高考数学第一轮复习等差数列学案

2019-2020学年高考数学一轮复习 等差及等比数列的基本问题导学案一、知识梳理教学重、难点三、作业完成情典题探究例1．在数列{}n a 中，nn n a a a 22,111+==+,设,21-=n nn a b 证明{}n b 是等差数列．例2． 已知等差数列}{n a 中，1042=+a a ，95=a ，数列}{n b 中，11a b =，n n n a b b +=+1． （I ）求数列}{n a 的通项公式，写出它的前n 项和n S ； （II ）求数列}{n b 的通项公式； （III ）若12+⋅=n n n a a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T ．例3．在等差数列115,3,2,,22----的相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．例4.等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1, a n +1=n +2n×S n (n ÎN *)．证明：(1)数列{S nn}是等比数列；(2)S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 ．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．52 ．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3 ．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（ ） A ．130B ．120C ．55D ．504 ．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ，则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1005 ．已知数列{}n a 满足*7(13)10,6(),6--+≤⎧=∈⎨>⎩N n n a n a n a n an ，若{}n a 是递减数列，则实数a的取值范围是（ ）A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫58，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，58 6 ．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．37 ．已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A ．16B ．8C ．22D ．48 ．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______． 10．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b c a t b c a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．B 档（提升精练）1．已知等差数列b a ,,1,等比数列5,2,3++b a ,则该等差数列的公差为（ ）A ．3或3-B ．3或1-C ．3D ．3-2．对于函数)(x f y =,部分x 与y 的对应关系如下表:x12 3 4 5 6 7 8 9 y7 4 5 8 1 3 5 2 6数列}{n x 满足21=x ,且对任意*n ∈N ,点),(1+n n x x 都在函数)(x f y =的图象上,则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（ ）A ．9394B ．9380C ．9396D ．94003．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,3420a a +=,则31S a （ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．等差数列{}n a 中,2343,9,a a a =+= 则16a a 的值为（ ）A ．14B ．18C ．21D ．275．在等差数列{}n a 中,7916+=a a ,41=a ,则12a 的值是（ ）A ．15B ．30C ．31D ．646．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,且10a >.若232S a >,则q 的取值范围是（ ）A ．1(1,0)(0,)2- B.1(,0)(0,1)2- C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．1(,)(1,)2-∞-+∞7．已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若19418,7a a a ,则10S （ ）A ．55B ．81C ．90D ．1008．设集合M 是R 的子集,如果点0x ∈R 满足:00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<,称0x 为集合M的聚点.则下列集合中以0为聚点的有:①{|}1nn n ∈+N ; ②{|,0}x x x ∈≠R ; ③*2{|}n n ∈N ; ④Z （ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．①③④9．在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．1610．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．3C 档（跨越导练）1．在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于 ．2.设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．3．已知数列121,,,9a a 是等差数列，数列1231,,,,9b b b 是等比数列，则212b a a +的值为 .4．数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，514a =，则4S 的值为 （ ）A. 152B.516C.516-D.52-6．已知等差数列{a n }的公差0d ≠，该数列的前n 项和为n S ，且满足2352S a a ==．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设11b a =，*12()n an n b b n +-=∈N ，求数列{b n }的通项公式．7.在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．8.设数列}{n a 的首项211-=a ，前n 项和为n S ，且对任意*,N m n ∈都有)53()53(--=m m n n S S mn ，数列}{n a 中的部分项∈k a k b }({N *）成等比数列，且.4,221==b b (Ⅰ) 求数列｝与｛n n b a }{与的通项公式;（Ⅱ）令11)(+=n b n f ，并用x 代替n 得函数)(x f ，设)(x f 的定义域为R ,记))((...)2()1()0(*N n n n f n f n f f c n ∈++++=,求∑=+ni i i c c 111.9. 数列{n a }中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=(1)求数列的通项公式； (2)设12||||||n n S a a a =+++，求n S ．10．已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N .（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若(21)n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .成长足迹课后检测学习（课程）顾问签字：负责人签字：教学主管签字：主管签字时间：等差及等比数列的综合问题答案典题探究例1解析： 1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+，∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．例2解析：（I ）设d n a a n )1(1-+=，由题意得11=a ，2=d ，所以12-=n a n ，212)1(n d n n na S n =-+=；（II ）111==a b ，121-+=+=+n b a b b n n n n ，所以112+=b b ，313123++=+=b b b ，22)1(1)32(21221+-=-+=-++++=n n n n b b n (2≥n )又1=n 时12122a n n ==+-， 所以数列}{n b 的通项222+-=n n b n ；（III ）121121)12)(12(221+--=+-=⋅=+n n n n a a c n n n)121121()5131()3111(21+--++-+-=+++=n n c c c T n n1221211+=+-=n nn例3解析：原数列的公差133(5)22d =---=，所以新数列的公差13'24d d ==，其通项为：a n n n n =-+-=--534134234234()即 a =34n例4解(1)S n +1n +1S n n=nS n +1(n +1)S n =n (S n +a n +1)(n +1)S n =n (S n +n +2n S n )(n +1)S n =n (1+n +2n )n +1=2n +2n +1=2 所以数列{S nn}是等比数列．(2)由(1)得S nn=S 1×2n -1=2n -1， 所以S n =n ×2n -1,所以S n +1=(n +1)×2n 又a n =n +1n -1S n -1=n +1n -1×(n -1)×2n -2=(n +1)×2n -2=14(n +1)×2n =14S n +1， 所以S n +1=4a n . 演练方阵A 档（巩固专练）1 答案 B 2.答案 B 3. 答案C 4. 答案 D 5. 答案D6. 【答案】C解：因为36a =，312S =，所以13133()3(6)1222a a a S ++===，解得12a =，所使用316222a a d d ==+=+，解得2d =，选C. 7. 【答案】D【解析】由222112(2)n n n a a a n +-=+≥可知数列2{}n a 是等差数列，且以211a =为首项，公差2221413d a a =-=-=，所以数列的通项公式为213(1)32n a n n =+-=-，所以26362=16a =⨯-，即64a =。

第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。

(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。

2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。

(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。

3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。

(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。

(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。

(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。

(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。

(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。

(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。

(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。

1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。

等差数列求和方法【考点1】等差数列的前n 项和公式 （1）等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，或d n n na S n 2)1(1-+=，此式还可变形为n da n d S n )2(212-+=．（2）倒序相加法:将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n 项公式的推导所用方法）．例1在等差数列{a n }中，（1）已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； （2）已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．【点拨】利用等差数列前n 项和公式的变形形式n da n d S n )2(212-+=待定系数法求解． 【解析】（1）不妨设S n ＝An 2＋Bn ，∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n∴S 28＝2×282－17×28＝1092．（2）∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16S 8＝442)(881=+a a ．【答案】（1）1092；（2）44．【小结】本题考查等差数列前n 项和公式．例2设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 前50项的绝对值之和．【点拨】通过通项公式找到数列{}n a 中的正．负分界项，利用等差数列前n 项和公式求解． 【解析】（1）由已知可知22,232510-==a a ，d a a 151025=-d 152322=--∴，解得3-=d ．509101=-=d a a 533+-=∴n a n ．（2）此数列的前17项均为正数，从第18项开始均为负数．前50项的绝对值之和()()()20591175442225017175017501918173211321=--⨯=-=--=+++-++++=+++++=-S S S S S a a a a a a a a a a a a S n n ΛΛΛ．【答案】（1）353n a n =-+；（2）2059． 【小结】本题考查等差数列前n 项和公式练习1：已知数列{}n a 的通项公式112+-=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和． 【解题过程】【解析】112,5211,6n n n n b a n n -≤⎧==⎨-≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n n S n n n =+-=-当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n --=+=++-=-+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n ．【考点2】等差数列前n 项和的最值 （1）在等差数列{a n }中当a 1>0，d <0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定； 当a 1<0，d >0时，S n 有最________值，使S n 取到最值的n 可由不等式组__________确定． （2）因为S n ＝d2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，若d ≠0，则从二次函数的角度看：当d >0时，S n 有最______值；当d <0时，S n 有最______值；且n 取最接近对称轴的自然数时，S n 取到最值． 一个有用的结论：若S n ＝an 2＋bn ，则数列{a n }是等差数列．反之亦然．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0．（1）求公差d 的范围；（2）问前几项的和最大，并说明理由．【点拨】找到数列{}n a 中的正．负分界项是解题关键．【解析】（1）根据题意，有：⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得：⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0，a 1＋6d <0，a 1＋2d ＝12.解之得：－247<d <－3．（2）∵d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…，而S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7<0，∴a 7<0．又S 12＝12a 1＋a 122＝6（a 1＋a 12）＝6（a 6＋a 7）>0，∴a 6>0．∴数列{a n }的前6项和S 6最大．【答案】（1）－247<d <－3；（2）数列{a n }的前6项和S 6最大．【小结】本题考查等差数列的最值．练习1：设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论正确的是________（只填序号）．①d <0；②a 7＝0；③S 9>S 5；④S 6与S 7均为S n 的最大值 【解题过程】【解析】由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0．又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0．故①②正确．由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2（a 7＋a 8）<0即S 9<S 5故③错误，④正确．【考点3】等差数列前n 项和的性质（1）数列{}{}{}212n n n a a ka b -+，，仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列；（2）若n 为偶数，则2nS S d -=偶 奇；若n 为奇数，则S S a -=偶 奇中（中间项）；例4一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，则前110项之和是________．【点拨】利用232n n n n n S S S S S --，，……成等差数列求解．【解析】数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D ．前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋（11－1）D＝100＋10×（－22）＝－120．∴S 110＝－120＋S 100＝－110． 【答案】－110．【小结】本题考查等差数列前n 项和的性质．练习1：等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若363,7,S S ==则9S 等于 ． 【解答过程】【解析】由{}n a 是等差数列知36396,,S S S S S --成等差数列，即()92437S ⨯=+-，解得912S =．例5已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________． 【点拨】根据S 偶－S 奇＝n2d 求解．【解析】当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d 知30－15＝5d ，∴d ＝3．【答案】3【小结】本题考查等差数列的前n 项和公式．当项数n 为偶数时，由S 偶－S 奇＝n2d ；含21n +项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为1=S n S n+奇偶，之差为1=n S S a +-奇偶． 练习1：等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________． 【解题过程】【解析】设数列公差为d ，首项为1a ，奇数项共1n +项：令其和为1319n S +=；偶数项共n 项：令其和为290n T =．有()()()12121432212131929029n n n n n n S T a a a a a a a a nd ++-+-=--+-++-=-=-=⎡⎤⎣⎦L ，有211129n n a nd a nd a ++-=+==．基础练习1．（2014·福建卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于___________． 2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于____________．3．在等差数列{}n a 中，10120S =，则29a a +=____________．4．等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是____． 5．若数列{}n a 是等差数列，首项10a >，200320040a a +>,200320040a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________．6．（2014·北京卷） 若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．7．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1>0，d<0，S 4＝S 8，则S n >0成立的最大自然数n 为________．8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若361,3S S =，则612SS 等于____________． 9．已知等差数列}{n a 的前n 项和是n S ，若1>m ，且0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ,则=m ___．10．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____________．11．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：34117a a ⋅=，2522a a += （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ． 12．（2014·全国卷） 等差数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S na n n =--． （1）求2a ,3a ,4a ,并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11{}n n a a +⋅的前n 项和为n T ，求证：41<n T ．参考答案1．【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得S 3＝3×2＋3×22d＝12，解得d ＝2，则a 6＝a 1＋（6－1）d ＝2＋5×2＝12．2．【解析】∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3为常数，故{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋（n －1）×3，即a n ＝3n －63 ∴a n ＝0时，n ＝21；a n >0时，n>21；a n <0时，n<21 ∴S 30′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2（a 1＋a 2＋…＋a 21）＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765．3．【解析】本题考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的质.()11010102a a S +=.()295120a a =+=2924.a a ∴+=4．【解析】本题考查等差数列的性质.39,a a =-由题意可知即390a a +=所以63920a a a =+=，又因为公差0d <，所以70a <，n S 取得最大值的自然数n 是5或6.【答案】5或65．【解析】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式.由200320040a a +>，200320040a a ⋅<得200320040,0a a ><()1400620032004400640064600()=022a a a a S ++=>140072004200440074007()4007()022a a a a S ++==<，所以前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4006. 【答案】40066．【解析】∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0，∴n＝8时，数列{a n }的前n 项和最大．7．【解析】S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0， 又a 1>0，d<0，S 12＝a 1＋a 12·122＝0，故n<12时，S n >0．即S n >0成立的最大自然数n 为11．8．【解析】本题考查等差数列的性质232,,,n n n n n S S S S S --L 成等差数列. 由36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列得设36,3S x S x ==，则9636S S x x =+=， 129410S S x x =+=，612310S S =. 9．【解析】10． 10．【解析】 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11．则⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5．11．【解析】本题考查等差数列的概念及其性质. 由公差大于零的等差数列{}n a ,m n p q m n p q a a a a +=++=+,解得34,a a 的值，从而求得通项公式；{}n b 是等差数列， 只需计算前三项的的值就可以求得c 的值.【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，且0d >.342522a a a a +=+=Q ，又34117a a ⋅=，34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根． 又公差0d >,34a a ∴<，349,13a a ∴==.1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩,114a d =⎧∴⎨=⎩, 43n a n ∴=-.()2由()1知，()211422n n n S n n n -=⨯+⨯=-， 22n n S n n b n c n c -∴==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++ {}n b Q 是等差数列，2132b b b ∴=+，2120,2c c c ∴+=∴=-(0c =舍去)．12．【解析】（1）由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0，解得－103≤d ≤－52， 因此d ＝－3．故数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n ．（2）b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ．于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 10（10－3n ）． 13．【解析】（Ⅰ）由)1(2--=n n na S n n 得n na a n S S a n n n n n 4)1(111--+=-=+++ .41=-∴+n n a a 所以，数列}{n a 是以1为首项，4为公差的等差数列34-=∴n a n ，13,9,5432===a a a （Ⅱ）)14)(34(1139195151111113221+-++⨯+⨯+⨯=+++=+n n a a a a a a T n n n ΛΛΘ 41)1411(41]141341131919151511[41<+-=+-+++-+-+-=n n n Λ。

§6.2 等差数列及其前n 项和考纲展示►1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.考点1 等差数列的基本运算1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差等于________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母________表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2.答案：(1)2 同一个常数 d 2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是________． (2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d 或S n ＝n a 1＋a n2.答案：(1)a n ＝a 1＋(n －1)d(1)[教材习题改编]已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为________． 答案：52(2)[教材习题改编]在100以内的正整数中有________个能被6整除的数． 答案：16 知三求二．等差数列中，有五个基本量，a 1，d ，n ，a n ，S n ，这五个基本量通过________，____________联系起来，如果已知其中三个量，利用这些公式，便可以求出其余两个的值，这其间主要是通过方程思想，列方程组求解．答案：通项公式 前n 项和公式[典题1] (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6B ．－4C ．－2D ．2[答案] A[解析] 解法一(常规解法)：设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.解法二(结合性质求解)：根据等差数列的定义和性质，可得S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3， 所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.(2)[2017·河北武邑中学高三期中]等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 77＝2，则S 10＝( )A ．0B ．－9C ．10D ．－10[答案] A[解析] 因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且公差为d ＝1，故S 1010＝a 11＋1×(10－1)＝－9＋9＝0，故选A.(3)[2017·河北唐山模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.[答案] 30[解析] 解法一：设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2，则S 6＝6a 1＋15d ＝30.解法二：∵等差数列{a n }，故可设S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1， 即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.[点石成金] 等差数列运算的解题思路及答题步骤 (1)解题思路由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中的三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．(2)答题步骤步骤一：结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 步骤二：根据已知条件列方程求出未知量； 步骤三：利用前n 项和公式求得结果．考点2 等差数列的判断与证明等差数列的概念的两个易误点：同一个常数；常数.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，则该数列的通项公式为a n ＝__________. 答案：2n －1解析：由a n ＋1＝a n ＋2，知{a n }为等差数列，其公差为2，故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝__________. 答案：1＋n n －12解析：由a n ＋1－a n ＝n ，得a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1，各式相加，得a n－a 1＝1＋2＋…＋n －1＝n －11＋n －12＝nn －12，故a n ＝1＋n n －12.[典题2] 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)[证明] 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2.又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)[解] 由(1)，可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12n －1＝n －1－n2n n －1＝－12n n －1.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －1，n ≥2.[题点发散1] 若将母题条件变为：数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，2S n －na n ＝n .求证：{a n}为等差数列．证明：∵2S n－na n＝n，①∴当n≥2时，2S n－1－(n－1)a n－1＝n－1，②①－②，得(2－n)a n＋(n－1)a n－1＝1，则(1－n)a n＋1＋na n＝1，∴2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2)，∴数列{a n}为等差数列．[题点发散2] 若母题变为：已知数列{a n}中，a1＝2，a n＝2－1a n－1(n≥2，n∈N*)，设b n＝1a n－1(n∈N*)．求证：数列{b n}是等差数列．证明：∵a n＝2－1a n－1，∴a n＋1＝2－1a n.∴b n＋1－b n＝1a n＋1－1－1a n－1＝12－1a n－1－1a n－1＝a n－1a n－1＝1，∴{b n}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．[点石成金] 等差数列的判定与证明方法n n34 117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d ＞0，由等差数列的性质，得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22， 所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x ＋117＝0的解， 所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4， 故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n 1＋4n －32＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.解法一：所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c，b 3＝153＋c(c ≠0)． 由2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．解法二：由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }为等差数列．考点3 等差数列的性质及应用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋________(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则____________． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为________． (4)若{a n }，{b n }是等差数列，公差为d ，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为________的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (7)S 2n －1＝(2n －1)a n .(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 答案：(1)(n －m )d (2)a k ＋a l ＝a m ＋a n (3)2d (5)md等差数列的基本公式：通项公式；前n 项和公式．(1)等差数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 5－2a 1＝27，则a 5＝________. 答案：13解析：设等差数列的公差为d ，则有2a 1＋3d ＝1,4d －a 1＝27，解得d ＝5，a 1＝－7，所以a 5＝a 1＋4d ＝13.(2)等差数列{a n }的首项为1，公差为4，前n 项和为120，则n ＝________. 答案：8解析：a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3，所以S n ＝n 1＋4n －32＝120，解得n ＝8或n ＝－152(舍去).等差数列运算的两个方法：应用性质；巧妙设元．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 10＝12，则该数列前13项和S 13＝__________. 答案：78解析：由等差数列的性质与前n 项和公式，得S 13＝13a 1＋a 132＝13a 4＋a 102＝78.(2)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8，则{a n }的通项公式是__________．答案：a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7解析：设等差数列{a n }的前三项为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＝－3，a 2－d a 2a 2＋d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝－3 或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－1，d ＝3，所以a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.[典题3] [2017·河南洛阳统考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．63B ．45C ．36D ．27[答案] B[解析] 由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.[点石成金] 在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具.1.[2017·宁夏银川模拟]已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32.若a m ＝8，则m ＝( )A ．8B ．12C ．6D ．4答案：A解析：由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，得 (a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝32，即4a 8＝32， ∴a 8＝8，∴m ＝8.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案：60解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋S 30－S 20， ∴40＝10＋S 30－30，∴S 30＝60.考点4 等差数列前n 项和的最值问题[典题4] 在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 [答案] A[解析]∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋30n＝－(n －15)2＋225.∴当n ＝15时，S n 取得最大值．[题点发散1] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 1>0，S 5＝S 12”，如何求解？ 解：解法一：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12，得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ， 解得d ＝－18a 1<0.所以S n ＝na 1＋n n －12d＝na 1＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1722＋28964a 1.因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n＝a 1＋n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－18a 1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 解法三：设等差数列{a n }的公差为d ， 同解法一得d ＝－18a 1<0.由于S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，设f (x )＝d2x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．[题点发散2] 若将条件“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 3＝12，S 12>0，S 13<0”，如何求解？ 解：因为a 3＝a 1＋2d ＝12， 所以a 1＝12－2d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝12a 1＋66d >0，S 13＝13a 1＋78d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧144＋42d >0，156＋52d <0，解得－247<d <－3.故公差d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3. 解法一：由d <0可知，{a n }为递减数列，因此，在1≤n ≤12中，必存在一个自然数n ，使得a n ≥0，a n ＋1<0， 此时对应的S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于⎩⎪⎨⎪⎧S 12＝6a 6＋a 7>0，S 13＝13a 7<0，于是a 7<0，从而a 6>0，因此S 6最大．解法二：由d <0可知{a n }是递减数列，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 3＋n －3d ≥0，a n ＋1＝a 3＋n －2d <0，可得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤3－12d ，n >2－12d.由－247<d <－3，可得⎩⎨⎧n ≤3－12d <3＋123＝7，n >2－12d >2＋12247＝5.5，所以5.5<n <7，故n ＝6，即S 6最大．[题点发散3] 若将“a 1＝29，S 10＝S 20”改为“a 5>0，a 4＋a 7<0”，如何求解？解：∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5.[点石成金] 求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 的值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q2时，S n 最大； ②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，则当S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：依题意，得2a 6＝4,2a 7＝－2，a 6＝2＞0，a 7＝－1＜0.又数列{a n }是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当S n 取最大值时，n ＝6，故选B.2．[2017·安徽望江中学模拟]设数列{a n }是公差d ＜0的等差数列，S n 为前n 项和，若S 6＝5a 1＋10d ，则S n 取最大值时，n ＝( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11 答案：C解析：由题意，得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大，故选C.[方法技巧] 1.在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为：(1)a ，a ＋d ，a ＋2d ；(2)a －d ，a ，a ＋d ；(3)a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等，可视具体情况而定．2．数列{a n }为等差数列．(1)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1. (2)若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝n n －1.3．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a m b m. 4．若a m ＝n ，a n ＝m (m ≠0)，则a m ＋n ＝0. [易错防范] 1.公差不为0的等差数列的前n 项和公式是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应在两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 答案：C解析：由等差数列性质知，S 9＝9a 1＋a 92＝9×2a 52＝9a 5＝27， 解得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.2．[2015·北京卷]设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0答案：C解析：A ，B 选项易举反例．C 中若0＜a 1＜a 2，∴a 3＞a 2＞a 1＞0，∵a 1＋a 3>2a 1a 3，又2a 2＝a 1＋a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3成立．D 中，若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故D 选项错误．故选C.3．[2016·江苏卷]已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案：20解析：设等差数列{a n }公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋d 2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28，解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.课外拓展阅读巧用三点共线解等差数列问题1．等差数列的求解由等差数列与一次函数的关系可知：对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，其通项公式为a n ＝dn ＋(a 1－d )，则点(n ，a n )(n ∈N *)共线，又d ＝a n －a m n －m(n ≠m )，所以d 为过(m ，a m )，(n ，a n )两点的直线的斜率．由此可用三点共线解决等差数列问题．[典例1] 若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q ＝________.[思路分析][解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，因为a p ＝a q ＋(p －q )d ，所以q ＝p ＋(p －q )d ，即q －p ＝(p －q )d .因为p ≠q ，所以d ＝－1.所以a p ＋q ＝a p ＋(p ＋q －p )d ＝q ＋q (－1)＝0.解法二：因为数列{a n }为等差数列，所以点(n ，a n )(n ∈N *)在一条直线上．不妨设p <q ，记点A (p ，q )，B (q ，p )，则直线AB的斜率k ＝p －q q －p＝－1，如图所示， 由图知OC ＝p ＋q ，即点C 的坐标为(p ＋q,0)，故a p ＋q ＝0.[答案] 0[典例2] 已知{a n }为等差数列，且a 100＝304，a 300＝904，求a 1 000.[思路分析][解] 因为{a n }为等差数列，则(100,304)，(300,904)，(1 000，a 1 000)三点共线，所以904－304300－100＝a 1 000－9041 000－300， 解得a 1 000＝3 004.2．等差数列前n 项和的求解在等差数列前n 项和公式的变形S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 中，两边同除以n 得S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2.该式说明对任意n ∈N *，所有的点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在同一条直线上，从而对m ，n ∈N *(m ≠n )有S n n －S m m n －m ＝d 2(常数)，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列． [典例3] 已知在等差数列{a n }中，S n ＝33，S 2n ＝44，求这个数列的前3n 项的和S 3n .[解] 由题意知，⎝⎛⎭⎪⎫n ，33n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，442n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ，S 3n 3n 三点在同一条直线上， 从而有442n －33n 2n －n ＝S 3n 3n －442n 3n －2n，解得S 3n ＝33. 所以该数列的前3n 项的和为33.。

第二节 等差数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d(n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }和{a 2n ＋1}也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(7)等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . [常用结论]1．等差数列前n 项和的最值在等差数列{a n }中，若a 1＞0，d ＜0，则S n 有最大值，即所有正项之和最大，若a 1＜0，d ＞0，则S n 有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则有a n b n ＝S 2n －1T 2n －1. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列． [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的． ( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． ( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)等差数列11,8,5，…，中－49是它的第几项( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项C [由题意知a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14，令－3n ＋14＝－49得n ＝21，故选C.]3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6B [a 2，a 4，a 6成等差数列，则a 6＝0，故选B.]4．小于20的所有正奇数的和为________．100 [小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S 10＝10(1＋19)2＝100.] 5．(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝________.－1 [由S 2＝S 6得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，即a 4＋a 5＝0，又a 4＝1，则a 5＝－1.]1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 18＝54，S 19＝437，则a 2 018的值是( )A ．4 039B ．4 038C ．2 019D ．2 038A [设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知⎩⎨⎧ 2a 1＋22d ＝54，19a 1＋171d ＝437，解得⎩⎨⎧a 1＝5，d ＝2，所以a 2 018＝5＋2017×2＝4 039，故选A.]2．(2019·武汉模拟)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4 C [由题意知⎩⎨⎧ a 1＋a 7＝2a 1＋6d ＝－8，a 2＝a 1＋d ＝2. 解得⎩⎨⎧d ＝－3，a 1＝5，故选C.] 3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有一女子擅长织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女子最后一天织布的尺数为( )A ．18B ．20C ．21D ．25 C [用a n 表示第n 天织布的尺数，由题意知，数列{a n }是首项为5，项数为30的等差数列．所以30(a 1＋a 30)2＝390， 即30(5＋a 30)2＝390，解得a 30＝21，故选C.] 4．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________. －72 [设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9， 解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.]【例1】 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．[解] (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1a n －1－1a n －1 ＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72和⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.[拓展探究] 本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．[解] 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1， 即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n .n 1n ＋1n2n 2＋2n .(1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式． [解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4，则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6.由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，得na n ＋1－(n ＋1)a n n (n ＋1)＝2，即a n ＋1n ＋1－a n n＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a n n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n .►考法1 等差数列项的性质的应用【例2】 (1)(2019·长沙模拟)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12(2)(2019·银川模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 的值为( )A ．8B ．12C ．6D ．4(1)D (2)A [(1)数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，利用等差数列的性质可知，a 3＋a 4＋a 5＝a 2＋a 4＋a 6＝12.(2)由a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32得4a 8＝32，即a 8＝8.又d ≠0，所以等差数列{a n }是单调数列，由a m ＝8，知m ＝8，故选A.] ►考法2 等差数列前n 项和的性质【例3】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．63B ．45C ．36D ．27(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________.(1)B (2)8 076 [(1)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45，故选B.(2)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列． 设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，∴S 2 019＝8 076.]n n 1020S 30＝________.(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝10，S 2m －1＝110，则m ＝________.(3)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.(1)60 (2)6 (3)3727[(1)由题意知，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列． 则2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，即40＝10＋(S 30－30)，解得S 30＝60.(2)S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝2(2m －1)a m 2＝110，解得m ＝6.(3)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132(a 1＋a 13)132(b 1＋b 13)＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.]【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8C [(1)法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7＞0，a 8＜0，故n ＝7时，S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．](2)已知等差数列{a n }的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{a n }的通项公式；②若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和T n .[解] ①设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎨⎧ 3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎨⎧ a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.②当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎨⎧ －3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{3n －7}的前n 项和为S n ，则S n ＝n [(－4)＋(3n －7)]2＝32n 2－112n . 当n ≤2时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－32n 2＋112n ，当n ≥3时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a n )＝S n －2S 2＝32n 2－112n ＋10， 综上知：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32n 2＋112n ，n ≤2，32n 2－112n ＋10，n ≥3.n 135246n表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 (2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.(1)B (2)130 [(1)因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，所以a 3＝35，a 4＝33，所以d ＝－2，a 1＝39.由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝39－2(n －1)＝41－2n ≥0，解得n ≤412，所以当n ＝20时S n 达到最大值，故选B.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋…＋a 15)＝S 15－2S 5＝130.]1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8C [设{a n }的公差为d ，则由⎩⎨⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.]2．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 B [∵公差为1，∴S 8＝8a 1＋8×(8－1)2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6. ∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11 A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.]4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．[解](1)设{a n}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{a n}的通项公式为a n＝2n－9.(2)由(1)得S n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.。

6.2 等差数列典例精析题型一 等差数列的判定与基本运算【例1】已知数列{an}前n 项和Sn ＝n2－9n.(1)求证：{an}为等差数列；(2)记数列{|an|}的前n 项和为Tn ，求 Tn 的表达式.【解析】(1)证明：n ＝1时，a1＝S1＝－8，当n≥2时，an ＝Sn －Sn －1＝n2－9n －[(n －1)2－9(n －1)]＝2n －10，当n ＝1时，也适合该式，所以an ＝2n －10 (n ∈N*).当n≥2时，an －an －1＝2，所以{an}为等差数列.(2)因为n≤5时，an≤0，n≥6时，an ＞0.所以当n≤5时，Tn ＝－Sn ＝9n －n2，当n≥6时，Tn ＝||a1＋||a2＋…＋||a5＋||a6＋…＋||an＝－a1－a2－…－a 5＋a6＋a7＋…＋an＝Sn －2S5＝n2－9n －2×(－20)＝n2－9n ＋40，所以，【点拨】根据定义法判断数列为等差数列，灵活运用求和公式. 【变式训练1】已知等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S21＝42，若记bn ＝1391122a a a --，则数列{bn}( )A.是等差数列，但不是等比数列B.是等比数列，但不是等差数列C.既是等差数列，又是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列 【解析】本题考查了两类常见数列，特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列，则S21＝21a1＋21×202d ＝42. 所以a1＋10d ＝2，即a11＝2.所以b n ＝1391122a a a --＝22－(2a11)＝20＝1，即数列{bn}是非0常数列，既是等差数列又是等比数列.答案为C.题型二 公式的应用【例2】设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由.【解析】(1)依题意，有S12＝12a1＋12×(12－1)d 2＞0，S13＝13a1＋13×(13－1)d 2＜0， 即⎩⎨⎧<+>+②① 06 011211d a d a由a3＝12，得a1＝12－2d.③将③分别代入①②式，得⎩⎨⎧<+>+03,0724d d所以－247＜d ＜－3. (2)方法一：由d ＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a 12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得an ＞0，an ＋1＜0，则Sn 就是S1，S2，…，S12中的最大值.由于S12＝6(a6＋a7)＞0，S13＝13a7＜0，即a6＋a7＞0，a7＜0，因此a6＞0，a7＜0，故在S1，S2，…，S 12中，S6的值最大.方法二：由d ＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13，因此，若在1≤n≤12中存在自然数n ，使得an ＞0，an ＋1＜0，则Sn 就是S1，S2，…，S 12中的最大值.故在S1，S2，…，S12中，S6的值最大.【变式训练2】在等差数列{an}中，公差d ＞0，a2 008，a2 009是方程x2－3x －5＝0的两个根，Sn 是数列{an}的前n 项的和，那么满足条件Sn ＜0的最大自然数n ＝ .【解析】由题意知⎩⎨⎧<-=>=+,05,03009 2008 2009 2008 2a a a a 又因为公差d ＞0，所以a2 008＜0，a2 009＞0.当n ＝4 015时，S4 015＝a1＋a4 0152×4 015＝a2 008×4 015＜0；当n ＝4 016时，S4 016＝a1＋a4 0162×4 016＝a2 008＋a2 0092×4 016＞0.所以满足条件Sn ＜0的最大自然数n ＝4 015. 题型三 性质的应用【例3】某地区2019年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天增加40人；但从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，每天的新感染者人数比前一天减少10人.(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数；(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人？【解析】(1)由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40，公差为40的等差数列.所以9月10日的新感染者人数为40＋(10－1)×40＝400(人).所以9月11日的新感染者人数为400－10＝390(人).(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10＝10(40＋400)2＝2 200(人)， 9月份后20天流感病毒的新感染者的人数，构成一个首项为390，公差为－10的等差数列.所以后20天新感染者的人数和为T20＝20×390＋20(20－1)2×(－10)＝5 900(人). 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100(人).【变式训练3】设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为【解析】因为等差数列{an}的前n 项和为Sn ，且S4≥10，S5≤15，所以5＋3d 2≤a4≤3＋d ，即5＋3d≤6＋2d ，所以d≤1， 所以a4≤3＋d≤3＋1＝4，故a4的最大值为4.总结提高1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，am ＝an ＋(m －n)d.2.在五个量a1、d、n、an、Sn中，知其中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a＋d，a＋2d外，还可设a－d，a，a＋d；四个数成等差数列时，可设为a－3m，a－m，a＋m，a＋3m.4.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.。

§6.6数列中的综合问题考试要求数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式、前n 项和公式等．题型一等差数列、等比数列的综合运算例1(2023·厦门模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32n 2＋12n ，递增的等比数列{b n }满足b 1＋b 4＝18，b 2·b 3＝32.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ∈N +，求数列{c n }的前n 项和T n .解(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n 2＋12n －32(n －1)2＋12(n －1)＝3n －1，又∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝2符合上式，∴a n ＝3n －1.∵b 2b 3＝b 1b 4，∴b 1，b 4是方程x 2－18x ＋32＝0的两根，又∵b 4>b 1，∴解得b 1＝2，b 4＝16，∴q 3＝b4b 1＝8，∴q ＝2，∴b n ＝b 1·q n －1＝2n .(2)∵a n ＝3n －1，b n ＝2n ，则c n ＝(3n －1)·2n ，∴T n ＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n －1)·2n ，2T n ＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n －1)·2n ＋1，将两式相减得－T n ＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n )－(3n －1)·2n ＋1＝4＋322(1－2n －1)1－2－(3n －1)·2n ＋1＝(4－3n )·2n ＋1－8，∴T n ＝(3n －4)·2n ＋1＋8.思维升华数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．跟踪训练1(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S nn＋n ＝2a n ＋1.(1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S nn＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n2－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.题型二数列与其他知识的交汇问题命题点1数列与不等式的交汇例2(1)已知数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n (n ∈N +)，设数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，则实数λ的取值范围为()A.14，＋∞C.38，＋∞答案D解析数列{a n }满足a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n ＝n 2＋n ，①当n ≥2时，a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1n －1a n －1＝(n －1)2＋(n －1)，②①－②得1na n ＝2n ，故a n ＝2n 2，当n ＝1时，a 1＝2也满足上式．数列{b n }满足：b n ＝2n ＋1a n a n ＋1＝2n ＋14n 2(n ＋1)2＝141n 2－1(n ＋1)2，则T n ＝141＋…＋1n 2－1(n ＋1)2＝141－1(n ＋1)2，由于T n <nn ＋1λ(n ∈N +)恒成立，故141－1(n ＋1)2<n n ＋1λ，整理得λ>n ＋24n ＋4，因为y ＝n ＋24n ＋4＝n ∈N +上单调递减，故当n ＝1＝38，所以λ>38.(2)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ,2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．{a n }的通项公式；②记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.①解由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3a n ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，所以数列是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n－1，所以a n ＝11.②证明由①可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271n，a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－3<7528.综上所述，1271n≤S n <7528成立．命题点2数列与函数的交汇例3(1)(2023·龙岩模拟)已知函数f (x )＝13x 3＋4x ，记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，则S 2022等于()A ．－4044B ．－2022C ．2022D ．4044答案A解析因为f (－x )＝－13x 3－4x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因为f (a 1＋2)＝100，f (a 2022＋2)＝－100，所以f (a 1＋2)＝－f (a 2022＋2)，所以a 1＋2＋a 2022＋2＝0，所以a 1＋a 2022＝－4，所以S 2022＝2022(a 1＋a 2022)2＝－4044.(2)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1,2]，且a 4＋λa 10＋a 16＝15，则实数λ的最大值为________．答案－12解析因为a 4＋λa 10＋a 16＝15,所以a 1＋3d ＋λ(a 1＋9d )＋a 1＋15d ＝15，令λ＝f (d )＝151＋9d －2，因为d ∈[1,2]，所以令t ＝1＋9d ，t ∈[10,19]，因此λ＝f (t )＝15t －2，当t ∈[10,19]时，函数λ＝f (t )是减函数，故当t ＝10时，实数λ有最大值，最大值为f (10)＝－12.思维升华(1)数列与不等式的综合问题及求解策略①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n 项和公式、求和方法等对式子化简变形．跟踪训练2(1)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2023的两个零点是a 2，a 3，则a 1a 4等于()A ．2023B ．1C ．－1D ．－2023答案D解析由题意a 2，a 3是x 2－x －2023＝0的两根．由根与系数的关系得a 2a 3＝－2023.又a 1a 4＝a 2a 3，所以a 1a 4＝－2023.(2)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N +)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.①求数列{a n }，{b n }的通项公式；②设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.①解由题意知，{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n ＝a 1·2n －1＝2n －1.所以S n ＝2n－1.设等差数列{b n }的公差为d ，则b 1＝a 1＝1，b 4＝1＋3d ＝7，所以d ＝2，b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.②证明因为log 2a 2n ＋2＝log 222n ＋1＝2n ＋1，所以c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋1)＝所以T n －13＋13－15＋…＋12n －1－因为n ∈N +，所以T n <12，＝n 2n ＋1.当n ≥2时，T n －T n －1＝n 2n ＋1－n －12n －1＝1(2n ＋1)(2n －1)>0，所以数列{T n }是一个递增数列，所以T n ≥T 1＝13.综上所述，13≤T n <12.课时精练1．(2022·汕头模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，则a 1等于()A ．52－5B ．52＋5C ．52D ．5答案A解析设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0，由前4项和为15,4a 1,2a 3，a 5成等差数列，可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，4a 3＝4a 1＋a 5，即4a 1＋a 1q 4＝4a 1q 2，即q 2－2＝0，解得q ＝2，a 1＝52－5.2．(2023·焦作模拟)直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7000万元()(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)A ．14B ．13C ．12D ．11答案C解析设该公司经过n 年投入的资金为a n 万元，则a 1＝2000×1.12，由题意可知，数列{a n }是以2000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以a n ＝2000×1.12n ，由a n ＝2000×1.12n >7000可得n >log 1.1272＝lg 7－lg 2lg 1.12≈11.1，因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7000万元．3．在正项等比数列{a n }中，3为a 6与a 14的等比中项，则a 3＋3a 17的最小值为()A ．23B ．89C ．6D ．3答案C解析因为{a n }是正项等比数列，且3为a 6与a 14的等比中项，所以a 6a 14＝3＝a 3a 17，则a 3＋3a 17＝a 3＋3·3a 3≥2a 3·3·3a 3＝6，当且仅当a 3＝3时，等号成立，所以a 3＋3a 17的最小值为6.4．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a n }中，a 2＝－2a 5,1<a 3<2，则数列{a 3n }的前5项和S 5的取值范围是()－118，－－338，－答案A解析设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝－12，数列{a 3n }是首项为a 3，公比为q 3＝－12的等比数列，则S 51＋12＝1116a 35．(多选)(2023·贵阳模拟)已知函数f (x )＝lg x ，则下列四个命题中，是真命题的为()A ．f (2)，f (10)，f (5)成等差数列B ．f (2)，f (4)，f (8)成等差数列C ．f (2)，f (12)，f (72)成等比数列D ．f (2)，f (4)，f (16)成等比数列答案ABD解析对于A ，f (2)＋f (5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f (10)＝2lg 10＝1，故f (2)，f (10)，f (5)成等差数列，故是真命题；对于B ，f (2)＋f (8)＝lg 2＋lg 8＝lg 16,2f (4)＝2lg 4＝lg 16，故f (2)，f (4)，f (8)成等差数列，故是真命题；对于C ，f (2)·f (72)＝lg 2×lg ＝lg 212＝f 2(12)，故f (2)，f (12)，f (72)不成等比数列，故是假命题；对于D ，f (2)f (16)＝lg 2×lg 16＝4lg 22＝(2lg 2)2＝lg 24＝f 2(4)，故f (2)，f (4)，f (16)成等比数列，故是真命题．6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F 5＝641×6700417，不是质数．现设a n ＝log 4(F n －1)(n ＝1,2，…)，S n 表示数列{a n }的前n 项和．若32S n ＝63a n ，则n 等于()A ．5B ．6C ．7D ．8答案B解析因为F n ＝22n＋1(n ＝0,1,2，…)，所以a n ＝log 4(F n －1)＝log 4(22n＋1－1)＝log 422n＝2n －1，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(1－2n )1－2＝2n －1.所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6.7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．答案120解析∵“三角形数”可写为1,1＋2,1＋2＋3,1＋2＋3＋4,1＋2＋3＋4＋5，…，∴“三角形数”的通项公式为a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴这个三角锥垛的第十五层球的个数为a 15＝15×162＝120.8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，则p 的取值范围为________．答案ln 33，＋∞解析数列{a n }的通项公式为a n ＝ln n ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N +都成立，故p ，设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2，令f ′(x )＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e ，故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)，所以函数在x ＝e 处取最大值，由于n ∈N +，所以当n ＝3时函数最大值为ln 33.所以p 的取值范围是ln 33，＋9．记关于x 的不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0(n ∈N +)的整数解的个数为a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足4T n ＝3n ＋1－a n －2.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝2b n －，若对任意n ∈N +，都有c n <c n ＋1成立，试求实数λ的取值范围．解(1)由不等式x 2－4nx ＋3n 2≤0可得，n ≤x ≤3n ，∴a n ＝2n ＋1，T n ＝14×3n ＋1－12n －34，当n ＝1时，b 1＝T 1＝1，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12×3n －12，∵b 1＝1适合上式，∴b n ＝12×3n －12.(2)由(1)可得，c n ＝3n －1＋(－1)n －1，∴c n ＋1＝3n ＋1－1＋(－1)n ＋1，∵c n <c n ＋1，∴c n ＋1－c n ＝2×3n ＋52(－1)n >0，∴(－1)n λ>－45×2n ，当n 为奇数时，λ<45×2n ，由于45×2n 随着n 的增大而增大，当n ＝1时，45×2n 的最小值为85，∴λ<85，当n 为偶数时，λ>－45×2n ，由于－45×2n 随着n 的增大而减小，当n ＝2时，－45×2n 的最大值为－165，∴λ>－165，综上可知，－165<λ<85.10．设n ∈N +，有三个条件：①a n 是2与S n 的等差中项；②a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)；③S n ＝2n ＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．解(1)选择条件①：因为a n 是2与S n 的等差中项，所以2a n ＝2＋S n ，所以当n ≥2时，2a n －1＝2＋S n －1，两式相减得，2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，在2a n ＝2＋S n 中，令n ＝1，可得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件②：由a 1＝2，S n ＋1＝a 1(S n ＋1)，知S n ＋1＝2(S n ＋1)，当n ＝1时，可求得a 2＝4，所以当n ≥2时，S n ＝2(S n －1＋1)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝2，a 2＝4也满足上式，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2·2n －1＝2n .选择条件③：在S n ＝2n ＋1－2中，令n ＝1，则a 1＝21＋1－2＝2，当n ≥2时，有S n －1＝2n －2，两式相减得，a n ＝2n (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足上式，所以a n ＝2n .(2)因为{a n ·b n }是以2为首项，4为公差的等差数列，所以a n ·b n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，由(1)知，a n ＝2n ，所以b n ＝2n －12n －1，所以T n ＝1＋3＋5＋…＋2n －12n －1，12T n ＝1＋3＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，两式相减得，12T n ＝1＋2＋2＋…＋2－1－2n －12n ＝1＋2×21－12－2n －12n ＝3－2n ＋32n，所以T n ＝6－2n ＋32n －1.11．(2022·北京)设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案C 解析设无穷等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d .若{a n }为递增数列，则d >0，则存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，所以充分性成立；若存在正整数N 0，使得当n >N 0时，a n ＝dn ＋a 1－d >0，即d >d －a 1n对任意的n >N 0，n ∈N +均成立，由于n →＋∞时，d －a 1n→0，且d ≠0，所以d >0，{a n }为递增数列，必要性成立．故选C.12．已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)．若a 1>1，则()A ．a 1<a 3，a 2<a 4B ．a 1>a 3，a 2<a 4C ．a 1<a 3，a 2>a 4D ．a 1>a 3，a 2>a 4答案B 解析因为ln x ≤x －1(x >0)，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝ln(a 1＋a 2＋a 3)≤a 1＋a 2＋a 3－1，所以a 4＝a 1·q 3≤－1.由a 1>1，得q <0.若q ≤－1，则ln(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q )·(1＋q 2)≤0.又a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)≥a 1>1，所以ln(a 1＋a 2＋a 3)>0，矛盾．因此－1<q <0.所以a 1－a 3＝a 1(1－q 2)>0，a 2－a 4＝a 1q (1－q 2)<0，所以a 1>a 3，a 2<a 4.13．函数y ＝f (x )，x ∈[1，＋∞)，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N +，①函数f (x )是增函数；②数列{a n }是递增数列．写出一个满足①的函数f (x )的解析式________．写出一个满足②但不满足①的函数f (x )的解析式________．答案f (x )＝x 2f (x )(答案不唯一)解析由题意，可知在x ∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f (x )＝x 2.第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f (x ).则这个函数在1，43上单调递减，在43，＋∴f (x )在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.而对应的数列为a n 在n ∈N +上越来越大，属于递增数列．14．设函数f (x )－4，x ≤－3，x 2＋2，x >－3，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )(n ∈N +)，若{a n }是等差数列．则a 1的取值范围是__________．答案(－∞，－3]∪{－2,1}解析画出函数f (x )的图象如图所示，当a 1≤－3时，a 2＝f (a 1)＝a 1－4≤－7，a 3＝f (a 2)＝a 2－4≤－11，…，数列{a n }是首项为a 1，公差为－4的等差数列，符合题意，当a 1>－3时，因为{a n }是等差数列，①若其公差d >0，则∃k 0∈N +，使得0k a >2，这与a n ＋1＝f (a n )＝2－a 2n ≤2矛盾，②若其公差d ＝0，则a 2＝－a 21＋2＝a 1，即a 21＋a 1－2＝0，解得a 1＝－2或a 1＝1，则当a 1＝－2时，a n ＝－2为常数列，当a 1＝1时，a n ＝1为常数列，此时{a n }为等差数列，符合题意，③若其公差d <0，则∃k 0∈N +，使得0k a >－3且01k a ＋≤－3，则等差数列的公差必为－4，因此001k k a a ＋－＝－4，所以2－002k k a a －＝－4，解得0k a ＝－3(舍去)或0k a ＝2.又当0k a ＝2时，000123k k k a a a ＋＋＋＝＝＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．综上所述，a 1的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．15．若数列{a n }对于任意的正整数n 满足：a n >0且a n a n ＋1＝n ＋1，则称数列{a n }为“积增数列”．已知“积增数列”{a n }中，a 1＝1，数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ，则对于任意的正整数n ，有()A ．S n ≤2n 2＋3B ．S n ≥n 2＋4nC ．S n ≤n 2＋4nD ．S n ≥n 2＋3n 答案D 解析∵a n >0，∴a 2n ＋a 2n ＋1≥2a n a n ＋1，∵a n a n ＋1＝n ＋1，∴{a n a n ＋1}的前n 项和为2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2，∴数列{a 2n ＋a 2n ＋1}的前n 项和为S n ≥2×n (n ＋3)2＝n 2＋3n .16．设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b nn ∈N +)，求证：b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n <1＋n .(1)解由已知a n ＋22＝2S n (n ∈N +)，整理得S n ＝18(a n ＋2)2，所以S n ＋1＝18(a n ＋1＋2)2.所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝18[(a n ＋1＋2)2－(a n ＋2)2]＝18(a 2n ＋1＋4a n ＋1－a 2n －4a n )，整理得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －4)＝0，由题意知a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝4，而a 1＝2，即数列{a n }是a 1＝2，d ＝4的等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －2.(2)证明令c n ＝b n －1，则c n ＋a n a n ＋1－＝12n －1－12n ＋1.故b 1＋b 2＋…＋b n －n ＝c 1＋c 2＋…＋cn…1－12n ＋1<1.故b 1＋b 2＋…＋b n <1＋n .。

城东蜊市阳光实验学校响水中学2021届高三数学文科一轮复习教学案第17课时：等差数列【知识点回忆】1.等差数列的概念：假设数列{an}，那么数列{an}叫等差数列.2.通项公式：an=a1+〔n －1〕d ，推广：an=am+〔n －m 〕d.变式：a1=an －〔n －1〕d ，d=11--n a a n ，d=mn a a m n --，由此联想点列〔n ，an 〕所在直线的斜率. 3.等差中项：假设a 、b 、c 成等差数列，那么b 称a 与c 的等差中项，且b=2c a +；a 、b 、c 成等差数列是2b=a+c 的充要条件. 4.前n 项和：Sn=2)(1n a a n +=na1+2)1(-n n d=n·an－21〔n －1〕nd. 5.常用性质 【注】①等差数列的性质是数列根本规律的深化表达，是解决等差数列问题的既快捷又方便的工具，应有意识去应用 ②在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进展适当变形③“巧用性质、减少运算量〞在等差数列的计算中非常重要，但也不能忽略“根本量法〞；树立“目的意识〞，“需要什么，就求什么〞，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目的，往往能获得与“巧用性质〞解题一样的效果【根底知识】1.在1与4之间插入5个数，使它们组成等差数列，那么插入的第四个数为2.在等差数列{an}中，假设,5076543=++++a a a a 那么=+82a a3.设4321lg ,lg ,lg ,lg a a a a 成等差数列，公差为5，那么=14a a4.函数,2)(x x f =等差数列{}n a 的公差为,2假设,4)(108642=++++a a a a a f 那么5.把椭圆1162522=+y x 的长轴AB 分成8等份，过每一等份点作x 轴的垂线交椭圆上半部分于F P P P P ,,,,,7321 是椭圆的左焦点那么=+++F P F P F P 721 .6.在等差数列中前n 想和为210，其中前4项的和40，后4项的和为80，那么n =.7.两个等差数列，它们的前n 项和之比为5321n n +-，那么这两个数列的第9项之比为. 8.设等差数列{}n a 一一共有21n +项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为129，那么n =.【例题分析】例1由两个等差数列 8,,2x 和11,7,y 的公一一共项不改变原有顺序组成的数列记为{}n c 试求数列{}n c 的通项公式，并证明{}n c 也是等差数列变式：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公一一共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公一一共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的一样项．一一共有16个，也是等差数列，它们的和为1472这个新数列的各项之和为1472．例2数列{an}的前n 项和为Sn=npan 〔n∈N*〕且a1≠a2，〔1〕求常数p 的值；〔2〕证明：数列{an}是等差数列.变式：数列{an}是由正数组成的等比数列，a3=8，前3项的和S3=14〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；〔Ⅱ〕数列{bn}满足n n n n a b a b a b a b 2...332211=++++〔n∈N*〕，证明：{bn}是等差数列变式练习：数列{}n a 的前n 项的和为n S ,120(2)n n n a S S n -+=≥,且112a =,求证:1{}n S 是等差数列 例3设无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，〔1〕假设,231=a 公差,1=d 求满足2)(2k k S S =的正整数k 〔2〕求所有的无穷等差数列{}n a ，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立例4有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两数的和为21,中间两数的和为18,求这四个数.【稳固迁移】 1等差数列{}n a 中，假设,1201210864=++++a a a a a 那么数列{}n a 的前15项的和=15S 2设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设,5,10105-==S S 那么公差为〔用数字答题〕 3设n S 是等差数列{}n a 的前n 项的和，假设,6:7:42=a a 那么=37:S S . 4在等差数列{}n a 中，,01>a 前n 项之和为n S ，且137S S =，当=n 时，n S 最大 5数列{}n a 的前n 项的和n S =2)3103(n n -〔1〕求通项n a ；〔2〕求n S 的最大值；〔3〕求.1∑=ni ia 6.各项均为正数的数列{}n a 的前n 项之和为n S 满足,11>S 且))(2)(1(6*∈++=N n a a S n n n . (1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足,1)12(=-n b n a 并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：*∈+>+N n a T n n ),3(log 132 变式：数列{an}各项为正数，前n 项和)1(21+=n n na a s （1） 求数列{an}的通项公式；、 〔2〕假设数列{bn}满足b1＝1，bn+1＝bn+3an ，求数列{bn}的通项公式；〔3〕在〔2〕的条件下，令223n n n b a c =，数列{cn}前n 项和为Tn ，求证：Tn ＜2 7.数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-〔12n =，，〕，λ是常数． 〔1〕当21a =-时，求λ及3a 的值； 〔2〕数列{}n a 是否可能为等差数列？假设可能，求出它的通项公式；假设不可能，说明理由；变式：数列{}n a 中,12a =,23a =,其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+,其中2n ≥,*n ∈N .(1)求证;数列{}n a 为等差数列,并求其通项公式;(2)设n n na b -⋅=2,n T 为数列{}n b 的前n 项和,求使n T >2的n 的取值范围. (3)设λλ(2)1(41n a n n nc ⋅-+=-为非零整数,*n ∈N ),试确定λ的值,使得对任意*n ∈N ,都有n n c c >+1成立. 【答案】解:(1)由,()()111n n n n S S S S +----=(2n ≥,*n ∈N ), 即11n na a +-=(2n ≥,*n ∈N ),且211a a -=. ∴数列{}n a 是以12a =为首项,公差为1的等差数列. ∴1n a n =+(2)∵1na n =+,∴n n nb 21)1(⋅+= ∴n T n n 233+-= 代入不等式得:01232233<-+>+-n n n n ，即 设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴)(n f 在+N 上单调递减, ∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f , ∴当n=1,n=2时,()0,3()0f n n f n ><≥当时，,所以n 的取值范围.为3,n n *∈N ≥且 (3)1,n a n =+114(1)2n n n n c λ-+∴=+-,要使1n n c c +>恒成立,即1211144(1)2(1)20n n n n n n n nc c λλ++-++-=-+--->恒成立, 11343(1)20n n n λ-+∴⨯-->恒成立,∴11(1)2n n λ---<恒成立,(i)当n 为奇数时,即12n λ-<恒成立,当且仅当1n =时,12n -有最小值为1,1λ∴<.(ii)当n 为偶数时,即12n λ->-恒成立,当且仅当2n =时,12n --有最大值2-,2λ∴>-.即21λ-<<,又λ为非零整数,那么1λ=- 综上所述:存在1λ=-,使得对任意的n *∈N ,都有1n n c c +> 回忆小结。

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

第二节 等差数列及其前n 项和等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． (4)了解等差数列与一次函数的关系． 知识点一 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．易误提醒1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：72知识点二 等差数列的通项及求和公式 等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 必记结论1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．2．前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：设等差数列公差为d ，则有a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由S 8＝8×(a 1＋a 8)2，又a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝18，∴S 8＝8×182＝72.答案：D5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0， 所以S 5a 5＝5a 1＋5×42d a 1＋4d ＝5a 1＋10da 1＋4d ＝155＝3.答案：3考点一 等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：法一：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝5(a 1＋2d )＝5.法二：数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d 为________．解析：∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. 答案：12 0153．(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝－2，公差d ＝－2，那么数列{a n }的前5项和S 5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S 5＝5(a 2－d )＋5×42d ＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．考点三 等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18＝( )A ．20B ．60C ．90D ．100[解析] 因为{a n }是等差数列，所以S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 5＋a 14)＝90，故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] 本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10,2n ＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．[解] ①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．2．(2015·深圳调研)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝18，则a 8＝________.解析：等差数列性质可得S 3＝3，S 6－S 3＝15，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8成等差数列，故有2(S 6－S 3)＝S 3＋S 9－S 6⇒2×15＝3＋3a 8，解得a 8＝9.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53D ．4[思路点拨] 若利用a ，d 基本计算较繁，可考虑S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－S 20＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60.答案：60A 组 考点能力演练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n ＝n2n －1. 答案：n 2n－18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1， ∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2)，②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n， 当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ>12. B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B. 答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B. 答案：B3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0解析：若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：因为a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列，所以前9项和S 9＝9＋9×82×12＝27. 答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92， 即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32， 解得a 1＝1，d ＝12， 故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

第二讲 等差数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D.2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D )A ．18B ．27C ．36D ．45[解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝15，a 5＝5，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝2a 52×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 22＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C )A ．d ＝3B ．a 10＝12C ．S 20＝280D ．a 1＝－4[解析] 依题意，得S 10＝a 1＋a 10·102＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2，则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C.5．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，解得875<d ≤325.故选D.6．(2021·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( C )A ．18B ．16C ．14D ．12[解析] 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14，可得⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 二、多选题7．等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是( AD ) A ．d >0 B ．a 1>0C ．当n ＝5时S n 最小D ．S n >0时，n 最小值为8[解析] ∵a 7＝3a 5，∴a 1＋6d ＝3a 1＋12d ， ∴a 1＝－3d ，由已知得d >0， ∴a 1<0，故A 正确，B 不正确．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－72dn ＝d2(n 2－7n )，当n ＝3或4时，S n 最小，故C 不正确．S n >0解得n >7或n <0，因此S n >0时n 最小为8，故D 正确，选A 、D.8．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( AC )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0[解析] 根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8， 即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ， 又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ， 则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确； 又由S n ＝na 1＋n n －1d2＝－9nd ＋n n －1d 2＝d2×(n 2－19n )， 则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确． 三、填空题9．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 . [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 10．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，若S 4＝3，S 5＝4，则a 9＝ 75.[解析] 由题知：⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ＝3S 5＝5a 1＋10d ＝4，解得a 1＝35，d ＝110.∴a 9＝a 1＋8d ＝35＋8×110＝75.11．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝ 3 . [解析] 因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.12．记S n 为正项等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3·a 4＝S 7，则S n ＝ 32n 2－12n .[解析] 设等差数列的公差为d ，由题意得a 3·a 4＝S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4，所以a 3＝7，所以1＋2d ＝7，∴d ＝3，所以S n ＝n ＋n n －12×3＝32n 2－12n .故答案为：32n 2－12n .四、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．[解析] (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由S 9＝－a 5得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －9d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0， 解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0， 所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1， 即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1， 因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.B 组能力提升1．(2021·湖北咸宁联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 5＝10，则{a n }的公差为( C )A ．23B ．12C ．13D ．14[解析] 由题意知a 1＋a 2＝3①，S 5＝5a 1＋a 52＝10，即a 1＋a 5＝4②，②－①得3d ＝1，∴d ＝13，故选C.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 674＝2，S 1 348＝12，则S 2 022＝( C ) A ．22 B ．26 C ．30D ．34[解析] 由等差数列的性质知，S 674，S 1 348－S 674，S 2 022－S 1 348成等差数列，则2(S 1 348－S 674)＝S 674＋S 2 022－S 1 348，即2×(12－2)＝2＋S 2 022－12，解得S 2 022＝30.3．(2020·课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( C )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块[解析] 本题考查等差数列的性质及其前n 项和．设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{a n }，由题意知a 1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{a n }为公差为9的等差数列．解法一：设每层环数为n (n ∈N *)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 1，a 2，…，a n ，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a n ＋1，a n ＋2，…，a 2n ，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 2n ＋1，a 2n ＋2，…，a 3n .由题意知(a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n )－(a n＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n )＝729，由等差数列的性质知a 2n ＋1－a n ＋1＝a 2n ＋2－a n ＋2＝…＝a 3n －a 2n ＝9n ，所以9n 2＝729，得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.解法二：设每层环数为n (n ∈N *)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列的性质知，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝9n 2，则9n 2＝729，解得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.4．(多选题)(2021·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( ABC )A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短[解析] 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C.。

《等差数列》一、考纲要求1.了解等差数列与一次函数的关系;等差数列前n项和公式与二次函数间的关系.2.理解等差数列的概念．n项和公式；能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.二、教学策略分析本节课采用了讲练结合的教学策略：教师讲解例题→学生反应练习→点评→学生稳固提高→点评→学生归纳总结→学生完成课后作业，以学生为本，关注学生的开展.在学生解题的过程中引导他们对等差数列的知识进行整理和深入思考、提高运用知识的能力.设计能够激发学生发散思维的练习题，使学生在掌握方程的根本方法的同时，能够结合等差数列的性质提高解题效率，力求使各层次的学生都有所提高. 三、教学过程(一)展示近四年全国卷对数列的考察(二)知识点梳理等差数列的定义及相关性质(三)例题讲解、变式练习例1等差数列{a n}的前n项和记为S n.已知a10＝30，a20＝50.①求通项a n；②若S n＝242，求n.变式1〔1〕20xx全国卷一理数(2)20xx全国卷一理数例２已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且满足2S n＝a2n＋n－4.(1)求证：{a n}为等差数列；(2)求{a n}的通项公式。

变式2〔20xx全国卷二理数〕(四)课堂小结1、本节内容在高考中主要考查等差数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差中项、等差数列的性质．高考中各种题型都有，一般选择题、填空题主要考查等差数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式，难度不大，解答题则综合考查等差数列的相关知识，有时会与其他知识综合命题，难度中等。

从能力考查来看，主要考查学生的运算能力、数据处理能力及转化与化归的思想意识。

2.准确理解概念，掌握等差数列的有关公式和性质；注意不同性质的适用条件和考前须知。

(五)课后作业完成一轮活页等差数列及其性质。

3.2 等差数列●知识梳理1.等差数列的概念若数列{a n }从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{a n }叫等差数列.2.通项公式：a n =a 1+（n －1）d ，推广：a n =a m +（n －m ）d . 变式：a 1=a n －（n －1）d ，d =11--n a a n ，d =mn a a m n --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.3.等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b =2c a +；a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.4.前n 项和：S n =2)(1n a a n +=na 1+2)1(-n n d =n ·a n －21（n －1）nd . 变式：21n a a +=n S n =n a a a n+⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d =a n +（n －1）·（－2d ）.●点击双基1.（2003年全国，文5）等差数列{a n }中，已知a 1=31，a 2+a 5=4，a n =33，则n 是A.48B.49C.50D.51解析：由已知解出公差d =32，再由通项公式得31+（n －1）32=33，解得n =50.答案：C2.（2003年全国，8）已知方程（x 2－2x +m ）（x 2－2x +n ）=0的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m －n |等于A.1B.43 C.21D.83解析：设4个根分别为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1+x 2=2，x 3+x 4=2，由等差数列的性质，当m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .设x 1为第一项，x 2必为第4项，可得数列为41，43，45，47，∴m =167，n =1615.∴|m －n |=21.答案：C3.（2004年春季上海，7）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ，点（na ，1-n a ）在直线x －y －3=0上，则a n =___________________.解析：将点代入直线方程得na －1-n a =3，由定义知{na }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故na =3n ，即a n =3n 2.答案：3n 24.（2003年春季上海，12）设f （x ）=221+x，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f （－5）+f （－4）+…+f （0）+…+f （5）+f （6）的值为___________________.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到f （x ）+f （1－x ）=22，即f （－5）+ f （6）=22，f （－4）+f （5）=22，f （－3）+f （4）=22，f （－2）+f （3）=22，f （－1）+ f （2）=22，f（0）+f （1）=22，故所求的值为32.答案：32●典例剖析【例1】 数列{a n }的前n 项和为S n =npa n （n ∈N *）且a 1≠a 2， （1）求常数p 的值；（2）证明：数列{a n }是等差数列. 剖析：（1）注意讨论p 的所有可能值. （2）运用公式a n =⎩⎨⎧--11n nS S S .2,1≥=n n 求a n .解：（1）当n =1时，a 1=pa 1，若p =1时，a 1+a 2=2pa 2=2a 2， ∴a 1=a 2，与已知矛盾，故p ≠1.则a 1=0. 当n =2时，a 1+a 2=2pa 2，∴（2p －1）a 2=0. ∵a 1≠a 2，故p =21. （2）由已知S n =21na n ，a 1=0.n ≥2时，a n =S n －S n －1=21na n －21（n－1）a n －1.∴1-n na a =21--n n .则21--n n a a =32--n n ，…，23a a =12.∴2a a n =n －1.∴a n =（n －1）a 2，a n －a n －1=a 2.故{a n }是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.评述：本题为“S n ⇒a n ”的问题，体现了运动变化的思想. 【例2】 已知{a n }为等差数列，前10项的和S 10=100，前100项的和S 100=10，求前110项的和S 110.剖析：方程的思想，将题目条件运用前n 项和公式，表示成关于首项a 1和公差d 的两个方程.解：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯⨯+=⨯⨯+,109910021100,100910211011d a d a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.1001099,50111d a ∴S 110=110a 1+21×110×109d =－110.评述：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d （q ）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简.思考讨论此题能按等差数列的关于和的性质来求吗?【例3】 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .剖析：由S n =12n －n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数（n ∈N *），可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：当n =1时，a 1=S 1=12－12=11；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=12n －n 2－［12（n －1）－（n －1）2］=13－2n .∵n =1时适合上式，∴{a n }的通项公式为a n =13－2n .由a n =13－2n ≥0，得n ≤213，即当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，a n＞0；当n ≥7时，a n ＜0.（1）当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n －n 2.（2）当n ≥7（n ∈N *）时，T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ）=－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6）=－S n +2S 6=n 2－12n +72.∴T n =⎪⎩⎪⎨⎧+--72121222n n nn ).,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题.深化拓展若此题的S n =n 2－12n ，那又该怎么求T n 呢？答案：T n =⎩⎨⎧≥-≤-.72,66n S S n S nn●闯关训练 夯实基础1.等差数列{a n }中，a 10＜0，a 11＞0且a 11＞|a 10|，S n 为其前n 项和，则A.S 1，S 2，…，S 10都小于0，S 11，S 12，…都大于0B.S 1，S 2，…，S 19都小于0，S 20，S 21，…都大于0C.S 1，S 2，…，S 5都小于0，S 6，S 7，…都大于0D.S 1，S 2，…，S 20都小于0，S 21，S 22，…都大于0 解析：由题意知⎩⎨⎧>+<+,010,0911d a d a 可得d ＞0，a 1＜0.又a 11＞|a 10|=－a 10，∴a 10+a 11＞0.由等差数列的性质知a 1+a 20=a 10+a 11＞0，∴S 20=10（a 1+a 20）＞0. 答案：B2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15解析：设a 2+a 4+a 15=p （常数），∴3a 1+18d =p ，即a 7=31p . ∴S 13=2)(13131a a +⨯=13a 7=313p .答案：C3.在等差数列{a n }中，公差为21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2+a 4+a 6+…+a 100=_________.解析：由等差数列的定义知a 2+a 4+a 6+…+a 100=a 1+a 3+a 5+…+a 99+50d =60+25=85.答案：854.将正偶数按下表排成5列：那么2004应该在第______________行第______________列.解法一：由2004是正偶数列中第1002项，每一行四项，故在第251行中的第二个数.又第251行是从左向右排且从第二行开始排，故2004为第251行第3列.解法二：观察第三列中的各数，可发现从上依次组成一个首项为4，公差为8的等差数列，可算得2004为此数列的第251项.答案：251 35.（2004年全国，文17）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a10=30，a20=50.（1）求通项{a n}；（2）若S n=242，求n.解：（1）由a n=a1+（n－1）d，a10=30，a20=50，得方程组a1+9d=30，①a1+19d=50. ②由①②解得a1=12，d=2，故a n=2n+10.（2）由S n=na1+2)1(-nn d及Sn =242，得方程12n+2)1(-nn×2=242，解得n=11或n=－22（舍）.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3，…，S 12中哪一个最大，并说明理由. 解：（1）a 3=12，∴a 1=12－2d ，解得a 12=12+9d ，a 13=12+10d .由S 12＞0，S 13＜0，即2)(12121a a +＞0，且2)(13131a a +＜0，解之得－724＜d＜－3.（2）由a n =12+（n －3）d ＞0，由－724＜d ＜－3，易知a 7＜0，a 6＞0，故S 6最大.培养能力7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21.（1）求证：{nS 1}是等差数列；（2）求a n 的表达式.（1）证明：∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2），S n≠0（n =1，2，3…）.∴nS 1－11-n S =2.又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，2为公差的等差数列.（2）解：由（1），nS 1=2+（n －1）·2=2n ，∴S n =n21.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n21－)1(21-n =－)1(21-n n 〔或n ≥2时，a n =－2S n S n －1=－)1(21-n n 〕；当n =1时，S 1=a 1=21.∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--)1(2121n n ).2(),1(≥=n n8.有点难度哟！（理）设实数a ≠0，函数f （x ）=a （x 2+1）－（2x +a1）有最小值－1.（1）求a 的值；（2）设数列{a n }的前n 项和S n =f （n ），令b n =na a a n242+⋅⋅⋅++，证明:数列{b n }是等差数列.（1）解：∵f （x ）=a （x －a 1）2+a －a 2，由已知知f （a1）=a－a2=－1，且a ＞0，解得a =1，a =－2（舍去）.（2）证明：由（1）得f （x ）=x 2－2x ， ∴S n =n 2－2n ，a 1=S 1=－1.当n ≥2时，a n =S n －S n －1=n 2－2n －（n －1）2+2（n －1）=2n －3，a 1满足上式即a n =2n －3.∵a n +1－a n =2（n +1）－3－2n +3=2，∴数列{a n }是首项为－1，公差为2的等差数列.∴a 2+a 4+…+a 2n =2)(22n a a n +=2)341(-+n n =n （2n －1），即b n =nn n )12(-=2n －1.∴b n +1－b n =2（n +1）－1－2n +1=2.又b 2=12a =1，∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列.（文）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家电商场均有销售，甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每台最低价不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？解：设单位需购买影碟机n台，在甲商场购买每台售价不低于440元时售价依台数n成等差数列，设该数列为{a n}，则a n=780+（n－1）×（－20）=800－20n.由a n≥440解不等式800－2n≥440，得n≤18.当购买台数小于18时，每台售价为800－20n元，在台数大于等于18台时每台售价为440元.到乙商场购买每台约售价为800×75%=600元.价差（800－20n）n－600n=20n（10－n）.当n＜10时，600n＜（800－20n）·n；当n=10时，600n=（800－20n）·n；当10＜n≤18时，（800－20n）＜600n；当n＞18时，440n＜600n.答:当购买少于10台时到乙商场花费较少；当购买10台时到两商场购买花费相同；当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.探究创新9.有点难度哟！已知f （x ）=a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a n x n，n 为正偶数，且a 1，a 2，a 3，…，a n 组成等差数列，又f （1）=n 2，f （－1）=n .试比较f （21）与3的大小.解：∵f （1）=a 1+a 2+…+a n =n 2. 依题设，有2)(1n a a n =n 2，故a 1+a n =2n ，即2a 1+（n －1）d =2n .又f （－1）=－a 1+a 2－a 3+a 4－a 5+…－a n －1+a n =n ，∴2n ·d =n ，有d =2.进而有2a 1+（n －1）2=2n ，解出a 1=1.于是f （1）=1+3+5+7+…+（2n －1）.f （x ）=x +3x 2+5x 3+7x 4+…+（2n －1）x n .∴f （21）=21+3（21）2+5（21）3+7（21）4+…+（2n －1）（21）n. ①①两边同乘以21，得21f （21）=（21）2+3（21）3+5（21）4+…+（2n －3）（21）n +（2n －1）（21）n +1. ②①－②，得21f （21）=21+2（21）2+2（21）3+…+2（21）n－（2n－1）（21）n +1，即21f （21）=21+21+（21）2+…+（21）n －1－（2n －1）（21）n +1.∴f （21）=1+1+21+221+…+221-n －（2n －1）n 21=1+2112111---n －（2n －1）n21=1+2－221-n －（2n －1）n21＜3.∴f （21）＜3. ●思悟小结1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.3.证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是： （1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数； （2）利用等差中项，即证明2a n =a n －1+a n +1（n ≥2）.4.等差数列{a n }中，当a 1＜0，d ＞0时，数列{a n }为递增数列，S n 有最小值；当a 1＞0，d ＜0时，数列{a n }为递减数列，S n 有最大值；当d =0时，{a n }为常数列.5.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式，灵活运用等差数列的性质.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.●教师下载中心教学点睛本节教学时应注意以下几个问题：1.在熟练应用基本公式的同时，还要会用变通的公式，如在等差数列中，a m=a n+（m－n）d.2.由五个量a1，d，n，a n，S n中的三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差数列这类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d 外，还可设a－d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d.4.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.5.在求解数列问题时，要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.拓展题例【例1】已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少相同的项？并求所有相同项的和.分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数.解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a n}，则a1=11.∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4， ∴{a n }的公差d =3×4=12，∴a n =12n －1.又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，∴a n =12n －1≤302，即n ≤25.5.又n ∈N *，∴两个数列有25个相同的项. 其和S 25=11×25+22425⨯×12=3875.分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解.解法二：设5，8，11，…与3，7，11，…分别为{a n }与{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1.设{a n }中的第n 项与{b n }中的第m 项相同，即3n +2=4m －1，∴n =34m －1.又m 、n ∈N *，∴设m =3r （r ∈N *），得n =4r －1. 根据题意得⎩⎨⎧≤-≤≤≤,100141,10031r r 解得1≤r ≤25（r ∈N *）.从而有25个相同的项，且公差为12， 其和S 25=11×25+22425⨯×12=3875.【例2】 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n }的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d .∵S 7=7，S 15=75，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a解得a 1=－2，d =1.∴nS n=a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）=25-n .∴11++n S n －nSn=21.∴数列{nS n}是等差数列，其首项为－2，公差为21.∴T n =41n 2－49n .。

6.2 等差数列及其前n 项和必备知识预案自诊知识梳理1。

等差数列（1）定义：一般地,如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 都等于 ，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的 ，公差通常用字母d 表示。

数学语言表示为a n+1-a n =d (n ∈N +），d 为常数。

(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是 ，其中A 叫作a ，b 的 .(3)等差数列{a n ｝的通项公式:a n = ,可推广为a n =a m +（n —m ）d.（4)等差数列的前n 项和公式:S n =n (n1+n n )2=na 1+n (n -1)2d.2。

等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 （1）a n =a 1+（n-1）d 可化为a n =dn+a 1—d 的形式。

当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d 〉0时，数列为递增数列；当d 〈0时，数列为递减数列。

（2)数列｛a n }是等差数列,且公差不为0⇔S n =An 2+Bn (A ，B 为常数）。

1.已知｛a n ｝为等差数列，d 为公差,S n 为该数列的前n 项和.(1）在等差数列{a n }中，当m+n=p+q时,a m+a n=a p+a q(m,n,p，q∈N+)。

特别地，若m+n=2p，则2a p=a m+a n（m，n,p∈N+）。

（2)a k,a k+m，a k+2m,…仍是等差数列,公差为md（k,m∈N+)。

(3）S n,S2n-S n，S3n-S2n,…也成等差数列，公差为n2d. (4)若{a n},｛b n}是等差数列,则｛pa n+qb n｝也是等差数列.(5)若项数为偶数2n,则S2n=n（a1+a2n)=n（a n+a n+1）；S偶—S奇=nd;S奇S偶=a na n+1。

(6）若项数为奇数2n—1,则S2n-1=（2n—1）a n；S奇-S偶=a n;S奇S偶=nn-1。