初中数学重点梳理：实数与数轴

实数与数轴知识点总结实数是数学中的一个重要概念，对于数学的学习有着非常重要的作用。

实数包括有理数和无理数两部分，是数学中最基本的数学概念之一。

数轴是表示实数的一种图形工具，用于在数学中对实数进行可视化表示，方便我们对实数进行研究和运算。

本文将对实数与数轴的相关知识点进行总结，希望能对大家有所帮助。

一、实数的定义实数是数学中的一种基本的数学概念，它包括有理数和无理数两部分。

有理数是可以表示为两个整数的商的数，而无理数则是不能表示为有理数的数。

实数可以用小数表示，例如，有理数可以表示为有限小数或者循环小数，而无理数则是不循环、无限不循环的小数。

二、有理数有理数是可以表示为两个整数的商的数，包括整数和分数两种形式。

整数是不带小数部分的有理数，分数是带有分母和分子的有理数。

1. 整数整数包括正整数、负整数和零三种类型。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零则是一个特殊的整数。

2. 分数分数是有理数的一种形式，它可以表示为一个整数与一个非零整数的比值。

分数可以化简为最简分数，也可以表示为带分数或者混合数。

三、无理数无理数是不能表示为有理数的数，它是无限不循环小数的形式。

无理数包括开方数和圆周率等，例如，√2、π等都是无理数。

四、数轴数轴是一种用于表示实数的有向直线，它是实数的图形表示方式。

数轴将实数表示为一维空间上的点，方便我们对实数进行可视化表示和研究。

数轴一般用于进行实数的比较、运算和研究。

1. 数轴的建立数轴的建立需要选择一个原点作为参照点，并沿着直线的一个方向标出正数，另一个方向标出负数。

数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。

2. 数轴上的实数数轴上的实数按照大小顺序排列，较大的实数在数轴上的位置较靠右，较小的实数在数轴上的位置较靠左。

数轴上相邻的两个整数之间的距离为1，而相邻的两个分数之间的距离根据它们在数轴上的位置来确定。

3. 数轴上的点数轴上的每个点表示一个实数，它与原点的距离表示这个实数的大小。

人教版初中数学重点知识点总结一、数与代数。

1. 有理数。

- 有理数的分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

- 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

数轴上的点与有理数一一对应。

- 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a，0的相反数是0。

- 绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即| a|=a(a≥0) -a(a<0)。

- 有理数的运算：- 加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。

- 减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

- 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。

- 除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。

- 乘方：求n个相同因数的积的运算叫乘方，a^n中a是底数，n是指数。

2. 实数。

- 无理数：无限不循环小数，如√(2)、π等。

- 实数的分类：有理数和无理数。

- 实数与数轴上的点一一对应。

- 平方根：如果x^2 = a(a≥0)，那么x叫做a的平方根，记作x=±√(a)，其中√(a)是a的算术平方根。

- 立方根：如果x^3 = a，那么x叫做a的立方根，记作x=sqrt[3]{a}。

3. 代数式。

- 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式。

- 整式：单项式和多项式统称为整式。

- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

初二实数重要知识点总结一、有理数和无理数实数包括有理数和无理数两种类型。

有理数是可以写成整数比的数，包括正整数、负整数、零和分数四种类型。

无理数是不能写成整数比的数，它们是无限不循环小数。

有理数和无理数的概念在实数中是非常重要的，它们构成了实数的基本组成部分。

有理数和无理数在数轴上分布形成了密集的情况，它们一起构成了实数轴上的所有点。

二、数轴数轴是表示实数的一条直线，它从左到右依次表示了负无穷到正无穷的所有实数。

在数轴上，每个实数对应一点，反之亦然。

数轴的左侧是负数部分，右侧是正数部分，中间是零点。

利用数轴，我们可以直观地表示实数之间的大小关系，进行加减乘除的运算，以及表示绝对值等操作。

数轴在初二的数学学习中非常重要，它是理解实数概念的基础。

三、绝对值绝对值是一个非常重要的概念，它表示一个数到原点的距离。

对于正数来说，它的绝对值就是它自己，对于负数来说，它的绝对值是它的相反数。

绝对值可以用来表示距离、大小比较、解绝对值不等式等很多方面的概念。

在初二数学学习中，绝对值是一个非常重要的知识点，它在数轴上的表示、大小比较、解不等式等方面有着广泛的应用。

四、大小比较在实数中，大小比较是一个非常基本的操作，它包括了比较两个数的大小、比较绝对值、比较大小定理等多个方面的内容。

大小比较在初二数学中占据了非常重要的地位，它与绝对值、数轴等概念有着密切的联系。

大小比较是实数的基本性质之一，它在数学的各个分支中都有着广泛的应用。

在初二数学学习中，掌握好大小比较的概念对于后续学习是非常重要的。

五、相反数相反数是一个非常简单而重要的概念，它表示了一个数与它的相反数相加等于零。

对于正数来说，它的相反数就是负数，对于负数来说，它的相反数就是正数。

相反数在加减法运算中有着重要的作用，它能够帮助我们进行数的加减运算、解方程等多个方面的操作。

在初二数学中，相反数是一个需要重点掌握的知识点，它对于后续学习有着重要的作用。

总结一下，在初二数学学习中，实数是一个非常重要的知识点，它涉及了有理数、无理数、数轴、绝对值、大小比较、相反数等多个概念。

数轴知识点总结笔记一、数轴的定义及表示方式1. 数轴是用来表示实数的一种工具，它是一个由无限多个点构成的直线。

数轴上的每一个点都对应一个实数。

2. 数轴的表示方式通常是在一条水平的直线上绘制一个箭头指向右侧，箭头的左侧为0点，这个直线就是数轴。

3. 数轴上通常会标出一些重要的点，比如整数点、分数点等，以便更直观地表示实数的位置。

二、数轴上的点和实数1. 数轴上的每一个点都对应着一个实数，这个对应关系是一一对应的。

2. 实数可以是正数、负数、零，它们都对应着数轴上的不同位置。

3. 在数轴上，较大的实数对应着较远的点，较小的实数对应着较近的点，这样就能够直观地比较和理解实数的大小关系。

三、数轴上的方向1. 在数轴上，箭头指向右侧的方向通常代表正方向，箭头指向左侧的方向通常代表负方向。

2. 从数轴上的任意一点到0点的方向称为这个点的正负方向。

正方向表示这个点比0点要远，负方向表示这个点比0点要近。

四、数轴上的单位长度1. 数轴上的单位长度通常由刻度表示，这个刻度代表着数轴上的一个单位长度。

单位长度可以是整数单位、分数单位等。

2. 数轴上的单位长度是固定不变的，在比较不同数字大小时，可以通过单位长度来表示不同数字之间的距离关系。

五、数轴上的加减运算1. 在数轴上进行加减运算时，可以通过移动对应的点来进行计算。

移动的方向和距离就代表着加减运算的结果。

2. 加法运算表示向右移动，减法运算表示向左移动。

移动的距离由相加或相减的数值大小来决定。

六、数轴上的乘除运算1. 在数轴上进行乘除运算时，可以通过比较不同点的位置来确定乘法和除法的结果。

2. 乘法运算表示比较两个点之间的距离，距离的倍数就代表着乘法的结果。

除法运算表示将一个点的位置划分为若干等分，每一份就代表着除法的结果。

七、数轴上的绝对值和相反数1. 数轴上的绝对值表示一个点到0点的距离，绝对值就是距离的大小。

2. 数轴上的相反数表示一个点关于0点的对称点，对称轴就是数轴本身。

七年级数学实数知识点总结数学是一门非常重要的学科，也是每个人都不能忽略的学科。

在初中阶段，数学知识的学习显得尤为重要。

实数作为数学中的一个重要知识点，深深地吸引着我们的目光。

在这篇文章中，我将为大家总结一下我所掌握的七年级数学实数知识点，希望对广大同学的学习有所帮助。

一、实数的定义实数是数学中的一种数，包括有理数和无理数两种。

其中，有理数是可以写成一个整数和一个分数的形式，无理数不能写成这样的形式。

二、实数的分类实数可以分为正数、负数和零。

正数大于零，负数小于零，零等于零。

同时，正数和负数的绝对值相等。

三、实数的加减乘除实数的加减法和正常的数学运算一致，只不过符号需要进行判断。

同符号的两个数相加或相减，结果依然为同符号的数；异符号的两个数相加或相减，结果为绝对值大的那个符号，并加上绝对值小的那个数的负数。

实数的乘法同样相似，不过有些不同。

同符号相乘结果为正，异符号相乘结果为负。

至于实数的除法，需要注意分母不能为零。

四、数轴数轴是用来表示实数的一种方法。

其中，数轴上的每个点都对应一个实数，而且数轴上的两个点之间的距离等于这两个点所表示的实数之差的绝对值。

同时，负数向左，正数向右。

五、绝对值在数轴上，每个点都有对应的绝对值。

绝对值表示一个数到零点之间的距离。

同时，绝对值也可以表达为一个实数在数轴上的正方向和负方向的距离差。

例如，|-7|=7，|7|=7。

六、相反数与倒数相反数表示一个数的符号相反，倒数表示一个数的倒数。

例如，-5与5是相反数，1/5和5是倒数。

七、四个不等式四个不等式是数学中的四个经典公式。

它们分别是两个数的和大于这两个数的两倍，两个数的差小于它们的绝对值，两个正数的乘积与它们的和的大小关系以及两个数相乘等于零时，至少有一个数为零。

八、开方和平方开方表示找到一个正数的平方根，平方表示把一个数乘以它本身。

例如，5的平方是25，25的平方根是5。

总结实数是数学中非常重要的一个知识点。

在初中的学习中，我们需要掌握实数的定义、分类、加减乘除、数轴、绝对值、相反数与倒数、四个不等式、开方和平方等知识点，这些都是我们必须掌握的数学基础。

七年级数轴的知识点数轴是数学中一个非常重要的概念，也是初中数学必学的一部分。

在七年级的学习中，数轴的相关知识点也是必须要掌握的。

本文将为大家详细介绍七年级数轴的知识点。

一、数轴的概念数轴是一个数学上的模型，它是一条直线，上面的每个点都与一个实数相对应。

数轴通常是由左而右，按照实数大小依次排列的，它的中心点是0，正数向右延伸，负数向左延伸。

数轴可以帮助我们更直观地理解数的大小、关系和变化。

二、数轴上的基本概念1. 实数点：数轴上的每个点与一个实数一一对应，这个点就是实数点。

2. 坐标：数轴上每个点的位置都可以用它的坐标表示，通常用字母x表示，比如点P的坐标可以表示为x=P。

3. 距离：数轴上任意两个实数点之间的距离，就是它们在数轴上的距离。

如果两个点A、B在数轴上的位置分别为xA和xB，那么它们之间的距离就是|xA-xB|。

4. 数轴上点的分类：（1）原点：数轴上的中心点0就是原点。

（2）正数点：数轴上0的右侧的点都是正数点，它们的坐标为正数。

（3）负数点：数轴上0的左侧的点都是负数点，它们的坐标为负数。

三、数轴上的运算1. 相反数：数轴上，每个实数都有一个相反数，即这个实数的相反数坐标与这个实数坐标相差相等，符号相反。

（1）实数a的相反数为-a；（2）相反数的坐标关于原点对称。

2. 加减法：数轴上的加减法运算可以利用数轴上距离的概念进行求解。

（1）加法：在数轴上，a+b就是从a出发，向右走|b|的距离，得到点C作为新的坐标。

（2）减法：在数轴上，a-b就是从a出发，向左走|b|的距离，得到点C作为新的坐标。

3. 乘除法：数轴上的乘除法运算可以使用数轴上点的比例关系进行求解。

（1）乘法：a×b就是以原点为中心、以a为半径画一个圆，将b作为圆弧上的一个点，得到点C作为新的坐标。

（2）除法：a÷b就是以原点为中心、以b为半径画一个圆，将a作为圆弧上的一个点，得到点C作为新的坐标。

四、数轴上的表示方法1. 图形法：在数轴上，可以利用点的位置、距离和相对位置等特征，用折线、圆点等来表示。

第六章实数知识点总结摘要：一、实数的定义与分类1.实数的定义2.实数的分类二、实数的性质与运算1.实数的性质2.实数的运算三、实数与数轴1.数轴的概念2.实数与数轴的关系四、实数的比较与大小1.实数的大小比较2.实数的大小关系五、实数的应用1.实数在数学中的应用2.实数在其他学科中的应用正文：实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数。

实数的定义是指数轴上的点，可以表示为有序对(a,b)，其中a 表示点的横坐标，b 表示点的纵坐标。

根据横坐标a 的值，实数可以分为负数、零和正数。

实数的性质包括：1.实数具有连续性，即任意两个实数之间总存在一个实数；2.实数具有完备性，即每个实数都可以用无限接近的有理数表示；3.实数具有可数性，即实数集中的每个元素都可以与自然数集建立一一对应关系。

实数的运算包括加法、减法、乘法、除法、乘方和开方。

这些运算遵循交换律、结合律和分配律等基本运算法则。

实数的运算不仅限于实数，还可以扩展到复数。

实数与数轴有密切的关系。

数轴是一个直线，规定了原点、正方向和单位长度。

实数可以表示为数轴上的点，根据横坐标a 的值，实数可以分为负数、零和正数。

数轴上的点与实数之间的对应关系是一一映射。

实数的大小比较和大小关系是数学中常见的问题。

实数的大小比较遵循“大于一切小于它的数，小于一切大于它的数”的原则。

实数的大小关系可以通过数轴来直观表示。

实数在数学中有广泛的应用，如微积分、实分析等。

实数在其他学科中也有应用，如物理、化学、生物等。

实数的概念、性质和运算等基础知识是解决实际问题的关键。

总之，实数是数学中的一个基本概念，它具有重要的理论意义和实际应用价值。

中考初中实数等必考知识点精心整理1.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，可以用分数或小数表示。

例如，所有整数、分数和循环小数都属于有理数。

在考试中，需要对有理数的四则运算、分数的化简和分数的加减乘除等进行灵活运用。

2.无理数：无理数是不能表示为两个整数的比值的数，不能用分数或有限小数表示。

例如，开平方的结果是无理数。

在中考中，常见的无理数有π和⎷5、需要了解无理数的性质和基本运算。

3.数轴：数轴是一个直线，用于表示实数。

数轴上的点与实数一一对应，左侧的点表示负实数，右侧的点表示正实数。

在解实数相关的问题时，可以利用数轴进行直观的判断和分析。

4.绝对值：绝对值表示一个数到原点的距离，用，x，表示，其中x是一个实数。

绝对值的定义如下：-如果x≥0，那么，x，=x-如果x<0，那么，x，=-x绝对值具有以下性质：-，a·b，=，a，·，b-，a+b，≤，a，+，b-，a-b，≥，，a，-，在解绝对值相关的方程和不等式时，需要根据绝对值的性质进行分析和转换。

5. 数列：数列是一系列按照一定顺序排列的实数，通常用 {an} 或(an) 表示。

常见的数列有等差数列和等比数列。

在中考中，数列是一个重要的知识点，需要对数列的概念、通项公式和前 n 项和等进行掌握和运用。

6.实数的比较：实数可以比较大小。

在中考中，可以利用大小关系进行排列、求极值、证明和解方程等。

需要掌握实数比较的基本性质，并能够通过比较解决实际问题。

7.利用实数解决问题：实数是数学在现实生活中的重要应用。

在中考中，会出现一些实际问题，需要利用实数进行建模和解决。

例如，利用实数求解三角形的边长、面积和角度等问题。

初中数学常考的知识点：实数与数轴
初中数学常考的知识点：实数与数轴
导语：我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

下面时候小编为大家整理的关于，初中数学，希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!
实数与数轴
1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的`三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

相信上面对数学中实数与数轴知识点的内容总结学习，可以很好的帮助同学们对此知识点的巩固学习吧，希望同学们会学习的更好。

实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。

相信上面对数学中实数大小的比较知识点的讲解学习之后，同学们对上面的知识已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

七年级说学数轴知识点总结数轴是数学中重要的概念，是学习数学的基础之一。

在初中阶段，学生开始学习数轴的相关知识。

本文将为你总结七年级数轴的相关知识点，希望能帮助你更好地掌握这一概念。

一、数轴的定义数轴是一个数学上用来表示实数的直线，其中0点表示0，正方向表示正数，负方向表示负数。

数轴中，相邻两个整数之间的距离是相等的。

二、数轴上的点的表示方法在数轴上，每一个点都代表一个实数。

点所在的位置表示该实数的大小。

根据数轴上的点所代表的实数正负不同，可以将点分为三类：正数点、负数点、零点。

正数点表示正实数，负数点表示负实数，零点表示0。

三、数轴上实数的比较通过数轴，可以快速准确地比较实数的大小。

实数a和b在数轴上的位置越靠近，则a越小，b越大；实数a和b在数轴上的位置越远，则a越大，b越小。

四、数轴上实数的加减在数轴上，实数的加法和减法可以直观地表示。

当两个实数在数轴上的位置相加，就是将它们对应的线段相连，以相加后的线段所在的位置作为和。

当两个实数在数轴上的位置相减，就是在被减数所在的位置上，往相减数所在方向上移动相减数在数轴上的距离，以所到达的位置上的实数为差。

五、数轴上实数的乘除在数轴上，实数的乘法和除法可以通过实数的绝对值和正负来表示。

实数a和b之积ab的绝对值等于a和b的绝对值之积，ab的正负与a和b的正负相同。

实数a除以b，等于a乘以b的倒数。

如果b不为0，则a除以b的正负与a和b的正负相同。

六、数轴上实数的绝对值在数轴上，实数的绝对值就是该实数到0点的距离。

当实数为正数时，绝对值就是该实数本身；当实数为负数时，绝对值就是该实数的相反数。

七、数轴上实数的相反数数轴上任何一个实数a的相反数是在以0为中心完成180度旋转后所得到的实数-b。

即a+b=0，a和b同为数轴上的点。

总结以上便是七年级数轴的相关知识点。

数轴是一个非常重要的数学概念，它直观地表示了数的正负和大小，是学习整个初中数学的基础之一。

同学们在学习过程中要多进行实践，通过练习加深对数轴的理解和掌握，为今后数学的学习打下一个坚实的基础。

七年级上实数知识点归纳总结实数是数的一种分类，包括有理数和无理数。

在七年级上学期数学课程中，我们学习了关于实数的各种知识点，包括数轴、有理数的加、减、乘、除运算等。

本文将对这些知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和理解实数的概念和运算。

一、数轴数轴是表示实数的图形工具，它由一个直线和两个端点组成，左边的端点对应于负无穷大，右边的端点对应于正无穷大。

数轴上的任意一点表示一个实数，点与点之间的距离表示这两个实数的差值大小。

二、有理数的表示和比较有理数包括整数和分数，可以用分数表示。

一个分数由分子和分母组成，其中分子表示被分割的份数，分母表示每份的份数。

有理数可以根据大小进行比较，并且符合以下规则：1. 相同符号，比较大小时绝对值越大，数越大；2. 不同符号，正数大于负数。

三、有理数的加法和减法有理数的加法和减法运算与整数的运算规则相似，可以通过数轴和计算规则来进行：1. 同号数相加（减）：绝对值相加（减），结果的符号与原数相同；2. 异号数相加（减）：绝对值相减，结果的符号与绝对值大的数的符号相同。

四、有理数的乘法和除法有理数的乘法和除法运算可根据以下规则进行：1. 同号相乘：结果为正数；2. 异号相乘：结果为负数；3. 除法可以转换为乘法：a ÷ b 可转换为 a × (1/b)。

五、混合运算混合运算是指在一个算式中同时存在加、减、乘、除这些运算符号的运算。

在进行混合运算时，我们可以根据以下顺序进行计算：1. 先进行括号内的计算；2. 然后按照从左到右的顺序进行乘法和除法；3. 最后按照从左到右的顺序进行加法和减法。

六、逻辑关系在进行实数运算时，我们需要了解一些逻辑关系，包括绝对值、相反数和倒数的概念：1. 绝对值：一个实数的绝对值表示这个数到0的距离，可以用两个竖线 || 表示。

与符号无关，正数的绝对值等于该数，负数的绝对值等于该数的相反数；2. 相反数：一个实数的相反数互为相反数，它们的和等于0；3. 倒数：一个非零实数的倒数是它的分数形式，分子为1，分母为这个实数的绝对值。

七年级下册数学知识点实数一、数轴与实数数轴是一种用于表示实数的图形。

从数学的角度来看，实数是包括所有的有理数和无理数的一个集合。

而数轴能够以直观的方式将实数表示出来。

在数轴上，原点通常代表0，负数和正数在原点的左侧和右侧分别表示。

实数的大小在数轴上用点的距离来表示，距离越远，数值越大。

二、实数的分类实数可以分为三类：有理数、无理数和代数数。

1. 有理数：可以表示为两个整数的比，例如1/2、3/4、-3/2等。

有理数可以在数轴上表示为有限或无限循环小数。

2. 无理数：不能表示为两个整数的比。

例如，π和√2都是无理数。

无理数在数轴上通常表示为无限不循环小数。

3. 代数数：代数数是有理数和无理数的统称。

它们可以通过方程式的根来表示。

例如，方程x^2-2=0的解是√2，所以√2是一个代数数。

三、实数的运算实数和有理数的运算法则相同，包括加、减、乘和除。

下面是一些实数运算的规则：1. 加法和减法：实数的加法和减法满足交换律、结合律和分配律。

2. 乘法：实数的乘法也满足交换律、结合律和分配律。

3. 除法：两个非零实数的商是一个实数。

特别地，任何实数除以0等于无穷大或负无穷大，通常用符号“∞”表示。

四、实数的大小比较1. 正数和负数：任何正数都比负数大。

2. 有理数：有理数可以通过将它们转化为通分数来进行大小比较。

3. 无理数：无理数的大小比较通常用近似值来确定。

五、实数的绝对值实数的绝对值是指该实数到原点的距离，表示为|a|。

根据定义，任何正数的绝对值等于它本身，而任何负数的绝对值等于它的相反数，即|a|=-a。

绝对值有以下几个重要的性质：1. |a|=|b|当且仅当a=b或a=-b。

2. |a+b|<=|a|+|b|，称为三角不等式。

3. 如果a>=0，则|a|=a；如果a<0，则|a|=-a。

六、实数的平方和平方根1. 平方：一个数的平方等于它与自己相乘的结果。

例如，5的平方是25，表示为5^2。

初二年级数学知识点实数数学比赛对青少年的脑力锤炼有着一定的作用，可以通过数学对思维和逻辑进行锤炼，对学生起到的并不仅仅是数学方面的作用。

下面是作者给大家带来的初二年级数学知识点实数，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!初二年级数学知识点：实数1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0. (若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一样地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一样地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无穷小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以罗列的方式不能描写实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无穷小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也能够是非循环的)。

在实际运用中，实数常常被近似成一个有限小数(保存小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数)。

在运算机领域，由于运算机只能储备有限的小数位数，实数常常用浮点数来表示。

1)相反数(只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数) 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

初中数学知识点梳理（详细版）第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分（2）按正、负性分正有理数有理数 0 有限小数或正实数负有理数无限循环小数实数 0实数正无理数负实数无理数无限不循环小数负无理数（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°，tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b)-a(a＜0).b-a(a＜b)（3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a≥0），则x=±a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1.5.倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2；倒数等于它本身的数有±1.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a×10n,其中1≤|a|＜10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a×10-n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000用科学记数法表示为2.1×104；19万用科学记数法表示为1.9×105；0.0007用科学记数法表示知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a－b＝3，则3b－3a＝－9.为7×10-4.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.（3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（4）平方法：a＞b≥0a2＞b2.例：把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_.知识点五：实数的运算9. 常见运算乘方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__;3-1=_1/3_;π0=__1__;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是__8_,立方根是__4__.失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__.零次幂a0=_1_(a≠0)负指数幂a-p=1/a p（a≠0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a≥0）,则x=a.其中a是算术平方根.立方根若x3=a,则x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化2.整式（单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：（1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤.（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是__1 .知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法：a m·a n＝a m＋n；(2)幂的乘方：(a m)n＝a mn；(3)积的乘方：(ab)n＝a n·b n；(4)同底数幂的除法：a m÷a n＝a m－n(a≠0).其中m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3×2m×2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m·4m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．(2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb.(3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加．失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2.（6）乘法公式平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式：a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c).②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2.(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念（1）分式：形如BA(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④2221xx+-，其中是分式是②③④；最简分式③.2.分式的意义(1)无意义的条件：当B＝0时，分式BA无意义；(2)有意义的条件：当B≠0时，分式BA有意义；(3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式BA＝0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例：当211xx--的值为0时，则x＝-1.3.基本性质( 1 ) 基本性质：A A CB B C⋅=⋅A CB C÷=÷(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：()AA AB B B---==-；A A AB B B--==-.由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：22121xx x-++=11xx-+.知识点三：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即babmam=；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即bcbdbcacdcba,,⇒分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式21x x+和()11x x-的最简公分母为()21x x-.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即ac±bc＝a±bc；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即ab±cd＝ad±bcbd.例：111xx x+--＝－1.2112.111aa a a+=+--6.分式的乘除法(1)乘法：ab·cd＝acbd； (2)除法：a cb d÷＝adbc；(3)乘方：nab⎛⎫⎪⎝⎭＝nnab(n为正整数).例：2a bb a⋅＝12；21x xy÷＝2y；332x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3278x-.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.知识点一：二次根式关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式11x-有意义，则x的取值范围是x＞1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：①被开方数是非负数，即a≥0；②二次根式的值是非负数，即a≥0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如1a++1b-=0，则a=-1，b=1.（2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=1a-+1a-,则a=1,b=0.(2)两个重要性质：①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝()()a aa a⎧≥⎪⎨-<⎪⎩；(3)积的算术平方根：ab＝a·b(a≥0，b≥0)；(4)商的算术平方根：ab=ab(a≥0，b＞0)．例：计算：23.14＝3.14；()22-＝2；24=；=2 ；442939==知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式．例：计算：2832-+＝32.4.二次根式的乘除法（1）乘法：a·b=ab(a≥0，b≥0)；注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：3223⋅＝1；323222==4.（2）除法：ab=ab(a≥0，b＞0)．5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）．运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(2+1)(2 -1)= 1 .知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，a bc c=(c≠0)．(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c.(×)(2)若a/c=b/c，则a=b.(√)2.关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程．(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程．(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解．在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例：若(a-2)|a1|0x a-+=是关于x的一元一次方程，则a的值为0.知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例：已知2923x yx y-=⎧⎨-=⎩则x-y的值为x-y=4.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用5.列方程(组) 解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称．（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式（1）利润问题：售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%.（2）利息问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间.（4）行程问题：路程=速度×时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程．(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1.2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2-4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.*4.根与系数的关（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：系有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0.知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例：在下列方程中，①210x+=；②4x y+=-；③11xx=-，其中是分式方程的是③.2.解分式方程基本思路：分式方程整式方程例：将方程12211x x+=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3) 检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根. 例：若分式方程101x=-有增根，则增根为1.知识点二：分式方程的应用方程两边同乘以最简公分母约去分母4.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.知识点一：不等式及其基本性质 关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值. （3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b ≤1.2.不等式的基本性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ； 性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >bc ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <bc .牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x的一元一次不等式，则m 的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a 的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法 先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型 假设a ＜b 解集 数轴表示 口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b ≤⎧⎨≤⎩x ≤a 小小取小 x a x b ≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b大小，小大中间找 x ax b≤⎧⎨≥⎩ 无解 大大，小小取不了 知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应．点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征：①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)；③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y）平移的坐标特征：M（x,y） M1(x+a,y)M2(x+a,y+b)（1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|．（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.xy第四象限(＋，－)第三象限(－，－)第二象限(－，＋)第一象限(＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123Oy 2)间的距离为|y 1－y 2|．知识点二：函 数4.函数的相关概念 （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5.5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数． （2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数的性质 k ，b 符号 K ＞0， b ＞0 K ＞0， b ＜0 K ＞0，b=0 k <0， b >0 k <0， b <0 k <0， b ＝0 （1）一次函数y=kx+b 中，k 确定了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，大致 图象 经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四二、四 图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 例：（1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）.（2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组的解⇔两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交点坐标.8.一次函数与不等式（1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集（2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤（1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式；（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围；（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定y=k2x+by=k1x+b。

七年级下册数学实数重要内容总结1. 自然数、整数和有理数- 自然数是正整数，包括0.- 整数包括自然数、0和负整数.- 有理数包括整数和分数，可以表示为 $\frac{a}{b}$，其中$a$ 和 $b$ 是整数， $b$ 不为0.2. 数轴和实数- 数轴是一条直线，用于表示实数.- 实数是包括有理数和无理数在内的所有数.- 数轴上的点表示实数，左边的点代表小于该实数的数，右边的点代表大于该实数的数.3. 实数的比较和大小关系- 对于两个实数 $a$ 和 $b$，如果 $a > b$，则称 $a$ 大于 $b$；如果 $a < b$，则称 $a$ 小于 $b$；如果 $a = b$，则称 $a$ 等于 $b$.4. 实数的运算- 实数的加法：对于实数 $a$ 和 $b$，$a + b$ 表示将 $a$ 和$b$ 相加得到的结果.- 实数的减法：对于实数 $a$ 和 $b$，$a - b$ 表示将 $b$ 从$a$ 中减去得到的结果.- 实数的乘法：对于实数 $a$ 和 $b$，$a \cdot b$ 表示将 $a$ 和$b$ 相乘得到的结果.- 实数的除法：对于实数 $a$ 和 $b$，$\frac{a}{b}$ 表示将$a$ 除以 $b$ 得到的结果，其中 $b$ 不为0.5. 实数的性质- 实数的交换律和结合律：对于实数 $a$、$b$ 和 $c$，满足 $a + b = b + a$ 和 $a + (b + c) = (a + b) + c$.- 实数的分配律：对于实数 $a$、$b$ 和 $c$，满足 $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.6. 实数的绝对值- 实数 $a$ 的绝对值表示为 $|a|$.- 当 $a \geq 0$ 时，$|a| = a$.- 当 $a < 0$ 时，$|a| = -a$.7. 实数的乘方和开方- 实数 $a$ 的乘方表示为 $a^n$，其中 $n$ 是正整数.- 实数 $a$ 的开方表示为 $\sqrt{n}$，其中 $n$ 是非负整数.8. 实数的逆元和倒数- 实数 $a$ 的逆元表示为 $-a$，满足 $a + (-a) = 0$.- 实数 $a$ 的倒数表示为 $\frac{1}{a}$，满足 $a \cdot\frac{1}{a} = 1$，其中 $a \neq 0$.。

/*总复习一：实数一、单元知识网络：二、考试目标要求：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.具体目标：1.有理数(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.2.实数(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应.(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.三、知识考点梳理知识点一、实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：无限不循环小数叫无理数．5.实数：有理数和无理数统称为实数．知识点二、实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．知识点三、实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．知识点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.知识点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc知识点六、有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法：把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．四、规律方法指导1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.3.从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.4.注意观察、分析、总结对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路.经典例题精析考点一、实数概念及分类1.(舟山市)下列各数中是正整数的是()A.1B.-2C.0.3D.思路点拨：考查实数的分类，首先判断性质符号为正，其次判断是否为整数.答案：A.2.下列实数、sin60°、、、3.14159、、、中无理数有()个A．1B．2C．3D．4答案：C.无理数有sin60°、、.总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【变式1】把下列各数填入相应的集合里：(1)自然数集合：{…}(2)整数集合：{…}(3)分数集合：{…}(4)无理数集合：{…}答案：(1)自然数集合：(2)整数集合：(3)分数集合：(4)无理数集合：考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值3.(1)a的相反数是，则a的倒数是_______．(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:则化简=______．思路点拨:(1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.由a的相反数是，所以a=，的倒数为5.(2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：答案：(1)5；(2)-a-b.举一反三：【变式1】化简-(-2)的结果是()A．-2B．C．D．2答案：选D.【变式2】若m+1与m–3互为相反数，则m=_______.思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.∴m+1+m–3=0，解得m=1.答案：1.【变式3】-2的倒数是_______.思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.答案：.【变式4】的绝对值是()A．B．C．D．答案：选B.【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是()A.x≥1B.x≤1C.x<1D.x>1答案：选B.总结升华：(1)考查绝对值的意义；(2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质：①|a|≥0，即绝对值的非负性；②若|x|=a(a≥0)，则x=±a，即绝对值的原数的双值性.【变式6】下列说法正确的是()A.-1的倒数是1B.-1的相反数是-1C.1的算术平方根是1D.1的立方根是±1思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数是-1，-1的相反数是1；另一方面根据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1，1的立方根是1.答案：选C.【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=________.解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值，因此易得，∴a=0，b=±1，∴|a-b|=|±1|=1.【变式8】(长沙市)如图，数轴上表示数的点是.思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，表示正数的点在原点的右侧，.答案：B.考点三、近似数、有效数字、科学记数法4.(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到105.5亿元.用科学记数法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为()A.1.055×1010元B.1.06×1010元C.1.06×1011元D.1.05×1011元(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)()A.1.02×107B.1.02×108C.1.02×109D.1.02×1010思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种：(1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此(1)中105.5亿元=10 550 000 000元，用科学记数法表示为1.055×1010，保留三个有效数字为1.06×1010；(2)中应表示为1.02×109.答案：(1)B；(2)C.举一反三：【变式1】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_________立方米.解：600×50=30000=3×104.总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立环保意识.【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是()A. B. C. D.思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小.答案：A.【变式3】近似数0.030万精确到______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示记作__________.思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为以“个”为单位的数，再确定其精确的位数.如，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到十位，而不是百位.答案：十；2；.考点四、实数的大小比较5.比较下列每组数的大小：(1)与；(2)与；(3)与；(4)a与(a≠0).思路点拨：(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.解：(1)，，，所以(2)因为所以；(3)，，而与可以很容易进行比较得到，所以；(4)当a<-1或O<a<1时，a<；当-1<a<0或a>1时，a>；总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.考点五、快速准确地进行实数运算6.计算：.思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．解：总结升华:本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义，而使举一反三：【变式1】填空：-1-1-1-1=_________；=_________；=__________；(为正整数)=__________；=___________；=____________；=__________.思路点拨：(1)根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值.(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除.(3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便.答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、.【变式2】计算：(1)(2)(3)思路点拨：(1)题可将改写成……，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结果；(2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；(3)题注意混合运算的顺序，不能先算.答案：(1)11109；(2)-110；(3).7.已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.思路点拨：此题考查的是非负数的性质.解：即两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.举一反三：【变式1】已知，求的值.思路点拨：利用≥0，≥0，≥0(为自然数)等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，再代入后本题得以解决.答案：-3.考点六、探索与创新8．计算：思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.解：设n=2001，则原式=(把n2+3n看作一个整体)==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.9. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：(1)第四个图形中火柴棒的根数是______________；(2)第个图形中火柴棒的根数是______________.思路点拨：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数.答案：(1)13；(2).10.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；(2)推算出OA10的长；(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值.思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.(1)由题意可知，图形满足勾股定理，(2)因为OA1=，OA2=，OA3=…，所以OA10=(3)S12+ S22+ S32+…+ S102.中考题萃：实数一、考试目标：了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。

数学七年级下册实数知识点数学七年级下册实数知识点精选2篇（一）下面是数学七年级下册实数的几个重点知识点：1. 有理数：有理数包括整数和分数，可以写成有限小数或循环小数的数。

2. 无理数：无理数是不能被表示为两个整数的比值的数，它的十进制表示是无限不循环的小数。

3. 实数：实数包括有理数和无理数，它们统一了有理数和无理数的概念。

4. 数轴：数轴是用来表示实数的直线，它上面的每个点都和一个实数对应。

5. 绝对值：绝对值是一个实数的非负值，表示这个数到0的距离。

6. 相反数：两个数的和等于0，这两个数互为相反数。

7. 加法运算：实数的加法运算满足交换律、结合律和存在零元素性质。

8. 减法运算：减法可以转化为加法，即a-b=a+(-b)。

9. 乘法运算：实数的乘法运算满足交换律、结合律和存在单位元素性质。

10. 除法运算：除法可以转化为乘法，即a÷b=a×(1/b)。

11. 分数的乘除：分数的乘法是将分子和分母分别相乘，分数的除法是将被除数的分子乘以除数的倒数。

12. 混合运算：多个实数加减乘除混合运算时，要按照运算顺序进行计算。

这些是七年级下册实数的一些重点知识点，希望对你有帮助！数学七年级下册实数知识点精选2篇（二）第三章的主要知识点如下：1. 同号数的加减：同号数相加（减）的结果仍为同号。

2. 异号数的加减：异号数相加（减）的结果的符号取绝对值较大的数的符号。

3. 数轴上的数：数轴是按照一定比例划分的直线，可以用来表示实数的大小关系。

4. 整数比较：在数轴上，数越大，数所在的位置越向右。

5. 负数：负数是小于零的整数。

6. 负数的表示：可以用带负号的数字表示，如-5，-3等。

7. 相反数：两个数的和为零时，互为相反数。

8. 数量的相反数：表示相反意义的带正负号的数。

9. 相反数的性质：两个数的相反数相加等于零。

10. 原点与坐标轴：原点是数轴上的零点，数轴分为正半轴和负半轴，分别表示正数和负数。

初中数学实数的数轴表示是什么实数的数轴表示是一种用直线上的点来表示实数的方法。

数轴是一条直线，通过在直线上选择一个特定的起点和单位长度，可以将实数与该直线上的点一一对应起来。

在数轴上，我们通常将起点标记为原点O，然后选择一个单位长度，例如1个单位长度，来表示整数。

然后，我们可以根据这个单位长度在数轴上逐个标记整数。

例如，我们可以选择以原点O为起点，向右每隔一个单位长度标记一个整数，向左同样地每隔一个单位长度标记一个整数。

除了标记整数，我们还可以使用分数和小数来表示实数。

对于分数，我们可以将数轴上的一个单位长度分成多个等分，然后根据分数的值在相应的位置上进行标记。

例如，如果我们将一个单位长度分成4等分，那么1/4的位置将位于整数1和2之间的1/4处。

对于小数，我们可以根据小数的值在数轴上的相应位置上进行标记。

例如，如果一个小数是0.5，那么它将位于整数0和1之间的一半处。

通过数轴的表示，我们可以直观地看到实数之间的大小关系和它们在数轴上的位置。

例如，如果我们想比较两个实数a和b，我们可以通过比较它们在数轴上的位置来确定它们的大小关系。

如果a在数轴上位于b的左侧，则a小于b；如果a在数轴上位于b的右侧，则a大于b。

数轴还可以用于表示实数的运算，例如加法和减法。

对于加法，我们可以通过在数轴上进行相应的位移来表示两个实数的和。

例如，如果我们想计算2+3，我们可以从整数2的位置开始，向右移动3个单位长度，最终到达整数5的位置。

对于减法，我们可以通过在数轴上进行相应的反向位移来表示两个实数的差。

例如，如果我们想计算5-3，我们可以从整数5的位置开始，向左移动3个单位长度，最终到达整数2的位置。

总结：实数的数轴表示是一种用直线上的点来表示实数的方法。

通过在数轴上选择起点和单位长度，并根据整数、分数和小数的值在相应的位置上进行标记，我们可以直观地看到实数之间的大小关系和它们在数轴上的位置。

数轴还可以用于表示实数的运算，例如加法和减法，通过在数轴上进行相应的位移来表示实数的和与差。

实数中考数学实数必备知识点中考数学实数必备知识点实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2.数轴上的点与实数的对应：数轴上的每个点代表一个实数，每个实数可以由数轴上的一个唯一点代表。

实数和数轴上的点是一一对应的。

实数大小的比较1.数字轴上有两个数字。

右边的数字总是大于左边的数字。

2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。

实数运算1、加法：1.将两个符号相同的数字相加，取原始符号，并将其绝对值相加；2异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用加法交换律、结合律。

2.减法：减一个数字与加这个数字是相反的。

3、乘法：1将两个数字相乘，相同的符号为正，不同的符号为负，然后将绝对值相乘。

2n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

3乘法可以使用乘法交换定律、乘法组合定律和乘法分布定律。

4、除法：当两个数字被除时，相同的符号为正，不同的符号为负，绝对值被除。

2除以一个数等于乘以这个数的倒数。

30除以任何数字等于0。

0不能是除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6.实数的运算顺序：乘法和平方根为三级运算，乘法和除法为两级运算，加减法为一级运算。

如果没有括号，则同一级别的操作应从左到右依次进行。

对于不同级别的操作，应先进行高级操作，然后进行低级操作。

对于带括号的操作，应首先进行括号内的操作。

无论是哪种操作，在操作前都要注意符号的确定。