连续型随机变量及其概率密度函数

第三章 多维随机变量及其概率分布

1． 二维随机变量),(YX

),(YX的分布函数),(),(yYxXPyxF

X的分布函数),(),(lim)(1xFyxFxFy

Y的分布函数),(),(lim)(2yFyxFyFx

),(lim0),(limyxFyxFyx

2． 离散型),(YX的分布律ijP

ijijiiijPyYxXPP10),( （与KKKPP10比较）

jijiiPxXPP)(

iijijPyYPP)(

例１ 设),(YX的分布律为

求（1）?a

（2）)0(XP

（3）)2(YP

（4）)2,1(YXP

（5）)(YXP

解：（1）由1ijijP知1031131211030201)(ijijPPPPPPP125.025.03.01.01.0a

解得0a （2）300102031(0)0.10.10.30.5jjPXPPPP

（3）10210121)2()1()2(iiiiPPPPYPYPYP45.0)01.0()25.01.0(

（4）2.01.01.0)2,0()1,0()2,0()2,1(0201PPYXPYXPYXPYXP

（5）25.0)(11PYXP

3． 连续型),(YX的分布密度

设D为平面上的区域，),(yxf为),(YX的分布密度，则其满足：1),(0),(dxdyyxfyxf

dxdyyxfDYXPD),()),((

特别，xydudvvufyYxXPyxF),(),(),(

),(),(2yxfyxyxF

若X，Y相互独立，则有)()(),(21yFxFyxF，)()(),(21yfxfyxf，其中)(),(11xfxF分别为X的边缘分布函数和分布密度，)(),(22yfyF分别为Y的边缘分布函数和分布密度。

连续型随机变量的概率密度函数

概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）用于描述连续型随机变量的概率分布。与离散型随机变量不同，连续型随机变量在任何具体取值上的概率都是0，因此无法通过列举所有可能取值及其对应的概率来描述其分布。相反，连续型随机变量的分布需要通过概率密度函数来进行描述。

1. 概率密度函数的定义

概率密度函数$f(x)$定义在整个实数轴上，并满足以下两个性质：

(1) $f(x) \geq 0$，即概率密度函数的取值非负；

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1$，即概率密度函数在整个实数轴上的积分等于1。

2. 概率密度函数与概率的关系

对于连续型随机变量$X$，其概率密度函数$f(x)$在某一区间$[a,

b]$上的积分表示该随机变量落在该区间内的概率，即

$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)dx$

3. 概率密度函数的性质

(1) 概率密度函数的图像可以视为曲线，通常在图上表示为连续的线条； (2) 在某一点$x$处的概率密度函数值$f(x)$越大，表示该点附近的概率较大；

(3) 概率密度函数的图像下方的面积表示随机变量落在某个区间内的概率；

(4) 概率密度函数的图像上的高度并不代表概率值，而是表示单位长度上的概率密度。

4. 概率密度函数的举例

(1) 均匀分布

均匀分布的概率密度函数$f(x)$在区间$[a, b]$上为常数，表示在该区间内各个取值的概率相等，即

$f(x) = \frac{1}{b-a}$，其中$x \in [a, b]$

(2) 正态分布

正态分布是自然界中广泛存在的一种分布，其概率密度函数$f(x)$呈钟形曲线，其形状由均值$\mu$和标准差$\sigma$决定。正态分布的概率密度函数为

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

高教视野 ＧＡＯＪＩＡＯＳＨＩＹＥ１４　数学学习与研究　２０２０􀆰１５连续型随机变量函数的概率密度公式连续型随机变量函数的概率密度公式◎张朕豪　（杭州电子科技大学，辽宁　抚顺　１１３００６） 【摘要】通过分布函数与概率密度之间的关系，给出二维随机变量概率密度的一般公式，进一步推广出多维随机变量的一般公式，并通过例题辨析该通式与常规方法的优劣．【关键词】连续型随机变量；概率密度引言对于连续型二维随机变量的概率密度，教材中只给出了和、差、积、商四种特殊形式，而大部分情况下需要先求出分布函数ＦＺ（Ｚ），再对其求导得出概率密度函数，这一过程中往往会涉及二重积分以及积分区域的界定，运算量较大，为解决这一问题，本文中给出了一般通式，以便减少计算量．１　随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）概率密度的一般公式设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数为ｆ（ｘ，ｙ），随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｘ在区间Ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）内∂Ｚ∂Ｘ≠０，或关于随机变量Ｙ在区间Ｙｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）内∂Ｚ∂Ｙｉ≠０，则随机变量Ｚ的概率密度为：ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ或ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ，其中ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）为对应区间Ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）上的反函数，ｘ＝ｘｉ（ｙ，ｚ）为对应区间Ｙｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）上的反函数．证明：令Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ），Ｕ＝Ｘ，{由雅可比行列式Ｊ＝∂（ｚ，ｕ）∂（ｘ，ｙ）＝∂ｚ∂ｘ∂ｚ∂ｙ１０＝－∂ｚ∂ｙ≠０（关于变量ｙ严格单调），根据反函数定理可知，对于变量ｙ在每个区间Ｙｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）均具有相应的反函数ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）．设ｎ个区间的集合Ｙｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）中有ｋ个区间使∂ｚ∂ｙｉ＜０，ｍ个区间使∂ｚ∂ｙｉ＞０，ｋ＋ｍ＝ｎ，则随机变量Ｚ的分布函数为：Ｆ（ｚ）＝Ｐ｛Ｚ≤ｚ｝＝Ｐ｛∪ｎｉ＝１（ｇ（Ｘ，Ｙ）≤ｚ，Ｙ∈Ｙｉ）｝＝∑ｎｉ＝１Ｐ｛Ｘ≤＋∞，ｇ（Ｘ，Ｙ）≤ｚ，Ｙ∈Ｙｉ｝＝∑ｋｋ＝１Ｐ｛Ｘ≤＋∞，Ｙ≥ｙｋ（ｘ，ｚ）｝＋∑ｍｍ＝１Ｐ｛Ｘ≤＋∞，Ｙ≤ｙｍ（ｘ，ｚ）｝＝－∑ｋｋ＝１∫ｙｋ（ｘ，ｚ）－∞∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ[]ｄｙ　＋∑ｍｍ＝１∫ｙｍ（ｘ，ｚ）－∞∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘ[]ｄｙ，对ｚ求导，减区间内∂ｙｋ∂ｚ＜０，增区间内∂ｙｍ∂ｚ＞０，ｆＺ（ｚ）＝Ｆ′（ｚ）＝∑ｋｋ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙｋ（ｘ，ｚ））－∂ｙｋ∂ｚæèçöø÷ｄｘ＋　∑ｍｍ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙｍ（ｘ，ｚ））∂ｙｍ∂ｚｄｘ＝∑ｎｉ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ，（１）同理Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）关于随机变量Ｘ在区间Ｘｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）内∂Ｚ∂Ｘｉ≠０，ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫＋∞－∞ｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ．（２）２　推论２．１　在实际应用中，所给定的积分区域都是有所限定的，通常为Ｘ型、Ｙ型，所以上述（１）加强为：ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫Ｍｉｍｉｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ，其中ｍｉ，Ｍｉ为关于ｚ的函数且由不等式组ｙ∈Ｙｉ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｎ（ｙ）＜ｘ＜ｍ（ｙ）{确定．同理，ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫Ｍｉｍｉｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ，其中ｍｉ，Ｍｉ为关于ｚ的函数（只含ｚ）且由不等式组ｘ∈Ｉｉ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ），ｎ（ｘ）＜ｙ＜ｍ（ｘ）{确定．为了更好地表示该结论，我们引入第二类曲线积分，积分路径Ｌ方向为：点（ｘ，ｙ）沿Ｌ运动时，使变量ｚ增加的方向，即ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫Ｍｉｍｉｆ（ｘ，ｙｉ（ｘ，ｚ））∂ｙｉ∂ｚｄｘ＝∑ｎｉ＝１∫ｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｙ∂ｚｄｘ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）关于ｙ有ｎ个解ｙ＝ｙｉ（ｘ，ｚ）．同理，上述（２）加强为ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫Ｍｉｍｉｆ（ｘｉ（ｙ，ｚ），ｙ）∂ｘｉ∂ｚｄｙ＝∑ｎｉ＝１∫ｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｘ∂ｚｄｙ，ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）关于ｘ有ｎ个解ｘ＝ｘｉ（ｙ，ｚ）．综上，Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）概率密度的一般形式为：. All Rights Reserved. ＧＡＯＪＩＡＯＳＨＩＹＥ 高教视野１５　数学学习与研究　２０２０􀆰１５ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫ｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｙ∂ｚｄｘ，ｚ∈ｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他，{或（３）ｆＺ（ｚ）＝∑ｎｉ＝１∫ｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｘ∂ｚｄｙ，ｚ∈ｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他．{２．２在上述结论（３）的基础上，引入第一类曲线积分，进一步简化结论．由∂ｙ∂ｚ＝１∂ｚ∂ｙ，一二类曲线积分之间转化ｄｓ＝１＋（ｙ′ｘ）２ｄｘ，ｙ′ｘ＝∂ｚ∂ｘ∂ｚ∂ｙ（由∂ｘ∂ｚ＝１∂ｚ∂ｘ，一二类曲线积分之间转化ｄｓ＝１＋（ｘ′ｙ）２ｄｙ，ｘ′ｙ＝∂ｚ∂ｙ∂ｚ∂ｘ），ｆＺ（ｚ）＝∫ｇ（ｘ，ｙ）＝ｚｆ（ｘ，ｙ）∂ｚ∂ｘ()２＋∂ｚ∂ｙ()２ｄｓ，ｚ∈ｇｍｉｎ，ｇｍａｘ()，０，其他．ìîíïïïï３　补充例题例１　设二维随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝１２ｘｙ，０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，０，其他．{求Ｚ＝Ｘ２－Ｙ的概率密度．方法一　常规方法．ＦＺ（ｚ）＝Ｐ｛Ｚ≤ｚ｝＝Ｐ｛Ｘ２－Ｙ≤ｚ｝，当ｚ＜０时，ＦＺ（ｚ）＝０，当０≤ｚ＜１时，ＦＺ（ｚ）＝１－Ｐ｛Ｙ≤Ｘ２－ｚ｝＝１－∫１ｚｄｘ∫ｘ２－ｚ０１２ｘｙｄｙ＝ｚ３＋３ｚ－３ｚ２，当ｚ≥１时，ＦＺ（ｚ）＝１．ｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０≤ｚ＜１，０，其他．{方法二　公式法．这里给出不同积分变量（ｄｘ或ｄｙ）的求解过程．①ｘ为积分变量，ｚ＝ｘ２－ｙ关于ｙ单调，Ｚ＝Ｘ２－Ｙ⇒Ｙ＝Ｘ２－Ｚ，０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，ｙ＝ｘ２－ｚ{⇒０≤ｚ＜１，０＜ｘ２－ｚ＜ｘ２{⇒ｚ＜ｘ＜１．ｆＺ（ｚ）＝∫１ｚｆ（ｘ，ｘ２－ｚ）（ｘ２－ｚ）′ｚｄｘ＝∫１ｚ１２ｘ（ｘ２－ｚ）ｄｘ＝３ｚ２＋３－６ｚ，∴ｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０≤ｚ＜１，０，其他．{②ｙ为积分变量，ｚ＝ｘ２－ｙ关于ｘ不单调，理论上需要进行区间拆分．Ｚ＝Ｘ２－Ｙ⇒Ｘ２＝Ｙ＋Ｚ⇒Ｘ＝Ｚ＋Ｙ或Ｘ＝－Ｚ＋Ｙ（但该区间概率密度为０）．０＜ｘ＜１，０＜ｙ＜ｘ２，ｘ＝ｚ＋ｙ{⇒０≤ｚ＜１，０＜ｙ＜１－ｚ．{ｆＺ（ｚ）＝∫１－ｚ０ｆ（ｚ＋ｙ，ｙ）（ｚ＋ｙ）′ｚｄｙ＝∫１－ｚ０１２ｙｚ＋ｙ１２ｚ＋ｙｄｙ＝３ｚ２－６ｚ＋３．∴ｆＺ（ｚ）＝３ｚ２－６ｚ＋３，０≤ｚ＜１，０，其他．{例２　求证：卡方分布的概率密度为ｆχ２（ｎ）（ｚ）＝０，ｚ≤０．１２ｎ２Γｎ２()ｚｎ２－１ｅ－ｚ２，ｚ＞０．ìîíïïïï解　当ｚ≤０时，ｆχ２（ｎ）（ｚ）＝０．当ｚ＞０时，当ｎ＝１时，ｆχ２（１）（ｚ）＝１２πｚｅ－ｚ２，结论成立；当ｎ＝ｋ－１时，ｆχ２（ｋ－１）（ｚ）＝１２ｋ－１２Γｋ－１２()ｚｋ－１２－１ｅ－ｚ２．令∑ｋ－１ｉ＝１Ｘ２ｉ＝Ｘ，Ｘ２ｋ＝Ｙ，则当ｎ＝ｋ时，χ２（ｋ）＝Ｘ＋Ｙ，由独立性可知Ｘ，Ｙ的联合概率密度为ｆ（ｘ，ｙ）＝１２ｋ２Γ１２()Γｋ－１２()ｘｋ－１２－１ｙ－１２ｅ－ｘ＋ｙ２，由上述结论可得，ｆχ２（ｋ）（ｚ）＝∫ｚ０１２ｋ２Γ１２()Γｋ－１２()ｘｋ－１２－１（ｚ－ｘ）－１２ｅ－ｚ２ｄｘｘ＝ｚｔ→ｆχ２（ｋ）（ｚ）＝１２ｋ２Γｋ２()ｚｋ２－１ｅ－ｚ２，ｎ＝ｋ时，结论成立．故根据数学归纳法可知，对任意自然数ｎ结论均成立．４　结束语在计算二维随机变量Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的概率密度时，用公式法在一定程度上的确可以减少计算量，但在确定积分上下限时，需要求解一个含多个参数的不等式组，这个不等式组的解，直接影响着结果的正确与否，所以在选择积分变量时仍需要一定的思考．【参考文献】［１］盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８．［２］宋明娟，王悦姣．二维随机变量函数的概率密度公式［Ｊ］．黑龙江科技学院学报，２０１１（５）：４２２－４２４．. All Rights Reserved.

概率密度计算公式

概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是概率论和统计学中的一种函数形式，用于描述随机变量在各个取值上的概率密度。概率密度函数表示了随机变量落在某个区间内的概率。

概率密度函数的计算公式如下：

1. 连续型随机变量的概率密度函数计算公式：

对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：

1）f(x)大于等于0，对于所有的x；

2）在整个定义域上的积分等于1，即∫f(x)dx=1。

概率密度函数f(x)计算公式一般为：

f(x) = F'(x)

其中，F(x)是随机变量X的累积分布函数（Cumulative

Distribution Function，简称CDF），F'(x)表示对CDF求导。

通过概率密度函数，我们可以计算随机变量落在某个区间内的概率。对于连续型随机变量X，落在区间[a, b]内的概率可以通过计算概率密度函数在区间[a, b]上的积分得到：

P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b] f(x)dx

2. 离散型随机变量的概率密度函数计算公式：

对于离散型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下条件：

1）f(x)大于等于0，对于所有的x；

2）在整个定义域上的概率之和等于1，即∑f(x) = 1。

离散型随机变量X的概率密度函数计算公式为：

f(x) = P(X = x)

其中，P(X = x)表示随机变量X取值为x的概率。

通过概率密度函数，我们可以计算离散型随机变量取某个特定值的概率。对于离散型随机变量X，取值为x的概率可以通过计算概率密度函数f(x)得到。

概率密度函数是概率论和统计学中重要的概念之一，它可以描述随机变量的分布情况。通过计算概率密度函数，我们可以得到随机变量在各个取值上的概率密度，进而计算出随机变量在某个区间内的概率。概率密度函数的计算是概率论和统计学研究的基础，广泛应用于各个领域。