第三节不等式选讲 ( 选修 4-5)考纲解读1.认识绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值 .2.认识柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.认识基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、剖析法、反证法及数学概括法证明不等式.命题趋向研究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容. 题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般地点，难度为中档.知识点精讲一、不等式的性质1.同向合成（ 1）a b, b c a c；（ 2）a b,c d a c b d ；（ 3）a b0,c d0ac bd .（合成后为必需条件）2. 同解变形（ 1）a b a c b c ；（ 2）a b c0, ac bc c0, ac bc ；（ 3）a b 0110a b 0 .b a（变形后为充要条件）3.作差比较法a b a b 0, a b a b0二、含绝对值的不等式（ 1）a0,| x | a a x a ； a 0,| x | a x a, 或x a（ 2）| a | |b |a2b2（ 3）| x a | | x b | c零点分段议论三、基本不等式（ 1）a2b22ab （当且仅当等号建立条件为a b ）（ 2）a0,b 0, a b2 ab （当且仅当等号建立条件为a b ）；2a 0,b0,c0, ab c3 abc （当且仅当 a b c 时等号建立）（ 3）柯西不等式3(a2b2 )(c2 d 2 )(ac bd )2（当且仅当 ad bc 时取等号）①几何意义： | a b |≤| a || b || ad bc |a2b2c2 d 2②推行： (a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) (a1b1a2b2 L a n b n ) 2. 当且仅当向量 a = (a1 , a2 ,L, a n ) 与向量 b = (b1 ,b2 ,L , b n ) 共线时等号建立.四、不等式的证明（ 1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果 .（3）剖析法——执果索因 .（4）数学概括法 .（5）结构协助函数利用单一性证明不等式.（6）反证法 .（7）放缩法 .题型概括即思路提示题型 201含绝对值的不等式一、解含绝对值的不等式思路提示对于含绝对值的不等式问题，第一要考虑的是依据绝对值的意义去掉绝对值. 常用的去绝对值方法是零点分段法. 特别用于多个绝对值的和或差不等式问题. 若单个绝对值的不等式常用以下结论：| f (x) | g (x)g( x) f (x)g( x) ；| f ( x) | g (x) f ( x) g ( x)或 f ( x)g( x) ；| f (x) | | g( x) | f 2 ( x) g 2 ( x)( f ( x) g (x))( f ( x) g( x))0 .有时去绝对值也可依据| x |2x2往来绝对值.例 16. 14在实数范围内，不等式|| x 2 |1| 1的解集为.解析由于 || x 2 |1| 1 ，即 1 | x 2 | 1 1 ，即 | x2| 2，所以2 x 2 2 ，所以 0 x 4.所以不等式的解集为[0, 4] .变式 1不等式| x5| | x 3| 10 的解集是（）A.[ 5,7]B.[ 4,6]C.( , 5] U[7,)D.( , 4] U[6,)变式 2已知函数 f ( x) | x 2 | | x5| .（ 1）证明： 3 f (x) 3；（ 2）求不等式 f ( x) x28x15 的解集.二、含绝对值不等式恒建立，求参数问题例 16. 15（2012辽宁理24）已知 f ( x) | ax 1| (a R ) ,不等式 f ( x) 3 的解集为x | 2 x 1 .(1)求 a 的值；(2)若 | f (x)2f ( x) |k 恒建立，求 k 的取值范围. 2分析（ 1）由| ax1| 3 得4ax 2 ，又f (x) 3 的解集为x | 2 x 1 ，所以当a 0时，不合题意.当 a0 时，42得 a 2 . axa1, x1(2) 记h( x) f (x) 2 f ( x) ，则 h( x)4x3,1x 1 ，2121, x2所以 | h(x) | 1 ，所以k 1 ，即 k 的取值范围是[1,) .变式 1（ 2012 新课标理24）已知函数f (x)| x a || x 2 | .（ 1）当a 3 时，求不等式 f ( x)3的解集；（ 2）若f(x)| x 4 | 的解集包括[1,2]，求 a 的取值范围.变式 2(2013 重庆理 16)若对于实数 x 的不等式 | x 5 || x3| a 无解，则实数 a 的取值范围是.变式 3(2013 全国新课标 I理 24)已知函数 f ( x)| 2x1|| 2x a |, g( x) x 3 . (1)当 a 2 时，求不等式 f (x)g( x) 的解集；(2)设 a 1 ，且当 x[a1g( x) ，求 a 的取值范围. ,) 时， f ( x)22三、含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题例 16. 16 若对于 x 的不等式 | a | | x 1| | x 2 | 存在实数解，则实数a 的取值范围是.分析不等式 | a | | x 1|| x 2 |有解，则 | a | (| x 1| | x 2 |)min 3 ，故实数 a 的取值范围是 ( , 3] U[3,) .变式 1 (2012 陕西理 15) 若存在实数 x 使 | xa | | x 1| 3 建立，则实数 a 的取值范围是.变式 2已知 aR ，对于 x 的方程 x 2x | a 1 | | a | 0 有实根，求 a 的取值范围 .4四、已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围例 16. 17 （ 2013 福建理 23）设不等式 | x2 | a(a N )的解集为 A ，且3 A, 1A .2 2(1)求 a 的值；(2) 求函数 f ( x) | x a | | x 2 |的最小值 .剖析 先依据不等式的状况求出字母取值，在利用不等式求解最值 .分析（1）由于3A, 且 1 A ，所以 |32 | a ，且 |12 | a ，解得 1 a3 . 又2 22 22 2a N ，所以 a 1 .(2)因 为 | x 1| | x 2 ||( x 1) ( x 2) | 3 ， 当 且 仅当 ( x 1)(x 2) 0 ， 即1 x2 时取等号，所以 f ( x) 的最小值为3 .变式 1 设函数 f ( x) | x a | 3x ，此中 a 0 .(1)当 a 1 时，求不等式f ( x) 3x 2的解集；(2) 若不等式 f ( x) 0 的解集为x | x 1 ，求 a 的值 .变式 2 (2013 辽宁理 24) 已知函数 f ( x) | xa |，此中 a 1 .(1) 当 a2时，求不等式 f ( x) 4 | x4 | 的解集；(2) 已知对于 x 的不等式 | f (2 x a) 2 f ( x) | 2 的解集为 x |1 x 2 ，求 a 的值 .变式 3(2012 山东理 13)若不等式 | kx 4 | 2 的解集为 x |1 x3 ，则实数 k =.题型 202 不等式的证明一、比较法（差值法和比值法） 思路提示将待比较的两个代数式经过作差或作商，与0 与 1进行比较，获得大小关系 .例 16. 18已知 a, b, m 均为正实数，且ab ，求证：am a .比较am与 a的大小可经过作差法 .b mb剖析b mb分析a m a b(am) a(b m) bm am (b a) m . 由于 a,b, m R ，bmbb(b m) b(b m)b(b m)ab ，所以 b a 0 , m0 , b m 0 . 故ama (b a)m 0 . 所以am a .bm b b(b m)b m b评注 作差比较的基本步骤为： （ 1）作差 . （ 2）变形 . （ 3）判断符号 .变式 1 已知 a, b, R ，且 a b , nN .求证： (a b)(a nb n ) 2( a n 1 b n 1 ) .二、利用函数的单一性证明 思路提示使用对象 ：在某区间建立的函数不等式、数值不等式的证明往常是经过协助函数达成的.解题程序 ：（ 1）移项（有时需要作简单的恒等变形） ，使不等式一端为 0 ，另一端为所作协助函数 f ( x) .（ 2）求 f ( x) 并考证 f (x) 在指定区间上的单一性 .（ 3）求出区间端点的函数值（或极限值） ，此中起码有一个为 0 或已知符号，作比较即得所证 .例 16. 19 已知 0 x 1，求证： x sin x1 x 3 .60 ，另一端为所作的协助函数，剖析 属于在某区间上建立的不等式，经过移项使得一端为 利用函数的单一性证明 .分析 原不等式等价于 sin x x1 x 30(0 x 1) .令 f ( x) sin x x1x 3 (0 61 1 x 22sin 2x1 x2 .x 1) ， f ( x) cos x62 2 2令 g( x) 故 g( x)sinxx.sin x x (0 x 1) ，则 g ( x) 1 cos x1 0 ，2 2 2 2 2 sin xx在 [0,1) 上是减函数，所以当 0 x 1 时， g(x) g(0) 0 ，故2 2 故 f ( x)x ) 2 x 22( 0 ，所以 f (x) 在 [0,1) 上是增函数 .又 f (0)0 ，所以当0 x1时， f (x) 0建立.于是x sin x1x3建立.6变式 1证明：当 0x时，2xsin x x .2三、综合法与剖析法思路提示字母 A, A1 , A2 ,L , A n , B 分别表示一组不等式，此中B为已知不等式，A为待证不等式.如有 A A1A2L A n B ，综合法是由B行进式地推导 A ，剖析法是由 A 倒退式地剖析到 B .用剖析法时，一定步步可逆.1.综合法（由因到果）例 16. 20证明：2367 .分析观察到2 3 与67是负数，被开方数分别为 2,3,6,7，明显知足23671，这样能够考虑将分子有理化 .分析231，671，11，23672367故11，即2367 . 2367评注近似的问题能够总结为m m1m1m 2 d的形式或许更宽泛的形式m m1m k m k1(k N ) .变式 1设 f (x)1x2 (a b) ，求证：| f (a) f (b) | | a b | .2.剖析法（由果索因）例 16. 21设 a1 , a2 ,b1, b2R，求证：(a1b1 )(a2 b2 )a1a2bb1 2.剖析利用剖析法将证明的不等式进行恒等变形，进而探访证明的打破口.分析要证明(a1b1 )( a2b2 )a1a2bb1 2，只需证(a1b1 )(a2b2 )a1a2bb122a1a2bb1 2，即证 a b a b2 a a bb .12211212由于 a, a , b ,b R，所以 a ba b2 a a bb .1 22 11 212故原不等式建立 .评注 在证明不等式时，常常用剖析法探访证明思路，再用综合法表述证明过程，有些不等式的证明需要一边剖析，一边综合，在使用剖析法证明时，要注意剖析过程步步可逆.变式 1若 ab c ，且 a b c0 ，求证：b 2aca 3 .四、反证法 思路提示从否认结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原结论是正确的 . 它的依照是原命题与逆否命题同真假 .例 16. 22已知 a, b, c 为不小于 1的正数，求证： a(1 c),b(1 a), c(1 b) 不行能同时大于1 . 4剖析假定三式都大于1 ，经过推理，导出矛盾，证明结论的否认是错误的，进而一定原4结论的正确性 .分析假定三式都大于1 ，即 a(1 c) 1, b(1 a)1, c(1 b) 1，444 4有1a(1 c) a 1 c①22同理1b(1 a)b 1 a ②221 c(1 b) c 1 b③22三式相加得33 ，矛盾，故原命题建立 .2 2评注 对于从正面证明不易着手， 但从反面证明相对简单的命题，利用反证法解题会很方便 .这也表现了数学中“正难则反”的思想.变式 1已知 a,b,R ， a 3 b 32 ,求证： a b 2 .五、放缩法 思路提示预证 AB ，可经过适合放大或减小，借助一个或多此中间量，使得B B 1 , B 1 B 2 ,L , B KA 或 AA 1, A 1A 2 ,L , A KB ，再利用传达性， 达到证明目的，常有的放缩门路有“添舍”放缩、 “分母”放缩和“单一”放缩.例 16. 23 已知正数 a, b, c 知足 ab c1，求证： 6a 16b 16c 1 6 .剖析 采纳“添项”放缩法22同理 6b 1 3b 1 ②6c 1 3c1③① +② +③得 6a16b 1 6c 13(a bc) 3 6 .评注 放缩法的主要依照是不等式的传达性，往常，若所证不等式两边形式差别较大，则应试虑用放缩法 . 此题也可用柯西不等式证明：( 6a1 6b 16c 1)23(6a 1 6b 1 6c 1) 27 36 ，所以 6a 16b 16c 1 6 .变式 1证明： n n (n 1)n 1( n 2, n N ) .例 16. 24 求证： 1b c da2(, , , R ) .a b c b c d c d a d a ba b c d剖析 采纳“分母”放缩法证明 .分析由题意， a,b, c, dR ，则b cd a a b c d1，a b c b c d c d a d a b a b c db c da b cda.2a b c b c d c d a d a b a b c d c d a b所以原不等式建立 .例 16. 25 设 a,b, c, mR ，且知足 a mb mc m ，问 m 取何值时，以 a,b,c 为边可组成三角形，并判断该三角形的形状 .分析由幂函数性质可知a b ，a c ，要组成三角形， 只需 b c a ，故 (b c)m a m ，即证明 (b c)m b m c m ，只需证明 1( b )m ( c ) m ，b c b c即 (b)m ( c ) mb bcb c . ①b cb cc由 m0 ，且b b , c(0,1) ，c b c由指数函数 y a x (0 a 1) 单一递减可知，要使得式①建立，只需m 1.所以可知，要 bc a建立 . 只需 m 1建立 .当 m2 时， a 2 b 2 c 2 ，三角形为直角三角形；当 1 m 2 时， a 2a m a 2 m(b m c m ) a 2 mb m a 2 mc m a 2 mb bc c 22精选文档即 a 2b2c 2 ，此时三角形为钝角三角形；当 m 2 时， a 2a m a 2 m(b m c m ) a 2 mb m a 2 mc m a 2 mb m b 2 mc m c 2 mb 2c 2即 a 2b 2c 2 ，此时三角形为锐角三角形 .六、三角换元法 思路提示2 若 x 2y 21， x2y1等为已知条件，求证不等式时，利用三角换元法较简单，2可是务必注意换元前后参数的范围变化.例 16. 26设实数 a, b, x, y 知足 a 2b 2 1 ， x 2 y 23 ，求证： ax by3 .剖析 由 a 2 b 2 223联想到三角换元 .1 ， x y分析令 acos , b sin([0,2 )) ， x3 cos , y3 sin ([0,2 )) ，ax bycos 3 cos sin3sin3 cos( )3 .当0 ，即时， ax by 获得最大值3，证毕.评注 三角换元在不等式证明以及求函数的最值、 分析几何中参数的范围及最值方面有着极大的作用，常常可化难为易 .变式 1设 x, y R ， x2y21，求证： |x y| 5.3 412七、结构法 思路提示一般说来，用结构法证明不等式，常有的结构方法以下：（ 1）结构协助函数 . （ 2）结构协助数列 .（ 3）结构几何图形 .例 16. 27 设 x, yR ， b 0 ，若 0 a1 ，求证： b b2 1 .结构一次函数证明 .ba1剖析分析0 a1 即 a (0, 1) . 若视 a 为未知数，并用 x 取代，即证明x (0, 1) 时，b b b(b b 2 )( x 1)1 . 即证 (b b2 )( x 1) 1 0 .设 f (x)(b b 2 )( x 1) 1 (b b 2 )x b b 2 1 ,精选文档即证 x1(0, ) 时， f ( x) 0 .b1而 f (x) 是对于 x 的一次函数，且f (0)b b 21(b 2b 1) 0 ， f ( )b 2 0 ，(0, 1) 时， f ( x)b所以当 x0 建立，进而原不等式建立 .b1 bb，b评注此题也可利用以下解法： a (0, 1) ，( ,1) ，即证 b b 2b0 ，ba1 b 11即证 1 b1，即 1 b21，由 b20 ，得 1 b21，故 b b2b建立 .b 1ab cb 1例 16. 28已知 a,b, c 为三角形的三边长，求证：.1 a1b 1 c分 析不等式左右两边的 3个式子拥有同样的结构形式x ，故考虑结构函数x1f ( x)x .1 x x1+x x1分析f ( x)( xR ) ， f ( x)0 ，说明函数 122x（1 x ） （1 x ）单一递加，又 a,b, c 为三角形的三边长，故 a b c ，则ab c b c b c .1 a 1 b c 1 b c 1 b c 1 b 1 c变式 1证明：| a b | | a ||b | .1 | a b | 1 | a | 1 | b |变式 2已知 x0 且 x 1 ， m n 0 ，求证： x m1 x n1x mx n.例 16. 29 证明：当 x 1 且 x 0 时，有 (1 x)n 1 nx(n N ) .剖析 此题经过结构协助数列证明 .分析结构数列 a n1nx ，由于 a n 1an1 (n 1)x 1 nx(1(1 x) n(1 x) n 1 (1 x)n以数列 { a n } 为单一递减数列 . 所以 1 nxa 1 1 ，即 (1 x)n1 nx(n(1 x)n评注此题将 x 看作参数结构协助数列 { a n } ，判断数列的单一性进而证明结论例 16. 30 设 a,b,c R ，求证：a 2b 2 b 2c 2 a 2 c 22( a 剖析 依据已知式的形式特色联想勾股定理，结构几何图形证明 .分析如图 16-34 所示，结构正方形ABCD ，f ( x) 在 R 上nx 2 0 ，所x)n 1N ) ..b c) .D CacCCb c c2B C1bbA a A1 b B1c B图 16-34设 AA1a, A1B1b, B1B c ， BC1 b, C1C 2c, CC2 a,则|AB |a2b2 ,| B C |b2c2 ,| CC |a2c2，则a2b2b2c2a2c2|AC|2( a b c) .变式 1设 x, y R ，求证：x23x 3y2 3 y 3x23xy y2 6 .八、利用柯西不等式证明不等式思路提示柯西不等式不单拥有优美的代数表现形式及向量表现形式，并且有明显的几何意义，它与基本不等式拥有亲密的关系，其作用近似于基本不等式可用来求最大（小）值或证明不等式，可是它的特色更明显应用更直接.1. 二维形式的柯西不等式设 x1 , x2 , y1, y2R ， (x12y12 )( x22y22 )( x1x2 y1 y2 ) 2. 等号建立x1 y2 x2 y1.证明设 a ( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，由a b| a || b | cos a,b，得 cos a,b a b ，| a || b |又 | cos a,b | 1，即| ab |1， | a b | | a || b |，故 (x1x2y1 y2 )2( x12y12 )( x22y22 ) | a || b |等号建立刻 x1 y2x2 y1.2.一般形式的柯西不等式设 a1, a2 ,L , a n及 b1 ,b2 ,L ,b n为随意实数，则 (a1b1a2b2L a n b n )2(a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) ，当且仅当a1a2Lan（规定 a i0 时 bi0 ， i 1,2,L , n ）时等号建立. b1b2b n证法一：当 a i全为0时，命题明显建立.na i20 ，考察对于 x 的二次函数 f ( x)nb i )2，明显 f (x)0恒建立.不然(a i xi 1i 1n n n n注意到 f ( x)(a i2 ) x22(a i b i ) x b i2，而 f ( x)0 恒建立，且a i20，i1i1i1i 1n n n故 f (x) 的鉴别式不大于零，即4(a i b i )24a i2b i20 ，i 1i 1i 1na i2nb i2na ib i ) 2.整理后得(i 1i 1i 1证法二：向量的内积证法 .令 a(a1 , a2 ,L, a n ) ， b(b1, b2 ,L , b n ) ，为 a 与b的夹角.由于 a b| a || b | cos a,b，且 | cos a,b| 1 ，所以 | a b || a || b || cos a,b || a || b || a b |2 |a |2| b |2，即 (a1b1a2b2 L a n b n )2( a12a22L a n2 )(b12b22L b n2 ) ，等号建立0或 180a,b 平行a1a2La n. b1b2b n柯西不等式提示了随意两组实数积之和的平方与平方和之间的关系，应用它能够简单地证明很多复杂的不等式，下边举例说明.例 16. 31已知函数 f ( x)m| x 2 |,m R ，且 f ( x2)0的解集为 [1,1].①求 m 的值；②若 a, b, c R111m ，求证： a2b3c9 .，且2b3ca分析①由于 f ( x2)m| x | ， f (x 2)0等价于 | x | m .由 | x |m 有解，得m0 ，且其解集为 { x |m x m} .又 f (x2)0的解集为 [1,1]，故 m1.②由①知111 1 ，又a, b, c R，a2b3c3c)(11 1 )由柯西不等式得a2b3c(a2ba2b3c ( a12b13c 1 )29 .变式 1已知 a b c 1， a0, b 0, c 0 ，求证： 3a13b13c1 32 .变式 2已知 a 0, b 0, c 0 ， a cos 2b sin 2c .求证：a cos 2b sin 2c .例 16. 32设实数 a, b, c 知足 a 22b 2 3c 23 ，求证： 3 a 9 b 27 c 1.2分析由柯西不等式，(a2b 3c) 2[12 ( 2) 2 +( 3) 2 ][ a 2 ( 2b)2 ( 3c)2 ] 9 .所以 a2b 3c3，所以 3 a9 b 27 c33 3 (a 2b 3c)33331 .评注有些证明不等式的题，表面上看与柯西不等式没关，但是经过对原不等式作适合的变形改造后却能够应用柯西不等式加以解决， 自然详细怎样变形改造是重点，也是难点， 这常常需要经过察看、直觉、猜想、推理等.变式 1已知 nN , 且 n111 1 1 L1 122 ，求证：23 42n 12n.72变式 2已知正实数 a, b, c 知足 abc1，求证：11 1 3 .a 3 (b c) b 3 (c a) c 3 (a b) 2最有效训练题 61( 限时 45 分钟 )1. 不等式 | 2x 1| 2 3x 的解集是（）A.x | x 1 B.x |1x3 C. x | x3 D. x | x32 25552. 设 a, b, c (,0) ，则 a1 , b 1, c 1 （ ）b c aA. 都不大于 2B.都不小于 2 C. 起码有一个不大于2 D. 起码有一个不小于23. 若 P aa7 ， Qa 3a 4( a0) ，则 P, Q 的大小关系是（）A.PQB.PQ C. P Q D. 由 a 的取值决定4. 用数学概括法证明某不等式，左侧1 1 11 L1 1 1 ，“从 n k 到 nk1”应将左侧加上（2 3 42n 2n）A.1 B.1 1 C.1 D.112k 22k 1 2k 2k 1 2k 1 2k 4f ( x) 2 x 3 1 x 的最大值为（A. 512131352 B. C. D.2 136. 若正数a,b知足ab a b3 ，则① ab 的取值范围是；② a b 的取值范围是.7.在实数范围内，不等式| 2x1|| 2x 1| 6的解集为.8.若存在实数 x 使 | x a || x1| 3 建立，则实数 a 的取值范围是.9.已知 a 0, b 0, c0 ,a ba b cc .求证：a 1 b.1 1 c10. 已知函数 f (x) | x a | | x 2 | .(1)当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3的解集；(2)若 f ( x) | x 4 |的解集包括1,2 ，求a的取值范围.11. 已知函数f ( x) m| x 2 |, m R ，且 f (x2)0 的解集为 [ 1,1].①求 m 的值；②若 a, b, c R1112b3c 9 .，且2bm ，求证： aa3c12. 已知函数f (x)x3( x1).设数列a n知足a11， a n 1 f (a n ) ，数列b n满x1足 b n | a n 3 | ，S n b1b2L b n ( n N ) .（1）用数学概括法证明：(31)nb n2n1；23（2）证明：S n.3。
高中数学《不等式选讲》期末考知识点一、141．已知集合{|||2}A x x =≥，2{|30}B x x x =->，则A B =I ( ) A ．∅B ．{|3x x >或2}x ?C ．{|3x x >或0}x <D ．{|3x x >或0}x <【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】∵A ＝{x |x ≤﹣2，或x ≥2}，B ＝{x |x ＜0，或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |x ≤﹣2，或x ＞3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若函数()(0)1af x ax a x =+>-在(1,)+∞上的最小值为15，函数()1=+++g x x a x ,则函数()g x 的最小值为（ ）.A ．2B ．6C ．4D ．1【答案】C 【解析】 【分析】当1x >，0a >时，由基本不等式可得()3≥f x a ，又()f x 最小值为15，可得出5a =，再由绝对值三角不等式()()()g =5151=4+++≥+-+x x x x x ，即可得出结果. 【详解】当1x >，0a >时，()()111=+=+-+--a a f x ax a x a x x≥a 3=a ，当且仅当2x =时等号成立，由题可得315a =，即5a =，所以()1=+++g x x a x ()()=5151=4+++≥+-+x x x x ，当且仅当()()510++≤x x 即51x -≤≤-时等号成立，所以函数()g x 的最小值为4.故选：C 【点睛】本题主要考查基本不等式：)0,0a b ab +?>，当且仅当a b =时等号成立，绝对值的三角不等式： +≥-a b a b ，当且仅当0ab ≤时等号成立.3．已知f (x )＝|x ＋2|＋|x －4|的最小值为n ，则二项式1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中x 2项的系数为( ) A ．11 B ．20 C ．15 D ．16 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用绝对值三角不等式求得n=6，在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中x 2项的系数． 【详解】∵f （x ）=|x+2|+|x ﹣4|≥|（x+2）﹣（x ﹣4）|=6，故函数的最小值为6， 再根据函数的最小值为n ，∴n=6． 则二项式（x ﹣1x ）n =（x ﹣1x）6 展开式中的通项公式为 T r+1=6rC •（﹣1）r •x 6﹣2r ， 令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x 2项的系为26C =15， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数，属于中档题．4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+-24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．设n *∈N） A>BC=D ．不能确定【答案】B 【解析】 【分析】把两个代数式进行分子有理化，比较分母的大小可以比较出大小关系． 【详解】22-===.22-===.*n N ∈42,31n n n n +>++>+>>><<成立，因此本题选B ． 【点睛】对于二次根式的加減运算，分母有理化是常见的运算要求，但是有时分子有理化会起到意想不到的作用，尤其是在比较二个二次根式减法算式之间的大小关系时，经常会用到分子有理化这个方法．当然不等式的性质也是很重要的．6．已知2(3)f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是( ) A ．33()()f x f a a -≤+ B ．24()()f x f a a -≤+ C ．()()5f x f a a -≤+ D ．2|()()2|(1)f x f a a -≤+【答案】B 【解析】 【分析】先令a=0,排除A ，C,D,再利用绝对值三角不等式证明选项B 成立 【详解】令a=0，则1x ≤，即-1≤x≤1,()()()()()0?f x f a f x f f x -=-=≤4,此时A,C,D 不成立，下面证明选项B 成立()()22 33f x f a x x a a -=+--=()() 3x a x a -++≤()()3x a x a -++≤()3x a ++=23x a a -++≤23x a a -++≤24a +故选：B ． 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式的应用，特值法，结合二次函数最值分析问题，准确推理计算是关键，是基础题．7．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.8．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C 【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…；②a b a b -<+；③2(0)b aab a b+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③，a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.11．若关于x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a 2-2a-1在R 上的解集为⌀,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞,-1)∪(3,+∞) B ．(-∞,0)∪(3,+∞)C ．(-1,3)D ．[-1,3]【答案】C 【解析】 【分析】表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，再由，解得的取值范围.【详解】表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，由题意的解集为空集， 可得恒成立，所以有，整理得，解得，所以的范围是， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集为求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意对不等式的转化，对应恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.12．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.13．不等式230x x -<的解集为（ ）A ．{}03x x << B ．{}3003x x x -<<<<或C ．{}30x x -<<D ．{}33x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】将不等式表示为230x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集. 【详解】将原不等式表示为230x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<.因此，不等式230x x -<的解集为{}3003x x x -<<<<或，故选：B.【点睛】本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.14．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=u u u r u u u r，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（ ）A 1- BC 1 D【答案】C 【解析】 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤+=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d ≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.15．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2211a a a a+≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则11a ba b>++；(4)若1a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】 对（1），2221111()()20a a a a a a a a +≥+⇔+-+-≥，∴12a a +≥或11a a+≤-， ∵12a a +≥或12a a+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确； 对（3），令1,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b>++不成立，故（3）错误；对（4），∵1a b +=，∴222222(1)231111a b b b b a b b b b+-+++=+=+-+-，当1b >时，2301b b +<-，∴2221a b a b +++的最小值为4）错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.16．若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则αβ-的值（ ） A ．与m 有关，且与n 有关 B ．与m 有关，但与n 无关 C ．与m 无关，且与n 无关 D ．与m 无关，但与n 有关【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先解出不等式2x m n -<的解集，再根据解集求出αβ-的值，即可判断其与,m n 之间的关系.【详解】2222m n m nx m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<Q ,22m n m nαβ∴-+==22m n m nn αβ-+-∴==-- 因此，αβ-的值与m 无关，但与n 有关.故选：D.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，形式如(0)x m a a -<> 的绝对值不等式，可以转化为a x m a -<-< 的简单不等式进行求解.17．已知()12?f x x x =-++,若关于x 的不等式()22f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-1,3) B ．(1,1) C ．(1,3) D ．(-3,1)【答案】A 【解析】 【分析】首先求得()f x 的最小值，然后将原问题转化为求解二次不等式的问题即可. 【详解】因为()()12123x x x x -++≥--+=,所以函数()f x 的最小值为3. 要使不等式()22f x a a >-对于任意的x ∈R 恒成立,只需223a a -<,即()()130a a +-<,解得13a -<<. 故a 的取值范围为(1,3)-. 本题选择A 选项. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ； (2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .18．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-【答案】B 【解析】 【分析】计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.19．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( )A ．65B ．635 C ．3635 D ．6【答案】C【解析】【分析】由题意结合柯西不等式的结论求解x 2+y 2+z 2的最小值即可.【详解】由柯西不等式,得：x 2+y 2+z 2=(12+32+52)(x 2+y 2+z 22221)135++ ≥(1×x+3×y+5×z )2135⨯=26136.3535⨯= 当且仅当x 6186,,35357y z ===时等号成立. 即x 2+y 2+z 2的最小值为3635. 本题选择C 选项.【点睛】根据题目特征，想到利用向量方法或利用柯西不等式想法比较自然.利用柯西不等式代数形式及其向量形式解题的方法是一致的.选择哪种方法进行解题，可能会因解题者的知识解构、思维特征及对问题与方法的熟悉程度做出选择.20．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．RB ．{}|,0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅ 【答案】B【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
高中数学《不等式选讲》知识点归纳一、141．若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则αβ-的值（ ） A ．与m 有关，且与n 有关 B ．与m 有关，但与n 无关 C ．与m 无关，且与n 无关 D ．与m 无关，但与n 有关【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先解出不等式2x m n -<的解集，再根据解集求出αβ-的值，即可判断其与,m n 之间的关系.【详解】2222m n m nx m n n x m n x -+-<⇒-<-<⇒<<Q ,22m n m nαβ∴-+==22m n m nn αβ-+-∴==-- 因此，αβ-的值与m 无关，但与n 有关.故选：D. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，形式如(0)x m a a -<> 的绝对值不等式，可以转化为a x m a -<-< 的简单不等式进行求解.2．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+-24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.4．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞ B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A 【解析】 【分析】利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案. 【详解】由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >， 即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A. 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6．设集合{}|22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B I 等于 A ．R B ．{}|,0x x R x ∈≠ C ．{}0D ．∅【答案】B 【解析】解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){}0R R C A B C ⋂=，故选B 。
