2019-2020学年宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1.设集合A ={1,3，5}，B ={−3,1，5}，则A ∩B =( )A. {1}B. {3}C. {1,3}D. {1,5}2.抛物线y =x 2+bx +c 在点(1,2)处的切线与其平行直线bx +y +c =0间的距离是( )A. √24B. √22C. 322D. √23. 若a >0>b >c ，则下列不等式中恒成立的是( )A. 1a <1bB. a 2>b 2C. ac >bcD. a c 2>bc 24.P 是圆M ：x 2+(y −3)2=4上的动点，则P 到直线l ：√3x −y −3=0的最短距离为( )A. 5B. 3C. 2D. 15.在中，角、、的对边分别为、、，且，则( ) A.B.C.D.6.设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n =S 1+S 2+⋯+S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2004，那么数列9，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为( ) A. 2004B. 2005C. 2009D. 20087.在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 、B 、C 成等差数列，b =√3，则△ABC 面积的取值范围( )A. (0,34]B. (√32,3√34] C. (14,3√34] D. [√34,12] 8.已知动圆C 与圆C 1：x 2+(y −2)2=9和圆C 2：x 2+(y +2)2=25都外切，则动圆圆心C 的轨迹是( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线的一支9.若，设函数的零点是，的零点为，则的取值范围是( )A.B.C.D.10.，则下列关于的零点个数判断正确的是( )A. 当k =0时，有无数个零点B. 当k <0时，有3个零点C. 当k >0时，有3个零点D. 无论k 取何值，都有4个零点二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且直线l 过点(1,1)，则直线l 的一般式方程是______ ． 12. 设点(a,b)是区域{x +y −4≤0x >0y >0内的随机点，记A ={关于x 的一元二次函数f(x)=ax 2−4bx +1(a >0)在[1,+∞)上是增函数}，则事件A 发生的概率是______ ．13. 已知a 2sinθ+acosθ−2=0，b 2sinθ+bcosθ−2=0(a,b ，θ∈R ，且a ≠b)，直线l 过点A(a,a 2)，B(b,b 2)，则直线l 被圆(x −cosθ)2+(y −sinθ)2=4所截得的弦长为 ． 14. 已知a >1，则a +2a−1的最小值是______ ．15. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，AD =CD ，∠ADC =120°，则ABCD 面积的最大值为______ 三、多空题（本大题共2小题，共6.0分）16. 已知tanθ=−12，则tan(θ+π4)= (1) .cos2θ= (2) ．17. 已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .若a n+1={a n2,a n 是偶数3a n +1,a n 是奇数且S 3=29，则a 1= (1) ；S 3n = (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2−4n ，其中n ∈N ∗． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设b n =2a n +1，求数列{b n }的前n 项和T n ； (Ⅲ)若对于任意正整数n ，都有1a 1a 2+1a2a 3+⋯+1an a n+1≤λ，求实数λ的最小值．19. 已知函数f(x)=2cos(ωx +φ) (ω>0, |φ|<π2)满足下列3个条件：①函数f(x)的最小正周期为π；②x=π3是函数f(x)的对称轴；③f(7π12)=0．(Ⅰ)请任选其中二个条件，并求出此时函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若x∈[−π3,π3]，求函数f(x)的最值．20.已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)、B(5,2)，(1)求函数f(x)的解析式及定义域；(2)求f(14)÷f(√3+12)的值．21.已知圆C与直线x+y−2√2=0相切，圆心在x轴上，且直线y=x被圆C截得的弦长为4√2．(1)求圆C的方程；(2)过点M(−1,0)作斜率为k的直线l与圆C交于A，B两点，若直线OA与OB的斜率乘积为m，且m k2=−3−√2，求OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．22.数列{a n}满足a1=1，na n+1=(n+1)a n+n(n+1)，n∈N∗．(1)证明：数列{a nn}是等差数列；(2)设{b n}是等比数列，且b1=a1，b3=a3，求b n．【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵A={1,3，5}，B={−3,1，5}；∴A∩B={1,5}．故选：D．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，交集的定义及运算．2.答案：C解析：解：由题意得：f′(x)=2x+b，∴f′(1)=2+b，即函数在点x=1处的切线的斜率是2+b，∵直线bx+y+c=0的斜率是−b，所以2+b=−b，解得b=−1．∵抛物线y=x2+bx+c过点(1,2)，∴2=1−1+c，⇒c=2，故切线x−y+1=0与其平行直线x−y−2=0间的距离是√2=3√22故选C．求出函数f(x)=x2+bx+c在点x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线平行的条件列方程求解b，a，最后利用平行直线间的距离求解即可．本题考查导数的几何意义、两直线平行的条件，把握好这两个知识，列式易求解问题．3.答案：D解析：解：①由于a>0>b，故1a >1b，故选项A错误．②当a=1，b=−2时，a2<b2，故选项B错误．③由于a>0>b>c，所以ac<bc，故选项C错误．④由于a>0>b>c，所以ac2>0>bc2，故选项D成立．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．4.答案：D解析：解：如图，过M作MA⊥l于A，当P在线段MA上时，|PA|为最短距离，由点到直线的距离公式，知|MA|=√3⋅0−3−3|√(√3)2+1=3，∴|PA|=|MA|−2=1．故选：D．过M作MA⊥l于A，当P在线段MA上时，|PA|为最短距离，再由点到直线的距离公式求出|MA|的长后即可得解．本题考查直线与圆中的最值问题，利用了点到直线的距离公式，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．5.答案：A解析：试题分析：，故选A．考点：1.二倍角公式；2.内角和定理；3.诱导公式；4.两角和的余弦公式6.答案：C解析：解：由T500=S1+S2+⋯+S500500=2004，则S1+S2+⋯+S500=2004×500，所以9，a1，a2…a500的“理想数”为9+(9+a1)+(9+a1+a2) +⋯+(9+a1+⋯+a500)501=9×501+s1+s2+⋯+s500501=2004×500501+9=4×500+9=2009．故选C．先利用条件求出S1+S2+...+S500=2004×500，再把9，a1，a2，…，a500的“理想数”用求到的结论表示出来即可求出结果．本题是对新定义和数列的综合考查．在做新定义的题时，一定要理解定义，并会用定义解题．7.答案：B解析：解：在锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，则B=π3，由正弦定理可得asinA =csinC=bsinB=√3sinπ3=2，∴a=2sinA，c=2sinC，∴S△ABC=12acsinB=12×2sinA×2sinC×√32=√3sinAsin(2π3−A)，=√3sinA(√32cosA+12sinA)，=34sin2A+√32×1−cos2A2，=34sin2A−√34cos2A+√34，=√32sin(2A−π6)+√34，∵π6<A≤π3，∴π6<2A−π6≤π2，∴12<sin(2A−π6)≤1，∴√32<√32sin(2A−π6)+√34≤3√34，故选：B．由A，B，C成等差数列，利用等差数列的性质及内角和定理求出B的度数，由正弦定理求出a，c，再由锐角三角形的定义和和差正弦公式，结合正弦函数的性质，可得ac的范围，进而得到三角形的面积的范围．本题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及等差数列中项的性质，熟练掌握和差公式和正弦函数的性质是解本题的关键，属于中档题．8.答案：D解析：由两圆的方程分别找出圆心C1与C2的坐标，及两圆的半径r1与r2，设圆P的半径为r，根据圆C与C1外切，又圆C与C2外切，得到CC2−CC1=2，判断结果即可．解：由圆C1：x2+(y−2)2=9和圆C2：x2+(y+2)2=25，得到C1(0,2)，半径r1=3，C2(0,−2)，半径r2=5，设圆C的半径为r，∵圆P与C1外切而又与C2外切，∴CC1=r+3，CC2=5+r，∴CC2−CC1=(r+5)−(3+r)=2<r1+r2，满足双曲线的定义，是双曲线的一支．故选：D．此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d<R−r时，两圆内含；当d=R−r时，两圆内切；当R−r< d<R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d>R+r时，两圆外离．9.答案：B解析：解：函数的零点是函数与函数图像交点P的横坐标；的零点是函数与函数图像交点Q的横坐标；因为函数与函数的图像关于直线对称，所以点P与点Q关于直线对称；直线与直线垂直，交点为(2,2)；所以则，，故答案选B．10.答案：A解析：试题分析：因为函数f(x)为分段函数，函数y=f(f(x))−2为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f(f(x))+1的解析式，从而可得函数y=f(f(x))−2的零点个数；解：分四种情况讨论．(1)0<x<1时，lnx<0，∴y=f(f(x))+1=−ln(−lnx)+1，此时的零点为x=>1；(2)x> 1时，lnx>0，∴y=f(f(x))+1=klnx+1，则k>0时，有一个零点，k<0时，klnx+1>0没有零点；(3)若x<0，kx+2≤0时，y=f(f(x))+1=k2x+k+1，则k>0时，kx≤−2，k2x≤−k，可得k 2x +k ≤0，y 有一个零点，若k <0时，则k 2x +k ≥0，y 没有零点，(4)若x <0，kx +2>0时，y =f(f(x))+1=ln(kx +1)+1，则k >0时，即y =0可得kx +2=，y 有一个零点，k <0时kx >0，y 没有零点，综上可知，当k >0时，有4个零点；当k <0时，有1个零点，故选A ；k =0，y =f(f(x))−2，有无数个零点，故选A ． 考点：复合函数的零点点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y =f(f(x))+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题；11.答案：x −y =0或x +y −2=0解析：本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线的方程为x +y =k ，把点(1,1)代入直线的方程可得k 值，从而求得所求的直线方程，综合可得结论． 解：当直线过原点时，方程为 y =x ，即x −y =0．当直线不过原点时，设直线的方程为x +y =k ，把点(1,1)代入直线的方程可得k =2， 故直线方程是x +y −2=0．综上，所求的直线方程为：x −y =0，或x +y −2=0， 故答案为：x −y =0或x +y −2=0．12.答案：13解析：解：关于x 的一元二次函数f(x)=ax 2−4bx +1(a >0)在[1,+∞)上是增函数， 则对称轴满足x =−−4b 2a=2b a≤1即2b ≤a ，作出不等式对应的平面区域如图： 则集合A 对应的平面区域为△OBC ， 由{x =2yx +y −4=0，解得{x =83y =43， 则事件A 发生的概率P =S △OBCS △OAB=12×4×4312×4×4=13，故答案为：13求出集合A 对应的区域，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．本题主要考查几何槪型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．13.答案：2√3解析：试题分析：由条件求得2=2，经过两点(a,a 2)，(b,b 2)的直线方程为(b +a)x −y −ab =0.再由a 和b 是方程sinθ⋅x 2+cosθx −2=0的两个根，可得a +b =−cosθsinθ， ab =−2sinθ，故直线l 即cosθx +sinθy −2=0.求得圆心(cosθ,sinθ)到直线l 的距离d 的值，再故由弦长公式可得弦长．∵a 2sinθ+acosθ−2=0，b 2sinθ+bcosθ−2=0，∴{cosθ=2(a+b)ab sinθ=−2ab，∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴2=2．经过两点(a,a 2)，(b,b 2)的直线方程为y−a 2b 2−a 2=x−ab−a ，即(b +a)x −y −ab =0．再由a 和b 是方程sinθ⋅x 2+cosθx −2=0的两个根，∴a +b =−cosθsinθ，ab =−2sinθ，故直线l 即−cosθsinθx −y +2sinθ=0， 即cosθx +sinθy −2=0．由于圆心(cosθ,sinθ)到直线l 的距离d =22√cos 2θ+sin 2θ=1，故由弦长公式可得弦长为2√r 2−d 2=2√3， 故答案为2√3．14.答案：2√2+1解析：解：∵a >1，则a +2a−1=(a −1)+2a−1+1≥2√(a −1)×2a−1+1=2√2+1，当且仅当a =1+√2时取等号． 故答案为：2√2+1．变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.答案：2√33+5√312． 解析：解：在△ADC 中，AD =CD ，∠ADC =120°， 设AD =x ，则CD =x ，AC =√3x ，在△ABC 中，由余弦定理有，cosB =AB 2+BC 2−AC 22AB⋅BC=5−3x 24，∴x 2=5−4cosB3，∴S ABCD =S △ADC +S △ABC =12AD ⋅DCsin∠ADC +12AB ⋅BCsinB =√34x 2+sinB =√34⋅5−4cosB 3+sinB =2√33sin(B −π6)+5√312， ∴当B −π6=π2，即B =2π3时，S ABCD 的最大值为：2√33+5√312． 故答案为：2√33+5√312.△ 根据S ABCD =S △ADC +S △ABC ，将面积用角B 表示，然后利用三角函数的图象与性质求解即可． 本题考查了解三角形中的余弦定理和面积公式，关键是将面积用角表示，属中档题．16.答案：1335解析：解：∵tanθ=−12，则tan(θ+π4)=tanθ+11−tanθ=13，cos2θ=cos 2θ−sin 2θcos θ+sin θ=1−tan 2θ1+tan θ=45， 故答案为：13；35．利用两角和的正切公式求得tanθ的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos2θ的值． 本题主要考查两角和的正切公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．17.答案：57n +22解析：解：(1)①若a 1=4k(k ∈N ∗)，则a 2=2k ，a 3=k ，∴S 3=a 1+a 2+a 3=7k =29，k =297不是整数，舍去；②若a 1=4k +1，则a 2=3(4k +1)+1=12k +4，a 3=6k +2，∴S 3=a 1+a 2+a 3=22k +7=29，解得k =1，∴a 1=5． ③若a 1=4k +2，则a 2=a 12=2k +1，a 3=3a 2+1=3(2k +1)+1=6k +4，则S 3=a 1+a 2+a 3=12k +7=29，解得k =116，应舍去；④若a1=4k+3，则a2=3(4k+3)+1=12k+10，a3=a22=6k+5，则S3=a1+a2+a3=22k+18=29，解得k=12不是整数，舍去．综上可得：a1=5(2)∵a1=5，a2=16，a3=8，∴a4=4，a5=2，a6=1，a7=4，a8=2，a9=1…．可以看到：从a4开始数列{a n}是一个周期为3的数列，即a n+3=a n，(n≥4)．因此，当n≥2时，S3n=29+7(n−1)=7n+22，当n=1时，上式也成立，故S3n=7n+22．通过对a1分4k，4k+1，4k+2，4k+3(k∈N∗)讨论，及与已知条件，结合S3=29，即可求出a1；通过求出a1，a2，…，a9，知道：从a4开始数列{a n}是一个周期为3的数列，进而即可得到S3n．数列掌握分类讨论的思想方法和数列的周期性是解题的关键．18.答案：解：(Ⅰ)当n=1时，a1=S1=−3；当n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−4n−(n−1)2+4(n−1)=2n−5，因为a1=−3符合上式，所以a n=2n−5(n∈N∗).(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n=22n−5+1．所以T n=b1+b2+⋯+b n=(2−3+1)+(2−1+1)+⋯+(22n−5+1)=(2−3+2−1+⋯+22n−5)+n=2−3(1−4n)1−4+n=124(4n−1)+n．(Ⅲ)1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1=13−1+11×3+13×5+⋯+1(2n−5)(2n−3)=−23+12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n−5−12n−3)]=−16−14n−6，当n=1时，1a1a2=13，(注：此时14n−6<0)，当n≥2时，因为14n−6>0，所以1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1<−16．则n=1时，取得最大值．因为对于任意正整数n，都有1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1≤λ，由题意，得λ≥13；所以λ的最小值为13．解析：(Ⅰ)由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n−S n−1，计算即可得到所求通项；(Ⅱ)由(Ⅰ)得b n=22n−5+1.运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；(Ⅲ)运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理，判断数列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求实数λ的最小值．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，以及数列的最值，考查运算能力，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)选①②时，函数f(x)的周期为π，所以ω=2ππ=2；x=π3是函数f(x)的对称轴，所以2π3+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ−2π3，k∈Z；由|φ|<π2，求得φ=π3；所以f(x)=2cos(2x+π3).选①③时，由函数f(x)的周期为π，得ω=2ππ=2；又f(7π12)=0，得7π12×2+φ=kπ+π2，k∈Z，解得φ=kπ−2π3，k∈Z；由|φ|<π2，求得φ=π3；所以f(x)=2cos(2x+π3).选②③时，由x=π3是函数f(x)的对称轴，且f(7π12)=0；所以T4=7π12−π3=π4，解得T=π，所以ω=2ππ=2；所以2π3+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ−2π3，k∈Z；由|φ|<π2，求得φ=π3；所以f(x)=2cos(2x+π3). (Ⅱ)由题意得，因为−π3≤x≤π3，所以−π3≤2x+π3≤π；所以2x +π3=0，即x =−π6时，．f(x)=2cos(2x +π3)有最大值 2； 所以2x +π3=π，即x =π3时，．f(x)=2cos(2x +π3)有最小值−2． 解析：(Ⅰ)选①②时，求出ω和φ，即可得出f(x)的解析式． 选①③时，求得ω和φ，即可写出f(x)的解析式． 选②③时，求出T 、ω和φ的值，即可写出f(x)的解析式．(Ⅱ)由题意求出2x +π3的取值范围，再求f(x)的取值范围，即可得出最大、最小值． 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)因为函数f(x)=log 3(ax +b)的图象经过点A(2,1)、B(5,2)，所以{f(2)=1f(5)=2，即{log 3(2a +b)=1log 3(5a +b)=2，所以{2a +b =35a +b =9，解得{a =2b =−1．所以f(x)=log 3(2x −1)，定义域为(12,+∞)． (2)f(14)÷f(√3+12)=log 327÷log 3√3=3÷12=6．解析：(1)由函数图象经过点A(2,1)、B(5,2)，得{f(2)=1f(5)=2，解方程组即可求得a ，b ；(2)把14，√3+12带入解析式即可求得．21.答案：解：(1)设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)，则圆心到直线y =x 的距离为√2，由直线y =x 被圆C 截得的弦长为4√2， 得4√2=2√r 2−(√2)2，即r 2−a 22=8，①由圆C 与直线x +y −2√2=0相切， 得√2|√2=r ，即r 2=(a−2√2)22②， 由①②及r >0，解得a =−√2,r =3， 故圆C 的方程为(x +√2)2+y 2=9． (2)直线l 的方程为y =k(x +1)， 联立{(x +√2)2+y 2=9y =k(x +1)，得(k 2+1)x 2+(2k 2+2√2)x +k 2−7=0，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，△=(2k 2+2√2)2−4(k 2+1)(k 2−7)=(8√2+24)k 2+36>0恒成立 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−2k 2−2√2k 2+1,x 1x 2=k 2−7k 2+1，则y 1y 2=k 2(x 1+1)(x 2+1)=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]， ∴m =y 1y2x 1x 2=k 2[x 1x 2+(x 1+x 2)+1]x 1x 2，则m k 2=x 1x 2+(x 1+x 2)+1x 1x 2=1+x 1+x 2+1x 1x 2=1+−2k 2−2√2k 2+1+1k 2−7k 2+1=−2√2−6k 2−7=−3−√2，故k 2=9…(10分) 则x 1x 2=9−79+1=15,x 1+x 2=−2×9−2√29+1=−9−√25，y 1y 2=9×(15+−9−√25+1)=−27+9√25，故OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=−26+9√25．解析：(1)设圆C 的方程为(x −a)2+y 2=r 2(r >0)，圆心到直线y =x 的距离为√2，由直线y =x 被圆C 截得的弦长为4√2，圆C 与直线x +y −2√2=0相切，能求出圆C 的方程．(2)直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{(x +√2)2+y 2=9y =k(x +1)，得(k 2+1)x 2+(2k 2+2√2)x +k 2−7=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积能求出OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值． 本题考查圆的方程的求法，考查向量的数量积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式的合理运用．22.答案：(1)证明：由na n+1=(n +1)a n +n(n +1)，得an+1n+1−a n n=1n ∈N ∗，∴数列{a nn }是以1为首项，以1为公差的等差数列；(2)解：由(1)可得，ann =1+1×(n −1)=n ，则a n =n 2，∴b 1=a 1=1，b 3=a 3=9， 则等比数列{b n }的公比为q =±3． 当q =−3时，b n =(−3)n−1； 当q =3时，b n =3n−1．解析：(1)把已知等式两边同时除以n(n +1)，即可证明数列{a nn }是等差数列；(2)由(1)求得数列{a n}的通项公式，得到b1=a1，b3=a3的值，进一步求得公比得答案．本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，是中档题．。
2019-2020学年宁波市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.设f(x)=x 2+bx +1且f(−1)=f(3)，则f(x)>0的解集为( )A. {x|x ∈R}B. {x|x ≥1}C. {x|x ≠1,x ∈R}D. {x|x ≤1}2.P 是双曲线x 24−y 2=1右支(在第一象限内)上的任意一点，A 1，A 2分别是左右顶点，O 是坐标原点，直线PA 1，PO ，PA 2的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则斜率之积k 1k 2k 3的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,18)C. (0,14)D. (0,12)3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，R 是△ABC 的外接圆半径，且b +acosC +ccosA =2√2R ，则B =( )A. π6或B. π4或C. π3D. 2π34.已知关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，则ba 的取值范围( )A. (−1,−12)B. (−1,0)C. (−2,+∞)D. (−2,−12)5.函数f(x)=cos(π2−x)cosx 是( )A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π2的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为π2的偶函数6.若a >0，b >0，a +b =2，给出下列四个结论：①ab ≤1②√a +√b ≤√2③a 2+b 2≥2④1a +1b≥2，其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③④C. ③④D. ①③④7.数列前项和为，若，则=( )A.B.C.D.8.如图所示，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C =36°，则∠ABD 的度数是( )A. 72°B. 63°C. 54°D. 36°9.已知数列：11,21,12,31,22,13,41,32,23,14, …，依它的前10项的规律，这个数列的第2010项a2010满足()A. 0<a2010<110B. 110≤a2010<1 C. 1≤a2010≤10 D. a2010>1010.已知数列{a n}的前n项和S n，若a1=1,S n=13a n+1，则a7=()A. 47B. 3×45C. 3×46D. 46+1二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b−c)cosA=acosC，则cosA=．12.已知函数f(2x+1)=3x−2，且f(t)=4，则t=______ ．13.若直线3x−y+1=0和直线6x−my−3=0垂直，则m=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.若直线11：x+2y=0与直线l2：2x+my+1=0垂直，则m=(1)；若将直线l2沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2√3个单位后回到原来的位置，则直线12的倾斜角α=(2).(用弧度表示)15.已知2sinx−cosx=√5，则sinx=(1)，tan2x=(2)．16.已知数列{a n}是等差数列，公差d≠0，a1=1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{a n}的公差d等于(1)；前n项和S n等于(2)．17.已知a>0，b>0，且2a+b=ab，则当且仅当a=(1)时，ab取得最小值(2)四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知直角坐标系中的点A(−1,0)，B(3,2)，写出求直线AB的方程的一个算法．19.已知．(I)求的最小正周期和最小值；(II)若，求的值．20. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=6，b=5，cosA=−45(1)求角B的大小(2)求三角形ABC的面积．21. 已知函数f(x)=|x+2|+|x−1|．(1)证明：f(x)≥f(0)；(2)若∀x∈R，不等式2f(x)≥f(a+1)恒成立，求实数a的取值范围．)2，设b n=20−a n(n∈N∗) 22. 已知数列{a n}的各项为正数，其前n项和S n满足S n=(a n+12(1)求证：数列{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)求数列{|b n|}的前n项和B n．【答案与解析】1.答案：C解析：解：对于f(x)=x2+bx+1有f(−1)=f(3)，可得二次函数对称轴x=−1+32=1．∴− b2=1，∴b=−2∴f(x)=x2−2x+1，则f(x)>0的解集为{x|x≠1,x∈R}．故选：C．根据f(−1)=f(3)，可得对称轴，求得b，即可求解．本题考查了二次函数的对称性、解一元二次不等式，属于中档题．2.答案：B解析：本题考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．设点P(x,y)，(x>0,y>0)，利用斜率公式化简，即可得出结论．解：设点P(x,y)，(x>0,y>0)，则∵双曲线x24−y2=1中，A1(−2,0)，A2(2,0)，直线PA1，PO，PA2的斜率分别为k1，k2，k3，∴k1k2k3=yx+2⋅yx⋅yx−2=y3x(x2−4)=y3x⋅4y2=14⋅yx<14⋅12=18．故选：B．3.答案：B解析：利用正弦定理进行化简，结合两角和的正弦公式进行转化求解即可．本题主要考查正弦定理的应用、两角和的正弦公式，还考查了三角函数的诱导公式，属于中档题．解：由正弦定理得asinA =bsinB=csinC=2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由b+acosC+ccosA=2√2R，得2RsinB+2RsinAcosC+2RsinCcosA=2√2R，即sinB+sinAcosC+sinCcosA=√2，则sinB+sin(A+C)=√2，即sinB +sin(π−B)=sinB +sinB =2sinB =√2， 则sinB =√22，则B =π4或，故选：B ．4.答案：D解析：解：令f(x)=x 2+(a +1)x +a +b +1， ∵关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为一个椭圆，一个双曲线的离心率，∴x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1， ∴f(0)>0，f(1)<0，∴a +b +1>0，1+a +1+a +b +1<0， 即a +b +1>0，2a +b +3<0， 设ba =k ，即b =ka ，联立{a +b +1=02a +b +3=0，解得P(−2,1)．∴−2<k <−12，故选：D ．令f(x)=x 2+(a +1)x +a +b +1，由于关于x 的方程x 2+(a +1)x +a +b +1=0的两个实根分别为x 1，x 2，且0<x 1<1，x 2>1，可得f(0)>0，f(1)<0，再利用线性规划的有关知识即可得出．本题考查了二次函数的性质、线性规划的有关知识、一元二次方程有实数根的条件，属于中档题．5.答案：A解析：解：f(x)=cos(π2−x)cosx =sinxcosx =12sin2x ， 则函数的周期T =2π2=π，为奇函数，故选：A根据三角函数的公式进行化简即可得到结论．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用二倍角的正弦公式是解决本题的关键．6.答案：D解析：根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案．本题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质．解：∵a>0，b>0，a+b=2，∴ab≤(a+b2)2=1，∴(√a+√b)2=a+b+2√ab=2+2√ab≤2+a+b=4，∴√a+√b≤2，∴a2+b2=(a+b)2−2ab≥2×2−2×1=2，∴1a +1b≥(1a+1b)⋅ab=b+a=2．故正确的序号为①③④．故选D．7.答案：B解析：试题分析：根据题意，由于数列前项和为，且，故可知=，选B．考点：数列的求和点评：主要是考查了裂项法求和的运用，属于基础题。
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝165．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．29．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．参考答案一、选择题1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（）A．[1，2）B．[1，2]C．（2，3]D．[2，3]【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2），N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，∴M∩N＝[1，2）故选：A．2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（）A．1B．3C．D．【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为＝，故选：C．3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（）A．|a|+b＞0B．C．a3﹣b3＜0D．【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案．解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立．故选：D．4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆C 的方程为（）A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16D．（x+2）2+（y+2）2＝16【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程．解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2），则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16．故选：A．5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解．解：sin2θ＝﹣，则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣．故选：D．6．已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则的值是（）A．B．C．D．【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求．解：在等差数列{a n}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即；在等比数列{b n}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．∴．∴＝sin．故选：C．7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sin A≠0，sin C≠0，可得cos B＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状．解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，∴sin A sin（B﹣C）＝sin2A，∵A为三角形内角，sin A≠0，∴sin（B﹣C）＝sin A，∴sin B cos C﹣cos B sin C＝sin B cos C+cos B sin C，∴2cos B sin C＝0，∵C为三角形内角，sin C≠0，∴可得cos B＝0，∵B∈（0，π），∴B＝，△ABC是直角三角形．故选：C．8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最小值为（）A．B．C．1D．2【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得答案．解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立，即4a2+b2的最小值为；故选：B．9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围．解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．【分析】作出函数f（x）的图象，由|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1可得出a≤f（x）≤a+1，即函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，数形结合可得实数a的取值范围．解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为1．【分析】由题意利用两条直线平行的条件，求得a的值．解：直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，显然a≠4，＝≠，解得a＝1，故答案为：1．12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝，tan（α+β）＝．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可．解：cosα＝2cos2﹣1＝2×（）2﹣1＝，则α∈（0，），则sinα＝，tanα＝，∵cosβ＝﹣，∴sinβ＝，则tanβ＝﹣，则tan（α+β）＝＝＝＝，故答案为：，13．已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2，则数列{a n}满足a n＝2n，若b n＝log2a n，数列的前n项和为T n，则T n＝．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝2a n﹣2①，当n＝1时，解得a1＝2．当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，①﹣②得a n＝2a n﹣2a n﹣1，整理得a n＝2a n﹣1，所以（常数），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．所以．（2）由于，所以b n＝log2a n＝，故，故＝1﹣．14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为7．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，4）．化z＝x+2y为y＝．由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为﹣1+8＝7．故答案为：7．15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则直线l的方程是y＝±x+2．【分析】由题意画出图形，可知所求直线的斜率存在，设出直线方程，再由圆心到直线的距离等于列式求得k，则答案可求．解：如图，圆C：x2+y2＝32的半径为，所求直线过点（0，2），当直线l的斜率不存在时，圆上一点Q到直线l的距离的最大值为4，不合题意；则直线l的斜率存在，设直线方程为y＝kx+2，即kx﹣y+2＝0．要使圆上一点Q到直线l的距离的最大值为5，则O到l的距离为．∴，解得k＝±1．∴直线l的方程是y＝±x+2．故答案为：y＝±x+2．16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x+y＝1，所以x+1+y+2＝4，则＝（）[（x+1）+（y+2）]＝[5++]＝+[+]≥+×2＝，当且仅当＝，即x＝，y＝时取“＝”，故答案为：．17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD ＝AB，则的取值范围是[2，]．【分析】由AB及AB边上的高CD，联想到三角形的面积公式，然后结合余弦定理构造出＝sin C+cos C的函数，转化为函数的值域问题．解：由已知A，B，C所对的边分别是a，b，c，设CD＝h．因为AB边上的高为CD，且2CD＝AB，所以2h＝c．所以．所以，即c2＝2ab sin C＝a2+b2﹣2ab cos C，两边同除以ab得：，当且仅当时取等号，又，当且仅当a＝b时取等号．所以．故答案为：[2，]．三、解答题（共5小题，满分0分）18．已知等差数列{a n}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用等差数列的定义求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用分组法求出数列的和．解：（1）设等差数列{a n}的公差d≠0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．所以，整理得，解得，所以a n＝a1+2（n﹣1）＝2n+1，（2）由（1）得数列{c n}满足＝2n+1+22n+1，所以＝2n+3+n2+2n﹣8．19．已知函数．（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求该函数的周期和单调区间即可；（2）结合条件，利用余弦定理求出cos B的取值范围，进而得到B的取值范围，即可求解f（B）的取值范围．解：＝sin x﹣（cos x+1）+＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），（1）根据f（x）的解析式可得T＝＝2π，令﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，解得x∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z），即f（x）的单调递增区间为：[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）；（2）因为，即c2+a2﹣b2≥c，则由余弦定理cos B＝，因为B∈（0，π），所以≤cos B＜1，则0＜B≤，所以﹣＜B﹣≤﹣，则sin（B﹣）∈（﹣，﹣]，即f（B）的值域为：（﹣，﹣]．20．已知函数．（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）在[1，2]递减，在[2，6]递增，求得f（x）的值域，可得|f（x）|的最大值，由题意知只需|f（x0）|max≥a成立，然后求出a的范围；（2）由题意可得m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，只需求得1+﹣在x∈（﹣∞，0]上的最小值，结合指数函数的单调性，可得所求最小值，进而得到所求范围．解：（1）函数在[1，2]递减，可得f（x）∈[﹣2，﹣1]，在[2，6]递增，可得f（x）∈[﹣2，]，则|f（x）|在[1，6]的最大值为2，由题意可得|f（x0）|max≥a成立，即a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]；（2）不等式f（e x）≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，可得e x+﹣6≥me x在x∈（﹣∞，0]上恒成立，化为m≤1+﹣在x∈（﹣∞，0]上恒成立，由y＝e x，（0＜y≤1），可得≥1，1+﹣＝4（﹣）2﹣的最小值为4（1﹣）2﹣＝﹣1，则m≤，即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B．（1）求AB的中点M的轨迹方程；（2）设点，若，求△QAB的面积．【分析】（1）设弦AB的中点为M，可得OM⊥MP，由数量积＝0，可得M的轨迹方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M的坐标，代入|MN|＝|OM|，构造关于k的方程，解出k的值，进一步求得|AB|与Q到直线的距离，则△QAB的面积可求．解：（1）设点M（x，y），∵M是弦AB的中点，∴MO⊥MP，又∵＝（x，y），＝（x﹣2，y﹣4），∴x（x﹣2）+y（y﹣4）＝0，即x2+y2﹣2x﹣4y＝0，联立，解得或，又∵M在圆O的内部，∴点M的轨迹方程是x2+y2﹣2x﹣4y＝0（﹣＜x＜2）；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线方程为y﹣4＝k（x﹣2），联立，得（1+k2）x2﹣4k（k﹣2）x+（2k﹣4）2﹣4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．设中点M（x0，y0），则，①代入直线l的方程得，②又由|MN|＝|OM|，得，化简得，将①②代入得k＝3．∵圆心到直线l的距离d＝＝，∴|AB|＝，Q到直线l的距离h＝．∴，即△QAB的面积为．22．已知正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．（1）试比较a n与2的大小，并说明理由；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，证明：当n∈N*时，S n＞2n﹣5．【分析】（1）推导出，从而a n+1﹣2＝，从而a n+1﹣2与a n﹣2同号，进而a n﹣2与a1﹣2同号，由此能求出a n＜2．（2）由，得1≤a n＜2，从而2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，由此能证明S n＞2n﹣5．解：（1）解：∵正项数列{a n}满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝8a n﹣2．∴，∴﹣2＝＝，∵正项数列{a n}中，a n＞0，∴2a n+3＞0，∴a n+1﹣2与a n﹣2同号，∴a n﹣2与a1﹣2同号，∵a1﹣2＝﹣1＜0，∴a n﹣2＜0，∴a n＜2．（2）证明：由（1）知，∴﹣＝，∴与同号，也与同号，∴1≤a n＜2，∴＝＝≤，∴2﹣a n≤（2﹣a1）（）n﹣1＝（）n﹣1，∴2n﹣S n＝≤5[1﹣（）n]＜5，∴S n＞2n﹣5．。
浙江省宁波市 2019-2020 学年第二学期期末考试高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150 分．考试时间 120 分钟．本次考试不得使用计算器.请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式220x x -->的解集为（ ） （A ） ( −1,2) （B ） (−2,1) （C ）()(),12,-∞-+∞ （D ）()(),21,-∞-+∞2. 一条直线过点 A (1,0)和 B (−2,3) ，则该直线的倾斜角为（ ） （A ） 30° （B ） 45° （C ） 135° （D ） 150°3. 若110,0,cos ,cos 2234ππαβαβ<<-<<==，则()cos αβ+=（ ） （A ）1230+ （B 1230- （C 2215+ （D 2215- 4．若实数 x ，y 满足104x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则3x+y 的最小值为（ ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10 5．2sin12π=（ ）（A ）234- （B ）234+ （C ）34 （D ）146．设 a 、 b 为非零实数，若 a <b ，则下列不等式成立的是（ ） （A ）22a b < （B ）22ab a b < （C ）2211ab a b< （D ）b a a b < 7. 已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+= （A ）25 （B ）922 （C ）910 （D ）10118. 如右图，四边形ABCD 中，∠ADC =120°，∠ACD =30°，∠BCD =90°，DC =3，BC=2，则AB =（）（A）5（B）6（C）7（D）229. 已知数列{}n a的前n 项和为()*22nnS n N=-∈，则下列结论正确的是（）（A）11056a a a a=（B）对任意2n≥，且*n N∈，都有211n n na a a+-=（C）51051510,,S S S S S--成等比数列（D）对任意*n N∈，都有1n na a+>10. 已知正项数列{}{},n na b满足1117n n nn n na a bb a b++=+⎧⎨=+⎩，设nnnacb=，当56c c+最小时，7c的值为（）（A）3 （B）113（C）5 （D）112第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每小题6 分，单空题每小题 4 分，共36 分．11.设直线1:3120l ax y++=，直线()2:240l x a y+-+=.当a = ▲时，12//l l；当 a = ▲时，12l l⊥.12.已知α为锐角，且210sin cos225αα+=，则sinα= ▲，tan2α= ▲．13.已知等比数列{}n a 的公比为q (q> 0) ，前 n 项和为n S ．若246,30S S ==，则1a =▲ ， q = ▲ ．14. 已知x>0，y>0，且 x +2y =1 ，则11x y +的最小值为 ▲ ；222xy x y+的最大值为 ▲ . 15.在 △ABC 中，内角A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，已知4A π=，22212b c a -=，则 tanB = ▲ ． 16. 记(),max ,,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，设函数(){}max 1,f x x x t =+- ，若对于任意x ∈R ，都有()2f x ≥成立，则实数 t 的取值范围为__ ▲ __.17.已知直线1:20l x y --=与 x 轴交于点 A ，直线12l l ⊥，且12,l l 的交点为P ， O 为坐标原点. 若直线2l 在 y 轴上截距为 b (b> 0) ，且 ∠APO ≤45°，则 b 的取值范围为__▲ __. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分 14 分）已知三角形的三个顶点A (− 5,0)， B (3, −3) ， C (0,2). (Ⅰ)求 BC 边所在直线的方程； (Ⅱ)求 △ABC 的面积. 19．（本题满分 15 分）已知函数f(x)=sinx+acosx (a> 0) 的最大值为 2 . (Ⅰ)求实数 a 的值； (Ⅱ)设02πθ<<，且()10213f f πθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin2θ 的值.20. （本题满分 15 分）如图，在 △ABC 中， AC=4 AB ，cosB=35. (Ⅰ)求 sinC 的值；(Ⅱ)若 AB =5 , D 为边 BC 上一点， △ABD 的面积为 12 ，求BDDC的值.21．（本题满分 15 分）已知函数()211f x x ax =+--()a R ∈．(Ⅰ) 当 a =1 时，求不等式 f(x)>1 的解集；(Ⅱ) 对于任意 x ∈(0,1) ，不等式 f(x)> x 恒成立，则求实数 a 的取值范围． 22．（本题满分 15 分）已知数列{}n a 满足()*111,21n n a a a n n N +=-=+∈，数列{}n b 的前 n 项和为n S ，且满足342n n S b =-()*n N ∈.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ) 记nn na cb =， 求证： (ⅰ)当 n ≥2 且 *n N ∈ 时，119416n n c c +<≤； (ⅱ)当 *n N ∈ 时，12353n c c c c +++⋅⋅⋅+<.。
