小学奥数猫吃老鼠问题约瑟夫问题演练

小学生数学故事：约瑟夫问题与因式分解
小学生数学故事：约瑟夫问题与因式分解
有一个古老的传说，有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，……64。

敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。

最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。

给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战士全杀死了。

剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。

按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？
答案解析：
由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。

把它们全部用2除，得1，2，3，4，……32．这是第二圈重新编的号码。

第二圈杀过之后，又把奇数号码都杀掉了，还剩下16个人。

如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64＝2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数里2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。

从64＝2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

第2讲横式数字谜(一)例1 下列算式中，□，○，△，☆，*各代表什么数？(1)□+5＝13-6；(2)28-○＝15＋7；(3)3×△=54；(4)☆÷3＝87；(5)56÷*＝7。

例2 下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？(1)□+□+□=48；(2)○＋○＋6＝21-○；(3)5×△-18÷6＝12；(4)6×3-45÷☆＝13。

例3 在等号左端的两个数中间添加上运算符号，使下列各式成立：(1)4 4 4 4＝24；(2)5 5 5 5 5=6。

练习1.在下列各式中，□分别代表什么数？□+16＝35；47-□=12；□-3＝15；4×□=36；□÷4=15；84÷□=4。

2.在下列各式中，□，○，△，☆各代表什么数？(□+350)÷3=200；(54-○)×4＝0；360-△×7＝10；4×9-☆÷5=1。

3.在下列各式中，□，○，△各代表什么数？150-□-□=□；○×○＝○＋○；△×9＋2×△=22。

例4在下式的两数中间添上四则运算符号，使等式成立：8 2 3＝3 3。

分析与解：首先考察右端“3 3”，它有四种填法：3+3＝6；3-3＝0；3×3＝9；3÷3=1。

再考察左端“8 2 3”，因为只有一个奇数3，所以要想得到奇数，3的前面只能填“＋”或“-”，要想得到偶数，3的前面只能填“×”。

经试算，只有两种符合题意的填法：8-2＋3＝3×3；8÷2-3＝3÷3。

填运算符号可加深对四则运算的理解和认识，也是培养分析能力的好内容。

例5(1)180是由哪四个不同的且大于1的数字相乘得到的？试把这四个数按从小到大的次序填在下式的□里。

180=□×□×□×□。

第12讲猫捉老鼠【专题导引】在我们的日常生活中，经常会遇到一些十分有趣的数学问题。

思考这类问题时，要联系我们的生活实际来思考，如不小心，你就可能落入“圈套”。

解答这些题目，不仅能激发我们的思维，使我们的头脑越来越灵活。

小朋友，“智力趣事”中所讲的这些题，非常有趣，兴趣是最好的老师，一旦你对数学产生了兴趣，有了学好数学的信心，你就有了克服困难的勇气和毅力。

相信：你会越来越喜欢数学的。

【典型例题】【B1】有10个小朋友在玩“猫捉老鼠”的游戏，现在已经捉到了5人。

还有几个人没有被捉到？解答：10-1-5=4（人）【试一试】有12个小朋友在一起玩捉迷藏的游戏，现在已经捉到了7人。

还有几个人没有被捉到？解答：12-1-7=4（人）【B2】一只船上坐着一家人。

数一数，有两个爸爸，两个儿子。

船上一共有几个人？解答：3个人。

【试一试】一只船上坐着一家人。

数一数，有两个妈妈，两个女儿。

船上一共有几个人？解答：3个人。

【B3】房间的桌子上有10支刚刚点燃的蜡烛，风从窗户吹进来，吹灭了2支蜡烛。

过了一会儿，又有1支蜡烛被风吹灭。

把窗户关起来以后，再没有蜡烛被吹灭。

最后还剩几支蜡烛？解答：2+1=3（支）【试一试】妈妈在房间里点燃了8支蜡烛，风从窗户吹来，吹灭了1支，后来又吹灭了1支。

妈妈关好了窗户，再没有蜡烛被吹灭。

房间里最后还剩下几支蜡烛？解答：1+1=2（支）【A1】小明和小亮同买一本书，小明缺1元5角，小亮缺1元3角。

如果用他们俩的钱合买这本书，钱正好。

这本书的价钱是多少？他们各带了多少钱？解答：1元5角+1元3角=2元8角，小明带了1元3角，小亮带了1元5角。

【试一试】东东和华华买同一本《科学画报》，东东缺1元2角，华华缺1元4角。

把他俩的钱合起来，正好是一本书的价钱，这本《科学画报》的价钱是多少？他们各带了多少钱？解答：1元2角+1元4角=2元6角，东东带了1元4角，华华带了1元2角。

【A2】一个正方形有4个角，直直的剪去1个角，还剩几个角？解答：4+1=5（个）【试一试5】一块正方形木板，直直的锯下一个角，还剩几个角？解答：4+1=5（个）课外作业我来编题：。

猫吃老鼠(约瑟夫问题)问题第一章一条直线有一天，Tom抓了100只老鼠，很不幸，Jerry也在其中。

Tom决定把老鼠排成一条直线，从1到100号编了号，从1号开始，吃一个隔一个，从排头吃到排尾，下一轮继续从排头开始，直到只剩下最后一个的时候就放掉。

那么Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢练习一下：现在Tom抓了2000只老鼠，还是排成一排，从1号开始，吃一个隔一个，这样吃下去，那么最后剩下的老鼠的编号是多少拓展一下：现在Tom又抓了100只老鼠排成一排，很不幸，这次Jerry又被抓住了，这次Tom 决定从1号开始，吃两个隔一个，这样吃下去，直到剩下的老鼠不足3个，那么这次Jerry 该站在哪里呢实战应用：（第14届华杯赛决赛第3题）思考：假设S只老鼠排成一排，Tom从1号开始，吃m个隔n个，这样循环吃下去，直到剩下的老鼠不到m+n个，那么剩下的老鼠的编号是多少第二章一个圆圈又有一天，Tom又抓了100只老鼠，很不幸，Jerry又被抓住了。

这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到100号编了号，从1号开始，隔一个吃一个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。

那么这一次，Jerry该站到哪个位置，才能保证不被Tom吃掉呢拓展一下：Tom抓了99只老鼠，这一次，Tom决定把老鼠排成一个圆，从1到99号编了号，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，直到只剩下最后一个的时候就放掉。

那么这一次，最后哪只老鼠是幸运儿呢思考：如果Tom抓了100只老鼠，从1号开始，隔一个吃两个，一圈一圈的吃下去，最后剩下的会是几号呢（注意：这时候，Tom无法在吃掉2n只老鼠后，剩下3m只老鼠）终极拓展：（《第15届少年数学邀请赛赛前教程》第二章）圆周上放置有2009枚，按顺时针编号为1、2、3……2008和2009，首先取走2号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，直到圆周上仅仅剩下2枚棋子为止。

智巧趣题【例题】有3只猫同时吃3只老鼠共需要3分钟，那么100只猫同时吃100只老鼠，需要多少分钟？【思路】如果你不加考虑，回答要用100分钟，那就错了。

细心理解题意，3只猫同时吃3只老鼠共需要3分钟，说明1只猫吃1只老鼠要用3分钟。

现在有100只猫同时吃100只老鼠，说明也是1只猫吃1只老鼠，所以也是用3分钟。

小朋友，不要被一些表面现象或数量所迷惑，要动脑筋思考抓住问题的本质，发动智力，巧妙回答。

下面还有这样的题目呢，加油吧！1、在一棵大树上，落着10只麻雀，有人用枪打掉下1只，问树上还有几只麻雀？2、有一根绳子，把它从中间剪断后，仍然还是1根绳子，这是怎么回事？3、某港口停泊着一条大轮船，船旁有一个吊梯，共20级，每级30厘米，最下面一级平贴水面。

涨潮时，海水逐渐升高，每小时上升60厘米。

问经过几个小时后海水漫到吊梯的第20级？4、两个父亲给他们的两个儿子一些钱，一个给他的儿子150元，另一个给他的儿子100元，当两个儿子计算他们的钱是，他们总共只有150元。

这是怎么回事？两步计算应用题【例题】一根绳子原来长20米，第一天用去3米，第二天用去的和第一天同样多，剩下的米数比原来短几米？【思路】①要求剩下的米数比原来短几米，通常用以下的数量关系来解：原来的米数—剩下的米数=剩下的米数比原来短的米数②其实有更简便的方法：剩下的米数比原来短的米数就是用去的米数一步就可以计算出来了。

1.有一箱苹果43个，第一天吃了9个，第二天吃了13个，剩下的苹果比原来少了多少个？2、花店有52枝玫瑰花，卖出13枝，有运进24枝，现在比原来多了还是少了？多或少几枝？3、原来停车场轿车比卡车多12辆，后来轿车开走6辆，卡车开进8辆，这时停车场里哪种车多？多多少？4、把两条长38厘米的纸条粘在一起，成为一条长72厘米的纸条，中间粘贴部分的纸条长几厘米？5、食堂里有西红柿48个，还有一些土豆，中午做菜用了20个土豆，剩下的土豆比西红柿还多15个，原来有多少个土豆倒推法解应用题【例题】明明有4张卡通画报，明明的画报数是亮亮的一半，亮亮的画报数是红红的一半，红红有几张画报呢？【思路】解答这道题目是要充分运用两次“一半”的关系进行倒推。

“猫吃耗子”故事精析一．生动故事引入，激起孩子的兴趣。

同学们，大家好！上课之前我给大家讲一个“猫吃耗子”的故事：从前有只猫，抓了50只老鼠，有一天它想把这群老鼠吃掉，它把老鼠们排成一排，从1到50编了个号，从1号开始，吃1只，隔1只，一直从排头吃到排尾，第二天又从第一天剩余的耗子队伍的排头，吃1只，隔1只。

这样一轮轮吃下去。

里面有一只耗子在咱们学而思学过奥数呢，特别聪明，它站在一个固定的位置上没有被吃掉，请问：聪明的小朋友们，你们知道这只聪明的耗子站在哪个位置上没有被吃掉么？ 我们不妨来做一个简单的罗列：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 。

46 47 48 49 50第一次留下的耗子序号（的倍数） ： 2 4 6 8 。

46 48 50； 1246第二次留下的耗子序号（的倍数） ： 4 8 12 16 。

40 44 48 ； 22第三次留下的耗子序号（的倍数） ： 8 16 24 32 40 4832第四次留下的耗子序号（的倍数） ： 16 32 4842第四次留下的耗子序号（的倍数） ： 3252所以最后留下的是站在32号位置上的耗子。

我们总结下：按照上述的这种规律，最后留下的那只耗子的位置是最接近耗子只数的2的乘方数。

这样我们就么没有必要一个一个划数了，再举个例子：如果有2000只耗子排成一排，仍然是从1号开始，吃掉1号，保留2号。

这样吃下去，最后保留的是第1024号耗子。

（因为最接近2000的2的乘方数是）大家是不是都学会了呢？102102= （附： 122=224=328=421= 5232= 6264= ）7212=86248225=9251=102102=二．深入讲解：这只耗子凭借自己的聪明才智逃过了一劫。

然而耗子尽管很聪明但是很倒霉，第二次，它又被抓住了，这一次猫王仍然抓到了50只耗子。

猫王就想：小样儿，上次我把老鼠排成一排没有能把你吃掉，今天我换种吃法，一定得把你给干掉。

第六节猫追老鼠【知识要点】1．追及问题也是行程问题中的一种情况。

这类应用题的特点是：两个物体同时同一方向运动，出发的地点不同（或从同一地点不同时出发，向同一方向运动），慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。

2．相关的关系式：追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间追及时间=追及路程÷速度差【典型例题】例1 白雪公主和小熊维尼同时从A镇到B镇，白雪公主骑自行车每小时行12千米，小熊维尼每小时走8千米，3小时后两人相距多少米？例2 蓝猫骑自行车以每分钟6米的速度从A地向前骑，白猫步行以每分钟4米的速度从距蓝猫前方20米的地方向前走，经过多少分钟蓝猫可追上白猫？例3 米老鼠每小时行60千米，走1小时后，猫紧紧追赶，速度为每小时80千米，问几小时后猫可追上米老鼠？例4 从王村去县城要经过李村，小王从王村，小李从李村同时出发去县城，小王骑自行车每小时行10千米，小李步行每小时走5千米，2小时后两人同时到达县城，那么王村和李村相距多少千米？【典型例题】兄妹俩喜爱集邮，已知哥哥集的邮票数比妹妹多60枚，哥哥集的邮票是妹妹的4倍，问哥哥和妹妹各集邮票多少枚？【小试锋芒】1．小熊和小鹿同时从邦德去世界之窗，小鹿开车每小时行30千米，小熊搭公车每小时行20千米，3小时后两人相距多少千米？2．猫在它前面100米处发现一只老鼠，立即追去，猫速度为每秒4米，鼠的速度为每秒2米，经过多少秒猫可追上老鼠？3．货车以每小时55千米的速度前进，在它的后面150千米处有一客车以每小时70千米的速度追它，客车追上货车需几小时？4．A、B两地相距10千米，虎子、豆豆二人分别在A、B两地同时同方向而行，虎子每小时走6千米，豆豆每小时走4千米，虎子追上豆豆需几小时？5．好马每天走110千米，劣马每天走50千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？6．秋秋、璐璐两人同时从A村到B村，秋秋骑自行车每小时走13千米，璐璐步行每小时走5千米，2小时后，秋秋、璐璐二人相距多少千米？7．从A地到C地要经过B地，冬瓜从A地、屈屈从B地同时去C地，冬瓜骑自行车每小时行12千米，屈屈步行每小时走5千米，3小时两人同时到达C地，那么A、B两地相距多少千米？【大显身手】1．虹猫、蓝兔二人同时从A镇到B镇，虹猫骑自行车每小时行12千米，蓝兔步行每小时走4千米，2小时后两人相距多少千米？2．猎狗追着它前面200米处的一只受伤的狼，狼的速度是每秒4米，猎狗的速度是每秒6米，经过几秒猎狗追上狼？3．弟弟放学回家，以每分80米的速度步行，12分钟后，哥哥也放学了，他以每分176米的速度骑自行车，经过几分钟可以追上弟弟？4．甲、乙两架飞机从同一飞机场同时向同一方向飞行，甲机每小时飞行280千米，乙机每小时飞行320千米，飞行3小时后它们相隔多少千米？科技书比故事书多12本，并且科技书的本数是故事书的3倍，问科技书和故事书各有多少本？。

约瑟夫问题在古代的趣味数学问题中，最著名的莫过于约瑟夫问题了。

该问题说的是：把若干人排成一圈，从某个位置数起，每数到第m个就杀掉，最后剩下的是事先指定的几个人。

这个问题很可能起源于古罗马军队中对士兵“逢十取一”的惩罚制度。

在公元4世纪的一部著作里，一位以Hegesippus为笔名的作者告诉我们，约瑟夫（Josephus）就是利用这种方式挽救自己性命的：当罗马人Vespasian 攻陷Jotapat之后，约瑟夫和另外四十个犹太人躲到一个山洞里避难。

让约瑟夫讨厌的是，除了他自己和一名特殊的朋友外，其余39人都决心自杀以便不落入罗马人之手。

尽管约瑟夫不愿意这样做，但他不敢公然提出反对；口头上只好同意。

但是，他提出了自杀行动必须按顺序进行，并建议：所有人排成一圈，随意从某一位置开始数，每数到三的人拉出圈子杀掉，最后剩下的一位自杀。

他把自己和朋友分别安排在第16和31个位置，成功地避开了死神。

在分别写于10世纪初、11世纪和12世纪的三部手稿里，我们也发现了这个问题。

文艺复兴时期，卡丹、拉姆斯（Ramus）在其数学著作中的介绍则使这个问题得以迅速流传开来。

后来，它被改编成新的版本：一艘船载有15位土耳其人和15位基督徒。

途中遇到风暴，波涛汹涌、孤舟无援、将要沉没。

为了挽救船只，保全船员，必须将一半乘客扔到海里。

于是，乘客排成一圈，从某一位置开始点数，每点到九，就把这个位置上的人扔到海里。

问如何排列方能使所有基督徒幸免于难？正确排列见下图：后人通过下列诗句中的元音字母在英文字母表的序号（a—1；e—2；i—3；o—4；u—5）来记忆上图中的排列：From numbers’aid and art,never will fame depart。

后来的欧拉、舒贝尔（Schubert）和泰特（P.G.Tait）都解决过更一般的约瑟夫问题。

英国著名制谜大师杜德内（H.E.Dudeney,1847～1930）的“猫捉老鼠”问题亦约瑟夫问题的另一形式，以下是陈怀书先生的译文：“十三鼠为猫所捕，欲逃而不能。

【数学】小学奥数教程∶一年级下册数学应用题题一、培优题易错题1．接下来画什么?请你圈一圈。

【答案】【解析】2．找规律涂色。

（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】3．接下来画什么?请你圈一圈。

【答案】【解析】4．我会涂出有规律的颜色。

【答案】【解析】5．画一画，填一填。

【答案】【解析】6．后面一个应该是什么?请你画出来。

【答案】【解析】7．钟面上是（）。

A. 6时B. 12C. 12时30分D. 6时30分【答案】 A【解析】【解答】钟面上是6时。

【分析】在钟面上，分针指着12时，时针指着几就是几时。

根据题意，分针指着12，时针指着6，所以是6时。

故选：A。

本题主要考查时间与钟面。

8．【答案】【解析】9．如果两只小猫跑得一样快，哪只猫先吃到老鼠？【答案】 A猫先吃到老鼠。

【解析】【解答】因为黑猫比白猫跑的路近，所以黑猫先吃到老鼠，选A。

10．下面6个图形分别代表4,5,6,7,8,9这六个数。

请你想一想，应该怎样涂色？【答案】【解析】11．比一比，看看哪种球拍长（）A. B.【答案】 B【解析】【解答】乒乓球拍比网球拍小，所以在乒乓球拍下面打╳，在网球拍下面打√ 【分析】考查比较体育器械大小。

12．在最长的绳子是（）A.B.C.【答案】 C【解析】【解答】第一根绳子最短，第二根和第三根绳子直的部分一样长，但第三根绳子打结，若将打结部分解开、拉直，则第三根比第二根长。

所以，第三根绳子最长。

【分析】考查比较绳子长短。

josephus问题数学解法Josephus 问题是一个经典的数学问题，描述如下：有 n 个人围成一圈，从第一个人开始往后报数，报到 m 的人出圈，后面的人继续从 1 开始报数，直到最后一个人留下来。

问最后留下的人的编号是多少？下面是 Josephus 问题的数学解法：设最后留下的人的编号为 f(n,m)，则可以得出以下递推式：f(1,m) = 0f(n,m) = (f(n-1,m) + m) % n其中，% 表示取模运算。

以上递推式基于以下思路：假设有 n 个人，编号分别为 0,1,2,...,n-1。

第一轮中，第 m 个人出圈，剩下的人编号为 0,1,...,m-2,m,...,n-1。

由于是围成一圈，所以下一轮中第一个人的编号为 m%n。

而在上一轮中，编号为 m%n 的人出圈了，所以编号为 m%n+1,...,n-1,0,1,...,m%n-1的人组成了一个新的圈。

我们需要求出这个新圈中最后留下的人的编号，即 f(n-1,m)。

由于新圈中每个人的编号都比原来的编号大 m，所以我们需要将 f(n-1,m) 加上 m，以得到在原圈中他的编号。

然而，如果加上 m 后编号超过了 n-1，那么我们需要将编号重新回到 0，这就是将加和结果取模的原因。

最终，当 n=1 时，无论 m 的值为多少，都只剩下编号为 0 的人。

下面是一个 Python 实现的例子：```def josephus(n, m):f = 0for i in range(2, n+1):f = (f + m) % ireturn fprint(josephus(5, 3)) # 输出 3```。