高二数学第三章§3计算导数应用创新演练北师大版选修11

§3 计算导数 课时目标 1.会计算函数在一个点处的导数.2.理解导函数的概念.3.了解导数公式表．1．计算函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数的步骤：(1)计算函数的增量：Δy ＝f(Δx ＋x 0)－f(x 0)(2)确定平均变化率：Δy Δx ＝0＋Δ－0Δx(3)当Δx 趋于0时，得到导数：f′(x 0)＝0lim x ∆→0－Δ－0Δx 2．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a ，b)上的每一点x 处都有导数，导数值记为f′(x)，则f′(x)＝______________________，则f′(x)为f(x)的__________，简称导数．3．导数公式表函数 导函数 函数 导函数y ＝c (c 是常数)y′＝0 y ＝sin x y′＝cos x y ＝x α (α为实数)y′＝αx α－1 y ＝cos x y′＝－sin x y ＝a x(a>0，a≠1) y′＝a x ln a 特别地(e x )＝e xy ＝tan x y′＝1cos 2x y ＝log a x (a>0，a≠1) y′＝1x ln a特别地(ln x)′＝1x y ＝cot x y′＝－1sin 2x一、选择题1．已知函数f(x)＝13，则f′(x)等于( ) A ．－33 B ．0 C .33D . 3 2．曲线y ＝－1x 在点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12处的切线方程为( ) A ．x －4y －4＝0 B ．x －y －4＝0C ．x －4y ＝0D ．2x －4y －4＝03．函数y ＝3x 2＋2x ＋1在点x ＝1处的导数为( )A ．3B ．7C ．8D ．14．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4)C .⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D .⎝ ⎛⎭⎪⎫12，145．函数y ＝(x －1)2的导数是( )A ．(x －1)2B ．2(x －1)C ．2(1－x)D ．－26．y ＝cos x 在点x ＝π6处的导数为( )A .32 B ．－ 32 C ．－12 D .12题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7．函数y ＝5x ＋4的导数为________．8．函数f(x)＝x 2＋3x 导数为5的点是________．9．曲线y ＝ln x 在x ＝1处的切线斜率为________．三、解答题10．已知函数y ＝x 2＋4x ，求x ＝1,2处的导数值．11.已知f(x)＝log 2x ，利用导数公式求f′(2)．能力提升12．给出下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．已知f′(x)是一次函数，x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1，求f(x)的解析式．1．“函数f(x)在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x 0)是其导数y ＝f′(x)在x ＝x 0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值．2．可以利用导数公式计算函数在某点处的导数．§3 计算导数知识梳理2．f′(x)=lim x ∆→＋Δ－Δx 导函数 作业设计1．B2．A3．C4．D5．B6．C7．58．(1,4)9．1解析 y′＝1x，∴f′(1)＝1. 10．解 f′(1)=0lim x ∆→＋Δ－Δx=0limx ∆→＋Δ2＋＋Δ－1－4Δx =0lim x ∆→Δ2＋ΔΔx ＝6. f′(2)=0limx ∆→＋Δ－Δx =0lim x ∆→＋Δ2＋＋Δ－22－4×2Δx＝8.11．解 ∵f′(x)＝(log 2x)′＝1x ln 2＝2x ln 2， ∴f′(2)＝1ln 2. 12．B13．解 由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数．设f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)，则f′(x)＝2ax ＋b.把f(x)，f′(x)代入方程x 2f′(x)－(2x －1)f(x)＝1中得：x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)＝1，即(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c －1＝0要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0，解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f(x)＝2x 2＋2x ＋1.。

第三章 §4一、选择题1．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( )A.18B.14C.12D ．1 [答案] B[解析] y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a ，∴y 0＝12a ，代入y ＝ax 2＋1得，1 2a ＝14a＋1， ∴a ＝14，故选B. 2．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( ) A. 2B ．－ 2C ．0 D.22 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A. 3．函数y ＝cos x x的导数是( ) A ．－sin x x2 B ．－sin x C ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 2[答案] C[解析] y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′x －cos x ·(x )′x 2＝－x sin x －cos x x 2. 4．(2014·辽宁六校联考)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数y ＝f ′(x )是奇函数，若曲线y ＝f (x )的一条切线斜率为32，则切点的横坐标为( ) A.ln22B ．－ln22C ．ln2D ．－ln2 [答案] C[解析] f ′(x )＝e x －a e －x ，由f ′(x )为奇函数，得f ′(x )＝－f ′(－x )，即(a －1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，∴a ＝1，∴f (x )＝e x ＋e －x ，设切点的横坐标为x 0，由导数的几何意义有e x 0－e －x 0＝32，解得x 0＝ln2，故选C.5．(2014·山西六校联考)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e )( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1 D ．－e [答案] C[解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x， ∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C. 6．(2014·泸州市一诊)若曲线f (x )＝x －12在点(a ，f (a ))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 [答案] A[解析] ∵f ′(x )＝－12x －32 ，∴f ′(a )＝－12a －32 ， ∴切线方程为y －a －12 ＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0得y ＝32a －12 ，令y ＝0得x ＝3a ，由条件知12·32a －12 ·3a ＝18，∴a ＝64.二、填空题7．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. [答案] 3[解析] ∵已知切点在切线上，∴f (1)＝12＋2＝52，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f ′(1)＝12， ∴f (1)＋f ′(1)＝3.8．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．[答案] 2x －y ＋1＝0[解析] ∵点(1,3)在曲线y ＝x 3－x ＋3上，y ′＝3x 2－1，∴曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－1)|x ＝1＝2，∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.三、解答题10．函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋1的图像上有两点A (0,1)和B (1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f (x )的图像在x ＝a 处的切线平行于直线AB .[答案] 23[解析] 直线AB 的斜率k AB ＝－1，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(a )＝－1 (0<a <1)，即3a 2－2a －1＝－1，解得a ＝23.一、选择题11．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.12．曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19B.29C.13D.23 [答案] A[解析] 对函数y ＝13x 3＋x 求导得y ′＝x 2＋1，将x ＝1代入得曲线y ＝13x 3＋x 在点(1，43)处的切线斜率为k ＝2，故切线方程是y －43＝2(x －1)，该切线与坐标轴的交点是(13，0)，(0，－23)，故围成的三角形面积为19，故选A. 13．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( ) A ．－12B.12 C ．－22 D.22[答案] B[解析] y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin2x.二、填空题14．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为________．[答案] y ＝－3x[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，又f ′(－x )＝f ′(x )，即3x 2－2ax ＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，对任意x ∈R 都成立， 所以a ＝0，f ′(x )＝3x 2－3，f ′(0)＝－3，曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－3x .三、解答题15．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x； (2)y ＝－sin x 2(1－2sin 2x 4)． [答案] (1)y ′＝4(1－x )2 (2)y ′＝－12cos x [解析] (1)y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2(1＋x )1－x＝41－x－2，所以y ′＝(41－x －2)′＝4(1－x )2. (2)y ＝－sin x 2·cos x 2＝－12sin x ， ∴y ′＝(－12sin x )′＝－12cos x . 16．若两曲线y ＝3x 3＋ax 与y ＝x 2－ax ＋1在x ＝1处的切线互相平行，求a 的值．[答案] －72[解析] 由y ＝3x 3＋ax 得y ′＝9x 2＋a ，∴x ＝1处切线斜率为9＋a ；由y ＝x 2－ax ＋1得y ′＝2x －a ，∴x ＝1处切线斜率为2－a ，由条件知9＋a ＝2－a ，∴a ＝－72. 17．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程． [答案] (1)13x －y －32＝0 (2)l ：y ＝13x ；切点(－2，－26) (3)切点为(1，－14)时，切线方程4x －y －18＝0；切点为(－1，－18)时，切线方程4x －y －14＝0[解析] (1)∵f ′(x )＝3x 2＋1，∴f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13.∴切线的方程为13x －y －32＝0.(2)解法一：设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过原点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0， 又∵k ＝f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1， 解之得，x 0＝－2，∴y 0＝－26，k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直， ∴切线的斜率k ＝4.设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝－14，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－18. ∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14. 即4x －y －18＝0或4x －y －14＝0.。

第三章 §1一、选择题1．函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 等于( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)[答案] D[解析] 写出自变量x 0和x 0＋Δx 对应的函数值f (x 0)和f (x 0＋Δx )，两式相减，就得到了函数值的改变量．2．f (x )＝3x 在x 从1变到3时的平均变化率等于( )A ．12B ．24C ．2D ．－12 [答案] A[解析] Δy ＝f (3)－f (1)＝33－3＝24，∴Δy Δx ＝243－1＝12.故选A. 3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中．平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．① [答案] B[解析] ①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．已知函数y ＝2x，当x 由2变为1.5时，函数的增量为( ) A ．1B ．2 C.13D.32 [答案] C[解析] Δy ＝21.5－22＝13. 5．若函数f (x )＝2x 2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( ) A ．4 B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2[答案] C [解析] Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝4Δx ＋2Δx 2，∴Δy Δx＝4＋2Δx . 6．一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在一段时间[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( )A ．3Δt ＋6B ．－3Δt ＋6C ．3Δt －6D ．－3Δt －6[答案] D[解析] 平均速度为5－3(1＋Δt )2－(5－3×12)1＋Δt －1＝－3Δt 2－6Δt Δt＝－3Δt －6， 故选D.二、填空题7．y ＝x 2－2x ＋3在x ＝2附近的平均变化率是________．[答案] 2＋Δx[解析] Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋3－(22－2×2＋3)＝(Δx )2＋2Δx .∴Δy Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2. 8．物体的运动方程是s (t )＝4t －0.3t 2，则从t ＝2到t ＝4的平均速度是________．[答案] 2.2[解析] 由题意，可得Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为Δs Δt ＝4.42＝2.2，故填2.2. 9．一个做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的函数关系是s ＝3t －t 2，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为____________．[答案] －1[解析] 因为Δs ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－22)＝6＋3Δt －4－4Δt －(Δt )2－6＋4＝－Δt －(Δt )2所以Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt 趋于－1， 故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1.三、解答题10．已知函数f (x )＝x 2＋x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到3和从1变到2时的平均变化率．[答案] 5和4[解析] 自变量x 从1变到3时，函数f (x )的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝32＋3－(12＋1)2＝5， 自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝22＋2－(12＋1)1＝4.一、选择题11．质点运动规律为s ＝2t 2＋5，则在时间(3,3＋Δt )中，相应的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．12＋Δt ＋9ΔtC ．12＋2ΔtD ．12[答案] C[解析] Δs Δt ＝[2(3＋Δt )2＋5]－(2×32＋5)Δt ＝12＋2Δt .12．一个物体的运动方程是s ＝2t 2＋at ＋1，该物体在t ＝1的瞬时速度为3，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．7 [答案] A[解析] Δs ＝2(1＋Δt )2＋a (1＋Δt )＋1－(2＋a ＋1)＝Δt 2＋(4＋a )Δt ，由条件知lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(Δt ＋4＋a )＝4＋a ＝3， ∴a ＝－1.13．函数y ＝f (x )＝x 2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在区间[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[答案] A[解析] k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ， k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx ＝2x 0－Δx . 由题意知：Δx >0，∴k 1>k 2，选A.14．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx＝( ) A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δx[答案] D[解析] Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝－(Δx )2＋3Δx .∴Δy Δx ＝－(Δx )2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3. 15．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt ＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s. 二、填空题16．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________．[答案] 28π3[解析] ∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π3， ∴Δy Δx ＝28π32－1＝28π3. 17．已知s (t )＝12gt 2，则t ＝3s 到t ＝3.1s 的平均速度为________．(g 取10m/s 2) [答案] 30.5m/s[解析] 平均速度为Δs Δt ＝12g (3.12－32)3.1－3＝30.5(m/s)． 三、解答题18．已知质点M 按规律s ＝3t 2＋2做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，求Δs Δt； (2)求质点M 在t ＝2时的瞬时速度．[答案] (1)12.03cm/s (2)12cm/s[解析] Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝3(t ＋Δt )2＋2－(3t 2＋2)Δt＝6t ＋3Δt .(1)当t ＝2，Δt ＝0.01时，Δs Δt＝6×2＋3×0.01＝12.03cm/s. (2)当Δt 趋于0时，6t ＋3Δt 趋于6t ，∴质点M 在t ＝2时的瞬时速度为12cm/s.[点评] 本题重点是求质点M 的瞬时速度，瞬时速度是根据一段时间内物体的平均速度的趋近值来定义的，因此只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度．。

【三维设计】高中数学 第三章 §4 导数的四则运算法则应用创新演练 北师大版选修1-11．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2xx ＋2D.3x 2＋6x x ＋2 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2 ＝2x x ＋－x 2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2. 答案：A2．下列四组函数中，导数相等的一组是( )A ．f (x )＝2x ＋1与f (x )＝2x －1B ．f (x )＝sin x －cos x 与f (x )＝cos x －sin xC ． f (x )＝x －1与f (x )＝2－xD ．f (x )＝e x 与f (x )＝1e x 解析：由导数求导法则易知只有A 中f (x )的导数均为2，B 、C 、D 中导数不相同． 答案：A3．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：∵y ′＝x x ＋－x x ＋x ＋2＝2x ＋2， ∴k ＝f ′(－1)＝2－1＋2＝2.∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A4．已知f (x )＝2x 3＋mx 2＋3，若f ′(1)＝4，则m 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．－1解析：f ′(x )＝6x 2＋2mx ，∵f ′(1)＝4，∴6＋2m ＝4，∴m ＝－1.答案：D5．函数y ＝sin x －cos x 2cos x 在x ＝π3处的导数为________． 解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －cos x 2cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12tan x －12′＝12cos 2x ， ∴x ＝π3时，y ′＝12cos 2π3＝2. 答案：26．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 的值为________． 解析：y ′＝2ax ，设切点为(x 0，y 0)，则2ax 0＝1，∴x 0＝12a ，∴12a －a (12a )2－1＝0，∴a ＝14. 答案：147．求下列函数的导数．(1)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x； (2)y ＝ln x ＋2x x 2； (3)y ＝1－12sin 2x 2. 解：(1)∵y ＝＋x 21－x ＋－x 21－x ＝＋x 1－x ＝41－x－2, ∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x－2′＝－x －－x －x 2 ＝41－x 2.(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2＋2x x 2′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x 2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2′ ＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＋2x ·ln 2·x 2－2x ·2x x 4 ＝1－2ln x x ＋ln 2·x 2－2x ·2xx 4＝1－2ln x ＋ln 2·x －22xx 3.(3)∵y ＝1－12sin 2x 2＝14⎝⎛⎭⎪⎫3＋1－2sin 2x 2＝14(3＋cos x ) ＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . 8．已知函数y ＝e x .(1)求这个函数在点(e ，e e )处的切线的方程；(2)过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程．解：由题意y ′＝e x .(1)x ＝e 时，y ′＝e e 即为x ＝e 处切线的斜率，切点为(e ，e e )． 故切线方程为y －e e ＝e e (x －e)即e e x －y ＋e e －e e ＋1＝0.(2)设过原点且与y ＝e x 相切的直线为y ＝kx .设切点为(x 0，e x 0)，则k ＝e x 0.又k ＝e x 0x 0，∴e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1， ∴k ＝e ，切点为(1，e)，∴切线方程为y －e ＝e(x －1) 即e x －y ＝0.。

高中数学《计算导数》导学案北师大版选修111.能根据定义,求函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.2.熟记函数y=c,y=x,y=x2,y=等的导数.3.运用y=c,y=x,y=x2,y=等的导数公式解决问题.4.熟记基本初等函数的导数公式.根据导数的概念,我们知道可以用定义法求函数f(x)=x3的导数,那么是否有公式法来求它的导数呢?问题1:由导数的定义求f(x)=x,f(x)=x2,f(x)=的导数.对于f(x)=x,f'(x)== =1,即f'(x)=x'=1.对于f(x)=x2,f'(x)==== ,即f'(x)=(x2)'= .对于f(x)=,f'(x)=====.即f'(x)=()'=-.问题2:(1)导函数的概念:如果一个函数f(x)在区间(0,b)上的每一个点x处都有导数,导数值记为f'(x),f'(x)=,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x)的导函数,简称导数.(2)几个常用函数的导数.原函数导函数f(x)=c f'(x)=f(x)=x f'(x)=f(x)=x2f'(x)=f'(x)=f(x)=f(x)=f'(x)=问题3:基本初等函数的导数公式.(1)c'= (c∈R);(2)(x n)'= (n∈Q);(3)(sin x)'= ,(cos x)'= ;(4)(e x)'= ,(a x)'= ;(5)(ln x)'= ,(log a x)'= =.问题4:利用导数的定义求导与导数公式求导的区别.导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是由定义的,所以函数求导总是要归结为求,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后,求函数的导函数就可以用公式直接求导了,简洁迅速.1.下列结论不正确的是( ).A.若y=0,则y'=0B.若y=5x,则y'=5C.若y=x-1,则y'=-x-2D.若y=,则y'=2.若函数f(x)=,则f'(1)等于( ).A.0B.-C.1D.3.若y=x表示路程关于时间的函数,则y'=1可以解释为.4.求曲线y=x4在点P(2,16)处的切线方程.直接用导数公式求函数的导数(1)求下列函数的导数:①y=x12;②y=;③y=.(2)设f(x)=10x,则f'(1)= .导数的综合应用若曲线y=在点(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18,则a等于( ).A.64B.32C.16D.8f'(a)和[f(a)]'含义要搞清已知f(x)=sin x,求f'(a)和[f(a)]'.求下列函数的导数:(1)y=x13;(2)y=;(3)y=;(4)y=log3x;(5)y=sin x;(6)y=.求证:在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数(如图).(1)若函数f(x)=x3,则[f(2)]'等于().A.8B.12C.1D.0(2)已知f(x)=x2+3xf'(2),则f'(2)= .1.已知f(x)=xα,若f'(-1)=-2,则α的值等于( ).A.2B.-2C.3D.-32.曲线y=x2在点P处的切线斜率为k,当k=2时P点坐标为( ).A.(-2,-8)B.(-1,-1)C.(1,1)D.(-,-)3.曲线y=在点Q(16,8)处的切线的斜率是.4.求下列函数的导数:(1)y=log4x3-log4x2;(2)y=-2x;(3)y=-2sin(2sin2-1).(2012年·辽宁卷)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为().A.1B.3C.-4D.-8考题变式(我来改编):第3课时计算导数知识体系梳理问题1:2x 2x -问题2:(2)012x -问题3:(1)0(2)nx n-1(3)cos x -sin x (4)e x a x·ln a (5)·log a e问题4:极限极限基础学习交流1.D当y=时, y'=()'=,D不正确,故应选D.2.D f'(x)=()'=,所以f'(1)==,故应选D.3.某物体作瞬时速度为1的匀速运动由导数的物理意义可知:y'=1可以表示某物体作瞬时速度为1的匀速运动.4.解:点P(2,16)在曲线上,k=f'(2)=32,切线方程为y-16=32(x-2),即32x-y-48=0.重点难点探究探究一:【解析】(1)①y'=(x12)'=12x11;②y'=()'=(x-4)'=-4x-5=-;③y'=()'=()'==.(2)∵f(x)=10x,∴f'(x)=10x ln 10,∴f'(1)=10ln 10.【答案】(2)10ln 10【小结】根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式,熟记基本初等函数的求导公式可以快速解题.探究二:【解析】y'=-,∴k=-,切线方程是y-=-(x-a).令x=0得y=,令y=0得x=3a,∴三角形的面积是S=×3a×=18,解得a=64.故选A.【答案】A【小结】利用导数求切线方程时,明确函数在x=x0的导数就是切线的斜率.探究三:【解析】f'(a)=[f(a)]'=f'(x)[问题]f'(a)与[f(a)]'的含义相同吗?[结论] f'(a)与[f(a)]'的含义不同.上面的解法是将f'(a)与[f(a)]'混为一谈.于是,正确解答为:由于f'(x)=(sin x)'=cos x,而f'(a)表示导数f'(x)在x=a处的值,故f'(a)=cos a;[f(a)]'表示函数f(x)在x=a时的函数值f(a)=sin a(常数)的导数,因此[f(a)]'=0.【小结】学好数学只需要六个字:“理解、记忆、运算”,熟记基本初等函数的求导公式是正确解题的前提.思维拓展应用应用一:(1)y'=(x13)'=13x13-1=13x12.(2)y'=()'=(x-3)'=-3x-3-1=-3x-4.(3)y'=()'=()'==.(4)y'=(log3x)'=·log3e=.(5)y'=(sin x)'=cos x.(6)y'=()=()'=-=-.应用二:因为xy=a2,所以y=,所以y'=()'=-,函数y=在图像上的任一点(x0,y0)处的切线斜率k=-,y0=,所以切线方程是y-y0=k(x-x0),即y-=-(x-x0),令x=0,得y=,令y=0,得x=2x0,所以S=|x|·|y|=||·|2x0|=2a2,为常数.即在双曲线xy=a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2.应用三:(1)D(2)-2(1)因为f(2)是常数,所以[f(2)]'=0.注意区分[f(2)]'与f'(2).(2)由题意,得f'(x)=2x+3f'(2),∴f'(2)=2×2+3f'(2),∴f'(2)=-2.基础智能检测1.A f'(x)=α·xα-1,∴f'(-1)=α·(-1)α-1=-2,代入验证得α=2.2.C设点P的坐标为(x0,y0),∵y=x2,∴y'=2x.∴k=y'=2x0=2,∴x0=1,∴y0==1,即P(1,1),故应选C.3.∵y=,∴y'=,∴y'|x=16=.4.解:(1)∵y=log4x3-log4x2=log4x,∴y'=(log4x)'=.(2)∵y=-2x==,∴y'=()'=-.(3)∵y=-2sin(2sin2-1)=2sin(1-2sin2)=2sin cos=sin x,∴y'=(sin x)'=cos x.全新视角拓展C可确定点P,Q的坐标为P(4,8),Q(-2,2),又因为y'=x,所以过点P,Q的切线的斜率分别为k P=4,k Q=-2,所以两条切线方程分别为y=4x-8,y=-2x-2,联立方程可得A(1,-4),故点A 的纵坐标为-4.。