专题14 集合至立体几何(1)-2020届高三数学(理)复习小题滚动练

广东省2020届高三一轮复习典型题专项训练：立体几何数 学（理科）一、选择、填空题1、（广州市2018高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表 面积为 A．4+B．14+C．10+D ．42、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ∆，C 为PA中点，PA =6PO =，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为A.B. C. 6D.3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4A B A C A D ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为 ※※ .4、（珠海市2019届高三9月摸底考试）S 为顶点的正四面体S ABC-D 为SC 的中点，则BD 与AC 所成角的余弦值为A.3B. 2C. 6D. 165、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.32163π-B.16163π-C.3283π-D.1683π-6、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111C B A ABC -中， 4,3,51====BC AB AC AA ，则阳马111A ABB C -的外接球的表面积是7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为对角线11C A 的中点，F E ,分别为对角线11,BC D A （含端点）上的动点，则PE +PF 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22 8、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为____．9、（揭阳市2019届高三第二次模拟）如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为俯视图侧视图主视图324A ．12B ．16C ．18D ．2010、（湛江市2019届高三调研）正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为A ．212B ．312C ．26D ．3611、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π 取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的x 为( )A . 2.4B . 1.8C . 1.6D . 1.212、（肇庆市2019届高三上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AB BC ===，E 是AB 的中点，则三棱锥11E D C C -外接球的表面积为A ．36πB ．32πC ．9πD ．8π13、（珠海市2019届高三上学期期末）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，）A B C D14、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知两条直线m n 、，两个平面αβ、，给出下面四个命题：①//,////m n m n αα⇒ ②//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥ ③,//m n m n αα⊥⊥⇒或n α⊂ ④,//m m αβαβ⊥⇒⊥其中，正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15、（揭阳市2019届高三上学期期末）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．πB ．2πC ．4πD ．16π16、（雷州市2019在平面α内，点E 是线段AC 的中A ．0 C17、（茂名市2019届高三上期末）如图2，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（ ）． A 、6 B 、18 C 、12 D 、3618、（汕尾市2019高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A．B．C．D．19、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A）72 （B）64 （C）48 （D）3220、（肇庆市2019高三二模）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2BC＝4，E是AB的中点，则三棱锥E﹣D1C1C外接球的表面积为（）A．36πB．32πC．9πD．8π21、（湛江2019高三一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A、113B、133C、143D、16322、（广东省2019届高三3月一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π23、（广州市2019届高三3月综合测试（一））一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为 A.132π B.7π C.152πD.8π二、解答题 1、（广州市2018高三一模）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．DCBA S2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将BEC ∆折起，使C 到C '的位置，且平面BEC '⊥平面ABED (1)求证：AE BC '⊥；(2)求二面角C AE B '--的余弦值．C /EDCBA3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C （图2）.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.（1）求证; 平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）若平面PAE 和平面PBC 的交线为l ，求二面角B l E --的余弦值.5、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形， AF ∥DE ，AD AF ⊥，且平面⊥BED 平面ABCD ． (1) 求证：CD AF ⊥;(2) 若︒=∠60BAD ，ED AD AF 21==，求二面角E FB A --的余弦值．6、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∠APD ＝90°，且AD ＝PB ． (l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若AD ⊥PB ，求二面角D －PB －C 的余弦值．7、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 的三等分点． (1)证明：//AF 平面EBD ；(2)已知1AP AD ==,2AB =，求二面角E BD A --的余弦值.EFCBDAP8、（湛江市2019届高三调研）如图，在四棱锥ABCD P -中，△PAB 、△PBC 、△ACD 均为等边三角形，BC AB ⊥． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值．9、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图4,在四棱锥E ABCD -中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,DE =(Ⅰ) 证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ) 若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.10、（汕尾市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD 。

届高三第二次模拟数学理试题分类汇编：立体几何一、填空、选择题1、（崇明县2016届高三二模）已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为15πcm2，则此圆锥的体积为cm 2．2、（奉贤区2016届高三二模）在棱长为1的正方体ABCD A B C D ''''-中，若点P 是棱上一点，则满足2PA PC '+=的点P 的个数_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=o ，C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC O -体积的最大值为323，则球O 的表面积为__________4、（黄浦区2016届高三二模）已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如右上图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V =5、（静安区2016届高三二模）如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长为23cm ，侧面积为 283cm ，则它的体积为.6、（闵行区2016届高三二模）若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.7、（浦东新区2016届高三二模）已知四面体ABCD 中，2==CD AB ，E ，F分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =________．8、（普陀区2016届高三二模）若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ）（A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）．如图，圆锥形容器的高为,h 圆锥内水面的高为1,h 且11,3h h =若将圆锥倒置，水面高为2,h 则2h 等于------------------------------------------------（ ）（A ）23h （B ）1927h （C ）363h （D ）3193h10、（杨浦区2016届高三二模）已知命题：“若a,b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线a,b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若a,b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与a,b 均异面且距离也均为d 的直线c 的条数为（ ）A0条 B.1条 C.多于1条，但为有限条 D.无数多条11、（闸北区2016届高三二模）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB == 2BC =，则球O 的表面积等于（ ）A ．π4 B ．π3 C ．π2 D ．π12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）下列命题正确的是（ ）．（A ）若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ； （B ）若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；（C ）直线l 与平面α所成角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,0π；（D ）若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l .13、（闵行区2016届高三二模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线14、（浦东新区2016届高三二模）给出下列命题，其中正确的命题为( )（A ）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面；（B ）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （C ）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （D ）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直. 二、解答题1、（崇明县2016届高三二模）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱BC 的中点，点F 是棱CD 的中点． （1）求证：11EF B D ∥； （2）求二面角1C EF A --的大小（结果用反三角函数值表示）．AC BC 1A 1B 1（第19题图）D 1D FE2、（奉贤区2016届高三二模）面ABC 外的一点P ，,,AP AB AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥面ABC ，且1ED =，2PA =，2AC =，连,BP BE ，多面体B PADE -的体积是33． (1)画出面PBE 与面ABC 的交线，说明理由； （2）求面PBE 与面ABC 所成的锐二面角的大小．ADBCPEQ A DCBP （第20题图）3、（虹口区2016届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，2AB AD AP ===，1BC =.(1) 求点A 到平面PCD 的距离； (2) 若点Q 为线段BP 的中点，求直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小.4、（黄浦区2016届高三二模）如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P 与凳面圆形的圆心O 的连线垂直于凳面和地面，且P 分两钢管上下两段的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A 、B 、C 是凳面圆周的三等分点，18AB =厘米，求凳面的高度h 及三根细钢管的总长度（精确到0.01）；5、（静安区2016届高三二模）设点,E F 分别是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点．如图，以C 为坐标原点，射线CD 、CB 、1CC 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系．（1）求向量1D E u u u u r与1C F u u u u r 的数量积；（2）若点,M N 分别是线段1D E 与线段1C F 上的点，问是否存在直线MN ，MN ⊥平面ABCD ？若存在，求点,M N 的坐标；若不存在，请说明理由E FB 1A 1C 1D 1BC DA6、（闵行区2016届高三二模）如图，在直角梯形PBCD中，//PB DC，DC BC⊥，22PB BC CD===，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设PABθ∠=．（1）当θ为直角时，求异面直线PC与BD所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P ABD-的体积为26．7、（浦东新区2016届高三二模）如图，在圆锥SO中，AB为底面圆O 的直径，点C为»AB的中点，SO AB=.（1）证明：AB⊥平面SOC；（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成的角.（结果用反三角函数表示）8、（普陀区2016届高三二模）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）9、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在直三棱柱111C B A ABC -中，1==AC AB ，90=∠BAC ，且异面直线BA 1与11CB 所成的角等于060，设a AA =1. （1）求a 的值；（2）求三棱锥BC A B 11-的体积．1A 1B 1CA BCD.A 1CEA BCDB 110、（杨浦区2016届高三二模）如图，底面是直角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，1112AC BC AA ===，D 是棱1AA 上的动点.(1)证明：1DC BC ⊥； (2)求三棱锥1C BDC -的体积.11、（闸北区2016届高三二模）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，11AA =，点E 在棱AB 上移动．（1）探求AE 多长时，直线1D E 与平面11AA D D成45o 角；（2）点E 移动为棱AB 中点时，求点E 到平面11A DC 的距离．12、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面△ABC 是等腰直角三角形，21===AA BC AC ，D 为侧棱1AA 的中点．（1）求证：⊥BC 平面11A ACC ；（2）求二面角11C CD B --的大小（结果用反三角函数值表示）． 参考答案一、填空、选择题ABCA 1B 1C 1D1、12π2、23、64π4、3325、4106、37、1 或3 8、C 9、D 10、D 11、A 12、D13、B 14、D二、解答题1、可得有关点的坐标为11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =--u u u r ，11(1,1,0)B D =--u u u u r (4)分所以112B D EF =u u u u r u u u r...............................5分所以11EF B D ∥...............................6分（2）设1(,,)n u v w =u r是平面1C EF 的一个法向量.因为111,n EF n FC ⊥⊥u r u u u u r u r u u u u r所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+=u r u u u ru r u u u u r解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-u r.............................9分因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n =u u r (10)分设1n u r 与2n u u r 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅u r u u ru r uu r .......................11分结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos 3π- (12)分2、(1)根据条件知:PE 与AD 交点恰好是C 1分ACBC 1A 1B 1（第19题图）D 1 D FE x yz,C PE C ∈∴∈面PBE ,,C AC C ∈∴∈面ABC 2分B ∈面PBE ,B ∈面ABC3分 面PBE与面ABC的交线BC5分 (2)(理) ,,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP 7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分233BA ∴=10分建立空间直角坐标系,设平面的法向量是()1,,n x y z u r23,0,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0C ()0,1,0D ()0,1,1E ()0,0,2P23,0,23BP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，23,1,13BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r123203n BP x z ⋅=-+=u r u u u r12303n BE x y z ⋅=-++=u r u u u r()13,1,1n ∴=u r11分面ABC 的法向量()20,0,1n =u u rADBC PE zxyQA D CBP（第20题解答图）z yx 1212cos n nn n θ⋅==⋅u r u u ru r u u r 1555= 12分所以面PBE 与面ABC 所成的锐二面角大小5arccos 513分注：若作出二面角得2分，计算再3分 (2)(文),,AP AB AC 两两互相垂直,BA ⊥面EDAP7分多面体B PADE -的体积是()113323PA DE AD BA ⨯+⨯⨯=9分233BA ∴=10分 连接AEAE 是BE 在面EDAP 的射影BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角． 11分 计算2AE =,2363tan 32BAE ∠==12分BEA ∠是BE 与面PADE 所成的线面角6arctan 3． 13分3、 （理）解：(1)以},,{AP AD AB 为正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，则相关点的坐标为B （2,0,0），(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2).C D P ……2分设平面PCD 的法向量为(,,),n x y z =r由(2,1,0),DC =-uuu r (0,2,2),DP =-u u u r (0,2,0).DA =-u u u r则ADBCPE202,2.220n DC x y y x z x n DPy z r u u u r r u u u r ìïì?-==ïïïÞ眄镲=?-+=ïîïî 令1x =，则(1,2,2)n =r.……5分所以点A 到平面PCD 的距离为：(0,2,0)(1,2,2)4.(1,2,2)3DA n d nu u u r r r×-?=== ……7分(2) 由条件，得(1,0,1),Q =(0,2,0),(1,0,1),AD AQ ==u u u r u u u r 且(1,1,1).CQ u u u r=--设平面ADQ 的法向量为0000(,,),n x y z =r 则00000000200,.0n AD y y z x n AQx z r u u u r r u u u r ìïì?==ïï镲Þ眄镲=-?+=ïïîî令01x =，则0(1,0,1)n =-r.……10分设直线CQ 与平面ADQ 所成角为,θ则00026sin cos ,.332CQ n CQ n CQ n θ⋅=<>===⋅u u u r u u r u u u r u u ru u u r u u r故直线CQ 与平面ADQ 所成角的大小为6sin.3arc ……14分注：第（1）小题也可用等积法来做.4、[解] 联结PO ，AO ，由题意，PO ⊥平面ABC ，因为凳面与地面平行， 所以PAO ∠就是PA 与平面ABC 所成的角，即60PAO ∠=︒．（2分） 在等边三角形ABC 中，18AB =，得63AO =，（4分）在直角三角形PAO 中，318OP AO ==，（6分）由0.618OPh OP=-，解得47.13h ≈厘米．（9分）三根细钢管的总长度3163.25sin 60h≈︒厘米．（12分）5、（1）在给定空间直角坐标系中，相关点及向量坐标为11(2,0,2),(1,2,0),(1,2,2)D E D E =--u u u u r (2)分PA BCD xy z PA BCD 11(0,0,2),(2,2,1),(2,2,1)C F C F =-u u u u r (4)分所以111222(2)(1)4D E C F ⋅=-⨯+⨯+-⨯-=u u u u r u u u u r。

专题15 集合至立体几何(2)考查范围：集合与常用逻辑用语、函数、基本初等函数（I）、函数的应用、导数与定积分、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A＝{(x，y)|y＝log2x}，B＝{(x，y)|y＝x2－2x}，则集合A∩B的子集有()A．1个B．2个C．3个D．4个1.[解析]D 在同一直角坐标系下画出函数y＝log2x与y＝x2－2x的图象，如图所示：由图可知y＝log2x与y＝x2－2x图象有两个交点，则A∩B的元素有2个，子集有22=4个.2. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x2＋2ax，x≥2，2x＋1，x<2，若f(f(1))>3a2，则a的取值范围是( )A.(1,3)- B.(3,1)-C.(1,3)D.(3,1)--2.[解析] A由题意知f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a，若f(f(1))>3a2，则9＋6a>3a2，即a2－2a－3<0，解得－1<a<3.3.如图，一个旋转体沙漏，上部为一倒立圆台，下部为一圆柱，假定单位时间流出的沙量固定，并且沙的上表面总能保持平整，设沙漏内剩余沙的高度与时间的函数为，则最接近的图像的是（）A B C D3. [解析]A4. 已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是()A．①B．②④C．①④D．④4. [解析]C 构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系．解析借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．h t)(tfh=)(tf5. 已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA→＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n的值为( ) A ．2 B.52 C ．3 D ．4 5.[解析] C ∵OA →·OB →＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )． ∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即mn ＝3，故选C. 6. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －5， x ＞6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4， x ≤6，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且数列{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,4)B ．(4,8)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)6.[解析]B 由题可知，数列{a n }单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a2＞0，6⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2＋4＜a7－5，解得⎩⎨⎧a ＞1，a ＜8，a ＞4或a ＜－7，所以，4＜a ＜8。

立体几何复习练习及答案立体几何复习练习班次_____姓名_________学号______一选择题：1. 设γβα、、为平面。

l n m 、、为直线，则β⊥m 的一个充分条件是 ( )A l m l ⊥=?⊥,,βαβαB γβγαγα⊥⊥=?,,mC αγβγα⊥⊥⊥m ,,D αβα⊥⊥⊥m n n ,,2.对于不重合的两个平面α、β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③存在直线α?l ，直线β?m ，使得m l //；④存在异面直线l 、m ，使得.//,//,//,//βαβαm m l l 其中，可以判定α与β 平行的命题有几个（） A ．1个 B.2个C ．3个D ．4个3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．125π4．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ；其中真命题的序号是（）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③5.已知二面角l αβ--的大小为060，,m n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则,m n 所成的角为（）A.030 B.060 C.090 D.0120 6．正三棱锥ABC P -内接于球O ，球心O 在底面ABC 上,且3=AB ，则球的表面积为（） A ．πB ．π2C ．π4D ．π97．已知正方体外接球的体积是π332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332 C.324 D.3348.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等图1示Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上9.已知球O 的半径是1，A 、B 、C 三点都在球面上，A 、B 两点和A 、C 两点的球面距离都是4π，B 、C 两点的球面距离是3π，则二面角B O A C --的大小是（）A4πB3πC2πD23π10.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 ( )A.22二填空题：11.四面体P A B C -中，三条侧棱两两垂直，M 是面ABC 内一点，且点M 到三个面,,PAB PAC PBC 的距离分别是2,3,6，则M 到顶点P 的距离是_____ .12. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，90BAC ∠= ，M 是1C C 的中点，Q 是B C 的中点，P 在11A B 上，则直线PQ 与直线A M 所成的角为 ;(2)在正方体1111ABC D A B C D -中，O 为A C 与B D 的交点，则1C O 与1A D 所成的角为________ (表示为反余弦).13.A B C ?的顶点B 在平面α内，A 、C 在α的同一侧，A B 、BC 与α所成的角分别是30和45．若3,5AB BC AC ===，则A C 与α所成的角为______ _.14.（1）如图1，正方体1111ABC D A B C D -的棱长为1,O 是底面1111A B C D 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离为_______ _;（2）如图2，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点，A 、B 、M 是顶点，那么点M 到截面A B C D 的距离是.15．棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 、G 分别为C 1D 1、BB 1的中点，F 是正方形ADD 1A 1的中心，则空间四边形BGEF 在正方体的六个面内射影图形的面积的最大值为 .图216．如图，ABCD 为矩形，AB=3，BC=1，EF//BC 且AE=2EB ，G 为BC 中点，K 为△ADF的外心。

2020年高考理科数学一轮复习大题篇---立体几何【归类解析】题型一平行、垂直关系的证明【解题指导】(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用. (2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.【例】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积.(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)证明 方法一 如图1，取AB 中点G ，连接EG ，FG . 因为E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC .因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1， 所以四边形FGEC 1为平行四边形， 所以C 1F ∥EG .又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE .方法二 如图2，取AC 的中点H ，连接C 1H ，FH . 因为H ，F 分别是AC ，BC 的中点，所以HF ∥AB ， 又因为E ，H 分别是A 1C 1，AC 的中点， 所以EC 1∥AH ，且EC 1＝AH ， 所以四边形EAHC 1为平行四边形， 所以C 1H ∥AE ，又C 1H ∩HF ＝H ，AE ∩AB ＝A ， 所以平面ABE ∥平面C 1HF ， 又C 1F ⊂平面C 1HF ， 所以C 1F ∥平面ABE .(3)解 因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB ⊥BC ， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝ 3. 所以三棱锥E －ABC 的体积 V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33.【训练】如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，点E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC .【证明】 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1).∵点E ，F 分别是PC ，PD 的中点， ∴E ⎝⎛⎭⎫12，1，12，F ⎝⎛⎭⎫0，1，12， EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，0，AB →＝(1,0,0). ∵EF →＝－12AB →，∴EF →∥AB →， 即EF ∥AB ，又AB ⊂平面P AB ，EF ⊄平面P AB ， ∴EF ∥平面P AB . (2)由(1)可知，AP →＝(0,0,1)，AD →＝(0,2,0)，DC →＝(1,0,0)， ∵AP →·DC →＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， AD →·DC →＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， ∴AP →⊥DC →，AD →⊥DC →， 即AP ⊥DC ，AD ⊥DC .又AP ∩AD ＝A ，AP ，AD ⊂平面P AD ， ∴DC ⊥平面P AD . ∵DC ⊂平面PDC ， ∴平面P AD ⊥平面PDC . 题型二 立体几何中的计算问题1求线面角【解题指导】(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：①分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.(2)若直线l与平面α的夹角为θ，直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角为β，则θ＝π2－β或θ＝β－π2，故有sin θ＝|cos β|＝|l·n||l||n|.【例】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.方法一(1)证明由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝22，所以A1B21＋AB21＝AA21，故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝ 5.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2 3.由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB21＋B1C21＝AC21，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.由AB 1⊥平面A 1B 1C 1， 得平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.由C 1D ⊥A 1B 1，平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1，得C 1D ⊥平面ABB 1. 所以∠C 1AD 即为AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21， 得cos ∠C 1A 1B 1＝427，sin ∠C 1A 1B 1＝77， 所以C 1D ＝3，故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913.因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 方法二 (1)证明 如图，以AC 的中点O 为原点，分别以射线OB ，OC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意知各点坐标如下：A (0，－3，0)，B (1,0,0)，A 1(0，－3，4)，B 1(1,0,2)，C 1(0，3，1). 因此AB 1→＝(1，3，2)，A 1B 1→＝(1，3，－2)，A 1C 1—→＝(0,23，－3). 由AB 1→·A 1B 1—→＝0，得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1→·A 1C 1—→＝0，得AB 1⊥A 1C 1.又A 1B 1∩A 1C 1＝A 1，A 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2)解 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1→＝(0,23，1)，AB →＝(1，3，0)，BB 1→＝(0,0,2). 设平面ABB 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BB 1→＝0，得⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3，1,0).所以sin θ＝|cos 〈AC 1→，n 〉|＝|AC 1→·n ||AC 1→||n |＝3913.因此直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913. 【训练】 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为正三角形，点D 在棱BC 上，且CD ＝3BD ，点E ，F 分别为棱AB ，BB 1的中点.(1)证明：A 1C ∥平面DEF ；(2)若A 1C ⊥EF ，求直线A 1C 1与平面DEF 所成的角的正弦值. 【解】 (1)如图，连接AB 1，A 1B 交于点H ，设A 1B 交EF 于点K ，连接DK ， 因为四边形ABB 1A 1为矩形， 所以H 为线段A 1B 的中点.因为点E ，F 分别为棱AB ，BB 1的中点， 所以点K 为线段BH 的中点， 所以A 1K ＝3BK .又CD ＝3BD ，所以A 1C ∥DK . 又A 1C ⊄平面DEF ，DK ⊂平面DEF ， 所以A 1C ∥平面DEF .(2)连接CE ，EH ，由(1)知，EH ∥AA 1， 因为AA 1⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .因为△ABC 为正三角形，且点E 为棱AB 的中点， 所以CE ⊥AB .故以点E 为坐标原点，分别以EA →，EH →，EC →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz . 设AB ＝4，AA 1＝t (t >0)，则E (0,0,0)，A 1(2，t ,0)，A (2,0,0)，C (0,0,23)， F ⎝⎛⎭⎫－2，t 2，0，D ⎝⎛⎭⎫－32，0，32， 所以A 1C →＝(－2，－t ,23)，EF →＝⎝⎛⎭⎫－2，t 2，0. 因为A 1C ⊥EF ，所以A 1C →·EF →＝0， 所以(－2)×(－2)－t ×t 2＋23×0＝0，所以t ＝22，所以EF →＝(－2，2，0)，ED →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32.设平面DEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧EF →·n ＝0，ED →·n ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－32x ＋32z ＝0. 取x ＝1，则n ＝(1，2，3). 又A 1C 1—→＝AC →＝(－2,0,23)，设直线A 1C 1与平面DEF 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C 1→〉|＝|n ·A 1C 1—→||n ||A 1C 1—→|＝46×4＝66，所以直线A 1C 1与平面DEF 所成的角的正弦值为66. 2 求二面角【解题指导】 (1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.【例】如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，BC ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.(1)求证：BE ⊥平面ACE ；(2)若直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，求二面角E －AB －C 的余弦值. (1)证明 在△ACB 中，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，解得AC ＝23，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ， 所以AC ⊥平面BCDE .又BE ⊂平面BCDE ，所以AC ⊥BE .又BE ⊥EC ，AC ，CE ⊂平面ACE ，且AC ∩CE ＝C ， 所以BE ⊥平面ACE .(2)解 方法一 因为直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC ，所以∠BCE ＝45°，所以△EBC 为等腰直角三角形.取BC 的中点F ，连接EF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连接EG ， 则∠EGF 为二面角E －AB －C 的平面角. 易得EF ＝BF ＝1，FG ＝32. 在Rt △EFG 中，由勾股定理，得EG ＝EF 2＋FG 2＝72， 所以cos ∠EGF ＝FG EG ＝217，所以二面角E －AB －C 的余弦值为217. 方法二 因为直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ∩平面ABC ＝BC ，所以∠BCE ＝45°，所以△EBC 为等腰直角三角形. 记BC 的中点为O ，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OE 所在直线为x 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (－1,23，0)，B (1,0,0)，E (0,0,1)， 所以BA →＝(－2,23，0)，BE →＝(－1,0,1). 设平面ABE 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧BA →·m ＝0，BE →·m ＝0，即⎩⎨⎧－2x ＋23y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝3，则m ＝(3，1，3)为平面ABE 的一个法向量. 易知平面ABC 的一个法向量为OE →＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，OE →〉＝m ·OE →|m |·|OE →|＝37＝217，易知二面角E －AB －C 为锐角， 所以二面角E －AB －C 的余弦值为217. 【训练】 如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝2，AA 1＝3.(1)证明：平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D ；(2)若∠BAD ＝60°，求二面角B －OB 1－C 的余弦值. (1)证明 ∵A 1O ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴A 1O ⊥BD .∵四边形ABCD 是菱形，∴CO ⊥BD . ∵A 1O ∩CO ＝O ，A 1O ，CO ⊂平面A 1CO ， ∴BD ⊥平面A 1CO . ∵BD ⊂平面BB 1D 1D ， ∴平面A 1CO ⊥平面BB 1D 1D .(2)解 ∵A 1O ⊥平面ABCD ，CO ⊥BD ， ∴OB ，OC ，OA 1两两垂直，以O 为坐标原点，OB →，OC →，OA 1→的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.∵AB ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝60°，∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，OA 1＝AA 21－OA 2＝ 6.则O (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，A (0，－3，0)，A 1(0，0，6)， ∴OB →＝(1,0,0)，BB 1→＝AA 1→＝(0，3，6)，OB 1→＝OB →＋BB 1→＝(1，3，6). 设平面OBB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧OB →·n ＝0，OB 1→·n ＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，x ＋3y ＋6z ＝0.令y ＝2，得n ＝(0，2，－1)，是平面OBB 1的一个法向量. 同理可求得平面OCB 1的一个法向量m ＝(6，0，－1)， ∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝13×7＝2121.由图可知二面角B －OB 1－C 是锐二面角， ∴二面角B －OB 1－C 的余弦值为2121. 题型三 立体几何中的探索性问题【解题指导】 (1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化. 【例】如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，P A ＝2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.(1)证明 如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ， 因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ， 所以AB ⊥平面P AC ， 所以AB ⊥PC .(2)解 方法一 (几何法)过点M 作MN ⊥AD 交AD 于点N ，则MN ∥P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD . 过点M 作MG ⊥AC 交AC 于点G ，连接NG ， 则∠MGN 是二面角M －AC －D 的平面角. 若∠MGN ＝45°，则NG ＝MN ， 又AN ＝2NG ＝2MN ，所以MN ＝1，所以MN ＝12P A ，MN ∥P A ，所以M 是PD 的中点.在三棱锥M －ABC 中，可得V M －ABC ＝13S △ABC ·MN ，设点B 到平面MAC 的距离是h ， 则V B －MAC ＝13S △MAC ·h ，所以S △ABC ·MN ＝S △MAC ·h ，解得h ＝2 2. 在Rt △BMN 中，可得BM ＝3 3. 设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝h BM ＝269.方法二 (向量法)以A 为坐标原点，以过点A 平行于CD 的直线为x 轴，AD ，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)，B (22，－22，0)，PD →＝(0，22，－2)，AC →＝(22，22，0). 易知当点M 与P 点或D 点重合时不满足题意， 设PM →＝t PD →(0<t <1)，则点M 的坐标为(0,22t,2－2t )， 所以AM →＝(0,22t,2－2t ).设平面MAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AM →＝0，得⎩⎨⎧22x ＋22y ＝0，22ty ＋2－2t z ＝0，则可取n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，2t 1－t .又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量， 所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝cos 45°＝22， 解得t ＝12，即点M 是线段PD 的中点.此时平面MAC 的一个法向量可取n 0＝(1，－1，2)， BM →＝(－22，32，1).设BM 与平面MAC 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n 0，BM →〉|＝269.【训练】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB ＝AC ＝2，AD ＝22，PB ＝2，PB ⊥AC .(1)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(2)若∠PBA ＝45°，试判断棱P A 上是否存在与点P ，A 不重合的点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69？若存在，求出AEAP的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝22， 所以BC ＝AD ＝22， 又AB ＝AC ＝2，所以AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ， 又PB ⊥AC ，AB ∩PB ＝B ，AB ，PB ⊂平面P AB ， 所以AC ⊥平面P AB . 又因为AC ⊂平面P AC ， 所以平面P AB ⊥平面P AC .(2)解 由(1)知AC ⊥AB ，AC ⊥平面P AB ， 分别以AB ，AC 所在直线为x 轴，y 轴，平面P AB 内过点A 且与直线AB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)， AC →＝(0,2,0)，BC →＝(－2,2,0)，由∠PBA ＝45°，PB ＝2，可得P (1,0,1)， 所以AP →＝(1,0,1)，BP →＝(－1,0,1)， 假设棱P A 上存在点E ，使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69， 设AEAP＝λ(0<λ<1)， 则AE →＝λAP →＝(λ，0，λ)，CE →＝AE →－AC →＝(λ，－2，λ)， 设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，可得x ＝y ＝1，所以平面PBC 的一个法向量n ＝(1,1,1)， 设直线CE 与平面PBC 所成的角为θ，则 sin θ＝ |cos 〈n ，CE →〉| ＝|λ－2＋λ|3·λ2＋－22＋λ2＝|2λ－2|3·2λ2＋4＝69，解得λ＝12或λ＝74(舍).所以在棱P A 上存在点E ，且AE AP ＝12， 使得直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为69.专题突破训练1.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，P A ＝PD .(1)证明：BC ⊥PB ；(2)若P A ⊥PD ，PB ＝AB ，求二面角A －PB －C 的余弦值. (1)证明 取AD 中点为E ，连接PE ，BE ，BD ，∵P A ＝PD ，∴PE ⊥AD ， ∵底面ABCD 为菱形， 且∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BE ⊥AD ， ∵PE ∩BE ＝E ，PE ，BE ⊂平面PBE ， ∴AD ⊥平面PBE ， 又PB ⊂平面PBE ， ∴AD ⊥PB ，∵AD ∥BC ，∴BC ⊥PB . (2)解 设AB ＝2， ∴AD ＝PB ＝2，BE ＝3， ∵P A ⊥PD ，E 为AD 中点， ∴PE ＝1，∵PE 2＋BE 2＝PB 2， ∴PE ⊥BE .以E 为坐标原点，分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0,0,1)，C (－2，3，0)，∴AB →＝(－1，3，0)，AP →＝(－1,0,1)，BP →＝(0，－3，1)，BC →＝(－2,0,0). 设平面P AB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AP →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋z ＝0，令y ＝3，则n ＝(3，3，3).同理可得平面PBC 的一个法向量m ＝(0，3，3). cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝277.设二面角A －PB －C 的平面角为θ，由图易知θ为钝角， 则cos θ＝－cos 〈m ，n 〉＝－277.∴二面角A －PB －C 的余弦值为－277.2.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 和△AA 1C 均是边长为2的等边三角形，点O 为AC 中点，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC .(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求直线AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值. (1)证明 ∵AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点， ∴A 1O ⊥AC ，又∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，A 1O ⊂平面AA 1C 1C ， ∴A 1O ⊥平面ABC .(2)解 如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)， ∴AB →＝(3，1,0)，A 1B →＝(3，0，－3)，A 1C 1—→＝(0,2,0)， 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C 1→＝0，n ·A 1B →＝0，即⎩⎨⎧2y ＝0，3x －3z ＝0，∴平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(1,0,1)， 设直线AB 与平面A 1BC 1所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈AB →，n 〉|，又∵cos 〈AB →，n 〉＝AB →·n |AB →||n |＝322＝64，∴AB 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为64. 3.如图1，在边长为5的菱形ABCD 中，AC ＝6，现沿对角线AC 把△ADC 翻折到△APC 的位置得到四面体P －ABC ，如图2所示.已知PB ＝4 2.(1)求证：平面P AC ⊥平面ABC ；(2)若Q 是线段AP 上的点，且AQ →＝13AP →，求二面角Q －BC －A 的余弦值.(1)证明 取AC 的中点O ，连接PO ，BO 得到△PBO .∵四边形ABCD 是菱形，∴P A ＝PC ，PO ⊥AC . ∵DC ＝5，AC ＝6，∴OC ＝3，PO ＝OB ＝4， ∵PB ＝42，∴PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB .∵OB ∩AC ＝O ，OB ，AC ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC . ∵PO ⊂平面P AC ，∴平面P AC ⊥平面ABC . (2)解 ∵AB ＝BC ，∴BO ⊥AC . 易知OB ，OC ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .则B (4,0,0)，C (0,3,0)，P (0,0,4)，A (0，－3,0). 设点Q (x ，y ，z ).由AQ →＝13AP →，得Q ⎝⎛⎭⎫0，－2，43. ∴BC →＝(－4,3,0)，BQ →＝⎝⎛⎭⎫－4，－2，43. 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面BCQ 的法向量. 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝0，n 1·BQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1＋3y 1＝0，－4x 1－2y 1＋43z 1＝0， 解得⎩⎨⎧x 1＝34y 1，y 1＝415z 1，取z 1＝15，则n 1＝(3,4,15).取平面ABC 的一个法向量n 2＝(0,0,1).∵cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1532＋42＋152＝31010，由图可知二面角Q －BC －A 为锐角， ∴二面角Q －BC －A 的余弦值为31010.4.如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，AB ＝2，AE ＝3，DE ＝5，二面角E －AD －C 的余弦值为55，且EF ∥BD .(1)证明：平面ABCD ⊥平面EDC ；(2)求平面AEF 与平面EDC 所成锐二面角的余弦值. (1)证明 ∵AB ＝AD ＝2，AE ＝3，DE ＝5，∴AD 2＋DE 2＝AE 2， ∴AD ⊥DE ，又正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，且DE ∩DC ＝D ，DE ，DC ⊂平面EDC ， ∴AD ⊥平面EDC ， 又∵AD ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面EDC .(2)解 由(1)知，∠EDC 是二面角E －AD －C 的平面角， 作OE ⊥CD 于O ，则OD ＝DE ·cos ∠EDC ＝1，OE ＝2，又∵平面ABCD ⊥平面EDC ，平面ABCD ∩平面EDC ＝CD ，OE ⊂平面EDC ， ∴OE ⊥平面ABCD .取AB 中点M ，连接OM ，则OM ⊥CD ，如图，以O 为原点，分别以OM ，OC ，OE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A (2，－1,0)，B (2,1,0)， D (0，－1,0)，E (0,0,2)， ∴AE →＝(－2,1,2)， BD →＝(－2，－2,0)，又EF ∥BD ，知EF 的一个方向向量为(2,2,0)， 设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝－2x ＋y ＋2z ＝0，n ·DB →＝2x ＋2y ＝0，取x ＝－2，得n ＝(－2,2，－3)， 又平面EDC 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， ∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝－21717，设平面AEF 与平面EDC 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n ，m 〉|＝21717. 5.等边三角形ABC 的边长为3，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足AD DB ＝CE EA ＝12，如图1.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使二面角A 1—DE —B 为直二面角，连接A 1B ，A 1C ，如图2.(1)求证：A 1D ⊥平面BCED ；(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°？若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.(1)证明 因为等边三角形ABC 的边长为3， 且AD DB ＝CE EA ＝12，所以AD ＝1，AE ＝2. 在△ADE 中，∠DAE ＝60°，由余弦定理得 DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3. 从而AD 2＋DE 2＝AE 2，所以AD ⊥DE .折起后有A 1D ⊥DE ，因为二面角A 1—DE —B 是直二面角， 所以平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面A 1DE ∩平面BCED ＝DE ，A 1D ⊥DE ，A 1D ⊂平面A 1DE ， 所以A 1D ⊥平面BCED .(2)解 存在.理由：由(1)可知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，分别以DB ，DE ，DA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，作PH ⊥BD 于点H ， 连接A 1H ，A 1P ，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a .所以A 1(0,0,1)，P (2－a ，3a ,0)，E (0，3，0). 所以P A 1→＝(a －2，－3a ,1). 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0). 要使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，则sin 60°＝|P A 1→·DE →||P A 1→||DE →|＝3a 4a 2－4a ＋5×3＝32， 解得a ＝54.此时2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意.所以在线段BC 上存在点P ，使直线P A 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52.6.如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是圆内接四边形，CB ＝CD ＝CE ＝1，AB ＝AD ＝AE ＝3，EC ⊥BD .(1)求证：平面BED ⊥平面ABCD ；(2)若点P 在侧面ABE 内运动，且DP ∥平面BEC ，求直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值.(1)证明 如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接EO ，∵AD ＝AB ，CD ＝CB ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC ， 易得△ADO ≌△ABO ， ∴∠AOD ＝∠AOB ＝90°， ∴AC ⊥BD .又EC ⊥BD ，EC ∩AC ＝C ，EC ，AC ⊂平面AEC ， ∴BD ⊥平面AEC ，又OE ⊂平面AEC ，∴OE ⊥BD . 又底面ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，在Rt △ADC 中，由AD ＝3，CD ＝1， 可得AC ＝2，AO ＝32，∴∠AEC ＝90°，AE AC ＝AO AE ＝32， 易得△AEO ∽△ACE ，∴∠AOE ＝∠AEC ＝90°，即EO ⊥AC .又AC ，BD ⊂平面ABCD ，AC ∩BD ＝O ，∴EO ⊥平面ABCD ，又EO ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面ABCD .(2)解 如图，取AE 的中点M ，AB 的中点N ，连接MN ，ND ，DM ，则MN ∥BE ，由(1)知，∠DAC ＝∠BAC ＝30°，即∠DAB ＝60°，∴△ABD 为正三角形，∴DN ⊥AB ，又BC ⊥AB ，DN ，CB ⊂平面ABCD ，∴DN ∥CB ，又MN ∩DN ＝N ，BE ∩BC ＝B ，MN ，DN ⊂平面DMN ，BE ，BC ⊂平面EBC ，∴平面DMN ∥平面EBC ，∴点P 在线段MN 上.以O 为坐标原点，OA ，OB ，OE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，B ⎝⎛⎭⎫0，32，0，E ⎝⎛⎭⎫0，0，32， M ⎝⎛⎭⎫34，0，34，D ⎝⎛⎭⎫0，－32，0，N ⎝⎛⎭⎫34，34，0， ∴AB →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0，AE →＝⎝⎛⎭⎫－32，0，32， DM →＝⎝⎛⎭⎫34，32，34，MN →＝⎝⎛⎭⎫0，34，－34， 设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB →·n ＝0，AE →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，－3x ＋z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，3，3)，设MP →＝λMN →(0≤λ≤1)，可得DP →＝DM →＋MP →＝⎝⎛⎭⎫34，32＋34λ，34－34λ， 设直线DP 与平面ABE 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DP →〉|＝|n ·DP →||n |·|DP →|＝1242×λ2＋λ＋4， ∵0≤λ≤1，∴当λ＝0时，sin θ取得最大值427. 故直线DP 与平面ABE 所成角的正弦值的最大值为427.。

专题17 集合至解析几何(1)考查范围：集合与常用逻辑用语、函数、基本初等函数（I ）、函数的应用、导数与定积分、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、立体几何与空间向量、解析几何一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( )A ．0B ．0或2C ．2D ．0或1或21.【解析】B 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，所以m 可取0或2.2. (2012·大纲全国)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( ) A.13a －13b B.23a －23b C.35a －35bD.45a －45b2.【解析】D 解Rt △ABC 得AB ＝5，AD ＝45 5. 即AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45a －45b ， 故选D.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.【解析】A 由l 1∥l 2⇒a (a ＋1)－2＝0⇒a ＝1或a ＝－2，∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件.4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不经过点O )，则S 200等于( ) A.100 B.101 C.200D.2014.【解析】A ∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，∴S 200＝200（a 1＋a 200）2＝100.5. (2018·唐山模拟)在三棱锥P －ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．165.【解析】C 过点G 作EF ∥AC ，分别交P A 、PC 于点E 、F ，过E 、F 分别作EN ∥PB 、FM ∥PB ，分别交AB 、BC 于点N 、M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8. 故选C.6.已知函数f (x )＝e |ln x |，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )6.【解析】D f (x )＝e |ln x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≥1），1x（0<x <1），而函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数f (x )＝e |ln x|向左平移了一个单位，故选D.7. 已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，P A，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是()A. 2B.2 2C. 3D.2 37.【解析】C 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1，1)，半径为r＝1，根据对称性可知，四边形P ACB的面积为2S△APC ＝2×12|P A|r＝|P A|＝|PC|2－r2，要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋（－4）2＝105＝2.所以四边形P ACB面积的最小值为|PC|2min－r2＝4－1＝ 3. 故选C.8.△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－x cos A cos B－cos2C2＝0有一根为1，则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形8.【解析】B依题意，可得1－cos A cos B－cos2C2＝0，∵cos2C2＝1＋cos C2＝1－cos（A＋B）2＝1－cos A cos B＋sin A sin B2∴1－cos A cos B－1－cos A cos B＋sin A sin B2＝0，整理得：cos(A－B)＝1，又A，B为△ABC内角，∴A＝B，∴三角形为等腰三角形，故选B.9.(2016·山东)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，则f(6)＝()A.－2B.－1C.0D.29.【解析】D当x>12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x<0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(2)＝f(1)＝－f(－1)＝2，故选D.10. 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，令a n＝f⎝⎛⎭⎪⎫nπ6，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝( )A.－2B.－1C.0D.210.【解析】C14T＝5π12－π6＝π4，T＝π，故ω＝2πT＝2ππ＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，又f(x)图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，1.∴1＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ，又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2x＋π6，∴a1＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1，a2＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×2π6＋π6＝12，a3＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×3π6＋π6＝－12，a4＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×4π6＋π6＝－1，a5＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×5π6＋π6＝－12，a6＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×6π6＋π6＝12，a7＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×7π6＋π6＝1，a8＝sin⎝⎛⎭⎪⎫2×8π6＋π6＝12，……观察规律可知a n的取值变化以6为周期，且每一个周期内的和为0，又2014＝6×335＋4，则a1＋a2＋a3＋…＋a2 014＝a2 011＋a2 012＋a2 013＋a2 014＝1＋12－12－1＝0.11. (2016·兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法:①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.其中正确的个数为（）.A.0个B.1个C.2个D.3个11.【解析】D 由已知，在未折叠的原梯形中，AB∥DE，BE∥AD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE＝AD，折叠后如图所示．①过点M作MP∥DE，交AE于点P，连接NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NP∥EC.又MP∩NP＝P，DE∩CE＝E，所以平面MNP∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，所以AE⊥MP，AE⊥NP，又MP∩NP＝P，所以AE⊥平面MNP，又MN⊂平面MNP，所以MN⊥AE，②正确；③假设MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，③错误；④当EC⊥ED时，EC⊥AD.因为EC⊥EA，EC⊥ED，EA∩ED＝E，所以EC⊥平面AED，AD⊂平面AED，所以EC⊥AD，④正确．12. 设f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎪⎫0，1e B.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，e C.⎝⎛⎭⎪⎫ln 22，1e D.⎝⎛⎭⎪⎫0，ln 2212.【解析】C 由题意，可知方程|ln x|＝ax在区间(0,4)上有三个根，令h(x)＝ln x，则h′(x)＝1x，又h(x)在(x0，ln x0)处切线y－ln x0＝1x0(x－x0)过原点，得x0＝e，即曲线h(x)过原点的切线的斜率为1e ，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e . 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13. 已知1＋sin αcos α＝－12，则cos αsin α－1的值是_________________.13.【解析】12 由同角三角函数关系式1－sin 2α＝cos 2α及题意可得cos α≠0，且 1－sin α≠0，∴1＋sin αcos α＝cos α1－sin α，∴cos α1－sin α＝－12，即cos αsin α－1＝12.14. (2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.14.【解析】(1，2] 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎨⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.15. (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________.15.【解析】4 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，所以|CD |＝4.16. (2018·阳泉一模)在锐角△ABC 中,内角为A ，B ，C 对分别应边a ，b ，c.若A ＝2B ，则ab 的范围是(a ，b 分别为角A ，B 的对边长)_____________________. 16.【解析】(2，3) ∵A ＝2B ，∴根据正弦定理得：a b ＝sin A sin B ＝2sin B cos Bsin B ＝2cos B.(sin B ≠0)，∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＋C ＝180°，即C ＝180°－3B ，∵角C 为锐角，∴30°<B <60°，又0°<A ＝2B <90°，∴30°<B <45°， ∴22<cos B <32，即2<2cos B <3，则ab 的取值范围是(2，3).。

高三数学一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（2018浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A. 2B. 4C. 6D. 8侧视图俯视图正视图22112、（2017浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：3cm）是A.π+12B.π+32C.π3+12D.π3+323、（2016浙江省高考题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.4、（杭州市2018届高三第二次模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．5、（杭州市2018届高三上学期期末）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=o ，,D E 分别是,BC AB 的中点，AB AC ≠，且AC AD >.设PC 与DE 所成角为α，PD 与平面ABC 所成角为β，二面角P BC A --为γ，则（ ）A.αβγ<<B.αγβ<<C.βαγ<<D.γβα<< 6、（湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上学期期末）设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥B ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ7、（湖州市2018届高三5月适应性考试）一个棱锥的三视图如图（单位：cm ），则该棱锥的表面积是A ．426+2cmB ．462+2cmC ．432cm D ．226+2cm8、（暨阳联谊学校2018届高三4月联考）某几何体的三视图如所示，则该几何体的表面积为________， 体积为________.9、（嘉兴市2018届高三4月模拟）某几何体的三视图如图（单位：m ），则该几何体的体积是A ．323mB ．343m C ．2 3mD ．4 3m10、（嘉兴市2018届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的表面积(单位：2cm )是A ．22436+B ．51236+C ．22440+D ．51240+11、（金华十校2018届高三上学期期末）已知正方体1111D C B A ABCD -边长为1，点O E ,分别在线段11D B 和BD 上，11154D B EB =，BO DO =，动点F 在线段1AA 上，且满足)210(1<<=λλAA AF ，分别记二面角E OB F --1，1B OE F --，O EB F --1的平面角为γβα,,，则（ ）A. βγα>>B. αβγ>>C. βαγ>>D. γαβ>>21正视图侧视图俯视图 （第3题）（第6题）121俯视图12212正视图侧视图12、（金丽衢十二校2018届高三第二次联考）某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（ ） A ．2B ．C ．D ．413、（金丽衢十二校2018届高三第三次（5月）联考）正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为l 1，l 2，则l 1，l 2所成角的正弦值为（ ）14、（宁波市2018届高三5月模拟）已知直线l 、m 与平面α、β，α⊂l ，β⊂m ，则下列命题中正确的是A ．若m l //，则必有βα//B ．若m l ⊥，则必有βα⊥C ．若β⊥l ，则必有βα⊥D ．若βα⊥，则必有α⊥m15、（宁波市2018届高三上学期期末）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若几何体的表面积为1620π+，则r =（ ）.1A .2B .4C .8D16、（绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．83B．8C．203D．617、（浙江省2018届高三4月学考科目考试）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是( )A. B.C. D.18、（台州市2018届高三上学期期末质量评估）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为▲；表面积为▲.二、解答题1、（2018浙江省高考题）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值C1B1A1CBA2、（2017浙江省高考题）如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.（I）证明：CE∥平面PAB；（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值3、（2016浙江省高考题）如图,在三棱台ABC DEF-中,平面BCFE⊥平面ABC ,=90ACB ∠o ,BE =EF =FC =1,BC =2,AC =3.(I)求证：EF ⊥平面ACFD ；(II)求二面角B -AD -F 的平面角的余弦值.4、（杭州市2018届高三第二次模拟）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，M 为线段BC 的中点，D 为线段BC 上一点，且BD ＝BA ，沿直线AD 将△ADC 翻折至△ADC ′，使AC ′⊥BD ．（Ⅰ）证明：平面AMC ′⊥平面ABD ；（Ⅱ）求直线C ′D 与平面ABD 所成的角的正弦值．5、（杭州市2018届高三上学期期末）如图，在三棱锥A BCD -中，60BAC BAD DAC ∠=∠=∠=o，2AC AD ==， 3.AB =（1）证明：AB CD ⊥；（2）求CD 与平面ABD 所成角的正弦值.6、（湖州、衢州、丽水三地市2018届高三上学期期末）已知矩形ABCD 满足2AB =，2BC =PAB ∆是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：PC BD ⊥；（Ⅱ）设直线l 过点C 且l ⊥平面ABCD ，点F 是 直线l 上的一个动点，且与点P 位于平面ABCD 的同侧．记直线PF 与平面PAB 所成的角为θ，若130+≤<CF ，求tan θ的取值范围．7、（湖州市2018届高三5月适应性考试）如图，三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为1，111AC B C ⊥．（Ⅰ）求证：1A B AC ⊥；（Ⅱ）若11A B =，求直线11A C 和平面11ABB A 所成角的余弦值．8、（暨阳联谊学校2018届高三4月联考）如图，四边形ABEF 是正方形，1//,2AB CD AD AB BC CD ===.（1）若平面ABEF ⊥平面ABCD ，求证：BD ⊥平面EBC ； （2）若DF BC ⊥，求直线BD 与平面ADF 所成角的正弦值.9、（嘉兴市2018届高三4月模拟）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PCD 为正三角形且二面角A CD P --为︒60．（Ⅰ）设侧面PAD 与PBC 的交线为m ，求证：BC m //； （Ⅱ）设底边AB 与侧面PBC 所成角的为θ，求θsin 的值．10、（嘉兴市2018届高三上学期期末）如图，在矩形ABCD 中，点E 在线段CD 上，3=AB ，2==CE BC ，沿直线BE 将BCE ∆翻折成E BC '∆，使点'C 在平面ABED 上的射影F 落在直线BD 上.（Ⅰ）求证：直线⊥BE 平面'CFC ； （Ⅱ）求二面角D BE C --'的平面角的余弦值.11、（金华十校2018届高三上学期期末）如图，四棱锥ABCD S -中，CD AB //，CD BC ⊥，2=AB ，1===SD CD BC ，侧面SAB 为等边三角形.（1）证明：SD AB ⊥；（2）求直线SC 与平面SAB 所成角的正弦值.12、（金丽衢十二校2018届高三第二次联考）四棱锥S ﹣ABCD 的底面是边长为1的正方形，则棱SB 垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD ⊥平面SAC ；（Ⅱ）若SA 与平面SCD 所成角为30°，求SB 的长．13、（金丽衢十二校2018届高三第三次（5月）联考）如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AC=BC=3，AA 1=2，以AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接DA 1和DC 1．（Ⅰ）求证：A 1D ∥平面BCC 1B 1；（Ⅱ）线段BC 上是否存在点F ，使平面DA 1C 1与平面A C 1F 垂直？若存在，求出BF 的长；若不存在，说明理由．14、（宁波市2018届高三5月模拟）如图，四边形ABCD 为梯形，，∥︒=∠60,C CD AB 点E 在线段CD 上，满足BE CD ⊥,且124CE AB CD ===，现将ADE ∆沿AE 翻折到AME 位置，使得210MC =．（Ⅰ）证明：AE MB ⊥;（Ⅱ）求直线CM 与面AME 所成角的正弦值．15、（宁波市2018届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PA 的中点，2AB a =，BC a =，2PC PD a ==.（1）求证：//PC 面BDE ；（2）求直线AC 与平面PAD 所成角的正弦值.16、（绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测）如图，在四棱锥A BCD -中，△ABD 、△BCD 均为正三角形，且二面角A BD C --为120o. (Ⅰ) 求证：AC BD ⊥；(Ⅱ) 求二面角B AD C --的余弦值.17、（台州市2018届高三上学期期末质量评估）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别为BA，BC的中点，将△ADE，△DCF，分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'，连接A B'．（Ⅰ）求证:EF⊥平面A BD'；（Ⅱ）求A D'与平面BEDF所成角的正弦值．参考答案：一、选择、填空题1、C2、A3、72324、143π；6(613)++π5、A6、D7、A8、9、A 10、B11、D 12、C 13、A 14、C 15、B 16、A 17、D 18、323，16162+ 二、解答题1、（1）∵12AB B B ==，且1B B ⊥平面ABC ，∴1B B AB ⊥，∴122AB =. 同理，222211(23)113AC AC C C =+=+=.过点1C 作1B B 的垂线段交1B B 于点G ，则12C G BC ==且11B G =，∴115B C =. 在11AB C ∆中，2221111AB B C AC +=， ∴111AB B C ⊥，①过点1B 作1A A 的垂线段交1A A 于点H . 则12B H AB ==，12A H =，∴1122A B =. 在11A B A ∆中，2221111AA AB A B =+， ∴111AB A B ⊥，②综合①②，∵11111A B B C B ⋂=，11A B ⊂平面111A B C ，11B C ⊂平面111A B C ，∴1AB ⊥平面111A B C .（2）过点B 作AB 的垂线段交AC 于点I ，以B 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以BI 所在直线为y 轴，以1B B 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)A -，1(0,0,2)B ，1(1,3,1)C ，设平面1ABB 的一个法向量(,,)n a b c =r，则1020200n AB a c n BB ⎧⋅==⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩r u u u r r u u u r ，令1b =，则(0,1,0)n =r ， 又∵1(3,3,1)AC =u u u u r ，1339cos ,13113n AC <>==⨯r u u u u r . 由图形可知，直线1AC 与平面1ABB 所成角为锐角，设1AC 与平面1ABB 夹角为α. ∴39sin 13α=. 2、（Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB .因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF ∥AD 且，又因为BC ∥AD ，，所以EF∥BC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB.（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N.连结PN交EF于点Q，连结MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么，平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连结MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角. 设CD=1.在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，在Rt△MQH中，QH=，MQ=，所以sin∠QMH=，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是.3、（II）方法一：B．过点F作FQ⊥AK，连结Q因为F B ⊥平面C A K ，所以F B ⊥AK ，则AK ⊥平面QF B ，所以Q B ⊥AK ． 所以，QF ∠B 是二面角D F B-A -的平面角．在Rt C ∆A K 中，C 3A =，C 2K =，得313FQ =． 在Rt QF ∆B 中，313FQ =，F 3B =，得3cos QF ∠B =． 所以，二面角D F B-A -的平面角的余弦值为34．4、（Ⅰ）有题意知AM ⊥BD ，又因为 AC ′⊥BD ， 所以 BD ⊥平面AMC ， 因为BD ⊂平面ABD ，所以平面AMC ⊥平面AB D ． …………7分 （Ⅱ）在平面AC ′M 中，过C ′作C ′F ⊥AM 交AM 于点F ，连接F D ．由（Ⅰ）知，C ′F ⊥平面ABD ，所以∠C ′DF 为直线C ′D 与平面ABD 所成的角．设AM ＝1，则AB ＝AC ＝2，BC ＝3，MD ＝2－3， DC ＝DC ′＝33－2，AD ＝6－2． 在Rt △C ′MD 中， 22222(332)(23)MC C D MD ''=-=---＝9－43．设AF ＝x ，在Rt △C ′FA 中，AC ′2－AF 2＝MC ′2－MF 2，即 4－x 2＝(9－43)－(x －1)2， 解得，x ＝23－2，即AF ＝23－2． 所以 C ′F ＝2233-．故直线C D '与平面ABD 所成的角的正弦值等于C FAF '＝23331--． …………15分5、ABC′D M F （第19题）6、解：(Ⅰ) 取AB 的中点E ，连接PE ，EC ．-------2分由点E 是正PAB ∆边AB 的中点，PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ， 平面PAB I 平面=ABCD AB ,所以PE ⊥平面ABCD ，则PE BD ⊥．----------4分因为2,22BE BCBC CD ===90EBC BCD ∠=∠=︒，所以EBC BCD ∆∆∽． 故ECB BDC ∠=∠，则CE BD ⊥，--------------------6分CE PE E =I ，故BD ⊥平面PEC ，又PC ⊂平面PEC因此PC BD ⊥．-------------------------------------------7分（Ⅱ）在平面PAB 内过点B 作直线//m FC ,过F 作FG m ⊥于G ，连接PG 。

2020年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练【题型归纳】题型一线面平行的证明例1如图，高为1的等腰梯形ABCD 中，AM ＝CD ＝13AB ＝1.现将△AMD 沿MD 折起，使平面AMD ⊥平面MBCD ，连接AB ，AC .试判断：在AB 边上是否存在点P ，使AD ∥平面MPC ?并说明理由 【答案】当AP ＝13AB 时，有AD ∥平面MPC .理由如下：连接BD 交MC 于点N ，连接NP .在梯形MBCD 中，DC ∥MB ，DN NB ＝DC MB ＝12，在△ADB 中，AP PB ＝12，∴AD ∥PN .∵AD ⊄平面MPC ，PN ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC .【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。

此类题的难点就是如何构造辅助线。

构造完辅助线，证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。

本题用到的是线线平行推出面面平行。

【易错点】不能正确地分析DN 与BN 的比例关系，导致结果错误。

【思维点拨】此类题有两大类方法： 1. 构造线线平行，然后推出线面平行。

此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。

在此，我们需要借助倒推法进行分析。

首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行。

再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。

从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。

如本题中即是过AD 做了一个平面ADB 与平面MPC 相交于线PN 。

最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。

即先证AD 平行于PN ，最后得到结论。

构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。

2. 构造面面平行，然后推出线面平行。

此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。

湖北省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）如图，在正方体ABCD －A 'B 'C 'D '中,平面α垂直于对角线AC ',且平面α截得正方体的六个表面得到截面六边形,记此截面六边形的面积为S ,周长为l ,则（ ） A.S 为定值,l 不为定值 B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值2、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为A.π27728 B.π9728 C. π272128 D. π921283、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”。

现有一个羡除如图所示，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝AD ＝4，EF ＝8，E 到面ABCD 的距离为6，则这个羡除体积是 A. 96 B. 72 C. 64 D.584、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）已知等边三角形ABC 的边长为8，D 为BC 边的中点，沿AD 将△ABC 折成直二面角B －AD －C ， 则三棱锥A －DCB 的外接球的表面积为 5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A.22B.10C.32D.136、（荆门市2019届高三元月调研）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是7、（荆门市2019届高三元月调研）两个半径都是r (1)r >的球1O 和球2O 相切，且均与直二面角l αβ--的两个半平面都相切，另有一个半径为1的小球O 与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球1O 和球2O 都外切，则r 的值为 A ．21+ B ．73+ C ．212+ D ．732+ 8、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的外接球的体积为A 、38π B 、32πC 、32πD 、332π9、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．2π D ．25π10、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点A 关于平面1BDC 的对称点为M ，则M 到平面1111A B C D 的距离为 ． 11、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 ②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线 ③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题的个数是A.3B.2C.1D.012、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥nC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 13、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则此四面体的体积为（ ） A ．323B ．483C ．32D ．4814、（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC ==，那么下面说法正确的是（ ） A.平面ABC ⊥平面ACDB.四面体D ABC -的体积是86C.二面角A BC D --的正切值是423D.BC 与平面ACD 所成角的正弦值是21715、（宜昌市（东湖高中、宜都二中）2019届高三12月联考）设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α//，m α//，则l m //C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ 16、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）已知点P 为半径等于2的球O 球面上一点，过OP 的中点E 作垂直于OP 的平面截球O 的截面圆为圆E ，圆E 的内接△ABC 中，∠ABC ＝90°，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为 ． 17、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为23的正三角形，侧棱长为25，则球O 的表面积为（ ） A ．10π B ．25πC ．100πD ．125π参考答案：1、B2、C3、C4、80π5、C6、A7、D8、C9、B 10、5311、C 12、B 13、A 14、C 15、D16、解：如图，点P 为半径等于2的球O 球面上一点， 过OP 的中点E 作垂直于OP 的平面截球O 的截面圆为圆E ， 圆E 的内接△ABC 中，∠ABC ＝90°，点B 在AC 上的射影为D ， 由题意，PE ＝OE ＝1， ∴AE ＝CE ＝，P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，再设BD＝y，由△BDC∽△ADB，可得＝，∴y＝，则＝，令f（x）＝﹣x4+2，则，由f′（x）＝0，可得x＝，∴当x＝时，f（x）max＝，∴△ABD面积的最大值为×＝，则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是．故答案为：．17、B二、解答题1、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2019届高三2月月考）在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为22的正方形,平面PAC⊥底面ABCD,PA=PC=22.（1）求证：PB=PD;（2）若点M,N分别是棱PA,PC的中点,平面DMN与棱PB的交点Q,则在线段BC上是否存在一点H,使得DQ⊥PH,若存在,求BH的长,若不存在,请说明理由.2、（鄂州市2019届高三上学期期中考试）如图1，在直角ABC ∆中，32,34,90===∠AB AC ABC ，E D ,分别为BD AC ,的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD ∆沿BD 折起，使平面⊥ABD 平面BCD ，如图2所示． （Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值．3、（华中师范大学第一附属中学2019届高三5月押题考）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB∥CD，AD=AB = BC =1，.CD=2，点E 为CD 中点，以AE 为折痕把△ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(P ∉平面ABCD). (1)证明:AE 丄PB;(2)若直线PB 与平面所成的角为4π，求二面角A-PE-C 的余弦值.4、（黄冈、黄石等八市2019届高三3月联考）在如图所示的多面体中，平面ABB 1A 1⊥平面ABCD ，四边形ABB 1A 1是 边长为2的菱形，四边形ABCD 为直角梯形，四边形BCC 1B 1为平行四边形，且AB ∥CD ，AB ⊥BC ，CD ＝1（1）若E ，F 分别为A 1C ，BC 1的中点，求证：EF ⊥平面AB 1C 1； （2）若∠A 1AB ＝60°，AC 1与平面ABCD 所成角的正弦值55，求二面角A 1-AC 1-D 的余弦值．5、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第二次（3月）联考）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//B C,∠ADC =90°,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA=PD =2，BC =1，AD =2，CD = 3.（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）若M 是棱PC 上的一点,且满足MC PM 3=,求二面角M-BQ-C 的大小.6、（黄冈中学、华师一附中等八校2019届高三第一次（12月）联考）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PAD ABCD PA=PD=2⊥面面，，四边形ABCD 为等腰梯形，1//,12BC AD BC CD AD ===,E 为PA 的中点. （1）求证：B//E PCD 面平.（2）求面PAD 与平面PCD 所成的二面角θ的正弦值.EPCDB A7、（荆门市2019届高三元月调研）如图（1），梯形ABCD 中，//AB CD ，过A 、B 分别作AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为,E F ．2,5AB AE CD ===，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，得空间几何体ADE BCF -，如图（2）． 图2图1A BEAB F CD DCE F（Ⅰ）若AF BD ⊥，证明：DE ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）若//DE CF ，3CD =，线段AB 上存在一点P ，满足CP 与平面ACD 所成角的正弦值为520，求AP 的长．8、（七市（州）教研协作体2019届高三3月联考）如图， 在四棱锥P - ABCD 中， ABCD 为平行四边形， AB ⊥ AC ， PA ⊥ 平面 ABCD ，且 PA = AB = 3 ， AC = 2 ， 点 E 是 PD 的中点.（ 1） 求证： PB // 平面 AEC ；（ 2） 在线段 PB 上（ 不含端点） 是否存在一点 M ，使得二面角 M - AC - E 的余弦值为1010？ 若存在， 确定 M 的位置； 若不存在， 请说明理由.9、（武汉市2019届高中毕业生二月调研）如图，已知四边形A B C D 为梯形，11//,90,AB CD DAB BDD B ∠=︒为矩形，平面11BDD B ⊥平面A B C ，又11,2A B A D B BC D====． （1）证明：11CB AD ⊥；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．ABCB 1D D 110、（武汉市2019届高中毕业生四月调研）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且平面平面.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.11、（武汉市2019届高中毕业生五月训练题）如图l ，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2DC ＝6；如图2，将图l 中△DAC 沿AC 折起，使得点D 在面ABC 上的正投影G 在△ABC 内部，点E 为AB 的中点，连接DB ，DE ，三棱锥D 一ABC 的体积为12．对于图2的几何体：（l ）求证：DE ⊥AC ；（2）求DB 与面DAC 所成角的余弦值．12、（武汉市武昌区2019届高三元月调研）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1112,30,6A B A C A A B C A C A B C ====∠=︒=． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11AAC C ； （2）求二面角11B AC C --的余弦值．ABCA 1B 1C 113、（湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//,AD BC AD CD ⊥，且2AD CD ==，22,2BC PA ==.（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求PM PD的值；如果不存在，请说明理 由.14、（荆门市第一中学2019届高三8月月考）如图，梯形ABCD 中，,,,AD BC AB CD AC BD =⊥，平面 BDFE ⊥平面,,ABCD EFBD BE BD ⊥.（1）求证：平面AFC ⊥平面BDFE ；（2）若222,2AB CD BE EF ====，求BF 与平面DFC 所成角的正弦值.15、（华师一附中、黄冈中学等八校2018届高三第二次联考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．参考答案：1、解：(1)证明：记AC ∩BD =O ，连结PO ， ∵底面ABCD 为正方形，∴OA =OC=OB =OD =2. ∵PA =PC ，∴PO ⊥AC ，∵平面PAC ∩底面ABCD=AC ，PO ⊂平面PAC ， ∴PO ⊥底面ABCD .∵BD ⊂底面ABCD ，∴PO ⊥BD . ∴PB =PD . …………6分(2)以O 为坐标原点，射线OB ，OC ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由（1）可知OP =2.可得P (0,0,2)，A (0,-2,0), B (2,0,0), C (0,2,0), D (-2,0,0),可得，M (0,-1,1), N (0,1, 1).(2,1,1)DM =-，(0,2,0)MN =. 设平面DMN 的法向量n =(,,)x y z ，∵0DM ⋅=n ，0MN ⋅=n ，∴20,0.x y z y -+=⎧⎨⎩=令1x =，可得n =(1,0,2)-.记(2,0,2)PQ PB λλλ==-，可得(2,0,22)Q λλ-，(22,0,22)DQ λλ=+-，DQ ⋅n =0，可得，22440λλ+-+=，解得13λ=.可得，84(,0,)33DQ =.记(2,2,0)BH tBC t t ==-，可得(22,2,0)H t t -，(22,2,2)PH t t =--，若DQ ⊥PH ，则0DQ PH ⋅=，84(22)(2)033t -+⨯-=，解得12t =.故2BH =.…………12分 另：取PO 的中点E ，说明,,D E Q 均在平面PBD 与平面DMN 的交线上.2、（1）证明：由条件可知AB AD =，而E 为BD 的中点，∴AE BD ⊥，……………………2分 又面ABD ⊥面BCD ，面ABD面BCD BD =，且ABD AE 面⊂，∴AE ⊥平面BCD ……4分又因为CD ⊂平面BCD ，∴AE CD ⊥． ……………………………………………………6分 （2）由（1）可知，EA EF EB ,,两两相互垂直，如图建立空间直角坐标系，则：(000),(0,0,3),(0,1,0),E A F ，，(3,0,0),(23,3,0)D C --……………………………7分易知面AEF 的法向量为(300)ED =-，，，………………………………………………………8分设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则：00n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，易得∴(3,1,1)n =-…………………10分设平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角为θ，则15cos cos ,5ED n θ=<>=………………12分3、4、【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ．……5分 （2）方法一：设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得123AB =，2112AC a =+．过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ， 如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥， 又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ． 又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ． ∴113A H C M ==，112135sin 512MC C AM AC a∠===+，解得3a =．……8分在梯形ABCD 中，易证DH AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuu v的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，()0,3,0D ，()10,0,3A ，()12,0,3B -，()1,0,0B -，()1,3,0C -，由()11,0,3BB =-uuu v ，及11BB CC =uuu v uuu v，得()12,3,3C -，∴()13,3,3AC =-uuu v ，()1,3,0AD =-uuu v ，()11,0,3AA =-uuu v．设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得111113330 30x y z x y -++=-=⎧⎪⎨⎪⎩+， 令11y =，得(3,1,2)m =设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuu vuuu v n n 得222223330 30x y z x z -++=-=⎧⎪⎨⎪⎩+， 令21z =，得()3,2,1=n ．∴32277cos ,831434188⋅++====++⨯++⨯m n m n m n ， 又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是78-．……12分（2）方法二：以AB 中点为原点建立如图空间直角坐标系，设BC =t ,则()1,0,0A ，()1,0,0B -，(1,,0),(0,,0)C t D t -()10,0,3A ，()12,0,3B -，11(3,,3),AC AA AC t =+=-平面ABCD 的法向量n =(0,0,1), 1235cos ,n ,512AC t ==+解得3t =，∴()13,3,3AC =-uuu v，()1,3,0AD =-uuu v，()11,0,3AA=-uuu v．下同解法一5、6、（1）.,,AD O EO OB 取的中点连接∵E PA O AD 为的中点为的中点，∴//OE PD 又∵1//,2BC AD BC AD = ∴BCDO 四边形是平行四边形∴//BO CD∵//,//,OE PD BO CD OE BO EBO 和是平面内的两条交线 ∴//EBO PCD 平面平面 ………………4分又∵BE PCD ⊂平面 ∴ //BE PCD 平面 ………………6分（2）,,,BC M OM OD OP 取的中点以方向为正方向，建立如图所示的空间直角系O-xyz ，31(0,0,1),(0,1,0),(0,1,0),(,,0)22P A D C -则1(1,0,0)PAD n =则平面一个法向量的为,31(0,1,1),(,,0)22PD CD ∴=-=-， ………………8分 20(,,),31022y z PCD n x y z x y -=⎧⎪=⎨-+=⎪⎩设平面一个法向量的为则 21,3,1,(1,3,3)x y z n ====不妨令则∴12142cos cos ,,sin 77n n θθ=<>==则………………12分 7、解：（Ⅰ）证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2，在图2中，AF ⊥BE ，由已知得AF ⊥BD ，BE ∩BD =B ，∴AF ⊥平面BDE ………………………………2分又DE ⊂平面BDE ，∴AF ⊥DE ，又AE ⊥DE ，AE ∩AF =A ，∴DE ⊥平面ABFE ，……………………………………5分 （Ⅱ）在图2中，AE ⊥DE ，AE ⊥EF ，DE ∩EF =E ，即AE ⊥面DEFC ，在梯形DEFC 中，过点D 作DM //EF 交CF 于点M ，连接CE ，易得2DM =，1CM =，则DC ⊥CF ，则6CDM π∠=， 2CE =，过E 作EG ⊥EF 交DC 于点G ，可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以,,EA EF EG 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，………………7分则13(2,0,0),(2,2,0),(0,1,3),(0,,),22A B C D - 13(2,1,3),(2,,).22AC AD =-=--设平面ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得230132022x y z x y z ⎧-++=⎪⎨--+=⎪⎩取1x =得(1,1,3)n =- 设AP m =，则()(2,,0),02P m m ≤≤，得(2,1,3)CP m =-- 设CP 与平面ACD 所成的角为,θ252sin cos ,.20357(1)m CP n m m θ=<>==⇒=+- 所以23AP =．…………………………………………12分 8、解： (1)连接 BD 交 AC 于 F 点， 连接 EF ，在 ∆PBD 中， EF // PB ， ……………………………………2 分 又 EF ⊂ 面AEC ，PB ⊄ 面AEC∴PB //面AEC . ………………………………………4 分 （ 2）由题意知， AC ，AB ，AP 两两互相垂直，如图以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标 系， 射线 AC ，AB ，AP 分别为 x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O - xyz .9、解法一：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面1,ABCD DD ⊥平面ABCD ，在1Rt DD C △中，1115,2,2DC AD AB ===， 在梯形ABCD 中，90,1,2,5,2DAB AD AB DC AC BC ∠=︒===∴==，从而13BC =． 在11B D C △中，11115,2,3DC B D BD BC ====，可知111B C B D ⊥，在1B CA △中，113,2,5BC AB AC ===，可知11B C AB ⊥， 又1111B D AB B =，1B C ∴⊥平面11B D A ，又1AD ⊂平面1111,B D A CB AD ∴⊥．……………………………………6分（2）取1AD 的中点E ，连接1,B E CE ，由1112B D AB ==知11B E AD ⊥， 由15CD AC ==知1CE AD ⊥，1B EC ∴∠为二面角11B AD C --的平面角． 由（1）知1B C ⊥平面11B D A ，190CB E ∴∠=︒，又136222B E =⋅=， 2211322CE B C B E =+=，113cos 3B E B EC CE ∴∠==． ABCB 1DD 1xyzABCB 1D D 1E解法二：（1）11BDD B 为矩形，且平面11BDD B ⊥平面ABCD ，1BB ∴⊥平面ABCD ，又AD DC ⊥，所以可以以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,1,1),(0,0,1)A B C D B D ，111111(1,1,1),(1,0,1),110(1)110,CB AD CB AD CB AD =-=-⋅=-⨯+⨯-+⨯=∴⊥．（2）111(1,0,1),(1,1,0),(1,2,0)AD D B AC =-==-，设平面11AD B 的法向量为111(,,)m x y z =，则11111110m A D x z m DB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =，得(1,1,1)m =-．设平面1AD C 的法向量为222(,,)n x y z =，则12222020n AD x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21y =，得(2,1,2)n =．33cos ,333m n m n m n⋅===⨯⋅，因为二面角11B AD C --为锐角，所以二面角11B AD C --的余弦值为33． 10、【解答】(2)解析2：面，设二面角的平面角为，，，到距离为，二面角的平面角为，11、证明：（1）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥CD，AB＝2AD＝2DC＝6，在图1中作AB的中点E，在图1、图2中，取AC的中点F，连结DF、CE、EF，则△DAC，△EAC均为等腰直角三角形，AC⊥DF，AC⊥EF，又DF∩EF＝F，∴AC⊥面DEF，又DE⊂面DEF，∴DE⊥AC．解：（2）∵DG⊥面ABC，∴DG⊥AG，DG⊥GC，∵DA＝DC，∴GA＝GC，∴G在AC的中垂线上，∴EG垂直平分AC，又F为AC中点，∴E，F，G共线，∵AB＝2AD＝2DC＝6，∴△ABC是等腰直角三角形，＝＝18，＝＝12，解得DG＝2，在等腰直角△DAC和等腰直角△EAC中，EF＝DF＝＝3，在Rt△DGF中，GF＝＝＝1，以G为原点，过G为z轴，GM、GE、GD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（3，﹣1，0），B（﹣3，5，0），C（﹣3，﹣1，0），D（0，0，2），则＝（﹣3，5，﹣2），＝（3，﹣1，﹣2），＝（﹣3，﹣1，﹣2），设面DAC的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，则＝（0，﹣2，1），cos＜＞＝＝﹣，∴DB 与面DAC 所成角的余弦值为＝．12、解析：（1）记11A CAC O =，连结BO ．因为1AB BC =，所以1BO AC ⊥．由题意知1ACC △为正三角形，求得3CO =，在1ABC △中求得3BO =，又6BC =，所以222BC CO BO =+，所以BO CO ⊥．因为1COAC O =，所以BO ⊥平面11AAC C ．因为BO ⊂平面1ABC ，所以平面1ABC ⊥平面11AAC C ．………………………………6分 （2）建立如图所示的空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(3,0,0),(3,1,3)A C C B ---，1(0,2,0),(3,2,3)AC AB =-=-．因为BO ⊥平面11AAC C ，所以平面11AAC C 的法向量为(0,0,3)m =．设平面11AB C 的法向量为(,,)n x y z =，则1203230n AC y n AB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1x =，则0,1y z ==-，所以(1,0,1)n =-． 所以32cos ,232m n m n m n⋅-===-⨯⋅，因为所求二面角的平面角为钝角，所以所求二面角11B AC C --的余弦值为22-．………………………………………………12分A BCA 1B 1C1Oxyz13、【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知2,22AD CD BC ===，可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 又APAC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥; （2）建立如图所示空间直角坐标系，则()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0,A CD()()()0,0,2,2,2,0,0,2,2.P B PD -=-设()01PM tPD t =<<，则M 的坐标为()0,2,22t t -设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()2202220x y ty t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取21,1,2(1)t n t ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭ 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量，所以0222(1)cos ,cos 45222(1)t t m nm n m nt t -===⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，23t =2.3PM PD ∴= 14、【解析】（1）证明：∵平面⊥平面，平面∩平面=，平面，，∴⊥平面. 又平面,∴平面⊥平面. （2）设，∵四边形为等腰梯形，⊥，=2=， ∴ ，，∵且，∴四边形为平行四边形， ∴，且，又∵⊥平面，∴⊥平面.以为原点，向量的方向分别为x 轴，y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，设平面DFC 的一个法向量为，有，即，不妨设，得.取，于是. 设与平面所成角为，则．∴与平面所成角的正弦值为．15、解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD . ∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，………7分 设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,23BD AC ==. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =.∴()()()()3,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,3AB D F -，∴()()()3,1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =--=-=-.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则33030AF n x z AB n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，………10分 则1sin co 5s ,5AD n AD n AD nθ⋅===⋅.…………………12分 注：用等体积法求线面角也可酌情给分。