【全国百强校】湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试数学（理）试题

黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试理科综合试题注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．可能用到的相对原子质量：H-1 O-16 Na-23 S-32 Fe-56 Cu-64第I卷一、选择题(本题共13个小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．下列关于细胞结构和功能的叙述，正确的是（）A．洋葱根尖细胞分裂过程中周期性变化的结构有染色体和中心体B．动物细胞和植物细胞系统的边界分别是细胞膜和细胞壁C．植物细胞的细胞质与细胞核通过胞间连丝实现信息交流D．细胞膜具有选择透过性，其骨架磷脂双分子层没有特异性2．在人体内均是由某些细胞合成分泌并能使其他细胞生理活动发生变化的一组物质是（）A．乙酰胆碱淋巴因子B．ATP 乳糖C．血红蛋白抗体蛋白D．溶菌酶DNA聚合酶3．哺乳动物的某基因在细胞中表达时，由于mRNA中某碱基C通过一种生理代谢发生了替换，使密码子CAA变成了终止密码子UAA，最终合成的多肽链变短，出现异常蛋白质。

据图分析下列说法正确的是（）A．过程①中需要RNA聚合酶和原料脱氧核苷酸的参与B．过程②中由于密码子的简并性，所以一种tRNA可转运多个氨基酸C．该蛋白质结构异常的根本原因是基因突变D．上述生理代谢没有改变该mRNA中嘧啶碱基的比例4．下列关于细胞生命历程的描述，不正确的是（）A．细胞癌变受基因控制，癌细胞的表面发生了变化B．人的成熟红细胞没有细胞核，其凋亡速率较白细胞快C．人的神经元中同时具有控制合成神经递质、胰岛素及血浆蛋白的基因D．自由基学说认为自由基会攻击蛋白质，使蛋白质活性下降，致使细胞衰老5．将生长正常的水稻幼苗叶片进行A、B两种处理（A处理：不同浓度的IAA溶液处理；不加乙烯。

B处理：在不同浓度的IAA溶液中分别加适宜浓度的乙烯），3h后测定叶片细胞膜对镁离子的通透性，结果如右图。

黄冈市2018-2018学年高三数学月考试卷一．填空题（每小题4分，共48分）：1．复数2(2)(1)12i i i+--的值是＿＿＿＿＿。

2．函数23log )(x x f =在其定义域上单调递减，且值域为]4,2[，则它的反函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

3．已知53)4cos(=+x π, 则x 2sin 的值为 。

4．已知10张奖券中只有3张有奖，5个人购买(每人买一张)，至少有1人中奖的概率是＿＿＿＿＿＿。

5．点)3,0(F 是双曲线8822=-ky kx 的一个焦点，则=k ＿＿＿＿＿＿＿。

6．设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点．则点M 的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

7．若方程14222=-++my m x 表示椭圆，则m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。

8．已知x f x x b x a x ⋅==-=∈)(),2cos ,sin 2(),1,cos (],2,0[则π的最大值是＿＿＿＿＿＿＿。

9．经过点(―7, ―62), (27, ―3)的双曲线的标准方程＿＿＿＿＿＿＿＿。

10．已知等差数列{a n }的通项公式a n = 2n +1，其前n 项和为S n ，则数列{nS n}的前10项和为＿＿＿＿＿＿＿。

11．设a ，b 都是实数，给出下列条件：①1>+b a ；②2=+b a ；③2>+b a ；④222>+b a ；⑤1>ab ．其中能推出“a ，b 中至少有一个数大于1”的条件是 ．（请你把正确的序号都填上）12．定义一种运算“﹡”对于正整数满足以下运算性质：（1）2﹡2018 = 1；（2）(2n + 2)﹡2018 = 3×[ (2n )﹡2018]，则3log (2018﹡2018)＝______。

二．选择题（每小题4分，共16分）：13．设函数4)2(,),1,0()(=≠>=-f a a a x f x，则（ ） A ．)1()2(->-f f B ．)2()1(->-f f C ．)2()1(f f > D ．)2()2(f f >- 14．在等差数列{}n a 中，满足7473a a =, 且01>a ，若n S 取得最大值，则=n （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．915．与两圆422=+y x 及1)5(22=+-y x 都相外切的动圆圆心的轨迹是 （ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线一支 D ．抛物线16．设θ是第二象限的角，则必有 （ ）2cos2sin.D 2cos2sin.C 2cot2tanB 2cot2tan.θθθθθθθθ<><⋅>A三．解答题：17．（本题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（1）求x x cos sin -的值； （2）求223sin 2sin cos cos 2222cot tan x x x x x x-++的值.18．（本题满分12分）已知椭圆C ：116422=+y x （理）已知点)sin 4,cos 2(ααA 在椭圆C 上运动，B 点在x 轴上滑动，且|AB |=4。

湖北省黄冈中学2018届高三五月模拟考试数学（理工类）本试题卷共6页，共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,4}，N ＝{2,3}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N ) 2．已知ss p ：,x R $?使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ）A ．,x R $?使1sin 2x x =成立B ．,x R "?1sin 2x x <均成立C ．,x R $?使1sin 2x x ³成立D ．,x R "?1sin 2x x ³均成立3．由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．7124．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n 边形*(3,)n n N ≥∈内的概率为n P下列论断正确的是（ ）A ．随着n 的增大，n P 增大B ．随着n 的增大，n P 减小C ．随着n 的增大，n P 先增大后减小D ．随着n 的增大，nP 先减小后增大5．为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n 个单位长度（m ，n 均为正数），则||m n -的最小值是（ ）A ．43πB ．23π C ．3π D ．2π 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*,(,n m n mS S m n N m n==∈且)m n ≠，则下列各值中可以为n m S +的值的是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知变量,x y 满足不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y z =+的最小值为( )A ． 52B ．2 C． D．8．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8．则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 0个B ． 1个C ． 2个D ． 3个9．在等腰梯形ABCD 中，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形AEFD 沿直线EF 折起后所在的平面记为α，P α∈，设,PB PC 与α所成的角分别为1212,(,θθθθ均不为0)．若12θθ=，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线10．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个ss 正确的是（ ）A ．2sin 22cos ααα=B ．2cos 22sin ααα=C ．2sin 22sin βββ=-D ．2cos 22sin βββ=-二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题）11．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示. 若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为12．设(1,1,2),(,,)a b x y z =-=，若22216x y z ++=， 则a b ⋅的最大值为 ．13．过抛物线2:2C x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段AF = ． 14．已知数列A ：123,,,,n a a a a *(3)n n N ≥∈，中，令{}*|,1,,A i j T x x a a i j n i j N ==+≤<≤∈，()A card T 表示集合A T 中元素的个数．（1）若:1,3,5,7,9A ，则()A card T = ；（2）若1i i a a c +-=（c 为常数，且0c ≠，11i n ≤≤-）则()A card T = ．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分.）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ， 弦CD AB ⊥于点E ，已知圆O 的半径为3，2PA =，则CE =______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程）已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为3cos ,(13sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩为参数），以ox 为极轴建立极 坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()0.6πρθ+=则圆C 截直线l 所得的弦长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，21,,3AC ABC BAC x π=∠=∠=，记()f x AB BC =⋅． （1）求()f x 解析式并标出其定义域；（2）设()6()1g x mf x =+，若()g x 的值域为3(1,]2，求实数m 的值．18．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，把它们编号，利用随机数表法抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(5,15],(15,25],(25,35]，(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图，如图所示． （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(5,15]内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和期望．19．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示（转下页），其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形， （1）求证：BN 11C B N ⊥平面；（2）设θ为直线1C N 与平面1CNB 所成的角，求sin θ的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上求一点P ，使MP //平面CNB 1 ，求BPPC的值．8正视图侧视图俯视图（第19题图） （第20题图）20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，当2k =时， 23S =； 当3k =时，34S =． （1）试求数列{}n a 的通项；（2）设若[]x 表示不大于x 的最大整数（如[2.10]2,[0.9]0==）， 求22222[log 1][log 2][log 3][log (21)][log (2)]nna a T =+++-+关于n 的表达AN11式．21． (本小题满分13分)已知,A B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左,右顶点，B (2,0)，过椭圆C 的右焦点F 的直线交椭圆于点M ,N , 交直线4x =于点P ，且直线PA ，PF ，PB 的斜率成等差数列． （1）求椭圆C 的方程；求12S S（2）若记,AMB ANB ∆∆的面积分别为12,S S 的取值范围．22．（本小题满分14分）设()x g x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<． （1）求函数()f x 的最值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式()11g x a x--<成立； （3）设120,0λλ>>，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．届湖北省黄冈中学五月模拟试题1．【答案】D 2． 【答案】D【解析】原ss 为特称ss ，故其否定为全称ss ，即:p ⌝,sin 2xx x ∀∈≥R ． 3．【答案】A【解析】12334100111()()()|3412S x x d x x x =-=-=⎰ 4．【答案】A【解析】22122sin sin22n nr n n n P r ππππ==,设()2sin f x x x π=,可知 ()222'sin cosf x x x x πππ=-,可[3,4]x ∈时()222'sin cos 0f x x x xπππ=->,当 (4,)x ∈+∞时, ()222'costan 0f x xx x πππ⎛⎫=->⎪⎝⎭,故n P 在*3()n n N ≥∈时单调递增.5．【答案】B【解析】由条件可得121252,2(,)33m k n k k k N ππππ=+=+∈，则124|||2()|3m n k k ππ-=--，易知121k k -=时min 2||3m n π-=6．【答案】D【解析】由已知，设2n S An Bn =+，则22()1()1n m n S An Bn An B m m mAm B n S Am Bm n ⎧=+=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=+=⎪⎩两式相减得，()0B m n -=，故10,B A mn==。

湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =3sin(32π+x )的周期、振幅依次是 A.4π，3 B.4π，-3 C.π，3 D.π，-3 2.A ，B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且|PA |=|PB |，若直线PA 的方程为x -y +1=0，则直线PB 的方程为A.2x -y -1=0B.x +y -5=0C.2x +y -7=0D.2y -x -4=03.已知集合A ={1，2，3}，B ={-1，0，1}，满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射f :A →B 的个数是A.2B.4C.6D.7 4.若直线a ⊥b ，且a ∥平面α，则直线b 与平面α的位置关系是 A.b ⊂α B.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能5.函数y =|tg x |·cos x (0≤x ＜23π，且x ≠2π)的图象是6.(理)在极坐标系中，圆锥曲线ρsin 2θ=4cos θ绕极点逆时针旋转2π所得曲线的极坐标方程是A.ρcos 2θ=4sin θB.ρcos 2θ=-4sin θC.ρcos 2θ=8sin θD.ρsin 2θ=-4cos θ(文)直线x +7y =10把圆x 2+y 2=4分成两段弧，则这两段弧长之差的绝对值为A.πB.32π C. 2πD.2π 7.已知奇函数f (x )，g (x )，f (x )＞0的解集为（a 2，b )，g (x )＞0的解集为（2,22ba )，则f (x )g (x )＞0的解集是A.（2,22ba ) B.(-b 2，-a 2) C.(a 2，),2()22a bb --⋃ D.(2,22ba )∪(-b 2，-a 2) 8.等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=16，a 1+a 2+…+a 6=14，S n =a 1+a 2+…+a n ，则n n S ∞→lim =A.3128 B.9128C.128D.32 9.已知圆柱的上下两底面圆都在球面上，底面一条直径的两个端点间的球面距离是球大圆周长的41，圆柱的母线长为l ，则这个球的半径长为 A.22l B.l C.2 l D.2l 10.已知双曲线192522=-y x 的左支上有一点M 到右焦点F 1的距离为18，N 是MF 1的中点，O 为坐标原点，则|ON |等于A.4B.2C.1D.32 11.函数f 1(x )=x x f x f x x f x +=+=-=-1)(,1,1)(,1432的图象分别是点集C 1，C 2，C 3，C 4，这些图象关于直线x =0的对称曲线分别是点集D 1，D 2，D 3，D 4，现给出下列四个命题：①D 1⊆D 2;②D 1∪D 3=D 2∪D 4;③D 4⊆D 3;④D 1∩D 3=D 2∩D 4.其中，正确命题的序号是A.①，③B.①，②C.③，④D.②，④12.（理）设n 满足C 0n +C 1n +2C 2n +…+n C nn ＜450的最大自然数，则n 等于A.4B.5C.7D.6（文）设S= C 0n +C 1n +2C 2n +…+n C n n ，则S 等于A.n ·2n -1B.n ·2n -1-1C.n 2n -1+1D.n 2n第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填写在题中横线上） 13.某邮局现只有邮票0.6元，0.8元，1.1元的三种面值邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴的邮票张数最少，且资费恰为7.50元，则至少要购买_______张邮票.14.抛物线的准线为y 轴，焦点运动的轨迹为y 2-4x 2+8y =0(y ≠0)，则其顶点运动的轨迹方程为_______.15.关于复数z =cosπααα2,0(,2sin2∈+i ］有下列命题：①若z =z ，则α=2π;②将复数z 在复平面内对应的向量逆时针旋转90°得到向量，则对应的复数是-si nπααα2,0(,2cos2∈+i ］;③复数z 在复平面内对应的轨迹是单位圆；④复数z 2的辐角主值是α.其中，正确命题的序号是_______. （把你认为正确的命题的序号都填上）.16.如图，在正方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，选出两条棱和两条面的对角线，使这四条线段所在的直线两两都是异面直线，如果我们选定一条面的对角线AB 1，那么另外三条线段可以是_______（只需写出一种情况即可）.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知函数f (x)=2a cos 2x +b sin x cos x ，且f (0)=2，f (2321)3+=π. (Ⅰ)求f (x )的最大值与最小值.(Ⅱ)若α-β≠k π，k ∈Z ，且f (α)=f (β)，求tan(α+β)的值. 18.（本小题满分12分） 已知数列{a n }为等差数列，公差为d ，{b n }为等比数列，公式为q ，且d =q =2，b 3+1=a 10=5，设c n =a n b n .(Ⅰ)求数列{c n }的通项公式；(Ⅱ)设数列{c n }的前n 项和为S n ，求nnn S nb ∞→lim的值.19.（本小题满分12分）如图，已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，AC =AD =CD =DE =2，AB =1，F 为CE 的中点.（Ⅰ）求证：BF ⊥平面CDE ； （Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积；（Ⅲ）(理）求平面BCE 和平面ACD 所成的锐二面角的大小.20.（本小题满分12分）某商场以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售.销售有淡季与旺季之分.标价越高，购买人数越少.我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格，市场调查发现：①购买人数是羊毛衫标价的一次函数； ②旺季的最高价格是淡季最高价格的23倍； ③旺季商场以140元/件价格销售时，商场能获取最大利润.问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少？ 21.（本小题满分12分）如图，A ，B 是两个定点，且|AB |=2，动点M 到A 点的距离是4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于点P ，直线k 垂直于直线AB ，且B 点到直线k 的距离为3.（Ⅰ）求证：点P 到点B 的距离与点P 到直线k 的距离之比为定值；（Ⅱ）（理）若P 点到A ，B 两点的距离之积为m ，当m 取最大值时，求P 点的坐标；（Ⅲ）若|PA |-|PB |=1，求cos APB 的值. 22.（本小题满分14分）定义在（-1，1）上的函数f (x )满足：（Ⅰ)对任意x ，y ∈(-1，1)都有f (x )+f (y)=f (xyyx ++1);(Ⅱ)当x ∈(-1，0)时，有f (x )＞0. (Ⅰ)判定f (x )在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由. （Ⅱ）判定f (x )在(-1，0)上的单调性，并给出证明.（Ⅲ）(理）求证：).)(21()131()111()51(2N n f n n f f f ∈>+++++（文）求证：).)(21()11()131(2N n n f n f n n f ∈+-+=++湖北省黄冈市高三数学模拟考试试题（三）答案一、1.A 2.B 3.D 4.D 5.C 6.(理)A (文)B 7.C 8.B 9.A 10.A 11.D 12.C二、13.8 14.y 2-16x 2+8y =0(y ≠0) 15.①②16.BC 1，CD ，A 1D 1或CC 1，BD ，A 1D 1或BC ，C 1D 1，A 1D 或BC ，DD 1，A 1C 1(任选填一种) 三、17.解：(Ⅰ)由f (0)=2a =2,∴a =1,f (,23214321)3+=+=b a π∴b =2 ∴f (x )=2cos 2x +2sin x cos x =sin2x +cos2x +1=1)42sin(2++πx∴f (x )最大值为2+1，最小值为1-2.6分(Ⅱ)若f (α)=f (β),则sin(2α+4π)=sin(2β+4π), ∴2α+4π=2k π+2β+4π或2α+4π=2k π+π-(2β+4π),即α-β=k π(舍去)或α+β=k π+4π,k ∈Z ,∴tan(α+β)=tan(k π+4π)=1. 12分18.解：(Ⅰ)由已知，有⎩⎨⎧=⨯+=+⋅.592,512121a b 解得b 1=1,a 1=-13. 2分从而a n =-13+(n -1)·2=2n -15,b n =1×2n -1=2n -1, c n =a n b n =(2n -15)2n -1 5分(Ⅱ)∵S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n , ①∴aS n =a 1b 2+a 2b 3+…+a n -1b n +a n b n +1. ②7分①-②得(1-q )S n =a 1b 1+d (b 2+b 3+…+b n )-a n b n +1=a 1b 1+d ·qq b n ---1)1(12-a n b n +1=-13+2·21)21(21---n -(2n -15)·2n =-［(2n -17)·2n +17］,∴S n =(2n -17)·2n+17.10分∴)12.(412172)172(1lim172)172(2lim lim 11分=⋅+⋅-=+⋅-⋅=∴-∞→-∞→∞→n n n n n nn n n n n n S nb 19.解：(Ⅰ)取CD 中点G ，连AG ，FG ，则有FG AB DE 21.∴AG BF ,又△ACD 为正三角形，∥ = ∥ = ∥ =∴AG ⊥CD ，又DE ⊥平面ACD ， ∴FG ⊥平面ACD .∴FG ⊥AG .∴AG ⊥平面CDE ∴BF ⊥平面CED .4分 (Ⅱ)V ABCDE =V B —ACD +V B —CDE =.32233233222131243312=⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅BF AB (Ⅲ)由(1)知AB 21DE,延长DA ，EB 交于P ，连P C ，则可证得A ，B 分别为PD ， PE 中点，∴PC ∥BF ∥AG ， ∴PC ⊥平面CDE ，∴∠DCE 为平面BCE 和平面ACD 所成二面角的平面角，又∠DCE =45°,即所成锐二面角为45°.12分20.解：设羊毛衫出售价格为x 元/件，购买人数为y 人，最高价格为x 0,则存在 a ,b 使y =ax +b .由条件知：a ＜0且0=ax 0+b∴x 0=-ab.因此y =a (x -x 0)=-a (x 0-x ),商场利润s =y (x -100)=-a (x 0-x )(x -100)≤ -a (2020)2100()2100+-=++-x a x x x当且仅当x 0-x =x -100,即x =50+2x 时“=”成立. 6分 因此商场定价x =50+2x 时能获最大利润，设旺、淡季的最高价格分别为a ,b .淡季能获最大利润的价格为c ，则140=50+2a,a =180, 9分 ∴b =32a =120.∴c=50+2b=110(元/件)12分 21.(Ⅰ)证明：以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(1，0).∵l 为MB 的垂直平分线，∴|PM |=|PB |，|PA |+|PB |=|PA |+|PM |=|MA |=4.∴P 点的轨迹是以A ，B 为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为.13422=+y x 根据椭圆的定义可知，点P 到点B 的距离与点P 到直线k :x =4(恰为椭圆的右准线)的距离之比为离心率e =21.4分 (Ⅱ)解：m =|PA |·|PB |≤(2)2PBPA +=4,∥ =当且仅当|PA |=|PB |时，m 最大，这时P 点的坐标为(0，3)或(0，-3).8分(Ⅲ)解：由|PA |-|PB |=1及|PA |+|PB |=4，得 |PA |=25，|PB |=23. 又|AB |=2，所以△APB 为直角三角形，∠ABP =90°.故cos APB =53=PAPB . 22.解：(Ⅰ)x ,y ∈(-1,1).f (x )+f (y )=f (xyyx ++1), 令x =y =0,得f (0)=0.令y =-x ,得f (x )+f (-x )=f (0)=0, ∴f (-x )=-f (x )∴f (x )在(-1，1)上是奇函数.4分 (Ⅱ)设-1＜x 1＜x 2＜0,则f (x 1)-f (x 2)=f (x 1)+f (-x 2)=f (21211x x x x --),∵x 1-x 2＜0,1-x 1x 2＞0, ∴-1＜21211x x x x --＜0.x ∈(-1,0)时f (x )＞0∴f (x 1)-f (x 2)＞0,从而f (x )在(-1，0)上是单调减函数. 8分(Ⅲ)(理)∵f (1312++n n )。

黄冈中学高考数学模拟测试题（理科）3本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的代号填在指定位置上）1．已知平面上的直线L 的方向向量＝(－45,35)，点A(－1,1)和B(0,－1)在L 上的射影分别是A 1和B 1，若＝λ，则λ的值为( )A ．115B ．－115C ．2D ．－22．下列命题中，正确的个数是( ) ①若||＋||＝0，则＝＝；②在△ABC 中，若＋＋＝，则O 为△ABC 的重心； ③若，是共线向量，则·＝||·||，反之也成立；④若，是非零向量，则＋＝的充要条件是存在非零向量，使·＋·＝0． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．若命题P ：x ∈A ∩B ，则﹁P ( ) A ．x ∈A 且x ∈B B ．x ∈A 或x ∈B C ．x ∈A 且x ∈B D ．x ∈A ∪B4．已知函数f(x)＝log 2|ax －1| (a ≠0)满足关系式f(－2＋x)＝f(―2―x)，则a 的值为( )A ．1B ．－12C ．14D ．－15．已知A 、B 、C 、D 是同一球面上的四点，且每两点间距都等于2，则球心到平面BCD 的距离是( )A ．63B ．66C ．612D ．6186．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2018＋a 2018＞0，a 2018＋a 2018＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4018B ．4018C ．4018D ．40187．已知f(x)＝2x ＋3,(x ∈R)，若|f(x)－1|＜a 的必要条件是|x ＋1|＜b ，(a 、b ＞0)．则a 、b 之间的关系是( )A ．a ≤b2B ．b ＜a2C ．b ≥a2D ．a ＞b28．已知f(x)为R 上的增函数，点A(－1,1),B(1,3)在它的图象上，f －1(x)是它的反函数，则不等式|f －1(log 2xkl)|＜1的解集为( )A ．{x|－1＜x ＜1}B ．{x|2＜x ＜8}C ．{x|1＜x ＜3}D ．无法确定9．函数y ＝－3sinx ＋cosx 在x ∈[－π6,π6]时的值域是( ) A ．[0, 62]B ．[－3,0]C ．[0, 3]D ．[0,1]10．在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )A ．15B ．14C ．13D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共计100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确的答案填在指定位置上） 11．若数列x,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,y 成等比数列，则(a 1＋a 2)2b 1·b 2的取值范围是＿___＿＿＿＿．12．将函数y ＝x 2的图象F 按向量＝(3,－2)平移到F ′，则F ′的函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿．13．设命题P ：|4x －3|≤1，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a(a ＋1)≤0，若﹁P 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿．14．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“○＋”如下：当a ≥b 时，a ○＋b ＝a ；当a ＜b 时，a ○＋b ＝b 2；则函数f(x)＝(1○＋x)·x ―(2○＋x)，x ∈[―2,2]的最大值等于＿＿＿＿＿＿＿＿(“·”与“－”分别为乘法与减法)． 15．设随机变量ξ服从正态分布N(1,22)，若P(ξ≤c)＝43P(ξ＞c)，则常数c= (参考数据：φ(2)＝0.9773) ( )A ．2B ．3C ．4D ．5三．解答题（本大题共6个小题，共75分）．16．已知△ABC 的顶点A(3,－1)，AB 边上的中线所在直线方程为：3x ＋7y －19＝0，AC 边上的高所在直线方程为6x ―5y ―15＝0，求BC 边所在直线方程．17．已知向量＝(cos 4x,－1)，＝(1,cin 4x ＋3sin2x)，x ∈R ，f(x)＝·． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x ∈[0, π2]，求f(x)的最值及相应的x 值．18．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q 为直线OP 上的一个动点． (1)当·取最小值时，求的坐标；(2)当点Q 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AQB 的值．19．在三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠CBD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AC，BC＝6．(1)求二面角A―CD―B的平面角的正切值；(2)设过棱AD且与BC平行的平面为α，求点B到平面α的距离．20．已知某企业的原有产品，每年投入x万元，可获得的年利润可表示为函数：p(x)＝―1100(x―30)2＋8(万元)．现开发一个回报率高，科技含量高的新产品，据预测，新产品每年投入x万元，可获得利润Q(x)＝―99100(100―x)2＋2575(100－x)(万元)，新产品开发从“十五”计划的第一年开始，用两年时间完成，这两年，每年从100万元的生产准备金中，拿出80万元来投入新产品开发，从第三年开始这100万元就可以全部用于新旧两种产品的生产投入．(1)为解决资金缺口，第一年向银行贷款1000万元，利率5.5％(不计复利)，第五年底一次性向银行偿还本息共计多少万元？(2)从新产品投产的第三年开始，从100万元的生产准备资金中，新旧两种产品各应投入多少万元，才能使年利润最大？(3)从新旧产品的五年最高利润中拿出70％来，能否还清银行的贷款？－a 2a 2ADCBRHO x21．设数列{a n }是以a 为首项，t 为公比的等比数列，令b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n ；C n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n ，n ∈N ＋．(1)试用a,t 表示b n 和C n ；(2)若a ＞0,t ＞0且t ≠1，试比较C n 与C n ＋1的大小；(3)是否存在实数对(a,t)，其中 t ≠1，使{C n }成等比数列，若存在，求实数对(a,t)和{C n }；若不存在，说明理由．黄冈中学高考数学模拟测试题3参考答案1．D 2．B 解：③、④不成立，④中若⊥，⊥不一定有＋＝3．B 4．B 5．B 解：A －BCD 为正四面体，球为其外接球，设OH ＝x ．则⎩⎨⎧AH ＝R ＋x ＝263R 2－x 2＝43⇒x ＝66． 6．B7．C 解：由|x ＋1|＜a2⇒|x ＋1|＜b8．B 9．C10．C 解：5条直径． P ＝C 15·C 18 C 310＝13．11．(－∞,0)∪[4,＋∞] 解：(a 1＋a 2)2b 1b 2＝(x ＋y)2xy ＝2＋(x y ＋yx )≥4或≤0．1212．y ＝x 2－6x ＋7 解：平移公式：⎩⎨⎧x ＝x ′－3y ＝y ′＋213．[0, 12] 解：q ：a ≤x ≤a ＋1则﹁q ：x ＜a 或x ＞a ＋1．p ：12≤x ≤1，则﹁p ：x ＜12或x ＞1．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12a ＋1≥1⇒0≤a ≤12．14．6 解：x ∈[－2,1]时，f(x)＝1·x ―2∈[―4,―1]，x ∈(1,2)时，f(x)＝x 2·x ―2 ∈(―1,6)．x ＝2时，f(x)＝22·2－2＝6．15． 5； 解：P(ξ≤c)＝43 [1－P(ξ≤c)] ∴P(ξ≤c)＝4344＝0.9773， ∴φ(c －12)＝0.9773， ∴c －12＝2 c ＝5．16．解：易得AC 方程为5x ＋6y －9＝0，由⎩⎨⎧5x ＋6y －9＝03x ＋7y －19＝0 ⇒c(－3,4)．设B(x 1,y 1)，则⎩⎨⎧6x 1―5y 1―15＝03x 1＋7y 1－36＝0⇒B(5,3)．∴BC 直线方程为：x ＋8y －29＝0．17．解：f(x)＝·＝cos 4x ―sin 4x ―3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＝2cos(2x ＋π3)． (1)函数f(x)的最小正周期T ＝π． (2)．∵x ∈[0, π2]∴2x ＋π3∈[π3,4π3]． ∴当2x ＋π3＝π3即x ＝0时，f(x)mox ＝1． 当2x ＋π3＝π即x ＝π3时，f(x)min ＝－2． 18．解：设＝(x.y)，∵与共线⇒x ＝2y ． ∴＝(2y,y)，又＝－＝(1―2y,7―y)， ＝－＝(5―2y,1―y)．∴·＝(1―2y)(5―2y)＋(7―y)(1―y) ＝5y 2－20y ＋12＝5(y ―2)2―8≥―8．此时y ＝2，＝(4,2)． (2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1,－1)，·＝－8．由﹁q ⇒﹁p ，则﹁q ⊂－﹁p ．∴cos ∠AQB ＝＝－8 34·2＝－41717．19．解：(法一)(1)设BC 的中点为E ，连结AE ，过E 作EF ⊥CD 于F ，连结AF ，由三垂线定理知∠EFA 为二面角的平面角．∵△EFC ～△DBC ，∴EF BD ＝CE CD ，∴EF ＝32．又∵AE ＝3，∴tan ∠EFA ＝AEEF ＝2，∴二面角A ―CD ―B 的平面角的正切值为2． (2)过点D 作DG ∥BC ，且CB ＝DG ，连结AG ， ∴平面ADG 为平面a ， ∵BC ∥平面ADG ，∴点B 到平面ADG 的距离等于点C 到平面ADG 的距离，设为h ． ∵V C －AGD ＝V A －CBD ，13S △AGD h ＝13S △BCD AE ， ∴h ＝677．(法二)以BC 中点OA(0,0,3)，B(0,3,0)，C(0,－3,0)，D(23,3,0)，G(23,－3,0)． (1)易知面BCD 的一个法向量＝(0,0,1)， 设面ACD 的一个法向量为＝(1,x,y)，则⇒⎩⎨⎧(1,x,y)(0,―3,―3)＝0，(1,x,y)(23,6,0)＝0，解之得⎩⎨⎧x ＝－33，y ＝33，∴＝(1,－33,33)．Cos ＜,＞＝＝331＋13＋13＝55， ∴二面角A ―CD ―B 的平面角的正切值为2． (2)设面AGD 的一个法向量＝(1,x,y)，则⇒⎩⎨⎧(1,x,y)(23,3,－3)＝0，(1,x,y)(0,6,0)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝233， ∴＝(1,0, 233)．d ＝＝(23,0,0)·(1,0, 233)12＋43＝677．20．解：(1)五年利息是1000×0.185×5＝275(万元)，本利和1275万元； (2)设从第三年年初每年旧产品投入x 万元，则新产品投入100－x(万元)， 于是每年的利润是：W ＝P(x)＋Q(100－x)＝[―1100(x ―30)2＋8]＋{―99100[100―(100―x)]2＋2575[100―(100―x)]} ＝(－1100x 2＋35x －1)＋(－99100x 2＋2575x)＝－x 2＋52x －1＝―(x ―26)2＋675．∴投入旧产品26万元，新产品74万元时每年获得最大利润，最大利润是675万元． (3)因为P(x)在(0,30]上是增函数，所以在100万元的生产准备资金中除去新产品开发外，剩余的20万元全部投入可获得最大利润，于是头两年的利润W 1＝2×P(20)＝14(万元)，后三年的利润是W 2＝3×[P(26)＋Q(74)]＝3×675＝2185(万元)，故五年的总利润是W ＝W 1＋W 2＝2189(万元)，又2189×70%＝1427.3＞1275，所以从新旧产品的五年总利润中拿出70％来，能够还清对银行的欠款．21．解：(1)当t ＝1,a n ＝a,b n ＝1＋na,C n ＝2＋(1＋a)＋(1＋2a)＋…＋(1＋na)＝2＋n(2＋a ＋na)2； 当t ≠1时，a n ＝atn －1，b n ＝1＋a(1－t n )1－t ＝1＋a 1－t －at n1－tC n ＝2＋n(1＋a 1－t )－a1－t ·t(1－t n )1－t(2)C n ＋1－C n ＝b n ＋1＝1＋a 1－t －at n ＋11－t ＝1＋a 1－t（1－t n ＋1)∵a ＞0 当t ＞1，1－t ＜0，1－t n+1＜0，C n+1＞C n ；0＜t ＜1，1－t ＞0，当1－t n+1＞0，C n+1＞C n.. ∴综上所述C n+1＞C n ．(3)由(1)C n ＝2＋n(1＋a 1－t )－a1－t ·t(1－t n )1－t即C n ＝2－at (1－t)2＋(1＋a1－t )n ＋at n ＋1(1－t)2若{C n }成等比数列，应有⎩⎨⎧2－at(1－t)2＝0 ①(1＋a1－t)n ＝0 ②由①②解得 t ＝2，a ＝1此时C n ＝4·2n －1故存在实数对(2,1)使{C n }成等比数列．。

黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试14．甲、乙两个同学对挑乒乓球，设甲同学持拍的拍面与水平方向成α角，乙同学持拍的拍面与水平方向成β角，如图所示，设乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，且乒乓球每次击打球拍前与击打后速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度1v与乒乓球击打乙的球拍的速度2v之比为（）A．sinsinβαB．coscosαβC．tantanαβD．tantanβα15．—带正电的粒子仅在电场力作用下，从坐标原点O以一定的初速度v沿电场中的x轴正方向做直线运动，x轴上的电势分布如图所示，则粒子从O点运动到x＝x0的过程中，下列说法正确的是()A．粒子的电势能一直增大B．粒子的动能先增大后减小C．电场强度沿x轴正方向先增大后减小D．粒子受到的电场力先沿x轴负方向后沿x轴正方向16．2017年10月24日，在地球观测组织(GEO)全会期间举办的“中国日”活动上，我国正式向国际社会免费开放共享我国新一代地球同步静止轨道气象卫星“风云四号”(如图所示)和全球第一颗二氧化碳监测科学实验卫星(简称“碳卫星”)的数据。

“碳卫星”是绕地球极地运行的卫星，在离地球表面700公里的圆轨道对地球进行扫描，汇集约140天的数据可制作一张无缝隙全球覆盖的二氧化碳监测图，有关这两颗卫星的说法正确的是（）A．“风云四号”卫星的向心加速度大于“碳卫星”的向心加速度B．“风云四号”卫星的线速度小于“碳卫星”的线速度C．“碳卫星”的运行轨道理论上可以和地球某一条经线重合D．“风云四号”卫星的线速度大于第一宇宙速度17．如图所示，AC 是四分之一圆弧，O 为圆心，D 为弧AC 中点，A 、D 、C处各有一垂直纸面的通电直导线，电流大小相等，A C 、两处电流垂直纸面向里，D 处电流垂直纸面向外，整个空间再加一个大小为B 的匀强磁场，O 处的磁感应强度刚好为零，如果将D 处电流反向，其他条件都不变，则O 处的磁感应强度大小为（ ）A ．(3B +B ．)21BC ．2BD ．018．哥伦比亚大学的工程师研究出一种可以用于人形机器人的合成肌 肉，可模仿人体肌肉做出推、拉、弯曲和扭曲等动作。

2018黄冈中学高三数学五月模拟试卷及答案（理科
5 c 湖北省黄冈中学1，0)得,∴A点坐标为；……2分
∵ ∴ 是的中点∴
∴ 椭圆方程为……5分
(II)当直线N与PQ之一与轴垂直时，四边形PQN面积；
…………6分
当直线PQ，N均与轴不垂直时，不妨设PQ ，
联立代入消去得
设则………8分
∴ ，同理
∴四边形PQN面积………10分
令，则，易知S是以为变量的增函数
所以当时，，∴
综上可知，，∴四边形PQN面积的取值范围为………13分
22 (本小题满分14分)已知函数
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证对于任意正整数n，均有（为自然对数的底数）；
（Ⅲ）当a＝1时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数＝f （x）的图象相切? 若存在，有多少条?若不存在，说明理由．
22、（Ⅰ）解由题意．………………1分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………3分
当时，函数的定义域为，
此时函数在上是减函数，在上是增函数，
，无最大值．………………5分
(Ⅱ)取，由⑴知，。

黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：2018年 5 月 24 日下午15:00-17:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．函数()ln(1)f x x =++的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)(2,)-+∞C ． (1,2)-D ．(]1,2-2．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为４，2，则输出的n =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．24．在区间[-1,1]上任取两个数x y 和，则221x y +≥的概率为（ ）A ．14π-B ．128π-C. 18π-D ．124π- 5．已知函数π3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-++<<的图象过点5π(,2)3，则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象（ ）A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 6．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347． 函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是（ ）8．若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a < C.()()a a c b c c b b ->- D ．()()c b a c a a c a ->- 9. 已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l a x y ++=，()2:110l x a y +--=，若12l l ∥，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨10.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F，A ，P 为双曲线左支上一点，则APF ∆周长的最小值为（ ） A．4B．4(1C． D11．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为（ ） A ． 2B ． 3C ． 4D ． 512．体积为的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，且PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()f x =e 2x x -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a = .14．在边长为3的正ABC △中，若3BC DC =uu u r uuu r ，则DB AD ⋅uu u r uuu r=15．设x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤，若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围为 ．16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和2232n nn S +=，数列{}n b 满足()*1l o g 32N n b a n n ∈-=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求{}n n b a ⋅的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点．（1）证明：MN ∥平面11AAC C ；（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．19．（本小题满分12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.（1）问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ;（2）求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（3) 若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表参考数据：025参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中d c b a n +++=.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12FM N F ''面积S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1x ，2x ； （i ）求满足条件的最小正整数a 的值. （ii ）求证：12'02x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|f x x a x =-++,()|2|3g x x =-+． （1）解不等式()6g x <；（2）若对2x R ∀∈，1x R ∃∈，使得12()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题2 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. １ 14. 1- 15. 63a -<< 16. 27817：解：（1）2≥n 时 131-=-=-n S S a n n n 当1=n 时 211==S a13-=∴n a n由n n n b b n 21log 3132=⇒-=- （2）n n n n b a 2)13(-=⋅∴n n n n Tn 2)13(2)1)1(3(2)133(2)123(2)113(1321-+--⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯=-21322)13(2)1)1(3(2)113(2)113(+-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n n n Tn14322)13()2222(34+--+⋅⋅⋅++++=-n n n Tn112)13(21)21(434+-----⨯+=n n n )34(281n n -+-=+82)43(1+-=+n n Tn19. 解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名,∴B 类工人中应抽查10025=75（名）.由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)10=1，得x=0.024.（2）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 由（1）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为 B x =1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410=133.8（3）由（1）及所给数据得能力与培训的22列联表，由上表得12.7332575386225753862k ==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.20. 解：20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为2c a =，所以c =1b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k xkmx +++240m -=.由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==22d F N '==，所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===因为四边形12FM N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++ ()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t +-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t=时，2S 取得最大值为16，故max 4S =，21.解：（1）()22'2(0)a x af x x x x x-=-=>.当0a ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间.当0a >时，由()'0f x >，得2x >，()'0f x <，得02x <<， 所以函数()f x的单调增区间为,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）()()'22a F x x a x =---22(2)x a x a x---=(2)(1)(0)x a x x x -+=>. 因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln 402aa +->， 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()()381220,34ln 1ln10216h h =-<=-=-<，所以()02,3a ∈，()00h a =. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()332ln30F =->，()10F =，所以3a =时，()f x 有两个零点. 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（2）证明：不妨设120x x <<，于是()21112ln x a x a x ---()22222ln x a x a x =---，即()21112ln x a x a x ---()22222ln 0x a x a x -+-+=，22112222x x x x +--1122ln ln ax a x ax a x =+--()1122ln ln a x x x x =+--.所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为'02a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0F x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0F x >，故只要证1222x x a +>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证()()22121212ln ln x x x x x x -++-22112222x x x x <+--， 也就是证11221222ln x x x x x x -<+. 设12(01)x t t x =<<. 令()22ln 1t m t t t -=-+，则()()()()222114'11t m t t t t t -=-=++. 因为0t >，所以()'0m t ≥，当且仅当1t =时，()'0m t =，所以()m t 在()0,+∞上是增函数.又()10m =，所以当()0,1m ∈，()0m t <总成立，所以原题得证.22.解：解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中，所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3M π⎫⎪⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a ⨯-+=，所以94a =. 23.解：(Ⅰ)由236x -+<，得6236x -<-+<， ∴923x -<-<，得不等式的解为15x -<< .(Ⅱ)()()()232323f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()233g x x =-+≥，对任意的2x R ∈均存在1x R ∈，使得21()()f x g x =成立， ∴{}{}()()y y f x y y g x =⊆=， ∴233a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，即实数a 的取值范围为：0a ≥或3a ≤-．。

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2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷题目一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知i为虚数单位， R，复数，若为正实数，则的取值集合为( )A. B. C. D.2. 已知集合，，则集合 ( )A. B.C. D.3. 的展开式中的系数为( )A. B. C. D.4. 已知等比数列中，，，且公比，则 ( )A. B. C. D.5.设函数，若，且，则 ( )A. B. C. D.6.某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是( )A. B. C. D.7.如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体的表面积为( )A. B. C. D.8.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，若抛物线上存在点，使得，则的值为( )A. B. C. D.9.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如下程序框图表示其基本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数)，若输出的结果为527，则由此可估计π的近似值为( )A.3.126B.3.132C.3.151D.3.16210.已知函数，，若的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点、，则下列判断正确的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，11.已知函数和函数在区间上的图象交于三点，则△ 的面积是( )A. B. C. D.12.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为( )A. B.8 C. D.6第Ⅱ卷非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应的位置上.)13.已知向量 , 满足，，则在方向上的投影为 .14.成书于公元前1世纪左右的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示就是,可见当时就已经知道勾股定理.如果正整数满足,我们就把正整数叫做勾股数,下面依次给出前4组勾股数：3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41. 则按照此规律，第6组勾股数为 .15.设，实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是 .16.在△中，，，且在边上分别取两点，点线段的对称点正好落在边上，则线段长度的.最小值为 .三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.(本题满分12分)在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令， .(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设，求数列的前项和 .18.(本题满分12分)如图1，在平行四边形中，，，是的中点，现将四边形沿折起，使平面，得到图2所示的几何体，是的中点.(Ⅰ)证明平面 ;(Ⅱ)求二面角的余弦值的大小.19.(本题满分12分)某校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取160名理科学生，想调查男生、女生对“坐标系与参数方程”与“不等式选讲”这两道题的选择倾向性，调研中发现选择“坐标系与参数方程”的男生人数与选择“不等式选讲”的总人数相等，且选择“坐标系与参数方程”的女生人数比选择“不等式选讲”的女生人数多25人，根据调研情况制成如下图所示的列联表：选择坐标系与参数方程选择不等式选讲合计男生 60女生合计 160(Ⅰ)完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.025的前提下，能否认为选题与性别有关.(Ⅱ)按照分层抽样的方法，从选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的学生中共抽取8人进行问卷.若从这8人中任选3人，记选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数的差为，求的分布列及数学期望 .附：，其中 .0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82820.(本题满分12分)已知点分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过右焦点作两互相垂直的直线分别与椭圆相交于点和，求的取值范围.21.(本小题满分12分)设函数，，其中 R，…为自然对数的底数.(Ⅰ)当时，恒成立，求的取值范围;(Ⅱ)求证： (参考数据： ).请考生在第(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为 .(Ⅰ)把曲线的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)设曲线与曲线交于两点,与曲线交于两点，若点的直角坐标为，求△ 的面积.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为 .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若正实数满足，求的最小值.2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷答案1.【答案】B【解析】为正实数，则 .2.【答案】C【解析】，， .3.【答案】A【解析】的展开通项式为，，即的系数为 .4.【答案】C【解析】由，，得，则 .5.【答案】D【解析】当时，为增函数，又，且，故，则即，所以 .6.【答案】B【解析】方法一： ;方法二： ;方法三： .7.【答案】C【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即为所求，且，，可求得表面积为 .8.【答案】C【解析】方法一：由，得在线段的中垂线上，且到抛物线准线的距离为，则有 .方法二：设则有，则有 .9.【答案】 D【解析】由程序框图可得 .10.【答案】C【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则点在第三象限，为两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点关于原点的对称点 ,则点坐标为由图象知，即 .方法二：的图像与的图象有且仅有两个不同的公共点，则方程有且仅有两个根，则函数有且仅有两个零点，，又，则，当时满足函数有且仅有两个零点，此时，，，即 .11.【答案】D【解析】，有图像可得为等腰三角形，底边为一个周期长，高为，则12.【答案】B【解析】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距为，有题意可得，又，则 .13.【答案】【解析】向量在方向上的投影为 .14.【答案】【解析】方法一：由前4组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列，后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第6组勾股数为 .方法二：若设第一个数为，则第二，三个数分别为，第6组的一个数为13，可得第6组勾股数为 .15.【答案】【解析】作出直线所围成的区域，如图所示，，当时，满足题意.16.【答案】【解析】方法一：设，∵A点与点P关于线段MN对称，∴ ，，在中，，，，，由正弦定理：则，当时此时， .方法二：建立如图如示坐标系由得，设，，与交于点，由，得，，此时 .17.【解析】(Ⅰ) 构成递增的等比数列，其中，则，又，得，，. …………………6分(Ⅱ) ，故上述两式相减，得…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取的中点，连结、 .因为，，故 .又因为 , ，故 .所以四边形是平行四边形， .在等腰中，是的中点，所以 .因为平面，故 .而，而平面 .又因为，故平面. …………………5分(Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， .设是平面的一个法向量，由，得，令，则 .设是平面的一个法向量，可得 .故，所以二面角的余弦值为. …………………12分19.【解析】(Ⅰ)选择坐标系与参数方程选择不等式选讲合计男生 60 45 105女生 40 15 55合计 100 60 160，故不能认为选题与性别有关.…………………5分(Ⅱ)选择“坐标系与参数方程”与选择“不等式选讲”的人数比例为100：60=5：3，所以抽取的8人中倾向“坐标系与参数方程”的人数为5，倾向“不等式选讲”的人数为3.依题意，得，，，，. …………………9分故的分布列如下:所以. …………………12分20.【解析】(Ⅰ)方法一：由题意得且∴方法二：由，得 .∴椭圆方程为. …………………4分(2)设，，直线为 .直线为联立则，，…………………6分.∵同理令，则当时，，∴ . …………………12分21.【解析】(Ⅰ)令，则①若，则，，在递增，，即在恒成立，满足，所以 ;②若，在递增，且且时，，则使，则在递减，在递增，所以当时，即当时，，不满足题意，舍去;综合①，②知的取值范围为. …………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，对恒成立，令，则即; …………………7分由(Ⅰ)知，当时，则在递减，在递增，则，即，又，即，令，即，则，故有. …………………12分22.【解析】(1) 的普通方程为即，所以的极坐标方程为. …………………4分(2)依题意，设点的极坐标分别为 ,把代入，得，把代入，得，所以 ,依题意，点到曲线的距离，所以. …………………10分23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式的解集不是空集，记的最小值为 . (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若正实数满足，求的最小值.【解析】(Ⅰ)因为，当且仅当时取等号，故，即. …………………5分(Ⅱ)当且仅当时取等号. …………………10分【2018届黄冈中学高三理科数学模拟试卷及答案】。

湖北省黄冈中学5月第三次模拟考试数学试卷参考答案1234567891011ABBA A C CC A C DA B CA D1.ʌ解析ɔ易知M =y y =l g x ,x ȡ1 =y y ȡ0,因为9-x 2ȡ0,所以-3ɤx ɤ3,故N =x y =9-x2=x -3ɤx ɤ3,故M ɘN =0,3 .故选:A.2.ʌ解析ɔ已知z 1,z 2是方程x 2-2x +2=0的两个复根,所以z =2ʃ-42=2ʃ2i 2=1ʃi,则设z 1=1+i ,z 2=1-i ,所以z 21-z 22=z 1+z 2 z 1-z 2 =2ˑ2i =4i =4,故选:B .3.ʌ解析ɔa +λb 在向量a 上的投影向量为a +λb ㊃a a a =12a ⇒a +λb ㊃a a =12.⇒a +λb ㊃a =a 2+λa ㊃b c o s 120ʎ=1-12λ=12⇒λ=1.故选:B4.ʌ解析ɔ设等差数列a n 的公差为d 且d ʂ0,且a 1=1,因为a 2,a 3,a 6成等比数列,可得a 23=a 2a 6,即(1+2d )2=(1+d )(1+5d ),即d =-2或d =0(舍去),所以S 5=5ˑ1+5ˑ42ˑ(-2)=-15.故选:A.5.ʌ解析ɔ因为t a n β=512,βɪ(0,π2),所以t a n β=s i n βc o s β=512,则s i n β=512c o s β,又s i n 2β+c o s 2β=1,所以c o s 2β=144169,由βɪ(0,π2)得c o s β=1213,则s i n β=513,由题意可知角α+β的终边经过点(45,35),则s i n α+β=35,c o s α+β =45,所以s i n α=s i n α+β -β =s i n α+β c o s β-c o s α+β s i n β=35ˑ1213-45ˑ513=1665.故选:A.6.ʌ解析ɔ设从甲中取出2个球,其中白球的个数为i 个为事件A i (i =0,1,2),事件A i 的概率为P (A i ),从乙中取出个球,其中白球的个数为个的事件为B ,事件B 的概率为P (B ),根据题意,可得P (A 0)=C 22C 03C 25=110,P (B |A 0)=C 22C 04C 26=115;P (A 1)=C 13C 12C 25=35,P (B |A 1)=C 23C 03C 26=15;P (A 2)=C 02C 23C 25=310,P (B |A 2)=C 24C 02C 26=25,根据贝叶斯公式得,从乙袋中取出2个红球,则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为:P (A 2|B )=P (A 2)P (B |A 2)P (A 0)P (B |A 0)+P (A 1)P (B |A 1)+P (A 2)P (B |A 2)=310ˑ25110ˑ115+35ˑ15+310ˑ25=1837.故选:C.7.ʌ解析ɔ易知点(a ,b )在曲线C :x 2+y 2-|x |-|y|=0上,曲线C 关于原点中心对称.而d =|a +b -3|2表示曲线C 上的点(a ,b )到直线l :x +y -3=0的距离,可知临界状态为直线l 与曲线C 分别在第一㊁三象限相切,则d 的最小值为22,最大值为522,故|a +b -3|的最小值与最大值之和为1+5=6.故选:C.8.ʌ解析ɔ根据题意可得抛物线C :y 2=4x 的焦点F (1,0),准线方程为x =-1则有A (-1,0),设MN 直线方程y =k x +1 ,k >0,联立y =k (x +1)y 2=4x,可得k 2x +2k 2-4 x +k 2=0,则Δ=2k 2-42-4k 2㊃k 2=-16k -1 k +1 >0,得-1<k <1,故0<k <1,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2,0<x 2<x 1,x 1+x 2=4-2k 2k 2,x 1x 2=1,M 到准线距离为MM ',N 到准线距离为NN ',又|F M |=2|F N |,有MM '=2NN ',即1+x 1=21+x 2 ,得x 1=1+2x 2,ʑx 1x 2=1+2x 2 x 2=1,又0<x 2<x 1,解得x 2=12,x 1=2,ʑx 1+x 2=4-2k 2k2=2+12,又k >0,解得k =223.故选:C9.ʌ解析ɔ由图象可知,1T =π-(-π)=π,解得T =π,ω>0,则2πω=π,解得ω=2,故A 正确;由图知,f(-π3)=2,则f(-π3)=3s i n(-2π3+φ)=2,即-2π3+φ=π2+2kπ,kɪZ,解得φ=7π6+2kπ,kɪZ,又|φ|<π,则φ=-5π6,故B错误;f(x)=2s i n(2x-5π6),则f(5π12)=2s i n(2ˑ5π12-5π6)=0,故f(x)的图象关于点(5π12,0)对称,故C正确;xɪ[-5π6,-π3[,则t=2x-5π6ɪ[-5π2,-3π2], y=2s i n t在[-5π2,-3π2]上单调递增,故D正确.故选:A C D.10.ʌ解析ɔ题知B1Cʅ平面A B C,连A1C,A C1,由垂直关系知A B=A1B1=C C1=A A1=22,A1C=23,A1C21+C C12=A1C2,则A1CʅC C1对于A,由A CʅB C知:平面B C C1B1ʅ平面A C C1A1,故A正确;对于B,由C C1 A A1知øB C1C为直线A A1与B C1所成的角(或其补角),әB C1C中øB C C1=135ʎ,则c o søB C1C=B C2+C C21-B C212B C㊃C C1=31010可得t a nøB C1C=13故B正确;对于C,由C A,C B,C B1相互垂直,可将四面体补形成正方体,设半径为R,则4R2=12,则外接球的表面积是12π,故C正确;对于D,由上述求解的对角线的长度可知,D不正确.故选:A B C.11.ʌ解析ɔ当x=0时,f(0)=0,此时不满足方程;若2<xɤ4,则0<x-2ɤ2,即f(x)=12f(x-2)=12(2|x-3|-1);若4<xɤ6,则2<x-2ɤ4,即f(x)=12f(x-2)=12(2|x-5|-1).作出函数在xȡ0时的图像,如图所示,对于A,由图可知,函数f(x)在(5,6)上单调递增,由奇函数性质知,函数f(x)在(-6,-5)上单调递增,故A正确;对于B,可知函数在x>0时的图像与直线y=x有1个交点,结合函数f(x)的奇偶性知,f(x)的图象与直线y=x有3个不同的交点,故B错误;对于C,设f(x)=t,则关于[f(x)]2-(a+1)f(x)(aɪR)的方程等价于t2(a+1)t+a=0,解得:t=a或t=1当t =1时,即f (x )=1对应一个交点为x 1=2;方程恰有4个不同的根,可分为两种情况:(1)t =a =12,即f (x )=12对应3个交点,且x 2+x 3=2,x 4=4,此时4个实数根的和为8;(2)t =a =-12,即f (x )=-12对应3个交点,且x 2+x 3=-2,x 4=-4,此时4个实数根的和为-4,故C 错误;对于D ,函数f (x )在[1,2]上的最大值为f (2)=1,即a 1=1,由函数的解析式及性质可知,数列{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,则数列的前7项和为1-(12)71-12=12764<2,故D 正确.故选:A D.12.ʌ答案ɔ144ʌ解析ɔ先排男生,女生插空,则女生互不相邻的站法种数:A 33A 24=144.故答案为:144.13.ʌ答案ɔa ɤ-3ʌ解析ɔ由不等式e xx3-x -a l n x ȡ1对于任意x ɪ(1,+ɕ)恒成立,可得a ɤx -3e x-x -1l n x ,令f (x )=x -3e x-x -1l n x,x >1,则由题意可得a ɤf (x )m i n ,令g (x )=e x -x -1,则g '(x )=e x-1,当x >0时,g '(x )>0,g (x )单调递增,当x <0时,g '(x )<0,g (x )单调递减.故g (x )ȡg (0)=0,即e x-1ȡx 恒成立,当x =0时取等号,又f (x )=x -3e x-x -1l n x=ex -3l n x-1-x l n x ȡx -3l n x +1-1-xl n x=-3,当x -3l n x =0时取等号,即l n x x =13,令h (x )=l n x x ,则h '(x )=1-l n x x 2,易得函数在(0,e )上单调递增,在(e ,+ɕ)上单调递减,当x ң0时,h (x ),当x ң+ɕ时,h (x )且h (),由h (e )=1e <13,即y =13与h (x )的图像有交点,所以等号成立,所以a ɤ-3.故答案为:{a |a ɤ-3}.14.ʌ答案ɔ22ʌ解答ɔ因为b 3-c o s A =a c o s B ,所以由正弦定理得s i n B 3-c o s A =s i n A c o s B ,所以s i n A c o s B +s i n B c o s A =3s i n B ,即s i n A +B =3s i n B =s i n C ,所以由正弦定理得c =3b .法一:由A B ң㊃A C ң=3t a n A 可得b c c o s A =3c o s A s i n A ,代入c =3b ,可得b 2=1s i n A.由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2b c c o s A =b 2+3b2-2b ˑ3b c o s A =10b 2-6b 2c o s A =10-6c o s A s i n A .由a 2=10-6c o s A s i n A 得a 2s i n A +6c o s A =10,36+a 4s i n A +θ=10,其中t a n θ=6a2,36+a 4s i n A +θ 为定值,且36+a 4>0,所以当s i n A +θ 最大时,36+a 4最小.所以当s i n A +θ =1时,16+a 4取最小值10,此时a 取得最小值,a 4=64,a =22,所以a 的最小值为22.法二:A B =3A C ,A 点的轨迹如图为阿氏圆,半径R =a 4+a22=3a8由A B ң㊃A C ң=3t a n A 可得b c c o s A =3c o s A s i n A 则S ΔA B C =32ɤ12B C ㊃R =12a ㊃38a 则a 2ȡ8⇒a ȡ22所以a 的最小值为22.故答案为:2215.ʌ解答ɔ证明:(1)ȵP D =2P A ,øA P D =π4,ʑP A ʅA D .ȵP B =P D ,A B =A D ,ʑәP A B ≅әP A D .ʑP A ʅA B .ʑP A ʅ平面A B C D .过F 作F H ʅA D 于H ,则F H //P A ,ʑF H ʅ平面A B C D .ʑF H ʅA M .ȵF G ʅA M ,ʑA M ʅ平面F H G .ȵP F P D =AH A D =B GB C =m ,ʑAH =B G ,且AH //B G ,则四边形A B G H 为平行四边形,则A B //G H ,ʑA B ʅA M .ʑλ=12.(6分) (2)ȵA B C D 是菱形,且øA B C =π3,ʑ取B D 的中点E ,则A E ʅA D ,以A 坐标原点,A E ,A D ,A P 分别为x ,y ,z 轴建立空间坐标系,设P A =A B =1,则B E =1,A E =3,即P (0,0,1),D (0,1,0),B (32,-12,0).P D ң=(0,1,-1),ȵP F P D =B G BC =m ,m ɪ(0,1).ʑP F ң=m PD ң=(0,m ,-m ),AH ң=m A D ң=(0,m ,0),则G (32,m -12,0),则A G ң=(32,m -12,0),A F ң=(0,m ,1-m ),设平面A F G 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃A G ң=32x +(m -12)y =0n ㊃A G ң=ym +(1-m )z =0,令y =1,则x =1-2m 3,z =mm -1,即n =(1-2m 3,1,m m -1),平面A G D 的一个法向量为m =(0,0,1),则|c o s <m ,n >|=c o s π4=|mm -1(1-2m 3)2+1+(m m -1)2|=22,平方解得m =12.(13分) 16.ʌ解析ɔ(1)由题意得:x -1 2+y 24-x =12.(2分)化简得:x 24+y23=1.(4分)(2)由(1)知,A (-2,0),设直线A G 的方程为:y =k (x +2),将方程代入x 24+y 23=1,得:(3+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2-12=0,设G (x 1,y 1),则由题意知y 1>0,由x 1(-2)=16k 2-123+4k 2得x 1=2(3-4k 2)3+4k2,(7分) 故|A G |=1+k 2|x 1+2|=121+k 23+4k2,(9分) 由题设,直线AH 的方程为:y =-1k (x +2),故同理可得|AH |=12k1+k24+3k2,(10分) 由又2|A G |=|AH |,得23+3k 2=k 4+3k2,整理得:4k 3-6k 2+3k -8=0,(12分) 设f (t )=4t 3-6t 2+3t -8,则k 是f (t )的零点,则f '(t )=12t 2-12t +3=3(2t -1)2ȡ0,ʑf (t )=4t 3-6t 2+3t -8为(0,+ɕ)的增函数,ȵf (2)=6>0,ʑk <2.(15分)17.ʌ解析ɔ(1)设A i :第i 次通过第一关,B i :第i 次通过第二关,因为小李第一关通过的概率为23,第二关通过的概率为12,小李可以进入第三关的概率为P =P (A 1B 1)+P (A 1A 2B 1)+P (A 1B 1B 2)+P (A 1A 2B 1B 2)=2ˑ1+1ˑ2ˑ1+2ˑ(1-1)ˑ1+1ˑ2ˑ(1-1)ˑ1=2.(5分)(2)设此次游戏得分记为X ,X 服从正态分布,故X ~N (μ,σ2).①由题意可知μ=171,因为1145000=0.0228,且1-P (μ-2σɤX ɤμ+2σ)2=1-0.95452ʈ0.0228,所以σ=351-1712=90,又因为8005000=0.16,且P (X ȡμ+σ)=1-P (μ-σɤX ɤμ+σ)2=1-0.68272ʈ0.1587<0.16,μ+σ=261,所以前800名参赛者的最低得分高于261,小李的得分为278分,故小李能够获得奖励.(10分) ②假设小王所说为真,则μ=201,P (X ȡμ+2σ)=1-P (μ-2σɤX ɤμ+2σ)2=1-0.95452ʈ0.0228,而1145000=0.0228,所以σ=351-2012=75,从而μ+3σ=201+3ˑ75=426<430,而P (X ȡμ+3σ)=1-P (μ-3σɤX ɤμ+3σ)2=1-0.99732ʈ0.0013<0.005,所以X ȡμ+3σ为小概率事件,所以小张的分数为430分是小概率事件,根据小概率事件的定义可以认为其不可能发生,但却又发生了,故可认为小王所说为假.(15分)18.ʌ解析ɔ(1)由题意,h (n )=n 2-n (n -1)+h (n -1),ʑh (n )-h (n -1)=n ʑh (1)-h (0)=1,h (2)-h (1)=2, ,h (n )-h (n -1)=n ,叠加可得h (n )-h (0)=1+2+ +n =n (n +1)2ȵh (0)=0 ʑh (n )=n (n +1)2ʑa n =n (n +1)2;(5分) (2)①S (n )-S (n -1)为一直角梯形(n =1时为直角三角形)的面积,该梯形的两底边的长分别为h (n -1),h (n ),高为1ʑS (n )-S (n -1)=h (n -1)+h (n )2ˑ1=a n -1+a n2=12[n (n -1)2+n (n +1)2]=n 22(10分)②设满足条件的正整数N 存在,则n (n +1)2-1012>n 22⇔n2>1012⇔n >2024又M ={2000,2002, ,2008,2010,2012, ,2998ʑN =2024,2026, ,2998均满足条件,它们构成首项为2024,公差为2的等差数列.设共有m 个满足条件的正整数N ,则2024+2(m -1)=2998,解得m =488ʑM 中满足条件的正整数N 存在,共有488个,N m i n =2024(17分) 19.ʌ解析ɔ(1)由题意可知,点C 位于线段A P 的中垂线上,所以A C =P C ,所以A C +B C =P B =4,故点C 的轨迹方程是一个椭圆,其方程为:x 24+y23=1;此椭圆是直线族L 切于点C 的包络线;(4分)(下面用反证法说明点C 是直线L 与椭圆唯一的切点)(不计分)假设还有一个点D 是直线L 与椭圆的交点,则4=D A +D B >B P =4,此式矛盾,故假设不成立,及直线L 与椭圆有且仅有唯一的公共点C ,即为直线与椭圆的切点,所以椭圆是直线族的包络线.(2)从包络线的概念可以看出直线族C D 可以理解成两端在坐标轴上连续滑动,可以考虑用极限的思想处理.设C D 中的一支为:L 1:x a +y 1-a =1,a ɪ0,1 ,即L 1:y =(1-1a )x +1-a ,设L 1与包络线切于M 点;又设C D 中的另一支为:L 2:y =(1-1a +Δa)x +1-a -Δa ,a +Δa ɪ0,1 ,L 2与包络线切于点N ,联立两条直线的它们的交点为P a 2+a ㊃Δa ,a -1 a -1+Δa(7分) 当Δa ң0时,L 1和L 2趋向于重合,此时M ㊁N ㊁P 三点趋于一点;即可认为此时的切点趋近于P .即Δa ң0,时P a 2+a ㊃Δa ,a -1 a -1+Δa ңP a 2,a -1 2 ,又知P x ,y中x ,y ɪ0,1 ,所以点P 的坐标满足方程x +y =1,所以直线族L 的包络线方程是x +y =1.(x y ʂ0)(10分)(3)仿照(2)中的方法,设L 1:y =L s i n θ-x t a n θ,L 2:y =Ls i n θ+Δθ -x t a n θ+Δθ ,联立得x p =s i n θ+Δθ -s i n θt a n θ+Δθ -t a n θ㊃L =s i n θ+Δθ -s i n θ c o s θ+Δθ c o s θs i n θ+Δθ c o s θ-s i n θc o s θ+Δθ㊃L =(s i n θc o s Δθ+s i n Δθc o s θ-s i n θ)c o s θ+Δθ θs i n Δθ㊃L=[s i n θc o s Δθ-1s i n Δθ+c o s θ]c o s θ+Δθ c o s θ㊃L (13分)令f Δθ =c o s Δθ-1s i n Δθ,当Δθң0时,fΔθ =-t a n Δθ2ң0,此时x p ңL c o s 3θ,故y p ңL s i n 3θ,所以此包络线的参数方程为θ为参数 ;(16分) 消参得包络线的方程为:x 23+y 23=L 23(x ȡ0,y ȡ0).(17分)。