2016年春季新版浙教版九年级数学下学期2.3、三角形的内切圆教案3
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九年级数学下册《三角形的内切圆》教案、教学设计
（三）学生小组讨论
1.教学内容：学生通过小组讨论，探究三角形内切圆的性质，并尝试证明。
2.教学方法：采用小组合作学习法、探究式教学法。
3.教学步骤：
（1）教师将学生分成若干小组，每组学生通过画图、测量、计算等手段，探究三角形内切圆的性质。
（2）学生讨论如何证明三角形内切圆的性质，如内切圆的半径与三角形的面积、半周长之间的关系。
（3）教师布置课后作业，要求学生巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何解题能力和数学素养，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第123页练习题第1、2、3题，要求学生独立完成，强化对三角形内切圆性质的理解。
（2）利用内切圆的性质，求解以下三角形内切圆的半径：①等边三角形；②等腰直角三角形；③一般三角形。
4.创新题：
（1）请学生尝试自己设计一道与三角形内切圆相关的题目，要求具有创新性和挑战性。
（2）将设计的题目与同学分享，互相解答，提高解题能力。
作业要求：
1.学生要认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.遇到问题要主动思考，积极寻求解决方法，可向同学或老师请教。
3.小组合作题要充分发挥团队合作精神，共同解决问题。
（3）讲解：教师对三角形内切圆的性质进行总结和讲解，强调内切圆与三角形之间的关系，引导学生理解并掌握求解内切圆半径的方法。
（4）巩固：设计有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识，提高解题能力。
（5）拓展：引导学生将内切圆知识应用于解决实际问题，如求内切圆的周长、面积等，培养学生的数学应用意识。
（3）思考并证明：三角形内切圆的半径等于其半周长与面积之比。
2.选做题：
1.教学内容：学生通过小组讨论，探究三角形内切圆的性质，并尝试证明。
2.教学方法：采用小组合作学习法、探究式教学法。
3.教学步骤：
（1）教师将学生分成若干小组，每组学生通过画图、测量、计算等手段，探究三角形内切圆的性质。
（2）学生讨论如何证明三角形内切圆的性质，如内切圆的半径与三角形的面积、半周长之间的关系。
（3）教师布置课后作业，要求学生巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固本节课所学知识，培养学生的几何解题能力和数学素养，特布置以下作业：
1.必做题：
（1）完成课本第123页练习题第1、2、3题，要求学生独立完成，强化对三角形内切圆性质的理解。
（2）利用内切圆的性质，求解以下三角形内切圆的半径：①等边三角形；②等腰直角三角形；③一般三角形。
4.创新题：
（1）请学生尝试自己设计一道与三角形内切圆相关的题目，要求具有创新性和挑战性。
（2）将设计的题目与同学分享，互相解答，提高解题能力。
作业要求：
1.学生要认真完成作业，注意书写规范，保持卷面整洁。
2.遇到问题要主动思考，积极寻求解决方法，可向同学或老师请教。
3.小组合作题要充分发挥团队合作精神，共同解决问题。
（3）讲解：教师对三角形内切圆的性质进行总结和讲解，强调内切圆与三角形之间的关系，引导学生理解并掌握求解内切圆半径的方法。
（4）巩固：设计有针对性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识，提高解题能力。
（5）拓展：引导学生将内切圆知识应用于解决实际问题，如求内切圆的周长、面积等，培养学生的数学应用意识。
（3）思考并证明：三角形内切圆的半径等于其半周长与面积之比。
2.选做题：
2016年春季新版浙教版九年级数学下学期2.3、三角形的内切圆课件11
公 共 点 个 数
没有公共点 （相离） 一个公共点 （相切） 两个公共点 （相交）
外离
内含
外切 内切
从公共点个数看 两圆位置关系
• d：圆心距 • R、r：两圆半径（R>r）
内含
两圆位置关系的 数量特征
相交 R＋r 外切
外离
R－r 内切
A
B P
A
B P
如果两圆相切，那么切点在连心线上。
相切两圆的性质
圆和圆的 位置关系
热身训练 1、已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心 距是2，那么另一个圆的半径是( )
A.1 B.5 C.2或3 D.1或5
2.已知两圆的半径分别为3 cm和4 cm，两 个圆的圆心距为10 cm，则两圆的位置关系 是( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
3.两圆的半径比是5∶3，两圆外切时，圆心 距是16，如果两圆为内含时，它们的圆心距 d是( ) A.d＝4 B.4＜d＜20 C.d＞4 D.0＜d＜4 4.设⊙O1和⊙O2的半径分别是R和r，圆心 距O1O2=5，且R、r是方程X² -7x+10=0的 两根，则⊙O1和⊙O2的位置关系是( ) A.内切 B.外切 C.相交 D.外离
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O
I
B
C
B C
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： B 直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法 c O a+b-c c
R= — 2
r = ————
2
a
等边三角形外接圆、 内切圆半径的求法
A
I
A b C
基本思路： 构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
最佳教案教学设计九年级数学《三角形的内切圆》
九年级数学教学设计如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎么画？解决问题作圆，使它和已知三角形的各边都相切。
引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻求作法。
提出以下几个问题进行讨论：（1）作圆的关键是什么？（2）假设☉I是所求作的圆，☉I和三角形三边都相切，☉I应满足什么条件？（3）这样的点I应该在什么位置？（4）☉I确定后半径如何找？A层学生自己使用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师的指导下完成。
完成题目后，启发学生得出以下结论：和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作一个。
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、类比：3、概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形。
4、概念理解：引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念，并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较，以加深对这四个概念的理解.使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义．“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系：三角形的顶点都在圆上，叫做“接”；三角形的边都与圆相切叫做“切”。
求证：DE=DB分析：从条件想，E是内心，则E在∠A的平分线上，同时也在△ABC 的平分线上，考虑连结BE，得出∠3=∠4。
从结论想，要证DE=DB,只要证明BDE为等腰三角形，同样考虑到连结BE.于是得到下述法.证明：连结BE.E是△ABC 的内心，得∠3=∠4又因为∠1=∠2所以∠1+∠3=∠4+∠5所以∠BED=∠EBD所以DE=DB。
浙教版初中九年级下册数学精品教学课件 第2章 直线与圆的位置关系 2.3 三角形的内切圆
③定半径：以点到（或或）的距离为半径.
④作圆：以定点为圆心，定长为半径，
旋转一周作圆.⊙ 即为△ 的内切圆.
图示
新知探究
典例1如图，点是△ 的内切圆的圆心，
∠ = 40∘ ，则∠的度数为()
C
A.80∘ B.100∘ C.130∘ D.140∘
[解析]∵点是△ 的内切圆的圆心，
注意
一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只
有一个内切圆.
新知探究
2.三角形内心的性质
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
新知探究
名称
形成
辨析
三角形外心、内心的区别
三角形的外心
三角形的内心
三角形的外接圆圆心，即三角形
三角形的内切圆圆心，即三角形三
三边垂直平分线的交点.
∴ ，，分别平分∠，∠，∠，
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 40∘ = 80∘ ，
∠ =
1
∠，∠
2
∴ ∠ =
180∘
=
1
∠，
2
− ∠ + ∠ =
∠ሻ = 180∘ −
1
2
180∘
− ∠ =
180∘
180∘
1
新知探究
拓展
三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条
高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心.
新知探究
3.三角形内切圆的作法
作三角形内切圆的步骤
①作三角形任意两个内角的平分线:
如右图，作∠，∠的平分线1 ，2 .
②定圆心：以1 ，2 的交点为圆心.
④作圆：以定点为圆心，定长为半径，
旋转一周作圆.⊙ 即为△ 的内切圆.
图示
新知探究
典例1如图，点是△ 的内切圆的圆心，
∠ = 40∘ ，则∠的度数为()
C
A.80∘ B.100∘ C.130∘ D.140∘
[解析]∵点是△ 的内切圆的圆心，
注意
一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只
有一个内切圆.
新知探究
2.三角形内心的性质
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
新知探究
名称
形成
辨析
三角形外心、内心的区别
三角形的外心
三角形的内心
三角形的外接圆圆心，即三角形
三角形的内切圆圆心，即三角形三
三边垂直平分线的交点.
∴ ，，分别平分∠，∠，∠，
∴ ∠ = 2∠ = 2 × 40∘ = 80∘ ，
∠ =
1
∠，∠
2
∴ ∠ =
180∘
=
1
∠，
2
− ∠ + ∠ =
∠ሻ = 180∘ −
1
2
180∘
− ∠ =
180∘
180∘
1
新知探究
拓展
三角形的四心：外心、内心、重心（三角形三边中线的交点）、垂心（三角形三条
高的交点）.当三角形是等边三角形时，这四心合一，称为等边三角形的中心.
新知探究
3.三角形内切圆的作法
作三角形内切圆的步骤
①作三角形任意两个内角的平分线:
如右图，作∠，∠的平分线1 ，2 .
②定圆心：以1 ，2 的交点为圆心.
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计2
浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》教学设计2一. 教材分析浙教版数学九年级下册2.3《三角形的内切圆》是三角形内切圆相关知识的学习，是对三角形内心的深入研究。
本节内容通过探究三角形的内切圆的性质，让学生理解三角形的内心与内切圆的关系，掌握三角形的内切圆圆心、半径的求法，提高学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了三角形的内心的性质，对三角形内心的概念、性质和判定有一定的了解。
但学生对三角形内切圆的理解可能还存在一定的困难，需要通过实例分析、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生理解三角形的内切圆的概念，掌握三角形的内切圆圆心、半径的求法。
2.培养学生的几何思维能力，提高学生解决几何问题的能力。
3.培养学生合作学习的习惯，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.三角形内切圆的概念及其性质。
2.三角形的内切圆圆心、半径的求法。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体的三角形例子，让学生观察、分析，理解三角形的内切圆的性质。
2.小组讨论法：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。
3.引导发现法：教师引导学生发现三角形内切圆的性质，培养学生的几何思维能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示三角形内切圆的性质和实例。
2.教学素材：准备一些具体的三角形例子，用于讲解和分析。
3.学生活动材料：准备一些练习题，让学生进行实践操作和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形内心的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示三角形内切圆的性质和实例，让学生观察、分析，理解三角形的内切圆的概念。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组讨论，让学生分享学习心得，互相解答疑问。
教师引导学生发现三角形内切圆的性质，培养学生的几何思维能力。
4.巩固（10分钟）教师发放练习题，让学生进行实践操作，巩固所学知识。
浙教版九年级数学下册课件 2.3 三角形的内切圆
2 如图，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则 ∠AOB＝( ) A．140° B．135° C．125° D．110°
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．
（来自《典中点》）
知2－练
3 下列说法错误的是( ) A．三角形有且只有一个内切圆 B．等腰三角形的内心一定在它的底边的高上 C．三角形的内心不一定都在三角形的内部 D．若I是△ABC的内心，则AI平分∠BAC
（来自《典中点》）
总结
知2－讲
因为三角形的内心是三角形三条角平分线的交 点，所以三角形的内心与任一顶点的连线平分三角 形的内角．
（来自《点拨》）
13 三角形内切圆的圆心是( ) A．三个内角平分线的交点 B．三边中垂线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高线的交点
知2－练
（来自《典中点》）
知2－练
知1－讲
见切点，连半径，结合等腰三角形、等边三角形的 性质求出半径长.
（来自《点拨》）
知1－讲
例2 已知:如图, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D， E，F.设△ABC的周长为l，求证: AE+BC= 1 l. 2
证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，E,F为切点，
∴AE=AF(根据什么？).
A
同理，BD=BF，CD=CE.
理解三角形内切圆的概念要注意以下三点： ①与各边相切； ②在三角形内部； ③圆心叫做三角形的内心．
知1－讲
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3 cm，求△ABC
的内切圆⊙O的半径.
解：如图,设⊙O切AB于点D，连结OA，OB，OD.
∵ ⊙O是△ABC的内切圆，
∴AO,BO 是∠BAC, ∠ABC，
（来自《典中点》）
1. 三角形的内切圆中“切”是指三角形的三边与圆的 位置关系．
九年级数学下册 2.3 三角形的内切圆课件3 (新版)浙教版
B
R= —c2
r = —a—+b—-c—
2
c
O a
I
A
C
b
第十二页，共30页。
例：
已知：点I是△ABC的内心(nèixīn)，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC
A
证明： 连结(lián jié)BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
（A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3 （C）1∶ 3∶2 （D）1∶2∶3
5、存在(cúnzài)内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）
（A）矩形(jǔxíng)（B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边 形
第十页，共30页。
巩固(gǒnggù)
练习： 1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角 三角形的内切圆，并说明(shuōmíng)三角形的内心是否 都在三角形内．
第六页，共30页。
2、如图，菱形ABCD中，周长(zhōu
chánɡ)为40，
∠ABC=120°，则内切圆的半径为（ ）
（A）32
3
（B）
2 3
5 2 （C）2
2 （D）52
腰长和中位线长相等(xiāngděng)。
圆的外切平行四边形有什么(shén me) 特点？
圆的外切平行四边形是菱形
第二十五页，共30页。
课堂练习：练习册69 2 （1）（2）
学生(xuésheng)归纳小结： 1、三角形内切圆的作法 2、三角形的内切圆，内心，圆外切三角形的概念。 3、利用三角形的内心的性质(xìngzhì)证解有关问 题。
浙教版九年级数学下册-2.3 三角形的内切圆-学案设计(无答案)
三角形的内切圆【学习目标】1．使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；2．应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；3．激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动。
【学习重难点】三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质。
【学习过程】一、知识回顾：1．确定圆的条件是什么？2．叙述角平线的性质与判定二、自主学习：1．李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。
下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。
A．B．C．2．上题中最大的圆与三角形之间是什么关系？你能对它们下些定义么？如下图：3．如下左图，若⊙O与∠ABC的两边相切，那么圆心O的位置有什么特点？4．如上右图，如果⊙O与△ABC的夹内角∠ABC的两边相切，且与夹内角∠ACB的两边也相切，那么此⊙O的圆心在什么位置？5．通过上面的探究说明一下：如何确定一个与三角形的三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？请画△ABC的内切圆，动手做一做~！你能做几个这样的圆？6．三角形的内心的性质：三角形的内心是，它到距离相等。
二、合作交流：1．到三角形三边距离相等的点是三角形的（）A．内心B．外心2．一个直角三角形的斜边的长为10cm，内切圆的半径为1cm，则三角形的周长是------------- 3．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB＝75°，点O是内心，求∠BOC的度数。
4．求等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比。
5．已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC．AC．AB 切于点D．E、F，求AF、BD和CE的长。
2.3三角形的内切圆-浙教版九年级数学下册教案
2.3 三角形的内切圆-浙教版九年级数学下册教案
一、学习目标
1.掌握三角形的内切圆的定义；
2.了解三角形内切圆的性质；
3.能够根据内切圆的性质，解决相关的几何问题。
二、学习重点
1.三角形内切圆的定义；
2.三角形内切圆的性质。
三、学习难点
1.应用内切圆的性质解决问题。
四、课前准备
1.复习三角形的基本性质；
2.学习圆的基本知识。
五、教学过程
1. 导入
引导学生回顾三角形的基本性质，复习圆的基本知识，为学习三角形内切圆做好准备。
2. 讲解
1.三角形内切圆的定义
内切圆是指与三角形各边相切的圆，三角形内切圆的圆心称为内心，半径称为内切圆半径。
2.三角形内切圆的性质
•内切圆与三角形的三条边相切；
•内切圆的圆心是三角形角平分线的交点；
•内切圆的半径等于三角形面积除以半周长。
3.解决几何问题
基于内切圆的性质，可以解决与三角形的各边、角、面积等相关的几何问题。
3. 练习
练习学生对三角形内切圆的掌握情况，引导学生应用内切圆的相关性质，解决几何问题。
4. 总结
回顾本节课所学的知识点，巩固学生的学习成果。
六、作业
1.完成课堂练习；
2.整理笔记，复习本节课所学的知识点。
七、教学反思
本节课按照“导入-讲解-练习-总结”的教学流程展开，通过场景实际的案例和练习，提高了学生对内切圆的理解和应用能力。
下一步，可以采用探究式教学方法，引导学生在互动中深入理解内切圆的性质。
2.3三角形的内切圆 课件 浙教版数学九年级下册
例1 如图,等边三角形ABC的边长为3cm,求△ABC的内切圆 ⊙O的半径.
解 如图，设⊙O切AB于点D，连结OA,OB,OD.
∵⊙ O是△ABC的内切圆,
∴AO,BO是∠BAC, ∠ABC的角平分线.
A
∵△ABC是等 边三角形,
∴ ∠ OAB= ∠ OB=30° ∵OD ⊥ AB,AB=3cm,
D
B
一展身手
2.如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕 塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB 的距离相等，AC⊥BC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕 塑中心M离道路三边的距离有多远？
A
镇
商
业 区
D
M.
F
CE
B
镇工业区
小结
1.三角形内切圆的定义； 2.三角形内心的定义； 3.外切三角形的定义.
1 2
lr.请说明理由.
A
E
F
O
C
D
B
3. 如图，在△ABC 中， ∠ C= Rt∠ .用直尺和圆规作 △ABC的内切圆.
B
A
C
一展身手
1.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，
半径为r，∠C=90°，AB、BC、CA的长分别为a、b、c.
求证：r a b c
A
2
E
F
O
CD
O
C
1
∴AD=BD= 2AB=1.5(cm). ∴OD=AD×tan30°=1.5 × 3= 3 (cm).
B
32
答： △ABC的内切圆的半径为 3 cm.
2
例题分析
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2.3三角形的内切圆
教学目的：
1．使学生掌握三角形的内切圆的作法．
2．使学生掌握三角形内心的定义和性质．
教学的重点和难点：
三角形的内切圆的作法和三角形的内心的应用即是重点，又是难点．
教学过程：
一、复习与提问
(学生回答)
角的平分线的性质定理和判定定理
二、讲授新课
1．和三角形的各边都相切的圆．
从一块三角形的材料上截下一块圆形的用料，怎样才能使圆的面积尽可能最大呢？(使学生认识到作三角形的内切圆的实际意义)就是下面的问题．
例1 作圆，使它和三角形的各边都相切．
已知：△ABC
求作：和△ABC各边都相切的圆．
教师先画出草图(图7－161)，然后引导学生分析，寻求作图的思路．(抓住作圆需要“确定圆心和半径”这个关键)提出问题让学生答出：(1)作圆的关键是什么？(确定圆心和半径)；
(2)假设⊙I是所求作的圆．并且⊙I和△ABC的三边分别切于点D、E、F，圆心I应满足什么条件？(点I到三角形的各边的距离都相等)怎样根据条件确定圆心I的位置？(点I在三角形ABC的各内角平分线上)；(3)当圆心I确定之后，半径又应怎样确定？(点I到三角形各边的距离)
分析得出，作圆首先是确定圆心的位置，要作与△ABC三边都相切的圆，就是要求出一点作为圆心，使它和三角形的各边的距离都相等，我们知道，AB、BC两边距离相等的点一定在∠B的平分线上，到AC、BC两边距离相等的点也一定在∠C的平分线上．而∠B、∠C平分线的交点又必在∠A的平分线上(为什么？让学生回答)这就确定了所作圆的圆心位置．再由这点到三角形各边距离相等，确定出所求作圆的半径．由此得出三角形的内切圆的作法．教师重新作图以示分析和作法的区别．要求学生自己说出作法．
作法：1．作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为I．
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D点．
3．以点I为圆心，ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
(启发学生答出证明过程)
证明：过点I分别作CA、AB的垂线、垂足为点E、F．
∵点I在∠ABC和∠ACB的平分线上．
∴IF=ID，IE=ID
∴D、E、F都在⊙O上．
又∵BC、CA、AB经过点D、E、F且BC⊥ID，CA⊥IE，AB⊥IF．
∴△ABC的三边BC、CA、AB都与⊙I相切．
根据作法提出和三角形各边都相切的圆能作出几个？(学生自己讨论)得出和三角形各边都相切的圆可以作出一个且只可以作出一个这个结论．
2．三角形的内切圆及有关概念
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
要区别开三角形的内切圆及圆的外切三角形，并与三角形的外接圆与圆内接三角形的概念相比较，以加深对这四个概念的印象．教师要强调学生弄清“内”与“外”，“接”与“切”的意思．“接”与“切”是说明三角形顶点和边与圆的关系，顶点都在圆上的叫做“接”，各边都与圆相切的叫做“切”．还要区别开三角形的内心和外心，三角形的内心是三角形内角平分线的交点，若三角形的内心已知，过三角顶点和内心的射线平分三角形的内角，这一点要向学生说明．
3．应用举例
例2 如图7—162，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是三角形的内心．求：∠BOC．
分析：要求∠BOC的度数，只要知道∠OBC和∠OCB的度数就可以了．因为O是三角形的内心，OB、OC是∠ABC和∠BCA的平分线，所以再根据已知条件，就能求出∠BOC 的度数．
(由教师引导学生分析，得出解法，教师再写出解题过程．)
解：∵O点是△ABC的内心
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)
=180°-(25°+37.5°)=115.5°
∴∠BOC等于117. 5°．
三、小结
1．三角形的内切圆的作法．
2．三角形的内心是三角形各内角平分线的交点，这点到三角形的各边的距离都相等．。