2012高考数学(理)二轮备考试题：第二部分第一讲考前优化训练

考前优化训练1．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：∵f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，∴此二次函数图象的对称轴为x ＝a .(1)当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ，解得a ≥－3，即－3≤a <－1.(2)当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2－a 2≥a ，解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围为[－3,1]． 2.如图所示，已知圆O ：x 2＋y 2＝4，直线m ：kx －y ＋1＝0.(1)求证：直线m 与圆O 有两个相异交点；(2)设直线m 与圆O 的两个交点为A 、B ，求△AOB 面积S 的最大值．解：(1)证明：直线m ：kx －y ＋1＝0可化为y －1＝kx ，故该直线恒过点(0,1)，而(0,1)在圆O ：x 2＋y 2＝4内部，所以直线m 与圆O 恒有两个不同交点．(2)圆心O 到直线m 的距离为d ＝11＋k 2，而圆O 的半径r ＝2， 故弦AB 的长为|AB |＝2r 2－d 2＝24－d 2，故△AOB 面积S ＝12|AB |×d ＝12×24－d 2×d ＝4d 2－d 4＝－(d 2－2)2＋4.而d 2＝11＋k 2，因为1＋k 2≥1，所以d 2＝11＋k 2∈(0,1]， 显然当d 2∈(0,1]时，S 单调递增，所以当d 2＝1，即k ＝0时，S 取得最大值3，此时直线m 的方程为y －1＝0.3.四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示．(1)在四棱锥中，E 为线段PD 的中点，求证：PB ∥平面AEC ；(2)在四棱锥中，F 为线段P A 上的点，且PF F A＝λ，则λ为何值时，P A ⊥平面DBF ？并求此时几何体F －BDC 的体积．解：(1)证明：四棱锥P －ABCD 的直观图如图所示．连接AC 、BD ，设交点为O ，连接OE ，∵OE 为△DPB 的中位线，∴OE ∥PB.∵EO ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ，∴PB ∥平面AEC .(2)过O 作OF ⊥P A ，垂足为F .在Rt △POA 中，PO ＝1，AO ＝3，P A ＝2，∵PO 2＝PF ·P A,1＝2PF ，∴PF ＝12，F A ＝32，λ＝PF F A ＝13. 又∵P A ⊥BD ，∴P A ⊥平面BDF .当PF F A ＝13时，在△P AO 中，过F 作FH ∥PO ， 则FH ⊥平面BCD ，FH ＝34PO ＝34. S △BCD ＝12×2×3＝ 3. ∴V ＝13S △BCD ·FH ＝13×3×34＝34. 4．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6，使得m []f (x )＋3＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos(x ＋π3)－23cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－3⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－ 3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－ 3. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴－2－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－3≤2－3，T ＝2π2＝π. 即f (x )的值域为[]－2－3，2－3，最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3， 故sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤32，1， 此时f (x )＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[]3，2.由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m， ∴3≤－2m ≤2，即⎩⎨⎧2m ＋3≤02m ＋2≥0， 解得－233≤m ≤－1. 即实数m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，－1. 5．某网站对一商品进行促销，该商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)设商品降低x 元，则多卖的商品数为kx 2，若记商品在一个星期的销售利润为f (x )，则依题意有f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．由已知条件，24＝k ·22，于是有k ＝6，所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9072，x ∈[0,30]．(2)根据(1)，我们有f ′(x )＝－18x 2 ＋252x －432达到极大值因为f (0)＝9072，f (12)＝11664，所以定价为30－12＝18元时，能使一个星期的商品销售利润最大．6．设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点． (1)设椭圆C 上点(3，32)到两点F 1、F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，试探究k PM ·k PN 的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论．解：(1)由于点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1， 又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．(2)无关．证明如下：过原点的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，则点M 、N 关于坐标原点对称，设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )．因为M 、N 、P 在椭圆上，应满足椭圆方程， 即x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b2＝1， 所以k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝－b 2a 2，故k PM·k PN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．。

实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz???12的四个命题中，真命题为（）P1: |z|=2， P2: z2=2i， P3: z的共轭复数为1+i， P4: z的虚部为-1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P44. 设F1，F2是椭圆E: 12222??byax)0(??ba的左右焦点，P为直线23ax?上的一点，12PFF△是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为（）A.21B.32C.43D.545. 已知{a n}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（）A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输入A、B，则（）A. A+B为a1， a2，…，a N的和B.2BA?为a1， a2，…，a N的算术平均数C. A和B分别是a1， a2，…，a N中最大的数和最小的数D. A和B分别是a1， a2，…，a N中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18实用文档文案大全8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=34，则C的实轴长为（）A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0??，函数)4sin()(????xxf在),2(??单调递减，则?的取值范围是（）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xxxf???)1ln(1)(，则)(xfy?的图像大致为（）A. B. C. D.11. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62B. 63C. 32D. 2212. 设点P在曲线x ey21?上，点Q在曲线)2ln(xy?上，则||PQ的最小值为（）A. 2ln1?B.)2ln1(2? C. 2ln1? D. )2ln1(2?第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量a，b夹角为45o，且1?||a，102??||ba，则?||b .14. 设x，y满足约束条件??????????????0031yxyxyx，则2zxy??的取值范围为. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 1 1y xo 1 1y x o 1 1y x o 1 1y x o实用文档文案大全正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a满足12)1(1?????naa nnn，则}{n a的前60项和为 .三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，0sin3cos????cbCaCa.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n ∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC??，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. （Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C pyx22?)0(?p 的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （Ⅰ）若∠BFD=90o，△ABD面积为24，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.元件1元件2元件3C BADC1A1 B1实用文档文案大全21. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2x fxfefxx?????. （Ⅰ）求)(xf的解析式及单调区间；（Ⅱ）若baxxxf???221)(，求ba)1(?的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF // AB，证明：（Ⅰ）CD = BC；（Ⅱ）△BCD∽△GBD.23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxy???????（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(?.（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f (x) = |x + a| + |x-2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围.FGDEABC．实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共2510C?种选法. 2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224CC种安排方案. 3．【答案：C】解析：经计算2221,||2(1)21zizziii??????????? =，，复数z的共轭复数为1i??，z的虚部为1?，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，21FPF△是底角为30o的等腰三角形可得212PFFF?，即32()22acc??，所以34cea??. 5．【答案：D】解析：472∵aa??，56478aaaa???，4742aa????，或4724aa???，，14710∵，，，aaaa 成等比数列，1107aa????.6．【答案：C】解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2，…，a N中最大的数，由x<B得B应为a1，a2，…，a N中最小的数. 7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V??????. 8．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A(43)?在222xya??上，将点A代入得24a?，所以实轴长为24a?.9．【答案：A】解析：由322,22442kkk??????????????????Z得，1542,24kkk??????Z，15024∵，∴?????.10．【答案：B】实用文档文案大全解析：易知ln(1)0yxx????对(1,0)(0,)x????U恒成立，当且仅当0x?时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A】解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABC V?????，226SABCOABC VV????. 12．【答案：B】解析：因为12x ye?与ln(2)yx?互为反函数，所以曲线12x ye?与曲线ln(2)yx?关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则11()122xx yee?????，2x e??，即ln2x?，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，切点A点到直线y=x距离为|ln21|1ln222d????，所以||22(1ln2)PQ d???. 二、填空题：13．【答案：32】解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||ababaabbaabb???????????o rrrrrr rrrrrr2422||||10bb????rr，解得||32b?r.14．【答案：[3,3]?】解析：画出可行域，易知当直线2Zxy??经过点(1,2)时，Z取最小值-3；当直线2Zxy??经过点(3,0)时，Z取最大值3. 故2Zxy??的取值范围为[3,3]?.15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228????. 16．【答案：1830】解析：由1(1)21nnn aan?????得2212124341①②kkkk aakaak?????????????LL，由②?①得,21212kk aa????③由①得, 2143656059()()()()奇偶SSaaaaaaaa??????????L(1117)3015911717702?????????L.由③得, 3175119()()()奇Saaaaaa???????AB C O实用文档文案大全5957()21530aa?????L，所以60()217702301830奇奇奇偶偶SSSSSS?????????.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos3sin0aCaCbc????及正弦定理可得sincos3sinsinACAC?sinsin0BC???，sincos3sinsinsin()sin0ACACACC?????，3sinsincossinACAC?sin0C??，sin0C?Q，3sincos10AA????，2sin()106A?????，1sin()62A???，0A???Q，5666A????????，66A?????，3A???.（Ⅱ）3ABC S?V Q，13sin324bcAbc???，4bc??，2,3aA???Q，222222cos4abcbcAbcbc????????，228bc???，解得2bc??.18．解析：（Ⅰ）当n≥16时，y=16×(10-5)=80，当n≤15时，y=5n-5×(16-n)=10n-80，得1080,(15)()80,(16)nnynNn????????. （Ⅱ）（ⅰ）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分布列为：X60 70 80 P0.10.20.7X的数学期望E(X) =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差D(X) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为X55 65 75 85 P0.10.20.160.54X的数学期望E(X) =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4?76，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ）证明：设112ACBCAAa???，直三棱柱111CBAABC?，2DCDa???，12CCa?，22211DCDC CC???，1DCDC??.又1DCBD?Q，1DCDCD?I，1DC??平面BDC. BC?Q平面BDC，1DCBC??. （Ⅱ）由 (Ⅰ)知，12DCa?，15BCa?，又已知BDDC?1，3BDa??. 在RtABD△中，3BDa?，,90ADaDAB???o，2ABa??. 222ACBCAB???，C BADAB1实用文档文案大全ACBC??.法一：取11AB的中点E，则易证1CE?平面1BDA，连结DE，则1CE?BD，已知BDDC?1，BD??平面1DCE，BD??DE，1CDE??是二面角11CBDA??平面角. 在1RtCDE△中，111221sin22CEaCDECDa????，130CDE???. 即二面角11CBDA??的大小为30.法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,1CC为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz?.则????????11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2AaaBaDaaCa.??,,DBaaa???uuur，??1,0,DCaa??uuur,设平面1DBC的法向量为1111(,,)nxyz?r，则11111100nDBaxayaznDCaxaz????????????????uuurruuurr，不妨令11x?，得112,1yz??，故可取1(1,2,1)n?r.同理,可求得平面1DBA的一个法向量2(1,1,0)n?r. 设1nr与2nr的夹角为?，则121233cos||||262nnnn???????rrrr, 30???. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11CBDA??的大小为30.20．解析：（Ⅰ）由对称性可知，BFD△为等腰直角三角形，斜边上的高为p，斜边长2BDp?. 点A到准线l的距离2dFBFDp???. 由42ABD S?△得，11224222BDdpp??????，2p??. 圆F的方程为22(1)8xy???. （Ⅱ）由对称性，不妨设点(,)AA Axy在第一象限，由已知得线段AB是圆F的在直径，90o ADB??，2BDp??，32A yp??，代入抛物线:C pyx22?得3A xp?.直线m的斜率为333AF pkp??.直线m的方程为332pxy???. 由pyx22?得22xyp?,xyp??. 由33xyp???得, 33xp?.故直线n与抛物线C的切点坐标为3(,)36pp，直线n的方程为3306pxy???.所以坐标原点到m，n的距离的比值为333412：pp?.实用文档文案大全21．解析：（Ⅰ）1()(1)(0)x fxfefx??????，令x=1得，f (x)=1，再由0x?得(1)fe??. 所以)(xf的解析式为121()(1)(0)2x fxfefxx?????，令21()2x fxexx???，∴()1x fxex????，易知()1x fxex????是R上的增函数，且(0)0f??.所以()00fxx????，()00fxx????，所以函数)(xf的增区间为(0,)??，减区间为(,0)??.（Ⅱ）若baxxxf???221)(恒成立，即21()()(1)02x hxfxxaxbeaxb?????????恒成立，()(1)x hxea????Q.(1)当10a??时，()0hx??恒成立，()hx为R上的增函数，且当x???时，()hx???，不合题意；(2)当10a??时，()0hx?恒成立，则0b?，(1)0ab??；(3)当10a??时，()(1)x hxea????为增函数，由()0hx??得ln(1)xa??，故()0ln(1)fxxa?????，()0ln(1)fxxa?????，当ln(1)xa??时，()hx取最小值(ln(1))1(1)ln(1)haaaab???????. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0haaaab????????，即1(1)ln(1)baaa?????，10a??Q，22(1)(1)(1)ln(1)abaaa???????，令22()ln0uxxxxx??? ()，则()22ln(12ln)uxxxxxxx??????，()00,()0uxxeux???????xe??，所以当xe?时，()ux取最大值()2eue?. 故当1,2eaeb???时，(1)ab?取最大值2e. 综上，若baxxxf???221)(，则ba)1(?的最大值为2e.22．解析：（Ⅰ）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC. ∵CF//AB，DF//BC，∴CF//BD且CF=BD，∵又D为AB的中点，∴CF//AD且CF=AD，∴CD=AF. ∵CF//AB，∴BC=AF，∴CD=BC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC//GF，∴GB=CF=BD，∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC，∴△BCD∽△GBD.23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636????. 所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)?、(1,3)??、(3,1)?. （Ⅱ）设??2cos,3sin P??，则222222||||||||(12cos)(33sin)PAPBPCPD?????????222222(32cos)(13sin)(12cos)(33sin)(32cos)(13sin)??????????????????????FGDEABC．实用文档文案大全??22216cos36sin163220sin32,52?????????.所以2222||||||||PDPCPBPA???的取值范围为??32,52.24．解析：（Ⅰ）当3a??时，不等式3)(?xf?|3||2|3xx????????2323xxx????????????或????23323xxx????????????或????3323xxx???????????或4x?. 所以当3a??时，不等式3)(?xf的解集为?1xx?或?4x?.（Ⅱ）()|4|fxx??的解集包含]2,1[，即|||2||4|xaxx?????对??1,2x?恒成立，即||2xa??对??1,2x?恒成立，即22axa?????对??1,2x?恒成立，所以2122aa????????，即30a???. 故a的取值范围为??3,0?.。

一、选择题1．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.833 B ．4 3 C.29 3 D ．43或833 解析：选D.分侧面展开图矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况．2．若函数f (x )＝ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，34]B ．(0，34)C ．[0，34]D ．[0，34解析：选C.∵函数f (x )＝ax 2＋4ax ＋3的定义域为R ，∴ax 2＋4ax ＋3≥0对x ∈R 恒成立，当a ＝0时有3≥0对x ∈R 恒成立，符合题意；当a ≠0时，要使ax 2＋4ax ＋3≥0对x ∈R 恒成立，必须a >0且Δ＝16a 2－12a ≤0，解得34≥a >0.综上a ∈[0，34]，故选C. 3．(2011年高考湖北卷)若定义在R 上的偶函数f ()x 和奇函数g ()x 满足f ()x ＋g ()x ＝e x ，则g ()x ＝( )A ．e x －e －x B.12()e x ＋e －x C.12()e －x －e x D.12()e x －e －x 解析：选D.∵f ()x 为偶函数，g ()x 为奇函数，∴f ()－x ＝f ()x ，g ()－x ＝－g ()x .∴f ()－x ＋g ()－x ＝f ()x －g ()x ＝e －x .又∵f ()x ＋g ()x ＝e x ，∴g ()x ＝e x －e －x2. 4．已知圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的面积为S ，平面区域D ：2x ＋y ≤4与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2]C ．(－∞，－1)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪(1,2]解析：选C.依题意并结合图形分析可知，圆面C ：(x －a )2＋y 2≤a 2－1的圆心(a,0)应在不等式2x ＋y ≤4表示的平面区域内，即有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>02a ＋0<4，由此解得a <－1，或1<a <2.因此，实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1,2)，故选C.5．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个解析：选A.如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lg x |的图象共有10个交点．二、填空题6．(2011年高考江西卷)对于x ∈R ，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________． 解析：当x ≥2时，不等式化为x ＋10－x ＋2≥8，即12≥8，成立．当x ≤－10时，不等式化为－x －10＋x －2≥8，即－12≥8，不成立．当－10＜x ＜2时，不等式化为x ＋10＋x －2≥8，即x ≥0，所以0≤x ＜2.综上，得原不等式的解集为{x |x ≥0}．答案：[0，＋∞)7．若关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，则实数m 的值为__________．解析：∵关于x 的不等式m (x －1)>x 2－x 的解集为{x |1<x <2}，方程m (x －1)＝x 2－x 即x2－(m ＋1)x ＋m ＝0的两根为1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝3m ＝1×2，解得m ＝2. 答案：28．(2011年高考浙江卷)设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．解析：设2x ＋y ＝t ，∴y ＝t －2x ，代入4x 2＋y 2＋xy ＝1，整理得6x 2－3tx ＋t 2－1＝0.关于x 的方程有根，因此Δ＝(－3t )2－4×6×(t 2－1)≥0，解得－2105≤t ≤2105.则2x ＋y 的最大值是2105. 答案：2105三、解答题9．(2011年高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }唯一，求a 的值．解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)． 由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13. 10．设函数f (x )＝x 3＋3bx 2＋3cx 有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－1,0]，x 2∈[1,2]．(1)求b 、c 满足的约束条件；(2)证明：－10≤f (x 2)≤－12. 解：(1)f ′(x )＝3x 2＋6bx ＋3c .依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－1,0]，x 2∈[1,2]．等价于f ′(－1)≥0，f ′(0)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ c ≥2b －1c ≤0c ≤－2b －1c ≥－4b －4. (2)证明：由题设知f ′(x 2)＝3x 22＋6bx 2＋3c ＝0，故bx 2＝－1222－12c ，于是f (x 2)＝x 32＋3bx 22＋3cx 2＝－12x 32＋3c 2x 2. 由于x 2∈[1,2]，而由(1)知c ≤0， 故－4＋3c ≤f (x 2)≤－12＋32c . 又由(1)知c ∈[－2,0]，所以－10≤f (x 2)≤－12. 11．已知点M 、N 分别在直线y ＝mx 和y ＝－mx (m >0)上运动，点P 是线段MN 的中点，且|MN |＝2，动点P 的轨迹是曲线C .(1)求曲线C 的方程，并讨论C 所表示的曲线类型；(2)当m ＝22时，过点A ⎝⎛⎭⎫－263，0的直线l 与曲线C 恰有一个公共点，求直线l 的斜率． 解：(1)设P (x ，y )，M (x 1，mx 1)，N (x 2，－mx 2)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2x ，mx 1－mx 2＝2y ，(x 1－x 2)2＋(mx 1＋mx 2)2＝22， 消去x 1，x 2，整理得x 21m 2＋y 2m2＝1. 当m >1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当0<m <1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；当m ＝1时，方程表示圆．(2)当m ＝22时，方程为x 22＋y 212＝1， 设直线l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋263， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 212＝1，y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋263， 消去y 得(1＋4k 2)x 2＋1663k 2x ＋32k 23－2＝0. 根据已知可得Δ＝0，故有⎝⎛⎭⎫1663k 22－4(1＋4k 2)⎝⎛⎭⎫32k 23－2＝0， ∴k 2＝34∴直线l 的斜率为k ＝±32.。

考前优化训练1．若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为__________． 解析：要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)＞0＝log 121， ∴0＜2x ＋1＜1，∴－12＜x ＜0. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，0 2．(2011年高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan 2α＝__________. 解析：∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255. ∴tan α＝sin αcos α＝－12， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－11－14＝－43. 答案：－433．(2011年高考浙江卷)若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，则实数m ＝________.解析：∵直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0互相垂直，∴12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1，∴m ＝1. 答案：14.若一个圆锥的正视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积为________．解析：由正视图知该圆锥的底面半径r ＝1，母线长l ＝3，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×3＝3π.答案：3π5．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立． 答案：96.⎝⎛⎭⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示) 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r ⎝⎛⎭⎫－13x r ＝()－1r ⎝⎛⎭⎫13r C r 18x 18－3r 2. 令18－3r 2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为()－12⎝⎛⎭⎫132C 218＝17.答案：177．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：由题意知S ＝|α||β|si n θ＝12≤sin θ，∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π68．(2011年高考课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534. 答案：15349．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝6，BC ＝23，则棱锥O -ABCD 的体积为__________．解析：依题意棱锥O -ABCD 的四条侧棱长相等且均为球O 的半径，如图连接AC ，取AC 中点O ′，连接OO ′.易知AC ＝AB 2＋BC 2＝43，故AO ′＝23，在Rt △OAO ′中，OA ＝4，从而OO ′＝42－12＝2.所以V O -ABCD ＝13×2×6×23＝8 3. 答案：8 310．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么|F A →|＋|FB →|＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5.因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以|F A →|＋|FB →|＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7.答案：711．(2011年高考天津卷)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，则集合A ∩B ＝________ 解析：|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3；当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立；当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5.综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}．又∵x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)， ∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5}12．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ＋y ≤9，6≤x －y ≤9，则z ＝x ＋2y 的最小值为__________． 解析：作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．易知直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z 有最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝9，2x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－5. 所以z min ＝4＋2×()－5＝－6.答案：－613．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －a )·f ′(x )≥0，则f (x )与f (a )的大小关系是__________．解析：由(x －a )·f ′(x )≥0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，f ′(x )≤0.即函数f (x )在[a ，＋∞)上为增函数，在(－∞，a ]上为减函数．∴函数f (x )在x ＝a 时取得最小值，即对任意x 恒有f (x )≥f (a )成立．答案：f (x )≥f (a )14．椭圆x 29＋y 24＝1的焦点为F 1、F 2，点P 为椭圆上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是__________．解析：设P (x ，y )，则当∠F 1PF 2＝90°时，点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝5，由此可得点P 的横坐标x ＝±35，又当点P 在x 轴上时，∠F 1PF 2＝0；点P 在y 轴上时，∠F 1PF 2为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是－35<x <35答案：－35<x <3515．函数f (x )＝2sin (x ＋π4)＋2x 2＋x 2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__________. 解析：根据分子和分母同次的特点，将分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x 2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，∴M ＋m ＝2.答案：216．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：设回归直线方程y ^＝a ^＋b x ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ＝y －b ^x ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：185。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理科数学(全国二卷）一、选择题1、 复数131i i-++= A 2+i B 2-i C 1+2i D 1- 2i2、已知集合A ＝}，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列1n a 1+n a 的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a CB =→,b CA=→,a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则=→AD (A)b a 31-31（B ）b a 32-32 (C)b a 53-53 (D)b a 54-54（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) （B ） （8）已知F 1、F 2为双曲线C ：2-x 22=y 的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x(10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012高考数学试卷优化重组二1、集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N = （ ）A ．(1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]2、设i 为虚数单位，则复数34i i+=（ ） A ．43i -- B ．43i -+ C ．43i + D ．43i -3、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A ．1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x =D. ||y x x = 4、 设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2π；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2x π=对称.则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真 B. q ⌝为假 C. p q ∧为假 D.p q ∨为真5、设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图像可能是（ ）6、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ）A7、设函数2()ln f x x x =+ 则（ ） A ．12x =为()f x 的极大值点 B. 12x =为()f x 的极小值点 C. 2x =为 ()f x 的极大值点 D. 2x =为()f x 的极小值点8、若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A.245 B. 285C. 5D. 6 9、设a ，b 是两个非零向量，（ ） A. 若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥b B. 若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C. 若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD. 若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |10、设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）A ．3[,6]2- B. 3[,1]2-- C. [1,6]- D. 3[6,]2- 11、设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（ ）AB. 12C. 0D. -1 12、当102x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，22) B. (22，1) C. (1，2) D. (2，2) 13、设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，()1f x x =+，则3()2f =_______ 14、在三角形ABC中，角A,B,C 所对应的长分别为,,a b c 若2a =，B =6π，c =，则b =15、已知等比数列{}n a 为递增数列.若10a >,且212()5n n n a a a +++=,则数列{}n a 的公比q=16、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=43，则C 的实轴长为17、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、 选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

4.执行如图所示的程序框图，输出S值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。