不等式选讲之不等式证明与数学归纳法早练专题练习(五)带答案人教版高中数学考点大全

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考湖北卷（理））设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4-5：不等式选讲解不等式211x x +--≤.综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. …………………………10分4．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．5．（汇编年高考辽宁卷（文））选修4-5:不等式选讲已知函数()f x x a =-,其中1a >.(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;(II)已知关于x 的不等式()(){}222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值.6．2 ．（汇编年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥. 7．已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n n a b ab a b ++++≥． 证明：先证112n n n n a b a b a b +++++≥， 只要证112()()()n n n n a b a b a b +++++≥，即要证11n n n n a b a b ab +++--≥0，即要证()(n n a b a b --)≥0， ………5分 若a b ≥，则a b -≥0，n n a b -≥0，所以()(n n a b a b --)≥0，若a b <，则0a b -<，0n n a b -<，所以()()0n n a b a b -->，综上，得()(n n a b a b --)≥0．从而112n n n n a b a b a b +++++≥， ………8分 因为2a b ab +≥， 所以11n n n na b ab a b ++++≥． ………10分8．已知a ，b ，c 都是正数，且236a b c ++=，求12131a b c +++++的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．31472．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．含绝对值不等式的解法、分段函数4． 选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分 =(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分 ∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分 从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分5．6．7．8．。

高三数学不等式证明试题答案及解析1.已知均为正数，证明：．【答案】证明见解析.【解析】不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab， b2＋c2≥2bc， c2＋a2≥2ac．所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．所以原不等式成立． 10分【考点】不等式的证明.2.已知a,b均为正数，且a+b=1,证明：（1）（2）【答案】见解析【解析】（1）因为a+b=1,所以，a-1=-b,b-1=-a,故=,当且仅当a=b时等号成立。

（2）==当且仅当a=b时等号成立。

3.在中，不等式成立；在凸四边形ABCD中，不等式成立；在凸五边形ABCDE中，不等式成立，，依此类推，在凸n边形中，不等式__ ___成立.【答案】【解析】我们可以利用归纳推理的方法得到不等式，从而得出结论．【考点】归纳推理.4.已知a,b,x,y均为正数且>,x>y.求证:>.【答案】见解析【解析】证明：∵-=,又>且a,b均为正数,∴b>a>0.又x>y>0,∴bx>ay.∴>0,即>.5.若a,b,c为不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.【答案】见解析【解析】证明：由a,b,c为正数,得lg≥lg;lg≥lg;lg≥lg.而a,b,c不全相等,所以lg+lg+lg>lg+lg+lg="lg" (abc)=lga+lgb+lgc.即lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.6.下面四个图案，都是由小正三角形构成，设第个图形中有个正三角形中所有小正三角形边上黑点的总数为.图1 图2 图3 图4（Ⅰ）求出,,,;（Ⅱ）找出与的关系，并求出的表达式；（Ⅲ）求证：().【答案】（Ⅰ）12,27,48,75. （Ⅱ），．（Ⅲ）详见解析．【解析】（Ⅰ）求出,,,，第二个图形的黑点个数为第一个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，第三个图形的黑点个数为第二个图形的黑点个数加上外面的三角形上的黑点个数，即，以此类推可求出,；（Ⅱ）观察,,,可得到，后一个图形的黑点个数是前一个图形外多加一个三角形，而且每一条边都比内一个三角形多两个黑点，即，即，求出的表达式，像这种关系可用叠加法，即写出，，，，，把这个式子叠加，即可得出的表达式；（Ⅲ）求证：()，先求出的关系式，得，由于求证的不等式右边是常数，可考虑利用放缩法，即，这样既可证明．试题解析：（Ⅰ）由题意有，，，，，．（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）知，，即，所以，，，， 5分将上面个式子相加，得：6分又，所以． 7分（Ⅲ），∴． 9分当时，，原不等式成立． 10分当时，，原不等式成立． 11分当时，，原不等式成立． 13分综上所述，对于任意，原不等式成立． 14分【考点】归纳推理，放缩法证明不等式．7.设正有理数是的一个近似值，令.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，请说明理由.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）比更接近．【解析】（Ⅰ）若，求证：，只需证即可，即；（Ⅱ）比较与哪一个更接近，只需比较它们与差的绝对值的大小，像这一类题，可采用作差比较法．试题解析：(Ⅰ),,.（Ⅱ），，，而，，所以比更接近．【考点】作差法证明不等式.8.设实数满足，求证：．【答案】详见解析.【解析】作差，分解因式，配方，判断符号.试题解析：作差得 1分4分． 6分因为，所以不同时为0，故，，所以，即有． 10分【考点】不等式的证明.9.设f(x)＝lnx＋－1，证明：（1）当x>1时，f(x)< (x－1)；（2）当1<x<3时，f(x)<.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）(证法一)记g(x)＝lnx＋－1－ (x－1).则当x>1时，g′(x)＝＋－<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减.又g（1）＝0，有g(x)<0，即f(x)< (x－1).(证法二)由均值不等式，当x>1时，2<x＋1，故<＋.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k（1）＝0，k′(x)＝－1<0，故k(x)<0，即lnx<x－1.②由①②得，当x>1时，f(x)< (x－1).（2）(证法一)记h(x)＝f(x)－，由（1）得h′(x)＝＋－＝－<－＝.令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1<x<3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216<0.因此g(x)在(1,3)内是递减函数，又由g（1）＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h（1）＝0，得h(x)<0.于是当1<x<3时，f(x)<. (证法二)记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1<x<3时，由（1）得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9< (x－1)＋(x＋5)－9＝ [3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x]<＝ (7x2－32x＋25)<0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又，所以，即.10.( 本小题满分12分)已知集合中的元素都是正整数，且，对任意的且，有．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）对于，试给出一个满足条件的集合【答案】(Ⅰ) 证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）．【解析】（1）因为，对任意的且，有．所以两边分别相加得.即.（2）由(Ⅰ)可得；同理，所以，即.（3）由（1）知，令，可取大于1的任意整数，令；同理令；；，则，令，则，令，则，令，则，令.就得到满足条件的一个集合.(Ⅰ) 证明：依题意有，又，因此．可得．所以．即．…………………4分（Ⅱ）证明：由(Ⅰ)可得．又，可得，因此．同理，可知．又，可得，所以均成立．当时，取，则，可知．又当时，．所以．……………………………………………………8分（Ⅲ）解：对于任意，，由可知，，即．因此，只需对，成立即可．因为；；；，因此可设；；；；．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．由，可得，取．所以满足条件的一个集合．……………12分其它解法，请酌情给分.11.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数满足，且，求证：【答案】见解析。

高三数学不等式选讲试题答案及解析1.不等式的解集是．【答案】【解析】由绝对值的几何意义，数轴上之间的距离为，结合图形，当落在数轴上外时.满足不等式，故答案为.【考点】不等式选讲.2.不等式的解集是【答案】【解析】原不等式可化为，解得.考点:绝对值不等式解法3.已知函数（Ⅰ）证明:；（Ⅱ）求不等式:的解集．【答案】（Ⅰ）祥见解析；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x-2|-|x-5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（Ⅱ）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．试题解析：（Ⅰ）当所以（Ⅱ）由（1）可知，当的解集为空集；当时，的解集为：；当时，的解集为：；综上，不等式的解集为：；【考点】绝对值不等式的解法．4.设函数=（1）证明：2；（2）若，求的取值范围.【答案】（2）【解析】本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.（2）因为，所以，解得：.【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点】本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求参数范围等不等式知识，熟练基础知识是解答好本类题目的关键.5.（5分）（2011•陕西）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式|x+1|+|x﹣2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE= ．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．【答案】（﹣∞，3] 2 1【解析】A．首先分析题目已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．对于求|x+1|+|x﹣2|的最小值，可以分析它几何意义：在数轴上点x 到点﹣1的距离加上点x到点2的距离．分析得当x在﹣1和2之间的时候，取最小值，即可得到答案；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．解：A．已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥a恒成立，即需要a小于等于|x+1|+|x﹣2|的最小值即可．故设函数y=|x+1|+|x﹣2|．设﹣1、2、x在数轴上所对应的点分别是A、B、P．则函数y=|x+1|+|x﹣2|的含义是P到A的距离与P到B的距离的和．可以分析到当P在A和B的中间的时候，距离和为线段AB的长度，此时最小．即：y=|x+1|+|x﹣2|=|PA|+|PB|≥|AB|=3．即|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．即：k≤3．故答案为：（﹣∞，3]．B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+y2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+y2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为1．故答案为：1点评：A题主要考查不等式恒成立的问题，其中涉及到绝对值不等式求最值的问题，对于y=|x﹣a|+|x﹣b|类型的函数可以用分析几何意义的方法求最值．本题还考查了三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．6.（2012•广东）不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为_________．【答案】【解析】∵|x+2|﹣|x|=∴x≥0时，不等式|x+2|﹣|x|≤1无解；当﹣2＜x＜0时，由2x+2≤1解得x≤，即有﹣2＜x≤；当x≤﹣2，不等式|x+2|﹣|x|≤1恒成立，综上知不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为故答案为7.设函数，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象，可知在处取得最小值，∵, ,即,或．∴实数的取值范围为，选C.8.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.9.设函数,其中。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲设2()14,||1f x x x x a =-+-<且，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．4．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．5．解关于x 的不等式 ()2||60x x a a a -≤> ．6．已知关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，求实数a 的取值范围．7．已知a 、b 、c 是正实数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．8．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111.x y z yz zx xy x y z++++≥【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．；2．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．4．因为a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是 ()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++ 33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)a b c a b c ⋅+++=+++≥，当且仅当13a b c ===时，等号成立． …………………………………8分即1111323232a b c +++++≥，故111323232a b c +++++的最小值为1．…………10分5．选修4－5：不等式选讲解：当x a ≥时，原不等式化为22,60,x a x ax a ≥⎧⎨--≤⎩ 解得3a x a ≤≤．……………4分 当x a <时，原不等式化为22,60,x a x ax a <⎧⎨-+-≤⎩ 解得x a <．……………8分故原不等式的解集为(],3a -∞ ． ……………10分6．选修4－5：不等式选讲解：∵|1||||(1)()||1|x x a x x a a ------=-≤恒成立， ……………………5分 ∴要使关于x 的不等式|1|||2x x a ---<恒成立，当且仅当|1|2a -<， ……8分 即13a -<<．所以实数a 的取值范围为(13)-，． ……………………10分7．证明：由⎝⎛⎭⎫a b －b c 2+ ⎝⎛⎭⎫b c －c a 2+ ⎝⎛⎭⎫c a －a b 2≥0，得 2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)－2(a b ＋b c ＋c a )≥0，∴a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥b a ＋c b ＋a c．……………………10分8．选修4－5（不等式选讲）证明：因为x ，y ，z 无为正数．所以12()x y x y yz zx z y x z+=+≥， …………………………4分 同理可得22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥， ……………………………………………………7分 当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111x y z y z z x x y x y z ++++≥． …………10分。

第四讲数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证() A．n＝1B．n＝2C．n＝3 D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是()A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N＋)成立，其初始值至少应取()A．7B．8 C．9D．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案：B4．用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ≥1124(n ∈N *)”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是( )A.12（k ＋1）B.12k ＋1＋12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1D.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1－1k ＋2解析：当n ＝k 时，不等式为1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ≥1124. 当n ＝k ＋1时，左边＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 比较n ＝k 与n ＝k ＋1的左边，可知应添加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.答案：C5．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＞m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为() A．12 B．13C．14 D．不存在解析：令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，取n＝2，3，4，5等值发现f(n)是单调递减的，所以f(n)]max＞m 24，所以由f(2)＞m24，求得m的值．故应选B.答案：B二、填空题6．设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，则(1＋x)n＞_______．解析：由贝努利不等式知(1＋x)n＞1＋nx.答案：1＋nx7．设通过一点的k个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k＋1个平面将空间分成f(k＋1)＝f(k)＋________个部分．答案：2k8．在应用数学归纳法证明“1＋122＋132＋…＋1（n＋1）2＜2n＋1n＋1(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n＝k时，尾项的分母为(k ＋1)2，n＝k＋1时尾项的分母为(k＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n ＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n ＝k 到n ＝k ＋1只增加了一项，即1（k ＋2）2(k ∈N ＋)． 答案：1（k ＋2）2三、解答题9．求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2n n ＋1. 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，左式＝右式． 当n ＝2时，左边＝1＋12＝32，右边＝2×22＋1＝43，32＞43， 左边＞右边．故当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，有1＋12＋13＋…＋1k ≥2k k ＋1. 则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋…＋1k ＋1≥2k k ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1. 因为2k ＋1k ＋1－2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝k （k ＋1）（k ＋2）＞0， 所以2k ＋1k ＋1＞2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝右边． 由不等式的传递性可得：左边＞右边．故当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *原不等式都成立．10．设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n ＋a .求证：对于任意的n ∈N *，都有1＜a n ＜11－a . 证明：(1)当n ＝1时，a 1＞1，又a 1＝1＋a ＜11－a，显然命题成立． (2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立．即1＜a k ＜11－a . 当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，由递推公式可知a k ＋1＝1a k＋a ＞(1－a )＋a ＝1.同时a k ＋1＝1a k ＋a ＜1＋a ＝1－a 21－a ＜11－a. 所以当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，命题也成立，即1＜a k ＋1＜11－a. 由(1)(2)可知对于任意的n ∈N ＋，都有1＜a n ＜11－a. B 级 能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项 解析：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k 项． 答案：D2．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)·a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项a n＝________．解析：可用两种方法求解．法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝12，a3＝13，通过不完全归纳法知，a n＝1n.法二：对已知等式因式分解得(n＋1)a n＋1－na n]·(a n＋1＋a n)＝0.由a n＞0知a n＋1a n＝nn＋1，再由累乘法求得a n＝1n.答案：1 n3．设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．解：法一：a2＝2，a3＝2＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2＝(a n－1)2＋1.从而{ (a n－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即a k＝k－1＋1，则a k＋1＝（a k－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，则c ＝（c －1）2＋1－1，解得c ＝14. 下用数学归纳法证明加强命题a 2n ＜c ＜a 2n ＋1＜1.当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1，所以a 2＜14＜a 2＜1，结论成立． 假设n ＝k 时结论成立，即a 2k ＜c ＜a 2k ＋1＜1.易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而c ＝f (c )＞f (a 2k ＋1)＞f (1)＝a 2，即1＞c ＞a 2k ＋1＞a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )＜f (a 2k ＋2)＜f (a 2)＝a 3＜1. 故c ＜a 2k ＋3＜1，因此a 2(k ＋1)＋1＜1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．已知正数,,x y z 满足2221x y z ++=，则12z S xyz+=的最小值为________ 评卷人得分 二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b y x y x y ++++≤． 【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()222ax by a x b y x y x y++++≤， 即证222()()()ax by x y a x b y +++≤． 即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立， 故()222ax by a x b y x y x y++++≤． ……………………………10分 4．已知a ，b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y.求证：x x ＋a ＞y y ＋b.5．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且2221,1a b c a b c ++=++=，求证：413a b <+<6．设123,,a a a 均为正数, 且123a a a m ++=, 求证:12233111192a a a a a a m++≥+++.7．已知a 、b 、c 为正数，且a ＋b ＋c ＝3，求313131a b c +++++的最大值.8．已知,,a b c 为正数，且满足22cos sin a b c θθ+<，求证：22cos sin a b c θθ+<【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．；2．4评卷人得分二、解答题3．4．选修45：不等式选讲证明：∵xx＋a－yy＋b＝x（y＋b）－y（x＋a）（x＋a）（y＋b）＝bx－a y（x＋a）（y＋b），又b＞a＞0，x＞y＞0，∴ (x＋a)(y＋b)＞0，bx＞ay，即bx－ay＞0，∴xx＋a－yy＋b＞0，即xx＋a＞yy＋b.(10分)5．因为a＋b＝1－c，ab＝222()()2a b a b+-+＝c2－c，………………………3分所以a，b是方程x2－(1－c)x＋c2－c＝0的两个不等实根，则△＝(1－c)2－4(c2－c)＞0，得－13＜c＜1，………………………5分而(c－a)(c－b)＝c2－(a＋b)c＋ab＞0，即c2－(1－c)c＋c2－c＞0，得c＜0，或c＞23，…………………………8分又因为a b c >>，所以0c <．所以－13＜c ＜0，即1＜a ＋b ＜43． …………10分6．证明: 因为122331111()a a a a a a +++++122331[()()()]a a a a a a ⋅+++++ 31223311113a a a a a a ≥⋅⋅+++·31223313()()()a a a a a a +⋅+⋅+=9……………………………… 6分 当且仅当1233m a a a ===时等号成立, 则由122331111()a a a a a a +++++29m ⋅≥, 知12233111192a a a a a a m++≥+++………………………………………………………………… 10分(注: 此题也可以用柯西不等式证明)7．运用柯西不等式2(313131)a b c +++++2(131131131)a b c =⋅++⋅++⋅+ …………………2分 222222(111)[(31)(31)(31)]a b c ≤+++++++ ……………………………………8分＝3[3（a+b+c ）+3]=36 所以3131316a b c +++++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，故所求式子的最大值是6. ……………………………………………………………………………………10分8．解：由柯西不等式，得22cos sin a b θθ+ 11222222[(cos )(sin )](cos sin )a b θθθθ≤++1222(cos sin )a b c θθ=+<． ………………………………10分。

第四讲数学归纳法证明不等式4.2 用数学归纳法证明不等式A级基础巩固一、选择题1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)，第一步应验证( ) A．n＝1 B．n＝2C．n＝3 D．n＝4解析：由题意n≥3知应验证n＝3.答案：C2．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n－1＜n，(n∈N＋，n＞1)”时，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是( )A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.故选C.答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n－1＞12764(n∈N＋)成立，其初始值至少应取( )A．7 B．8 C．9 D．10解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.答案：B4．用数学归纳法证明“1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ≥1124(n ∈N *)”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式左边应添加的项是( )A.12（k ＋1） B.12k ＋1＋12k ＋2 C.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1 D.12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1－1k ＋2解析：当n ＝k 时，不等式为 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ≥1124. 当n ＝k ＋1时，左边＝1（k ＋1）＋1＋1（k ＋1）＋2＋…＋1（k ＋1）＋（k －1）＋1（k ＋1）＋k ＋1（k ＋1）＋（k ＋1）＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋1k ＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2. 比较n ＝k 与n ＝k ＋1的左边，可知应添加的项为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1. 答案：C5．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＞m24对大于1的一切自然数n 都成立，则自然数m 的最大值为( )A ．12B ．13C ．14D ．不存在解析：令f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，取n ＝2，3，4，5等值发现f (n )是单调递减的，所以f (n )]max ＞m24，所以由f (2)＞m24，求得m 的值．故应选B.答案：B 二、填空题6．设x ＞－1，且x ≠0，n 为大于1的自然数，则(1＋x )n ＞_______． 解析：由贝努利不等式知(1＋x )n ＞1＋nx . 答案：1＋nx7．设通过一点的k 个平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k 个平面将空间分成f (k )个部分，则k ＋1个平面将空间分成f (k ＋1)＝f (k )＋________个部分．答案：2k8．在应用数学归纳法证明“1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2＜2n ＋1n ＋1(n∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边增加的项是________．解析：解决此题的关键是看清不等式的左边每一项的分母的变化，一看“头”，从12开始；二看“尾”，当n ＝k 时，尾项的分母为(k ＋1)2，n ＝k ＋1时尾项的分母为(k ＋2)2；三看中间，如果忽略平方，1，2，3，…，(n ＋1)这些数都是连续相差1时．因此，从n ＝k 到n ＝k ＋1只增加了一项，即1（k ＋2）2(k ∈N ＋)．答案：1（k ＋2）2 三、解答题9．求证：1＋12＋13＋…＋1n ≥2nn ＋1.证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×11＋1＝1，左式＝右式．当n ＝2时，左边＝1＋12＝32，右边＝2×22＋1＝43，32＞43，左边＞右边．故当n ＝1或n ＝2时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，有1＋12＋13＋…＋1k ≥2kk ＋1.则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋…＋1k ＋1≥2kk ＋1＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1. 因为2k ＋1k ＋1－2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝k （k ＋1）（k ＋2）＞0，所以2k ＋1k ＋1＞2（k ＋1）（k ＋1）＋1＝右边． 由不等式的传递性可得：左边＞右边． 故当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *原不等式都成立． 10．设0＜a ＜1，定义a 1＝1＋a ，a n ＋1＝1a n＋a .求证：对于任意的n ∈N *，都有1＜a n ＜11－a.证明：(1)当n ＝1时，a 1＞1，又a 1＝1＋a ＜11－a ，显然命题成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立． 即1＜a k ＜11－a.当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，由递推公式可知a k ＋1＝1a k＋a ＞(1－a )＋a＝1.同时a k ＋1＝1a k ＋a ＜1＋a ＝1－a 21－a ＜11－a.所以当n ＝k ＋1(k ∈N ＋)时，命题也成立， 即1＜a k ＋1＜11－a.由(1)(2)可知对于任意的n ∈N ＋，都有1＜a n ＜11－a .B 级 能力提升1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1＜f (n )(n ≥2，n∈N ＋)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项解析：1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k＋1＋…＋12k＋1－1，共增加了2k项．答案：D2．设{a n}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a2n＋1－na2n＋a n＋1·a n ＝0(n＝1，2，3，…)，则它的通项a n＝________．解析：可用两种方法求解．法一：分别令n＝1，2，3求出a2＝12，a3＝13，通过不完全归纳法知，a n＝1 n .法二：对已知等式因式分解得(n＋1)a n＋1－na n]·(a n＋1＋a n)＝0.由a n＞0知a n＋1a n＝nn＋1，再由累乘法求得a n＝1n.答案：1 n3．设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N＋成立？证明你的结论．解：法一：a2＝2，a3＝2＋1.再由题设条件知(a n＋1－1)2＝(a n－1)2＋1.从而{ (a n－1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n－1)2＝n－1，即a n＝n－1＋1(n∈N*)．法二：a2＝2，a3＝2＋1.可写为a1＝1－1＋1，a2＝2－1＋1，a3＝3－1＋1.因此猜想a n＝n－1＋1.下用数学归纳法证明上式：当n＝1时结论显然成立．假设n＝k时结论成立，即a k＝k－1＋1，则a k＋1＝（a k－1）2＋1＋1＝（k－1）＋1＋1＝（k＋1）－1＋1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．所以a n＝n－1＋1(n∈N*)．(2)设f(x)＝（x－1）2＋1－1，则a n＋1＝f(a n)．令c＝f(c)，则c＝（c－1）2＋1－1，解得c＝14 .下用数学归纳法证明加强命题a2n＜c＜a2n＋1＜1. 当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(0)＝2－1，所以a2＜14＜a2＜1，结论成立．假设n＝k时结论成立，即a2k＜c＜a2k＋1＜1.易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而c＝f(c)＞f(a2k＋1)＞f(1)＝a2，即1＞c＞a2k＋1＞a2.再由f(x)在(－∞，1]上为减函数得c＝f(c)＜f(a2k＋2)＜f(a2)＝a3＜1.故c＜a2k＋3＜1，因此a2(k＋1)＋1＜1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．综上，符合条件的c存在，其中一个值为c＝14 .。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．1 ．（汇编年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 2．考察下列一组不等式：33224433252525,252525,+>⋅+⋅+>⋅+⋅ 5511222222252525+>⋅+⋅ 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式为 ． 评卷人得分 二、解答题3．选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++++≥．4．（汇编年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为M 到N 的一条“L 路径”.如图6所示的路径1231MM M M N MN N 与路径都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)A B C -处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(I)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明);(II)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小.5．已知实数z y x ,,满足,2=++z y x 求22232z y x ++的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.6．解关于x 的不等式 ()2||60x x a a a -≤> ．7．若正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，求111323232a b c +++++的最小值．8．设0x y <<，求证：2222()()()()x y x y x y x y +->-+.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．[]0,42．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m 评卷人 得分二、解答题3．4．解: .0),,(≥y y x P 且设点(Ⅰ) d L A P 路径”的最短距离的“到点点)20,3(, |20 -y | + |3 -x |=+d 垂直距离，即等于水平距离,其中.,0R x y ∈≥(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识.点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值d = 水平距离之和的最小值h + 垂直距离之和的最小值v.且h 和v 互不影响.显然当y=1时,v = 20+1=21;时显然当]14,10[-∈x ,水平距离之和h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| 24≥,且当x=3时, h=24.因此,当P(3,1)时,d=21+24=45.所以,当点P(x,y)满足P(3,1)时,点P 到A,B,C 三点的“L 路径”长度之和d 的最小值为45.5．由柯西不等式，222222211()(2)(3)()()123x y z x y z ⎡⎤⎡⎤++++⋅++⎢⎥⎣⎦⎣⎦≤，……5分 因为2x y z =++，所以222242311x y z ++≥， 当且仅当2311123x y z ==，即6412,,111111x y z ===时，等号成立， 所以22223x y z ++的最小值为2411．…………………………………………………10分6．选修4－5：不等式选讲 解：当x a ≥时，原不等式化为22,60,x a x ax a ≥⎧⎨--≤⎩解得3a x a ≤≤．……………4分当x a <时，原不等式化为22,60,x a x ax a <⎧⎨-+-≤⎩解得x a <．……………8分 故原不等式的解集为(],3a -∞ ． ……………10分7．因为正数a ，b ，c 满足a +b +c =1，所以，()()()()()211132323a b c a b c +++++++++⎡⎤⎣⎦+++≥，………………5分 即1111323232≥a b c +++++， 当且仅当32323a b c +=+=+，即13a b c ===时，原式取最小值1． ………………10分 8． 2222()()()()x y x y x y x y +---+ ………………2分 222()[()]x y x y x y =-+-+()(2)x y xy =--， ………………8分 ∵ x y <， ∴ 0x y -<，又0x <，0y <， ∴20xy -<，∴ ()(2)0x y xy -->， ………………12分 ∴ 2222()()()()x y x y x y x y +->-+. ………………14分。

高中数学专题复习《不等式选讲-不等式证明与数学归纳法》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 评卷人得分 一、填空题1．（选修4—5 不等式选讲）如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ；2．若,,x y z 为正实数，则222xy yz x y z+++的最大值是22. 提示：2222112222x y y z xy yz +++≥+. 评卷人 得分二、解答题3．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|x a -+≥．…………………………………………………………………… 10分4．已知0a >，0b >，n ∈*N ．求证：11n n n n a b ab a b ++++≥． 证明：先证112n n n n a b a b a b +++++≥， 只要证112()()()n n n n a b a b a b +++++≥，即要证11n n n n a b a b ab +++--≥0，即要证()(n n a b a b --)≥0， ………5分 若a b ≥，则a b -≥0，n n a b -≥0，所以()(n n a b a b --)≥0，若a b <，则0a b -<，0n n a b -<，所以()()0n n a b a b -->，综上，得()(n n a b a b --)≥0．从而112n n n n a b a b a b +++++≥， ………8分 因为2a b ab +≥， 所以11n n n na b ab a b ++++≥． ………10分5．设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值．6．已知0,0,a b >>且21a b +=，求2224S ab a b =--的最大值．7．对于实数y x ,，若,12,11≤-≤-y x 求1+-y x 的最大值.8．已知实数a,b,c ∈R,a+b+c=1,求4a +4b +4c 2的最小值，并求出取最小值时a,b,c 的值。