江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷(解析版)

无锡市2019届高三上学期期末考试数学2019.01一、填空题：1、设集合A =｛x｜x＞0｝，B =｛x｜－2＜x＜1｝，则A∩B＝．答案：｛x｜0＜x＜1｝考点：集合的运算。

解析：取集合A，B的公共部分，得：A∩B＝｛x｜0＜x＜1｝2、设复数z 满足 (1+ i)z = 1－3i（其中 i 是虚数单位），则z 的实部为．答案：－1考点：复数的运算，复数的概念。

解析：z＝131ii-+＝(13)(1)(1)(1)i ii i--+-＝24122ii--=--，所以，实部为－1。

3、有A，B，C 三所学校，学生人数的比例为 3：4：5, 现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出 9 名志愿者，那么n = ．答案：36考点：分层抽样方法。

解析：设A，B，C三所学校学生人数为：3x，4x，5x，则总人数为：12x，所以，9312nx x=，解得：n＝364、史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，先从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为．答案：1 3考点：古典概型。

解析：设田忌的上中下等马分别为：A、B、C，齐王的上中下等马分别为：1、2、3，双方各先一匹马，所以可能为：A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3，共9种，田忌的马获胜的可能有：A2、A3、B3，共3种，所以，概率为：P＝31 93=。

5、执行如图的伪代码，则输出x 的值为．答案：25考点：算法初步。

解析：第1步：x＝1，x＝1；第2步：x＝2，x＝4；第3步：x＝5，x＝25；退出循环结果为25。

6、已知x，y 满足约束条件1020x yx yx-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z = x+y 的取值范围是．答案：［0,3］考点：线性规划。

解析：不等式组表示的平面区域如下图，当目标函数z = x+y 经过点O（0,0）时，取到最小值为：0经过点A（1,2）时，取到最大值：3，所以，范围为［0,3］7. 在四边形ABCD 中，已知2AB a b=+，4BC a b=--，53CD a b=--，其中，,a b是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是．答案：梯形考点：平面向量的三角形法则，共线向量的概念。

江苏省无锡市天一高级中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知一组样本数据点，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据的平均数为1，则等于A.10B.12C.13D.14参考答案：B2. 下列函数与相等的是A．B．C．D．参考答案：A3. 设α，β∈(0，)且tanα－tanβ=，则（）A．3α+β=B．2α+β=C．3α－β=D．2α－β=参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由题意和三角函数公式变形可得cosα=cos[﹣（α﹣β）]，由角的范围和余弦函数的单调性可得．【解答】解：∵，∴﹣=，∴=+=，∴sinαcosβ=cosα（1+sinβ）=cosα+cosαsinβ，∴cosα=sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β）由诱导公式可得cosα=sin（α﹣β）=cos[﹣（α﹣β）]，∵，∴[﹣（α﹣β）]∈（0，π），∴α=﹣（α﹣β），变形可得2α﹣β=，故选：D．【点评】本题考查三角函数恒等变换，熟练应用三角函数公式是解决问题的关键，属中档题．4. 已知是双曲线的两个焦点，以为直径的圆与双曲线一个交点是P，且的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是A. B.C.2D.5参考答案：D5. 函数f（x）=2x﹣x﹣的一个零点所在区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．【解答】解：由 f（1）=1﹣＜0，f（2）=2﹣＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（1，2）上，故选B．6. 已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心是O，则·=A．B．C．D．参考答案：C7. 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是A．B． C．D．参考答案：答案：A8. 试在抛物线y2=﹣4x上求一点P，使其到焦点F的距离与到A（﹣2，1）的距离之和最小，则该点坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再由抛物线的性质知：当P，A和焦点三点共线且点P在中间的时候距离之和最小，进而先求出纵坐标的值，代入到抛物线中可求得横坐标的值从而得到答案．【解答】解：∵y2=﹣4x∴p=2，焦点坐标为（﹣1，0）依题意可知当A、P及P到准线的垂足Q三点共线时，距离之和最小如图，故P的纵坐标为1，然后代入抛物线方程求得x=﹣，则该点坐标为：（﹣，1）．故选A．9. 下列集合运算正确的是（）A．B．C．D．参考答案：D逐一考查所给的选项：A. ，该选项错误；B. ，该选项错误；C. ，该选项错误；D. ，该选项正确本题选择D选项.10. 集合A={x|x≤a}，B={1，2}，A∩B=?，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由已知可得a＜1，且a＜2，进而得到a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x≤a}，B={1，2}，若A∩B=?，则a＜1，且a＜2，综上可得：a∈（﹣∞，1），故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，其中n∈N*，当n=1，2，3，…时，f n（x）的零点依次记作x1，x2，x3，…，则= ．参考答案：﹣3考点：极限及其运算．专题：导数的综合应用．分析：利用等比数列的前n项和公式可得：函数f n（x）=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．再利用极限的运算法则即可得出．解答：解：函数=+=+，令f n（x）=0，解得x n=﹣1．∴=﹣2×1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查了等比数列的前n项和公式、数列极限的运算法则，属于基础题．12. 若函数在上可导，，则______；参考答案：因为，所以，所以，所以。

江苏省无锡市第一高级中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知变量满足的值范围是（）参考答案：【知识点】线性规划 E5Ａ画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：，表示为可行域的点与点连线的斜率的范围加3求得.2. 在区间上随机取一个数，则事件：“”的概率为（）A． B ． C． D．参考答案：C3. 函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度参考答案：C略4. 已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数是偶函数，结合函数，令x=1，即可得到结论．【解答】解：∵y=f（2x）+x是偶函数，∴f（﹣2x）﹣x=f（2x）+x，∴f（﹣2x）=f（2x）+2x，令x=1，则f（﹣2）=f（2）+2=3．故选：B【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质得到方程关系是解决本题的关键，注意要学会转化．5. 已知定义在R上的函数满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意，设g（x）=f（x）﹣（x+1），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的单调性，由此求出不等式f（x）＜x+1的解集．【解答】解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣（x+1），x∈R；∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）在R上是单调减函数；又∵g（1）=f（1）﹣（x+1）=0，∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，即f（x）＜x+1的解集是（1，+∞）．故选：A．6. 点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．7. 若集合，全集U=R，则=（）A．B． C． D．参考答案：A8. 设集合，集合，则（）A． B． C． D．参考答案：C，，则【考点】集合的运算9. 两位同学去某大学参加自主招生考试，学校负责人与他们两人说：“我们要从考试的人中招收5人，你们两人同时被招收的概率是”，由此可推断出参加考试的人数为( )A. 19B. 20C.21 D.22参考答案：答案：B10. 已知命题p: m∈R,sin m=，命题恒成立.若为假命题，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某数表中的数按一定规律排列，如下表所示，从左至右以及从上到下都是无限的．此表中，主对角线上数列1，2，5，10，17，…的通项公式。

无锡市2020届高三数学上学期期末试卷一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B = _____.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9iz i =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅的取值范围是______.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠> ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.二、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =- ，向量(cos ,cos )n B C = ，且m n ∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE 平面PAB ；（2）求证:CD PA ⊥.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PF Q 的周长；（2）求1PF M 面积的最大值.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n n n n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <).（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.21．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .22．已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.23．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A DE C --的正弦值.24．对于任意的1x >，n *∈N ，用数学归纳法证明:1nx x e n ->！.解析无锡市2020届高三数学上学期期末试卷一、填空题1．集合{|21,}A x x k k Z ==-∈，{1,2,3,4}B =，则A B = _____.【答案】{1,3}【解析】分析出集合A 为奇数构成的集合，即可求得交集.【详解】因为21,k k Z -∈表示为奇数，故A B = {1,3}.故答案为：{1,3}【点睛】此题考查求集合的交集，根据已知集合求解，属于简单题.2．已知复数z a bi =+(),a b ∈R ，且满足9izi =+（其中i 为虚数单位），则a b +=____.【答案】8-【解析】计算出2iz ai bi b ai =+=-+，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】2iz ai bi b ai =+=-+，所以1,9a b ==-，所以8a b +=-.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.【答案】7.5【解析】分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.【详解】76+147+1584107.5714154⨯⨯⨯+⨯=+++故答案为：7.5【点睛】此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错.4．函数()(1)3x f x a =--(1,2)a a >≠过定点________.【答案】(0,2)-【解析】令0x =，(0)132f =-=-，与参数无关，即可得到定点.【详解】由指数函数的性质，可得0x =，函数值与参数无关，所有()(1)3xf x a =--过定点(0,2)-.故答案为：(0,2)-【点睛】此题考查函数的定点问题，关键在于找出自变量的取值使函数值与参数无关，熟记常见函数的定点可以节省解题时间.5．等差数列{}n a （公差不为0），其中1a ，2a ，6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为_____.【答案】4【解析】根据等差数列关系，用首项和公差表示出2216a a a =，解出首项和公差的关系，即可得解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得:2216a a a =，则2111(+)(5)a d a a d =+整理得13d a =，2114a a d a =+=，所以21=4a a故答案为：4【点睛】此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.【答案】12【解析】从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有246C =种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有233C =种，所以其概率为23241=2C C .故答案为：12【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2AD =，11AA =，E 为BC 的中点，则点A 到平面1A DE 的距离是______.【答案】63【解析】利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中，1111211=323A ADE V -=⨯⨯⨯⨯，221115,2,3A D DE EA A A AE ===+=，所以22211A D DE A E =+，所以1DE A E ⊥，11623=22A DE S =⨯⨯△设点A 到平面1A DE 的距离为h1161=323A A DE V h -=⨯⨯，解得6=3h 故答案为：63【点睛】此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点.8．如图所示的流程图中，输出n 的值为______.【答案】4【解析】根据流程图依次运行直到1S≤-，结束循环，输出n ，得出结果.【详解】由题：211,1,1log 0,211S n S n ===+==+，22220log log ,3213S n =+==+，222232log log log 1,43314S n =+==-=+，1S ≤-结束循环，输出4n =.故答案为：4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.9．圆22:(1)(2)4C x y ++-=关于直线21y x =-的对称圆的方程为_____.【答案】22(3)4x y -+=【解析】求出圆心关于直线的对称点，即可得解.【详解】22:(1)(2)4C x y ++-=的圆心为(1,2)-，关于21y x =-对称点设为(,)x y ，则有:2121222112y x y x +-⎧=⨯-⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，所以对称后的圆心为(3,0)，故所求圆的方程为22(3)4x y -+=.故答案为：22(3)4x y -+=【点睛】此题考查求圆关于直线的对称圆方程，关键在于准确求出圆心关于直线的对称点坐标.10．正方形ABCD 的边长为2，圆O 内切于正方形ABCD ，MN 为圆O 的一条动直径，点P 为正方形ABCD 边界上任一点，则PM PN ⋅ 的取值范围是______.【答案】[0,1]【解析】根据向量关系表示()()PM PN PO OM PO OM ⋅=+⋅- 2221PO OM PO =-=- ，只需求出PO 的取值范围即可得解.【详解】由题可得：0OM ON += ，1,2PO ⎡⎤∈⎣⎦ ()()()()PM PN PO OM PO ON PO OM PO OM ⋅=+⋅+=+⋅- 222[0,11]PO OM PO =-=-∈ 故答案为：[0,1]【点睛】此题考查求平面向量数量积的取值范围，涉及基本运算，关键在于恰当地对向量进行转换，便于计算解题.11．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____.【答案】34-【解析】根据双曲线上的点的坐标关系得2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--=，PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥，建立等式1PA QB k k ⋅=-，两式作商即可得解.【详解】设()()()00,,2,02,0P x y A B -2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PB y y y x x k k x =⋅=+--=PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB⊥易知:33441PA PB PB QB PA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-.故答案为：34-【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.12．对于任意的正数,a b ，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，则k 的最大值为_____.【答案】22【解析】根据,a b 均为正数，等价于2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>，转化为2423,021x x k x x -≤+>+恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题,a b 均为正数，不等式222(2)443ab a k b ab a +≤++恒成立，等价于2222234442322a ab b b ab k a ab a ab++-≤=+++恒成立，令,0b xa x =>则24223212121x x k x x x -≤+=++++，2212221x x ++≥+ 当且仅当22121x x +=+即212x -=时取得等号，故k 的最大值为22.故答案为：22【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.13．在直角三角形ABC 中，C ∠为直角，45BAC ∠> ，点D 在线段BC 上，且13CD CB =，若1tan 2DAB ∠=，则BAC ∠的正切值为_____.【答案】3【解析】在直角三角形中设3BC =，3AC x =<，1tan tan()2DAB BAC DAC ∠=∠-∠=，利用两角差的正切公式求解.【详解】设3BC=，3AC x =<，则31tan ,tan BAC DAC x x∠=∠=22221tan tan()13321x x DAB BAC DAC x x x ∠=∠-∠===⇒=++，故tan 3BAC ∠=.故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.14．函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，则实数k 的取值范围是_____.【答案】26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【解析】对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解.【详解】由题：函数22()|1|9f x x x kx =-+++在区间(0,3)内有且仅有两个零点，2210,(0,1]1982,(1,3)x x x xk x x x x ⎧∈⎪+-+⎪-==⎨⎪+∈⎪⎩，等价于函数()10,(0,1],82,(1,3)x xy k g x x x x ⎧∈⎪⎪=-=⎨⎪+∈⎪⎩恰有两个公共点，作出大致图象：要有两个交点，即268,3k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故答案为：26,83k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【点睛】此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解.二、解答题15．在ABC 中，角,,A B C 所对的分别为,,a b c ，向量(23,3)m a b c =-，向量(cos ,cos )n B C =，且m n∥.（1）求角C 的大小；（2）求sin +3sin()3y A B π=-的最大值.【答案】（1）6π（2）2【解析】（1）根据向量平行关系2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --=，结合正弦定理化简即可求解；（2）结合（1）的结果si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-，利用三角恒等变换，化简为52sin ,0,36A A ππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得最大值.【详解】（1）因为//m n，所以2cos 3cos 3cos 0a C b C c B --=由正弦定理知:2sin cos 3(sin cos sin cos )0A C B C C B -+=，2sin cos 3sin()0A CBC -+=2sin cos 3sin()0A C A π--=，2sin cos 3sin 0A C A -=，又A 为三角形内角，故sin 0A >，所以，2cos 30C -=，即3cos 2C =，C 为三角形内角，故6C π=；（2）由（1）知:56A B C ππ+=-=，则5,0,326B A A πππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭所以si sin +3sin()3n 3sin 2A A y A B ππ=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭-5sin 3cos 2sin ,0,36A A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，50,6A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故32A ππ+=，即6A π=时，y 取最大值2.【点睛】此题考查平面向量共线的坐标表示，利用正弦定理结合三角恒等变换求解最大值，需要注意考虑最大值取得的条件.16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，O 为其中心，PAD △为锐角三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，CD DP ⊥.（1）求证:OE平面PAB ；（2）求证:CD PA ⊥.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）通过证明//OE PB ，即可证明线面平行；（2）通过证明CD ⊥平面PAD ，即可证明线线垂直.【详解】（1）连BD ，因为ABCD 为平行四边形，O 为其中心，所以，O 为BD 中点，又因为E 为PD 中点，所以//OE PB ，又PB ⊂平面PAB ，OE ⊄平面PAB 所以，//OE 平面PAB ；（2）作PH AD ⊥于H 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =PH AD ⊥，PH ⊂平面PAD ，所以，PH ⊥平面ABCD 又CD ⊂平面ABCD ，所以CD PH ⊥又CD PD ⊥，PD PH P ⋂=，PD ⊂平面PAD ，PH ⊂平面PAD 所以，CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以，CD PA ⊥.【点睛】此题考查证明线面平行和线面垂直，通过线面垂直得线线垂直，关键在于熟练掌握相关判定定理，找出平行关系和垂直关系证明.17．已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PF Q 的周长；（2）求1PF M 面积的最大值.【答案】（1）12（2）1354【解析】（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==；（2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M 面积，即可求解最大值.【详解】（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =，因此，1PF Q 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==；（2）由（1）知:2225b a c =-=，椭圆方程为:22195x y +=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()121212111212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=-+⇒ ⎪-+⎝⎭()2222259202505945x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩()221,221015190010,59m m m y m -±+=+>=+△，1212222025,5959m y y y y m m --+==++，()121212122902259my x x y my y y y m -+=++=+，1121211121131352||||244PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭△，当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M 面积的最大值为1354.【点睛】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.18．一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ 的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD (如图所示)，其中AD AB ≥.结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD 边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b 米的走道（b 为常数）.问:发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小.【答案】（1）[15,25]AD ∈（2）当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,2b b AD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【解析】（1）设AD x =米，总费用为450()22520015022f x x x ⎛⎫=⨯+⨯⋅+ ⎪⎝⎭，解()65400f x ≤即可得解；（2）结合（1）可得占地面积()225(8)2S x x b x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭结合导函数分类讨论即可求得最值.【详解】（1）由题意知:矩形ABCD 面积4502252S ==米2，设AD x =米，则225AB x =米，由题意知:2250x x≥>，得15x ≥，设总费用为()f x ，则450225()225200150226004500065400f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⋅+=++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得:925x ≤≤，又15x ≥，故[15,25]x ∈，所以发酵池D 边长的范围是不小于15米，且不超过25米；（2）设发酵馆的占地面积为()S x 由（1）知:()2251800(8)2216225,[15,25]S x x b bx b x x x ⎛⎫=++=+++∈⎪⎝⎭，()222900(),[15,25]bx S x x x-'=∈①4b ≥时，()0S x '≥，()S x 在[15,25]上递增，则15x =，即15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小；②36025b <≤时，()0S x '=，()S x 在[15,25]上递减，则25x =，即25,9AD AB ==米时，发酵馆的占地面积最小；③36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,x b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0S x '<，()S x 递减；30,25x b ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0,()S x S x '>递增，因此3030b x b b ==，即3015,2b bAD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；综上所述：当36025b <≤时，25AD =，9AB =米时，发酵馆的占地面积最小；当36,425b ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3015,2b bAD AB b ==时，发酵馆的占地面积最小；当4b ≥时，15AB AD ==米时，发酵馆的占地面积最小.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题意恰当地建立模型，利用函数性质讨论最值取得的情况.19．已知{}n a ，{}n b 均为正项数列，其前n 项和分别为n S ，n T ，且112a =，11b =，22b =，当2n ≥，*n N ∈时，112n n S a -=-，2211112()2n n n n n n T T b T b b --+--=-+.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设2(2)n nn n nb ac b b +=+，求数列{}n c 的前n 项和n P .【答案】（1）12n na =，nb n =（2）11(1)2n n P n =-+⋅【解析】（1）112(2)n n S a n -=- ，所112n n S a +=-，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+ ，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++ ，得到11(2)n n n n b b b b n +--=- ，即可求解通项公式；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n n n n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，即可求得数列{}n c 的前n 项和n P .【详解】（1）因为112(2)n n S a n -=- ，所112n n S a +=-，两式相减，整理得11(2)2n n a a n -=，当2n =时，1121122S a a ===-，解得211142a a ==，所以数列{}n a 是首项和公比均为12的等比数列，即12n n a =，因为()221111122(2)n n n n n n n n T T b T T T n b b ------=-=-+ ，整理得()()()1111111122(2)n n n n n n n n n n n n n T T T T b T T T T n b b b b ----+-+--++==+++ ，又因为0n b >，所以0n T >，所以1121(2)nn n b n b b +-=+ ，即11(2)n n n n b b b b n +--=- ，因为121,2b b ==，所以数列{}n b 是以首项和公差均为1的等差数列，所以n b n =；（2）由（1）可知，21(2)12(1)1112(1)22(1)2n n n n nn n n c n n n n n n -++-=⋅=⋅=-++⋅+⋅，211111112222322(1)2n n n P n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11(1)2n n P n =-+⋅.【点睛】此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20．设函数()ln f x x ax =-，a R ∈，0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()0f x =有两个零点1x ，2x (12x x <).（i ）求a 的取值范围；（ii ）求证:12x x ⋅随着21x x 的增大而增大.【答案】（1）见解析；（2）（i ）10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析【解析】（1）求出导函数11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞，分类讨论即可求解；（2）（i ）结合（1）的单调性分析函数有两个零点求解参数取值范围；（ii ）设211x t x =>，通过转化()1212(1)ln ln ln ln 1t tx x x x t +=+=-，讨论函数的单调性得证.【详解】（1）因为()ln f x x ax =-，所以11(),(0,)ax f x a x x x-'=-=∈+∞当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，当0a>时，()0f x '>的解集为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0f x '<的解集为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以()f x 的单调增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的单调减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）（i ）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，至多一个零点，不符题意，当0a >时，因为()f x 有两个零点，所以max 11()ln 10f x f a a ⎛⎫==->⎪⎝⎭，解得10a e <<，因为(1)0f a =-<，且11a <，所以存在111,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x =，又因为221111ln 2ln f a a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，设11()2ln 0,g a a a a e ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222112()0a g a a a a --'=+=>，所以()g a 单调递增，所以1()20g a g e e ⎛⎫<=-< ⎪⎝⎭，即210f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为211a a >，所以存在2211,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20f x =，综上，10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（ii ）因为1122ln ln 0x ax x ax -=-=，所以1212ln ln x x x x =，因为21x x >，所以211x x >，设211x t x =>，则21x tx =，所以()112121ln ln ln tx x x x x tx ==，解得1ln ln 1tx t =-，所以21ln ln ln ln 1t t x x t t =+=-，所以()1212(1)ln ln ln ln 1t t x x x x t +=+=-，设(1)ln ()(1)1t th t t t +=>-，则2211ln (1)(1)ln 2ln ()(1)(1)t t t t t t t t t h t t t +⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭'==--，设1()2ln (1)H t t t t t =-->，则22212(1)()10t H t t t t-'=+-=>，所以()H t 单调递增，所以()(1)0H t H >=，所以()0H t >，即()0h t '>，所以()h t 单调递增，即()12ln x x 随着21x t x =的增大而增大，所以12x x 随着21x x 的增大而增大，命题得证.【点睛】此题考查利用导函数处理函数的单调性，根据函数的零点个数求参数的取值范围，通过等价转化证明与零点相关的命题.21．已知,R a b ∈，矩阵 a b c d A ⎡=⎤⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，点()2,1P -在A 对应的变换作用下得到点()1,2P '-，求矩阵A .【答案】2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦【解析】根据矩阵的特征值和特征向量的定义建立等量关系，列方程组求解即可.【详解】由题意可知，1155115a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，且2112a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以552122a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩，解得2314a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，即矩阵2314A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.【点睛】此题考查矩阵特征值和特征向量的辨析理解，根据题中所给条件建立等量关系解方程组得解.22．已知曲线1C :4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（其中θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos()233πρθ-=，设曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，求AB 的长.【答案】4【解析】求出曲线2C 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程，求出圆心到直线的距离，利用弦长公式即可求解.【详解】由题意可知，13cos cos cos sin sin cos sin 2333322πππρθρθρθρθρθ⎛⎫-=+=+= ⎪⎝⎭，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以曲线2C 的直角坐标方程为直线:3430l x y +-=，由曲线1C 的参数方程可知，曲线1C 的普通方程为圆2216x y +=，其半径4r =圆心O 的直线l 的距离为|43|2313d -==+，所以直线l 被圆截得的弦长为2224AB r d =-=.【点睛】此题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转化，求解直线与圆形成的弦长.23．如图，矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，90AEB ∠︒＝，30EAB ∠=︒，23AB =，3AD =.（1）求异面直线OC 与DE 所成角的余弦值；（2）求二面角A DE C --的正弦值.【答案】（1）68（2）105【解析】（1）建立空间直角坐标系，根据333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭即可求解异面直线所成角的余弦值；（2）分别求出两个半平面的法向量，利用法向量的夹角求得二面角的余弦值，再求出正弦值.【详解】矩形ABCD 所在的平面垂直于平面AEB ，O 为AB 的中点，在平面AEB 内过O 作AB 的垂线交AE 于M ，根据面面垂直的性质可得MO ⊥平面ABCD ，同理在平面ABCD 内过O 作AB 的垂线交CD 于N ，根据面面垂直的性质可得NO ⊥平面AEB ，所以,,OM OB ON 两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，因为90,30AEB EAB ︒︒∠=∠=，所以132BE AB ==，易得()33(0,3,3),(0,3,3),,,0,0,3,022C D E A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，（1）由上述点坐标可知，333(0,3,3),,,322OC DE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以直线OC 与DE 所成角的余弦值99||628||||92739944OC DE OC DE θ-⋅===⋅+⋅++ ；（2）因为333(0,0,3),,,3,(0,23,0)22AD DE DC ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z = ，则1111303333022AD m z DE m x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得11130x y z ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，取11y =，可得(3,1,0)m =- ，设平面DEC 的法向量为()222,,n x y z = ，则22222303333022DC n y DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩解得22220x z y =⎧⎨=⎩，取1z =，可得(2,0,1)n = ，设二面角A DE C --的平面角为α，则||233|cos |||||31415m n m n α⋅===⋅+⋅+ ，所以2310sin 1cos 155αα=-=-=.【点睛】此题考查求异面直线的夹角和二面角的大小，建立空间直角坐标系，利用向量求解，需要注意准确计算，防止出现计算错误.24．对于任意的1x >，n *∈N ，用数学归纳法证明:1nx x e n ->！.【答案】证明见解析【解析】根据数学归纳法证明方法，先证明当1n =时，命题成立，假设当n k =时，命题成立，利用这个结论证明当1n k =+时，命题也成立，即可得证.【详解】当1n =时，设1(),(1,)x f x e x x -=-∈+∞，则1()10x f x e -'=->，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=，即1x e x ->即1n =时，原命题成立，假设当n k =时，1!kx x e k ->对任意(1,)x ∈+∞恒成立，当1n k =+时，设11()(1)!k x x g x e k +-=-+，则1()0!k x x g x e k -'=->，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以1()(1)10(1)!x g k >=->+，所以11(1)!k x x e k -->+，所以对于任意的1x >，n *∈N ，1nx x e n ->！原命题得证.【点睛】此题考查利用数学归纳法证明命题，需要弄清数学归纳法证明命题的基本步骤和格式，严格推理，即可得证.。

江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷数 学2023.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知全集U =R ，集合{}10A x x =－＞，{}02B x x =<<，则()RA B =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}2x x ≤C ．{}1x x ≤D ．{}12x x ≤<2．已知i 为虚数单位，复数()()32i 1i z a =＋＋为纯虚数，则z =（ ）A ．0B ．12C ．2D ．53．给出下列四个命题，其中正确命题为（ ） A ．a b >是33a b >的充分不必要条件 B ．αβ>是cos cos αβ<的必要不充分条件 C ．0a =是函数()()32f x x axx =∈R ＋为奇函数的充要条件D ．()()23f f <是函数()f x =[)0,+∞上单调递增的既不充分也不必要条件4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1∶3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为（ ）A B C ．19D ．1275．函数()233x xf x x --=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知一个等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为P ，Q ，R ，则下列等式正确的是（ ） A ．P Q R +=B ．2Q PR =C ．()2P Q R Q +-=D ．()22P Q P Q R +=+7．在平面直角坐标系xOy 中，若满足()()x x k y k y -≤-的点(),x y 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是（ ）A ．k ≤≤B ．k ≤≤C ．k -≤≤D ．)(0,2⎡⎤⎣⎦8．设π6a =，cos1b =，1sin 3c =，这三个数的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．若0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则下列结论正确的是（ ）A ．)21x y +≥ B ．)21xy ≥C ．)21x y +≤D ．)21xy ≤10．已知一只钟表的时针OA 与分针OB 长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB 的面积为S ，时间t （单位：时），全科免费下载公众号《高中僧课堂》则以下说法中正确的选项是（ ）A ．时针OA 旋转的角速度为h π6rad/-B ．分针OB 旋转的角速度为2πrad/hC ．一小时内（即[)0,1t ∈时），AOB ∠为锐角的时长是511h D ．一昼夜内（即[)0,24t ∈时），S 取得最大值为44次11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A ．事件B 与事件()1,2,3i A i =相互独立 B ．()1845P A B =C ．()13P B =D ．()2631P A B =12．已知P 为抛物线()2:20C y px p =>上的动点，()4,4Q -在抛物线C 上，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，()4,3M -，()1,1N -，则（ ） A ．PM PF +的最小值为5B ．若线段AB 的中点为M ．则△NAB 的面积为C ．若NA NB ⊥，则直线的斜率为2D ．过点()1,2E 作两条直线与抛物线C 分别交于点G ，H ，满足直线GH 的斜率为1-，则EF 平分GEH ∠ 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l y x =+与双曲线22221x y a b-=的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为__________．14．()()541213x x -+的展开式中x 的升幂排列的第3项为__________．15．已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6，则函数()f x 的极小值为__________．16．（第一空2分，第二空3分）已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为3π4，1m n ⋅=-，则向量n =__________；若向量n 与向量()1,0q =的夹角为π2，向量2πcos 2cos 32x p x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-，，其中0x a <<，当n p ∈⎣⎭+时，实数a 的取值范围为__________． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题．．卡相应的位置上．．．．．．．．）17．（本题满分10分）已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，且交BC 于D ．（1）用正弦定理证明：AB BDAC DC=； （2）若120BAC ∠=︒，2AB =，1AC =，求BD ．18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()221*n n a a n =+∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若13n n b -=，令n n n c a b =，求数列{}n a 的前n 项和n T ．19．（本题满分12分）天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布()90,100N ，航天员在此项指标中的要求为110ξ≥．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为14，且相互独立．（1）设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X ，请计算X 的分布列与数学期望； （2）请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y 的期望值．参考数值：()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X a μσμ-<<+=，()33P X a μσμ-<<+0.9973=．20．（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AP DP ⊥，1AE =，2AP =，DP =3CD =，AB CD ∥，AB ⊥平面P AD ，点M 满足()01AM AD λλ=<<．（1）若14λ=，求证：平面PBM ⊥平面PCM ；（2）设平面MPC 与平面PCD 的夹角为θ，若tan 6θ=，求λ的值． 21．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，设曲线()1:10x yC a b a b+=>>所围成的封闭图形的面积为，曲线1C 上的点到原点O ．以曲线1C 与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为2C ． （1）求椭圆2C 的标准方程：（2）设AB 是过椭圆2C 中心O 的任意弦，l 是线段AB 的垂直平分线，M 是l 上的点（与O 不重合），若M 是l 与椭圆2C 的交点，求△AMB 的面积的取值范围． 22．（本题满分12分） 已知函数()e xf x ax =-．（1）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若方程e ln x x ax a x =+有两个实数根1x ，2x ，且12x x ≠，证明：()1212ln 2ln x x x x a ++<．江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷参考答案一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．【答案】A【解析】{}1A x x =>，{}1A x x =≤R，{}02B x x =<<，(){}01A B x x =<≤R ，选A ．2．【答案】D【解析】()()()2i 1i 22i i 221i z a a a a a =-+=+-+=++-为纯虚数， ∴20a +=，∴2a =-，∴5z =，选D ． 3．【答案】C【解析】“a b >”是“33a b >”的充要条件，A 错．“αβ>”是“cos cos αβ<”的既不充分又不必要条件，B 错．0a =时，()3f x x =是奇函数，充分，()32x x x f a =+为奇函数，则0a =，则为充要条件，故答案选C ． 4．【答案】B【解析】设正六边形的边长为a ，设六棱柱的高为3b ，六棱锥的高为b ，正六棱柱的侧面积26318S ab ab =⋅⋅=，正六棱锥的母线长=11632S =⋅⋅=又∵正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，则32b a =，∴23b a =1224183S S a a ==⋅，选B ． 5．【答案】C【解析】()()()233x xf x f x x ---==--，∴()f x 为奇函数关于原点对称，排除B ．0x >时，()0f x >，∴排除D ．()1133f =-，()()1271273319729f f -==->，排除A ，选C ． 6．【答案】D【解析】n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，()()2Q P P R Q -=-， ∴222O PO P PR PQ -+=-，∴()22Q P P R Q +=+，选D ．7．【答案】B【解析】()()x x k y k y --≤，则()220x y k x y +<+<，222222k k k x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭，r =(),x y 都在224x y +≤，则两圆内切或内含．2≤，∴k ≤≤B ．8．【答案】C 【解析】πcos1sin 12⎛⎫=-⎪⎝⎭，∵1ππ01322<<-<，∴1πsin sin 132c b ⎛⎫<-⇒< ⎪⎝⎭11πsin 336c a =<<=，且0x >时，246cos 12!4!6!x x x x >-+-（泰勒展开式求导易证）∴111131πcos110.540.010.54224720247206>-+-=->-=>，∴b a >， ∴b a c >>，选C ．二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 9．【答案】AB【解析】()214x y x y xy +++=≤，则2x y +≥，A 对，C 错．1xy x y -=+≥)21xy ≥，B 对，D 错，选AB ．10．【答案】ACD【解析】OA 旋转的角速度为πrad/h 6-，A 对．OB 旋转的角速度为2πrad/h -，B 错．11π2π6AOB t k ∠=-或112ππ2π6AOB t k ∠=-+，k ∈Z ，π0,2AOB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭ 则3011t <<或9111t <<，39501111111-+-=，C 对． 11π6sin6S t =的周期为611且每个周期仅岀现一次最大值 故最大值取得的次数为2444611=，D 对，选ACD ．11．【答案】BD 【解析】()149P A =，()229P A =，()33193P A == 先1A 发生，则乙袋中有4个红球3白球3黑球，()142105P B A ==，先2A 发生，则乙袋中有3个红球4白球3黑球，()2310P B A =，先3A 发生，则乙袋中有3个红球3白球4黑球，()3310P B A =．()()()1112485945P A B P B A P A ==⨯=，B 对．()()()22232110915P A B P B A P A ==⨯=，()()()33331110310P A B P B A P A ===⨯=，()()()()()()()112233311903P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=≠，C 错．()()()11P A P B P A B ≠，A 错．()()()()()()2222326109313190P B A P A P A B P A B P B P B ⨯====，D 对．12．【答案】ACD【解析】()4,4Q -在抛物线()220y px p =>上，∴2p =，抛物线：24y x =，()1,0F ．对于A ，过点P 作抛物线的准线1x =-的垂线FD ，垂足为D ，由抛物线定义可知PF PD =，连接DM ，则PM PF PM PD DM +=+≥ M ，P ，D 三点共线时，PM PF +取最小值314+=，A 对．对于B ，∵()3,2M -为AB 中点，则6A B x x +=，28A B AB x x =++=∵()3,2M -，()1,0F 在直线l 上，1l k =-，∴:1l y x =-+， N 到直经l的距离2d ==12NAB S AB d =⋅=△B 错．对于C ，设:1l x my =+代入24y x =得2440y my --=， 令()11,A x y ，()22,B x y ，124y y m +=，124y y =-，()()11111,12,1NA x y my y =+-=+-，()222,1NB my y =+-()()()()()()()21212121222111215NA NB my my y y m y y m y y ⋅=+++--=++-++()()()22412145210m m m m =-++-+=-=，12m =，∴12l k m ==，C 对． 对于D ，()1,2E 在抛物线上且EF x ⊥轴，设233,4y G y ⎛⎫⎪⎝⎭，244,4y H y ⎛⎫⎪⎝⎭， 易知EG ，EH 斜率存在，323324214EG y k y y -==+-，442EH k y =+，3441GH k y y ==-+， 则344y y +=-，33440242EG EH k k y y +=+=+--+， 则EF 平分GEH ∠，D 对． 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 13．【答案】221520x y -=【解析】由题意22225ba c c ab ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，∴5a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩221520x y-=．14．【答案】226x -【解析】()512x -展开式第1r +项()()155C 2C 2r rr r r r T x x +=-=-()413x +展开式第1p +项()144C 3C 3ppp p p p T x x +==0r =，2p =，()00222254C 2C 354x x -=，1r =，1p =，()11112254C 2C 3120x x -=-， 2r =，0p =，()22002254C 2C 340x x -=，2222541204026x x x x -+=-．15．【答案】26ln3+【解析】切点()1,16a ，()()625f x a x x'=-+，68k a =- 切线：()()16681y a a x -=--过()0,6，∴12a =()265650x x f x x x x-+'=-+==，2x =或3，()f x 在()0,2，()2,3，()3,+∞，()()326ln3f x f ==+极小值．16．【答案】()0,1-；π2π,33⎛⎤⎥⎝⎦【解析】设(),n x y =，1m n x y ⋅=+=-，cos ,2m n m n m n⋅=== ∴10x y =-⎧⎨=⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴()1,0n =-或()0,1-，n 与q 夹角的π2，则()0,1n =-∴π2πcos ,2cos 1cos ,cos 323x n p x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴()2222π114πcos cos 1cos 21cos 23223n p x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-=+++-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111cos 2cos 22222x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭11π1cos 221cos 2423x x x ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭0x a <<，022x a <<，πππ22333x a <+<+，222n p ⎡+∈⎢⎣⎭，∴π1cos 21,32x ⎛⎫⎡⎫+∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， ∴π5ππ233a <+≤，∴π2π33a <≤． 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 17．【解析】（1）在ABD △和ACD △中，分别由正弦定理,sin sin ,sin sin AB BD ADB BAD AC CD ADC CAD ⎧=⎪⎪∠∠⇒⎨⎪=⎪∠∠⎩①② ∵sin sin ADB ADC ∠=∠，由AD 平分BAC BAD CAD ∠⇒∠=∠， ∴ AB BD AC DC⇒=①②． （2）∵2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，∴BC ==， ∵AD 平分BAC ∠，由（1）知2BD AB DC AC ==，∴23BD BC == 18．【解析】（1）设{}n a 公差为d ，∴()()1121441442221a d a d a a ⎧-+=⋅+⎪⎨⎪=+⎩ ∴111420112a d a a d d -=⎧=⎧⇒⎨⎨-=-=⎩⎩，∴()12121n a n n =+-=-． （2）()1213n n c n -=-⋅ ∴()()0122133353233213n n n T n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅，①()()()12213333253233213n n n n T n n n --=+⋅++-⋅+-⋅+-⋅，②①-②()2121232323213n n n T n -⇒-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()()16132121332213223213n n n n n n T n n n -⋅--=+--⋅=---⋅=-⋅-- ∴()131n n T n =-⋅+．19．【解析】（1）X 的所有可能取值为1，2，3，4，()314P X ==，()13324416P X ==⨯=，()1133344464P X ==⨯⨯=，()1111444464P X ==⨯⨯= ∴X 的分布列如下：()48641664E X =+++=．（2）()()10.9545110260.022752P P ξξμ-≥=≥+==． ∴符合该项指标的学生人数为：20000.0227545.546⨯=≈人 每个学生通过投的概率对111114444256⨯⨯⨯=， ∴最终通过学校选拔人数1~46,256Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴()4623256128E Y ==． 20．【解析】（1）证明：∵2PA =，PD =AP PD ⊥，∴4AD =． ∵14AM AD =，∴1AM =，而60PAD ∠=︒，∴PM =，∴PM AM ⊥． ∵AB ⊥平面P AD ，AB ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面P AD 且平面ABCD 平面PAD AD =， 由PM ⊂平面P AD ，PM AD PM ⊥⇒⊥平面ABCD ，∴PM BM ⊥，且BM =CM =BC ==222BM CM BC +=，∴BM CM ⊥，又∵PMCM M =，∴BM ⊥平面PCM ． 又∵BM ⊂平面PBM ，∴平面PBM ⊥平面PCM ，或由2225PM BM PB +==，∴BM PM ⊥且BM CM BM ⊥⇒⊥平面PCM ， 所以平面PBM ⊥平面PCM ；（2）如图建系，∵AM AD λ=，∴4AM λ=，∴()0,4,0M λ，(P ，()3,4,0C ，()0,4,0D ，∴()3,44,0MC λ=-，(3,3,PC =，()3,0,0CD =-， 设平面MPC 与平面PCD 的一个法向量分别为()1111,,n x y z =，()2222,,n x y z =， ∴()())()11111134404141330x y n x y λλλ+-=⎧⎪⇒=--⎨+=⎪⎩(2222233030x y n x ⎧+=⎪⇒=⎨-=⎪⎩，∵tan θ=(1221cos 16n n n n θ⋅=== ()()238403220λλλλ-+=⇒--=，∵01λ<<，∴23λ=． 21．【解析】（1）曲线1C 围成的图形如图∴1222S a b =⋅⋅=封闭图形ab =3=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴椭圆2C 的标准方程为2218xy +=．（2）方法一：①若AB 斜率为0，则112AMB S =⋅=△ ②若AB 斜率不存在，则122AMB S =⋅⋅=△ ③若AB斜率存在且不为0，设AB 方程为y kx =()222281888y kx k x x y =⎧⇒+=⎨+=⎩，∴AB == ∵OM AB ⊥，OM ==∴1162ABM S =⋅==△ 令1k t k +=，2t ≥，∴ABM S ==△一方面ABM S <=△169ABM S ≥=△ 综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣． 方法二：设()00,A x y ，()00,M y x λλ-，不妨设0λ>，由A ，M 在椭圆上22002222001,81,8x y y x λλ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩①② ()2200AMB S x y λ=+△，而2200218y x λ+=，③ ①+③()220029118x y λ⇒+=+， 220028119x y λ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭且220028117x y λ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭28181199AMB S λλλλ⎛⎫⎛⎫=⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 由2220202241411189781414111197x y λλλλ⎧⎧⎛⎫⎛⎫++-≤⎪ ⎪ ⎪⎪≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭⇒⎨⎨≤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+--≤ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎩解得4λ≤≤16899AMB S ⎛≤≤= ⎝⎭△综上：AMB △面积的取值范围为16,9⎡⎢⎣．22．【解析】（1）()e xf x a '=-． 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上，()f x 不可能有两个零点；当0a >时，令()0ln f x x a '=⇒=且()f x 在(),ln a -∞上；()ln ,a +∞上， 要使()f x 有两个零点，首先必有()()min ln ln 0e f x f a a a a a ==-<⇒> 当e a >时，注意到()010f =>，()ln 0f a <，()2e 0a f a a =->， ∴()f x 在()0,ln a 和()ln ,a a 上各有一个零点1x ，2x 符合条件． 综上：实数a 的取值范围为()e,+∞．（2）由()ln e ln e ln x x x x ax a x a x x +=+⇒=+有两个实根1x ，2x ， ∴令ln x x t +=，∴e t at =有两个实根111ln t x x =+，222ln t x x =+， 要证：()1212ln 2ln x x x x a ++<只需证：122ln t t a +<由1212e e t t at at ⎧=⎨=⎩，结合①知1122,ln ln e ln ln ,t a t a t a t =+⎧>⇒⎨=+⎩①② ①+②()12122ln ln t t a t t ⇒+=+⇔证：()122ln ln 2ln a t t a +<，即证：121t t <而1211221212ln ln 101ln ln t t t t t t t t t t --=-⇒=>⇒<<-，证毕！。

高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）22．（5分）已知i是虚数单位，则等于﹣i ．=．3．（5分）某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为64 ．=，高中二年级有320×=644．（5分）右边的程序语句运行后，输出的S为17 ．5．（5分）在△ABC中，∠A=45°，∠C=105°，BC=，则AC的长度为 1 ．，=得：AC=6．（5分）（2005•湖北）已知向量不超过5，则k的取值范围是[﹣6，2] ．常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点坐标，则=|AB|=③构造关于的方程，解方程求7．（5分）已知P：|x﹣a|＜4；q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围为﹣1≤a≤6．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，表示平面区域M，若﹣4≤a≤t时，动直线x+y=a所经过的平面区域M的面积为7．则t= 2 ．所表示的区域×4×4=8，×2×1=7．9．（5分）（2013•南充一模）已知圆C1：（X+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线X﹣Y ﹣1=0对称，则圆C2的方程为（x﹣2）2+（y+2）2=1 ．10．（5分）等差数列{a n}的公差为﹣2，且a1，a3，a4成等比数列，则a20= ﹣30 ．=a=a11．（5分）（2011•郑州三模）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为y2=3x．．，而，，且，可求得，，且，12．（5分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．（．故答案为：13．（5分）定义一个对应法则f：P（m，n）→p′（m，2|n|）．现有直角坐标平面内的点A （﹣2，6）与点B（6，﹣2），点M是线段AB上的动点，按定义的对应法则f：M→M′．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B时，点M的对应点M′经过的路线的长度为8．=故答案为：14．（5分）已知关于x的函数y=（t∈R）的定义域为D，存在区间[a，b]⊆D，f（x）的值域也是[a，b]．当t变化时，b﹣a的最大值= ．，=）=﹣二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）已知向量，向量，函数•．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）若方程f（x）﹣t=0在上有解，求实数t的取值范围．﹣）根据，可得∈，]），上的解，即可求出实数）∵，sinx+cosx，﹣•sinx+=sin sinxcosx+x=sin2xsin2x+=sin）=）∵﹣，）∈，），上有解，上有解，可得实数的表达式并上有解的问题，着重考查了平面向量数16．（14分）如图，四棱锥P﹣A BCD中，底面ABCD为菱形，BD⊥面PAC，A C=10，PA=6，cos∠PCA=，M是PC的中点．（Ⅰ）证明PC⊥平面BMD；（Ⅱ）若三棱锥M﹣BCD的体积为14，求菱形ABCD的边长．，cos∠PCA=S×CM=PC=4PA=3=17．（14分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，梯形高h=AB，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．（Ⅰ）求y关于x的表达式；（Ⅱ）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？l=2y+6x=+AB=x EH=，=xy+（x+x+=xy+，∴y=，∴中，∵tan∠FED=，∴sin∠FED===）+2×（2×）+≥2当且仅当=18．（16分）如图，已知椭圆C：=1的离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）若S△PMN=，求直线AB的方程．，椭圆过定点就能求出截距，则直线（Ⅰ）由题意：，∴）在椭圆上，所以②．的方程为；，由根与系数关系得，∴．．=方程为．．．解得（舍）=019．（16分）已知数列{a n}中，a1=2，n∈N+，a n＞0，数列{a n}的前n项和S n，且满足．（Ⅰ）求{S n}的通项公式；（Ⅱ）设{b k}是{S n}中的按从小到大顺序组成的整数数列．（1）求b3；（2）存在N（N∈N+），当n≤N时，使得在{S n}中，数列{b k}有且只有20项，求N的范围．=1+，找出使∈，必定有=1+为整数，则必须∈（=1+为整数，必定有20．（16分）已知函数f（x）=ax2+1，g（x）=x3+bx，其中a＞0，b＞0．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点P（2，c）处有相同的切线（P为切点），求a，b的值；（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）的单调递减区间为[]，求：（1）函数h（x）在区间（一∞，﹣1]上的最大值M（a）；（2）若|h（x）|≤3，在x∈[﹣2，0]上恒成立，求a的取值范围．]+）单调递增，在（﹣，﹣减，在（﹣，+∞）上单调递增，[[（﹣（﹣a，﹣，∴﹣＜﹣，列表如下：），﹣﹣（﹣）单调递增，在（﹣，﹣）单调递减，在（﹣，+∞），即＜﹣，即（﹣时，即）﹣））单调递增，在（﹣，﹣减，在（﹣，+∞）上单调递增（﹣）（﹣）﹣，解得三、数学（加试）注意事项：本卷考试时间为30分钟，全卷满分为40分．21．（10分）如图，AB是圆O的直径，AC是弦，∠B AC的平分线AD交圆O于点D，DE⊥AC 且交AC的延长线于点E．求证：DE是圆O的切线．22．已知，点A在变换T：作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点、B．若点B的坐标为（﹣3，4），求点A的坐标．：作用后，，则由，23．已知在极坐标系下，圆C：p=2cos（）与直线l：ρsin（）=，点M 为圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．）（，即=24．已知|x+1|+|x﹣l|＜4的解集为M，若a，b∈M，证明：2|a+b|＜|4+ab|．1|=25．（10分）某银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：（Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率；（Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．2 3 4 6；，=+，==26．（10分）已知函数f（x）=x2+1nx．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g（x）]n﹣g（x n）≥2n﹣2（n∈N+）．=x+，，上的最大值为，最小值为；．。

江苏省无锡市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷2018.01 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70)1,已知集合A={1,3},B={1,2,m},若AUB=B,则实数m=____________ 2.若复数ii213a -+(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a=__________ 3某高中共有学生2800人,其中高一年级900人,高三年级900，用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生人数为__________ 4.已知a,b ∈{1,2,3,4.5,6},直线1l :012=+-y x :2l 01=+-by ax ,则1l ⊥2l 的概率为__________5根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值为_______ 6.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB ⊥BC,AB=3，BC=4，AA 1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为__________7.已知变量x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤+≥c y x y x 242x ,目标函数=3x+y 的最小值为5,则c 的值为______8.函数y=cos(2x+ϕ)(0<ϕ<π)的图像向右平移2π个单位后,与函数y=sin(2x −3π)的图像重合,则ϕ=__________9.已知等比数列{a n }满足a 2a 5=2a3,且a 4,45,2a 7成等差数列,则a 1·a 2·…·a n 的最大值为________ 10过圆x 2+y 2=16内一点P(−2,3)作两条相互垂直的弦AB 和CD,且AB=CD,则四边形ACBD 的面积为__________11.已知双曲线C ：22a x −22by =1(a>0,b>0)与椭圆162x +12y 2=1的焦点重合,离心率互为倒数,设F 1,F 2分别为双曲线C 的左,右焦点,P 为右支上任意一点,则221PF PF 的最小值为__________12.在平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=2,∠A=3π,M 为DC 的中点,N 为平面ABCD 内一点,若 |AB −NB |=|AM −AN |,则AM ·AN =___________13.已知函数f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->+-≤-+21),21(log 21,122122x x x x x x .g(x)= −x 2−2x −2,若存在a ∈R,使得f(a)+g(b)=0,则实数b 的取值范围是_______________14.若函数fx)=(x+1)2|x −a|在区间[−1,2]上单调递增,则实数a 的取值范围是___________ 二、解答题;{本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,)15.如图,ABCD 是菱形,DE ⊥平面ABCD,AF ∥DE,DE=2AF. (1)求证：AC ⊥平面BDE (2)求证：AC ∥平面BEF16.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,cosA=43,C=2A (1)求cosB 的值;(2)若ac=24,求△ABC 的周长17.如图,点C 为某沿海城市的高速公路出入口,直线BD 为海岸线,∠CAB=3,AB ⊥BD, 是以A 为圆心,半径为1km 的圆弧型小路,该市拟修建一条从C 通往海岸的现光专线,其中P 为上异于B,C 的一点,PQ 与AB 平行,设∠PAB=θ(1)证明:观光专线的总长度随θ的增大而减小;(2)已知新建道路PQ 的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍,当θ取何值时,观光专线的修建总成本最低?请说明理由,18已知椭圆E:22ax+22by=1(a>0,b>0)的离心率为22,F1，F2分别为左,右焦点,A,B分别为左,右顶点,原点O到直线BD的距离为36,设点P在第一象限,且PB⊥x轴,连接PA交椭圆于点C.(1)求椭圆E的方程(2)若三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3)求过点B,C,P的圆方程(结果用t表示)19.已知数列{a n|满足(1−11a)(1−21a)…-(1−na1)=na1,n∈N*,S n是数列{a n}的前n项的和(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若pa,30,Sq成等差数列,pa,18, Sq成等比数列,求正整数P,q的值;(3)是否存在k∈N*,使得161++kkaa为数列{a n}中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由20.已知函数f(x)=x e(3x−2),g(x)=a(x−2),其中a,x∈R(1)求过点(2,0)和函数y=f(x)图像相切的直线方程(2)若对任意x∈R,有f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围(3)若存在唯一的整数x,使得f(x)<g(x),求a的取值范围无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试卷数学(加试题)注意事项及说明;本卷考试时间30分钟,企卷满分为40分说明:鲜答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤21.(本小题满分10分)选修4-2:矩阵与变换已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 43,若矩阵A 属于特征值1λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,属于特征值2λ的一个特征向量为=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,求矩阵A22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==m t y t x 2321(t 是参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若圆C 的极坐标方程是ρ=4sin θ,且直线l 与圆C 相交,求实数m 的取值范围23.(本小题满分10分)某公司有A,B,C,D 四辆汽车,其中A 车的车牌尾号为0,B,C 两辆车的车牌尾号为6,D 车的车牌尾号为5,已知在非限行日,每辆车都有可能出车或不出车,已知A,D 两辆汽车每天出车的概率为43,B,C 两辆汽车每天出车的概率为21,且四辆汽车是否出车是相互独立的,该公司汽车车牌尾号 车辆限行日 0和5 星期一 1和6 星期二 2和7 星期三 3和8 星期四 4和9星期五(1)求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率(2)设ζ表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和,求ζ的分布列和数学期望24.(本小题满分10分)在四棱锥P −ABCD 中,△ABP 是等边三角形,底面ABCD 是直角梯形,∠DAB=90°,AD ∥BC,E 是线段AB 的中点,PE ⊥底面ABCD,已知DA=AB=2BC=2(1)求二面角P-CD-AB 的正弦值;(2)试在平面PCD 上找一点M,使得EM ⊥平面PCD。

2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{﹣1，0，1，2，3，4}，集合B ＝{x |x 2﹣2x ﹣3≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{﹣1，0}2．复数1−2i3+i在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知a →，b →是两个不共线的向量，命题甲：向量t a →+b →与a →−2b →共线；命题乙：t =12，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．从甲地到乙地的距离约为240km ，经多次实验得到一辆汽车每小时托油量Q （单位：L ）与速度v （单位：km /h （0≤v ≤120）的下列数据：为描述汽车每小时枆油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（ ） A ．Q ＝av +b B ．Q ＝av 3+bv 2+cv C ．Q ＝0.5v +aD ．Q ＝k log a v +b5．已知a ＞b ＞0，设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1与双曲线C 2：x 2a 2−y 2b2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2＝3e 1，则双曲线C 2的渐近线方程为（ ） A ．y =±2√55x B ．y =±45xC ．y =±√52x D ．y =±√55x6．已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，且∠DAB ＝120°．若M ，N 分别是侧棱CC 1，BB 1上的点，且MC ＝2，NB ＝1，则四棱锥A ﹣BCMN 的体积为（ ） A ．√3B ．2C ．3√3D ．67．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且存在k ∈N ，使得S k +3，S k +9，S k +6成等差数列．若对于任意的m ∈N ，满足a m +2+a m +5＝32，则a m +8＝（ ） A ．m +32B ．m +16C ．32D ．168．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+x 2为奇函数，f （x ）﹣2x 为偶函数．令函数g （x ）={f(x)，x ≥0，−f(x)，x ＜0.若存在唯一的整数x 0，使得不等式[g （x 0）]2+a •g （x 0）＜0成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[﹣8，﹣3）∪（1，3] B ．[﹣3，﹣1）∪（3，8]C ．[﹣3，0）∪（3，8]D ．[﹣8，﹣3）∪（0，3]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．第一组样本数据x 1，x 2，…，x n ，第二组样本数据y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝2x i ﹣1（i ＝1，2，…，n ），则（ ）A ．第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍B ．第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍C ．第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍D ．第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍10．已知函数f(x)=sin(2x +π3)，g(x)=cos(2x +π6)，则下列说法正确的是（ ）A ．y ＝f （x ）的图象关于点(π12，0)对称B ．g （x ）在区间[π2，5π6]上单调递增C ．将g （x ）图象上的所有点向右平移π6个单位长度即可得到f （x ）的图象D ．函数h （x ）＝f （x ）+g （x ）的最大值为√311．已知过点（0，t ）的直线l 1与抛物线C ：x 2＝4y 相交于A 、B 两点，直线l 2：y ＝kx +4是线段AB 的中垂线，且l 1与l 2的交点为Q （m ，n ），则下列说法正确的是（ ） A ．m 为定值 B ．n 为定值C ．−√22＜k ＜√22且k ≠0D ．﹣2＜t ＜212．已知在伯努利试验中，事件A 发生的概率为p （0＜p ＜1），我们称将试验进行至事件A 发生r 次为止，试验进行的次数X 服从负二项分布，记作X ∼NB （r ，p ），则下列说法正确的是（ ） A ．若X ∼NB(1，12)，则P(X =k)=(12)k ，k ＝1，2，3，…B ．若X ∼NB （r ，p ），则P （X ＝k ）＝p r （1﹣p ）k ﹣r ，k ＝r ，r +1，r +2，… C ．若X ∼NB （r ，p ），Y ∼B （n ，p ），则P （X ≤n ）＝P （Y ≥r ）D ．若X ∼NB （r ，p ），则当k 取不小于r−1p的最小正整数时，P （X ＝k ）最大 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若直线l ：3x ﹣y ﹣6＝0与圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国．现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 ．（用数字作答）15．已知函数f （x ）＝sin （3x +φ）在区间[﹣φ，φ]上的值域为[−√22，1]，则φ的范围为 ．16．已知函数f(x)={e x ，x ≥0，−x 2，x ＜0.若函数f （x ）的图象在点A （x 1，f （x 1））（x 1＜0）和点B （x 2，f （x 2））（x 2＞0）处的两条切线相互平行且分别交y 轴于M ，N 两点，则|AM||BN|的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝4a n +1﹣3a n +6n ﹣3． （1）证明：数列{a n +1﹣a n +3n }为等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式．18．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3√74(a 2+b 2−c 2)．（1）求sin C ； （2）若sin(B −A)=3√732，求tan A ． 19．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCDE 中，平面ABC ⊥平面BCDE ，CD ＝DE ＝2BE ，BC ⊥CD ，BE ∥CD ，F 是线段AD 的中点．（1）若BA ＝BC ，求证：EF ⊥平面ACD ；（2）若BE ＝1，∠ABC ＝60°，且平面ABC 与平面ADE 夹角的正切值为2√33，求线段AC 的长．20．（12分）为考察药物M 对预防疾病A 以及药物N 对治疗疾病A 的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据100个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只）（1）依据α＝0.1的独立性检验，分析药物M 对预防疾病A 的有效性；（2）用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只，用药物N 进行治疗．已知药物N 的治愈率如下：对未服用过药物M 的动物治愈率为12，对服用过药物M 的动物治愈率为34．若共选取3次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n ＝a +b +c +d ．21．（12分）在直角坐标系xOy 中，动点P （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和P 到定直线l ：x ＝4的距离的比是常数12，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）过动点T （0，t ）（t ＜0）的直线交x 轴于点H ，交W 于点A ，M （点M 在第一象限），且AT →=2TH →．作点A 关于x 轴的对称点B ，连接BT 并延长交W 于点N ．证明：直线MN 斜率不小于√6． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 4+axlnx （a ∈R ），f ′（x ）为f （x ）的导函数，g （x ）＝f ′（x ）． （1）若a ＝﹣12，求y ＝f （x ）在[1，√e 3]上的最大值；（2）设P （x 1，g （x 1）），Q （x 2，g （x 2）），其中1≤x 2＜x 1．若直线PQ 的斜率为k ，且k ＜g′(x 1)+g′(x 2)2，求实数a 的取值范围．2023-2024学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

无锡市普通高中２０２２届高三终调研试卷数学无锡市普通高中2022届高三期终调研考试卷数学2022.01命题单位：滨湖区教育研究发展中心制卷单位：无锡市教育科学研究院注意事项与说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分150分．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．集合A＝{x|－3≤x＜4}，B＝{y|y＝2x2＋1，x∈R}，则 R A∩B＝(▲) A．[1，4)B．[4，＋∞)C．[－3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[4，＋∞)(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，则a＝(▲) 2．已知a＋3i1＋iA．－1B．1C．－3D．33．某年的足球联赛上，甲队每场比赛平均失球数是1.5个，全年比赛失球个数的标准差为1.4；乙队每场比赛平均失球数是2.3个，全年比赛失球个数的标准差为0.3，下列说法正确的是(▲) A．甲乙两队相比，乙队很少失球B．甲队比乙队技术水平更稳定C．平均来说，甲队比乙队防守技术好D．乙队有时表现很差，有时表现又非常好4．已知函数f (x )＝(x －1x)·ln|x |，则函数y ＝f (x )的图象可能是(▲)A B C D5．已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2，－1)，O 为坐标原点，则→AO ·→AP 的最小值等于(▲)A ．3B ．5－5C ．4D ．5＋56．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是正方形ABCD 的中心，则直线B 1M 与平面A 1C 1B 所成角的正弦值为(▲)A ．13B ．33C ．63D ．2237．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，A 1，A 2是双曲线C 的左、右顶点，点P 是双曲线C 左支上的一点，以A 1A 2为直径的圆与PF 2相切于M 点，若M 恰为PF 2的中点则双曲线C 的渐近线方程为(▲)A ．y ＝±2xB ．y ＝±xC ．y ＝±3xD ．y ＝±2x8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，则S a 2＋4bc的最大值为(▲)A ．216B ．312C ．316D ．218二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知e b ＜e a ＜1则下列结论正确的是(▲)A ．a 2＜b2B ．b a ＋a b＞2C ．ab ＞b 2D ．lg a 2＜lg(ab )【答案】ABD 【解析】10．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，下列说法正确的有(▲)A．至少一次正面朝上的概率34B．恰有一次正面朝上的概率与恰有两次正面朝上的概率一样C．一次正面朝上，一次反面朝上的概率是14D．在第一次正面朝上的条件下，第二次正面朝上的概率是12【答案】AD【解析】11．高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称．有这样一个函数就是以他名字命名的：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)＝[x]称为高斯函数，又称为取整函数．如：f(2.3)＝2，f(－3.3)＝－4．则下列结论正确的是(▲) A．函数f(x)是R上的单调递增函数B．函数g(x)＝f(x)－2x有2个零点3C．f(x)是R上的奇函数D．对于任意实数a，b，都有f(a)＋f(b)≤f(a＋b)12．已知平面直角坐标系中两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，用以下方式度量A，B两点距离：d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则下列说法正确的是(▲) A．在平面直角坐标系中，A(－3，0)，N(2，0)，满足d(A，N)＝d(A，C)＋d(N，C)的点C 的横坐标的范围为[－3，2]B．在平面直角坐标系中，任意取三点A，B，C，d(A，B)≤d(A，C)＋d(B，C)恒成立C．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，则满足d(O，P)＝1的点P(x，y)所形成的图形是圆D．在平面直角坐标系中，点M在y2＝4x上，N(2，0)，则满足d(M，N)＝3的点M共有4个法二：三、填空题；本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13．若(x ＋a3x )6的展开式中2的系数为160，则实数a 的值为▲．【答案】2【解析】14．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，D 在边BC 上，且→BD ＝13→BC ，E 为AD 的中点，则|→BE |＝▲．【解析】15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10＞S11＞S9，则满足S n·S n＋1＜0的正整数n的值为▲．16．正四面体ABCD的棱长为12，在平面BCD内有一动点P，且满足AP＝63，则P点的轨迹是；设直线AP与直线BC所成的角为θ，则cosθ的取值范围为▲．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和S n满足S n＋1＋S n－1＝2S n＋1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝log2(a n·2nn)，求数列{b n}的前n项和T n．▲▲▲【解析】18．(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知a＝3，tan A＝3，▲．请在①c sin A＝3cos C；②(sin A－sin B)2＝sin2C－sin A·sin B这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中并加以解答．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)(1)求角C；(2)求△ABC的面积．▲▲▲【解析】19．(本小题满分12分)近日，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑清防安全规定》．其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以1000元罚款．为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机拍取125名事民进行抽样调查，得到如下2×2列联表：知晓不知晓总计年龄≤60163450年龄＞6096675总计25100125参考公式：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d．P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(1)根据以上统计数据，是否有99%的把握认为知晓规定与年龄有关?(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从木地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取4位市民，记被抽取的4位市民中知晓规定的人数为X，求X的分布列及数学期望．▲▲▲【解析】20．(本小题镇分12分)如图，多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，ED ⊥平面ABCD ，FB ⊥平面ABCD ，DE ＝AD ＝2BF ＝2．(1)求证：CF //平面ADE ；(2)求二面角A －EF －C 的正弦值．▲▲▲【解析】21．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，点A(－1，32)在椭圆C上，点P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求|PM|＋|PN||PF|的取值范围．▲▲▲【解析】22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1(e 为自然对数的底数)．(1)若不等式f (x )＞e －1e ＋1恒成立，求实数x 的取值范围；(2)若不等式f (x )＜ax ＋13－a ln2在x ∈(ln2，＋ )上恒成立，求实数a 的取值范围．▲▲▲【解析】。