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高一数学必修1函数的最值精品PPT课件

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高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

高中数学 1.3.1.2 第2课时 函数的最大值、最小值课件 新人教A版必修1

(2)存在x0∈I，使 _f_(x_0_)＝__M__
结论
M是函数y＝f(x)的最 大值
M是函数y＝f(x)的 最小值
第五页，共42页。
1．函数 f(x)(－2≤x≤2) 的图象如图所示，则函数 的最大值、最小值分别为
()
A．f(2)，f(－2) C．f(12)，f(－32) 答案(dáàn)： C
第二十页，共42页。
2.已知函数 f(x)＝x－a 1(x∈[2,6])的 最大值为 2，求 a 的值． 解析： 首先讨论 f(x)在[2,6]上的单调性： 设 x1，x2∈[2,6]，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1－a 1－x2－a 1 ＝x1a－x12－xx2－1 1. ∵2≤x1＜x2≤6， ∴x2－x1＞0，x1－1＞0，x2－1＞0.
当x＝0
最小值
时，y＝0是所有函数值中_______．而对于f(x)
＝_最__－大__x值_2_来．说，x＝0时，y＝0是所有函数值中
第三页，共42页。
2．二次函数的最值 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线， 当 a＞0 时，ymin＝4ac4－a b2， 当 a＜0 时，ymax＝4ac4－a b2.
第八页，共42页。
3．函数(hánshù)y＝x2－4x＋5，x∈[0,3]的最大 值为________． 解析： ∵y＝(x－2)2＋1，x∈[0,3]， ∴原函数(hánshù)在[0,2]上为减函数(hánshù)， 在[2,2]上为增函数(hánshù)． ∴最大值为f(0)与f(3)中的最大者，而f(0)＝5， f(3)＝2， ∴最大值为5. 答案： 5
第二十八页，共42页。
②当 t≤1≤t＋1， 即 0≤t≤1 时， f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值， 此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1＜1，即 t＜0 时，f(x)在[t，t＋1]上单 调递减，

2013版高考数学 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值课件 苏教版必修1

2013版高考数学 2.2.1 第2课时 函数的最大值、最小值课件 苏教版必修1

数的最大值与最小值.
观察下列两个函数的图象： M
y
B
o
图2
x0
x
思考1 这两个函数图象有何共同特征？
【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最
高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点.
思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定
义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)≤M
例3
已知函数y=f(x)的定义域是[a，b]，a<c<b ．当
x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时， f(x)是单调减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值．
【证明】 因为当x∈[a ，c]时， f(x)是单调增函数， 所以对于任意x∈[a ，c] ，都有f(x)≤f(c).又因为当
要赢得好的声誉需要20年，而要毁掉它，
5分钟就够。如果明白了这一点，你做起
事来就会不同了。
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 一般地，设y=f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A,使 得对于任意的x∈A ，都有f(x) ≥ f(x0) ,那么称f(x0)为
y=f(x)的最小值，记为 ymin= f(x0).
提升总结： 1.函数最大（小）值的几何意义：函数图象最高（低） 点的纵坐标. 2.讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优先的原则； 函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小） 值，最高（低）点必须是函数图象上的点.
第2课时 函数的最大值、最小值
1. 引导学生通过观察、归纳、抽象概括，自主构建函数
最值等概念.（重点）
2. 会求简单函数的最大值与最小值.(重点、难点）

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件

几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．

3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

3.2.1函数的单调性与最值(教学课件)——高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
即y＝
−2 − 2 + 1, ＜0，
−（ + 1）2 + 2, ＜0，
函数图像如图所示,单调递增区间为（-∞，-1］和［0，1］,单调递减区间为
［-1,0］和［1,+∞）.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
方法感悟
利用图像法判断函数单调性的注意点
凡是能作出函数图像的单调性问题，都可用图像法解决.此法主要用于
利用定义证明函数单调性的方法
注意：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果多为几个因
式乘积的形式.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
2.用图像法证明函数的单调性
例2
求下列函数的单调区间：（1）y＝|x2+2x-3|；（2）y＝-x2+2|x|+1.
解（1）令f（x）＝x2+2x-3＝（x+1）2-4，作出f（x）的图像，保留其在x轴上方
从而这个函数的最小值为f（-1）=2，最大值为f（6）=23.
提示 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为-1≤x≤6，所以3≤3x≤18，
2≤3x+5≤23，即f（-1）≤f（x）≤f（6），其余同上.
高中数学
必修第一册
湖南教育版
题型训练
题型1 函数单调性的判断与证明
1.用定义法证明函数的单调性
图像可以看出，当自变量由小变大时，这个函数的函数值逐渐变大，即
1
y随着x的增大而增大；从反比例函数y=的图像可以看出，在（-∞，0）
和（0，+∞）内，这个函数的函数值y都随着x的增大而减小.
高中数学
必修第一册

高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值

高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.2 函数的单调性与最值

f－32；当
x＝12时，有最大值
1 f2.
答案 C
2．函数 f(x)＝x12在区间12，2上的最大值是
1 A.4
B．－1
C．4
D．－4
( )．
解析 由 t＝x2 在12，2上是增函数，易知 f(x)＝x12在12，2上 是减函数．
∴f(x)max＝f12＝4. 答案 C
(2)∵f(x)的最小值为 f(2)＝121，
∴f(x)>a
恒成立，只须
f(x)min>a，即
11 a< 2 .
类型三 函数最值的实际应用 【例 3】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元， 每生产一台仪器需增加投入 100 元，已知总收益满足函数：
R(x)＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中 x 是仪器的月产量． 80 000，x>400.
课堂小结 1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是
最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)， 对任 意x∈R， 都有 f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是 最 大 值 了 ． 最 大 ( 小 ) 值 的 核 心 就 是 不 等 式 f(x)≤M( 或 f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．若函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，
则函数f(x)的最值必在
区间端点处取得．
互动探究 探究点1 函数f(x)＝x2≥－1总成立，f(x)的最小值是－1吗？ 提示 不是．因为对x∈R，找不到使f(x)＝－1成立的实数x. 探究点2 函数最大值或最小值的几何意义是什么？ 提示 函数的最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上 看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐 标．

3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1

课件_人教版高中数学必修一函数PPT课件_优秀版

课件_人教版高中数学必修一函数PPT课件_优秀版
y 1是函数吗？
判断下列对应能否表示y是x的函数
（1） y=|x| （3） y=x 2 （5） y2+x2=1
（2）|y|=x （4）y2 =x （6）y2-x2=1
(1)能 (2)不能 (4)不能 (5)不能
(3)能 (6)不能
问题：
如何判断给定的两个变量之间是否具有函
数关系？
（5） y2+x2=1 （6）y2-x2=1 如何判断给定的两个变量之间是否具有函数关系？ （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2} (2)、满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)
(3)f(x) x1 1 2x
练 习 ： 求 下 列 函 数 的 定 义 域 （1）f(x)= x+1 x-3
（2）f(x)= 5-x x 3
（3）f(x)= (x-1)0 x2 x
两个函数相同：
（ 1 ） 对 应 关 系 f ， 定 义 域 ， 值 域 都 相 同
定义域，定义域到值域的对应关系 相同
②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每 请阅读课本P48关于区间的内容
（4） {x|x < -9}∪{x| -9 < x<20}
如(4)何不判能断一给定个的两个值变量，之间是是否具否有函都数关有系？ 惟一确定的一个函数值y和它对 应。 (5)不能
（2） {x|x ≥9} 判断下列图象能表示函数图象的是（ ） 定义域、对应法则、值域 （1）{x|5 ≤ x<6} 实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”。 ②根据所给对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有惟一确定的一个函数值y和它对应。

2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1.3.1 函数的最大值、最小值 第2课时

2014-2015学年高一数学必修1精品课件：1.3.1 函数的最大值、最小值 第2课时

1．作出函数y＝|x－2|(x＋1)，x∈[ －2,4] 的图象，说明函 数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值．
解析：
x－2x＋1， y＝ 2－xx＋1，
答案： A
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
3．函数y＝ax＋1(a>0)在区间[1,3] 的最大值为4，则a＝ ________.
解析： ∵a>0，∴函数y＝ax＋1在区间[1,3] 上是增函 数， ∴ymax＝3a＋1＝4，解得a＝1.
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
合作探究 课堂互动
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
图象法求函数值域
(1)函数f(x)在区间[ －2,5] 上的图象如图所示，则 此函数的最小值、最大值分别是( A．－2，f(2) C．－2，f(5) )
[提示]
[－2,3]．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义． 2．会求一些简单函数的最大值或最小值．
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
函数的最大值与最小值
数学 必修1
第一章 集合与函数概念
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
第2课时 函数的最大值
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升
自主学习 新知突破
数学 必修1

3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)-高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)

3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)-高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)
条件
f(x) ≤ M
f(x) ≥
M
∃x 0∈D,使得 f(x0)=M
称 M 是 函 数 y=f(x) 称 M 是函数 y=f(x)的
结论
的最大值
最小值
4
课堂导入
课前思考
学习目标
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面高度h
函数的最小值、最大值分别是
( C )A.-2,f(2)
B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
2.函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则它的最大值为 3 ,最小值为 -2.
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所

所以，函数() =
， ∈ [, ])在区间[2,6]的两个 是减函数，复习一下
判定函数单调性的
基本步骤。
−
端点上分别取最大值和最小值.
解：∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则( ) − ( ) =

[( −)−( −)]
( − )
=
=
−
最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间【, 】上是减函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
最小值为();
()若函数在区间【, 】上是增函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
区间端点取到的函数值是

函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

函数的基本性质(课时2 函数的最大(小)值)高一数学课件(人教A版2019必修第一册)
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( ).A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， .综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( ).

必修一 3.2.1第2课时函数的最大小值(教学课件)-高中数学人教A版(2019)

必修一 3.2.1第2课时函数的最大小值(教学课件)-高中数学人教A版(2019)
60 000－100x，x＞400. (2)当 0≤x≤400 时，f(x)＝－21(x－300)2＋25 000. 所以当 x＝300 时，f(x)max＝25 000.
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x单调递减， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. 所以当x＝300时 ，f(x)max＝25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．
(2)解：任取 2≤x1<x2≤5， 则 f(x1)＝x1x－1 1，f(x2)＝x2x－2 1， f(x2)－f(x1)＝x2x－2 1－x1x－1 1＝x2－x11－xx12－1. 因为 2≤x1<x2≤5，所以 x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0， 所以 f(x2)－f(x1)<0，所以 f(x2)<f(x1)． 所以 f(x)＝x－x 1在区间[2,5]上单调递减．
【答案】－1 【解析】设 x＋1＝t，t≥0，则 x＝t2－1，函数化为 y＝12t2－t－12＝12 (t－1)2－1，t≥0.所以 t＝1 时，原函数取得最小值，最小值为－1.
x2－x0≤x≤2，
5．(题型 1)已知函数 f(x)＝x－2 1x>2，
求函数 f(x)的最大值、
【答案】94
【解析】由函数 h＝－x2＋2x＋54，x∈0，52的图象可知，函数图象 的顶点就是水流喷出的最高点，此时函数取得最大值．对于函数 h＝－x2 ＋2x＋45，x∈0，52，当 x＝1 时，函数有最大值 hmax＝－12＋2×1＋54＝94.
4．(题型 3)(2020 年佛山月考)函数 f(x)＝2x － x＋1 的最小值为 ________．
当 1≤x1<x2 时，x2－x1>0，x1x2－1>0，f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减． ∴f(x)max＝f(1)＝12，无最小值．

新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件

新教材人教版高中数学必修第一册 3-2-1-1 单调性与最大(小)值——函数的单调性 教学课件
第五页，共四十一页。
2．单调性与单调区间 如果函数 y＝f(x)在区间 D 上单调递增或单调递减，那么就说函数 y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 y＝f(x)的_单__调__区__间__． [ 思考] 若函数 f(x)是其定义域上的增函数且 f(a)＞f(b)，则 a，b 满足什么关 系，如果函数 f(x)是减函数呢？ 提示：若函数 f(x)是其定义域上的增函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＞ b；若函数 f(x)是其定义域上的减函数，那么当 f(a)＞f(b)时，a＜b.
第二十八页，共四十一页。
(3)由题知－－11<<12－a－a<1<1，1， 1－a>2a－1，
解得 0<a<23，即所求 a 的取值范围是
0，23.
[答案] (1)①(－∞，－4] ②－4
(2)(－4，－2) (3)0，23
第二十九页，共四十一页。
[方法技巧] (1)区间 D 是函数 f(x)的定义域的子集，x1，x2 是区间 D 中的任意两 个自变量，且 x1＜x2， ①f(x)在区间 D 上单调递增，则 x1＜x2⇔f(x1)＜f(x2)． ②f(x)在区间 D 上单调递减，则 x1＜x2⇔f(x1)＞f(x2)．
第十八页，共四十一页。
题型二 求函数的单调区间 [学透用活]
(1)如果函数 f(x)在其定义域内的两个区间 A，B 上都是增(减)函数， 则两个区间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
(2)书写单调区间时，若函数在区间的端点处有定义，则写成闭区间、 开区间均可，但若函数在区间的端点处无定义，则必须写成开区间．
C．a＋b＞0
D．a＞0，b＞0
第三十二页，共四十一页。

函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册

函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
致的来描述这种图像变化呢？
1 < 4， 1 > (4)
类似地：
(1, (1))
(4, (4))
2 < 3， 2 > (3)
3.5 < 5， 3.5 > (5)
活动探究
追问1
由y随x增大而减小，任取两个
不同的x值，就能根据他们的大
小关系，写出函数值的大小关
系．那么，这个描述反过来是
否成立呢？
都考察一遍呢？如果不能，那又该怎样定量描述这种变化．
“所有”=“全部”=“任意”=“每个”
任取两个
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
当1 < 2 时，都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
活动探究
在(0, +∞)内，任取两个自变量的值，记为1 和2 ，
活动探究
追问2
在之前的数学学习中，你还见过哪些类似这样的变化特征呢？
函数值随自变量的增大而增大或减小
增减性
(初中)
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
1

y=
在(−∞, 0)和(0, +∞) 内，
都是y随着x的增大而减小．
活动探究
追问3
你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗？
y=2x 在R内，y随x的增大而增大．
并指定大小关系，比如1 < 2 ；
第二步，作差变形
计算 1 与 2 的差，对表达式进行变形整理，改写
成一些因式乘积的形式；
第三步，判断符号
结合1 ，2 的大小关系，判断出上一步中得到的式子的
正负，从而确定 1 与 2 的大小关系；

函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
2
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；

高中数学必修一课件 3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值

高中数学必修一课件 3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值

(2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．
[解] 由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
[方法技巧] 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤
(1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． [提醒] (1)求最值勿忘求定义域． (2)闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代 入是最容易出现的错误，求解时一定注意．
解：设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x－50)元，销量 减少 10(x－50)个，销量为 500－10(x－50)＝(1 000－10x)个， 则 y＝(x－40)(1 000－10x)＝－10(x－70)2＋9 000. 故当 x＝70 时，ymax＝9 000. 即售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元．
解析：∵f(x)＝1x在区间[1,2]上为减函数， ∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即12≤f(x)≤1.
答案：1
1 2
题型一 图象法求函数的最值问题
函数的最值和值域的联系与区别
(1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质，针 对的是整个定义域．
(2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大(小)值不一定存在； ②若函数的最值存在，则一定是值域中的元素，例如，函数 f(x)＝x2 对任意的 x∈R ，都有 f(x)≥－1，但是 f(x)的最小值不 是－1，因为－1 不在 f(x)的值域内； ③若函数的值域是开区间(两端点都取不到)，则函数无最值； 若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
(1)求 y(万元)与 x(件)的函数关系式． (2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利 润是多少？

高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值》课件

高中数学必修一(人教版)《3.2.1 第二课时 函数的最大(小)值》课件

因为－1＜x1＜x2⇒x1＋1＞0，x2＋1＞0，x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0⇒f(x1)＜f(x2)， 所以 f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
A．－1,0
B．0,2
()
C．－1,2
D.12，2
解析：由图可知，f(x)的最大值为 f(1)＝2，f(x)的最小值为 f(－2)＝－1. 答案：C
3．设函数f(x)＝3x－1(x＜0)，则f(x)
A．有最大值
B．有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
解析：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，
[微思考] 若函数f(x)≤M，则M一定是函数的最大值吗？ 提示：不一定，只有定义域内存在一点x0， 使f(x0)＝M时，M才是函数的最大值，否则不是．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)若对任意x∈I，都有f(x)≤M，则M是函数f(x)的最大值．
()
(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素．
(2)当 a＝1 时，f(x)＝x2－x＋1，其图象的对称轴为 x＝12. ①当 t≥12时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以 f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1； ②当 t＋1≤12，即 t≤－12时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数， 所以 f(x)min＝f(t＋1)＝t2＋t＋1； ③当 t<12<t＋1，即－12<t<12时，函数 f(x)在t，12上单调递减，在12，t＋1上 单调递增， 所以 f(x)min＝f12＝34.

新教材高中数学第三章函数的最大值最小值课件新人教B版必修第一册ppt

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3．已知函数 f(x)＝3x－－3x2，，xx∈∈（[－2，1，5]2，]， (1)如图所示，在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图像． (2)由图像指出函数 f(x)的最值点，求出最值．
【解析】(1)由题意，当 x∈[－1，2]时，f(x)＝－x2＋3，为二次函数的一部分； 当 x∈(2，5]时，f(x)＝x－3，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x)的图像如图所示：
能力形成·合作探究 类型一 利用函数的图像求最值(数学运算、直观想象)
1．(2021·太原高一检测)如图是函数 y＝f(x)，x∈[－4，3]的图像，则下列说法正确的 是( ) A．f(x)在[－4，－1]上单调递减，在[－1，3]上单调递增 B．f(x)在区间(－1，3)上的最大值为 3，最小值为－2 C．f(x)在[－4，1]上有最小值－2，有最大值 3 D．当直线 y＝t 与 y＝f(x)的图像有三个交点时－1<t<2
(1)函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间－∞，－2ba 上是减函数，在区间－2ba，＋∞ 上是增函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最小值． (2)函数 y＝ax2＋bx＋c(a<0)在区间－∞，－2ba 上是增函数，在区间－2ba，＋∞ 上 是减函数，当 x＝－2ba 时，函数取得最大值．
5（x2－x1） 所以Δf（Δxx） ＝（x1＋1x）2－（x1x2＋1） ＝（x1＋1）5（x2＋1） . 因为 x1，x2∈[0，＋∞)，所以(x1＋1)(x2＋1)＞0，所以Δf（Δxx） >0，所以函数 f(x)在区 间[0，＋∞)上是增函数．
(2)求函数 f(x)在区间[2，9]上的最大值与最小值． 【思路导引】由第(1)问可知 f(x)在[2，9]上是增函数⇒ f(2)是最小值，f(9)是最大值 【解析】由(1)知函数 f(x)在区间[2，9]上是增函数，故函数 f(x)在区间[2，9]上的最大 值为 f(9)＝2×9＋9－13 ＝32 ，最小值为 f(2)＝2×2＋2－13 ＝13 .

新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件

新人教版高中数学必修一函数的最大值最小值课件
－m2－15，0≤m≤2.
本例的条件不变，试求函数 g(x)的最大值．
【解析】当 m≤1 时，g(x)max＝g(2) ＝－4m－11；
当 m>1 时 g(x)max＝g(0)＝－15. 综上所述，g(x)max＝－ －415m，－m11>，1. m≤1，
含参数的一元二次函数的最值
以一元二次函数图象开口向上、对称轴为 x＝m 为例，区间为[a，b] ，则有
函数 f(x)＝－x2 的定义域为 R，存在实数 1，∀ x∈R，都有 f(x)≤1.那么 1 是函数 f(x)＝－x2 的最大值吗？为什么？
提示：不是．因为不存在 x0∈R，使得 f(x0) ＝－x20 ＝1.
1．任何函数都有最大值、最小值吗？ 2．如果函数有最大值，那么最大值是唯一的吗？
3．如果一个函数 f(x)是区间[a，b] 上的减函数，那么函数的最大值是 f(a) 还是
月产量． (1)将利润表示为关于月产量的函数 f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成 本＋利润)
【问题 1】要求公司所获利润最大，需要研究函数的哪个性质？ 【问题 2】对于函数 R(x)，要求函数的最值需要用到什么知识？ 【问题 3】我们学习过哪些求二次函数最值的方法？
点拨：考查对称轴与区间的关系．
不含参数的最值问题 首先配方，确定对称轴，考查对称轴与区间的关系， (1)当对称轴不在区间上时，该区间是单调区间，最值在端点处取到； (2)当对称轴在区间上时，最值在对称轴、距离对称轴较远的端点处取得．
含参数的最值问题 【典例】已知 g(x)＝x2－2mx－15，求函数 g(x)在 x∈[0，2]上的最小值．
2 3 ，当且仅当－x＝－3x ，x＝－ 3 时等号成立．所以函数 f(x)＝x＋x3 的值域为(－∞，－2 3]
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注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最 值要借助于图象即数形结合。
3、利用图象求函数的最大（小）值
-2x+1 x≤-1
例4、求函数f(x)= 3
-1<x<2 的最值
2x-1 x≥2
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
思考3:如果函数 f (x)的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f (x)的值域是[a，b]吗？
理论迁移
1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值
例1已知函数 f x 2 , x 2,6 ，求函数 f (x)
x 1
的最大值和最小值.
单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其 单调性求最值；常用到以下一些结论：
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
f(X) ≤M反映了函数y=f(X)的所有函数值不大于实数M， 这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标 是M。
思考8：函数最大值的几何意义是什么？
函数图象最高点的纵坐标。
思考9:函数 y 2x 1, x (1, )有最大
值吗？为什么？点（-1，3）是不是最高点？
思考10：由问题9你发现了什么值得注意的地方？
思考4:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关 系如何?
f(x) ≤M
思考5:设函数f(x)=1-x2,则f(x) ≤2成立吗?f(x) 的最大值是2吗?为什么?
思考6:在数学中,形如问题1中的函数y=f(x)的图象上
最高点A、B的纵坐标就是函数y=f(x)的最大值，谁能 给出函数最大值的定义，用什么符号表示？
f (x) 的最小值？
一般地，设函数 y f (x)的定义域为I， 如果存在实数m满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) m;
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) m .
那么称m是函数 y f (x)的最小值，记作 f (x)min m
函数最小值的几何意义：函数图象最低点的纵坐标。
一般地，设函数 y f (x) 的定义域为I，如果存在 实数M满足：
（1）对于任意的 x I , 都有 f (x) M；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0) M.
那么称M是函数 y f (x) 的最大值，记作
f (x)max M
思考7:函数的最大值的定义中f(x) ≤M即f(x) ≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具 有什么特点？其图象又具有什么特征？
点B,也就是说,这两个函数的图象的共同特征是都有最
高点
思考2:函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有 什么关系?
函数图象上任意点P(x,y)的意义:横坐标x是自变量 的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.
思考3:函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？
函数图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值, 即函数的最大值
①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c) 上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).
②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c) 上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).
③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数 y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).
解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象，如图，显然，
函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟
花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。
h
30
25
20 15
10
5
0
1
2
3
4
t
由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2 +14.7t+18 ，
我们有：当
h
4 (4.9) 18 14.72
讨论函数的最小值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是 函数图象上的点。
知识探究（三）
思考1:如果在函数 f (x)定义域内存在x1和 x2， 使对定义域内任意x都有 f (x1) f (x) f (x2 ) 成立，由此你能得到什么结论？
思考2:如果函数 f (x)存在最大值，那么有几个？
讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图 象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是 函数图象上的点。
知识探究（二）
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最 大（小）值 例 2 “菊花”烟花是最壮观 的烟 花之一。制造时一般是期望在它
达到最高点时爆裂, 如果烟花 距地面的
高度h m与时间t s之间的关系为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少? （精确到1m）
时，函数有最大值
29
4 (4.9)
t 14.7 1.5 2 (4.9)
于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的 高度约为29m
例3．将进货单价40元的商品按50元一个售出时， 能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量 减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？
本题主要考察二次函数的最值问题，以及应用二次 函数解决实际问题的能力，解应用题步骤是①审清题 意读懂题；②实际问题转化为数学问题来解决；③归 纳结论。
函数的最值
问题提出
1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？
2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性， 如果函数的图象存在最高点或最低点，它又 反映了函数的什么性质？
知识探究（一）
观察下列两个函数的图象：
y
y B
A
M
M
x
o x0
o
x0
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图1
图2
思考1:这两个函数图象有何共同特征？
第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高