2020届高考数学(理)单元质量测试(八)

单元质量测试(八)时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1.同时抛掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )A.“至少有1枚正面”与“最多有1枚正面”B.“最多有1枚正面”与“恰有2枚正面”C.“至多有1枚正面”与“至少有2枚正面”D.“至少有2枚正面”与“恰有1枚正面” 答案 C解析 两个事件是对立事件必须满足两个条件：①不同时发生，②两个事件的概率之和等于1.故选C. 2.某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400,400,400,300,300,200.为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( )A.120 B ．40 C ．30 D ．20 答案 B解析 ∵一年级学生共400人，∴抽取一个容量为200的样本，用分层抽样的方法抽取的一年级学生人数为4002000×200＝40.选B. 3.设随机变量X ～N (0,1)，若P (X >1)＝p ，则P (－1<X <0)等于( ) A.12＋p B ．1－p C ．1－2p D.12－p 答案 D解析 P (－1<X <0)＝1－2P (X >1)2＝12－p .选D.4.[2017·湖南邵阳二模]对同一样本，A.a ＝45，c ＝15 B ．a ＝40，c ＝20 C.a ＝35，c ＝25 D ．a ＝30，c ＝30答案 A当a a ＋10与c c ＋30相差越大时，X 与Y 有关系的可能性越大，即a ，c 相差越大，a a ＋10与c c ＋30相差越大．故选A.解析 根据2×2列联表与独立性检验可知， 5.[2017·河南安阳二模]已知变量x 与y 的取值如下表所示，且2.5<n <m <6.5，则由该数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.8x ＋2.3B.y ^＝2x ＋0.4 C.y ^＝－1.5x ＋8 D.y ^＝－1.6x ＋10答案 D解析 由2.5<n <m <6.5，可得为负相关，排除A ，B ；由题意，知x －＝3.5，y －＝14×(6.5＋m ＋n ＋2.5)∈(3.5,5.5)，分别代入选项C ，D ，可得D 满足．故选D.6．某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( ) A.13 B.23 C.14 D.34答案 B解析 由题意知此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.7.[2017·漳州二模]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为( ) A.15 B.14 C.35 D.34 答案 D解析 记“取到的2个数之和为偶数”为事件A ，“取到的2个数均为奇数”为事件B ，则P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25， P (AB )＝C 23C 25＝310.由条件概率的计算公式得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31025＝34.故选D.8.10枚均匀的骰子同时掷出，共掷5次，至少有一次全部出现一点的概率是( ) A.1－56105 B ．1－56610C.1－1－16510 D ．1－1－16105答案 D解析 一次同时掷出10枚均匀的骰子，10枚骰子全部出现一点的概率等于1610，故10枚骰子没有全部出现一点的概率等于1－1610.事件“掷5次，至少有一次10枚骰子全部出现一点”的对立事件为“掷5次，每次掷出的10枚骰子中，至少有一枚没有出现一点”，故至少有一次10枚骰子全部出现一点的概率等于1－1－16105.故选D.9.[2017·银川一模]已知随机变量ξ的分布列如表所示，其中α∈0，π2，则E (ξ)＝( )A.2 B ．1或2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由随机变量的分布列的性质，得sin α4＋sin α4＋cos α＝1，即sin α＋2cos α＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2－2cos α，sin 2α＋cos 2α＝1，得5cos 2α－8cos α＋3＝0，解得cos α＝35或cos α＝1(舍去)，则sin α＝45，则E (ξ)＝－sin α4＋2cos α＝－14×45＋2×35＝1.故选D.10.[2018·沈阳诊断]从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法总数为m ，下列各式的展开式中x 9的系数为m 的选项是( )A.(1＋x )(1＋x 2)(1＋x 3)…(1＋x 11)B.(1＋x )(1＋2x )(1＋3x )…(1＋11x )C.(1＋x )(1＋2x 2)(1＋3x 3)…(1＋11x 11)D.(1＋x )(1＋x ＋x 2)(1＋x ＋x 2＋x 3)…(1＋x ＋x 2＋…＋x 11) 答案 A解析 x 9是由x ，x 2，x 3，x 4，x 5，…，x 11中的指数和等于9的那些项的乘积构成，有多少个这样的乘积就有多少个这样的x 9，这与从重量分别为1,2,3,4，…，10,11克的砝码(每种砝码各一个)中选出若干个，使其总重量恰为9克的方法的意义一样，所以就是(1＋x )(1＋x 2)·(1＋x 3)…(1＋x 11)的展开式中x 9的系数，选A. 11.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a ，b ，m (m >0)为整数，若a 和b被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为a ＝b (b mod m )．若a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220，a ＝b (b mod 10)，则b 的值可以是( ) A.2011 B ．2013 C ．2015 D ．2017 答案 A解析 ∵a ＝C 020＋C 120×2＋C 220×22＋…＋C 2020×220＝(1＋2)20＝320＝910＝(10－1)10＝C 010×1010－C 110×109＋C 210×108－…－C 920×10＋C 1010，∴a 被10除得的余数为1，而2011被10除得的余数是1，故选A. 12.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为( )A.420 B ．200 C ．180 D ．150 答案 D解析 由题意知，5名教师的指派分组可以为1,2,2或1,1,3两种不同的方法，当分组为1,2,2时，不同的分派方法种数为C 15C 24A 33A 22＝90，当分组为1,1,3时，不同的分派方法种数为C 35C 12A 33A 22＝60，所以不同的分派方法种数为90＋60＝150.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13.[2017·山东高考]已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝________.答案 4解析 (1＋3x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n (3x )r .令r ＝2，得T 3＝9C 2n x 2.由题意得9C 2n ＝54，解得n ＝4.14.某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为9：00至17：00，设甲在当天13：00至18：00之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率是________. 答案 45解析 该题为长度型几何概型，所以概率P ＝17－1318－13＝45.15.[2018·衡阳联考]将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________.答案 34解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.16.[2017·佛山一模]某保险公司针对企业职工推出一款意外险产品，每年每人只要交少量保费，发生意外后可一次性获赔50万元．保险公司把职工从事的所有岗位共分为A ，B ，C 三类工种，根据历史数据统计之和为________元. 答案 81.25解析 设工种A 的每份保单保费为a 元，保险公司每份保单的利润为随机变量X ，则X 的分布列为保险公司期望利润为E (X )＝a 1－1105＋(a －50×104)×1105＝a －5(元)，根据规定知，a －5≤0.2a ，解得a ≤6.25.设工种B 的每份保单保费为b 元，同理可得保险公司期望利润为(b －10)元，根据规定知，b －10≤0.2b ，解得b ≤12.5，设工种C 的每份保单保费为c 元，同理可得保险公司期望利润为(c －50)元，根据规定知，c －50≤0.2c ，解得c ≤62.5.则A ，B ，C 三类工种每份保单保费的上限之和为6.25＋12.5＋62.5＝81.25(元).三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.[2018·云南统测](本小题满分10分)某同学在研究性学习中，收集到某工厂今年前5个月某种产品的产量(单位：万件)(1)若从这5组数据中随机抽出 (2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并估计今年6月份该种产品的产量.参考公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解 (1)设事件A 为“抽出的2组数据恰好是相邻两个月的数据”，所有的基本事件(m ，n )(其中m ，n 表示月份)有C 25＝10种，其中事件A 包含的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，共4种， ∴P (A )＝410＝25.(2)x ＝15×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，y ＝15×(4＋4＋5＋6＋6)＝5，∑i ＝15x i y i ＝1×4＋2×4＋3×5＋4×6＋5×6＝81，∑i ＝15x 2i ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， ∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝81－5×3×555－5×9＝0.6，a ^＝y －b ^x ＝5－0.6×3＝3.2，∴y ^＝0.6x ＋3.2.当x ＝6时，y ＝6.8，故今年6月份该种产品的产量大约为6.8万件. 18.[2017·福建福州综合检测](本小题满分12分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元.方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？解 (1)P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725，P (X ＝500)＝45×12＝25，P (X ＝1000)＝45×12×45＝825，∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1000×825＝520，若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B （3，25，）则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480，故选择方案甲较划算. 19.[2018·安徽蚌埠质检](本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[5,15]，(15,25]，(25,35]，(35,45]．由此得到样本的重量频率分布直方图(如图).(1)求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5,15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解 (1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03.又由题图最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20克. 50个样本小球重量的平均值为x ＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克). (2)利用样本估计总体，该盒子中小球重量在[5,15]内的概率为0.2，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15. X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15⎝⎛⎭⎫452＝48125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152⎝⎛⎭⎫45＝12125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. ∴X∴E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35⎝⎛⎭⎫或E (X )＝3×15＝35. 20.[2017·安徽阶段性测试](本小题满分12分)近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇.2016年“618”期间，某购物平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)请完成关于商品和服务评价的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全为好评的次数为随机变量X .①求对商品和服务全为好评的次数X 的分布列； ②求X 的数学期望和方差.K 2的观测值：k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ).关于商品和服务评价的2×2列联表：解 (1)K 2＝200×(80×10－40×70)2150×50×120×80≈11.111>10.828，故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关.(2)①每次购物时，对商品和服务全为好评的概率为25，且X 取值可以是0,1,2,3.其中P (X ＝0)＝353＝27125；P (X＝1)＝C 1325352＝54125；P (X ＝2)＝C 2325235＝36125；P (X ＝3)＝C 33253350＝8125. 所以X 的分布列为②由于X ～B 3，25，则E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×1－25＝1825.21.[2017·河北石家庄一模](本小题满分12分)人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人的听力在0～25 dB(分贝)之间，并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图如图：(1)现从听力测试值为(0,10]的同学中任意抽取4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(2)在(1)中抽取的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发声情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4.测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号a 1，a 2，a 3，a 4(其中a 1，a 2，a 3，a 4为1,2,3,4的一个排列)．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，Y ＝|1－a 1|＋|2－a 2|＋|3－a 3|＋|4－a 4|，求Y ≤2的概率.解 (1)由频率分布直方图知，50名同学中听力测试值为(0,10]的同学人数为50×(0.016＋0.024)×5＝10，其中听力非常优秀的同学人数为4，听力优秀的人数为6.则X 的可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 14·C 36C 410＝821，P (X ＝2)＝C 24·C 26C 410＝37，P (X ＝3)＝C 34·C 16C 410＝435，P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210.∴X 的分布列为E (X )＝0×114＋1×821＋2×37＋3×435＋4×1210＝1.6.(2)序号a 1，a 2，a 3，a 4的排列总数为A 44＝24，当Y ＝0时，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4.当Y ＝|1－a 1|＋|2－a 2|＋|3－a 3|＋|4－a 4|＝2时，a 1，a 2，a 3，a 4的取值情况有3种，分别为 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝3； a 1＝1，a 2＝3，a 3＝2，a 4＝4； a 1＝2，a 2＝1，a 3＝3，a 4＝4. 故P (Y ≤2)＝424＝16.22.[2018·黄冈质检](本小题满分12分)噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题．为了了解声音强度D (单位：分贝)与声音能量I (单位：W/cm 2)之间的关系，将测量得到的声音强度D i 和声音能量I i (i ＝1,2，…，10)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1) 表中W i ＝lg I i ，W ＝110∑i ＝110W i 根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程D ^＝a ^＋b ^lg I ；(2)当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染．城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是I 1和I 2，且1I 1＋4I 2＝1010.已知点P 的声音能量等于声音能量I 1与I 2之和，请根据(1)中的回归方程，判断点P 是否受到噪声污染的干扰，并说明理由.附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解 (1)根据散点图，D ＝a ＋b lg I 适合作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程. 令W i ＝lg I i ，先建立D 关于W 的线性回归方程，由于b ^＝∑i ＝110(W i －W )(D i －D )∑i ＝110(W i －W )2＝5.10.51＝10， ∴a ^＝D －b ^W ＝160.7，∴D 关于W 的线性回归方程是D ^＝10W ＋160.7， ∴D 关于I 的线性回归方程是D ^＝10lg I ＋160.7. (2)点P 的声音能量I ＝I 1＋I 2，∵1I 1＋4I 2＝1010，∴I ＝I 1＋I 2＝10－10⎝⎛⎭⎫1I 1＋4I 2(I 1＋I 2) ＝10－10⎝⎛⎭⎫5＋I 2I 1＋4I 1I 2≥9×10－10，当且仅当I 2＝2I 1，即I 1＝3×10－10时等号成立. 根据(1)中的回归方程，点P 的声音强度D 的预报值 D ^＝10lg (9×10－10)＋160.7＝10lg 9＋60.7>60， ∴点P 会受到噪声污染的干扰.。