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数学试卷 第1页（共21页）数学试卷 第2页（共21页）数学试卷 第3页（共21页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（ ）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i + 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是（ ）A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若12a =,312S =,则6a 等于（ ）A .8B .10C .12D .144.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（ ）A .B .C .D .5.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于（ ） A .18 B .20 C .21D .406.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于A ,B 两点,则“1k =”是“OAB △的面积为12”的 （ ）A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件7.已知函数21,0,()cos ,0,x x f x x x ⎧+=⎨⎩＞≤则下列结论正确的是（ ）A .()f x 是偶函数B .()f x 是增函数C .()f x 是周期函数D .()f x 的值域为[1,)-+∞8.在下列向量组中,可以把向量(3,2)=a 表示出来的是（ ）A .1(0,0)=e ,2(1,2)=eB .1(1,2)=-e ,2(5,2)=-eC .1(3,5)=e ,2(6,10)=eD .1(2,3)=-e ,2(2,3)=-e9.设P ,Q 分别为圆22(6)2x y +-=和椭圆22110xy +=上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是（ ）A.BC.7D.10.用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1)(1)a b ++的展开式1a b ab +++表示出来,如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）A .234555(1)(1)(1)a a a a a b c +++++++B .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++C .523455(1)(1)(1)a b b b b b c +++++++D .552345(1)(1)(1)a b c c c c c +++++++第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.若变量x ,y 满足约束条件10,280,0,x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≥则3z x y =+的最小值为________.12.在ABC △中,60A =,4AC =,BC =,则ABC △的面积等于________. 13.要制作一个容器为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20 元,侧面造价是每平方米10 元,则该容器的最低总造价是________（单位：元）. 14.如图,在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.15.若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =,且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （Ⅰ）若π02α＜＜,且sin α,求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共21页）数学试卷 第5页（共21页）数学试卷 第6页（共21页）17.（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中,1AB BD CD ===,AB BD ⊥,CD BD ⊥.将ABD △沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. （Ⅰ）求证：AB CD ⊥；（Ⅱ）若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50 元,其余3个均为10 元,求： （ⅰ）顾客所获的奖励额为60 元的概率； （ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60 000 元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10 元和50 元的两种球组成,或标有面值20 元和40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的两条渐近线分别为1l ：2y x =,2l ：2y x =-.（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线1l ,2l 于A ,B 两点（A ,B 分别在第一、四象限）,且OAB △的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在,求出双曲线E 的方程；若不存在,说明理由.20.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有2e x x c ＜.21.本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵12112A -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）求矩阵1A -的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为2,4,x a t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）,圆C 的参数方程为4cos ,4sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）. （Ⅰ）求直线l 和圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若p ,q ,r 是正实数,且满足p q r a ++=,求证：2223p q r ++≥.数学试卷 第7页（共21页）数学试卷 第8页（共21页）数学试卷 第9页（共21页）2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）答案解析2.【答案】A【解析】因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形，所以选A.【提示】直接从几何体的三视图：正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状即可. 【考点】三视图还原实物图 3.【答案】C【解析】因为313(31)323321222S a d d ⨯-⨯=+=⨯+=，所以2d =，所以61(61)25212a a d =+-=+⨯=，故选C.【提示】由等差数列的性质和已知可得2a ，进而可得公差，可得6a . 【考点】等差数列的前n 项和【提示】由题意可得3a =，由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 【考点】对数函数的图像与性质 5.【答案】B【解析】该程序框图为循环结构，由01S n ==，得10213112S n =+==++=，，判断315S =≥不成立，执行第二次循环，23229213S n +=+==+=，，判断915S =≥不成立，执行第三次循环，392320314S n +=+==+=，，判断2015S =≥成立，输出20S =.故选B.【提示】根据程序框图将01S n ==，代入执行第一次运算，不满足则进行第二次循环，以此类推，计算满足条件的S 值，可得答案. 【考点】带有循环结构的程序框图【提示】根据直线和圆相交的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 7.【答案】D【解析】由题意，可得函数图象如下：所以()f x 不是偶函数，不是增函数，不是周期函数，其值域为[1,)-+∞.故选D. 【提示】由三角函数和二次函数的性质，将函数图像画出，即可分别对各个选项判断.【考点】函数的奇偶性，单调性，周期性，值域 8.【答案】B【解析】根据12e e αλμ=+，选项A ：(3,2)(00)(1,2)λμ=+,，则322μμ==， ，无解，故选项A 不能.选项B ：(3,2)(1,2)(5,2)λμ=-+-，则35222λμλμ=-+=-， ，解得，21λμ==，，故选项B 能.选项C ：(3,2)(3,5)(6,10)λμ=+，则3362510λμλμ=+=+， ，无解，故选项C 不能.选项D ：(3,2)(2,3)(2,3)λμ=-+-，则322233λμλμ=-=-+，，无解，故选项D 不能. 故选：B.【提示】根据向里的坐标运算，12e e αλμ=+，计算判别即可. 【考点】平面向量的基本定理及其意义【提示】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P ，Q 两点间的最大距离.【考点】椭圆的简单性质，圆的标准方程 10.【答案】A【解析】本题可分三步：第一步，可取0，1，2，3，4，5个红球，有23451a a a a a +++++种取法；第二步，取0或5个篮球，有1＋b 5种取法；第三步，取5个有区别的黑球，有5(1)c +种取法.所以共有234555()()(111)a a a a a b c +++++++种取法.故选A.【提示】根据“1a b ab +++”表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”数学试卷 第10页（共21页）数学试卷 第11页（共21页）数学试卷 第12页（共21页）则表示把红球和蓝球都取出来，分别取红球蓝球黑球，根据分步计数原理，分三步，每一步取一种球，问题得以解决.【考点】归纳推理，进行简单的合情推理第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】1【解析】由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数3z x y =+，得3y x z =-+，可知其过)(0,1A 时z 取最小值，故min 3011z ⨯+==.故答案为1.【提示】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值 【考点】简单线性规划 1sin 2bc A =⨯【提示】利用三角形中的正弦定理求出角B ，再利用三角形的面积公式求出ABC △的面积 【考点】正弦定理 480160xx +=160元.【提示】此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为a b ，，成本为y ，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 【考点】棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积 14.【答案】22e【解析】根据题意e xy =与ln y x =互为反函数，图象关于y x =对称，所以两个阴影部分的面积相等.联立e y =与e xy =得1x =，所以阴影部分的面积11002(e e )2(e e )|[(2e )()e 01]2x x S dx x =-=-==---⎰，由几何概型可知所求概率为22e .故答案为22e . 【提示】利用定积分计算阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式求出概率 【考点】几何概型 15.【答案】6【解析】根据题意可分四种情况：（1）若①正确，则1124a b c d ==≠=，，，，符合条件的有序数组有0个； （2）若②正确，则1124a b c d ≠≠≠=，，，，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；（3）若③正确，则1124a b c d ≠===，，，，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)； （4）若④正确，则1124a b c d ≠=≠≠，，，，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2).所以共有6个. 故答案为6.【提示】利用集合的相等关系，结合①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，即可得出结论. 【考点】集合的相等 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）1()2f α=（Ⅱ）()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】（Ⅰ）因为π02α<<，sin α=cos α=所以11()22222f α=+-= 所以()f x 的单调递增区间为π,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【提示】（Ⅰ）利用同角三角函数关系求得cos α的值，分别代入函数解析式即可求得()f a 的值（Ⅱ）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换，进而利用三角函数性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间.【考点】三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法 17.【答案】（Ⅰ）∵平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD平面BCD BD =，AB ⊂平面ABD ，AB BD ⊥，∴AB ⊥平面BCD . 又CD ⊂平面BCD ， ∴AB CD ⊥.（Ⅱ）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图：由（Ⅰ）知AB ⊥平面BCD∴AB BE AB BD⊥⊥，.为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为),1,00,1,00,0,1()(D A，，则(1,1,0BC=，10,BM⎛= ，(0,1,AD=设平面MBC的法向量(,,)n x y=，则0,0,n BCn BM⎧=⎪⎨=⎪⎩，即MBC的一个法向量1,1()1,n=-，则||6sin,3||||n ADn ADn ADθ===【提示】（Ⅰ）利用面面垂直的性质定理即可得出.（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系.设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式||sin|cos,||||n ADn ADn ADθ==即可得出.【考点】直线与平面所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【提示】（Ⅰ）根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为60元的概率，依题意得X得所有可能取值为20，60，分别求出(60)P X=，(20)P X=，画出顾客所获的奖励额的分布列求出数学期望.（Ⅱ）先讨论，寻找期望为60元的方案，找到(10,10,50,50)，(20,20,20,40)两种方案，分别求出数学期望和方差，然后做比较，问题得以解决.【考点】离散型随机变量的期望与方差，离散型随机变量及其分布列19.【答案】（Ⅰ）因为双曲线E的渐近线分别为2y x=，2y x=-，所以2ba=，所以2=，故c=，从而双曲线E的离心率ce==4a a|||8OC AB=，因此48a a=，解得12|||y y-得数学试卷第13页（共21页）数学试卷第14页（共21页）数学试卷第15页（共21页）数学试卷 第16页（共21页）数学试卷 第17页（共21页）数学试卷 第18页（共21页）2222m m k --+21kx m y =+-=得，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为1416x y-=. 【提示】（Ⅰ）依题意，可知2ba=，易知c =，从而可求双曲线E 的离心率. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=，设直线l 与x 轴相交于点C ，分l x⊥轴与直线l 不与x 轴垂直讨论，当l x ⊥轴时，易求双曲线E 的方程为221416x y -=，当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+，与双曲线E 的方程联立，利用由12|1||82|OAB S OC y y -=△=可证得：双曲线E 的方程为，221416x y -=从而可得答案.【考点】直线与圆锥曲线的综合问题20.【答案】（Ⅰ）由()e x f x ax =-，得()e xf x a '=-.又(0)11f a '=-=-，得2a =.所以()e 2()e 2x xf x x f x '=-=-，.令()0f x '=，得ln2x =当ln2x <时，()0()f x f x '<，单调递减； 当ln2x >时，()0()f x f x '>，单调递增.所以当ln2x =时，()f x 取得极小值，且极小值为ln 2(ln 2)e 2ln 22ln 4()f f x =-=-，无极大值.（Ⅱ）令2()e x g x x =-，则()e 2xg x x '=-.由（Ⅰ）得()()(ln 2)0g x f x f '=≥>，故()g x 在R 上单调递增，又(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2e x x <. （Ⅲ）①若1c ≥，则e e x x c ≤.又由（Ⅱ）知，当0x >时，2e x x <. 所以当0x >时，2e x x c <.取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <.②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2e x x c <成立，只要2e x kx >成立.而要使2e x kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立.令()2ln ln h x x x k =--，则22()1x h x x x-'=-=. 所以当2x >时，()0()h x h x '>，在(2,)+∞内单调递增. 取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增.又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+.易知ln ln 250k k k k >>>，，.所以0()0h x >.即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2e x x c <.【提示】（Ⅰ）由题意可知点A 的横坐标为0，先求出()f x 的导函数()f x ，则曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为(0)f ，由(0)1f =-可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.（Ⅱ）常对此类问题构造新函数2()e x g x x =-，只需()0g x >在0(,)x +∞上恒成立即可，利用导数得到()g x 的单调性，从而得证.（Ⅲ）根据c 的值与1的大小关系分类进行证明.当1c ≥时，可直接根据（Ⅱ）中的结论得证；当01c <<时，证明的关键是找出0x ，先将不等式转化为21e x x c>，利用对数的性质，进一步转化为21ln 2ln ln x x x k c ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭，即可构造函数()2ln ln h x x x k =--，然后利用导数研究其单调性，在该函数的增区间内找出一个值x 0，使0()0h x >即可得证.也可结合（Ⅱ）的结论，合理利用2e x x >将2x 中的一个x 赋值，利用不等式的传递性来解决问题. 【考点】导数在最大值，最小值问题中的应用，利用导数研究函数的单调性21.1-的逆矩阵，且1||221130A -=⨯-⨯=≠()0f λ=，得矩阵1A -的特征值为11λ=或23λ=，所以111⎛⎫= ⎪-⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值11λ=的一个特征向量，211⎛⎫= ⎪⎝⎭ξ是矩阵1A -的属于特征值23λ=的一个特征向量.【提示】（Ⅰ）先求得1||A -的值，利用求逆矩阵的公式便可求得A .（Ⅱ）结合1A -的特征多项式，解方程，从而求得1A -的特征值. 【考点】特征向量的定义22.【答案】（Ⅰ）2216x y +=【提示】（Ⅰ）消去参数，把直线与圆的参数方程化为普通方程.（Ⅱ）求出圆心到直线的距离d ，利用直线和圆的位置关系，得d r ≤，从而求得a 的范围. 【考点】圆的参数方程，直线的参数方程23.【答案】（Ⅰ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知3p q r ++=，又因为p q r ，，是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥.【提示】（Ⅰ）由绝对值不等式||||||a b a b +≥-，当且仅当0ab ≤，取等号.（Ⅱ）利用柯西不等式2222222()()()a b c m n s am bn cs ++++≥++，结合所给式子特点，合理赋值，可证得结果.【考点】二维形式的柯西不等式，绝对值不等式的解法数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。
数学(理科)试卷参考答案与评分标准第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1. C2. B3. B 4．A 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10．C 11. B 12. B第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置上．）13．1 14． 15．222n n -+ 16.．②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．） 17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ)x b x g 2sin 1)(22=-=→-··········································· 2分由0)(=x g 得()Z k k x x ∈=∴=π202sin 即 ()Z k k x ∈=2π····························· 5分 故方程)(x g ＝0的解集为{()}Z k k x x ∈=2π······················································· 6分 (Ⅱ)12sin 3cos 21)2sin ,1()3,cos 2(1)(22-+=-⋅=-⋅=→-→-x x x x b a x f ······ 7分 )62sin(22sin 32cos π+=+=x x x ···················································· 9分 ∴函数)(x f 的最小周期ππ==22T ······································································· 10分 由()Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ226222得()Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ63故函数)(x f 的单调增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤+⎢⎣⎡+-ππππ6,3. （ 开区间也可以）··································································································································· 12分18. （本小题满分12分） 解:(Ⅰ)1111,033n n n n a a a a n ++==∴>1111==n 13n 13n na a a +∴+，又 ········································································ 2分 n n a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭11为首项为，公比为的等比数列33 ·············································· 4分n 1n11n==n 333n n a a -⎛⎫∴⨯∴ ⎪⎝⎭， ··············································································· 6分 (Ⅱ) 1231233333n nnS =++++……① ····································································· 7分 231112133333n n n n nS +-∴=++++……② ··················································· 8分 ①-② 得：123121111333333n n n nS +=++++- ··································· 9分1111331313n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- ··················································· 10分 3114323n nnn S ⎛⎫∴=-- ⎪⨯⎝⎭ 133243n n nnS +--∴=⨯ ················································································· 12分19. （本小题满分12分） .解：(Ⅰ)根据题意，分别记“甲所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,A A A ，它们彼此互斥， 且123()0.4,()0.5,()10.40.50.1P A P A P A ==∴=--=分别记“乙所付租车费0元、1元、2元”为事件123,,B B B ，它们彼此互斥， 且123()0.5,()0.3,()10.50.30.2P B P B P B ==∴=--= ····················· 2分 由题知，123,,A A A 与123,,B B B 相互独立， ········································· ３分 记甲、乙两人所扣积分相同为事件M ，则112233M A B A B A B =++ 所以112233()()()()()()()P M P A P B P A P B P A P B =++0.40.50.50.30.10.20.20.150.020.37=⨯+⨯+⨯=++= ······ ６分 (Ⅱ) 据题意ξ的可能取值为：0,1,2,3,4 ·········································· 7分 11(0)()()0.2P P A P B ξ===1221(1)()()()()0.40.30.50.50.37P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=132231(2)()()()()()()0.40.20.50.30.10.50.28P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯= 2332(3)()()()()0.50.20.10.30.13P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯= 33(4)()()0.10.20.02P P A P B ξ===⨯= ············································· 10分的数学期望 ···· 11分 答：甲、乙两人所扣积分相同的概率为0.37，ξ的数学期望 1.4E ξ= ··············· 12分20．（本小题满分12分）解：依题意得g(x)3x =+，设利润函数为f(x)，则f(x)(x)g(x)r =-，所以20.5613.5(0x 7)f(x),10.5(x 7)x x x⎧-+-≤≤=⎨->⎩ ································· 2分（I ）要使工厂有盈利，则有f (x )＞0，因为f (x )＞0⇔20x 770.5613.5010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+->->⎩⎩或， ···························· 4分 ⇒20x 771227010.50x x x x ≤≤>⎧⎧⎨⎨-+<->⎩⎩或⇒0x 7710.539x x ≤≤⎧<<⎨<<⎩或⇒3x 7<≤或7x 10.5<， ················································ 6分即3x10.5<. ···································································· 7分所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1050台的范围内． ···· 8分 （II ）当3x 7<≤时， 2f(x)0.5(6) 4.5x =--+故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. ···················································· 10分 而当x ＞7时，f(x)10.57 3.5<-=.所以当工厂生产600台产品时，盈利最大． ········································· 12分21. （本小题满分12分）s 解：（I ）设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，， ····························· 1分由题设得229a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，·················································································· 2分解得2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，····································································································· 3分所以双曲线C 的方程为22145x y -=； ····························································· 4分 （II ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩， ① ②，将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=， ·················································· 6分 此方程有两个不等实根，于是2540k -≠， 且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>，整理得22540m k +->.③ ··········································································· 7分 由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足：12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-， ································ 8分 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，···· 9分 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，， 由题设可得22199********kmm k k =--，整理得222(54)k m k -=，0k ≠， ································································································································· 10分将上式代入③式得222(54)540k k k-+->， ············································ 11分整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠，解得0k <<或54k >， 所以k 的取值范围是55550044⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝∞，，，，∞． ······· 12分 22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）当2a =时，2()ln(1)1xf x x x =+++， ∴22123()1(1)(1)x f x x x x +'=+=+++， ······································································ 1分 ∴ (0)3f '=，所以所求的切线的斜率为3. ··························································· 2分 又∵()00f =，所以切点为()0,0. ····································································· 3分 故所求的切线方程为：3y x =. ··········································································· 4分 （Ⅱ）∵()ln(1)1axf x x x =+++(1)x >-，∴221(1)1()1(1)(1)a x ax x af x x x x +-++'=+=+++． ··························································· ６分 ①当0a ≥时，∵1x >-，∴()0f x '>； ······························································ ７分 ②当0a <时，由()01f x x '<⎧⎨>-⎩，得11x a -<<--；由()01f x x '>⎧⎨>-⎩，得1x a >--； ····················· ８分 综上，当0a ≥时，函数()f x 在(1,)-+∞单调递增；当0a <时，函数()f x 在(1,1)a ---单调递减，在(1,)a --+∞上单调递增． ····· ９分 （Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，当1a =-时， ()()ln 11xf x x x =+-+在()0,+∞上单调递增． ·················································· 10分 ∴ 当0x >时，()()00f x f >=，即()ln 11xx x +>+． ································· 11分 令1x n =（*n ∈N ），则111ln 1111nn n n⎛⎫+>= ⎪+⎝⎭+． ············································· 12分另一方面，∵()2111n n n<+，即21111n n n -<+, ∴21111n n n>-+．······························································································ 13分 ∴ 2111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭（*n ∈N ）． ····································································· 14分方法二：构造函数2()ln(1)F x x x x =+-+，(01)x ≤≤ ································· 10分 ∴1(21)'()1211x x F x x x x +=-+=++， ······························································ 11分 ∴当01x <≤时,'()0F x >；∴函数()F x 在(0,1]单调递增． ·········································································· 12分 ∴函数()(0)F x F > ，即()0F x >∴(0,1]x ∀∈，2ln(1)0x x x +-+>，即2ln(1)x x x +>- ···························· 13分 令1x n =（*n ∈N ），则有2111ln 1n n n ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭． ·················································· 14分。
2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ； （Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ;②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln +)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分 所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分 令-222,262k xk k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 因为向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，所以sin 1sin 2A B =， 由正弦定理得:21=b a ①……………10分 由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小. EG =12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分 面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =-…………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BG C --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG 中OH =,又DH=2，在∆DOH 中tan DHDOH OH∠==分分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分 其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0 由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分 当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0).,当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=,于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4233A . ………… 2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A …………4分 法二:033)3(0332=-++-=----c d d d c λλλλ即的两个根为6和1,故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A -…………4分 (Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1, 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分 当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题(理工农医类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014福建,理1)复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( ). A .-2-3i B .-2+3iC .2-3iD .2+3i答案:C解析:因为z=(3-2i)i =3i -2i 2=2+3i,所以z =2-3i .故选C .2.(2014福建,理2)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( ). A .圆柱B .圆锥C .四面体D .三棱柱答案:A解析:因为圆锥、四面体、三棱柱的正视图均可以是三角形,而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形,所以选A .3.(2014福建,理3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于( ). A .8 B .10C .12D .14答案:C解析:因为S 3=3a 1+3×(3-1)2d=3×2+3×22d=12,所以d=2.所以a 6=a 1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C .4.(2014福建,理4)若函数y=log a x (a>0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( ).答案:B解析:由图象可知log a 3=1,所以a=3.A 选项,y=3-x =(13)x 为指数函数,在R 上单调递减,故A 不正确.B 选项,y=x 3为幂函数,图象正确.C 选项,y=(-x )3=-x 3,其图象和B 选项中y=x 3的图象关于x 轴对称,故C 不正确.D 选项,y=log 3(-x ),其图象与y=log 3x 的图象关于y 轴对称,故D 选项不正确.综上,可知选B .5.(2014福建,理5)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的S 的值等于( ).A.18B.20C.21D.40答案:B解析:该程序框图为循环结构,由S=0,n=1得S=0+21+1=3,n=1+1=2,判断S=3≥15不成立,执行第二次循环,S=3+22+2=9,n=2+1=3,判断S=9≥15不成立,执行第三次循环,S=9+23+3=20,n=3+1=4,判断S=20≥15成立,输出S=20.故选B.6.(2014福建,理6)直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为12”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:A解析:k=1时,图象如图(1),此时△OAB的面积S=12×1×1=12,所以k=1是△OAB面积为12的充分条件;而当△OAB面积为12时,直线l有l1或l2两种可能,如图(2),k=1或k=-1.综上,可知选A.图(1)图(2)7.(2014福建,理7)已知函数f(x)={x2+1,x>0,cosx,x≤0,则下列结论正确的是().A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案:D解析:由题意,可得函数图象如下:所以f(x)不是偶函数,不是增函数,不是周期函数,其值域为[-1,+∞).故选D.8.(2014福建,理8)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是().A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3)答案:B解析:由平面向量基本定理可知,平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示,A 中e 1=0·e 2,B 中e 1,e 2为两个不共线向量,C 中e 2=2e 1,D 中e 2=-e 1.故选B .9.(2014福建,理9)设P ,Q 分别为圆x 2+(y-6)2=2和椭圆x 210+y 2=1上的点,则P ,Q 两点间的最大距离是( ). A .5√2 B .√46+√2 C .7+√2 D .6√2答案:D 解析:设Q (x ,y ),则该点到圆心的距离d=√(x -0)2+(y -6)2=√x 2+(y -6)2=√10(1-y 2)+(y -6)2=√-9y 2-12y +46,y ∈[-1,1], ∴当y=--122×(-9)=-23时, d max =√-9×(-23)2-12×(-23)+46=√50=5√2.∴圆上点P 和椭圆上点Q 的距离的最大值为d max +r=5√2+√2=6√2.故选D .10.(2014福建,理10)用a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a )(1+b )的展开式1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ).A .(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5B .(1+a 5)(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c )5C .(1+a )5(1+b+b 2+b 3+b 4+b 5)(1+c 5)D .(1+a 5)(1+b )5(1+c+c 2+c 3+c 4+c 5) 答案:A解析:本题可分三步:第一步,可取0,1,2,3,4,5个红球,有1+a+a 2+a 3+a 4+a 5种取法;第二步,取0或5个蓝球,有1+b 5种取法;第三步,取5个有区别的黑球,有(1+c )5种取法.所以共有(1+a+a 2+a 3+a 4+a 5)(1+b 5)(1+c )5种取法.故选A .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2014福建,理11)若变量x ,y 满足约束条件{x -y +1≤0,x +2y -8≤0,x ≥0,则z=3x+y 的最小值为 .答案:1解析:由线性约束条件画出可行域如下图阴影部分所示.由线性目标函数z=3x+y ,得y=-3x+z ,可知其过A (0,1)时z 取最小值,故z min =3×0+1=1. 故答案为1.12.(2014福建,理12)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案:2√3解析:由题意及余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc=c 2+16-122×4×c=12,解得c=2.所以S=12bc sin A=12×4×2×sin 60°=2√3.故答案为2√3.13.(2014福建,理13)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是 (单位:元). 答案:160解析:设池底长x m,宽y m,则xy=4,所以y=4x,则总造价为:f (x )=20xy+2(x+y )×1×10=80+80x+20x=20(x +4x)+80,x ∈(0,+∞). 所以f (x )≥20×2√x ·4x+80=160,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立. 所以最低总造价是160元.14.(2014福建,理14)如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .答案:2e2解析:根据题意y=e x 与y=ln x 互为反函数,图象关于y=x 对称,所以两个阴影部分的面积相等.联立y=e 与y=e x 得x=1,所以阴影部分的面积S=2∫ 1(e -e x )d x=2(e x-e x )|01=2[(e -e)-(0-1)]=2,由几何概型可知所求概率为2e2.故答案为2e 2. 15.(2014福建,理15)若集合{a ,b ,c ,d }={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b ≠1;③c=2;④d ≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a ,b ,c ,d )的个数是 . 答案:6解析:根据题意可分四种情况:(1)若①正确,则a=1,b=1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组有0个;(2)若②正确,则a ≠1,b ≠1,c ≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); (3)若③正确,则a ≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4);(4)若④正确,则a ≠1,b=1,c ≠2,d ≠4,符合条件的有序数组为(2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2). 所以共有6个. 故答案为6.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)(2014福建,理16)已知函数f (x )=cos x (sin x+cos x )-12. (1)若0<α<π2,且sin α=√22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.分析:首先结合已知角的范围,利用同角三角函数的基本关系式及已知的正弦值,求出余弦值,注意符号的判断,然后代入已知的函数关系式,得出结果.在第(2)问中,结合式子特点,利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式以及辅助角公式,得出最终的目标——y=A sin(ωx+φ)+B 形式,运用T=2πω得出周期,再结合三角函数的图象与性质等基础知识求得单调区间,此时要注意复合函数的单调性.另外,也可先化简再分别求解.解法一:(1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以cos α=√22.所以f (α)=√22(√22+√22)−12=12.(2)因为 f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12 =12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4), 所以T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .解法二:f (x )=sin x cos x+cos 2x-12=12sin 2x+1+cos2x 2−12=12sin 2x+12cos 2x =√22sin (2x +π4). (1)因为0<α<π2,sin α=√22,所以α=π4,从而f (α)=√22sin (2α+π4)=√22sin 3π4=12.(2)T=2π2=π.由2k π-π2≤2x+π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为[kπ-3π8,kπ+π8],k ∈Z .17.(本小题满分13分)(2014福建,理17)在平面四边形ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB ⊥BD ,CD ⊥BD.将△ABD 沿BD 折起,使得平面ABD ⊥平面BCD ,如图. (1)求证:AB ⊥CD ;(2)若M 为AD 中点,求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.分析:在第(1)问中,考查线线垂直问题,要寻求线线垂直的条件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的坐标系之后,求得平面的法向量n ,再在直线上确定一个方向向量,求得这两个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.解:(1)∵平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD ∩平面BCD=BD ,AB ⊂平面ABD ,AB ⊥BD ,∴AB ⊥平面BCD.又CD ⊂平面BCD ,∴AB ⊥CD.(2)过点B 在平面BCD 内作BE ⊥BD ,如图.由(1)知AB ⊥平面BCD ,BE ⊂平面BCD ,BD ⊂平面BCD , ∴AB ⊥BE ,AB ⊥BD.以B 为坐标原点,分别以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 依题意,得B (0,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),A (0,0,1),M (0,12,12),则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,12),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,-1).设平面MBC 的法向量n =(x 0,y 0,z 0),则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x 0+y 0=0,12y 0+12z 0=0, 取z 0=1,得平面MBC 的一个法向量n =(1,-1,1).设直线AD 与平面MBC 所成角为θ,则sin θ=|cos <n ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63,即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为√63.18.(本小题满分13分)(2014福建,理18)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: ①顾客所获的奖励额为60元的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.分析:在第(1)问中,主要考查古典概型概率问题,60元的组成为50+10,而摸到每个球都是等可能的,所以只要代入公式即可求得获得60元奖励的概率.而要求得分布列及期望值,依然利用古典概型,把X 的所有取值对应概率准确求出,再利用期望公式求出即可.(2)先根据两种方案中小球的面值估算期望值为60的各种可能:(10,10,50,50)和(20,20,40,40),再利用古典概型求出两种可能性方案对应的分布列和期望值进行验证;若两者的期望值相同,则需求出它的方差,利用方差大小确定更为合适的设计方案. 解:(1)设顾客所获的奖励额为X.①依题意,得P (X=60)=C 11C 31C 42=12,即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X=60)=12,P (X=20)=C 32C 42=12,即X 的分布列为X 2060P 0.5 0.5所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),1的分布列为X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60,X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=1 6003. 对于方案2,即方案(20,20,40,40),X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×16=60,X 2的方差为D (X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003. 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.19.(本小题满分13分)(2014福建,理19)已知双曲线E :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l 1:y=2x ,l 2:y=-2x.(1)求双曲线E 的离心率;(2)如图,O 为坐标原点,动直线l 分别交直线l 1,l 2于A ,B 两点(A ,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ?若存在,求出双曲线E 的方程;若不存在,说明理由.分析:在第(1)问中,已知渐近线方程,即a 与b 的关系,再结合双曲线本身a ,b ,c 的关系及离心率e=ca,便可求得离心率.(2)首先根据渐近线方程设双曲线方程,然后根据动直线l 的斜率是否存在进行分类讨论.显然斜率不存在时,由直线l 和双曲线有且只有一个公共点可知其方程为x=a ,此时只需检验△OAB 的面积是否为8即可;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y=kx+m ,首先由△OAB 的面积为8求出k ,m 的关系式,然后根据直线和圆锥曲线有且只有一个公共点,利用判别式的符号判断其存在性. 解法一:(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y=2x ,y=-2x ,所以b a=2, 所以√c 2-a 2a=2,故c=√5a ,从而双曲线E 的离心率e=ca=√5.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1. 设直线l 与x 轴相交于点C.当l ⊥x 轴时,若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点, 则|OC|=a ,|AB|=4a , 又因为△OAB 的面积为8,所以12|OC|·|AB|=8,因此12a ·4a=8,解得a=2,此时双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 若存在满足条件的双曲线E ,则E 的方程只能为x 24−y 216=1. 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时,双曲线E :x 24−y 216=1也满足条件. 设直线l 的方程为y=kx+m ,依题意,得k>2或k<-2,则C (-mk,0).记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由{y =kx +m ,y =2x得y 1=2m 2-k ,同理得y 2=2m 2+k ,由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|得,12|-m k |·|2m 2-k -2m2+k|=8,即m 2=4|4-k 2|=4(k 2-4).由{y =kx +m ,x 24-y 216=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-16=0.因为4-k 2<0,所以Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+16)=-16(4k 2-m 2-16),又因为m 2=4(k 2-4),所以Δ=0,即l 与双曲线E 有且只有一个公共点.因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法二:(1)同解法一.(2)由(1)知,双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a 2=1. 设直线l 的方程为x=my+t ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 依题意得-12<m<12.由{x =my +t ,y =2x 得y 1=2t 1-2m ,同理得y 2=-2t 1+2m.设直线l 与x 轴相交于点C ,则C (t ,0). 由S △OAB =12|OC|·|y 1-y 2|=8,得12|t|·|2t 1-2m +2t1+2m|=8, 所以t 2=4|1-4m 2|=4(1-4m 2). 由{x =my +t ,x 2a2-y 24a2=1得,(4m 2-1)y 2+8mty+4(t 2-a 2)=0.因为4m 2-1<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=64m 2t 2-16(4m 2-1)(t 2-a 2)=0, 即4m 2a 2+t 2-a 2=0,即4m 2a 2+4(1-4m 2)-a 2=0,即(1-4m 2)(a 2-4)=0, 所以a 2=4,因此,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1. 解法三:(1)同解法一.(2)当直线l 不与x 轴垂直时,设直线l 的方程为y=kx+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).依题意得k>2或k<-2. 由{y =kx +m ,4x 2-y 2=0得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2=0,因为4-k 2<0,Δ>0,所以x 1x 2=-m 24-k2,又因为△OAB 的面积为8, 所以12|OA|·|OB|·sin ∠AOB=8, 又易知sin ∠AOB=45,所以25√x 12+y 12·√x 22+y 22=8,化简得x 1x 2=4.所以-m 24-k2=4,即m 2=4(k 2-4).由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2−y 24a2=1,由{y =kx +m ,x 2a2-y 24a2=1得,(4-k 2)x 2-2kmx-m 2-4a 2=0,因为4-k 2<0,直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k 2m 2+4(4-k 2)(m 2+4a 2)=0, 即(k 2-4)(a 2-4)=0,所以a 2=4, 所以双曲线E 的方程为x 24−y 216=1. 当l ⊥x 轴时,由△OAB 的面积等于8可得l :x=2,又易知l :x=2与双曲线E :x 24−y 216=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ,且E 的方程为x 24−y 216=1.20.(本小题满分14分)(2014福建,理20)已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图象与y 轴交于点A ,曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值;(2)证明:当x>0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .分析:(1)由题意可知点A 的横坐标为0,先求出f (x )的导函数f'(x ),则曲线y=f (x )在点A 处的切线斜率为f'(0),由f'(0)=-1可求得a 的值.再利用求极值的步骤求解即可.对于(2),常对此类问题构造新函数g (x )=e x -x 2,只需g (x )>0在(0,+∞)上恒成立即可,利用导数得到g (x )的单调性,从而得证.(3)根据c的值与1的大小关系分类进行证明.当c≥1时,可直接根据(2)中的结论得证;当0<c<1时,证明的关键是找出x0.先将不等式转化为e x>1c x2,利用对数的性质,进一步转化为x>ln(1cx2)=2ln x-ln c,即可构造函数h(x)=x-ln x+ln c,然后利用导数研究其单调性,在该函数的增区间内找出一个值x0,使h(x0)>0即可得证.也可结合(2)的结论,合理利用e x>x2将x2中的一个x赋值,利用不等式的传递性来解决问题.解法一:(1)由f(x)=e x-ax,得f'(x)=e x-a.又f'(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x-2x,f'(x)=e x-2.令f'(x)=0,得x=ln2.当x<ln2时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>ln2时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以当x=ln2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln2)=e ln2-2ln2=2-ln4,f(x)无极大值.(2)令g(x)=e x-x2,则g'(x)=e x-2x.由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln2)>0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0,因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x2<e x.(3)①若c≥1,则e x≤c e x.又由(2)知,当x>0时,x2<e x.所以当x>0时,x2<c e x.取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.②若0<c<1,令k=1c>1,要使不等式x2<c e x成立,只要e x>kx2成立.而要使e x>kx2成立,则只要x>ln(kx2),只要x>2ln x+ln k成立.令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-2x =x-2x.所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增.取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增,又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln2)+3(k-ln k)+5k,易知k>ln k,k>ln2,5k>0,所以h(x0)>0.即存在x0=16c,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法二:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)对任意给定的正数c,取x0=√c, 由(2)知,当x>0时,e x>x2,所以e x=e x2·ex2>(x2)2(x2)2,当x>x0时,e x>(x2)2(x2)2>4c(x2)2=1cx2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.解法三:(1)同解法一.(2)同解法一.(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有13x3<e x.证明如下:令h(x)=13x3-e x,则h'(x)=x2-e x.由(2)知,当x>0时,x2<e x,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即13x3<e x.取x0=3c ,当x>x0时,有1cx2<13x3<e x.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x2<c e x.21.(2014福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A -1=(2 11 2).①求矩阵A ;②求矩阵A -1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量. 分析:①求得|A -1|的值,利用求逆矩阵的公式便可求得A .②结合A -1的特征多项式,解方程,从而求得A -1的特征值. 解:(1)因为矩阵A 是矩阵A -1的逆矩阵,且|A -1|=2×2-1×1=3≠0,所以A =13(2 -1-1 2)=(23 -13-13 23). (2)矩阵A -1的特征多项式为f (λ)=|λ-2 -1-1 λ-2|=λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f (λ)=0,得矩阵A -1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1=( 1-1)是矩阵A -1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2=(11)是矩阵A -1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.(2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为{x =a -2t ,y =-4t (t 为参数),圆C 的参数方程为{x =4cosθ,y =4sinθ(θ为参数).①求直线l 和圆C 的普通方程;②若直线l 与圆C 有公共点,求实数a 的取值范围.分析:①通过消参,直线是代入消去法,圆是利用平方关系便可求得直线和圆的普通方程.在②中,利用直线和圆的位置关系,得d ≤r ,从而求得a 的范围. 解:(1)直线l 的普通方程为2x-y-2a=0,圆C 的普通方程为x 2+y 2=16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点, 故圆C 的圆心到直线l 的距离d=√5≤4, 解得-2√5≤a ≤2√5.(3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )=|x+1|+|x-2|的最小值为a. ①求a 的值;②若p ,q ,r 是正实数,且满足p+q+r=a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3.分析:①利用绝对值不等式的性质容易得证,但要注意利用|a|+|b|≥|a±b|中的哪一个.②利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+s 2)≥(am+bn+cs )2,结合所给式子特点,合理赋值,可得证结果. 解:(1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立,所以f (x )的最小值等于3,即a=3.(2)由(1)知p+q+r=3,又因为p ,q ,r 是正实数,所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r )2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.。
泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分 因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分 （ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分 所以()6B A C ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分 又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ==12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值.………………13分 另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分 因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……①1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分 所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k=++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分 化简，得254k =， 当254k =时，0∆>，故k =，…………12分 所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EFAB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n n∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为7……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+， 不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分 （Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。
2014年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查数学（理科）第I 卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置． 1. 已知i 是虚数单位，则3i2i-+等于 A .－1＋i B .－1－iC .1＋iD .1－i2. 41()x x+展开式中的常数项为A ．6B ．8C ．10D ．123. 已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为1,其直观图 和正(主)视图如图所示,则它的左(侧)视图的面积是A B ．1 C ．12D【答案】D 【解析】试题分析：由于侧视图是一个边长为1和2的矩形，所以面积为2. 考点：1.三视图的识别.2.空间思维.4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b + 等于A ．1B CD ．2考点：1.向量的数量积.2.向量的模的运算.5．执行如图所示的程序框图,如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为 A ．7 B ．9C ．11D ．13【答案】B 【解析】试题分析：因为输入1,2a b ==，则得到3a =；再进入判断框后又得到5a =；接着得到7a =；9a =就退出循环.考点：1.程序框图的识别.2.递推的思想.6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于A ．142B ．45C ．56D ．677. 已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 A ．πB ．65π C ．π2 D ．67π8. 已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)【答案】A试题分析：依题意可得1,2)C .如图可知. 目标函数y x z =+.过点B 的截距最大，过点C 的截距最小.所以(1z ∈.考点：1.线性规划问题.2.函数的最值问题.3.三角形的坐标表示.9. 已知)(x f 为R 上的可导函数,且R x ∈∀,均有)()(x f x f '>,则以下判断正确的是A ．2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)f e f <C ．2013(2013)(0)f ef = D ．2013(2013)(0)f e f 与大小无法确定支分别交于A 、B 两点.若ΔABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为【解析】试题分析：如图依题意可得22AB AF BF ==.又因为122BF BF a -=.所以12AF a =.又因为212AF AF a -=.所以24AF a =.即在三角形01212126,4,2,60BF a BF a F F c F BF ===∠=.由余弦定理可得227c a =.考点：1.双曲线的性质.2.解三角形的知识.3.双曲线的定义.4.待定系数的思想方法.第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11．320x dx ⎰=_________.12．等差数列{}n a 中, 3118a a +=, 数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b ⋅的值为 ．13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，则满足|x|≤ 3的概率为 ．14. 过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为 ． 【答案】215. 定义全集U 的非空子集P 的特征函数()1,0,p U U x Pf x P x P∈⎧=⎨∈⎩，这里ðð表示集合P 在全集U 的补集.已知,A B 均为全集U 的非空子集，给出下列命题： ①若A B ⊆，则对于任意()()A B x U f x f x ∈≤，都有； ②对于任意()(),1U A A x U f x f x ∈=-都有ð； ③对于任意()()(),A B A B x U f x f x f x ⋂∈=⋅都有； ④对于任意()()(),A B A B x U f x f x f x ⋃∈=+都有． 则正确命题的序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分13分）已知向量)(),sin ,cos ,sin x x x x m n ==，函数()f x m n =⋅．（I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（II ）已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若()32f A =，2,3a b c =+=， 求ABC ∆的面积.试题解析：（I ）依题意，得()2cos sin f x m n x x x =⋅=⋅+1c o s 2i n 22x x -=+1s i n (2)62x π=-+ ∴()f x 的最小正周期为π，由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈即()f x 的递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈．∴根据余弦定理得，2222242cos ()393b c bc A b c bc b c bc bc =+-=+-=+-=-,∴53bc =，∴115sin 223ABC S bc A ∆==⨯= 考点：1.向量的数量积.2.三角函数的二倍角公式，和差公式的逆运算.3.解三角形的知识.4.整体的数学思想.17. （本小题满分13分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．【答案】（I ）8.6,8.75；（II ）121140；（Ⅲ）参考解析 【解析】试题分析：（I ）由众数即为样本中出现次数最多的数字，中位数即为样本数据从小到大排序最中间的那个数字或是最中间的两个数字.根据所给的数字即可得到结论.（II ）因为幸福指数不低于9.5分的共有4人，求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率，转化为16人中一人是“极幸福”的概率加上没有人是“极幸福”的概率.通过计算即可得到所求的结论.（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3.6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ；64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP . ξ的分布列为：ξE 27279101230.7564646464=⨯+⨯+⨯+⨯=. 另解：ξ的可能取值为0，1，2，3, 则1~(3,)4B ξ，因此3313()()()44kkkP k C ξ-==.有6427)43()0(3===ξP ；6427)43(41)1(213===C P ξ；64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3===ξP . ξ的分布列为：所以ξE =75.0413=⨯． 考点：1.统计的知识.2.概率的计算.3.数学期望的计算.18. （本小题满分13分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =．(I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)求直线AP 与平面PDB 所成角的正弦值；(Ⅲ)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E －BD －P 的余弦值为3（Ⅲ）要使得二面角E －BD －P EBD 的法向量，由于平面PBD 即可解出λ的值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD . 又因为ADC ∠＝90 ，即AD ⊥CD ， 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==-所以0DB BC ⋅=，所以BC BD ⊥.由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥,又因为PD DB D = ，所以BC ⊥平面PBD .n BC n BC== ，解得13λ=或1λ=-， 又由题意知()0,1∈λ，故13λ=. 考点：1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.3.线面所成的角.4.面面所成的角.5.待定系数的方法.19. （本小题满分13分）已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 和椭圆22143x y +=的右焦点重合,直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点. (I)求抛物线C 的方程；(II)若直线l 交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==,m 、n 是实数,对于直线l ,m+n 是否为定值?若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.(II)由已知得直线l 的斜率一定存在，所以设l ：(1)y k x =-，l 与y 轴交于0,)M k -（，设直线l 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ， 由22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩ ∴22424(2)416(1)0k k k ∆=+-=+ ，21212224,1k x x x x k ++=⋅= 又由111111,(,)(1,),(1),MA mAF x y k m x y x m x =∴+=--∴=-即m=111x x -,同理221x n x =-, ∴12121212121221111()x x x x x x m n x x x x x x +-⋅+=+==----++⋅ 所以,对任意的直线l ，m+ n 为定值－1考点：1.抛物线与椭圆的性质.2.向量的坐标形式的运算.3.归纳、化归思想.4.探索分析问题的能力.20. （本小题满分14分）巳知函数2()22ln f x x ax a x =--，22()ln 2g x x a =+，其中0,x a R >∈.(Ⅰ)若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值；(II)若()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；∴2222()0x ax af x x--'=≥在区间(2,)+∞上恒成立，解法2：222()()()22ln ln 2F x f x g x x ax a x x a =+=--++ 22()(ln )x a x a =-+-则()F x 表示ln y x =上一点(,ln )x x 与直线y x =上一点(,)a a 距离的平方．∴直线1y x =-与ln y x =的图象相切于点(1,0)，考点：1.函数的极值.2函数的单调性.3.构造新函数求解.4.放缩法的思想.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
龙岩市2013一2014学年第一学期高三教学质量检查数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第B 卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2.请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．3.本试卷主要考试内容：除“统计与统计案例，计数原理、概率，算法初步，数系的扩充与复 数的引入”外的高考内容．第工卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．1.已知集合A={x ｜x 2＋x －2<0｝，集合B= {x ｜(x ＋2) (3－x)＞0｝，则等于A. {x ｜1≤x<3｝B. {x ｜2≤x<3｝C. {x ｜－2<x<1｝D. {x ｜－2<x ≤－1或2≤x<3｝ 2.已知命题p ：∃2,log (31)xx R ∈+≤0，则 A. p 是假命题；⌝p ：∀2,log (31)xx R ∈+≤0 B. p 是假命题；⌝p ：∀2,log (31)x x R ∈+＞0 C. p 是真命题；⌝p ：∀2,log (31)x x R ∈+≤0 D. p 是真命题；⌝p ：∃2,log (31)x x R ∈+＞0 3、设f (x) ＝，则f （6）的值A. 8B. 7C. 6D. 54.设等比数列｛n a ｝, Sn 是数列｛n a ｝的前n 项和，S 3=14,且 a l ＋8, 3a 2 , a 3＋6依次成等差数列， 则a l ·a 3等于A. 4B. 9C. 16D. 255．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，其长轴长是焦距的4倍，且抛物线y 2＝6x 的焦点平分线段AF ，则椭圆C 的方程为6一艘船上午9：30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东300处，之后它继续沿正北方向匀速航 行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东750，且与它相距82海里，则此 船的航速是A. 24海里／小时B. 30海里／小时C. 32海里／小时D. 40海里／小时7一个侧棱与底面垂直的棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视 图如图所示，则截去那一部分的体积为．A 、1B 、32C 、11D 、128.将函数f （x ）＝3sin 22x cos x -的图象向左平移m 个单位（m ＞一2π），若所得的图象关于 直线x ＝6π对称，则m 的最小值为 A.一3π B.一6πC. 0D. 12π9.设F 是双曲线22221x y a b-=的右焦点，双曲线两渐近线分另。
1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分 所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分 所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分 所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税， 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分 设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =， 所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分 （Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '． （ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分 （ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=， 所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。
