必修五线性规划课后习题

第三章不等式
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
简单的线性规划问题
第课时简单的线性规划问题
级基础巩固
一、选择题．若变量，满足约束条件
且＝＋的最大值和最小值分别为和，则－＝( )
．．．．
解析：画出可行域，如图阴影部分所示．
由＝＋，得＝－＋.
由得
所以(－，－)．
由得
所以(，－)．
当直线＝－＋经过点时，＝×(－)－＝－＝，
当直线＝－＋经过点时，＝×－＝＝，故－＝.
答案：．设变量，满足约束条件则目标函数＝－的取值范围是( )
解析：作出可行域如图所示．
：－＝，在可行域内平移，可知在点处取最小值为－，在点处取
最大值为.
答案：．已知实数，满足条件
若目标函数＝－(≠)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数的
值为 ( )
．．－．－
解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线＝－(≠)与直线－＋＝重合，即＝时，目标函数
＝－取最大值的最优解有无穷多个．
答案：．若实数，满足不等式组
目标函数＝－的最大值为，则实数的值是( )
．．．．
解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数＝－，得直线
＝－在点(，)处取得最大值，即＝－·＝－＝，得＝.
答案：。

3．3．2 简单的线性规划问题(一)一、基础过关1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为 ( )A ．9B ．157C ．1D ．7152．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为 ( )A.10B ．8C ．16D ．103．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,34．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为______． 5．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示) 6．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．二、能力提升7．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．18．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为 ( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 29．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．10．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，求目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值．三、探究与拓展11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4.(1)求x 2＋y 2－2的取值范围； (2)求yx －3的取值范围．答案1．A 2.D 3.A 4.2 5.(3,8)6．解如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋3y≥12，x＋y≤10，3x＋y≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z 取最小值，此时z最大，即z max＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z 最小，即z min＝2×1－9＝－7.∴zmax＝17，z min＝－7.7．A8.B9．解作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－5≥0，3x－y－5≤0，x－2y＋5≥0，的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)，设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ， ∴原点到点C 的距离最小． 故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5.10．解 约束条件的可行域如图阴影所示，作出直线l 0：2x ＋3y ＝0.平移直线2x ＋3y ＝0，当直线通过点(1,0)时，z 有最小值，z 最小值＝2×1＋3×0＝2. 11．解 (1)作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方， 最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16，(x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114，∴16≤x 2＋y 2－2≤114. 即16≤x 2＋y 2－2≤114.(2)yx －3＝y －0x －3.可以看作是区域内的动点与点(3,0)连线的斜率．观察图象知 y x －3≥2－04－3或y x －3≤5－01－3， ∴yx －3的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪[2，＋∞)．。

第2课时线性规划的实际应用练习1．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，投资人对甲、乙两个项目各投资x，y万元，收益为z万元，则该问题中的线性约束条件是()A．10,0.30.1 1.8,0,x yx yxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥B．10,0.30.1 1.8,0,x yx yxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥≤≥≥C．10,0.30.1 1.8x yy x+⎧⎨+⎩≤≤D．10,0.30.1 1.8,0,x yy xxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥≤≥≥2．某公司计划2012年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙两个电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，则线性目标函数为()A．z＝500x＋200y B．z＝3 000x＋2 000yC．z＝500y＋200x D．z＝x＋y3．已知变量x，y满足20,350,x yx y-⎧⎨-+⎩≤≥则z＝x＋y－2的最大值为()A．1 B．2 C．3 D．44．已知x，y满足约束条件75230,7110,4100,x yx yx y--⎧⎪+-⎨⎪++⎩≤≤≥则4x－3y的最小值和最大值分别是()A．－8,14 B．－8,4C．－18,3 D．－18,145．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力() A．C．1,4 D．2,46．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则线性约束条件是__________，线性目标函数是__________．7．(2011·北京西城二模)平面上满足约束条件2,0,60xx yx y⎧⎪+⎨⎪--⎩≥≤≤的点(x，y)形成的区域为D，则区域D的面积为__________；设区域D关于直线y＝2x－1对称的区域为E，则区域D和区域E中距离最近的两点的距离为__________．8．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有__________种．9．某人有一栋楼房，室内面积共计180 m2，拟隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为15 m2，可住游客3名，每名游客每天住宿费50元．装修大房间每间需要1 000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8 000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？参考答案1. 答案：A2. 答案：B3. 答案：A 作出可行域，如图所示的阴影部分．线性目标函数z ＝x ＋y －2即y ＝－x ＋z ＋2，求z ＝x ＋y －2的最大值转化为求直线y ＝－x ＋z ＋2在y 轴上截距z ＋2的最大值，结合图象知，当直线y ＝－x ＋z ＋2经过点A (1,2)时在y 轴上的截距z ＋2取最大值3，即z ＋2≤3，所以z ≤1.4. 答案：D 不等式组75230,7110,4100x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪++⎩≤≤≥表示的公共区域如图中的阴影部分所示．其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．故z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.5. 答案：A 设托运货物甲x 箱，托运货物乙y 箱，由题意，得5424,2513,0,0,,*,x y x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪∈⎩N ≤≤≥≥利润z ＝20x ＋10y .由线性规划知识，可得当x ＝4，y ＝1时，利润最大．6. 答案：2900,2600,0,,0,x y x y x x y y +⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N≤≤≥≥ z ＝80x ＋120y7. 答案：1画出不等式组表示的平面区域D ，如图中的阴影部分所示，则区域D 是△ABC ，且A (2，－2)，B (3，－3)，C (2，－4)，则|AC |＝2，点B 到直线AC 的距离d ＝1，则区域D 的面积是S △ABC ＝1122AC d =×2×1＝1. 点A 到直线y ＝2x －1的距离d ′=，设A 关于直线y ＝2x －1的对称点A ′，由图知，区域D 中，点A 到直线y ＝2x －1的距离最近，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为|AA ′|＝2d ′＝8. 答案：7 设购买软件x 片，磁盘y 盒．由题意，得6070500,3,,2,,x y x x y y +⎧⎪∈⎨⎪∈⎩N N ≤≥≥即6750,3,,2,,x y x x y x +⎧⎪∈⎨⎪∈⎩N N ≤≥≥∴3≤x ≤6.∴x ＝3,4,5,6. 当x ＝3时，2≤y ＜327，此时y ＝2,3,4. 当x ＝4时，2≤y ＜267，此时y ＝2,3.当x ＝5时，2≤y ＜207，此时y ＝2.当x ＝6时，y ＝2.∴整点为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，则不同的选购方式有7种． 9. 解：设隔出大房间x 间，小房间y 间，收益为z 元，则x ，y 满足1815180,10006008000,0,,0,,x y x y x x y y +⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ≤≤≥≥即6560,5340,0,,0,,x y x y x y y y +⎧⎪+⎪⎨∈⎪⎪∈⎩N N ≤≤≥≥目标函数为z ＝200x ＋150y .作出可行域，如图所示的阴影部分．由图知，当直线z＝200x＋150y经过可行域上的点M时，z取最大值．解方程组6560, 5340, x yx y+=⎧⎨+=⎩得点M的坐标为2060,77⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于点M的坐标不是整数，而最优解(x，y)是整点，所以可行域内的点2060,77M⎛⎫⎪⎝⎭不是最优解．经验证：经过可行域，且使z＝200x＋150y取得最大值的整点是(0,12)和(3,8)，此时z max ＝1 800元，即应隔出小房间12间，或大房间3间，小房间8间，可以获得最大效益．。

高中数学新人教A 版必修 5 练习附答案3. 3. 2 简单的线性规划问题课后篇 巩固探究A 组1. 已知某线性规划问题中的目标函数为 z=3x-y , 若将其看成直线方程 , 则 z 的几何意义是()A . 该直线的截距B . 该直线的纵截距C . 该直线的纵截距的相反数D . 该直线的横截距解析 由 z=3x-y , 得 y=3x-z , 在该方程中 -z 表示直线的纵截距 , 因此 z 表示该直线的纵截距的相反数 . 答案 C2. 目标函数 z=x-y 在 的线性约束条件下 , 取得最大值的可行解为 ( )A (0,1)B ( - 1, - 1)C (1,0) D. ... 解析 可以验证这四个点均是可行解 , 当 x=0, y=1 时 , z=-1; 当 x=- 1, y=- 1 时 , z=0; 当 x=1, y=0 时, z=1; 当 x=, y=时 , z=0. 排除选项 A,B,D, 故选 C .答案 C3. 若变量 x , y 满足约束条件 目标函数为 z=4x+2y , 则有 ()A. z 有最大值无最小值B. z 有最小值无最大值C.z 的最小值是 8D. z 的最大值是 10解析 由 z=4x+2y , 得 y=- 2x+.作出不等式组对应的平面区域 , 如图阴影部分所示 .平移直线 y=- 2x ,当直线 y=- 2x+经过点 B (0,1) 时 , 直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最小 , 此时 z 最小 , 且 z min =2.当直线 y=- 2x+经过点 C(2,1)时,直线 y=- 2x+在 y 轴上的截距最大, 此时z最大 , 且z max=4×2+2×1=10. 故选D.答案 D4.若直线y=2x上存在点 ( x, y) 满足约束条件则实数m的最大值为()A.- 1B.1C. D.2解析满足约束条件的平面区域如图中的阴影部分所示, 由得交点P(1,2).当直线 x=m经过点 P 时, m取到最大值1.答案 B5.已知实数x, y 满足约束条件则z=2x+y的最小值为.解析因为 z=2x+y,所以 y=- 2x+z. 不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示. 平移直线2x+y=0, 由图形可求得z=2x+y 的最小值是 - 2.答案 -26.已知变量x, y 满足则z=x+y-2的最大值为.解析作出可行域 , 如图阴影部分所示.由图知 , 目标函数z=x+y- 2在点 A 处取得最大值 .易知 (1,2), 故max 1 2 2 1A z = + - = .答案 17.铁矿石 A 和 B 的含铁率a、冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格 c 如下表 :b/c/ 百a 万万元吨A 50%1 3B 70%0. 5 6某冶炼厂至少要生产1. 9 万吨的铁 , 若要求 CO2的排放量不超过 2 万吨 , 则购买铁矿石的最少费用为百万元 .解析设需购买铁矿石 A x万吨 , 铁矿石 B y万吨 , 购买费用为z,则根据题意得到的约束条件为目标函数为z=3x+6y. 画出约束条件表示的可行域, 如图阴影部分所示.当直线3 6 经过点 (1,2) 时 ,z 取最小值 , 且z最小值 3 16 215x+ y=z = ×+×= .答案 158.导学号04994076已知S为平面上以A(3, - 1), B( - 1,1),C(1,3)为顶点的三角形区域 ( 含三角形内部及边界) .若点 ( x, y) 在区域S上移动.(1)求 z=3x- 2y 的最值;(2)求 z=y-x 的最大值,并指出其最优解 .解 (1) z=3x- 2y可化为y=x-x+b,故求 z 的最大值、最小值, 相当于求直线y=x+b 在 y 轴上的截距 b 的最小值、最大值, 即b取最大值 , z取最小值 ; 反之亦然.①如图 ①, 平移直线 y=x , 当 y=x+b 经过点 B 时 , b max =, 此时 z min =-2b=- 5; 当 y=x+b 经过点 A时, b min =- , 此时 z max =- 2b=11. 故 z=3x- 2y 的最大值为 11, 最小值为 - 5.(2) z=y-x 可化为 y=x+z , 故求 z 的最大值 , 相当于求直线y=x+z 在 y 轴上的截距 z 的最大值 .如图② , 平行移动直线y=x , 当直线y=x+z 与直线 重合时 ,max2, 此时线段 上任一点的坐BCz = BC标都是最优解 .②9. 甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产 , 一农民有山地 20 亩 , 根据往年经验 , 若种脐橙 , 则每年每亩平均产量为1 000 千克 ; 若种甜柚 , 则每年每亩平均产量为1 500 千克 . 已知脐橙成本每年每亩 4 000 元, 甜柚成本较高 , 每年每亩 12 000 元 , 且脐橙每千克卖 6 元 , 甜柚每千克卖 10 元 . 现该农民有 120 000 元 , 那么两种水果的种植面积分别为多少 , 才能获得最大收益 ?解设该农民种 x 亩脐橙 , y 亩甜柚时 , 能获得利润 z 元.则 z=(1 000 ×6- 4 000) x+(1 500 ×10- 12 000) y=2 000 x+3 000 y ,其中 x , y 满足条件作出可行域 , 如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+经过点 A (15,5), 即种 15 亩脐橙 ,5 亩甜柚时 , 每年收益最大 , 为 45 000 元 .B 组1 . 若变量 , y 满足约束条件且 5的最大值为 , 最小值为 b , 则 a-b 的值是x z= y-x a( )A.48B.30C.24D.16解析 画出可行域 , 如图阴影部分所示 .由图可知 , 当直线 y=经过点 A 时 , z 有最大值 ; 经过点 B 时, z 有最小值 . 联立方程组解得即 A (4,4) .对 x+y=8, 令 y=0, 则 x=8, 即 B (8,0), 所以 a=5×4- 4=16, b=5× 0- 8=-8, 则 a-b=16- ( - 8) =24, 故选 C . 答案 C2. 已知正数 x , y 满足则 z=22x+y 的最大值为 ()A . 8B . 16C . 32D . 64解析 设 t= 2x+y , 可求得当直线 t= 2x+y 经过 2x-y= 0 与 x- 3y+5=0 的交点 (1,2) 时 , t 取最大值4, 故22x+y的最大值为 16 . z=答案 B3. 已知 x , y 满足约束条件若 z=x- 3y+m 的最小值为 4, 则 m=( )A .6B .8C .10D .12解析 作出满足约束条件的可行域, 如图中的阴影部分所示 . 由 z=x- 3y+m , 得 y=x- , 则由图可知 z=x- 3y+m 在点 A ( - 2,2) 处取得最小值 , 则有 z=- 2- 3×2+m=4, 所以 m=12, 故选 D .答案 D4. 已知变量 x , y 满足约束条件 则 z=3|x|+y 的取值范围为 ()A . [ - 1,5]B . [1,11]C . [5,11]D . [ - 7,11] 解析 画出可行域 , 由可行域可知 ,当 x ≥0时, 3 的取值范围是 [1,11];当0 时, 3的取值范围是 (1,5] . 综z= x+yx<z=- x+y上, z=3|x|+y 的取值范围为 [1,11] .答案 B5. 若变量 x , y 满足约束条件则 z=x+的取值范围为.解析 由题意知不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分( △ OAB 及其内部 ), 其中 (0,0), (1,2), (2, 1), 因此当直线经过点 A 时 , z 取得最大值 , 即 z max 12; 当直线 OAB -z=x+= +=z=x+经过点 O 时 , z 取得最小值 , 即 z min =0. 所以 z=x+的取值范围为 [0,2] .答案 [0,2]6. 某公司生产甲、 乙两种桶装产品 , 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克 ;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元 , 每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中 , 要求每天消耗 A,B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排生产计划 , 从每天生产的甲、乙两种产品中 , 公司共可获得的最大利润是元.解析 设生产甲产品 x 桶 , 乙产品 y 桶 , 每天利润为 z 元, 则z=300x+400y.作出可行域 , 如图中的阴影部分所示. 作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点 A时, z=300x+400y取最大值.由所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.答案 2 8007.已知z=2y- 2x+4, 其中x, y满足条件求z的最大值和最小值.解作出不等式组表示的平面区域,如图中的阴影部分所示. 令2y- 2x=t ,则当直线2y- 2x=t 经过点 A(0,2)时, z max=2×2- 2×0+4=8;当直线 2y- 2x=t经过点B(1,1) 时 , z min=2×1- 2×1+4=4.故z 的最大值为 8, 最小值为 4.8. 导学号 04994077 某公司有 60 万元资金 , 计划投资甲、乙两个项目 , 按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元.对甲项目每投资 1 万元可获得0. 4 万元的利润 , 对乙项目每投资 1 万元可获得 0. 6 万元的利润 , 该公司正确规划投资后 , 在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?解设投资甲项目x 万元,投资乙项目 y 万元,可获得利润为z 万元,则目标函数为z=0. 4x+0. 6y.作出满足题意的可行域如图阴影部分所示.由 z=0. 4x+0. 6y,得 y=-x+z.由得 A(24,36) .由图知 , 当直线y=-x+z经过点A时 , z取得最大值 , 即z取得最大值. 故 z max=0. 4×24+0. 6×36=31. 2(万元),即一共可获得的最大利润为31.2 万元.。

2021年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C) (D)74.已知x、y满足不等式组且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B) (C) (D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件求z=(x- )2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足，试求的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-，当直线过点A （3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由得A(a，a)，由得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-过直线的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点（）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=，它表示与y=x平行、截距是-的一族平行直线，当它经过点A时，截距-最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-最小，此时z最大（取不到）.由⇒A(3,1)由⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（,0)距离的平方.【解析】由作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-)2+y2表示可行域内的任意一点与点(，0)距离的平方.因此(x-)2+y2的最小值为点(,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=.z的最大值为点(,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=，∴z的取值范围是［, ］. 【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即的最大值为4.32154 7D9A 続Qw24733 609D 悝30899 78B3 碳A40191 9CFF 鳿" _31261 7A1D 稝35449 8A79 詹B23309 5B0D 嬍37681 9331 錱。

3．3.2 简单的线性规划问题(一)课时目标1．了解线性规划的意义．2．会求一些简单的线性规划问题．名称 意义 约束条件 由变量x ，y 组成的不等式或方程 线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的函数解析式 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题一、选择题1．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9. 2．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，则x 2＋y 2的最大值为( )A.10 B ．8 C ．16 D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如下图所示： 易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)， |OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10.∴(x 2＋y 2)max ＝|OC |2＝(10)2＝10.3．在坐标平面上有两个区域M 和N ，其中区域M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤x y ≤2－x ，区域N ＝{(x ，y )|t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1}，区域M 和N 公共部分的面积用函数f (t )表示，则f (t )的表达式为( )A ．－t 2＋t ＋12 B ．－2t 2＋2tC ．1－12t 2 D.12(t －2)2答案 A 解析作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0y ≤xy ≤2－x所表示的平面区域．由t ≤x ≤t ＋1,0≤t ≤1，得f (t )＝S △OEF －S △AOD －S △BFC＝1－12t 2－12(1－t )2＝－t 2＋t ＋12.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.5设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0y ≥x，所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，则|AB |的最小值为( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 如图所示．由约束条件作出可行域，得D (1,1)，E (1,2)，C (3,3)．要求|AB |min ，可通过求D 、E 、C 三点到直线3x －4y －9＝0距离最小值的2倍来求．经分析，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3×1－4×1－9|5＝2最小，∴|AB |min ＝4.二、填空题6．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3.则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为________．答案 7解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)答案 (3,8)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ＋y <4，2<x －y <3得平面区域如图阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.∴2×3－3×1<z ＝2x －3y <2×1－3×(－2)， 即3<z <8，故z ＝2x －3y 的取值范围是(3,8)． 8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0，则yx的最大值为________． 答案 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0，x ≥1，y ≥0，x ＋2y －3≥0对应的平面区域Ω，y x ＝y －0x －0表示平面区域Ω上的点P (x ，y )与原点的连线的斜率． A (1,2)，B (3,0)，∴0≤yx≤2.三、解答题9．线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≥12x ＋y ≤103x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)， x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z ，即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.10．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0，求x 2＋y 2的最小值和最大值．解 作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5≥03x －y －5≤0x －2y ＋5≥0的可行域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝02x ＋y －5＝0，得A (1,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5＝03x －y －5＝0，得B (3,4)， 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝02x ＋y －5＝0，得C (2,1)， 设z ＝x 2＋y 2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B 的距离最大，注意到OC ⊥AC ，∴原点到点C 的距离最小．故z max ＝|OB |2＝25，z min ＝|OC |2＝5. 能力提升11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋6)(x ＋y －6)≥01≤x ≤4，求x 2＋y 2－2的取值范围．解 作出可行域如图，由x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，可以看作区域内的点与原点的距离的平方，最小值为原点到直线x ＋y －6＝0的距离的平方， 即|OP |2，最大值为|OA |2，其中A (4,10)，|OP |＝|0＋0－6|12＋12＝62＝32，|OA |＝42＋102＝116，∴(x 2＋y 2－2)min ＝(32)2－2＝18－2＝16， (x 2＋y 2－2)max ＝(116)2－2＝116－2＝114， ∴16≤x 2＋y 2－2≤114.即x 2＋y 2－2的取值范围为16≤x 2＋y 2－2≤114. 12．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥03x －y －3≤0，试求z ＝y ＋1x ＋1的最大值和最小值．解 由于z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，所以z 的几何意义是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率，因此y ＋1x ＋1的最值就是点(x ，y )与点M (－1，－1)连线的斜率的最值，结合图可知，直线MB 的斜率最大，直线MC 的斜率最小，即 z max ＝k MB ＝3，此时x ＝0，y ＝2；z min ＝k MC ＝12，此时x ＝1，y ＝0.∴z 的最大值为3，最小值为12.1．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。

3.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y ,若将其看成直线方程,则z 的几何意义是( ) A .该直线的截距 B .该直线的纵截距 C .该直线的纵截距的相反数 D .该直线的横截距z=3x-y ,得y=3x-z ,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此z 表示该直线的纵截距的相反数.2. 目标函数z=x-y 在{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x +y ≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )A .(0,1)B .(-1,-1)C .(1,0)D .(12,12),当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C .3.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,目标函数为z=4x+2y ,则有( )A.z 有最大值无最小值B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是8D.z 的最大值是10z=4x+2y ,得y=-2x+z.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示. 平移直线y=-2x ,当直线y=-2x+z经过点B (0,1)时,直线y=-2x+z在y 轴上的截距最小,此时z 最小,且z min =2.当直线y=-2x+z2经过点C (2,1)时,直线y=-2x+z 2在y 轴上的截距最大,此时z 最大,且z max =4×2+2×1=10.故选D .4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C.32D.2,由{y =2x ,x +y -3=0得交点P (1,2).当直线x=m 经过点P 时,m 取到最大值1.5.已知实数x ,y 满足约束条件{x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3,则z=2x+y 的最小值为 .z=2x+y ,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y 的最小值是-2.26.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取得最大值. 易知A (1,2),故z max =1+2-2=1.7.铁矿石A 和B 的含铁率a 、冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为 百万元.A x 万吨,铁矿石B y 万吨,购买费用为z ,则根据题意得到的约束条件为{x ≥0,y ≥0,0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y ≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z 经过点(1,2)时,z 取最小值,且z 最小值=3×1+6×2=15.8. 已知S 为平面上以A (3,-1),B (-1,1),C (1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x ,y )在区域S 上移动. (1)求z=3x-2y 的最值;(2)求z=y-x 的最大值,并指出其最优解.z=3x-2y 可化为y=32x-z 2=32x+b ,故求z 的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b 在y 轴上的截距b 的最小值、最大值,即b 取最大值,z 取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=32x ,当y=32x+b 经过点B 时,b max =52,此时z min =-2b=-5;当y=32x+b 经过点A 时,b min =-112,此时z max =-2b=11.故z=3x-2y 的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x 可化为y=x+z ,故求z 的最大值,相当于求直线y=x+z 在y 轴上的截距z 的最大值.如图②,平行移动直线y=x ,当直线y=x+z 与直线BC 重合时,z max =2,此时线段BC 上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?x 亩脐橙,y 亩甜柚时,能获得利润z 元.则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y ,其中x ,y 满足条件{x +y ≤20,4 000x +12 000y ≤120 000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤20,x +3y ≤30,x ≥0,y ≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-23x+z3 000经过点A (15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元. 能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x 5+z5经过点A 时,z 有最大值;经过点B 时,z 有最小值.联立方程组{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即A (4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B (8,0), 所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8, 则a-b=16-(-8)=24,故选C .2.已知正数x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=22x+y 的最大值为( )A .8B .16C .32D .64t=2x+y ,可求得当直线t=2x+y 经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t 取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.3.已知x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -y +1≤0,x +2y -2≤0,若z=x-3y+m 的最小值为4,则m=( )A .6B .8C .10D .12,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m ,得y=13x-z 3+m 3,则由图可知z=x-3y+m 在点A (-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D .4.已知变量x ,y 满足约束条件{y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z=3|x|+y 的取值范围为( )A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11],由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].5.若变量x,y满足约束条件{2x-y≥0, x+2y≥0, 3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为.(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即z max=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+y2的取值范围为[0,2].6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由{x+2y=12,2x+y=12得{x=4,y=4,所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.7.已知z=2y-2x+4,其中x ,y 满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t ,则当直线2y-2x=t 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 故z 的最大值为8,最小值为4.8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则{x +y ≤60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y. 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示. 由z=0.4x+0.6y ,得y=-23x+53z.由{3x -2y =0,x +y =60,得A (24,36).由图知,当直线y=-23x+53z 经过点A 时,53z 取得最大值,即z 取得最大值. 故z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即一共可获得的最大利润为31.2万元.。

A. 10B. 8C. 5D. 2温馨提示:此套题为Word 版，请按住Ct 门，滑动鼠标滚轴，调节合 适的观看比例，答案解析附后。

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课后提升作业二十二简单的线性规划问题(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)(2》:—y + 1 色 0,1. z=x-y 在X - J - 1 < E 的线性约束条件下,取得最大值的可行解+ y < 1为()A. (0, 1)B. (-1,-1)C.(l,o)D. Q, i)【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解， 当 x 二0, y=1 时，z 二T ; 当 x=-1, y=-1 时，z 二0; 当 xh, y 二0 时，z=1;1 1 当 x 电,y 二?时，z 二0.(x + 2y 玉乙2. (2015 •广东高考)若变量x,y 满足约束条件｛x + y > 0,贝0 z=2x+3y(x 0 4,的最大值为()【解题指南】先根据不等式组画出可行域，再作直线/°:2x+3y 二0,平移 直线/o,找到z取最大值时与可行域的交点，进而求出Z的最大值.【解析】选C•作出可行域如图所示：作直线/o：2x+3y二0,再作一族平行于/o的直线/:2x+3y二Z,当直线/经过点A时，z二2x+3y取得最大值，由卜+乡=2’解得$=蔦U = 4, (y = 7所以点A的坐标为(4,-1),所以Zmax二2 X 4+3 X (-1)二5・(X + 2y > 63.(2015 •福建高考)若变量x,y满足约束条件U-y < 03则U 一2y + 2 > 0,z=2x-y的最小值等于()A. B. -2 C. —- D. 22 2【解题指南】画出可行域，根据目标函数确定出在y轴上截距最大时，z取最小值.【解析】选A.画出可行域如图所示，当目标函数对应直线平移至B点时截距最大，所以fl 严(-功把点B坐标代入目标函数可得z mi=2X (-1)-1=-2.(x + y < 乙4.若变量x, y满足2〉：一3y <虬则x2+y2的最大值是()(x 仝0,A. 4B. 9C. 10D. 12［解题指南】利用线性规划知识，画出可行域，找出关键点，数形结合, 求出到原点的距离的最大值，便可求解.【解析】选C.根据限制条件，可画出其可行域，数形结合，通过观察发现直线x+y二2与2x-3y=9的交点(3, -1)到原点的距离最大，所以x2+y2 的最大值为32+(-1)2=10,(2x — y 十4 3 0>5.(2016 •银川高二检测)已知不等式组x + y -3 < 0,构成平面区“ > 0域Q (其中x,y是变量)•若目标函数z=ax4-6y (a>0)的最小值为-6,则实数a 的值为()A.-B. 6C. 3D.-2 22x— y + 4 > 0 ,【解析】选C.不等式组jx + y-3 < 0?表示的平面区域如图阴影部M A °分所示,因为a>0,故-沃0•可知z 二ax+6y 在C 点处取得最小值，联立6阳厂4"解得即 C (-2, 0),故-6二-2a+6 X 0,解得 a 二3.示,去表示可行域内的点(“)与点P(-3,-4)连线的斜率，结合图形 可知点P(-3,-4)与可行域内的点A(0, 1)连线的斜率最大，故1+4 57 — ------- 二—7. (2016 •潍坊高二检测)已知正数x,y 满足£二/：?,0则x= 一2 y = o.6.设变量x, y 满足fy 已一x+ 1,则 Z 二器的最大值为()A.-3【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所 B.-C. 2D. 1z=r • (I)-的最小值为()A. 1B.-^T4则（2x+y ） max —2 X 1 +2—4.从而•（》匚2如=（扌广灯有最小值（扌丫二吕.x + 3y - 3 > 0,8. （ 2016 •长沙高二检测）若实数x, y 满足不等式组2x -y-3 < 0, nX — my+ 1 > Q #且x+y 的最大值为9,则实数m 二（）A. -2B.-1C. 1D. 2【解析】选C ・如图，作出可行域,(2x_y_3=6 田&一 my + 1 = 0,平移y 二-x,当其经过点A 时，x+y 取得最大值, 即±^+_^_二9.解得 m =i.-n-2m二、填空题（每小题5分，共10分）(y <1,9. (2016 •广州高二检测)若变量x,y 满足约束条件jx + y > 0, 则(x - y - 2 < Q,所表示的平面区域:z二x-2y的最大值为________ ・［解析】作出可行域(如图)，由z二x-2y得y4x-|,2则当目标函数过C⑴T)时Z取得最大值，所以Z4-2 X (-1)二3.答案：3(2x ■ y + 1 > Oj10.设x, y满足约束条件农-2y - 1 < 0」则Z二2x+3y-5的最小值为(X < 1,【解析】不等式组所表示的可行域如图，z=2x+3y-5可转化为y二-?x+手当该直线的截距兰最小时z最小.y二-?x+兰的截距在直线3 3. 3 3 32x-y+l=0和直线x-2y-l=0的交点处取到最小值，联立£二；1；二聘可得交点坐标为(-1,-1),所以z的最小值为z二2X(-D+3X (―1)—5二T0.答案:TO【误区警示】画出正确的可行域及确定什么时候取到最小值是关键, 同时注意目标函数的转化.三、解答题(每小题10分，共20分)(X ■ y + 5 3 Q11.(2016 •长春高二检测)已知x,y满足约束条件jx + y - 5 > U,求: \X S 3 (l)zj=2x+4y的最大值和最小值.⑵z尸丄的最大值和最小值.x+1(X — y + 5 3 0【解析】(1)约束条件jx + y - 5 > U,表示的平面区域为AABC及内部(X S3如图，可得A(0, 5),B(3,8),C(3,2), 因为Zi二2x+4y,所以y-~x+^z b则乙表示直线y二-；x+：Zi在y轴上的截距的4倍，显然2 4 A 4当直线过点C时最小，过点B时最大，所以z1ma=38, z1mi=14.⑵Z2二丄厂上产则Z2表示点(x, y)与点(-1,0)连线的斜率，显然点x+1 x-(-l)(X, y)在点C时取得最小值，在点A时取得最大值且Z2max二5, Z2min二1y > -X,表示的平面区域的面积是4,点P(x, y)在所 X< £ 给平而区域内，求Z 二2x+y 的最大值.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知dA (a, a), B(a, -a) (a>0),因为 S A()AB =7 |Za| • |a|=a 2=4,所以 a=2,由线性规划的知识可得，当直线经过点A ⑵2)时，z 有最大值，且z max =2 X2+2=6.【能力挑战题】pc + y — 7 玉 a*已知圆C: (x-a)?+ (y-b) ~1,设平面区域Q Ux - y + 3 > *若圆心CG \y 壬 o, Q ,且圆C 与x 轴相切，求a 2+b 2的最大值.【解题指南】画出可行域，发现最优解. 【解析】由圆C 与x 轴相切可知，bh. 又圆心C (a, b)在平面区域Q (如图)内，rx-y+3 = a -2,由—,解陀=1・12.已知不等式组x+ y- 7 = Q,故a W [-2, 6]・所以当a二6,bh时,a2+b2取最大值为37.关闭Word文档返回原板块。

题型二 已知线性目标函数的最值求参数
1≤ x＋ y≤ 4，
例 2 已知变量 x， y 满足约束条件
若目标函数 z＝ ax＋ y(a>0)仅在点 (3,1)处
－ 2≤ x－y≤ 2，
取得最大值，则 a 的取值范围为
．
跟踪训练 2 在本例条件下， 若使目标函数 z＝ax＋ y(a>0) 取得最大值的点有无数个， 求 a 的值． 题型三 求非线性目标函数的最值
．
3x＋y≥ 12
10．已知
x2＋ y2<1，则
w
＝
y－ x＋
1的取值范围是 1
．
11．已知实数
x， y 满足不等式组
x－ 1≥0， y≥0， x＋ y－ a≤0.
若 z＝ y－ 1的最大值为 x＋1
1，则正数 a 的值
为
．
12．已知正数
a， b， c
满足：
5c－ 3a≤ b≤4c－ a， b≥a＋ c，则
y＋ 1 y－ － 1 由于 z＝ x＋ 1＝ x－ － 1 ， 故 z 的几何意义是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率，
y＋ 1 因此 x＋ 1的最值是点 ( x， y) 与点 M( － 1，－ 1) 连线的斜率的最值， 由图可知，直线 MB的斜率最大，直线 MC的斜率最小，
y＋ x＋
2 2有最大值
4 .
5
类比：思想方法的迁移方式之一
典例
若实数 x， y 满足不等式组
x＋ 3y－3≤0， x－ y＋1≥0， y≥－ 1，
则 z＝2| x| ＋ y 的取值范围是 ( )
A． [ － 1,3] B ． [1,11] C ．[1,3] D ． [ － 1,11] 答案 D 解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分 ( 含边界 ) 所示，当 x≥０时， z＝ 2x＋ y，即 y＝－ 2x＋ z，由图象可知其经过 A(0 ，－ 1) 时，zmin＝－ 1，经过 B(6 ，－ 1) 时， zmax＝ 11；当 x≤０ 时， y＝ 2x＋ z，由图象可知其经过 C( － 2，－ 1) 时， z ＝ max 3，经过 A(0 ，－ 1) 时， zmin＝－ 1，综 上所述，－ 1≤ z≤11.

易错点1 忽略截距与目标函数值的关系而致错
9．设E为平面上以A(4，1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝ 4x－3y的最大值与最小值．
解
易错 警示
把目标函数z＝4x－3y化为y＝43x－13z.根据条件画出可行域如图所示， 当动直线y＝43x－13z经过点B(－1，－6)时，z取得最大值； 当动直线y＝43x－13z经过点C(－3，2)时，z取得最小值． 故zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
3.3.2 简单的线性规划问题 刷基础
题型1 线性目标函数的最值问题
2．[山东青岛2018高三二模]设实数x，y满足 A．有最小值2，最大值3 B．有最大值3，无最小值 C．有最小值2，无最大值 D．既无最大值也无最小值
则z＝x＋y( C )
解析 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)： 由z＝x＋y得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，
x+ x∈
4y ≤ 11 Z, y ∈ Z
，求S＝5x＋4y的最大值．
x > 0, y > 0
解
依据已知条件作出图形如图所示，
因为B(2，1)是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，
同理，可得C(1，2)，SC＝5×1＋4×2＝13，由于14>13，故Smax＝14.
题型3 线性规划的实际应用
6．[福建厦门2017高二上学期期末]4支水笔与5支铅笔的价格之和不小于22元，6支水笔与3支
铅笔的价格之和不大于24元，则1支水笔与1支铅笔的价格之差的最大值是( B )
A．0.5元
B．1元
C．4.4元
D．8元

力等限制数据列在下表中， 那么为了获得最大利润， 甲、乙两种货物应各托运的箱数为
.
货物 甲 乙
托运限制
体积 (m 3/箱 ) 重量 (50kg/ 箱 ) 利润 (百元 /箱 )
5
2
20
4
5
10
24
13
如何从实际问题中建立线性规划模型 从实际问题中建立线性规划模型一般有 3 个步骤
1．根据影响目标的因素找到决策变量． 2．由决策变量与目标的关系确定目标函数．
若目标函数 z＝ax＋ y 的最大值有无数个最优解，求
实数 a 的值．
1． 画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能 准确，图上操作尽可能规范． 2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅 速解决相关问题 . 【巩固提升】 一、选择题
的最大值为
元．
11．某公司招收男职员 x 名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件
＝ 10x＋ 10y 的最大值是
．
三、解答题
5x－ 11y≥－ 22， 2x＋ 3y≥ 9， 2x≤ 11， x， y∈ N*，
则z
2x＋y≥ 4， 12．设 x， y 满足 x－y≥－ 1，
x－2y≤ 2，
求 z＝ x＋y 的取值范围．
5x＋ 3y－ 5<0
A．1 二、填空题
B． 2
C．3
D．4
9．给出平面区域如图所示，其中 A(5,3)， B(1,1)， C(1,5)，若使目标函数 z＝ ax＋ y(a>0) 取得最
大值的最优解有无穷多个，则 a＝
.
10．某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品

[A 基础达标]1.目标函数z ＝－3x ＋5y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线在y 轴上的截距 B ．该直线在y 轴上的截距的5倍 C ．该直线在x 轴上的截距 D ．该直线在x 轴上的截距的5倍解析：选B 将目标函数z ＝－3x ＋5y 变形得y ＝35x ＋z5，所以z 的意义是该直线在y 轴上的截距的5倍，故选B.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0x ≥1，，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．4解析：选D. 由⎩⎨⎧x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，x ≥1作出可行域如图：当直线y ＝3x －z 过点A (2，2)点时，截距－z 最小，此时z 有最大值．z 最大值＝3×2－2＝4.3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则目标函数z ＝x ＋2y 取最大值时的最优解是( )A.⎝⎛⎭⎫53，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C.⎝⎛⎭⎫13，23D ．(2，－1)解析：选C. 作出满足约束条件的可行域(如图中阴影部分所示)．平移直线x ＋2y ＝0，当其经过点C ⎝⎛⎭⎫13，23时，目标函数z ＝x ＋2y 取得最大值，故最优解是⎝⎛⎭⎫13，23，故选C.4．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域(包括边界)，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2解析：选A. 画出可行域，如图所示，解得A (－2，2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ，则直线经过点A 时z 取得最小值．所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A.5．给出平面区域如图，其中A (1，1)，B (2，5)，C (4，3)，若使目标函数z ＝ax －y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是( )A .23 B ．1 C ．4D.32解析：选A. 目标函数z ＝ax －y (a >0)，可变形为y ＝ax －z ，这是斜率为a (a >0)，在y 轴上截距为－z 的一组平行直线，由图象知，当直线y ＝ax －z (a >0)一部分与边界AC 重合时，线段AC 上的点都使－z 取得最小值，即z 取得最大值，此时最优解有无数个，所以a ＝k AC ＝3－14－1＝23，故选A. 6．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤3，－1≤x －y ≤0，则z ＝2x －y 的最大值为________．解析：作出可行域如图阴影部分所示．作直线2x －y ＝0，并向右平移，当平移至直线过点B 时，z ＝2x －y 取最大值．而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＝0，可得B (3，3)．所以z max ＝2×3－3＝3.答案：37．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，3x ＋2y ≤12，0≤x ≤3，0≤y ≤4，则使得目标函数z ＝6x ＋5y 的值最大的点(x ，y )是________．解析：画可行域，如图所示． 由z ＝6x ＋5y 得y ＝－65x ＋z5.因为－32<－65<－1，所以当直线6x ＋5y －z ＝0过点 A (2，3)时，z 最大为27. 答案：(2，3)8．(2015·高考全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则y x的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影所示，因为 yx 表示过点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，所以点(x ，y )在点A 处时yx最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.所以A (1，3)． 所以yx 的最大值为3.答案：39．设z ＝2y －2x ＋5，其中x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤0，－2≤y ≤0，x －2y ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，平移直线2y －2x ＝0，当其经过点A (－1，－1)时，z 取得最大值，z max ＝2×(－1)－2×(－1)＋5＝5，当其经过点C(0，－2)时，z 取得最小值， z min ＝2×(－2)－2×0＋5＝1.10.已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.[B 能力提升]1．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14 B.12 C ．1D ．2解析：选B. 先根据约束条件画出可行域，若z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，所以B (1，－1)．将B 点坐标代入直线y ＝a (x －3)得，a ＝12，故选B.2．设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1，1)，n ＝(2，1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R )，则λ－μ的取值范围是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x ，y )＝λ(1，1)＋μ(2，1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ，令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z 3.当直线y ＝23x ＋z3过点A (－1，0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3，0)时，z 取得最小值，且z min＝－6.故λ－μ的取值范围是[－6，2]．答案：[－6，2]3．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．解：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4， 交点为B (4－s ，2s －4)，其他各交点分别为A (2，0)，C (0，s )，C ′(0，4)． (1)当3≤s ＜4时，可行域是四边形OABC ，此时7≤z max ＜8； (2)当4≤s ≤5时，可行域是△OAC ′，此时z max ＝8.由(1)，(2)可知目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是[7，8]．4．(选做题)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －3y ≤－4，3x ＋5y ≤30.(1)求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值和最小值．(2)若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，求a 的值． 解：作出可行域如图所示．(1)作直线l ：2x ＋y ＝0，并平移此直线，当平移直线过可行域内的A 点时，z 取最小值；当平移直线过可行域内的B 点时，z 取得最大值．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －3y ＝－4，得A ⎝⎛⎭⎫1，53.解⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＝－4，3x ＋5y ＝30，得B (5，3)．所以z max ＝2×5＋3＝13，z min ＝2×1＋53＝113.(2)易知a >0.一般情况下，当z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线z ＝ax ＋y 与直线3x ＋5y ＝30重合时，线段BC 上的任意一点均使z 取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC ＝－35，所以－a ＝－35，所以a ＝35.。

2020年高中数学 人教A 版 必修5 课后作业本《简单的线性规划问题》一、选择题1.在△ABC 中，三顶点分别为A(2,4)，B(-1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC 内部及其边界上运动，则m=y-x 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．[-3,1]C ．[-1,3]D ．[-3，-1]2.若变量x 、y 满足约束条件Error!，则z=2x-y 的最小值为( )A ．-1B ．0C ．1D ．23.已知x ，y 满足Error!且z=2x ＋4y 的最小值为-6，则常数k=( )A ．2B ．9C ．3D ．0104.已知变量x ，y 满足Error!则x 2＋y 2的取值范围是( )A ． [13,40]B ．[13,40)C ．(13,40)D ．(13,40]5.已知▱ABCD 的三个顶点为A(-1,2)，B(3,4)，C(4，-2)，点(x ，y)在▱ABCD 的内部，则z=2x-5y 的取值范围是( )A ．(-14,16)B ．(-14,20)C ．(-12,18)D ．(-12,20)6.设O 为坐标原点，A(1,1)，若点B(x ，y)满足Error!则·取得最小值时，点B 的个数是OA → OB → ( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个7.已知a ，b 是正数，且满足2<a ＋2b<4.那么a 2＋b 2的取值范围是( )A ．(，) B ．(，16) C ．(1,16) D ．(，4)4516545165二、填空题8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．9.若x，y满足约束条件Error!，则z=3x＋y的最大值为________．10.已知x，y满足约束条件Error!则x2＋y2的最小值是________．11.已知实数x，y满足不等式组Error!目标函数z=y-ax(a∈R)．若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a的取值范围是________．12.给定区域D：Error!令点集T={(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z=x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．三、解答题13.已知实数x，y满足Error!(1)求不等式组表示的平面区域的面积；(2)若目标函数为z=x-2y，求z的最小值．14.某工厂制造A种仪器45台，B种仪器55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积2 m2，每张可作A种仪器外壳3个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可作A种仪器外壳6个和B种仪器外壳6个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？(“用料最省”是指所用钢板的总面积最小)15.已知Error!(1)z=x 2＋y 2-10y ＋25的最小值；(2)z=的范围．y ＋1x ＋1答案解析1.答案为：C ；解析：直线m=y-x 的斜率k 1=1≥k AB =，且k 1=1＜k AC =4，23∴直线经过点C(1,0)时m 最小，为-1，经过点B(-1,2)时m 最大，为3.2.答案为：A ；解析：由约束条件作出可行域如图所示，由图可知，目标函数在点A 处取得最小值．联立Error!，解得Error!，∴A(0,1)，所以z=2x-y 在点A 处取得最小值为2×0-1=-1.3.答案为：D ；解析：由题意知，当直线z=2x ＋4y 经过直线x=3与x ＋y ＋k=0的交点(3，-3-k)时，z 最小，所以-6=2×3＋4×(-3-k)，解得k=0.4.答案为：A ；解析：作出可行域如图阴影部分所示．x 2＋y 2可以看成点(0,0)与点(x ，y)距离的平方，结合图形可知，点(0,0)与可行域内的点A(2,3)连线的距离最小，即x 2＋y 2最小，最小值为13；点(0,0)与可行域内的点B(2,6)连线的距离最大，即x 2＋y 2最大，最大值为40.所以x 2＋y 2的取值范围为[13,40]．5.答案为：B ；解析：如图，由▱ABCD 的三个顶点A(-1,2)，B(3,4)，C(4，-2)可知D 点坐标为(0，-4)，由z=2x-5y 知y=x-，∴当直线y=x-过点B(3,4)时，z min =-14.25z 525z 5当直线y=x-过点D(0，-4)时，z max =20.25z 5∵点(x ，y)在▱ABCD 的内部不包括边界，∴z 的取值范围为(-14,20)．6.答案为：B ；解析：如图，阴影部分为点B(x ，y)所在的区域．∵·=x ＋y ，令z=x ＋y ，则y=-x ＋z.OA → OB → 由图可知，当点B 在C 点或D 点时，z 取最小值，故点B 的个数为2.7.答案为：B ；解析：原不等式组等价为Error!，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，a 2＋b 2表示区域内的动点P(a ，b)到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，a 2＋b 2最大，此时a 2＋b 2=42=16，原点到直线a ＋2b-2=0的距离最小，即d==，|－2|1＋2225所以a 2＋b 2=d 2=，即a 2＋b 2的取值范围是<a 2＋b 2<16，选B.45458.答案为：27；解析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获得的利润为z=5x ＋3y.由题意得Error!可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x=3，y=4，z=5×3＋3×4=27(万元)．9.答案为：4；解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：3x＋y=0，平移直线l0，当直线l：z=3x＋y过点A时，z取最大值，由Error!解得A(1,1)，∴z=3x＋y的最大值为4.10.答案为：5；解析：画出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，x2＋y2根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由Error!得A(1,2)，所以|AO|2=5.11.答案为：(1，＋∞)；解析：如图所示，依题意直线x＋y-4=0与x-y＋2=0交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.12.答案为：6；解析：画出平面区域D，如图中阴影部分所示．作出z=x ＋y 的基本直线l 0：x ＋y=0.经平移可知目标函数z=x ＋y 在点A(0,1)处取得最小值，在线段BC 处取得最大值．而集合T 表示z=x ＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段BC 上共有5个整点，分别为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T 中的点共确定6条不同的直线．13.解：画出满足不等式组的可行域如图所示：(1)易求点A 、B 的坐标为：A(3,6)，B(3，-6)，所以三角形OAB 的面积为：S △OAB =×12×3=18.12(2)目标函数化为：y=x-z ，作图知直线过A 时z 最小，可得A(3,6)，1212∴z min =-9.14.解：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，依题意Error!钢板总面积z=2x ＋3y.作出可行域如图所示．由图可知当直线z=2x ＋3y 过点P 时，最小．由方程组Error!得Error!.所以，甲、乙两种钢板各用5张．15.解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．(1)z=x 2＋(y-5)2表示可行域内任一点(x ，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M 作直线AC的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN|2=.92(2)z=表示可行域内任一点(x ，y)与定点Q(-1，-1)连线的斜率，y － －1 x － －1因为k QA =2，k QB =，故z 的范围为.12[12，2]。

课时训练18简单的线性规划问题一、求线性目标函数的最值1.(2015广东湛江高二期末,10)若实数x,y满足-若z=x+2y,则z的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:B解析:作出不等式组对应的平面区域,由z=x+2y,得y=-x+,平移直线y=-x+,由图象可知当直线经过点A(0,1)时,直线y=-x+的截距最大,此时z最大,代入目标函数得z=2.故选B.2.(2015河南郑州高二期末,7)设变量x,y满足约束条件---则目标函数z=2x+3y的最小值为() A.6 B.7C.8D.23答案:B解析:画出不等式---表示的可行域,如图,让目标函数表示直线y=-在可行域上平移,知在点B处目标函数取到最小值,解方程组-得(2,1).所以z min=4+3=7.故选B.3.设变量x,y满足约束条件-则z=x-3y的最小值为.答案:-8解析:作出可行域如图阴影部分所示.可知当x-3y=z经过点A(-2,2)时,z有最小值,此时z的最小值为-2-3×2=-8.二、求非线性目标函数的最值4.若实数x,y满足-则的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)答案:C解析:实数x,y满足-的相关区域如图中的阴影部分所示.表示阴影部分内的任意一点与坐标原点(0,0)连线的斜率,由图可知,的取值范围为(1,+∞).5.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组--所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是.答案:解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即d min=.三、求线性规划中的参数6.x,y满足约束条件----若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一．．．,则实数a的值为()A.或1B.2或C.2或1D.2或-1答案:D解析:作出可行域,如图中阴影部分所示.由y=ax+z知z的几何意义是直线在y轴上的截距,故当a>0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=2,当a<0时,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则a=-1.7.(2015山东潍坊四县联考,15)已知a>0,x,y满足-若z=2x+y的最小值为1,则a=.答案:解析:因为a>0,作出不等式组-表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,2),B(1,-2a),C(3,0).由z=2x+y得y=-2x+z,将直线y=-2x进行平移,可得当经过点B时,目标函数z达到最小值,此时z=1,即2-2a=1,解得a=.8.当实数x,y满足---时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.答案:解析:画出可行域,如图中阴影部分所示,设目标函数z=ax+y,则y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>0,数形结合知满足即可,解得1≤a≤,所以a的取值范围是.四、线性规划中的实际应用9.(2015河南南阳高二期中,20)某人上午7:00乘汽车以v1 km/h(30≤v1≤100)匀速从A地出发到相距300 km的B地,在B地不作停留,然后骑摩托车以v2 km/h(4≤v2≤20)匀速从B地出发到相距50 km 的C地,计划在当天16:00至21:00到达C地,设乘汽车、骑摩托车的时间分别是x,y小时.如果已知所需的经费p=100+3(5-x)+2(8-y)元,那么v1,v2分别是多少时走的最经济,此时花费多少元?解:由题意得,x=,y=,∵30≤v1≤100,4≤v2≤20,∴3≤x≤10,≤y≤.由题设中的限制条件得9≤x+y≤14,于是得约束条件目标函数p=100+3(5-x)+2(8-y)=131-3x-2y,作出可行域(如图),设z=3x+2y,当y=-x+平移到过(10,4)点时在y轴上的截距最大,此时p最小.所以当x=10,y=4,即v1=30,v2=12.5时,p min=93元.(建议用时:30分钟)1.已知点(x,y)构成的平面区域如图所示,z=mx+y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个,则m的值为()A.-B.C.D.或答案:B解析:观察平面区域可知直线y=-mx+z与直线AC重合,则--解得m=.2.设变量x,y满足约束条件----则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2 答案:A解析:作约束条件----所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l0,当l0过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,选A.3.若A为不等式组-表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为()A. B.1 C. D.2答案:C解析:如图所示,区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形,当a从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域.S四边形ODEC=S△OBC-S△BDE=2-.4.如果点P在平面区域---上,点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为()A.-1B.-1C.2-1D.-1答案:A解析:由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界),点P到点Q的最小距离为点(-1,0)到点(0,-2)的距离减去半径1,|PQ|min=-1=-1.5.已知x,y满足条件(k为常数),若目标函数z=x+3y的最大值为8,则k=()A.-16B.-6C.-D.6答案:B解析:由z=x+3y得y=-x+.先作出的图象,因为目标函数z=x+3y的最大值为8,所以x+3y=8与直线y=x的交点为C,解得C(2,2),代入直线2x+y+k=0,得k=-6,选B.则z=x-2y的最大值为.6.若变量x,y满足约束条件--答案:3解析:线性约束条件对应的平面区域如图所示,由z=x-2y,得y=,当直线y=在y轴上的截距最小时,z取得最大值.由图知,当直线通过点A时,在y轴上的截距最小,由--解得A(1,-1).所以z max=1-2×(-1)=3.7.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是.答案:解析:作出如图所示的可行域,且A(0,4),B(1,1).又∵直线y=a(x+1)过点C(-1,0),而k BC=,k AC=4.从而直线y=a(x+1)与D有公共点时,a∈.8.已知变量x,y满足--则z=x+y-2的最大值为.答案:1解析:作出可行域,如图所示的阴影部分,由图知,目标函数z=x+y-2在点A处取最大值.又A(1,2),∴z max=1+2-2=1.9.设z=2y-2x+4,式中x,y满足-求z的最大值和最小值.解:作出满足条件-的可行域如图:作直线l:2y-2x=t,当l过点A(0,2)时,z max=2×2-2×0+4=8.当l过点B(1,1)时,z min=2×1-2×1+4=4.所以,z的最大值为8,最小值为4.10.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告,广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司带来的收益分别是0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是多少万元?解:设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别是x min,y min,总收益为z万元,由题意得:目标函数为z=3000x+2000y.作出二元一次不等式组所表示的区域,即可行域,如图:作直线l,即3000x+2000y=0,即3x+2y=0.平移直线l,从图中可知,当直线l过点M时,目标函数取得最大值.由解得即M(100,200).则z max=3000x+2000y=700000(元),即该公司在甲电视台做100min广告,在乙电视台做200min广告,公司收益最大,最大收益是70万元.。

第三章不等式3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.2 简单的线性规划问题第1课时简单的线性规划问题A级基础巩固一、选择题1．若变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝()A．5 B．6 C．7 D．8解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由⎩⎨⎧y＝x，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝－1，y＝－1，所以A(－1，－1)．由⎩⎨⎧x＋y＝1，y＝－1，得⎩⎨⎧x＝2，y＝－1，所以B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，z min＝2×(－1)－1＝－3＝n，当直线y＝－2x＋z经过点B时，z max＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.答案：B2．设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y≥2，2x＋y≤4，4x－y≥－1，则目标函数z＝3x －y的取值范围是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：作出可行域如图所示．l o：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－32，在B点处z取最大值为6.答案：A3．已知实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤1，2x－2y＋1≤0，若目标函数z＝mx －y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为()A．1 B.12C．－12D．－1解析：作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个．答案：A4．若实数x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－a≥0，目标函数t＝x－2y 的最大值为2，则实数a的值是()A．0 B．1 C．2 D．3解析：作出满足条件的可行域(如图)，由目标函数t＝x－2y，得直线y＝12x－12t在点(2，a－22)处取得最大值，即t max＝2－2·a－22＝4－a＝2，得a＝2.答案：C5．设关于x，y的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x－y＋1＞0，x＋m＜0，y－m＞0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2.求得m的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－53 解析：由线性约束条件可画出如图所示的阴影区域，要使区域内存在点P (x 0，y 0)，使x 0－2y 0＝2成立，只需点A (－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方即可，即－m －2m －2＞0，解得m ＜－23，故选C.答案：C 二、填空题6．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋t2，当x ＝0，y ＝0时，t min ＝0，z ＝3x ＋2y 的最小值为1.答案：17．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x－y＋1≤0，2x－y－2≤0.则x2＋y2的最小值是________．解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据x2＋y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.由⎩⎨⎧x＝1，x－y＋1＝0，得A(1，2)，所以|AO|2＝5.答案：58．若点P(m，n)在由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－7≤0，x－2y＋5≤0，2x－y＋1≥0所确定的区域内，则n－m的最大值为________．解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.答案：3 三、解答题9．已知f (x )＝(3a －1)x ＋b －a ，x ∈[0，1]，若f (x )≤1恒成立，求a ＋b 的最大值．解：因为f (x )≤1在[0，1]上恒成立，所以⎩⎨⎧f （0）≤1，f （1）≤1，即⎩⎨⎧b －a －1≤0，2a ＋b －2≤0，将a ，b 对应为平面aOb 上的点(a ，b )，则其表示的平面区域如图所示，其中A ⎝⎛⎭⎪⎫13，43，求a ＋b 的最大值转化为在约束条件下，目标函数z ＝a ＋b 的最值的线性的规划问题，作直线a ＋b ＝0，并且平移使它通过可行域内的A 点，此时z ＝a ＋b 取得的最大值为53.10．某工厂有甲、乙两种产品，计划每天各生产量不少于15吨．已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个．甲产品每1吨利润7万元，乙产品每1吨利润12万元，但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个．问每天各生产甲、乙两种产品多少，能使利润总额达到最大？解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元，那么⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧9x＋4y≤300，4x＋5y≤200，3x＋10y≤300，x≥15，y≥15.z＝7x＋12y.作出以上不等式组的可行域，如下图所示．目标函数为z＝7x＋12y，变为y＝－712x＋z12，得到斜率为－712，在y轴上截距为z12，且随z变化的一簇平行直线．由图可以得到，当直线经过可行域上点A时，截距z12最大，z最大．解方程组⎩⎨⎧4x＋5y＝200，3x＋10y＝300得点A坐标为(20，24)．所以z max ＝7×20＋12×24＝428(万元)．即生产甲、乙两种产品分别为20吨，24吨时，利润最大，最大值为428万元．B 级 能力提升1．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．2解析：法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a＋b－25＝0的距离时最小，所以a2＋b2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a2＋b2的最小值是4，故选B.答案：B2．当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是____________．解析：画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a＞0，数形结合知，满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤2a＋1≤4，1≤a≤4即可，解得1≤a≤32.所以a的取值范围是1≤a≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，323．若x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1，x－y≥－1，2x－y≤2.(1)求目标函数z＝12x－y＋12的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图所示，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)，平移初始直线y ＝12x ，过A (3，4)时z 取得最小值－2，过C (1，0)时，z 取得最大值1.所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)由ax ＋2y ＝z ，得y ＝－a 2x ＋z2，因为直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a的取值范围为(－4，2)．。

M（4，2）
反思过程 ，提炼方法
解线性规划的步骤有哪些？
1、画可行域—— 画出线性约束条件所确定的平面 区域 2、做——过原点做目标函数的平行直线 l0 3、平移直线 ，l0 观察确定可行域内的最优解 4、求最值——解有关方程组求出最优解，将最优解带入目标 函数求最值
三、变式演练，深入探究
变式：求利润 z x 3y的最大值 ，使 x, y满足下列约束条件：
42y
8
xN

yN
y
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
练习1.解下列线性规划问题：
（1）求z 2x y的最大值，使 x, y满足约束条件
y x

x

y

1
y 1
练习2.解下列线性规划问题：
y
o
x
一、创设情境 ， 提出问题
情境1 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种 产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工 作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
问题 1、该厂生产什么？怎样生产？
4y 12

x 2y 8
xN

y N
二、分析问题，形成方法
x
y
z=2x+3 y
0
0
0
0
1
3
0
2
6
0
3
9
1
0
2
1
1
5
……
……
……