八年级数学培优——因式分解及其应用

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。

它的理论依据就是乘法分配律。

多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）（2）分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。

解：（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。

解：)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

解：原式)521456268123(13689873. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组，求代数式的值。

分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果。

解：把和分别为3和带入上式，求得代数式的值是。

4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。

对任意自然数n，和都是10的倍数。

一定是10的倍数5、中考点拨：例1。

(a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2(a - b)2 = a2 - 2ab + b22、整式乘法的分类:单项式义单项式单项式义多项式多项式义多项式3、因式分解概念：将某个多项式分解成几个因式的积的形式就叫做〜例：a2—b2= (a + b)(a—b)a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b )2a 2一2ab + b2 = (a一b)24、因式分解与整式乘法之间的关系：彼此互为逆向运算5、因式分解的常用方法介绍①提公因式法②公式法③十字相乘法第一种：提公因式法典型例题因式分解：2a(b +c ) -3 (b+c ) 总结：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的 第一项系数是负的一般要提出“－"号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式 后得到的另一个因式必须按降幂排列。

练习巩固1、把下列各式因式分解(1) 2(x - y )2-(x - y )3 (2) m(a - b)-n(b - a)第二种：公式法典型例题1：用平方差公式进行因式分解⑴ m 2 - 9n 2 ⑵ 4m 2 - 25n 2(3) m 4 - n 4 (4) -1 +16m 4总结:能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式。

注意多项式 有公因式时，首先考虑提取公因式,有时还需提出一个数字系数.练习巩固6(x -2) + x (2 -x )(3) 3(y - x)2 + 2(x - y) (4) m(a -b)2 + n(b - a)2(5) mn(a -b) - m(b - a)2 (6) 2x(x + y)2 + (x + y)3典型例题2：用完全平方公式进行因式分解(1) (p - q)2 - 2(p - q) +1 ( 2 )(m + n)2一2(m2一n2) + (m-n)2总结:整体代换思想：a、b比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母。

【4】因式分解考点一：应用因式分解恒等变形求值例1.若多项式x2﹣x+a可分解为（x+1）（x﹣2），则a的值为．例2.已知二次三项式x2+ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为．变式1：若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．变式2：若x2+2（m﹣3）x+16＝（x+n）2，则m＝．考点二：待定系数法、赋值法在因式分解中的运用例1.若多项式x2﹣px+q（p、q是常数）分解因式后，有一个因式是x+3，则3p+q的值为．变式1：已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n＝17，试求m、n 的值．变式2：因为（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，所以（x2+x﹣2）÷（x﹣1）＝x+2，这说明x2+x﹣2能被x﹣1整除，同时也说明多项式x2+x﹣2有一个因式为x﹣1，另外当x＝1时，多项式x2+x﹣2的值为0．利用上述阅读材料求解：（1）已知x﹣2能整除x2+kx﹣16，求k的值；（2）已知（x+2）（x﹣1）能整除2x4﹣4x3+ax2+7x+b，试求a、b的值．考点三：根据完全平方公式求值(配方法)例1.已知x2﹣2（m﹣3）x+25是完全平方式，则m＝；若关于x、y的多项式9x2﹣kxy+4y2是一个完全平方式，则常数k的值为．变式：若多项式x2+（m﹣1）x+25是一个完全平方式，那么m＝．考点四：根据完全平方公式求值(知二求二)例1.已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，求a2+b2和ab的值．变式：（1）已知a﹣b＝6，a2+b2＝10，求ab，（a+b）2的值；（2）x+＝3，求x2+．（3）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，求a2+b2与ab的值；（4）若a+b＝﹣3，ab＝2，求a2+b2与（a﹣b）2的值．考点五：运用配方法求最值例1.阅读材料题：我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2来求一些多项式的最小值．例如，求x2+6x+3的最小值问题．解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值为﹣6．请应用上述思想方法，解决下列问题：（1）求代数式x2+4x+2020最小值．（2）求代数式3x2﹣4xy+4y2+16x+7的最小值，并求出此时xy的值．（3）设a＞0，求a2+的最小值，并求出此时a的值．（4）仿照上述方法求代数式﹣x2﹣14x+10的最大（或最小）值，并写出相应的x的值．考点五：几何图形面积中运用因式分解例1.我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2+2ab+b2＝（a+b）2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B可以解释的代数恒等式是；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为（3a+b）（a+2b）的矩形，则需要1号卡片张，2号卡片张，3号卡片张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为6a2+7ab+2b2，并利用你画的图形面积对6a2+7ab+2b2进行因式分解．变式：我们知道，对于一个图形通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请解答下列问题：（1）写出图2所表示的数学等式：；（2）已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝40，利用（1）中所得结论．求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片、若干个长为b宽为a 的长方形纸片，选用这些纸片拼出一个图形，使得它的面积是2a2+7ab+3b2．画出该图形，并利用该图形把多项式2a2+7ab+3b2分解因式．DM AP课堂练习1．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．m2﹣2m﹣1 D．2．x2﹣5x+k中，有一个因式为（x﹣2），则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣63．不等式组：的解集是x＞4，那么m的取值范围是（）A．m≥4 B．m≤4 C．m＜4 D．m=44．如图7，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30 C．45 D．605．如果a＜b＜0，下列不等式中错误的是（）A．ab＞0 B．a+b＜0 C．＜1 D．a﹣b＜06．直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图9所示，则关于x的不等式k1x+b＞k2x的解为（）A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．无法确定7．如图10，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA,点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2 B． C． D．8．若x2+mx﹣n能分解成（x﹣1）（x+4），则m= ，n= ．9．若x同时满足不等式2x+3＞0与x﹣2＜0，则x的取值范围是．10．已知：x2﹣y2=8，x ﹣y=4，则x+y= ．11．已知21012a b-=，20232024ab=，则2224a b ab-的值为．12. 已知12-=m , 则2023202220212m m m +-的值是 ．13．在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为52°，则底角B 的大小为 ．14．如图，已知一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠）的图象与x 轴相交于点A （3，0）．若正比例函数y mx =（m为常数，且0m ≠）的图象与一次函数的图象相交于点P ，且点P 的横坐标为1，则关于x 的不等式()0k m x b -+>的解集为 ，关于x 的不等式组0,0mx kx b <⎧⎨-<⎩的解集为 ．15．若关于x 的不等式组的所有整数解的和是﹣9，则m 的取值范围是 ．16．已知关于x 的不等式组只有4个整数解，则a 的取值范围是 ．17．解不等式组，并把解集在所给数轴上表示出来．253(2)(1)123x x x x 523(1)(2)131522x x x x18. 分解因式.（1）4x 2（y ﹣2）+9（2﹣y ） （2）4﹣m 2+2mn ﹣n 2(3) 321025x x x -+； （4）()()224292m n m n ---．19．我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A、B、C三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：（1）设装运A种物资的车辆数为x，装运B种物资的车辆数为y．求y与x的函数关系式；（2）如果装运A种物资的车辆数不少于5辆，装运B种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．物资种类 A B C每辆汽车运载量（吨）12 10 8每吨所需运费（元/吨）240 320 20020．如图，直线MN与x轴，y轴正半轴分别交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，已知AC=10，OA=8．（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．21．如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P 与点A不重合），连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP＝°（2）如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长．22．背景资料：在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”．如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC ＝∠CPA＝120°，此时，PA+PB+PC的值最小．解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB ＝；基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：如图③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°，判断BE，EF，FC之间的数量关系并证明；能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点P为Rt△ABC的费马点，连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．。

初二数学攻略因式分解的技巧与实例初二数学攻略：因式分解的技巧与实例在初二数学的学习中，因式分解是一个重要的知识点，也是许多同学感到头疼的部分。

但只要掌握了正确的技巧和方法，因式分解其实并不难。

接下来，就让我们一起深入探讨因式分解的技巧，并通过实例来加深理解。

一、什么是因式分解因式分解，简单来说，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式。

例如，将多项式 x² 9 分解为（x ＋ 3)（x 3) ，这就是因式分解。

二、因式分解的常用方法1、提公因式法这是因式分解的首要方法。

如果多项式的各项有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解。

例如，对于多项式 6x ＋ 9 ，公因式是 3 ，可以分解为 3(2x ＋ 3) 。

2、公式法常用的公式有平方差公式：a² b²＝（a ＋ b)（a b) ；完全平方公式：（a ± b)²＝ a² ± 2ab ＋ b²。

比如，对于 4x² 25 ，可以利用平方差公式分解为（2x ＋ 5)（2x5) 。

对于 x²＋ 6x ＋ 9 ，可以利用完全平方公式分解为（x ＋ 3)²。

3、十字相乘法对于二次三项式 ax²＋ bx ＋ c ，如果能找到两个数 p、q ，使得 p＋ q ＝ b ， pq ＝ ac ，那么就可以将原式分解为（x ＋ p)（x ＋ q) 。

例如，对于 x²＋ 5x ＋ 6 ，因为 2 ＋ 3 ＝ 5 ， 2×3 ＝ 6 ，所以可以分解为（x ＋ 2)（x ＋ 3) 。

4、分组分解法当多项式的项数较多时，可以将多项式适当分组，然后再用提公因式法或公式法进行分解。

比如，对于多项式 am ＋ an ＋ bm ＋ bn ，可以先分组为（am ＋an) ＋（bm ＋ bn) ，然后分别提取公因式得到 a(m ＋ n) ＋ b(m ＋ n) ，最后再提取公因式（m ＋ n) ，得到（m ＋ n)（a ＋ b) 。

．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
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10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）

因式分解及其应用一、知识要点1.因式分解的意义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解2.因式分解的方法关于因式分解的具体方法，可以理解为多项式乘法的逆变形1°常用的因式分解的方法（1）提取公因式法：()ab ac a b c +=+（2）公式法：常用的公式：平方差公式：22()()a b a b a b -=-+完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++完全立方公式：3223333()a a b ab b a b ±+±=±立方和（差）公式：3322()()a b a b a ab b ±=±+（3）分组分解法：()()()()ac ad bc bd a c d b c d a b c d +++=+++=++（4）十字相乘法：2()()()a b c a bc a b a c +++=++2°一些技巧性较强的因式分解的方法（1）双十字相乘法 （2）待定系数法 （3）换元法 （4）拆项、添项法（含配方法）（5）求根法3.因式分解的应用（1）运用因式分解进行多项式除法 （2）运用因式分解解简单的方程4. 下面介绍一种判断多项式可能出现的因式或者判断多项式所对应方程根的方法.用)(c f 表示多项式01222211)(a x a x a x a x a x a x f n n n n n n +++⋯⋯+++=----在m x =时的值，若0)(=m f ，那么m x -是)(x f 的因式.为什么呢？为了便于理解，这里以c bx ax x f ++=2)(为例，具体说明：)()(0)()(m f x f x f x f -=-= =)()(22c bm am c bx ax ++-++=)()()(22c c bm bx am ax -+-+-=)())((m x b m x m x a -+-+=))((b am ax m x ++-. 所以，m x -是)(x f 的因式.反过来，如果m x -是)(x f 的因式，那么0)(=m f . 设有理数qp m =是多项式)(x f 的有理根，则其有理根的分子p 一定是常数项0a 的因数，分母q 一定是首项系数n a 的因数.特别地，当n a =1时，多项式)(x f 若存在有理根，其有理根一定常数项的因数. 如，多项式)(x f =30193--x x 若存在有理根a ，则a 必为30的因数.理由如下：因为a 是多项式)(x f =30193--x x 的有理根，所以，030193=--a a ，于是，可以得到：30193=-a a ，又因为)19(3a a a -，所以a 30，即a 必是30的约数.二、典型例题例1.分解因式：2322233612a x y ax y ax y +-22(2)()(32)()a ad c d ab a c d -+--+例2.分解因式：a x ax x --+23)()()(222b a c a c b c b a -+-+-例3.分解因式（1）256x x +- （2）26x x -- （3）221315x x ++（4）22715x x -- （5）x x x 231123+-例4.分解因式 （1）(1)(2)(3)(4)24x x x x ++++-（2）22(32)(712)120x x x x ++++-例5.分解因式 （1）2222224()x y x y z -+-（2）2222224(31)(4)(56)x x x x x x ++-+--++例6.分解因式：（1）326116x x x +++ （2）3234x x -+（3）22423a b a b -+++ （4）22(1)(1)4m n mn --+例7.分解因式：（1）2231092x xy y x y --++-（2）22534x y x y -+++（3）22xy y x y ++--（4）22267372x xy y xz yz z ---+-例8.分解因式： （1）32464x x x -+-（2）376x x -+例9.关于,x y 的二次三项式22754324x xy my x y ++-+-可以分解成两个一次因式的乘积，求m 的值例10.已知a 是自然数，问9324+-a a 是质数还是合数？给出你的证明.例11. k 取什么数时，k x x x x ++++)3)(2)(1(是一个完全平方式？例12.如图，长方体的每一个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写的两个数之和相等.若将数8所在面的对面所写的数记为a ，数4所在面的对面所写的数记为b ，数25所在面的对面所写的数记为c .（1） 求ca bc ab c b a ---++222的值；（2） 若a 、b 、c 均为质数，试确定a 、b 、c 的值.例13.已知220,20ab a ab b ≠+-=，求22a b a b-+的值例14.已知：,,a b c 为三角形三边，且满足：222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状例15求方程10xy x y --+=的整数解三、能力测试1．若x 2－mx ＋n ＝(x －4)(x ＋3) 则m,n 的值为（ ）(A) m ＝－1, n ＝－12 (B)m ＝－1,n ＝12 (C) m ＝1,n ＝－12 (D) m ＝1,n ＝12.2．关于的二次三项式x 2－4x ＋c 能分解成两个整系数的一次的积式，那么c 可取下面四个值中的（ ）(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －53.．已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是( )A ．41，48B ．45，47C ．43，48D ．4l ，474. 已知2x 2－3xy+y 2＝0(xy ≠0)，则x y y x +的值是( ) A ． 2，212 B ．2 C ．212 D ．－2，212- 5. 设(x ＋y)(x ＋2＋y)－15＝0,则x ＋y 的值是（ ）(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)56．设a<b<c<d ，如果x=(a ＋b)(c ＋d)，y=(a+c)(b+d)，z ＝(a+d)(b+c)，那么x 、y 、z 的大小关系为( )A ．x<y<zB ． y<z<xC ．z <x<yD ．不能确定7．若x+y=－1，则43222234585y xy xy y x y x y x x ++++++的值等于( )A ．0B ．－1C ．1D ． 38.已知 a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值( )A ．恒正B ．恒负C ．可正可负D ．非负9．设n 为某一自然数，代入代数式n 3－n 计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结果是( )A ．5814B ．5841C ．8415D ．845l10.已知2x 2－3xy ＋y 2＝0（x,y 均不为零），则 x y ＋ y x的值为 。

因式分解的应用与实例概述因式分解是数学中一个重要的概念和技巧，广泛应用于代数运算、方程求解以及数论等领域。

通过将一个复杂的表达式或方程分解为更简单的因子，我们能够更好地理解其结构和特性，从而更高效地解决问题。

应用场景1. 方程求解：在代数中，我们经常遇到各种形式的方程，如一次方程、二次方程等。

通过因式分解，我们可以将复杂的方程转化为一系列简单的因子，并从中找到解的方法。

2. 多项式运算：在代数中，多项式的加减乘除运算是常见的操作。

因式分解可以帮助我们简化多项式的表达式，并更方便地进行运算。

3. 数论问题：因式分解在数论中也有重要的应用。

通过将一个数进行因式分解，我们可以更好地理解其素数因子的分布规律，进而研究数论问题。

4. 几何问题：在几何学中，因式分解可以帮助我们分析和理解几何图形的性质和结构。

例如，可以通过因式分解得到一个三角形的面积公式，从而更方便地计算其面积。

实例说明1. 方程求解实例：- 将一次方程2x + 3 = 7进行因式分解，得到2(x + 3/2) = 7，从而得到x = 7/2 - 3/2 = 2/2 = 1的解。

- 将二次方程x^2 - 5x + 6 = 0进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2或x = 3的解。

2. 多项式运算实例：- 将多项式2x^2 + 3x + 1进行因式分解，得到(2x + 1)(x + 1)的形式，从而可以更方便地进行多项式的运算。

3. 数论问题实例：- 将数15进行因式分解，得到3 × 5的形式，从而可以了解15的素数因子分布。

4. 几何问题实例：- 将三角形的面积公式S = 1/2 * base * height进行因式分解，得到S = base/2 * height的形式，从而更方便地计算三角形的面积。

因式分解作为数学中重要的概念和技巧，在代数运算、方程求解以及数论等领域都有广泛的应用。

通过因式分解，我们可以简化问题的表达和计算，更深入地理解数学问题的本质。

专题05 和差化积——因式分解的应用阅读与思考：因式分解是代数变形的有力工具，在以后的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础，其应用主要体现在以下几个方面：1．复杂的数值计算； 2．代数式的化简与求值； 3．简单的不定方程（组）； 4．代数等式的证明等.有些多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉这些结果： 1. 4224(22)(22)x x x x x +=++-+; 2. 42241(221)(221)x x x x x +=++-+; 3. 1(1)(1)ab a b a b ±±+=±±； 4.1(1)(1)ab a b a b ±-=±m m ；5. 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---． 例题与求解【例1】已知0≠ab ，2220a ab b +-=，那么22a ba b-+的值为___________ . （全国初中数学联赛试题）解题思路：对已知等式通过因式分解变形，寻求a ，b 之间的关系，代入关系求值．【例2】a ，b ，c 是正整数，a ＞b ，且27a ab ac bc --+=，则a c -等于( ).A. －1 B ．－1或－7 C ．1 D.1或7 （江苏省竞赛试题）解题思路：运用因式分解，从变形条件等式入手，在字母允许的范围内，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称代数式的恒等变形，它是研究代数式、方程和函数的重要工具，换元、待定系数、配方、因式分解又是恒等变形的有力工具．求代数式的值的基本方法有； (1)代入字母的值求值； (2)代入字母间的关系求值； (3)整体代入求值．【例3】计算：(1) 32321997219971995199719971998--+-g （“希望杯”邀请赛试题）（2）444444444411111(2)(4)(6)(8)(10)4444411111(1)(3)(5)(7)(9)44444++++++++++ （江苏省竞赛试题）解题思路：直接计算，则必然繁难，对于(1)，不妨用字母表示数，通过对分子、分母分解因式来探求解题思路；对于(2)，可以先研究41()4x +的规律．【例4】求下列方程的整数解．(1)64970xy x y +--=; （上海市竞赛试题）(2)222522007x xy y ++=. （四川省竞赛试题）解题思路：不定方程、方程组没有固定的解法，需具体问题具体分析，观察方程、方程组的特点，利用整数解这个特殊条件，从分解因式入手．解不定方程的常用方法有：(1)穷举法； (2)配方法； (3)分解法； (4)分离参数法． 用这些方程解题时，都要灵活地运用质数合数、奇数偶数、整除等与整数相关的知识.【例5】已知3a b +=，2ab =，求下列各式的值： (1) 22a b ab +； (2) 22a b +； (3)2211a b+． 解题思路：先分解因式再代入求值.【例6】一个自然数a恰等于另一个自然数b的立方，则称自然数a为完全立方数，如27＝33，27就是一个完全立方数．若a＝19951993×199519953－19951994×199519923，求证：a是一个完全立方数．（北京市竞赛试题）解题思路：用字母表示数，将a分解为完全立方式的形式即可．能力训练A 级1. 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，边长分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________．（烟台市初中考试题）babbaa2．已知223,4x y x y xy +=+-=，则4433x y x y xy +++的值为__________．（江苏省竞赛试题）3．方程25510x xy x y --+-=的整数解是__________． （“希望杯”邀请赛试题）4. 如果2(1)1x m x -++是完全平方式，那么m 的值为__________． （海南省竞赛试题）5. 已知22230x xy y -+=(0≠xy )，则xy y x+的值是( )．A ．2，122B ．2C ．122D ．12,22-- 6．当1x y -=，43322433x xy x y x y xy y ---++的值为( )．A. －1 B ．0 C ．2 D ．1 7．已知a b c ＞＞，222222M a b b c c a N ab bc ca =++=++，，则M 与N 的大小关 系是( )．A. M ＜N B ．M ＞N C ．M ＝N D ．不能确定（“希望杯”邀请赛试题）8．n 为某一自然数，代入代数式3n n -中计算其值时，四个同学算出如下四个结果，其中正确的结果只能是( )．A. 388944B.388945C.388954D.388948（五城市联赛试题）9．计算：(1) 3331999100099919991000999--⨯⨯ （北京市竞赛试题）(2) 333322223111122222311111++ (安徽省竞赛试题)10. 一个自然数a 恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数，如64＝82，64就是一个完全平方数，若a ＝19982＋19982×19992＋19992，求证：a 是一个完全平方数．（北京市竞赛试题）11.已知四个实数a ，b ，c ，d ，且a b ≠，c d ≠，若四个关系式224,b 4a ac bc +=+=，82=+ac c ，28d ad +=，同时成立.(1)求a c +的值；(2)分别求a ，b ，c ，d 的值．（湖州市竞赛试题）B 级1．已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n ____________ .（“希望杯”邀请赛试题）2．已知三个质数,,m n p 的乘积等于这三个质数的和的5倍，则222m n p ++＝________ .（“希望杯”邀请赛试题）3.已知正数a ，b ，c 满足3ab a b bc b c ac c a ++=++=++=，则(1)(1)(1)a b c +++＝_________ . （北京市竞赛试题）4．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取x ＝9，y ＝9时，则各个因式的值是：22()0,()18,()162x y x y x y -=+=+=，于是就可以把“0181 62”作为一个六位数的密码，对于多项式32-，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：4x xy__________．（写出一个即可）．（浙江省中考试题）5．已知a，b，c是一个三角形的三边，则444222222++---的a b c a b b c c a222值( )．A.恒正B．恒负C．可正可负D．非负(太原市竞赛试题)6．若x是自然数，设432=++++，则( )．2221y x x x xA. y一定是完全平方数B．存在有限个x，使y是完全平方数C. y一定不是完全平方数D．存在无限多个x，使y是完全平方数7．方程22--=的正整数解有( )组．x xy x23298A.3 B．2 C．1 D．0（“五羊杯”竞赛试题）8．方程24-+=的整数解有( )组．xy x yA.2 B．4 C．6 D.8（”希望杯”邀请赛试题）9．设N＝695＋5×694＋10×693＋10×692＋5×69＋1.试问有多少个正整数是N的因数？（美国中学生数学竞赛试题）10．当我们看到下面这个数学算式333337133713503724372461++==++时，大概会觉得算题的人用错了运算法则吧，因为我们知道3333a b a bc d c d++≠++．但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式：333331313232++=++，333352525353++=++，333373737474++=++，3333107107103103++=++，… 你能发现以上等式的规律吗？11.按下面规则扩充新数：已有a ，b 两数，可按规则c ab a b =++扩充一个新数，而以a ，b ，c 三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…每扩充一个新数叫做一次操作. 现有数1和4，求：(1) 按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；(2) 能否通过上述规则扩充得到新数1999，并说明理由．（重庆市竞赛试题）12.设k，a，b为正整数．k被22,a b整除所得的商分别为m，16m.+(1)若a，b互质，证明22-与22,a b互质；a b(2)当a，b互质时．求k的值；( 3)若a，b的最大公约数为5，求k的值．（江苏省竞赛试题）。

章节复习之因式分解（培优篇） 因式分解的方法一——基本方法知识要点：因式分解的基本方法有提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法。

在对一个多项式进行因式分解时，应根据多项式的特点选择合理的分解方法。

A 卷一、填空题1、分解因式：_______________419122=+-+y x x n n . 2、（河南省竞赛题）分解因式：_______________63522=++++y y x xy x . 3、已知242--ax x 在整数范围内可以分解因式，则整数a 的可能取值为 .4、（2000年第16届“希望杯”竞赛题）分解因式：()()__________122=++-+b a b a ab . 5、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）如果x 、y 是整数，且12005200422=-+y xy x ，那么_________=x ，_________=y .二、选择题6、如果多项式9142++kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（ ） A 、6- B 、6 C 、32或32- D 、34或34- 7、（2005年第16届“希望杯”初二年级培训题）已知二次三项式c bx x ++22分解因式后为()()132+-x x ，则（ ）A 、3=b ，1-=cB 、6-=b ，2=cC 、6-=b ，4=cD 、4-=b ，6-=c8、（江苏省南通市2005年中等学校招生考试题）把多项式1222-+-b ab a 分解因式，结果为（ ）A 、()()11--+-b a b aB 、()()11-++-b a b aC 、()()11-+++b a b aD 、()()11--++b a b aB 卷一、填空题9、研究下列算式：252514321==+⨯⨯⨯；21112115432==+⨯⨯⨯；==+⨯⨯⨯36116543219；22984117654==+⨯⨯⨯，……用含n 的代数式表示此规律（n 为正整数）是 .二、选择题10、对于这5个多项式：①12222---b a b a ；②322327279a xa ax x -+-；③()x x 422+-；④()()m n n n m m -+-63；⑤()()b d c c b d y d c b x 222-+-----+其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）A 、①②⑤B 、②④⑤C 、③④⑤D 、①②④11、已知二次三项式10212-+ax x 可以分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ） A 、a 一定是奇数 B 、a 一定是偶数 C 、a 可为奇数也可为偶数 D 、a 一定是负数 三、解答题 12、分解因式：（1）（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）分解因式：()()()33322y x y x -----（2）122229227131+++--n n n x x x （3）2222222ab x b b a abx bx x a ax +-+-+- （4）()222224b a abx x b a +--- （5）()()()b a c a c b c b a -+-+-222 （6）613622-++-+y x y xy xC 卷一、解答题13、n （1 n ）名运动员参加乒乓球循环赛，每两人之间正好只进行一场比赛。

5因式分解的常用方法及应用满分晋级代数式 7 级因式分解的概念和基本方法代数式 10 级因式分解的常用方法及应用代数式 11 级因式分解的高端方法及恒等变形漫画释义小人物与大人物暑期班第六讲秋季班第五讲秋季班第六讲知识互联网题型一：因式分解——分组分解法思路导航暑期因式分解知识回顾：1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点：⑴ 公因式要提尽；⑵将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正.3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解．平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴ 12abc9a2 b2 =.⑵ ( x 3)2.(x 3) =⑶x3 xy2 ___________．⑷ 27x218x 3 =.在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解.分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法 .分组分解法的基本步骤：1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；例如：3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”.ax by bx ayax bx ay byx a b y aa b x y重新分组b提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序首项为正拆开重组瞄准方法例题精讲【引例】分解因式⑴ x2xy 1 y2122⑵ a a b b41 y221 y1y 1【解析】⑴原式 =x2xy1=x 1y1x 1 x42221y 22x y22 x4⑵原式 = a2b2 a b = a b a b a b a b a b 1典题精练【例 1】⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（）① m3m2m 1；② 4b29a26ac c2；③ 5x2 6 y15x2xy ；④ x2y2mx my ；A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个⑵因式分解： 14x2 4 y28 xy ，正确的分组是（）A.14x28xy y2B.14x24y2xyC.18xy4x24y2D.14x2 4 y28xy⑶将多项式 x22xy y2 2 x 2 y 1分解因式，正确的是（）2B. x 222A. x y y 1 C. x y 1 D. x y 1A.a2ab a a b 1B. a a b 1 a b 1C. a a22ab b2 1D. a2ab a a2ab a【例 2】分解下列因式⑴ xy x y 1⑵ a 2b2 a 2b21⑶ 5a2 m 15am 3abm 9bm⑷ a2 b 22ab1⑸ a22ab b2c22c 1⑹ x3 2 x2x 2 x52x4【例 3】分解因式⑴ x(x z) y( y z)⑵ ax( y3b3 ) by(bx 2 a 2 y)2222⑶ab(c d ) (a d )cd题型二：因式分解——十字相乘法思路导航十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式ax2bx c ，若可以分解，则一定可以写成 (a1x c1 )( a2 x c2 ) 的形式，它的系数可以写成a1c1 ，十字相乘法就是用试验的方法找出a2c2十字线两端的数，其实就是分解系数 a， b ， c ，使得： a1a2 a ， c1c2 c ， a1c2 a2 c1 b ，2x(a b) x ab ( x a )( x b) .若 b 24ac 不是一个平方数，那么二次三项式ax2bx c就不能在有理数范围内分解 .建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴ 将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式；⑵ 若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16 个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．例题精讲【引例】分解下列因式⑴ x2 5 x 6⑵ x2 5 x 6⑶ x25x 6⑷ x25x 6【解析】⑴ ( x2)( x3)⑵ ( x2)( x3) ；x2x-2x3x-3⑶ (x6)( x1) ；⑷ (x6)( x1)x6x-6x-1x1典题精练【例 4】分解因式：⑴ x27 x 10⑵ x2 10xy 24y2⑶ x413x236⑷ 2 x2x1⑸ 2x2 3xy 2y2⑹ 12x211xy 15 y2思路导航选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．典题精练【例 5】请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴ x2 b 1 x b⑵ kx22k 3 x k3⑶ 3x24xy 4 y28 x 8 y 3⑷ a(6 a11b 4) b(3b 1)2题型三：因式分解的应用典题精练【例 6】在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44因式分解的结果是x y x y x2y2，若取x 9，y 9，则各x y个因式的值是： x y0 ， x y18 ， x2y2162，于是就可以把“ 018162作”为一个六位数的密码．对于多项式4x3xy2，取 x 2 ，y 2 时，用上述方法产生的密码是： _______________（写出一种情况即可）．【例 7】如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.ab bbabbaaabb【例 8】 如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9， 3 的对面的数分别为 a ， b ， c ，求 a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值 .思维拓展训练 ( 选讲 )训练 1. 分解因式⑴ 8x4 y3 z26x5 y2⑶3x 12x3⑸x2 x y y2y x训练 2. 分解因式⑴acx3bcx2adx bd2⑵ 6 m n12 n m⑷a2 49b 2 14ab ⑵x2 y2 z2x2 z y2 z1⑶6ax2 9a 2 xy 2xy 3ay2⑷5x315x2x3训练 3.在实数范围内分解因式⑴ x2 3 y 2⑵ 2x2 2 2 x 1训练 4. 试说明 257513能被 30 整除复习巩固题型一因式分解——分组分解法巩固练习【练习 1】分解因式：a4a3b ab3b4.题型二因式分解——十字相乘巩固练习【练习 2】分解因式：⑴ 16m231mn 2n2；⑵ 6x n 17x n y24x n 1 y2．【练习 3】多项式x2px 12 可分解为两个一次因式的积，整数p的值是（写出所有情况）.【练习 4】若多项式x2x m 在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n（ n 为正整数）的式子表示为．题型三因式分解的应用巩固练习【练习 5】某学校长方形操场的周长为440 米，操场的两条边 a 、b满足 a3 a 2b ab2b30 ，求操场的面积．第十五种品格：创新创造力的价值前几年，有人卖一块铜，喊价竟然高达28 万美元。

初二数学培优与提高：因式分解小结因式分解小结一、常用公式因式分解中常用的公式，如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c) /2【（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2】；(7)a3 +3a2b+3ab2 +b3 =（a+b）3；(8)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数；(9)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数；(10)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数。

二、常用方法1.提公因式法。

a.公式要提尽；b.将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正；c.因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式。

2.运用公式法。

3.十字相乘法。

4.双十字相乘法。

双十字相乘法用于对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解。

双十字相乘法进行因式分解的步骤是：a.用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；b.把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

5.拆项、添项法。

例如：因式分解x３-9x+8 （四种方法）a.将常数项8拆成-1+9;b. 将一次项-9x拆成-x-8x;c. 添加两项-x2+x2;d. 将三次项x3拆成9x3-8x3;拆项、添项法的难点在于：不易想到添加项。

因式分解及其应用内容讲解因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式．其操作过程叫分解因式，其常用的方法有：提取公因式，运用公式法，分组分解法，十字相乘法，双十字相乘法，拆（添）项法，待定系数法和换元法等等．常用公式除课本上的几个公式以外，大家还应熟悉以下的公式（结论）：a3±3a2b+3ab2±b3=（a±b）3；a3±b3=（a±b）（a2 ab+b2）；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2；a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）；a4+4=（a2+2a+2）（a2-2a+2）．例题剖析例1 k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分成两个一次因式的积？分析：因k为二次项系数，故不宜从二次项入手，而x2+3x+2=（x+1）（x+2），可得多项式必为（x+my+1）（x+ny+2）的形式．解：∵x2+3x+2=（x+1）（x+2）∴原式=（x+my+1）（x+ny+2）（其中m，n为常数）=x2+（m+n）xy+mny2+3x+（2m+n）y+2．比较对应项系数得：m+n=-2，2m+n=-5，mn=k．所以k=-3．评注：上式方法即是待定系数法，其解题的一般步骤是：（1）根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式；（2）利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组；（3）解方程组，求出待定系数，再代入所设问题的结构中去，得到需求问题的解．例2 分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12．分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十相乘法进行因式分解．解：623y 2y x x③②①∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）评注：双十字相乘法必须按这样的步骤进行：（1）先用十字相乘法分解二次项，如第一个十字相乘图x 2+5xy+6y 2=（x+2y ）（x+3y ）；（2）先依一个字母（如y ）的一次系数分解常数项．•如第二个十字相乘图6y 2+18y+12=（2y+2）（3y+6）；（3）再按另一个字母（如x ）的一次项系数进行检验，如第三个十字相乘图，这一步不能省略，否则容易出错，如：343y 2y x x例3 分解因式（x 2-x-6）（x 2+3x-4）+24．分析：题中两个括号内含x 的项的系数不同，所以不便直接使用换元法；如果直接去括号后再整理很麻烦．但可将每个括号内的式子都因式分解，再重新组合．解：原式=（x-3）（x+2）（x+4）（x-1）+24=（x 2+x-12）（x 2+x-2）+24令x 2+x-2=y ，∴原式=（y-10）·y+24=y 2-10y+24=（y-4）（y-6）=（x 2+x-6）（x 2+x-8）=（x+3）（x-2）（x 2+x-8）．评注：本题的换算技巧具有典型性，应当掌握．例4 分解因式2x 3-13x 2+25x-14．分析：原式不缺项，直接分组分解难以进行，可考虑拆项分解，把中间的两项各拆成两项，原式变成六项，再按组系数对应成比例的原则分成三组，每组两项，使三组系数的比分别为2：（-2）=11：（-11）=14：（-14）或2：（-4）=（-9）：18=7：（-14）或2：（-7）=-6：21=4：（-14），得到不同的拆项方法．法1：原式=（2x3-2x2）-（11x2-11x）+（14x-14）=2x2（x-1）-11x（x-1）+14（x-1）=（x-1）（2x-7）（x-2）；法2：原式=（2x3-4x2）-（9x2-18x）+（7x-14）=2x2（x-2）-9x（x-2）+7（x-2）=（x-1）（2x-7）（x-2）；法3：请同学们自己补上．评注：本题采用了拆项法，拆项添项的目的是使多项式能用分组分解的方法进行因式分解．例5 用正方形的地砖不重叠，无缝隙地铺满了一块地，选用边长为xcm规格的地砖，恰需n块；若选用边长为ycm规格的地砖，则要比前一种刚好多用124块，已知x，•y，n 都是整数，且x，y互质，试问这块地有多少平方米？分析：如果我们抓住前后两种砖铺地的面积相等，很容易列方程，•但方程表面上看无法解，如果我们借助因式分解等方法就迎刃而解了．解：设这块地的面积为S，则S=nx2=（n+124）y2∴n（x2-y2）=124y2∵x，y，n都是自然数，∴x>y且（x2-y2）│124y2由124=22×31，x2-y2=（x-y）（x+y）又x+y与x-y具有相同的奇偶性，且x+y>x-y>0．∴311x yx y+=⎧⎨-=⎩或2312x yx y+=⨯⎧⎨-=⎩又（x，y）=1，∴x=16，y=15．于是n=222124yx y-=900．故这块土地面积为S=nx2=900×162=230400（cm2）=23.04（m2）评注：因式分解思想与方法是数学中极为重要的内容之一．•利用因式分解的方法可以解决多方面的数学问题．如整除性问题，化简求值，解方程或不等式问题，证明恒等式或条件等式问题等．巩固练习1．填空题:（1）分解因式a3b+ab+30b的结果是_______；（2）已知a2+a+1=0，则a1991+a1992+a1993+a2007+a2008=_______；（3）已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，那么n=_______．2．选择题:（1）下列五个多项式：①a2b2-a2-b2-1；②x3-9ax2+27a2x-27a3；③x（b+c-d）-y（d-b-•c）• -2c+2d-2b；④3m（m-n）+6n（n-m）；⑤（x-2）2+4x．•其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）（A）①②③（B）②③④（C）③④⑤（D）①②④（2）若a+b+c=0，则a3+a2c-abc+b2c+b3的值是（）（A）-1 （B）0 （C）1 （D）2（3）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（）（A）M<N （B）M>N （C）M=N （D）不能确定3．分解因式：（1）x2+4x-y2+4；（2）x3-7x+6；（3）4x2+4xy-3y2-8x+3；（4）x4+y4+（x+y）4；（5）xy（xy+1）+（xy+3）-2（x+y+12）-（x+y-1）2．4．已知14（b-c）2=（a-b）（c-a），且a≠0，求b ca+的值．5．已知非零的三个实数a，b，c满足1111a b c a b c ++=++，求证：a+b，b+c，c+a中至少有一个是0．答案:1．（1）b（a+3）（a2-3a+10）；（2）0；（3）32．（1）B；（2）B；（3）B3．（1）原式=（x2+4x+4）-y2=（x+y+2）（x-y+2）；（2）原式=x3-（x+6x）+6=（x-1）（x-2）（x+3）；（3）利用双十交叉法分解．原式=（2x-y-1）（2x+3y-3）；（4）原式=2（x2+xy+y2）2；（5）原式=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）．4．由14（b-c）2=（a-b）（c-a），得[2a-（b+c）] 2=0，所以2a=b+c，即b ca+=2．5．由题意知：abc≠0且a+b+c≠0于是有1bc ac ababc a b c++=++，去分母，得：[ab+c（a+b）]（a+b+c）=abc，• ∴ab（a+b）=c（a+b）2+abc+c2（a+b）-abc=0，∴（a+b）[ab+c（a+b）+c2]=0，∴（a+b）（c+a）（c+b）=0，故a+b，b+c，c+a中至少有一个为0．。

2、运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

主要有：平方差公式 a 2 b 2(a b)(a b)完全平方公式a22ab b2(a b)2立方和、立方差公式 a 3b3(a b)( a2ab b2 )补充：欧拉公式：a3 b 3c33abc( a b c)(a 2b2c2ab bc ca)1(a b c)[( a b) 2(b c) 2(c a) 2 ]2特别地：（ 1）当a b c0 时，有 a 3b3c33abc（ 2）当c0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。

运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。

但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。

用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。

因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。

下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把a22a b22b 分解因式的结果是（）A.(a b)(a 2)(b2)B.( a b)(a b2)C. (a b)(a b)2D. ( a22b)(b 22a)分析： a 22a b 22b a 22a1b22b1(a1)2(b 1) 2。

再利用平方差公式进行分解，最后得到( a b)(a b2) ，故选择B。

说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。

同时要注意分解一定要彻底。

2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式 2x3x 2m 有一个因式是 2 x 1，求 m的值。

分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 m的值。

解：根据已知条件，设 2 x3x2m (2 x1)( x 2ax b)则 2 x3x 2m 2 x3(2a 1) x2(a 2b) x b 2a11(1)由此可得a2b0(2)m b(3)由（ 1）得a1把 a1代入（ 2），得b 1 2把 b 1代入（ 3），得m1 223.在几何题中的应用。

初二因式分解培优练习题在初二数学学习中，因式分解是一个非常重要且基础的概念。

因式分解是将一个多项式拆解成两个或多个因式的乘积。

通过练习因式分解的题目，可以提高学生的数学思维和解题能力。

本文将介绍一些初二因式分解的培优练习题。

1. 将多项式 3x + 6 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以因式分解为 3(x + 2)。

2. 将多项式 4x^2 - 16 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现4是公因式，所以可以提取4，得到 4(x^2 - 4)。

然后，我们可以再进一步分解括号中的差平方。

演算过程如下：x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)因此，多项式 4x^2 - 16 的因式分解形式为 4(x + 2)(x - 2)。

3. 将多项式 6x^2 + 9x + 3 因式分解解析：首先观察多项式中的公因式，可以发现3是公因式，所以可以提取3，得到 3(2x^2 + 3x + 1)。

然后，我们需要进一步分解括号中的三项式。

由于三项式的系数均为正，我们可以尝试使用分解相加法。

演算过程如下：2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)因此，多项式 6x^2 + 9x + 3 的因式分解形式为 3(2x + 1)(x + 1)。

4. 将多项式 a^2 - 4b^2 因式分解解析：该多项式是一个二次差平方。

我们可以利用二次差平方公式进行因式分解。

二次差平方公式如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)因此，多项式 a^2 - 4b^2 的因式分解形式为 (a + 2b)(a - 2b)。

通过以上几个练习题的分析，我们可以发现因式分解需要灵活运用数学方法和技巧。

在解题过程中，我们可以观察多项式中的公因式，尝试分解差平方或其他形式的多项式，并利用分解相加法等方法进行因式分解。

通过反复练习和积累，掌握因式分解的技巧，初二学生可以提高自己的解题能力，并在进一步学习高阶的数学知识时打下良好的基础。

八年级数学培优——因式分解知识介绍：多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法．本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）．一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法：在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， （1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 下面再补充三个常用的公式：(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)； —(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)． (5) a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；练习：（1）1)2(2)2(22+-+-x x x x （2）66y x -三、分组分解法：（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++ ~=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式 =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。

模块一：分组分解法一般地，分组分解大致分为三步： i ．将原式的项适当分组； ii ．对每一组进行处理（“提”或“代”）；iii ．将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 模块二：十字相乘法已知2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，那么将2()x a b x ab +++因式分解，则结果为()()x a x b ++． 例：因式分解：x x 2+5+6x x x235或11235 ∴原式()()x x =+2+3问题：二次三项式ax bx c 2++如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中．十字相乘法适用类型：二次三项式ax bx c 2++二次三项齐次式ax bxy cy 22++ 例：因式分解：x xy y 22+5+6x x y y xy235 或 11235∴原式()()x y x y =+2+3特殊地，如果a b c ++=0，则必有因式x -1； 如果a b c -+=0，则必有因式x +1．因式分解：（1）ax by bx ay --+（2）a b a b 2222--+1（3）x x x 325-15-+3 （4）a m am abm bm 25-15+3-9（5）x x x x x 3254-2-+2+-2 （6）x x x x 432+++（1）()()ax bx ay by =-+-原式()()()()x a b y a b a b x y =-+-=-+； （2）原式()()a b b 222=-1--1()()a b 22=-1-1()()()()a a b b =+1-1+1-1； （3）原式()()()()x x x x x 22=5-3--3=5-1-3 或原式()()()()x x x x x 222=5-1-35-1=5-1-3；模块一 分组分解法（4）原式[]()()()()()m a a ab b m a a b a m a a b 2=5-15+3-9=5-3+3-3=-35+3； （5）原式()()()x x x x x 5432=-2+-2--2()()()x x x x x 42=-2+-2--2()()x x x 42=-2+-1；（6）原式()()()()x x x x x x x 32=+1++1=+1+1．【教师备课提示】这道题主要考查分组分解的第一个原则：平均分配．①有公因式的分为一组； ②按照系数配比分组； ③次数相近的分成一组．因式分解：（1）x x y 22-1-2-+（2）x x x x 432++2++1（3）a a ab a b 322-+-2 （4）x xy y 2211-+-4（5）x x y y 3232+-- （6）x y x xy y 3322+++2+ （7）()()()a b b c c a a b c 333333++++++++（1）原式()()()x y y x y x 2=-1++=++1--1；（2）原式()()x x x x 423+2+1++=()()x x x 222+1++1=()()x x x 22=+1++1 （3）原式()()()a a b ab a a b a b 22=-1+-2=-+1--1； （4）原式[()][()]x xy y x y 222114-4-=4-2-44=4+()()x y y x 1=2-+2-2+24；（5）()()()()x y x xy y x y x y 22=-++++-原式()()x y x xy y x y 22=-++++； （6）()()()x y x xy y x y 222=+-+++原式()()x y x xy y x y 22=+-+++；（7）原式[()][()][()]()()a b c b c a c a b a b c a b c 333333222=++++++++=3++++． 【教师备课提示】这道题主要考查分组分解的第二个原则：按公式分组．因式分解：（1）22(3)(43)x ab x a b -+- （2）(1)(1)x x y y ---（3）(1)(1)2x x y y xy ++--（4）2231()b a x abx +--（1）x ab ax bx 2=2-6+4-3原式()()x x a b a x =2+2-32+()()x a x b =+22-3； （2）原式x x y y 22=--+()()x y x y 22=---()()()x y x y x y =+---()()x y x y =-+-1；（3）原式x x y y xy 22=++--2()()x y x y 2=-+-()()x y x y =--+1； （4）原式()()()()a x bx abx ax ax bx 22232=1-+-=1-1++．【教师备课提示】这道题主要考查拆开再重新组合，再组合时按照上面两个原则．因式分解：（1）x x 2+5+6（2）x x 2+6+8 （3）x x 2-3+2 （4）x x 2-8+15 （5）x x 2+-6 （6）x x 2-2-3 （7）x x 2-+2+8（8）x x 24+3-（1）原式=()()x x +2+3； （2）原式()()x x =+2+4； （3）原式()()x x =-1-2； （4）原式()()x x =-3-5； （5）原式()()x x =+3-2；（6）原式()()x x =-3+1；（7）原式()()()x x x x 2=--2-8=--4+2； （8）原式()()()x x x x 2=--3-4=--4+1．因式分解：（1）a a 23-7-6（2）x x 25+12-9 （3）x x 2-6-11+7（4）x x 232-12-27（1）()()a a a a 23-7-6=3+2-3； （2）()()x x x x 25+12-9=+35-3；（3）()()()x x x x x x 22-6-11+7=-6+11-7=-2-13+7； （4）()()()x x x x x x 2232-12-27=-27+12-32=-3+49-8．【教师备课提示】例4和例5主要讲解十字相乘，注意二次项系数为负数，先提负号．因式分解：（1）x xy y 22+7+10 （2）x xy y 22-10-24（3）x xy y 222--3 （4）x xy y 2212+4- （5）x y xy 22+144-25 （6）a ab b 228-5-42 （7）x xy y 2212-11-15（1）原式()()x y x y =+2+5； （2）原式()()x y x y =+2-12； （3）原式()()x y x y =2-3+； （4）原式()()x y x y =6-2+； （5）原式()()x y x y =-9-16；（6）原式()()a b a b =8-21+2；模块二 十字相乘法（7）原式()()x y x y =3-54+3．【教师备课提示】这道题主要讲解十字相乘法适用的类型，方法都是一样的．（1）二次三项式ax bx c 2++； （2）二次齐次式ax bxy cy 22++．因式分解：（1）()x b x b 2-+1+（2）()kx k x k 2+2-3+-3（3）(m x x m 2+1--）（1）()()()x b x b x x b 2-+1+=-1-；（2）()()()kx k x k x kx k 2+2-3+-3=+1+-3；（3）()()[()]()()m x x m x m x m x mx x m 2+1--=-1+1+=-1++．【教师备课提示】这道题主要讲解含参的可看成二次三项式的十字相乘．用合适的方法因式分解：（1）()()ax by bx ay 22+-+ （2）x y y xy xy 2223+28+7+12 （3）()()()x x y x y +2-2-4-（4）()()ab a b a b 22+-++1（1）原式()()()()a b a b x y x y =+-+-（先平方差再分组分解）； （2）原式()()y x x y =+43+7（先提取公因式再分组分解）； （3）原式()()x y x y =-2+2-2-2（先拆开再分组分解）； （4）原式()()a ab b ab 22=+-1+-1（十字相乘法）．【教师备课提示】这道题主要考查几个方法的综合，让他们练下．因式分解：（1）1xy x y --+ （2）ax ay bx cy cx by -++--（3）2222ac bd ad bc +-- （4）221x ax x ax a +++--（5）4321x x x ++- （6）541x x x --+（7）2226923ax a xy xy ay -+- （8）222332154810ac cx ax c +--（1）(1)(1)x y y =---原式(1)(1)y x =--；（2）()()()a x y b x y c x y =-+---原式()()x y a b c =-+-；（3）=()()()()a c d b d c a c d b c d 22222222-+-=---原式()()()a b c d c d =--+； （4）2(1)(1)(1)x a x a a =+++-+原式2(1)(1)a x x =++-； （5）22=(1)(1)(1)(1)x x x x x ++-++原式3(1)(1)x x x =++-； （6）原式()()()x x x 22+1-1+1=；（7）原式()()()()ax x ay y x ay ax y x ay =32-3+2-3=3+2-3； （8）222216(23)5(23)a c x c c x =---原式22(23)(165)c x a c =--．因式分解：（1）x xy y 22-4+4-1（2）x y y 229--4-4（3）x x y y 22--9-3（4）()()()()a b a c c d b d 2222+++-+-+（5）n n m x x y 2411+-+94（1）=原式()x y 2-2-1()()x y x y =-2+1-2-1；（2）原式()()x y x y =3++23--2；（3）原式()()()()()()()x y x y x y x y x y x y x y 22=-9-+3=+3-3-+3=+3-3-1； （4）原式()()()()()()a d a b d a d a c d a d a b c d =-+2++-+2+=2-+++； （5）n m x y 2411⎛⎫=+- ⎪29⎝⎭原式n m n m x y x y 221111⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪2323⎝⎭⎝⎭()()n m n m x y x y 221=6+3+26+3-236． 模块一 分组分解法因式分解：（1）()()ax y b by bx a y 3322+++（2）()()x x z y y z +-+ （3）()()x x x -1-2-6（1）=axy axb b x y a by 332222+++原式()()ay xy ab b x xy ab 22=+++()()xy ab ay b x 22=++；（2）x xz y yz 22=+--原式()()()()()x y x y z x y x y x y z =+-+-=-++； （3）x x x 32=-3+2-6原式()()()()x x x x x 222=+2-3+2=-3+2．因式分解：（1）x x 2-5+6（2）x x 2-+12-（3）x x 2-++2 （4）x x 24-3-（5）x x 23-8-3；（6）x x 2-12+11+15.（1）原式()()x x =-2-3； （2）原式()()x x -+4-3=； （3）原式()()x x =-+1-2； （4）原式()()x x =--1-3； （5）原式()()x x =3+1-3；（6）原式()()x x =-4+33-5．因式分解：（1）x xy y 226-5-4（2）x xy y 2212-25+12 （3）()()x a b c x a b c 2+++++（4）()a b x ax a b 2-+2++（1）原式()()x y x y =2+3-4； （2）原式()()x y x y =3-44-3；（3）()()x a b c x a b c 2+++++()()x a b x c =+++； （4）()a b x ax a b 2-+2++()()x ax bx a b =+1-++．模块二 十字相乘法。

八年级下期数学培优学案（3）分解因式综合应用一、因式分解1.分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－82．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－123．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y=．二、判断三角形的形状 2232．△ABC 的三边为a ，b ，c 且满足条件：a c ﹣b c =a ﹣b ，试判断三角形的形状．3.已知a ，b ，c 是三角形的三边，且满足（a+b+c ）2=3（a 2+b 2+c 2），试确定三角形的形状．4.已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足a b c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

5．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，且满足a 2+2b 2+c 2﹣2b （a+c ）=0，试判断此三角形的形状．6. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足x y x xy y --+-+=22220，求长方形的面积。

7.已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+三、求值问题 223．计算：若x +x ﹣1=0，求代数式x +2x ﹣7的值． 4. 计算：20002000⨯5. 化简：111121995+++++++x x x x x x x ()()()…，且当x =0时，求原式的值6、设a ＝21m ＋1,b ＝21m ＋2,c ＝21m ＋3,求代数式a 2＋2ab ＋b 2－2ac －2bc ＋c 2的值．7．已知：x 2+xy+y=14，y 2+xy+x=28，求x+y 的值．8.若x 3+3x 2﹣3x+k 有一个因式是x+1，则k= _________ ．9.若x 2+2xy+y 2﹣a （x+y ）+25是完全平方式，则a= _________ ．10.已知多项式2x 2+3xy ﹣2y 2﹣x+8y ﹣6可以分解为（x+2y+m ）（2x ﹣y+n ）的形式，那么的值是 ．。