曲线与 x 轴之间的面积。

在数学符号上，定积分可以表示为∫f(x)dx，其中 f(x) 是被积函数，dx 表示自变量 x 的微元。

而积分的上下限 a 和 b 则表示积分的区间。

对于定积分的求解，最常用的方法之一就是使用不定积分。

不定积分是定积分的逆运算，通过求不定积分可以得到原函数，然后再利用定积分的性质进行求解。

不定积分的求解方法有很多种，包括换元法、分部积分法、三角代换法等。

这些方法在求定积分时都会发挥重要作用。

另外，对于一些特殊的函数，我们也可以利用一些特殊的方法来求定积分。

比如对于奇偶函数，我们可以利用函数的对称性来简化定积分的求解；对于周期函数，我们可以利用函数的周期性来简化定积分的求解；对于含有根号的函数，我们可以进行有理化或者
三角代换来简化定积分的求解。

这些特殊的方法在实际的定积分求解中都会有所应用。

此外，还有一些数值积分的方法，比如梯形法则、辛普森法则等。

这些方法是通过将定积分转化为数值计算的方式来求解，适用于一些无法通过解析方法求解的情况。

总的来说，求定积分的方法有很多种，我们可以根据具体的函数和积分区间来选择合适的方法进行求解。

在实际问题中，我们也可以结合数值计算的方法来进行定积分的求解。

希望通过本文的介绍，可以帮助大家更好地理解和掌握定积分的求解方法。

第1篇一、实验目的1. 理解定积分的概念，掌握定积分的计算方法。

2. 熟悉数值积分的方法，提高数值计算能力。

3. 通过实验，验证定积分的计算结果，加深对定积分理论的理解。

二、实验原理定积分是数学分析中的一个基本概念，它表示函数在某一区间上的累积效果。

对于给定的函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x) dx其中，dx表示无穷小的区间宽度。

在实际计算中，定积分往往采用数值积分的方法进行近似计算。

三、实验仪器与软件1. 仪器：计算机2. 软件：MATLAB四、实验步骤1. 输入函数表达式：在MATLAB中输入待积分函数的表达式，例如f(x) = x^2。

2. 设置积分区间：设定积分的上下限a和b。

3. 选择数值积分方法：MATLAB提供了多种数值积分方法，如梯形法、辛普森法、高斯法等。

根据需要选择合适的方法。

4. 进行数值积分计算：调用MATLAB的数值积分函数，如quad函数，进行积分计算。

5. 结果分析：观察计算结果，与理论值进行对比，分析误差来源。

五、实验数据及结果1. 函数表达式：f(x) = x^22. 积分区间：[0, 1]3. 数值积分方法：辛普森法4. 计算结果：I ≈ 1.1666666667六、误差分析1. 理论值：∫[0, 1] x^2 dx = [x^3/3] |[0, 1] = 1/32. 误差来源：a. 数值积分方法的误差：由于数值积分方法是一种近似计算方法，其计算结果与真实值存在一定的误差。

b. 计算过程中的舍入误差：在计算过程中，由于计算机的浮点数表示，可能导致舍入误差。

3. 误差分析：计算结果与理论值相差较大，说明数值积分方法的误差较大。

在实际应用中，可以根据需要选择合适的数值积分方法，以减小误差。

七、实验结论1. 通过本次实验，掌握了定积分的计算方法，了解了数值积分的方法及其优缺点。

2. 了解了数值积分方法在计算过程中的误差来源，为实际应用提供了参考。

《1.5.3定积分的概念》教学设计1．教材分析1．1课标要求分析从教材上的要求来看，要求学生认识定积分的知识背景，理解背景中两个典型问题的解决思想，并能概括它们的共同特征从而引入定积分概念，理解定积分的含义和其符号的含义，明白定积分的几何意义和基本性质。

我个人认为由两个实例引入定积分概念这步很重要，能让学生理解定积分这一抽象的概念，并理解定积分的用途。

1．2教学内容分析1．2．1内容背景分析本节内容是人教A版选修2—2的1.5.3的内容，前面两节学习了如何解决“求曲边梯形面积”和“求变速运动路程”两个经典问题，在这两个问题的知识背景下这节课很自然地引入了定积分的概念。

这样能让学生充分理解定积分的由来和用途。

1．2．2教学内容的分析人教版的这节课的内容比较简短，要求掌握的层次也比较低。

主要通过前面两个实例的解决思路进行概括引入定积分的概念，明白积分的概念，积分符号的含义，了解定积分的几何意义和几个基本性质。

通过例1让学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四步曲”。

2．学情分析我上这堂课的班级是高二（3）班，这个班在高二四个班中属于中等水平，上课思维不大活跃，不分学生接受能力还可以，但后进生比较多，这些学生基础较为薄弱，而且定积分的概念较为抽象，在引入的过程中包含了数列求和，求极限等复杂的知识内容。

作为引入定积分概念的课，推导的计算过程简单带过就好，不宜把知识点挖得太深。

我把这节课的重点放在让学生了解定积分概念的由来，明白定积分符号的含义、定积分的集合意义和一些基本性质，让学生掌握用定义求定积分的步骤。

3．教学目标1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．4．教学重点和难点重点：理解定积分的概念、定积分的几何意义及基本性质，能用定义求简单的定积分．难点：定积分的概念、定积分的几何意义．5．教学过程1．创设情景复习：1.回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决思路，解决步骤：求曲边梯形面积: 分割→以直代曲→求和→取极限（逼近）求汽车路程:分割→以不变代变→求和→取极限（逼近）2．思考一下解决前面两个问题的共同特点：2．新课讲授1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b-=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n ξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式nS 无限趋近于常数S ，那么称该常数S为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

高中数学备课教案函数的积分与定积分高中数学备课教案函数的积分与定积分一、引言数学中，积分与定积分是重要的概念，特别是在函数的研究中，起着至关重要的作用。

本教案将介绍函数的积分与定积分的概念、性质以及相关的计算方法，旨在帮助学生深入理解和掌握这一知识点。

二、函数的积分1. 定义在微积分中，对于给定函数f(x)，它的不定积分被称为函数的积分。

记作：∫f(x)dx。

其中∫表示积分的符号，f(x)为被积函数，dx表示变量x的微小变化。

2. 基本性质（1）积分的线性性质：对于任意实常数a、b和任意函数f(x)、g(x)，有以下公式成立：∫[a·f(x) + b·g(x)]dx = a·∫f(x)dx + b·∫g(x)dx（2）积分的限制：在定义不定积分时，使用的是一个不带上限和下限的符号∫。

当需要计算定积分时，就需要在积分符号上添加上限和下限。

三、定积分的计算1. 定义对于给定函数f(x)，定积分的计算可以看作是求函数在给定区间[a, b]上的面积。

定积分的概念可以表示为：∫[a, b] f(x)dx其中，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示变量x的微小变化。

2. 计算方法定积分的计算可以通过以下几种方法进行：（1）几何解释：将定积分看作是曲线下面的面积，可以通过几何图形的计算方法求解。

（2）划分区间法：将区间[a, b]等分为n个小区间，然后计算每个小区间内函数的取值乘以小区间的宽度，并将所有结果相加。

（3）定积分的性质：定积分具有线性性质，可以利用这一性质将复杂的函数化简为简单的函数进行计算。

四、函数的积分与定积分的关系在函数的研究中，函数的积分与定积分之间存在紧密的联系。

1. 导数与积分的关系根据微积分的基本定理，导数和积分是互逆的运算。

如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么函数F(x)就是f(x)的原函数。

反之亦成立。

即：如果F'(x) = f(x)，那么∫f(x)dx = F(x) + C。

课程设计(论文)任务书软件学院学院专业班一、课程设计(论文)题目用数值与符号2种方法给定函数的定积分，并对结果进行比较二、课程设计(论文)工作自 1年6月27日起至1年 7月1日止。

三、课程设计(论文) 地点:四、课程设计(论文)内容要求：1．本课程设计的目的（1）熟练掌握MATLAB语言的基本知识和技能；（2）熟悉MATLAB下的程序设计；（3）熟悉MATLAB数值与符号求给定函数的定积分；（4）培养分析、解决问题的能力；提高学生的科技论文写作能力。

2．课程设计的任务及要求1）基本要求：（1）熟练掌握MATLAB的编程语句，掌握MATLAB的基本内容，了解MATLAB理论与实际相结合的优势；（2）利用matlab中的编程，掌握用数值积分与符号积分求解定函数定积分的方法，并学会用科学的方法分析实验结果２）课程设计论文编写要求（1）要按照课程设计模板的规格书写课程设计论文（2）论文包括目录、正文、心得体会、参考文献等（3）课程设计论文用B5纸统一打印，装订按学校的统一要求完成３）答辩与评分标准：（1）完成原理分析：20分；（2）完成设计过程：40分；（3）完成调试：20分；（4）回答问题：20分；４）参考文献：（1）刘卫国.MATLAB程序设计与应用（第二版）. 北京：高等教育出版社，2008.５）课程设计进度安排内容天数地点构思及收集资料2图书馆编程设计与调试1实验室撰写论文2图书馆、实验室学生签名：冯玉好２０１１年７月１日课程设计(论文)评审意见（1）完成原理分析（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（2）设计分析（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（3）完成调试（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（4）翻译能力（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（5）回答问题（20分）：优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；（6）格式规范性及考勤是否降等级：是（）、否（）(7) 总评分数优（）、良（）、中（）、一般（）、差（）；评阅人：职称：2011年7月1日目录目录.................................................................. 错误！未定义书签。

第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识，并上升到理论分析的角度。

【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误差的了解：精度与收敛速度引言首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。

考虑在区间内任意插入个分点的分法：把分割成个小区间，第个子区间的长度为；任取数，做乘积，把所有这些乘积相加得到和式.如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则称函数在区间上可积，且称此常数为在区间上的定积分，即。

称和式为积分和或黎曼和。

在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意的。

显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。

定积分的定义中要求在对区间无限细分（）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。

这一点初学者较难理解。

我们将通过数值实验来加以理解。

当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。

但是有些函数其原函数不能用初等函数表示出来，这样对应的定积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。

而且，在自然科学与工程技术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。

我们将利用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法，并进行数值实验。

实验一定积分概念的深化——达布和设函数在区间上有界。

考虑将将区间任意分割成个子区间（）的分法，设在子区间上的上、下确界分别为 ，称 为 在子区间上的振幅，和式分别称为关于该分割的达布（Darboux ）大和与达布小和。

由定义可知，函数对应于同一分割 的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。