专题3-_平差数学模型与最小二乘原理(实习用—概论与开始统讲)精品PPT课件
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第四章平差数学模型与最小二乘法
图4-2
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
武汉大学平差第2章平差数学模型PPT课件
增加一个条件方程，因此，共需列 出c=r+u个条件方程，以含有参数
将 L ~L 代入上式，并令
的条件方程为平差函数模型的平差
W(AL A0)
方法，称为附有参数的条件平差法。
参见书中例子。
则得
ABX ~W0
cnn1 cuu1 c1
20.12.2020
上式为附有参数的条件平差的函数 模型。建模方法：找出观测值真值 之间或观测值与参数真值之间应该 满足的 C 个关系式。
一般而言，如果某一平差问题中,观测值
个数为n，必要观测个数为t，多余
观 测 个 数 为 r=n-t ， 再 增 选 u 个 独 立
参 数 ， u=t ， 则 总 共 应 列 出
c=r+u=n 个 函 数 关 系 式 ， 其 一 般 形
式为
L~ F(X~)
n1
或：
L~BX~d
n1 nt t1 n1
将 L ~L代入上式，并令
写成矩阵形式
VTPV VTVmin
将上式对取一阶导数，并令其为零，得
1
dVTV
dxˆ
2VT
B2VT
1 1
2
n 1
vi
0
1 L1
V
n1
1 xˆ
L2
B
n1
xˆ
L
n1
1 Ln
按最小二乘准则，要求：
将 vi xˆLi 代入上式得
n
n
n
vi (x ˆLi)nx ˆLi 0
1
1
1
xˆ 1
C~ xW0
suu1 s1
l LF(X0) B~ xl
n1 ntt1 n1
20.12.2020
第二章测量平差的数学模型及最小二乘原理
5
§2.1 测量平差概述
如图所示水准网，试在以下两种给定几何模型情况下 确定必要元素：
（1）确定A、B、C、D四点间的相对高度：
h1
HB B
h1 h3 h4
h1 h5 h4
（2）确定A、B、C、D四点的高程：
h1 h3 h4
HA
A HA
h4
D
HD
h3
C h6
HC
h5 h2
第二章 测量平差的数学模型及最小二乘原理
L1 L2 L1 L2 S3 L1 L2 S3
L1 L3 S1 S2 L3
XY
L2 L3 S1 S2 S3
必要观测个数： t
C
必要观测元素的特点
L3
S2
S1
给定几何模型，必要观测元素数量及
类型即定，与实际观测量无关； 必要观测元素必须是函数独立量。
A L1 S3
L2 B
第二章 测量平差的数学模型及最小二乘原理
XI’AN UNIVERSITY OF SCIENCE & TECHNOLOGY
第二章 测量平差的 数学模型及最小二乘原理
1
主要内容
§2.1 测量平差概述 §2.2 测量平差的数学模型 §2.3 函数模型的线性化 §2.4 最小二乘原理
第二章 测量平差的数学模型及最小二乘原理
2
§2.1 测量平差概述
6
§2.1测量平差概述
自由度
观测值个数为 n ，必要观测数为 t ，多余观测数为 r ：
r=n-t
h1
HB B
当n<t时： 无法确定几何模型； 当n=t时： 可唯一确定几何模型；
A HA
h4
平差数学模型与最小
教学ppt
1
教学ppt
2
教学ppt
3
教学ppt
4
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
教学ppt
12
既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
教学ppt
9
必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
1
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第二章 平差数学模型与最小二乘原理
§2-1 测量平差概述
在测量工作中，为了确定待定点的高程，需要建 立水准网，为了确定待定点的平面坐标，需要建立 平面控制网（包括测角网、测边网、边角网），我 们常把这些网称为几何模型。每种几何模型都包含 有不同的几何元素，如水准网中包括点的高程、点 间的高差，平面网中包含角度、边长、边的坐标方 位角以及点的二维或三维坐标等元素。这些元素都 被称为几何量。
r=n-t
(2-1-1)
式中n是观测值个数，t是必要观测个数，r称为 多余观测个数，表示有r个多余观测值，在统计学 中也叫自由度。
教学ppt
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既然一个几何模型能通过t个必要而独立的量唯一 的确定下来，这就意味着在该模型中，其它的量都可 以由这t个量确定下来，即模型中任何一个其它的量 都是这t个独立量的函数，都与这t个量之间存在有一 定的函数关系式。现在模型中有r个多余观测量，因 此，一定也存在着r个这样的函数关系式。
从上面例子可知，一旦几何模型确定了，就能够 唯一地确定该模型的必要观测元素的个数。我们把 能够唯一地确定一个几何模型所必要的元素，称为 必要观测元素。
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必要观测元素的个数用t表示，称为必要观测个 数。对于上面三种情况，必要观测元素个数分别为 t=2,t=3和t=3。而对于后两种情况，不仅要考虑必 要观测元素的个数，还要考虑到元素的类型，否则 就无法唯一地确定模型。必要观测个数t只与几何模 型有关，与实际观测量无关。
L ~ 1L ~ 2L ~ 31 8 00
(2-1-3)
~~ siSn1L~1 siSn2L~2 0
平差模型与最小二乘准则20页
可见 x的方差最小，最有效。
还应有“有效性”要求
最小方差性：
若有一无偏估 ˆ， 计使 D 量ˆ m 2 （ in 最
小方差），则该即估满计足量有效性又满 致性。是最优估值。
•4-４最小二乘准则
一、最小二乘法 设有误差方程： VAx ˆl
n
在满足约束： vi2v12v2 2vn 2m下in，
（2）精度评定－－即是求D(X)的估值。
•4-3 估计值的最优性质
点估计的几种方法： 矩法、最大似然法、最小二乘法、中位数法、截
尾法
用不同的点估计方法对同样的母体进行参数估计 ，会产生不同的估值。
最优估值标准： （1）无偏 性 （2）一致性 （3）有效性
最优估计应具有性质：
估计量ˆ 能在参数真值附近摆动，随着子样容
数理统计问 限题 个： 抽 获 通 样 得 过 x1子 ,有 x2, 样 xn
n有限 构成统 推 计断 量 n母 无体 限
2、常用数理统计方法 （1）参数估计 （2）统计假设检验 （3）回归分析 （4）方差分析
3、对抽样的要求
a、代表性：要求子样的各个分量x i与母体同分布
。即 Exi EX Dxi DX
量的增大，摆幅越来越小，n为时，ˆ 依概率
收敛于 。
一、无偏性
设 ˆ是参数 的 真估 值值，E若 ˆ满
则称 ˆ是 的无偏估计。
问： x是否是母体均估 值计 的？ 无子 偏 s样 2是方
否是母体 Dx方 差 2的无偏估计？
结论
数理统计中
x
1 n
n i1
xi
s 2
1 n
n
(xi
i1
x )2
例：证明子样均值是母体期望的一致性估值。
空间误差分析平差数学模型与最小二乘原理PPT课件
• （3）独立量 一个几何模型的必要观测元素之间是不存在任何确定的函数关系的，即其中的任何一个必要观测元 素不可能表达为其余必要观测元素的函数。这些彼此不存在函数关系的量称为函数独立量。
第8页/共77页
§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
第22页/共77页
§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
~ h3
§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
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§4-1 测量平差概述
• 5.多余观测 • 假设对模型中的几何量总共观测 n 个， n < t，无法确定模型； n = t，唯一地确定模型，但无法发现粗差 n > t，可以确定模型，还可以发现粗差
条件平差的自由度为多余观测数r，即条件 方程个数。
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§4-2 函数模型
• 例1：已知点A、B高程；观测值：h1—h5
× hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
H
A
~ h3
~ h4
H
B
0
hh~~14
~ h5 ~ h5
~ h2 ~ h3
0 0
h~1
~ h2
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§4-2 函数模型
h1
B X~1
A
h4
h5
h~~1 h2
X~1 X~1
HA X~2
D X~3 h2
~ h3
X~2
H
A
h3
h6
C X~2
t = 3，选3个参数
X~1 X~2
HB HC
X~3
HD
1 0
1 1
0 1
B
0
0
1 0
0 1
L~
~ h1
~ h2
L~ B X~ d
0
~ h2 ~ h5
~ h3 ~ h6
0 0
h1
~ h3
~ h4
~ h6
第2章 平差数学模型与最小二乘原理
2.1 测量平差概述1、函数模型是怎样定义的？试举例说明函数模型的作用。
2、以下图2-1为例，说明必要元素、多余观测及其观测量的概念及其三者之间的关系。
图2-13、平差值和改正数是怎么定义的？ 2.2 测量平差的数学模型1、试按条件平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 、B 已知点：A 、B 观测值：31~ββ、1S 、2S 观测值：51~h h5h2、试按附有参数的平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 、B 已知点：A 、B 观测值：41~h h 观测值：61~L L平差参数：C 点的高程 平差参数：角度ABC ∠、DBC ∠3、试按间接平差法列出下列图形的函数模型已知点：A 已知点：A 、B 、C 观测值：61~h h 观测值：31~S S平差参数：B 、C 、D 点的高程 平差参数：P 点的坐标4、试按附有限制条件的间接平差法列出下列图形的函数模型 已知值：矩形的对角边S 已知点：A 观测值：41~L L 观测值：41~h h平差参数：321~~~L L L 、、 平差参数：43~~h h H B 、、5、在下图所示的水准网中，A 为已知点，B 、C 、D 、E 为待定点，观测了9条路线的高差91~h h ，列出下列四种情况下的函数模型，并指出方程的个数。
（1） 条件平差法的函数模型；（2） 选取B 、C 、D 三点的高程平差值为参数； （3） 选取51~h h 的高差平差值为参数； （4） 选取85~h h 的平差值为参数。
6、试用表格的形式总结四种基本平差方法函数的异同。
7、四种基本平差方法的随机模型是什么？有什么作用？8、同精度观测了下图中的5个角度i L ，A 、B 为已知点，C 点为待定点，CD 边的方位角CD 为已知方位角，试列出条件平差的函数模型。
9、在下图所示的直角三角形中，我们观测了三角形的三个边长1L 、2L 、3L ，选取边长1~L 、2~L 为平差参数，试列出间接平差的观测方程。
第二章-平差数学模型与最小二乘原理2009
ˆ ⎞ d lg sin L i ⎟ ˆ = lg sin( L + v ) = lg sin L + ⎛ ⎜ vi lg sin L i i i i ⎟ ⎜ dL ˆ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i ˆ ⎞ ⎛ d lg sin L vi′′ i ⎟ = lg sin Li + ⎜ ⎟ ⎜ dL ˆ ρ ′′ ˆ =L i ⎠L ⎝ i i
§2.1 测量平差的数学模型
在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。测量 平差的数学模型包括：函数模型和随机模型。一个实际的平差问题，都要建立某种函数模型，函数 模型是描述观测量与未知量之间的数学关系的模型。函数模型分为线性模型和非线性模型两类，测 量平差通常是基于线性模型的，当函数模型为非线性函数时，总是将其用泰勒公式展开，并取其一 次项化为线性形式。
ˆ + l ， l = ( BX 0 + d − L ) V = Bx
其中
⎛ a1 ⎜ B = ⎜ a2 ⎜a ⎝ 3
b1 ⎞ ⎛ S01 − S1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ b2 ⎟ ， l = ⎜ S02 − S2 ⎟ ⎜S −S ⎟ b3 ⎟ ⎝ 03 3 ⎠ ⎠
这样，就把原来非线性的误差方程化为线性式。解答完毕。 在上面所举的例子中，满足条件方程的改正数 V 都有无穷多组。最小二乘条件平差，即依据条 件方程式，按 V PV = min 求出改正数及其平差值。
（2）方位角条件 1 个。 BA 边及 BC 边的方位角及边长为已知，则由 BA 边的方位角加 2 角及 5 角，应等于 BC 边的方位角。即
v 2 + v5 + w3 = 0 ， w3 = TBA + L2 + L5 − TBC
误差理论与平差基础课件 第3、4章
求函数向量 x = [ x1
x 2 ]T 的方差。
-5-
第三章 协方差传播律 三、两个函数 y ,
r ,1
r ,t
t ,1
z 的互协方差阵
⎡ 4 0 0⎤ ⎢0 2 0⎥ 例3设有观测向量L，已知其协方差阵为，D = ⎢ ⎥ 3, 3 ⎢ 0 0 3⎥ ⎣ ⎦ 求下列函数的协方差。
DYZ = FDXX K T
T DYY = FDXX F T = DYY r ×r
-4-
第三章 协方差传播律
例1已知 L1 ...L3
⎤ ⎡3 DL = ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 4⎥ ⎦ ⎣
求函数 x = 5L1 − L2 + 2 L3 − 7 的方差。
例2已知 L1 ...L3
⎡ 3 − 1 1⎤ DL = ⎢− 1 2 0⎥ ⎥ ⎢ 3, 3 ⎢ 1 0 4⎥ ⎦ ⎣ x 2 = − L2 + 3L3 − 2 函数 x1 = 2 L1 − L2 + 5,
单位权中误差 比例因子 权为1的观测值对应的中误差
3
测量中常用的方法
（1）水准测量的权 （2）同精度观测值的算术平均值的权 （3）距离丈量的权 （4）三角高程测量的权
-15-
第三章 协方差传播律 九、协因数和协因数传播律 1 2 3 4 5
协因数 协因数阵 协因数阵的特点 互协因数阵 权阵
-16-
第三章 协方差传播律--协因数和协因数传播律
当观测值互不相关时，权阵为对角阵，主对角 线上的元素为观测值的权。
L = [ L1 ......Ln ]T
2 ⎡σ L1 ⎢ 2 ⎢σ 0 1 = 2 DL = ⎢ ... σ0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
QLL
平差数学模型与最小二乘原理
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
边角三角 网
点数 ×2
t0=3
一个点的坐标、一边方位角
据起算数据情况，把控制网分为：
自由控制网：不足或仅有必要的起算数据 附和控制网：有多余的起算数据
§4-1 测量平差概述
四、计算t和r的例题
1．水准网
2.பைடு நூலகம்角网
B
B 2 C 3 4 5
3 4 C6 8 7
2
1 A
函数模型是指模型(几何、物理)中量(观测量、未知参数)的 真值(或期望值)之间的函数关系式。
函数关系式有线性非线性之分； 线性函数模型与非线性函数模型(线性化后处理)。
随机模型是指描述观测值的先验精度及其相关性的特
征。常用观测值的方差阵或协因数阵或权阵表示。
§4-3 函数模型的线性化
设有函数
设
c1
0 L L L 1 8 0 0 1 2 3 L 0 1 X
X
一般的：
1 2 3 W 0 1 X W c
一、函数模型
3.附有参数的条件平差的函数模型
在具体平差问题中,观测次数n，必要观测次数t，则 多余观测次数r,再增加u个独立参数,且 0 ＜ u ＜ t ， 则总共有r +u = c个条件方程，一般形式是：
(a)
8
5
7
6 D
1 A
D
9
(b)
五、多余观测与平差的关系
多余观测个数：r =n - t 当 n＜ t 时，不能确定平差问题的模型
n = t 时，能确定模型，但无检核、有无粗差不知
n＞ t 时，有多余观测，因观测误差使观测值间产 生矛盾，使模型出现多解。 通过平差处理，让观测值的平差值之间满足相应 的条件关系，消除矛盾，获取模型的唯一最优解。
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（3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高
度个或的高h~4、相差h~对就5、关行h~6 或系了， ，h~1、只如要h~h~、21 、知h~…h6~道3、等其h~等4中。3
它们是同一类型的元素（高 差）。
能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状；
r=n-t
（2-1-1）
式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方
程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成
上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观
测了角度L1、L2、Lຫໍສະໝຸດ 和边长S1、S2，考虑观测误差，有
返回目录
2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定 某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包 含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、 边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素 都是几何量，以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差
方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好
基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的
准则。
第一节
测量平差概述
第二节
测量平差的数学模型
第三节
函数模型的线性化
第四节
参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
（1）在图2-1的△ABC中，为了确定它的形状（相似形），只
要Lˆ3等知。道它其们中都任是意同2个一内类角型的的大元小素就（行角了度，）如。L~1, L~2或L~1, L~3或Lˆ2
（2）为了确定ΔABC的形状和大小（全等形），只要知道其
中如任L~1意、L的~2、2S角~1,1S边~1、、S~22、边L~13,角S~或1、3S~边2、的S~3，大小…就，行等了等，。
Lˆ L , L~ L , L~ L
S~1
1
S
1
, S2~
2
S
2
3
3
3
1
1
S1
2
2
S2
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
(L11) (L2 2 ) (L3 3 ) 180 （2-1-2）
sin(L )
(S ) (S )
2
2
2
S2
1 S1 sin(L )
（2-1-3）
1
1
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L L L 180 0
1
2
3
S2
S1
sin L2 sin L1
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（2-1-4）
造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足， 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达 到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
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而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个
量中+ L~，，3=则必18必要0º然量，S~2产选若生为再S~1一L~增ss1、ii个nnL~加2LL~~、相一2 S~应1，个返的若量回函目增S~录2数，加关则一系有个式量。L~3 ，仍则以（存2在）L~情1+况L~2 1
由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
的元选就不函素L~1 、能数，L~说。则2 、tL例~L~=31与3，如，L则~，实2 间对L~际1+无于必L~函（+2要L数~13元）=关1素中8系0只的º；选情，又了况三如两，者在个若之（，以间2）而L存~1和情漏在况L~选函2作中了数为，一关必个系要。，
因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。
某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。
在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令
（3）在图2-2的水准网中，为 了确定A、B、C、D4点之间高
度个或的高h~4、相差h~对就5、关行h~6 或系了， ，h~1、只如要h~h~、21 、知h~…h6~道3、等其h~等4中。3
它们是同一类型的元素（高 差）。
能够唯一地确定一个几何 模型所必要的元素，简称必要 元素；必要元素的个数用t来表 示。对于上述三种情况，分别 是t=2,t=3和t=3。对于第二种情 况，3个元素中除了角度还至少 要包含一个边长，没有边长仍 然只能确定其形状；
r=n-t
（2-1-1）
式中n为观测值个数，t称为必要观测数，r称为多余观 测数。多余观测数在测量中又称“自由度”。
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一个几何模型如果有r个多余观测，就产生r个条件方
程。由于观测值不可避免地存在观测误差，由观测值组成
上述条件方程必不能满足，仍以（2）中情况为例，若观
测了角度L1、L2、Lຫໍສະໝຸດ 和边长S1、S2，考虑观测误差，有
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2-2 测量平差的数学模型
一、条件平差法 二、间接平差法 三、附有参数的条件平差法 四、附有限制条件的间接平差法 五、平差的随机模型
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在日常生活和科学技术领域中，时常见到许多模型，一 般可将其分为两大类，一类是将实物尺寸放大或缩小而得 的模型，称为实物模型；另一类是用文字、符号、图表或 者对研究的对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的
在测量工程中，最常见的是要确定某些几何量的大小。 例如，为了求定一些点的高程而建立了水准网，为了求定 某些点的坐标而建立了平面控制网或三维测量网。前者包 含点间的高差、点的高程等元素，后者包含角度、边长、 边的方位角以及点的二维或三维坐标等等元素。这些元素 都是几何量，以下统称这些网为几何模型。
为了确定一个几何模型，并不需要知道该模型中所有元 素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其 它元素可以通过它们来确定。例如：
第二章 平差数学模型与最小二乘原理
本章介绍测量平差的基本概念，简要地给出基本平差
方法的数学模型，为以后各章系统学习各种平差理论打好
基础。最后介绍最小二乘原理，这是测量平差法所遵循的
准则。
第一节
测量平差概述
第二节
测量平差的数学模型
第三节
函数模型的线性化
第四节
参数估计与最小二乘原理
2-1 测量平差概述
（1）在图2-1的△ABC中，为了确定它的形状（相似形），只
要Lˆ3等知。道它其们中都任是意同2个一内类角型的的大元小素就（行角了度，）如。L~1, L~2或L~1, L~3或Lˆ2
（2）为了确定ΔABC的形状和大小（全等形），只要知道其
中如任L~1意、L的~2、2S角~1,1S边~1、、S~22、边L~13,角S~或1、3S~边2、的S~3，大小…就，行等了等，。
Lˆ L , L~ L , L~ L
S~1
1
S
1
, S2~
2
S
2
3
3
3
1
1
S1
2
2
S2
因r=n-t=5-3=2，可组成2个条件方程为
(L11) (L2 2 ) (L3 3 ) 180 （2-1-2）
sin(L )
(S ) (S )
2
2
2
S2
1 S1 sin(L )
（2-1-3）
1
1
若用观测值组成上述两个条件方程，则不能成立，即
L L L 180 0
1
2
3
S2
S1
sin L2 sin L1
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（2-1-4）
造成条件方程不闭合，或者说存在闭合差，例如 （2-1-4）式中的，就是该三角形角度条件方程的闭合差。
由于观测不可避免地存在偶然误差，当n>t时，几何模型 中应该满足r=n-t个条件方程，实际存在闭俣差而并不满足， 如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达 到消除闭合差的目的，这是测量平差的主要任务。 一个测量平差问题，首先要由观测值和待求量间组成数 学模型，然后采用一定的平差原则对待求量进行估计，这 种估计要求是最优的，最后计算和分析成果的精度。
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而无法确定其大小，因此，必要元素不仅要考虑其个数， 而且要考虑以它的类型。由此可知，当某个几何模型给定 之后，能够唯一确定该模型的必要元素的个数t及其类型， t只与几何模型有关，与实际观测量无关。
对于任一几何模型，它的t个必要元素之间必要不存在函 数关系，亦即其只任一元素不能表达成其余（t-1）个元素
在一个几何模型中，除了t个独立量以外，若再增加一个
量中+ L~，，3=则必18必要0º然量，S~2产选若生为再S~1一L~增ss1、ii个nnL~加2LL~~、相一2 S~应1，个返的若量回函目增S~录2数，加关则一系有个式量。L~3 ，仍则以（存2在）L~情1+况L~2 1
由此可知，一个几何模型的独立量个数最多为t个，除 此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式， 这种函数关系式，在测量平差中称为条件方程。
的元选就不函素L~1 、能数，L~说。则2 、tL例~L~=31与3，如，L则~，实2 间对L~际1+无于必L~函（+2要L数~13元）=关1素中8系0只的º；选情，又了况三如两，者在个若之（，以间2）而L存~1和情漏在况L~选函2作中了数为，一关必个系要。，
因此必要元素t个量为函数独立量，简称独立量。
某种特征或内在联系的模型。前者称为模拟模型，后者称 为数学模型。总称为抽象模型。
在测量工程中，涉及的是通过观测量确定某些几何量或 物理量大小等有关的数量问题，因而考虑的模型总是数学 模型。平差的数学模型与一般数学只考虑函数模型不同， 它还要考虑随机模型，因为观测量是一种随机变量。所以 平差的数学模型同时包含函数模型和随机模型两种，在研 究任何平差方法时必须同时予以考虑。
在测量工程中，为了求得一个几何模型中各量的大小就 必须进行观测。如果总共观测了该模型中n个量的大小， 若观测个数少于必要元素的个数，即n<t，显然它无法确定 该模型，即出现了数据不足的情况；若观测了t个独立量， n=t，则可唯一地确定该模型。由于它们都是独立量，故不 存在任何条件方程，在这种情况下，如果观测结果中含有 粗差甚至错误，都将无法发现，在测量工作中是不允许这 样做的。为了能及时发现粗差和错误，并提高测量成果的 精度，就必须使n>t，若令