江苏省高考数学一轮复习 试题选编24 双曲线 苏教版

双曲线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析 由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________． 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析 如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解 由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1， 故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明 由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1，∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题1 ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为且右焦点与抛物线2y =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.2 ．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为____.3 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.4 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB =,则直线的斜率为_____.5 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为________.6 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.7 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ,过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ,C 两点,若ABC ∆为直角三角形,则双曲线E 的离心率为_________.8 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点,且12PF F 的面积为6,则点P 的坐标为___________9 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆2212x y +=有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________.10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____.11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_____.12．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>,1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点,,A F 分别是双曲线左顶点和坐焦点,若双曲线的离心率为2,则AB 与1B F 夹角的余弦值为______.13．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）若双曲线221(0)yx a a-=>的一个焦点到一条渐近线的距离等于3,则此双曲线方程为______.14．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率的值为______.15．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为__________.16．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为______.17．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为__________.18．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知对称轴为坐标轴且焦点在x 轴上的双曲线,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的方程为________________________.19．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,点F是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,延长FA 与另一条渐近线交于点B .若FB →=2FA →,则双曲线的离心率为________.20．（2010年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,双曲线112422=-y x 上一点M,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是__________21．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2= 4x 的准线交于A 、B 两点,AB =3,则C 的实轴长为______.22．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点,且经过点)2,则该椭圆的离心率为____.23．（2013江苏高考数学）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________.江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线参考答案填空题1. 1222=-y x 2. 由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 即244=0m m -+,解得=2m . 3. 0 4. 12±5. 答案:221520y x -=. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申6. 1222=+y x7. 2 8. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 9. 22221x y -=10. (1,5)-;13. 2213y x -= 14.15.2213664x y -= 16.35;1+18. 2214y x -=19. 2 20. 4 21. 1;22. 23.解析:本题主要考察双曲线12222=-by a x 的两条渐近线的求法,把1改成0得02222=-b y a x ∴双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线的方程为x a by ±=∴双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为x y 43±=。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编24：双曲线填空题1 ．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条,且右焦点与抛物线2y =的焦点重合,则该双曲线的方程为____.【答案】 1222=-y x2 ．（2012年江苏理）在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22214x y m m -=+则m 的值为____.【答案】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 即244=0m m -+,解得=2m . 3 ．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知点P 是椭圆222212222211,,11x y x y F F a a a a +=-=+-与双曲线的交点是椭圆焦点,则12cos F PF ∠=________________.【答案】04 ．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C:22143x y -=.设过点M(0,1)的直线与双曲线C 交于A 、B 两点,若2AM MB =u u u u r u u u r ,则直线的斜率为_____. 【答案】12±5 ．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）已知双曲线22221y x a b-=的一个焦点与圆x 2+y 2-10x =0的圆心重合,,则该双曲线的标准方程为________.【答案】答案:221520y x -=. 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分引申6 ．（江苏省徐州市2013届高三期中模拟数学试题）已知对称中心为原点的双曲线2122=-y x 与椭圆有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的标准方程为___________________.【答案】1222=+y x7 ．（苏州市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点为A ,过双曲线E 的右焦点F 作与实轴垂直的直线交双曲线E 于B ,C 两点,若ABC ∆为直角三角形,则双曲线E 的离心率为_________.【答案】28 ．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）设双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 为双曲线上位于第一象限内一点,且12PF F V 的面积为6,则点P 的坐标为___________ 【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,556 9 ．（江苏省徐州市2013届高三考前模拟数学试题）已知双曲线与椭圆2212x y +=有相同的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该双曲线的方程为________. 【答案】22221x y -=10．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____.【答案】(1,5)-;11．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的右焦点为,F 若以F 为圆心的圆05622=+-+x y x 与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为_____.【答案】3512．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点,,A F 分别是双曲线左顶点和坐焦点,若双曲线的离心率为2,则AB u u u r 与1B F u u uu r 夹角的余弦值为______.13．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）若双曲线221(0)yx a a-=>的则此双曲线方程为______.【答案】2213y x -= 14．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率的值为______.15．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月 ）已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为__________.【答案】2213664x y -= 16．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）设双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为12,F F ,点P在双曲线的右支上,且124PF PF =,则此双曲线离心率的最大值为______. 【答案】35; 17．（江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(一)数学试题）已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点,以线段12F F 为边作正12MF F ∆,若边1MF 的中点在此双曲线上,则此双曲线的离心率为__________.118．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修历史））已知对称轴为坐标轴且焦点在x轴上的双曲线,两个顶点间的距离为2,焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的方程为________________________.【答案】2214y x -= 19．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,点F 是双曲线C :x 2a2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线,垂足为A ,延长FA 与另一条渐近线交于点B .若FB →=2FA →,则双曲线的离心率为________. 【答案】220．（2010年高考（江苏））在平面直角坐标系xOy 中,双曲线112422=-y x 上一点M,点M 的横坐标是3,则M 到双曲线右焦点的距离是__________ 【答案】4 21．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x轴上,C 与抛物线y 2= 4x 的准线交于A 、B 两点,AB =3,则C 的实轴长为______.【答案】1; 22．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷）在平面直角坐标系xOy 中,设椭圆与双曲线2233y x -=共焦点,且经过点)2,则该椭圆的离心率为____.23．（2013江苏高考数学）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为_____________. 【答案】解析:本题主要考察双曲线12222=-by a x 的两条渐近线的求法,把1改成0得02222=-b y a x∴双曲线12222=-b y a x 的两条渐近线的方程为x a by ±=∴双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为x y 43±=。

第7讲双曲线知识梳理1．双曲线的概念(1)第一定义：平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c＞0)的距离的差的绝对值为常数(小于F1F 2且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)第二定义：平面内到一个定点F与到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e(e＞1)的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，定比e 称为离心率．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba xy＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长1．对双曲线定义的认识(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)2．对双曲线的标准方程和几何性质的理解(3)方程x 2m －y 2n ＝1(mn ＜0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)(4)(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为y ＝±12x .(×)(5)(2013·陕西卷改编)双曲线x 216－y 29＝1的离心率为74.(×) (6)若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切．(×) [感悟·提升]1．一点提醒 双曲线定义中的“差”必须是“绝对值的差”，常数必须小于|F 1F 2|且大于零，如(1)中应为双曲线的一支；如(2)中应为两条射线．2．三个防范 一是双曲线中的“a ，b ，c ，e ”和椭圆中的“a ，b ，c ，e ”既相似又有区别，椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而双曲线中c 2＝a 2＋b 2，一定要注意它们的区别，切莫混淆，如(5)；二是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±a b x ⎝ ⎛⎭⎪⎫即x ＝±b a y ，应注意其区别与联系．如(4)； 三是直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点．如(6).考点一 双曲线的定义及应用【例1】 (1)若双曲线x 24－y 212＝1上的一点P 到它的右焦点的距离为8，则点P 到它的左焦点的距离是________．(2)(2013·辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 解析 (1)由题意知c ＝4＋12＝4，设双曲线的左焦点为F 1(－4,0)，右焦点为F 2(4,0)，且|PF 2|＝8.当P 点在双曲线右支上时，|PF 1|－|PF 2|＝4，解得|PF 1|＝12；当P 点在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝4，解得|PF 1|＝4，所以|PF 1|＝4或12，即P 到它的左焦点的距离为4或12. (2)由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，c ＝5. ∴|PQ |＝4b ＝16>2a .又∵A (5,0)在线段PQ 上，∴P ，Q 在双曲线的右支上， 且PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知⎩⎪⎨⎪⎧|PF |－|P A |＝2a ＝6，|QF |－|QA |＝2a ＝6，∴|PF |＋|QF |＝28.∴△PQF 的周长是|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44. 答案 (1)4或12 (2)44规律方法 (1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F 1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验． (2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．【训练1】 (1)(2014·大连模拟)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝________.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析 (1)由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c －a ＝6－4＝2>1，∴|PF 2|＝17.(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.由图可得，当A ，P 、E 三点共线时，(|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|P A |的最小值为9. 答案 (1)17 (2)9考点二 求双曲线的标准方程【例2】 (1)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程为________． 解析 (1)椭圆x 216＋y 29＝1的焦点坐标为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，离心率为e ＝74.由于双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 216＋y 29＝1有相同的焦点，因此a 2＋b 2＝7. 又双曲线的离心率e ＝a 2＋b 2a ＝7a ，所以7a ＝274，所以a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 24－y 23＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k ＝222－(－2)2＝－2. ∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1. 答案 (1)x 24－y 23＝1 (2)y 22－x 24＝1规律方法 求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可． 【训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54； (2)焦距为26，且经过点M (0,12)．(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54. ∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13.∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．∴⎩⎨⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.考点三 双曲线的几何性质【例3】 (1)(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________． (2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为________． 解析 (1)因为PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝32|F 1F 2|＝3c . 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a ，所以离心率e ＝ca ＝3＋1.(2)设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在直角三角形F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义4b －2c＝2a ，即2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，即3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.答案 (1)3＋1 (2)4x ±3y ＝0规律方法 在双曲线的几何性质中，涉及较多的为离心率和渐近线方程． (1)求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e 的关系式求e 或e 的范围；另一种是建立a ，b ，c 的齐次关系式，将b 用a ，e 表示，令两边同除以a 或a 2化为e 的关系式，进而求解．(2)求曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.【训练3】 (1)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右支上，双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，若|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围是________． (2)已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，则该双曲线的离心率为________． 解析 (1)由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝4|PF 2|，所以4|PF 2|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝23a ，|PF 1|＝83a ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧83a ≥c ＋a ，23a ≥c －a ，整理得53a ≥c ，所以c a ≤53，即e ≤53，又e ＞1，所以1＜e ≤53.(2)当焦点在x 轴上时，b a ＝23，即c 2－a 2a 2＝49， 所以e 2＝139，解得e ＝133；当焦点在y 轴上时，b a ＝32，即c 2－a 2a 2＝94， 所以e 2＝134，解得e ＝132， 即双曲线的离心率为132或133. 答案 (1)1＜e ≤53 (2)132或1331．双曲线的很多问题与椭圆有相似之处，在学习中要注意应用类比的方法，但一定要把握好它们的区别和联系．2．双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要熟练掌握以下两个部分：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程．如果已知渐近线方程为ax±by＝0时，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法．3．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点)，“四线”(两条对称轴、两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上的点与两焦点构成的三角形)来研究它们之间的关系．教你审题8——运用双曲线的标准方程及其性质【典例】如图，F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a，b>0)的左，右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B❶与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，❷线段PQ的垂直平分线❸与x轴交于点M.若|MF2|＝|F1F2|，❹则C的离心率是________．[审题]一审：求出直线F1B的方程．二审：求出点P、Q的坐标及PQ中点坐标．三审：求出PQ的垂直平分线方程，令y＝0得M点的坐标．四审：由|MF 2|＝|F 1F 2|建立关系式，求出离心率．解析 依题意，知直线F 1B 的方程为y ＝bc x ＋b ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b c x ＋b ，x a －yb ＝0，得点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫acc －a ，bc c －a ， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，x a ＋yb ＝0，得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac c ＋a ，bc c ＋a ， 所以PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2cb 2，c 2b .所以PQ 的垂直平分线方程为y －c 2b ＝－c b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2c b 2.令y ＝0，得x ＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2，所以c ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＝3c .所以a 2＝2b 2＝2c 2－2a 2，即3a 2＝2c 2.所以e ＝62. 答案 62[反思感悟] 求解双曲线的离心率的关键就是找出双曲线中a ，c 的关系．对于本例的求解，给出的条件较多，对基础知识的考查较为全面，如双曲线的焦点、虚轴、渐近线及垂直平分线等，但都为直接、连贯的条件，直接根据已知条件就可以求解本题． 【自主体验】已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若C 1恰好将线段AB 三等分，则a 2＝________，b 2＝________.解析由题意知：a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，联立方程消去y，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d＝5×2 a4－5a25a2－5＝23a，解得a2＝112，b2＝12.答案11212基础巩固题组(建议用时：40分钟) 一、填空题1．(2014·日照二模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的标准方程为________．解析由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝ca＝5，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的标准方程为x25－y220＝1.答案x25－y220＝12．(2014·苏州一模)已知双曲线x2－k y2＝1的一个焦点是(5，0)，则其离心率为________．解析由已知，得a＝1，c＝ 5.∴e＝ca＝ 5.答案 53．(2014·广州一模)已知双曲线x29－y2a＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．解析由题意得c＝13，所以9＋a＝c2＝13，所以a＝4.即双曲线方程为x29－y24＝1，所以双曲线的渐近线为2x ±3y ＝0.答案 2x ±3y ＝04．(2013·北京卷改编)双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是________．解析 在双曲线x 2－y 2m ＝1中，a ＝1，b ＝m ，则c ＝1＋m ，离心率e ＝c a ＝1＋m1＞2，解得m ＞1.答案 m ＞15．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝______.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a ＝2，∴a ＝1.答案 16．(2014·成都模拟)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为________．解析 不妨取双曲线的右焦点(c,0)，双曲线的渐近线为y ＝b a x ，即bx －ay ＝0.则焦点到渐近线的距离为|bc |b 2＋a 2＝53c ，即b ＝53c ，从而b 2＝59c 2＝c 2－a 2，所以49c 2＝a 2，即e 2＝94，所以离心率e ＝32.答案 327．(2014·郑州二模)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，可解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|×|PF 2|＝24.答案 248．(2014·武汉诊断)已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y 2n －x 2m ＝1的焦距等于4，则n ＝________.解析 因为双曲线的焦点(0,2)，所以焦点在y 轴，所以双曲线的方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，即a 2＝－3m ，b 2＝－m ，所以c 2＝－3m －m ＝－4m ＝4，解得m ＝－1，所以椭圆方程为y 2n ＋x 2＝1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2＝n －1＝4或1－n ＝4，解得n ＝5或－3(舍去)．答案 5二、解答题9．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25，又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.10．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7.(1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知：c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线半实、虚轴长分别为m ，n ，则⎩⎨⎧ a －m ＝4，7·13a ＝3·13m .解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2.∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2| ＝102＋42－(213)22×10×4＝45. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题 1．(2014·焦作二模)直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左右两支分别交于M 、N 两点，F 是双曲线C 的右焦点，O 是坐标原点，若|FO |＝|MO |，则双曲线的离心率等于________．解析 由题意知|MO |＝|NO |＝|FO |，∴△MFN 为直角三角形，且∠MFN ＝90°，取左焦点为F 0，连接NF 0，MF 0，由双曲线的对称性知，四边形NFMF 0为平行四边形． 又∵∠MFN ＝90°，∴四边形NFMF 0为矩形，∴|MN |＝|F 0F |＝2c ，又∵直线MN 的倾斜角为60°，即∠NOF ＝60°，∴∠NMF ＝30°，∴|NF |＝|MF 0|＝c ，|MF |＝3c ，由双曲线定义知|MF |－|MF 0|＝3c －c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝3＋1. 答案 3＋12．(2014·临沂联考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析 由题意知，△ABE 为等腰三角形．若△ABE 是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．根据对称性，只要∠AEF <π4即可．直线AB 的方程为x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b 4a 2，取点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则|AF |＝b 2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |<|EF |就能使∠AEF <π4，即b 2a <a ＋c ，即b 2<a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2<0，即e 2－e －2<0，即－1<e <2.又e >1，故1<e <2.答案 (1,2)3.如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.解析 (1)由△B 2OF 2的面积可得ab 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52. (2)设∠B 2F 1O ＝θ，则sin θ＝bb 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c 2，S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bcb 2＋c 2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案 (1)1＋52 (2)2＋52二、解答题4．(2014·湛江二模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)， ∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0， ∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.。