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第三章 §4 第2课时一、选择题1．(2021·新课标Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤03x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2 [答案] B[解析] 本题考查在约束条件下的简单方针函数的最值问题．画出区域，可知区域为三角形，经比力斜率，可知方针函数z ＝2x －y 在两条直线x －3y ＋1＝0与x ＋y －7＝0的交点(5,2)处， 取得最大值z ＝8.故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4，所暗示的平面区域的面积等于( )A ．32B ．23 C ．43 D ．34[答案] C[解析] 不等式组暗示的平面区域如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4，得点A 的坐标为(1,1)． 又B 、C 两点坐标分别为(0,4)、⎝⎛⎭⎫0，43，∴S △ABC ＝12×⎝⎛⎭⎫4－43×1＝43.3．(2021·新课标Ⅰ文，11)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥a ，x －y≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3 [答案] A[解析] 本题考查含字母的线性规划问题．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a x －y ＝－1得交点(a －12，a ＋12)， ∴z ＝x ＋ay 的最小值为7，∴7＝x ＋ay ，代入点(a －12，a ＋12)得a ＝－5或3. 当a ＝－5时，z ＝x －5y 的最大值为7，∴a≠－5. ∴a ＝3.确定交点(a －12，a ＋12)是最优点是解题的关键．4．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则方针函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0C ．43 D ．4[答案] D[解析] 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封锁区域，则区域端点的值为方针函数的最值，求出交点坐标代入方针函数即可． 由⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0， 作出可行域如图：当直线z ＝3x －y 过点A(2,2)点时z 有最大值． z 最大值＝3×2－2＝4.5．(2021·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －2y≤4的解集记为D ．有下面四个命题：p1：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≥－2，p2：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≥2，p3：∀(x ，y)∈D ，x ＋2y≤3，p4：∃(x ，y)∈D ，x ＋2y≤－1. 其中真命题是( )A ．p2，p3B ．p1，p4C ．p1，p2D ．p1，p3 [答案] B[解析] 本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥1x －2y≤4暗示的平面区域如图所示．可以验证选项P1，P2正确，所以选B ．6．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x ＋3y≥43x ＋y≤4所暗示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( ) A ．73 B ．37 C ．43 D ．34[答案] A[解析] 不等式组暗示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点(0，43)．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点M(12，52)． 当y ＝kx ＋43过点(12，52)时，52＝k 2＋43， ∴k ＝73. 二、填空题7．(2021·全国纲目理，14)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y≥0，x ＋2y≤3，x －2y≤1，则z ＝x ＋4y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 本题考查了线性规划知识．作出方针函数的可行域，从中可以看出当直线x ＋4y ＝z 经过点A(1,1)时方针函数有最大值是5.注意，若y 的系数是负数时，方针函数在y 轴上的截距的最大值是方针函数的最小值． 8．(2021·湖南文)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≤8，0≤x≤4，0≤y≤3，则x ＋y 的最大值为________．[答案] 6[解析] 本题考查的题线性轨则中最优解问题．设z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，z 暗示直线在y 轴上的截距，画出可行域(如图)，平移直线l ：x ＋y ＝0到l0过点．A(4,2)时，zmax ＝6. 平移直线l 时不要找错最优解． 三、解答题9．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－33x ＋5y≤25x≥1，分别求：(1)z ＝6x ＋10y 的最大值、最小值；(2)z ＝2x －y 的最大值、最小值；(3)z ＝2x －y(x ，y 均为整数)的最大值、最小值．[解析] (1)先作出可行域，如图所示中△ABC 暗示的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，225)．作出直线l0：6x ＋10y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最小值，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝6x ＋10y 达到最大值． ∴zmin ＝6×1＋10×1＝16；zmax ＝6×5＋10×2＝50.(2)同上，作出直线l0：2x －y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C 点时，可使z ＝2x－y 达到最小值，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值. ∴zmax ＝8；zmin ＝－125.(3)同上，作出直线l0：2x －y ＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A 点时，可使z ＝2x －y 达到最大值，zmax ＝8.当l0的平行线l1过C 点时，可使z ＝2x －y 达到最小值，但由于225不是整数，而最优解(x ，y)中，x 、y 必需都是整数，所以可行域内的点C(1，225)不是最优解．当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z ＝2x －y 达到最小值． ∴zmin ＝－2.10．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x≥1x ＋y －7≤0，求yx 的最大值和最小值．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，A 点坐标为(1,3)，方针函数z ＝yx 暗示坐标是(x ，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A 与O 连线斜率最大为3；当直线与x 轴重合时，斜率最小为0.故yx 的最大值为3，最小值为0.一、选择题1．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x≤2y≤2x ≤2y，给定．若M(x ，y)为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．42B ．3 2C ．4D ．3 [答案] C[解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算．∵OM →·OA →＝(x ，y)·(2，1)＝2x ＋y ，做直线l0：2x ＋y ＝0，将l0向右上方平移，当l0过区域D 中点(2，2)时，OM →·OA →＝2x ＋y 取最大值2×2＋2＝4.选C ．2．(2021·山东理，9)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当方针函数z ＝ax ＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值25时，a2＋b2的最小值为( ) A ．5 B ．4C ．5D ．2 [答案] B[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离． 如图所示⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝02x －y －3＝0 ∴A 点坐标为(2,1)，z ＝ax ＋by 在A 点处取得最小值25，即 2a ＋b ＝2 5.a2＋b2可看作两点(0,0)(a ，b)的距离的平方，原点到直线2a ＋b ＝25的距离的平方是(255)2＝4.3．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥4x －y≥1x －2y≤2，则方针函数z ＝x ＋y( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值 [答案] A[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y≥4x －y≥1x －2y≤2暗示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z＝0，画出y ＝－x 的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ．4．(2021·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤82y －x≤4x≥0y≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16 [答案] C[解析]本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组暗示的平面区域如图．作直线l0：y ＝15x ，平移直线l0.当l0过点A(4,4)时可得zmax ＝16，∴a ＝16. 当l0过点B(8,0)时可得zmin ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24.二、填空题5．(2021·北京文，13)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤1，x －y －1≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．[答案] 1[解析] 本题考查二元一次不等式组暗示平面区域、线性规划知识． 画出可行域如图，当z ＝3x ＋y 过A 点时z 最小为zmin ＝1.6．(2021·浙江理)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查线性规划知识．可行域为z ＝kx ＋y 得y ＝z －kx ，当z 取最大值时，y 取最大值，∴4＝12－4k ，故k ＝2.三、解答题7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g ，咖啡4 g ，糖3 g ；乙种饮料每杯含奶粉4 g ，咖啡5 g ，糖10 g ，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g ，咖啡2 000 g ，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x 杯，饮料乙y 杯，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y≤3 6004x ＋5y≤2 0003x ＋10y≤3 000x ，y ∈N，利润z ＝0.7x ＋1.2 y ，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－94<－810<－712<－310，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax ＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．8．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≥0x －y≥02x －y －2≥0，求ω＝y －1x ＋1的取值范围．[解析] 作出可行域如图所示．因为y －1x ＋1暗示可行域中的点(x ，y)与点(－1,1)连线的斜率．显然可行域内A 点与点(－1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin ＝1－0－1－1＝－12，kmax 不存在，所以ω＝y －1x ＋1的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，1.。
【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。
4．2 简单线性规划知识点线性规划中的基本概念[填一填][答一答]如何理解求目标函数z ＝Ax ＋By ＋C (A ，B 全不为零)的最值？提示：当B ≠0时，由z ＝Ax ＋By ＋C 得y ＝－A B x ＋z －CB .这样，二元一次函数就可视为斜率为－AB ，在y 轴上截距为z －C B ，且随z 变化的一组平行线．于是，把求z 的最大值和最小值问题转化为：直线与可行域有公共点时，直线在y 轴上的截距的最大值或最小值问题．当B >0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B <0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小．1．判断二元一次不等式组表示的平面区域(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分．(2)画三个或三个以上不等式构成的不等式组的平面区域时，可先画出两个不等式的公共区域，再与第三个不等式找公共区域，依次类推下去．2．线性目标函数在约束条件下的最优解步骤(1)作图——画出约束条件(不等式组)所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将直线l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．(3)求值——解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．类型一 求线性目标函数的最值【例1】 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≥0x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0x ≤5，y ≤5.试求：(1)z ＝4x －y 的最大值； (2)z ＝x －y 的最小值．【思路探究】 这两小题均可转化为直线方程的斜截式获取z 的几何意义，从而确定平移方向，获取最优解．【解】 作出满足条件的可行域，如下图中阴影部分所示．由直线的方程可以求出点A(1,1)，B(2,4)，C(3,5)，D(5,5)，E(5,3)．(1)作出直线4x－y＝0.因为将z＝4x－y变形为y＝4x－z，z的几何意义是y＝4x－z在y 轴上截距的相反数，为获取z的最大值，只需在y轴上截距最小，所以向下平移直线4x－y＝0，当直线过点E时，在y轴上的截距最小，即最优解为(5,3)，z max＝4×5－3＝17.(2)作出直线x－y＝0.因为将z＝x－y变形为y＝x－z，z的几何意义是直线y＝x－z在y 轴上截距的相反数，为获取z的最小值，只需在y轴上截距最大，所以向上平移直线x－y＝0，当与直线BC所在直线重合时截距最大，即最优解为线段BC上任意一点，z min＝2－4＝－2.规律方法求线性目标函数最值的两种方法1．平移直线法(1)依约束条件画出可行域；(2)依目标函数z＝ax＋by作直线l0：ax＋by＝0；(3)平移直线l0，确定最优解的位置；(4)求出最优解，并计算出z＝ax＋by的值．2．顶点代入法(1)依约束条件画出可行域(多边形)；(2)解方程组得出可行域各顶点的坐标；(3)分别计算出各顶点处目标函数z＝ax＋by的值，经比较后得出z的最大(小)值．(1)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( C )A ．0B ．3C ．4D ．5(2)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥0x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为－ 5.解析：(1)不等式组⎩⎨⎧2x －y ≤0x ＋y ≤3x ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C.(2)法一：(通性解法)作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5.法二：(光速解法)因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得z min ＝－5.类型二 求非线性目标函数的最值【例2】 已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y －4≥02x －y －5≤0，求：(1)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (2)z ＝2y ＋1x ＋1的取值范围；(3)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．【思路点拨】 将所求目标函数变形后认清其几何意义，再运用数形结合思想解答．(1)可化为z ＝x 2＋(y －5)2；(2)可化为z ＝2×y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)，然后分别利用两点间的距离和斜率求解；(3)z ＝|x ＋2y －4|可转化为z ＝|x ＋2y －4|5×5，利用点到直线的距离求解，也可以去掉绝对值符号，转化为线性目标函数求解．【解】 作出可行域，如图中阴影部分所示，则A (1,3)，B (3,1)，C (7,9)．(1)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到点M (0,5)的距离的平方，过点M 作AC 的垂线，设垂足为N ，则|MN |＝|0－5＋2|1＋(－1)2＝32＝322，|MN |2＝92.所以z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值为92.(2)z ＝2×y －⎝⎛⎭⎫－12x －(－1)表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ⎝⎛⎭⎫－1，－12连线所在直线的斜率的2倍．因为k QA ＝74，k QB ＝38，所以z 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34，72. (3)方法一：z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5×5表示阴影区域(可行域)内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．显然点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.方法二：由上图可知，阴影区域(可行域)内的点都在直线x ＋2y －4＝0的上方，显然此时有x ＋2y －4>0，于是目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，即转化为一般的线性规划问题．显然向上平移直线x ＋2y ＝0，当经过点C (7,9)时，目标函数取得最大值，z max ＝21.规律方法 上述三个问题都是非线性目标函数模型，第一个是两点间的距离模型，第二个是斜率模型，第三个是点到直线的距离模型，但其本质还是二元函数的最值问题．熟悉这些模型有助于更好地解决问题．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －y ＋1≥0x ≤2，则z ＝x 2＋y 2的最小值为92.解析：作出可行域，如下图中阴影部分所示，作ON ⊥AB 于点N ，结合图像可知z 的最小值是ON 的长度的平方，由点到直线的距离公式得|ON |＝|0＋0－3|2＝32＝322，所以z min ＝|ON |2＝92.类型三 含参数的线性规划问题【例3】 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－4,2)C ．(－4,0]D ．(－2,4)【思路探究】 作出可行域，分别作出当a 大于、等于、小于0的直线l 0：ax ＋2y ＝0并平移使目标函数仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．【解析】 作出可行域如图阴影部分所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图像可知－1<－a2<2，即－4<a <2.【答案】 B规律方法 对于线性规划的逆向思维问题，解答时必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时，要注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系．(1)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0x －2y －3≤0x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1B ．1 C.32 D ．2(2)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( B )A.14B.12C ．1D ．2 解析：(1)由约束条件作出其可行域如下图阴影部分所示：由图可知当直线x ＝m 过直线y ＝2x 与x ＋y －3＝0的交点(1,2)时m 取得最大值，此时x ＝m ＝1.(2)本题考查了线性规划知识．作出线性约束条件⎩⎨⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)的可行域．因为y ＝a (x －3)过定点(3,0)，故应如图所示，当过点C (1，－2a )时，z ＝2x ＋y 有最小值，∴2×1－2a ＝1，∴a ＝12.——数学思想系列——数形结合思想在线性规划问题中的应用对于线性规划求最值的问题，要充分理解目标函数的几何意义．(1)截距型：形如z ＝Ax ＋By (B ≠0)，即y ＝－A B x ＋z B ，zB 为该直线在y 轴上的截距，z 的几何意义就是该直线在y 轴上截距的B 倍，至于z 与截距能否同时取到最值，还要看B 的符号．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z 表示平面区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，z 表示平面区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率．【例4】 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3≥0x －3y ＋3≤0y －1≤0，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－1,2)D.⎝⎛⎭⎫13，1【思路分析】 如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域内的点(－3,0)时，相应直线在y 轴上的截距才达到最大)，结合图形可知a >12.【规范解答】 B设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上，过点P 作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为4π.解析：如图所示，区域Ω为△MON 及其内部，A ，B ∈区域Ω，则|AB | 的最大值为|OM | ＝4.所以以AB 为直径的圆的面积的最大值为π·(42)2＝4π.一、选择题1．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( B )A ．2B ．3C ．5D ．9解析：可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y －z ＝0经过直线x ＝1和y ＝x 的交点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值z min ＝1＋2＝3.2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋2y ≥32x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( A )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：作出可行域如图阴影部分所示，令z ＝0，得l 0：x －y ＝0，平移l 0，当l 0过点A (0,3)时满足z 最小，此时z min ＝0－3＝－3.二、填空题3．已知变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0，则x ＋y 的最小值是2.解析：设x ＋y ＝b ，则y ＝－x ＋b ，画出可行域，如图阴影部分所示．利用图解法，知当直线y ＝－x ＋b 过点M 时，b 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＝0，得M (1,1)，则x ＋y 的最小值为2.4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋3≥00≤x ≤3，则z ＝2x －y 的最大值为9.解析：作出可行域，如图阴影部分所示．作出直线l 0：2x －y ＝0，将l 0平移至过点A 时，函数z ＝2x －y 有最大值9.。
2021年高中数学 3.4.2 简单线性规划课后巩固练习北师大版必修5一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·山东高考）设变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( )（A）11 （B）10 （C）9 （D）8.52.（2011·浙江高考）若实数x,y满足不等式组则3x+4y的最小值是( )（A）13 （B）15 （C）20 （D）283.(2011·贵阳高二检测)若实数x、y满足不等式组则目标函数z=x+y的最大值是( )(A)3 (B)5 (C) (D)74.已知x、y满足不等式组且z=2x+y的最大值是最小值的3倍，则a=( )(A)0 (B) (C) (D)1二、填空题（每小题4分，共8分）5.已知点P（x,y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x-y的取值范围是________.6.(2011·湖南高考）设m>1,在约束条件下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知-1<x+y<4且2<x-y<3，求z=2x-3y的取值范围.8.设变量x，y满足约束条件求z=(x- )2+y2的取值范围.【挑战能力】（10分）设O为坐标原点，A（1,1），若点B（x,y）满足，试求的最大值.答案解析1.【解析】选B.画出平面区域表示的可行域如图所示，由目标函数z=2x+3y+1得直线y=-，当直线过点A （3，1）时，目标函数z=2x+3y+1取得最大值为10，故选B.2.独具【解题提示】先画出可行域，求出区域定点的坐标，通过平移直线3x+4y=0,观察可得.【解析】选A.x+2y-5=0与2x+y-7=0的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优解，此时3x+4y 取得最小值13.3.【解析】选D.作可行域如图：y=-x+z,过点A时z取最大值.由得，点A坐标为（5，2）.故z max=5+2=7.4. 【解析】选B.依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z=2x+y在A点和B点处分别取得最小值和最大值.由得A(a，a)，由得B(1,1)，∴z max=3，z min=3a.∴a=.5.【解析】可行域为如图阴影部分，其中A（2，0），C（0，1），z=x-y在A处取最大值z=2-0=2,在C处取最小值z=0-1=-1,∴z的取值范围为[-1,2].答案：[-1,2]6.独具【解题提示】画出可行域，观察图形，可知直线y=-过直线的交点时，取最大值.【解析】画出可行域，可知z=x+5y在点（）处取最大值为4，解得m=3.答案：37.【解析】画出可行域(如图)，将目标函数z=2x-3y变形为y=，它表示与y=x平行、截距是-的一族平行直线，当它经过点A时，截距-最大，此时z最小（取不到）；当它经过点B时，截距-最小，此时z最大（取不到）.由⇒A(3,1)由⇒B(1,-2)∴过点A时，z=2×3-3×1=3过点B时，z=2×1-3×(-2)=8∴z=2x-3y的取值范围是(3，8).所以目标函数z=2x-3y的取值范围是(3，8).独具【方法技巧】目标函数z=ax+by的最值与b取值的关系线性目标函数z=ax+by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax+by=0在可行域内向上平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的；当b<0时，则是向下方平移，过可行域的端点时取得的.8.独具【解题提示】目标函数z的几何意义是可行域内的点到点（,0)距离的平方.【解析】由作出可行域，如图阴影部分所示.z=（x-)2+y2表示可行域内的任意一点与点(，0)距离的平方.因此(x-)2+y2的最小值为点(,0)到直线x+2y-1=0距离的平方，则z min=.z的最大值为点(,0)到点A、点B、点D距离平方中的最大值，则由计算知z max=，∴z的取值范围是［, ］. 【挑战能力】【解析】不等式x2+y2-2x-2y+1≥0⇔(x-1)2+(y-1)2≥1先作出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分所示.=（1,1）·（x,y）＝x＋y，令z=x+y，化为y=-x+z则将直线y=－x向右上方平移时，z随之增大，当平移至通过可行域内的点B（2,2）时，z最大,∴z max=2+2=4,即的最大值为4.32154 7D9A 続Qw24733 609D 悝30899 78B3 碳A40191 9CFF 鳿" _31261 7A1D 稝35449 8A79 詹B23309 5B0D 嬍37681 9331 錱。
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）一、选择题（每小题5分，共20分）1.已知点与点A（1，2）在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则（）A.＞B.＜C.＞D.＜2.已知点P（x，y）在不等式组20,10,220xyx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z=x-y的取值范围是（）A.［-2，-1］B.［-2，1］C.［-1，2］D.［1，2］3.设x，y满足约束条件360,20,0,0,x yx yxy--≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为12，则2a+3b的最小值为（）A.256B.83C.113D.44.若x，y满足约束条件1，1 22，，目标函数z=ax+2y仅在点(1，0)处取得最小值，则a的A.(-1，2)B.(-4，2)C.(-4，0］D.(-2，4)二、填空题(每小题5分，共20分)5．不等式组0,0,4312,xyx y>⎧⎪>⎨⎪+<⎩表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个. 6．若x、y均为整数，且满足约束条件20,20,0,x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则z=2x+y的最大值为，最小值为.7.在平面直角坐标系中，不等式组20，20，2表示的平面区域的面积是 .8.如果点P在平面区域1，2，上，点M的坐标为(3，0)，那么|PM|的最小值是 .三、解答题(共60分)9．（12分）画出不等式组，，所表示的平面区域.10.（12分）试用不等式组表示由直线，，围成的三角形区域（包括边界）.11.（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐.甲种原料每10 g含5单位蛋白质和10白质和4单位铁质，售价2元.若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质.试问：应如何使用甲、乙两种原料，才能既满足营养，又使费用最省？12．(12分)某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1 m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元.（1）如果只安排生产书桌，最多可获利润多少？（2）如果只安排生产书橱，最多可获利润多少？（3）怎样安排生产可使所得利润最大？13.（12分）变量x，y满足430，352501，，（1）设，求的最小值；§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6． 7． 8．三、解答题9.10.11.12.13.§4 简单线性规划（数学北京师大版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵3028348＜0，∴328＞0.2.C解析：作出可行域，如图，因为目标函数z=x-y中y的系数-1＜0，而直线y=x-z表示斜率为1的一族直线，所以当它过点（2，0）时，在y轴上的截距最小，此时z取最大值2；当它过点（0，1）时，在y轴上的截距最大，此时z取最小值-1，所以z=x-y的取值范围是［-1，2］，选C.3.A解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值12，即4a+6b=12，亦即2a+3b=6，而2a+3b=（2a+3b）·236a b=136+ba+ab≥13 6+2=256，故选A.4.B解析：如图所示，可行域为△ABC.当a=0时，显然成立.当a＞0时，直线ax+2y-z=0的斜率k a2＞kA C1，∴a＜2.当a＜0时，k a2＜kA B2，∴a＞-4.综上可得,4＜a＜2.二、填空题5.3解析：（1，1），（1，2），（2，1），共3个.6. 4-4解析：作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示，可知在可行域内的整点有（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）、（-1，1）、（0，1）、（1，1）、（0，2），分别代入z=2x+y可知当x=2，y=0时，z 最大为4；当x=-2，y=0时，z最小为-4.7.4 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示.则由 2 0， 2， 解得A (2，0)，由 2 0， 2， 解得B (2，4)，∴ S 124 2 4.8.3 22解析：点P 所在的可行域如图中阴影部分所示，点M 到点A (1，1)，B (2，2)的距离分别为 5， 5，又点M (3，0)到直线x -y =0的距离为 3 22，故|PM |的最小值为 322.三、解答题9.解：先画出直线 ，由于含有等号，所以画成实线.取直线 左下方区域的点（0，0），由于2×0+0-4＜0，所以不等式 表示直线 及其左下方的区域.同理，对另外两个不等式选取合适的测试点，可得不等式 ＞ 表示直线 右下方的区域，不等式 表示x 轴及其上方的区域.取三个区域的重叠部分，就是上述不等式组所表示的平面区域，如图所示.10．解：画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如图，取原点（0，0），将 ， 代入 得2＞0，代入 得1＞0，代入 得1＞0.结合图形可知，三角形区域用不等式组可表示为20,210,210.x y x y x y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪++≤⎩11.解：设甲、乙两种原料分别用 g 和 g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为 ，作出可行域如图阴影所示.把z =3x+2y 变形为y =-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y =-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 145， ，∴ z min =3×145+2×3=14.4. ∴ 选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.12.解：（1）设只生产书桌x 张，可获得利润z 元.则0.190,900,3002600300x x x x x ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩， ，∴ 当 时， （元）.即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润 24 000元.（2）设只生产书橱 张，可获得利润z 元. 则0.290,450,450600600y y y y y ≤≤⎧⎧⇒⇒≤⎨⎨≤≤⎩⎩，z ，∴ 当 时，z max =120×450=54 000（元）.即如果只安排生产书橱，最多可生产450个，获得利润54 000元. （3）设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元. 则 ， ， ，， ，， . 作出可行域如图阴影所示. 由图可知，当直线经过可行域上的点M 时，截距120z最大，即z 最大，解方程组2900,2600,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 点的坐标为（100，400）. ∴ z max （元）.因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大，最大利润为56 000元.13.解：由约束条件4 3 0，35 25 0，1，作出(x ，y )的可行域如图阴影所示. 由 1， 3 5 25 0，得A (1， 225).由 1， 4 3 0，得C (1，1).由4 3 0， 35 25 0，得B (5，2).(1)∵ z0 0，∴ z 的值即是可行域中的点与坐标原点O 连线的斜率，(2)x2y2的几何意义是可行域上的点到坐标原点O的距离的平方，结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min=|OC|2，d max=|OB|29，∴229.。
简单线性规划 教学目标一、知识与技能 1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.二、.过程与方法1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.三、情感,态度与价值观1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学重点、难点重点: 简单线性规划问题的求解，线性目标函数的几何意义难点:简单线性规划问题的求解教学过程导入新课师 前面我们学习了二元一次不等式A x+B y+C ＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.（生回答）推进新课问题提出 设x , y 满足条件求z=2x+y 的最大值和最小值.师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？生 （板演）师 这样，上述问题就转化为：当x 、y 满足上述不等式组时，z 的最大值是多少？ 师 把z=2x+y 变形为2y x z =-+,这是斜率为-2，在y 轴上的截距为z 的直线.当z 变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.生 当z 变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线2y x z =-+，这说明，截距z 可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线2y x z =-+与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距z 最大时，z 取最大值，因此，问题转化为当直线2y x z =-+与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P ，使直线经过P 时截距z 最大.［合作探究］师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y 在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设t=0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.设计意图:这个问题是前两个问题的综合,这样设计,过渡自然,层层递进,学生分组合作探究,讨论做法,重点体现数与形的结合。
基础巩固某人有一栋楼房，室内面积共计，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；小房间每间面积为，可住游客名，每名游客每天住宿费元；装修大房间每间需要元，装修小房间每间需要元．如果他只能筹款元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大效益？有一批钢管，长度都是，要截成和两种毛坯，且以这两种毛坯数量之比大于配套，问怎样截最合理？已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为万吨和万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运万吨煤，西车站每年最多能运万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为元吨和元吨．煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元；乙种原料每含单位蛋白质和单位铁质，售价元．若病人每餐至少需要单位蛋白质和单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，可截成长度为的钢条根，长度为的钢条根；或截成长度为的钢条根，长度为的钢条根．现长度为的钢条至少需要根，长度为的钢条至少需根，问：如何切割可使钢条用量最省？综合过关制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别是和，可能的亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过万元，要求确保可能的资金亏损不超过万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少支援物资的任务．该公司有辆载重的型卡车与辆载重为的型卡车，有名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为型卡车次，型卡车次；每辆卡车每天往返的成本费型为元，型为元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？若只安排型或型卡车，所花的成本费分别是多少？能力提升某电脑用户计划使用不超过元的资金购买单价分别为元、元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买片，磁盘至少买盒，则不同的选购方式有多少种？参考答案分析：设大房间间，小房间间，然后列出，的关系式，写出目标函数，即可转化为求目标函数的最值问题．解：设隔出大房间间，小房间间，收益为元，则，满足(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))即(\\(＋≤，＋≤，≥，≥，))＝＋.作出可行域，如图所示的阴影部分．解方程组(\\(＋＝，＋＝，))得点的坐标为(，)．由于点的坐标不是整数，而最优解(，)是整点，所以可行域内点(，)不是最优解．经验证：经过可行域内的整点，且使＝＋取得最大值的整点是()和()，此时＝元，即应隔出小房间间，或大房间间、小房间间，可以获得最大利润．分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再按求最优解是整数解的方法去求．解：设截的根，的根，根据题意，得(\\(＋≤，<，>，>，))且，∈＋.作出可行域，如图中的阴影部分．目标函数为＝＋，作一组平行直线＋＝，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过()的直线，这时＋＝.由、为正整数，知()不是最优解．在可行域内找整点，使＋＝.可知点()、()、()、()、()均为最优解．即每根钢管截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根，或截的根，的根最合理．解：设甲煤矿向东车站运万吨煤，乙煤矿向东车站运万吨煤，那么总运费＝＋(－)＋＋(－)万元，即＝－－.其中、应满足(\\(≥，≥，－≥，－≥，＋≤，－＋(－(≤.))作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．。
课时作业23简单线性规划时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的可行域内(阴影部分)，使目标函数z＝x－y取得最小值的点的坐标为(A)A．(1,1) B．(3,2)C．(5,2) D．(4,1)解析：由目标函数z＝x－y得到y＝x－z，作出直线y＝x，在平面直角坐标系中进行平移，显然当直线过点A(1,1)时，y＝x－z中的z 最小．2．若变量x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0，则z＝x＋y的最大值为(D)A．0 B.53C．2 D.52解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，上下平移，当直线平移到过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，158时，z＝x ＋y 取得最大值，所以z max ＝58＋158＝52.3．已知点(x ，y )构成的可行域如图阴影部分所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )A ．－720 B.720 C.12D.720或12解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝x－z经过点A时，－z最小从而z最大，∴z max＝1.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y(A)A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，画出y＝－x的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.6．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(B)A．4 B．5C．6 D．7解析：由约束条件作出可行域如图所示．又x2＋(y＋2)2表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，(x2＋(y＋2)2)min＝5，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.7．已知x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤s，y＋2x≤4，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]解析：当3≤s<4时，z＝3x＋2y的最大值在直线x＋y＝s，y＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s－4)处取得，此时z max＝4＋s，其取值范围是[7,8)；当4≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值在点(0,4)处取得，即z max＝8，故所求的取值范围是[7,8]．8．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( C )A.34 B ．1 C.74 D ．2解析：如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74. 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为－8.解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.10．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则y x 的最大值为12.解析：画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．11．目标函数z ＝3x ＋2y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是[2，＋∞)．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据题意及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题12．设z＝2x＋y，且x，y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z 的最值．解：首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x＋y＝t，t是直线2x＋y＝t的纵截距，这里A(1,1)，B(5,2)．显然，当直线2x＋y＝t过A点时，t最小，过B点时t最大．∴z max＝12，z min＝3.13．已知x、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10，求y＋1x＋1的取值范围．解：作出可行域，如图阴影部分所示．设k＝y＋1x＋1，因为y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]． ——能力提升类——14．已知点P (x ，y )，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≤x ＋2，x ≤3，点A ，B 是圆x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB 的最大值为π3.解析：由已知可得点P 在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动，易知点P 位于圆外，当∠APB 最大时，应有P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处，又圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝22，连接OA ，则在Rt △OAP 中，OP ＝2OA ，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，因此∠APB ＝π3.15．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y的取值范围．解：(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为x2＋y2的几何意义是可行域内的点P(x，y)到坐标原点O的距离d的平方，所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离，即|0＋0－3|2＝322；d的最大值为OB＝42＋42＝4 2.所以x2＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，32.(2)4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y＝22x－y，设z＝2x－y，则y＝2x－z，即z为直线y＝2x －z(记为直线l)在y轴上截距的相反数，由图可知当直线l经过点A 时，z取得最大值；当直线l经过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3＝0，4x－y－12＝0，得A(3,0)，故z＝2x－y的最大值为2×3－0＝6；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －4y ＋12＝0，得C (0,3)，故z ＝2x －y 的最小值为2×0－3＝－3.综上，2x －y 的取值范围为[－3,6]，所以4x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，64.由Ruize收集整理。
