初中数学公式定理代数部分第一章有理数及其运算1 自然数及其运算11 自然数零的符号是“0”,它表示没有数量或进位制上的空位除0之外,任何自然数都是由若干个“1”组成的,“1”是数个数的单位,称作自然数的单位自然数的全体：0,1,2,3,4,…,n…,叫做自然数的集合,简称自然数集能被2整除的数叫做偶数;不能被2整除的数叫做奇数12 自然数的运算1 加法: 求和的运算叫做加法2 减法: 减法是加法的逆运算3 乘法: 同一个自然数的连加运算,就叫做乘法4 除法: 除法是乘法的逆运算,零不能做除数13 自然数的运算性质用字母表示任一个自然数,来说明对于任何自然数的运算普遍成立的运算规律和运算特征即它们的共同性质,并简称为运算通性或运算律1 加法交换律:a+b=b+a2 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)3 乘法交换律:a·b=b·a4 乘法对加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c求同一个数得连乘运算,叫做乘方运算a^n(a n)中,a叫做底数,自然数n叫做指数,乘方的结果a^n叫做幂(读作“a 的n次幂”或“a的n次方”)零的n次方总等于零,1的n次方总等于1同底数幂相乘,底数不变,只是指数相加指数运算律(一)同底数幂相乘,指数相加,底数不变,即a^m·a^n=a^(m+n),指数运算律(二)乘积的幂,等于各因数的幂的乘积,即(a·b)^n=a^n·b^n指数运算律(三)幂的乘方,指数相乘,底数不变,即(a^m)^n=a^(mn)指数运算律(四)同底数幂相除,指数相减,底数不变,即a m/a n=a m-n其中m>n,a≠0两个同底数(不为0)、同指数的幂相除,其商等于a0=1 ，(a≠0)分数的意义与特点a/b·b=(a·1/b)·b=(b·1/b)·a=1·a=aa/b=am/bm ，(m≠0)a/b=(a/b)/(b/n) ，(n≠0)分数有一个重要的基本性质：一个分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变22 分数的运算及运算律加、减法 a/b(+,-)c/d=ad/bd(+,-)bc/bd=(ad(+,-)bc)/bd乘法 a/b·c/d=ac/bd除法(a/b)/(c/d)=(a/b)·(d/c)=ad/bc乘方(a/b)^m=(a/b)·(a/b)…(a/b){m个括号}=(a^m)/(b^m)分数加法的交换律是a/b+c/d=c/d+a/b3 有理数的意义31 相反意义的量在研究两者的总效果时,可以互相抵消或一部分抵消32 正数和负数、相反数带有正号的数叫做正数(“+”号也可省略不写);带有负号的数叫做负数负数与正数合并时,其结果可以相消或部分抵消数零,既不是正数,也不是负数对任一个数a,总能有一个数-a,使它们可以相消,像这样只是符号不同的两整数包括正整数、负数和零分数包括正分数、负分数整数和分数,统称为有理数全体有理数组成的集合,称为有理数集合全体整数组成的集合,称为整数集合全体自然数组成自然数集合有理数可以用一条直线上的点来表示规定了原点、正方向和单位程度的直线叫做数轴对于任一个有理数,在数轴上都可以有一个确定的点表示它正数和负数,可表示“相反意义”的量,而数零是它们的界限互为相反数的一对数,在数轴上总是表示到原点距离相等的一对点零与它们的相反数都用原点表示34 绝对值一个有理数在数轴上所对应的点至原点的距离叫做绝对值一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零4 有理数的运算41 有理数的加法与减法加法（1）符号相同的两个有理数相加,只要将两数的绝对值相加,符号仍取原来的符号（2）两个符号相反的有理数相加,将较大的绝对值减去较小的绝对值,符号取绝对值较大的加数的符号减法减法是加法的逆运算减法法则是减去一个数,等于加上这个有理数的相反数在有理数范围内,减法运算也是畅通无阻的42 代数和含有加减运算的式子,都能转化成井含有加法运算的式子,我们称它为“代数和”去括号法则：去掉紧接正号后面的括号时,括号里的各项都不变;去掉紧接负号后面的括号时,括号里的各项都要变号添括号法则：紧接正号后面添加括号时,括号到括号里的各项都不变;紧接符号后面添加括号时,括到括号里的各项都要变号43 有理数的乘法与除法乘法异号(一负一正)两有理数相乘,将绝对值相乘,符号取负两个负有理数相乘,将绝对值相乘,符号取正乘法法则：将绝对值相乘,积的符号是：同号得正,异号得负当负乘数有奇数个时,成积为负;当负乘数有偶数个时,成积为正;只要有一个乘数为零,那么乘积必定是零除法除法法则：将绝对值相除,商的符号是：同号相除得正,异号相除得负零除以任一个非零有理数,其商仍为零零不能作除数任一个非零有理数x,除1所得的商1/x,叫做这个数x的倒数与1/x互为倒数,其特征性质是x·1/x=1,就等于乘以这个数的倒数a/b=a·1/b=a/b44 有理数的乘方非零有理数的乘方,将其绝对值乘方,而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号;负数的奇数乘方取负号,负号的偶次乘方取正号零的非零次都0;零的零次方没有意义45 有理数的混合运算先乘方,再乘除,后加减;若有括号,则“先里后外”去括号,逐步计算46 近似数和有效数字与实际相符的数,叫做准确数与实际接近的数,叫近似数一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
从左边第一个非零数字起到精确到那一位数字止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字5 有理数的基本性质51 有理数运算的“通性”1 加、减、乘(乘方)、除运算的封闭性任意两个有理数的和、差、积、商(0不作除数)都还是有理数这就是有理数四则运算的封闭性相比之下,在自然数范围内,除法(除数不为0)、减法都不封闭;在整数范围内,除法(除数不为0)也不封闭2 加法、乘法运算满足交换律、结合律和分配律与自然数计算法则完全相同3 加、减法运算,乘、除运算的统一(1) 加、减运算的统一任意一个有理数a,总有它唯一的一个相反数-a,使得(-a)+a=a+(-a)=0因而,有理数减法,就可以转化为加法,即a-b=a+(-b)(2) 乘、除运算的统一任意一非零有理数b,总有它唯一的一个倒数1/b,使得b·1/b=1/b·b=1因而,有理数除法,就可以转化为乘法,即a/b=a·1/b(b≠0)4 数0与1的特性对于任意有理数a来说,a+0=0+a=a; a·0=0·a=0; a·1=1·a=a5 乘方运算满足指数运算律52 有理数的大小顺序负数<零<正数（1）a-b>0, a>b;（2）a-b=0, a=b;（3）a-b<0, a<b负数小于0,0小于正数,负数小于正数;两个整数比较时,绝对值大的数较大;两个负数比较时,绝对值大的数反而较小负数按绝对值由大到小排列,正数按绝对值由小到大排列在数轴上,右边的点所表示的有理数总是大于左边的点所表示的有理数53 等式与不等式的基本性质1 等式用等号“=”联结两个算式的式子,叫做等式无需任何条件,本来就是真实的等式,叫做恒等式在某些条件下,才能成为真实的等式,叫做条件等式根本不能成立的等式,叫矛盾等式等式有以下基本性质：1) 等式的两边可以对调2) 等式的关系可以传递3) 等式的两边,可以加上(或减去)同一个数4) 等式的两边,可以乘以(或除以非零的)同一个数2 不等式用不等号“>”或“<”表示的关系式,叫做不等式1) 如果A>B,那么B<A2) 如果A>B,B>C,那么A<C3) 如果A>B,那么A(+,-)m>B(+,-)m4) 如果A>B,且m>0,那么Am>Bm5) 如果A>B,且m<0,那么Am<Bm第二章一次方程(组)与一次不等式(组)1 算术解法与代数解法11 两种解法的分析、对比12 未知数和方程用字母x、y、…等,表示所要求的数量,这些字母称为“未知数”用运算符号把数或表示书的字母联结而成的式子,叫做代数式含有未知数的等式,叫做方程在一个方程中,所含未知数,又成为元;被“+”、“-”号隔开的每一部分称为一项在一项中,数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数某一项所含有的未知数的指数和,成为这一项的次数不含未知数的项,成为常数项当常数不为零时,它的次数是0,因此常数项也称为零次项13 方程的解与解方程的根据未知数应取的值是指：把所列方程中的未知数换成这个值以后,就使方程变成一个恒等式能是方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解,也叫做根求方程解的过程,叫做解方程解方程的根据是“运算通性”及“等式性质”可以“由表及里”地去掉括号,并将“含有相同未知数且含未知数的次数也相同”的各项结合起来,合并在一起——这叫做合并同类项把方程一边的任一项改变符号后,移到方程的另一边,叫做移项简单说就是“移项变号”把方程两边各同除以未知数的系数(或同乘以系数的倒数),就得到未知数应取的值综上所述,得到解方程的方法、步骤：去括号、移项变号、合并同类项,使方程化为最简形式ax=b(a≠0)、除以未知数的系数,得出x=b/a(a≠0)2 一元一次方程只含有一个未知数并且次数是1的方程,叫做一元一次方程一般形式:ax+b=0(a≠0,a、b是常数)22 一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1 去分母(或化为整系数);2 去括号;3移项变号;4 合并同类项,化为ax=-b(a≠0)的形式;5 方程两边同除以未知数的系数,得出方程的解x=-b/a3 一次方程组31 二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程能够使二元一次方程两边的值相等的未知数x、y的一组值,叫做这个二元一次方程的一个解任何一个二元一次方程都有无限多个解,正因为如此,二元一次方程也被称为不定方程32 方程组与方程组的解把几个方程联合在一起,组成一个整体,叫做联立方程,也叫方程组由几个一次方程组并含有两个未知数的方程组,成为二元一次方程组能够同时满足方程组中每一个方程的未知数的数组组,叫做方程组的解33 二元一次方程组的解法求方程组的解的过程,叫做解方程组设把二元方程转化为一元方程求解,称为消元法叫做加减消元法,简称加减法原方程组是矛盾方程组,无解34 三元一次方程组及其解法含有三个未知数的三元一次方程组4 解应用问题5 一元一次不等式(组)51 一元一次方程式在含有未知数的不等式中,如果只含有一个未知数、分母不含未知数,并且未知数的次数是一次,那么这样的不等式,叫做一元一次不等式能够使不等式成立的未知数的值,称为这个不等式的解,所有这样的解的集合,简称为这个不等式的解集求不等式的解集的过程,叫做解不等式52 一元一次不等式的解法53 一元一次不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式不等式组中每个不等式的解的公共部分,叫做这个不等式组的解集54 一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的一般步骤是：1)先求出不等式组里各个不等式的解集;2)在求出这些不等式的解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集第三章一元二次方程1 平方与平方根11 面积与平方(1) 任意两个正数的和的平方,等于这两个数的平方和(2) 任意两个正数的差的平方,等于这两个数的平方和,再减去这两个数乘积的2倍任意两个有理数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和,再加上(或减去)这两个数乘积的2倍12 平方根1 正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;2 零只有一个平方根,它就是零本身;3 负数没有平方根14 实数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数2 平方根的运算21 算术平方根的性质性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于这个数本身性质2 一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值22 算术平方根的乘、除运算1 算术平方根的乘法√(a)·√(b)=√(ab) (a>=0,b>=0)2 算术平方根的除法√(a)/√(b)=√(a/b) (a>=0,b>0)通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去火把根号中的分母化去,叫做分母有理化(1) 被开方数的每个因数的指数都小于2;(2) 被开方数不含有字母我们把符合这两个条件的平方根叫做最简平方根23 算术平方根的加、减运算如果几个平方根化成最简平方根以后,被开方数相同,那么这几个平方根就叫做同类平方根3 一元二次方程及其解法31一般的一元二次方程的解法——配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是：1 化二次项系数为1将方程化为x2+px+q=0的形式2 移项把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式3配方方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,是方程左边成为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数4 有平方根的定义,可知(1) 当p2/4-q>0时,原方程有两个实数根;(2) 当p2/4-q=0,原方程有两个相等的实数根(二重根);(3) 当p2/4-q<0,原方程无实根32 一元二次方程的求根公式以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1·x2=0第四章多项式的四则运算1 单项式与多项式仅含有一些数和字母的乘法(包括乘方)运算的式子叫做单项式单独的一个数或字母也是单项式单项式中的数字因数叫做这个单项式(或字母因数)的数字系数,简称系数当一个单项式的系数是1或-1时,“1”通常省略不写一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数如果在几个单项式中,不管它们的系数是不是相同,只要他们所含的字母相同,并且相同字母的指数也分别相同,那么,这几个单项式就叫做同类单项式,简称同类项所有的常数都是同类项12 多项式有有限个单项式的代数和组成的式子,叫做多项式多项式里每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项,叫做常数项单项式可以看作是多项式的特例把同类单项式的系数相加或相减,而单项式中的字母的乘方指数不变在多项式中,所含的不同未知数的个数,称做这个多项式的元数经过合并同类项后,多项式所含单项式的个数,称为这个多项式的项数所含个单项式中最高次项的次数,就称为这个多项式的次数13 多项式的值任何一个多项式,就是一个用加、减、乘、乘方运算把已知数和未知数连接起来的式子14 多项式的恒等对于两个一元多项式f(x)、g(x)来说,当未知数x同取任一个数值a时,如果它们所得的值都是相等的,即f(a)=g(a),那么,这两个多项式就称为是恒等的记为f(x)==g(x),或简记为f(x)=g(x)性质1 如果f(x)==g(x),那么,对于任一个数值a,都有f(a)=g(a)性质2 如果f(x)==g(x),那么,这两个多项式的个同类项系数就一定对应相等15 一元多项式的根一般地,能够使多项式f(x)的值等于0的未知数x的值,叫做多项式f(x)的根2 多项式的加、减法,乘法21 多项式的加、减法22 多项式的乘法单项式相乘,用它们系数作为积的系数,对于相同的字母因式,则连同它的指数作为积的一个因式3 多项式的乘法多项式与多项式相乘,先用一个多项式等每一项乘以另一个多项式的各项,再把所得的积相加23 常用乘法公式公式I 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2公式II 完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b23 单项式的除法两个单项式相除,就是它们的系数、同底数的幂分别相除,而对于那些只在被除式里出现的字母,连同它们的指数一起作为商的因式,对于只在除式里出现的字母,连同它们的指数的相反数一起作为商的因式一个多项式处以一个单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加第五章因式分解1 因式分解11 因式如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式12 因式分解2 余式定理及其应用21 余式定理f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理22 余式定理的应用23 因式分解法解一元方程24 根与系数的关系如果x1,x2时二次三项式ax+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x 1+x2=-b/a,x1x2=c/a第六章分式与二次根式1 分式与分式方程11 指数的扩充12 分式和分式的基本性质设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变13 分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分14 分式的运算15 分式方程方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式21 根式在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数 (2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式23 二次根式的运算24 无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程第七章函数与图像1数轴11 有向直线在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l12 数轴我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值2 平面直角坐标系21 平面的直角坐标化在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限331 常量,变量和函数在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量1.函数的定义域2.对应法则(1)解析法就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)(2)列表法(3)图像法3 函数的值域一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)32 函数的图像若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤4 正比例函数41 正比例函数一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y 与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数正比例函数y=kx有下列性质:(3)当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,故,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关，据此,k叫做直线y=kx的斜率42 反比例函数一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数反比例函数y=k/x有下列性质:(7)当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大(8)它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴5 一次函数及其图像51 一次函数及其图像如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b 与之对应,这样的函数我们称它为常函数直线y=kx+b与y轴交点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的纵截距,简称截距52 一次函数的性质函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x<b上市递增函数;如果函数值随着自变量x的值增大而减小,那么我们说函数y=发(x)在a〈x〈b上是递减函数如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法3. 3 一次函数的应用第八章二次函数1 二次函数及其图像11 二次函数我们把函数y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,且a不等于0)叫做二次函数12 函数y=ax²(a不等于0)的图像和性质用表里各组对应值作为点的坐标,进行描点,然后用光滑的曲线把它们顺次联结起来,就得到函数y=x²的图象这个图象叫做抛物线函数y=x²的图像,以后简称为抛物线y=x²这条抛物线是关于y轴成对称的我们把y轴叫做抛物线y=x²的对称轴对称轴和抛物线的焦点,叫做抛物线的顶点13 函数y=ax+bx+c(a不等于0)的图像和性质抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标是(-b/2a,（4ac-b2)/4a),对称轴方程是x=-b/2a,当a〉0时,抛物线的开口向上,并且向上无限延伸;当a〈0时,抛物线的开口向下,21 根据已知条件确定二次函数几何部分1 点和直线1.1位置和通路在几何学中,“点”就是表示位置的,它是没有大小的,通常,我们用不同的字母表示不同的电在空间,另一个原始的基本概念是“通路”,所谓通路,就是从一个位置移到另一个位置的路线连结A、B两点的最短通路唯一存在,它就是连结A、B两点的直线段直线段简称线段,两点之间可以连唯一一条线段；在所有连接两点的通路中线段最短已知线段AB,按点A到点B的方向延长,那么延长出来的部分就叫线段AB的延长线,同样,也可以作线段BA的延长线1.2直线的基本性质由线段AB向两方无限延伸所形成的图形叫做直线,一条直线上有无限多个点,直线可以用标记它上面任意两个点的大写字母来表示,也可以用一个小写字母表示,如直线AB,直线l过相异两点有一条直线,并且只有一条直线（简称相异两点确定一条直线）两条相交直线确定一个交点1.3线段的长度两点间的距离就是连结这两点的线段的长度平分线段的点叫做线段的中点一条线段只有一个中点2 弧和角2.1圆和弧在平面上,固定线段OA的一个端点O,线段OA绕点O旋转一周,另一个端点所经过的封闭的曲线叫做圆,其中,定点O叫做圆心,线段OA叫做半径圆上的任意两点叫做弧2.2方向和角方向与射线：直线上某一点和它一旁的部分叫做射线,这个点叫做射线的端点射线与角：从同一端点出发的两条射线所组成的图形叫做角,这个共同的端点叫做角的顶点,这两条射线分别叫做角的边若射线AB绕点A旋转一周,仍然回到原来的位置,所形成的角称为周角从角的顶点在这个角的内部引一条射线,如果这条射线将这个角分为两个相等的角,那么这条射线叫做角的平分线2.3角的度量当一个角等于平角的一半时,这个角叫做直角大于直角而小于平角的角叫做钝角大于零角而小于直角的角叫锐角两个角的和等于一个直角,则称这两个角互为余角两个角的和等于一个平角,则称这两个角互为补角3 相交与平行。
