高数2-期末试题及答案

北京理 工 大学珠海学院

2012 ～ 2013学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A（答案）

适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业

一．选择填空题（每小题3分，共18分）

1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则ab =

分析：ab = 202340ijk = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8）

2.设 u = 223xxyy.则 2uxy =

分析：ux = 22xy, 则2uxy = 2'(2)xy= 2y

3.椭球面 2222315xyz 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为

分析：由方程可得，222(,,)2315Fxyzxyz ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz）;

则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12）

因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0xyz ，即 26150xyz

4.设D：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dyd___________

分析：画出平面区域D（图自画），观图可得，20(2)(2)8xxDyddxydy

5.设L：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lxds_________

分析：依题意可知：L是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有

1122'22002123Lxdsxxdxxdx

6.D 提示：级数1nnu发散，则称级数1nnu条件收敛

二.解答下列各题（每小题6分，共36分） 1.设2ln()tan2zxyxy，求dz

分析：由zzdzdxdyxy可知，需求zx及zy

12zxyxxy ， 21zxyxy ，

则有 211(2)()zzdzdxdyxydxxdyxyxyxy

2.设(4,23),ufxyxy其中f一阶偏导连续，求uy

分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)ufvftfxfxfyvyty

3.设(,)zzxy由222100xyzxyz确定.求zy

分析：由222100xyzxyz得，222(,,)100Fxyzxyzxyz

则有由2()xFxxyzxyz，2()yFyyxzxyz，2Fzzxy

则2()()222yyyxzxyzxzxyzyzFyyFzzxyzxy

4.求函数3322(,)339fxyxyxyx的极值

提示：详细答案参考高数2课本第111页例4

5.求二重积分22,xyDed其中D：2219xy

分析：依题意，得 21902 ，即1302

则有，22223901()xyDeddedee

6.求三重积分2xyzdV，：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域 分析：依题意，得030201xyz 则有 321220003xyzdVdxdyxyzdz

三.解答下列各题（每题6分，共24分）

1.求Lydxxdy，L：圆周229xy，逆时针

分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx，1Py

由格林公式得 ()(2)LDDQPydxxdydxdydxdyxy

作逆时针方向的曲线L：cossinxryr ，02

则 20()(2)24LDDQPydxxdydxdydxdydxy

2.设:平面31xyz位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS

分析：由:平面31xyz可得13zxy

则 13yxyzzzx，z=

则有 221()()11xyDxyDxyxdSxzzdxdyxdxdy

由于xyD是在xOy面的第一卦限的投影区域，即由0,031xyxy及所围成的闭区域.因此

1130011111118xDxyxdSxdxdydxxdy

3. 设是22zxy位于平面4,9zz之间部分且取下侧，求zdxdy 分析：依题意，可得00249zz，由于是取下侧，则有

9240063054zzdxdyzdzdd

4.设是锥面22zxy与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。试求232.xdydzyzdzdxzdxdy

分析：依题意，可令 23,2,PxQyzRz，则有 3,2,2PQRzzxyz

所以，232()3PQRxdydzyzdzdxzdxdydvdvxyz

又是锥面22zxy与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧，则有00201zz，则有1220003233zxdydzyzdzdxzdxdydvdzdd

四．解答下列各题（第1,2题每题6分，第3,4题每题5分，共22分）

1.判断正项级数13(1)!nnnn的敛散性。

分析：设3(1)!nnnan，则113(2)(1)!nnnan

则有，113(2)3(1)!limlimlim013(1)1!nnnxxxnnannann ，

所以，正项级数13(1)!nnnn是收敛的

2.试将函数1()1fxx （1）展开成x的幂级数 （2）展开成x – 1 的幂级数. 分析：（1）展开成x的幂级数为：11()(1),(11)1nnnfxxxx

（2）11111111()..(1)(),(11)112(1)222212nnnxxfxxxx

则展开成x – 1 的幂级数为：n+1111111().(1)()=(1)(1)=,(13)1222nnnnnnxfxxxx

3.求幂级数1nnxn的收敛域及和函数.

分析：因为 11limlim(1)nnnxxnanxxanx

当1x时级数收敛；当1x时级数发散.所以收敛半径R=1.

则收敛区间为1x，即11x

当x = 1 时，级数成为11nn ，这级数发散；当x = - 1 时，级数成为1(1)nnn，这级数收敛.所以，原级数的收敛域为[ - 1, 1 ).

设和函数为S(x)，即

1(),[1,1)nnxSxxn.

11101[()]'()',(1)1nnnnnnxSxxxxnx

则 01()ln(1),[1,1)1xSxdxxxx

4.设()fx连续，221:,0.xyuz

（1）试用柱面坐标化简三重积分22[()1].fxydv

（2）若22()[()1].fufxydv试求()fu. 分析：（1）依题意，得 00210uz，则

12222220000[()1](1)(1)(1)uufxydvdzdfdfd

（2）若22()[()1].fufxydv 则有

220()(1)(1)ufufd