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《用频率估计概率》教案-05

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《用频率估计概率》教案

8．2概率的定义

1．概率的统计定义

由于随机事件具有不确定性，因而从表面上看，似乎偶然性在起着支配作用，没有什么必然性．但是，人们经过长期的实践并深入研究后，发现随机事件虽然就一次试验结果来说具有不确定性，但在相同的条件下，进行大量的重复实验，随机事件的发生会呈现出某种规律性。例如，历史上曾有人作过抛硬币的大量重复实验，结果如下8－1

表8－1

抛掷次数（n ） 正面向上的次数（频数m ） 频率（nm ）

2048 1061 0.5181

4040 2048 0.5069

12000 6019 0.5016

24000 12012 05005

30000 14984 0.4996

72088 36124 0.5011

我们看到，随着抛掷硬币的次数不断增多时，出现正面的频率是稳定的，接近于常数0．5，并在该常数附近摆动。

再来看某种棉花籽在相同条件下的发芽实验，结果如下表8－2

一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率nm 总是接近于某个常数p，并在该常数附近摆动，我们把这个常数p叫做事件P 的概率，记做事件A的概率（probaility），记作)(AP．即

pAP)(

我们把上述定义叫做概率的统计定义。

在上面抛硬币的例子中，如果设A=｛正面朝上｝，则

5.0)(AP；

在棉花籽的发芽实验中，如果设B=｛棉花籽发芽｝，则

51.0)(BP

概率从数量上反映了一件事件发生的可能性大小。这里5.0)(AP，是指出现“正面朝上”的可能性是50%；51.0)(BP，是指“棉花籽发芽”的可能性是51%。

上面有关概率的定义，实际上也是求一个事件的概率的基本方法；进行大量的重复实验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率。我们常用的升学率、合格率、成活率、出生率、死亡率、达标率等等，就是这样得到的。

【想一想】天气预报员说，明天长沙市下雨的概率市84%，有人这样解释：明天长沙市将有84%的地方下雨，16%的地方不下雨，这种解释正确吗？为什么？

2．概率的古典定义

【想一想】

从上节我们知道，随机事件的概率，一般可以通过大量的重复实验求得其近似值，但这样做很不方便，而且有时候这样做是不现实的。对于某些随机事件，能否不通过重复实验，只要通过对一次实验中可能出现的结果进行分析，便可计算出它的概率呢？

例如，掷一枚均匀的硬币，可能出现的结果（样本点）只有两个，即样本空间是 U=｛正面朝上，反面朝上｝

由于硬币是均匀的，可以认为这两个样本点对应的基本事件发生的可能性大小是相等的，即可认为出现“正面向上”的概率是21 ，出现“反面向上”的概率也是21 ，这与大量重复实验所得到的结果是一致的．

又如，袋中装有5个完全相同的球，分别编号为1，2，3，4，5，从中任取1球观察它的号码，可能出现的样本点只有5个，设i=｛取得第i号球｝（i=1，2，3，4，5），则样本空间

U=｛1，2，3，4，5｝

由于5个球完全相同，且抽取是任意的，因此可以认为这5个样本点对应的基本事件发生的可能性大小是相等的，即可认为每一个基本事件发生的概率都是51，这种分析与大量重复实验的结果也是一致的。

现在进一步问：事件A=｛取得奇数号球｝的概率是多少？

由于事件A包含3个样本点，即

A=｛1，3，5｝，

且每个样本点对应的基本事件发生的可能性都相等，因此有

53)(AP

从以上两例，我们得到了一种简单而又直观的概率计算方法，但应用这个方法时，要求随机实验满足下列两个条件：

（1）实验只有有限个样本点，即U=｛ω1，ω2，ω3，…，ωn｝（简称有限性）；

（2）每个样本点ω1，ω2，ω3，…，ωn发生的可能性都相等（简称等可能性）。

满足以上两个条件的随机实验模型叫做古典概型。在古典概型中，如果样本点的总数为n，事件A包含m个样本点，则事件A的概率为

nmAP)( （8－1）

我们把上述定义叫做概率的古典定义。

【详注】 从集合的观点来看，事件A的概率可解释为子集A的元素（样本点）的个数（记作card（A）与全集U的元素个数的比值，即：

由于任何事件A发生的次数m不会是负数，也不可能大于实验次数n，所以，由概率的古典定义知，事件A的概率满足0≤)(AP≤1

并且，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0，即

1)(UP， 0)(P

【试一试】

在40根纤维中，有12根的长度超过30毫米，从中任取1根，取到长度超过30毫米的纤维的概率是多少？

【示范】

例1 从编号分别为1，2，3，4，…，10的大小相同的10个球中任取一球，求取到的球是偶数号的概率。

解 从10个球中任取1球的样本点总数，就是从10个元素中任取1个的组合数，

即 10110Cn

由于球的大小相同，且抽取是任意的，这些结果对应的基本事件发生的可能性都相等。

设事件A=｛取得偶数号球｝，则A包含的样本点个数

515Cm

根据公式（8－1），得

5.0105)(AP

答：取到的球号是偶数号的概率是0.5。

【想一想】本题取到的球号是奇数号的概率是多少呢？

例2 某地自动电话号码由7位数字组成，某人忘记了需要联系的客户的电话号码，问他一次拨号就能联系上的概率是多少？ 解 由于某地自动电话号码由7位数字组成，且每位上的数字有从0～9这10种取法，并可重复取，根据分步乘法原理，这种号码共有107个，即样本点总数是

n=107

设事件A=｛一次拨号就能联系上｝，则A只包含1个样本点。于是

0000001.0101)(7AP

答：他一次拨号就能联系上的概率是0.0000001。

【想一想】本题的结果说明了什么？

例3 在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算：

（1）2件都是合格品的概率；

（2）1件是合格品，另1件 是次品的概率。

解 从100件产品中任取2件的样本点总数是2100C

（1）设A=｛2件都是合格品｝，因为在100件产品中有95件合格品，所以取到2件合格品的样本点数是295C，因此，有

9020.0990893)(2100295CCAP

（2）设B=｛1件是合格品，另1件是次品｝，则B包含的样本点数是15195CC，因此，

有

0960.019819)(210015195CCCBP

答：1件是合格品、1件是次品的概率为0.0960。

练 习 三

1．从一副扑克牌的52张牌中，任意抽取2张，求它们都是黑桃的概率。

2．10位同学任意站成一排照相，求其中某3位同学站在一起的概率。

3．2封信随机地向标号为1，2，3，4的4个邮筒投寄，求第2个邮筒恰好被投入1封信的概率。 4．一部为4分册的文集按任意的顺序放到书架上去，问各分册自左向右恰好成1、2、3、4分册的顺序的概率等于多少？

5．在10支铅笔中，有8件正品，2件次品，从中任取2件，求下列事件的概率：

（1）恰有1件次品；

（2）恰有2件次品；

（3）3件都是正品。

习题8－2

A组

1．从生产的一批螺钉中抽取1000个进行检查，结果有4个是次品，那么从这批螺钉中任取一个螺钉，取到次品的概率约是多少？

2．在12名学生中，有8名优等生，根据名册随机选出9名学生，求在所选的学生中有5名优等生的概率。

3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和3个黑球，从中任意摸出2个，得到1个白球和1个黑球的概率是多少？

4．将一枚硬币连续掷3次，求：

（1）出现“2个正面、1个反面”的概率；

（2）出现“1个正面、2个反面”的概率。

B组

1．有100张已编号的卡片（从1号到100号），从中任取1张，计算：

（1）卡片号是奇数的概率；

（2）卡片号是7的倍数的概率。

2．5个同学任意站成一排，计算：

（1）甲恰好站在正中间的概率； （2）甲、乙两人恰好站在两端的概率。

3．盒中有红、白、黄色球各一个，每次取1个，有放回地抽取3次，求下列各事件的概率：

（1）都是红球；

（2）都是黄球；

（3）颜色都相同；

（4）颜色都不同；

（5）只有红、白两种颜色地球。

4．把一副扑克牌52张洗乱，四张“A”排在一起地概率是多少？

5．将张明、李华、王荣3人等可能地分配到3个房间中去，试求每个房间恰有1人地概率。

8．3 概率的加法公式

在一个盒子中放有10个大小相同的球，其中有7个红球、2个白球、1个黄球。从中任取1个球，记A=｛取得的1个球是红球｝、B=｛取得的1个球是白球｝，则事件“取得的1个球是红球或白球”可表示为A+B，很明显，这里事件A、B是互不相容事件。

【想一想】事件A+B的概率如何计算？

【分析】从盒中取出1个球的样本点总数为10。由于从盒中取出1个球无论是红球还是白球，都表示事件A+B发生，所以事件A+B包含的样本点数为7+2，

因此

1027)(BAP

另一方面

107)(AP 102)(BP

因此，我们有 )()(1021071027)(BPAPBAP

【归纳】

一般地，如果事件A、B是互不相容的，则

（8－2）

这就是互不相容事件的概率的加法公式，公式表明，两个互不相容事件的和的概率等于每个事件的概率的和。

公式（3－2）可以推广到任意多个事件中去，即n（n≥2）个事件A1，A2，…An互不相容，则有

)()()()(2121nnAPAPAPAAAP

【评注】 对于互不相容事件A1，A2，…An，事件“nAAA21”发生，

即表示A1，A2，…An中有一个发生。

【示范】

例1 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示：

年降水量

（单位：mm） [100，150） [150，200） [200，250） [250，300]

概 率 0.12 0.25 0.16 0.14

（1）求年降水量在[100，200）（mm）范围内的概率；

（2）求年降水量在[150，300）（mm）范围内的概率。

解 （1）记这个地区的年降水量在[100，150）（mm）、[150，200）（mm）、[200，250）（mm）、[250，300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D，这四个事件是彼此互斥的。根据公式（8－2），年降水量在[100，200）（mm）)()()(BPAPBAP

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北师大版九年级数学上册 《用频率估计概率》教案

北师大版九年级数学上册 《用频率估计概率》教案

第1页 共4页 《利用频率估计概率》教案

教学内容

1．当试验的所有可能结果不是有限个，•或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．

2.在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率．

教学目标

理解每次试验可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，用频率估计概率的方法；能应用模拟实验求概率及其它们的应用．

通过复习列举法求概率的条件和方法，引入相反方向的：每次试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用频率求概率的方法．

重难点、关键

1．重点：讲清用频率估计概率的条件及方法；

2．难点与关键：比较用列举法求概率与用频率求概率的条件与方法．

教具、学具准备

小黑板、计算器

教学过程

一、复习引入

(黑书)请同学们口答下面几个问题：

1．用列举法求概率的条件是什么？

2．用列举法求概率的方法是什么？

3．A＝(事件)，P(A)的取值范围是什么？

4．列表法、树形图法是不是列举法，它在什么时候运用这种方法．

老师口答点评：

1．用列举法求概率的条件是：(1)每次试验中，可能出现的结果有限多个；•(2)每次试验中，各种结果发生的可能性相等．

2．每次试验中，有n种可能结果(有限个)，发生的可能性相等；事件A•包含其中m种结果，则P(A)=．

3．0≤P(A)≤1，其中不可能事件B，P(B)=0，必然事件C，P(C)=1．

4．列表法、树形图法是列举法，•它是在列出的所有结果很多或一次试验要涉及3个或更多的因素所用的方法． mn

第2页 共4页 二、探索新知

前面的列举法只能在所有可能是等可能并且有限个的大前提下进行的，如果不满足上面二个条件，是否还可以应用以上的方法呢？不可以．

也就是：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计频率来估计概率．

用频率估计概率教案

用频率估计概率教案

用频率估计概率教案

教案概述：

本教案旨在教授频率估计概率的基本概念和方法。学生将学习如何通过频率估计来估计事件发生的概率，并将通过实例演示来加深对频率估计概率的理解。

教学目标：

1. 学习频率估计概率的基本概念和原理；

2. 掌握频率估计的计算方法；

3. 运用频率估计进行实际问题中的概率估计。

教学准备：

1. PowerPoint幻灯片或白板和马克笔；

2. 实例演示材料；

3. 学生练习和作业材料。

教学步骤：

引入：

1. 通过幻灯片或白板，介绍频率估计概率的概念和作用；

2. 引导学生思考频率估计与概率的关系，并讨论实际生活中常见的频率估计示例。

讲解频率估计概率的原理和方法：

1. 解释频率估计概率的原理：频率估计概率是通过观察事件发生的频率来估计事件发生的概率；

2. 讲解频率估计的计算方法：频率估计概率可以通过事件发生的次数除以总试验次数来计算；

3. 通过实例演示展示频率估计概率的计算过程。

实例演示：

1. 提供一个实际问题，例如：从一个装有不同颜色球的袋子中随机抽取球的颜色并记录频次；

2. 通过实际演示，展示如何通过频率计算来估计抽取特定颜色球的概率；

3. 引导学生参与实例演示，培养学生应用频率估计概率的能力。

练习与讨论：

1. 分发练习题和作业，要求学生运用频率估计概率的方法来解答问题；

2. 通过小组讨论回答问题，加深对频率估计概率的理解；

3. 学生分享他们的答案和解题思路，进行讨论和互动。

总结：

1. 复习频率估计概率的基本概念和计算方法；

2. 强调频率估计概率在实际问题中的应用；

3. 鼓励学生通过频率估计概率来解决问题。

作业布置：

布置相关练习和作业，巩固学生对频率估计概率的理解和应用能力。

拓展活动：

鼓励学生在日常生活中观察和应用频率估计概率的方法，例如估计公交车的准点率、估计赢得抽奖的概率等。

评估方式：

1. 观察学生在课堂讨论中的参与程度；

《用频率估计概率》精品教案

《用频率估计概率》精品教案

2．3 用频率估计概率

1．借助实验，体会随机事件在每一次实验中发生与否具有不确定性．

2．通过操作，体会重复实验的次数与事件发生的频率之间的关系，能从频率角度估计事件发生的概率．

3．会运用大量重复实验所得的事件发生的频率估计概率，培养学生的估计能力．

4．知道开展实验，设计实验，通过实验数据探索规律，并从中学会合作交流．

重点：用事件发生的频率估计概率．

难点：大量重复实验频率的趋势和稳定性的理解是本节教学的难点．

一、新课导入

实验：(用多媒体演示)科学家做过成千上万次抛硬币的实验，部分结果如下表：

实验者 抛掷次数n “正面朝上”

次数m 频率m/n

隶莫弗 2048 1061

布 丰 4040 2048

皮尔逊 12000 6019

皮尔逊 24000 12021

观察上表，你获得什么启示

【答】实验次数越多，频率越接近概率．

说明：体会随机事件的发生具有不确定性，激发学生的好奇心．

二、新知学习

活动1合作学习：

(1)(课前布置，以学习小组为单位)让学生按课本中的图所示的转盘自由转动一次，停止转动后，指针落在红色区域的概率是__13__．让学生动手实验来验证．

转动次数 指针落在红色区域次数 频率

10 3

20 8

30 11

40 14

50 16

(2)制作如下表格：

转动次数 指针落在红色区域次数 频率

80 25

160 58

240 78

320 110

400 130

(3)根据上面的表格，画出下列频率分布折线图．

(4)议一议：频率与概率有什么区别和联系随着重复实验次数的不断增加，频率的变化趋势如何

结论：从上面的试验可以看到：当重复实验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，我们可以通过大量重复实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率． 说明：通过“合作学习”，培养学生的合作意识和动手实践的能力，形成主动探索的良好习惯．

利用频率估计概率教学设计

利用频率估计概率教学设计

利用频率估计概率教学设计

标题：频率估计概率的教学设计

引言：

概率是数学中的一门重要课程，也是让学生们感到困惑的主题之一、在概率教学中，频率估计概率是一个关键概念，通过这一概念的引入，学生们可以更好地理解概率的概念和应用。本篇文章将介绍一个以频率估计概率为主题的教学设计，旨在帮助学生们理解并应用频率估计概率的方法。

一、目标设定：

1.学生能够理解频率估计概率的概念和原理。

2.学生能够应用频率估计概率的方法解决简单问题。

3.学生能够分析和评价频率估计概率的可靠性和局限性。

二、教学步骤：

步骤一：引入频率估计概率的概念（10分钟）

教师可以以一个简单实例开始引入频率估计概率的概念，例如：一个学校有1000名学生，教师关心学生们是否喜欢橙汁。教师可以提出一个问题：“你认为这个学校有多少人喜欢橙汁？”请学生们发表各自的观点，然后引导学生们讨论如何根据这些观点得到一个较为准确的估计。

步骤二：频率估计概率的原理（15分钟）

在学生们熟悉喜欢橙汁人数的估计后，教师可以介绍频率估计概率的原理。教师可以解释概率的定义（即事件发生的可能性），然后引导学生们思考如何使用频率估计概率的方法来估计概率。 步骤三：频率估计概率的应用（30分钟）

为了帮助学生们更好地理解频率估计概率的应用，在课堂上，教师可以设计一些实践活动。例如，教师可以给学生一个玻璃瓶，里面装有红、蓝、绿三种颜色的球，让学生们随机摸出一个球，观察其颜色并估计抽到红球的概率。然后每个学生重复这个实验，并记录下估计的概率。最后，教师可以统计学生们的估计结果，并跟学生们一起讨论结果的准确性。

步骤四：频率估计概率的分析和评价（20分钟）

在学生们进行实践活动后，教师可以引导学生们分析和评价频率估计概率的可靠性和局限性。教师可以提出一些问题，例如：“学生们的估计结果是否相近？”、“为什么会有差异？”、“我们可以如何改进估计的准确性？”等等，通过讨论，学生们可以更深入地理解频率估计概率的可靠性和应用限制。