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第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－12＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a |2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－62－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3. (1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，3＋22D ＋F ＋3＋222＝0，3－22D ＋F ＋3－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －12＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －32＋y －12＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝8－2a ±56－16a －4a 24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝3－22＋0－12＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。
第3讲 圆的方程【2013年高考会这样考】1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程．2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋D 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有：(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2；(3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系 (1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．两个防范(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．双基自测1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A．(x－1)2＋y2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2C．x2＋(y－1)2＝4 D．(x－1)2＋y2＝2答案 C2．(2011·四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标为(2，－3)．答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )．A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＜－1 D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.答案 A4．(2011·重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2解析由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E (0,1)的最短弦长|BD|＝210－2＋22＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC |×|BD |＝12×210×25＝102，选B.答案 B5．(2012·长春模拟)圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为________． 解析 设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2.则r ＝|－2|2＝ 2.∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝2考向一 求圆的方程【例1】►已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )． A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2[审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．解析 法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方程即可． 设圆心坐标为(a ，－a )，则|a －－a2＝|a －－a －4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2. 法二 题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这两条平行线之间的距离d ＝42＝22；圆心是直线x ＋y ＝0与这两条平行线交点的中点，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0的交点坐标是(0,0)、与直线x －y －4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x ＋y ＝0上，排除选项C 、D ，再验证选项A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可． 答案 B求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【训练1】 经过点A (5,2)，B (3,2)，圆心在直线2x －y －3＝0上的圆的方程为________．解析 ∵圆经过点A (5,2)，B (3,2)，∴圆心在x ＝4上，又圆心在2x －y －3＝0上，∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝r 2， 又圆过B (3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r 2， ∴r 2＝10，∴圆的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10. 答案 (x －4)2＋(y －5)2＝10考向二 与圆有关的最值问题【例2】►(2012·武汉模拟)已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________． [审题视点] 找出y －1x －2的几何意义，运用几何法求解． 解析 设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点(2,1)连线的斜率．当该直线与圆相切时，k 取得最大值与最小值． 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案33；－33与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．A ．30B ．18C ．6 2D ．5 2解析 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为3 2.则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为：|2＋2－14|2＋32＝52＋32，最小距离为：52－32，故最大距离与最小距离的差为6 2. 答案 C考向三 圆的综合应用【例3】►已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0和直线x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．[审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m 的方程求解；(2)OP ⊥OQ 得到O 点在以PQ 为直径的圆上，再利用勾股定理求解． 解 法一 将x ＝3－2y ， 代入方程x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0， 得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1、y 2满足条件：y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝12＋m5. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.而x 1＝3－2y 1，x 2＝3－2y 2. ∵x 1x 2＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－27＋4m5.故－27＋4m 5＋12＋m 5＝0，解得m ＝3，此时Δ＞0，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3，半径r ＝52.法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ， 设M (x 0，y 0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由法一知，y 1＋y 2＝4，x 1＋x 2＝－2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－1，y 0＝y 1＋y 22＝2.解得M 的坐标为(－1,2)．则以PQ 为直径的圆可设为(x ＋1)2＋(y －2)2＝r 2. ∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r 2， 即r 2＝5，|MQ |2＝r 2.在Rt △O 1MQ 中，|O 1Q |2＝|O 1M |2＋|MQ |2. ∴1＋－2－4m 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＋(3－2)2＋5. ∴m ＝3，∴半径为52，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3.(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算．(2)本题中两种解法都是用方程思想求m 值，即两种解法围绕“列出m 的方程”求m 值．【训练3】 (2012·广州模拟)在以O 为原点的直角坐标系中，点A (4，－3)为△OAB 的直角顶点，已知|AB |＝2|OA |，且点B 的纵坐标大于0. (1)求AB →的坐标；(2)求圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0关于直线OB 对称的圆的方程． 解 (1)设AB →＝(x ，y )，由|AB |＝2|OA |，AB →·OA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，4x －3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8，若AB →＝(－6，－8)，则y B ＝－11与y B ＞0矛盾， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－8舍去．即AB →＝(6,8)．(2)圆x 2－6x ＋y 2＋2y ＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝(10)2，其圆心为C (3，－1)，半径r ＝10， ∵OB →＝OA →＋AB →＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， ∴直线OB 的方程为y ＝12x .设圆心C (3，－1)关于直线y ＝12x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a －3＝－2，b －12＝12·a ＋32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，则所求的圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10.阅卷报告13——选择方程不当或计算失误【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构建的方程组过于复杂无法求解而失误.【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一般式计算过繁，可以采用标准式.【示例】►(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．错因 计算失误．实录 (1)令y ＝0，则与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，令x ＝0，则与y 轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧E ＋F ＋1＝0，＋22D ＋F ＋＋222＝0，－22D ＋F ＋－222＝0，解得：D ＝6，E ＝27＋122，F ＝－28－122， ∴x 2＋y 2＋6x ＋(27＋122)y －28－122＝0.正解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2， 解得t ＝1.则圆C 的半径为32＋t －2＝3.所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋a ＝0，x －2＋y －2＝9.消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0. 由已知可得，判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0. 因此x 1,2＝－2a56－16a －4a24，从而x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12.①由于OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.② 由①，②得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.【试一试】 (2010·全国新课标)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．[尝试解析] 由已知圆C 过A (4,1)，B (2,1)两点， ∴直线AB 的垂直平分线x ＝3过圆心C ，又圆C 与直线y ＝x －1相切于点B (2,1)，∴k BC ＝－1， ∴直线BC 的方程为y －1＝－(x －2)，得y ＝－x ＋3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，得圆心C 的坐标为(3,0)，∴r ＝|BC |＝－2＋－2＝2，∴圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 答案 (x －3)2＋y 2＝2。
2019-2020学年高三数学一轮复习资料 第九编 解析几何 9.3 圆的方程（教案） 理基础自测1.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆，则a 的取值范围是 . 答案 -2＜a ＜32 2.圆x 2+y 2+2x -4y +1=0关于直线2ax -by +2=0（a 、b ∈R ）对称，则ab 的取值范围是 .答案 ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41,3.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程是 . 答案 （x -1）2+(y -1)2=44.以点（2，-1）为圆心且与直线3x -4y +5=0相切的圆的方程为 . 答案 (x -2)2+(y +1)2=95.直线y =ax +b 通过第一、三、四象限，则圆（x +a ）2+(y +b )2=r 2(r ＞0)的圆心位于第 象限. 答案 二例题精讲例1 已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x +4y +4=0与圆C 相切，则圆C 的方程为 . 答案 x 2+y 2-4x =0例2 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解 方法一 将x =3-2y ,代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0,得5y 2-20y +12+m =0. 设P （x 1,y 1）,Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件： y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. ∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2.∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2. ∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径r =25.方法二 如图所示，设弦PQ 中点为M ，∵O 1M ⊥PQ ，∴M O k 1=2.∴O 1M 的方程为:y -3=2⎪⎭⎫ ⎝⎛+21x ,即：y =2x +4.由方程组⎩⎨⎧=-++=03242y x x y .解得M 的坐标为（-1，2）.则以PQ 为直径的圆可设为（x +1）2+（y -2）2=r 2.∵OP ⊥OQ ，∴点O 在以PQ 为直径的圆上.∴（0+1）2+（0-2）2=r 2，即r 2=5,MQ 2=r 2.在Rt △O 1MQ 中，O 1Q 2=O 1M 2+MQ 2.∴2121⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+（3-2）2+5=44)6(12m --+.∴m =3.∴半径为25,圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21. 方法三 设过P 、Q 的圆系方程为x 2+y 2+x -6y +m +λ(x +2y -3)=0.由OP ⊥OQ 知，点O （0，0）在圆上.∴m -3λ=0，即m =3λ.∴圆的方程可化为x 2+y 2+x -6y +3λ+λx +2λy -3λ=0即x 2+(1+λ)x +y 2+2(λ-3)y =0.∴圆心M ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2)3(2,21λλ，又圆在PQ 上.∴-21λ++2（3-λ）-3=0，∴λ=1，∴m =3.∴圆心为⎪⎭⎫⎝⎛-3,21，半径为25. 例3 已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0. （1）求y -x 的最大值和最小值； （2）求x 2+y 2的最大值和最小值.解 （1）y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距，当直线y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时3202=+-b，解得b =-2±6.所以y -x 的最大值为-2+6，最小值为-2-6.（2）x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为22)00()02(-+-=2，所以x 2+y 2的最大值是（2+3）2=7+43， x 2+y 2的最小值是（2-3）2=7-43.巩固练习1.（2008· 山东文，11）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x -3y =0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 . 答案 (x -2)2+(y -1)2=12.已知圆C ：（x -1）2+(y -2)2=25及直线l :(2m +1)x +(m +1)y =7m +4 (m ∈R ). （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.（1）证明 直线l 可化为x +y -4+m (2x +y -7)=0,即不论m 取什么实数，它恒过两直线x +y -4=0 与2x +y -7=0的交点.两方程联立，解得交点为（3，1），又有（3-1）2+（1-2）2=5＜25,∴点（3，1）在圆内部，∴不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交. （2）解 从（1）的结论和直线l 过定点M （3，1）且与过此点的圆C 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长|AB |最短，由垂径定理得|AB |=222CM r -=2])21()13[(2522-+--=45. 此时，k l =-CMk 1,从而k l =-311-=2.∴l 的方程为y -1=2(x -3),即2x -y =5. 3.已知点P （x ，y ）是圆(x +2)2+y 2=1上任意一点.（1）求P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值和最小值； （2）求x -2y 的最大值和最小值； （3）求12--x y 的最大值和最小值. 解 （1）圆心C （-2，0）到直线3x +4y +12=0的距离为 d =22431204)2(3++⨯+-⨯=56.∴P 点到直线3x +4y +12=0的距离的最大值为d +r =56+1=511，最小值为d -r =56-1=51. （2）设t =x -2y ,则直线x -2y -t =0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点. ∴22212+--t ≤1.∴-5-2≤t ≤5-2，∴t max =5-2，t min =-2-5.（3）设k =12--x y ，则直线kx -y -k +2=0与圆（x +2）2+y 2=1有公共点， ∴1232++-k k ≤1.∴433-≤k ≤433+,∴k max =433+，k min =433-.回顾总结知识 方法 思想课后作业一、填空题1.圆x 2+y 2-2x +4y +3=0的圆心到直线x -y =1的距离为 . 答案 22.两条直线y =x +2a ,y =2x +a 的交点P 在圆（x -1）2+(y -1)2=4的内部，则实数a 的取值范围是 . 答案 -51＜a ＜1 3.已知A （-2，0），B （0，2），C 是圆x 2+y 2-2x =0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是 . 答案 3+24.圆心在抛物线y 2=2x 上且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是 . 答案 x 2+y 2-x ±2y +41=0 5.若直线2ax -by +2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x -4y +1=0的周长，则ba 11+的最小值是 . 答案 46.从原点O 向圆：x 2+y 2-6x +427=0作两条切线，切点分别为P 、Q ，则圆C 上两切点P 、Q 间的劣弧长为 . 答案 π7.（2008·四川理，14）已知直线l ：x -y +4=0与圆C ：（x -1）2+（y -1）2=2，则C 上各点到l 距离的最小值为 . 答案 28.以直线3x -4y +12=0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为 . 答案 （x +2)2+223⎪⎭⎫ ⎝⎛-y =425二、解答题9.根据下列条件求圆的方程：（1）经过坐标原点和点P （1,1），并且圆心在直线2x +3y +1=0上；（2）已知一圆过P （4,-2）、Q (-1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程. 解 （1）显然，所求圆的圆心在OP 的垂直平分线上，OP 的垂直平分线方程为：22y x +=22)1()1(-+-y x ，即x +y -1=0.解方程组⎩⎨⎧=++=-+013201y x y x ,得圆心C 的坐标为（4，-3）.又圆的半径r =|OC |=5,所以所求圆的方程为（x -4）2+(y +3)2=25. （2）设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 ①将P 、Q 点的坐标分别代入①得：⎩⎨⎧=---=+-1032024F E D F E D令x =0，由①得y 2+Ey +F =0④ 由已知|y 1-y 2|=43，其中y 1、y 2是方程④的两根，所以（y 1-y 2）2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=E 2-4F =48⑤解②、③、⑤组成的方程组得D =-2，E =0，F =-12或D =-10，E =-8，F =4，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.10.已知P 是直线3x +4y +8=0上的动点，PA 、PB 是圆x 2+y 2-2x -2y +1=0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值.解 将圆方程化为(x -1)2+(y -1)2=1,其圆心为C （1，1），半径r =1,如图，由于四边形PACB 的面积等于Rt △PAC 面积的2倍，所以S PACB =2×21×|PA |×r =1||2-PC . ∴要使四边形PACB 面积最小,只需|PC |最小.当点P 恰为圆心C 在直线3x +4y +8=0上的正射影时,|PC |最小, 由点到直线的距离公式,得|PC |min =5843++=3, 故四边形PACB 面积的最小值为22.11.已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标为(2x -2,2y ).∵P 点在圆x 2+y 2=4上,∴(2x -2)2+(2y )2=4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ),在Rt △PBQ 中, |PN |=|BN |,设O 为坐标原点,连结ON ,则ON ⊥PQ , 所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2,所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.12.已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x -y +10=0上. (1)若动圆C 过点(-5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.② ③解 (1)依题意,可设动圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=25,其中圆心(a ,b )满足a -b +10=0. 又∵动圆过点(-5,0),∴(-5-a )2+(0-b )2=25.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=+-25)0()5(01022b a b a , 可得⎩⎨⎧=-=010b a 或⎩⎨⎧=-=55b a ,故所求圆C 的方程为 (x +10)2+y 2=25或(x +5)2+(y -5)2=25.(2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d =1110+=52.当r 满足r +5＜d 时，动圆C 中不存在与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切的圆；当r 满足r +5＞d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切；当r 满足r +5=d ,即r =52-5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O ：x 2+y 2=r 2相外切.。
2013高考总复习江苏专用（理科）：第九篇 解析几何初步《第54讲圆的方程》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A 级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是________． 解析 AB 的中点坐标为(0,0)，AB ＝[1－－1]2＋－1－12＝22，∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 x 2＋y 2＝22．(2011·广州检测(二))圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知0－12＋b －22＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案 x 2＋(y －2)2＝13．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于直线y ＝x 对称的圆的方程为________．解析 由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x 2＋(y ＋2)2＝5. 答案 x 2＋(y ＋2)2＝54．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4y 0＝2y ＋2，因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝15．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1上的动点，则MN 的最小值是________．解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝95，故点N 到点M 的距离的最小值为d －1＝45.答案 456．(2011·辽宁)已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 解析 线段AB 的中垂线方程为2x －y －4＝0，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为CB ＝10，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 答案 (x －2)2＋y 2＝107．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上各点到l 的距离的最小值为________．解析 由题意得C 上各点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去半径，即|1－1＋4|2－2＝ 2.答案2二、解答题(每小题15分，共45分)8．经过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)的圆的标准方程． 解 法一 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝049＋100＋7D ＋10E ＋F ＝081＋4－9D ＋2E ＋F ＝0解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0， 即圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.法二 由A (1,12)，B (7,10)，得A 、B 的中点坐标为(4,11)，k AB ＝－13，则AB 的中垂线方程为：3x －y －1＝0.同理得AC 的中垂线方程为x ＋y －3＝0联立⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2即圆心坐标为(1,2)，半径r ＝1－12＋2－122＝10.∴所求圆的标准方程为：(x －1)2＋(y －2)2＝100.9．已知一等腰三角形的顶点A (3,20)，一底角顶点B (3,5)，求另一底角顶点C (x ，y )的轨迹．解 由AB ＝AC ，得：x －32＋y －202＝3－32＋20－52，整理得(x －3)2＋(y －20)2＝225(x ≠3)，故底角顶点C 的轨迹是以点(3,35)为圆心，半径为15的圆，除去点(3,35)和(3,5)． 10．(★)(2010·连云港模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值．思路分析 (1)y x可看成原点(0,0)与点(x ，y )连线的斜率；(2)y －x 的最值可转化成直线y －x ＝b 在y 轴上的截距的最值问题，利用数形结合解得． 解 (1)原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆，y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2± 6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.【点评】 解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合，根据圆的知识探求最值时的位置关系．解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面： (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (2)研究图形的形状、位置关系、性质等．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)．因为直线x ＋2y ＝0与圆相切，所以|a ＋2×0|12＋22＝5，即|a |5＝5，解得a ＝－5.所以圆C 的方程为(x ＋5)2＋y 2＝5. 答案 (x ＋5)2＋y 2＝52．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 (4,6)3．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值为________．解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l AB 的距离d ＝|3|2＝32，∴AB 边上的高的最小值为32－1.∴S min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2.答案 3－ 24．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且AB ＝6，若以AB 的长为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．解析 设圆心坐标为M (x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝95．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称．直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A 、B 两点，且AB ＝6，则圆C 的方程为________．解析 抛物线y 2＝4x ，焦点为F (1,0)．∴圆心C (0,1)，C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝55＝1，且圆的半径r 满足r 2＝12＋32＝10.∴圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10. 答案 x 2＋(y －1)2＝106．(2011·盐城调研)已知点P (a ，b )关于直线l 的对称点为P ′(b ＋1，a －1)，则圆C ：x 2＋y 2－6x －2y ＝0关于直线l 对称的圆C ′的方程为________． 解析 l 是线段PP ′的垂直平分线，其方程为y －a ＋b －12＝x －a ＋b ＋12，即x －y －1＝0，设圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝10关于直线l 对称的圆C ′的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝10，则点(3,1)与(a ，b )关于直线l 对称，于是由⎩⎪⎨⎪⎧b －1a －3＝－1，a ＋32－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.所以圆C ′：(x －2)2＋(y －2)2＝10.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝10 二、解答题(每小题15分，共30分)7．求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．解 法一 设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，∴r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14，① 由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.②又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上， ∴3a －b ＝0.③联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9.故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. 法二 设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F .令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F .又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22.由已知，得⎝⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )⑤又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线3x －y ＝0上， ∴3D －E ＝0.⑥联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1.故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0.8．(2010·苏锡常镇一模)已知圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，且CP 的斜率为－1.(1)试求圆C 的方程；(2)过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值．解 (1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则C 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，且PC 的斜率为－1，所以－E2－0－D 2－m ＝－1.①因为圆C 通过不同的三点P (m,0)，Q (2,0)，R (0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，②4＋2D ＋F ＝0，③m 2＋Dm ＋F ＝0.④联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3.所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋522＝252.(2)圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－52，圆心到l 1，l 2的距离设为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OC 2＝132，又⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＋d 21＝252，⎝ ⎛⎭⎪⎫GH 22＋d 22＝252，两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF ·GH .所以S ＝12EF ·GH ≤372，即(S 四边形EGFH )max ＝372.。
