对称图形圆教师版

OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。

环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。

线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。

变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。

想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。

采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。

环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。

人教版九年级数学圆的教案人教版九年级数学圆的教案1一、教学目标知识技能:1.了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质.2.了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.数学思考:1.在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系.2.在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力.问题解决:1.在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2.能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题.情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.二、重难点分析教学重点：垂径定理及其推论;圆周角定理及其推论.垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据;圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法.所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点.对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理.对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论.要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件.圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论.第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线.这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握.教学难点：垂径定理及其推论;圆周角定理的证明.垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点.圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.三、学习者学习特征分析圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.四、教学过程(一)创设情境，引入新课圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积.早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的?为什么不做成椭圆形和四边形的呢?这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问.(二)合作交流，探索新知1.观察图形，引入概念(1)圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.(多媒体图片引入)(2)观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗?(3)圆的概念：让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是圆.(学生可以在讨论、交流的基础上自由发言;绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的.定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出)在学生充分交流的基础上得到圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.(多媒体动画引入)(4)圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.(5)从画圆的过程可以看出：①圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.(把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，在几何中十分重要，因为这实际上就是关于轨迹的概念.圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹.事实上，①保证了图形上点的纯粹性，即不杂;②保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条件的点.①②同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”.)(6)由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性.问题1，车轮为什么做成圆形?问题2，如果做成正方形会有什么结果?(通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形.教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳.)把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心(圆心)的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理.2.与圆有关的概念(1)连接圆上任意两点的线段(如线段AC)叫做弦.(2)经过圆心的弦(如图中的)叫做直径.(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.小于半圆的弧(如图中的ABC，)叫做优弧.(4)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.(5)能够重合的两个圆叫做等圆.(容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.) 叫做劣弧;大于半圆的弧(用三个字母表示，如图中的(6)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.(对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别.例如，直径是弦，但弦不一定是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆;半圆即不是劣弧，也不是优弧.)3.垂直于弦的直径(1)创设情景引入新课问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?)(2)圆的对称性的探究①活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么?由此你能得到什么结论?(学生可能会找到1条，2条，3条?教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生，让他们在互相交流中，认识到圆的对称轴有无数多条，要鼓励学生表达自己的想法)②得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及其逆定理①垂径定理的探究如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E.(1)圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗?为什么?(旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性.引导学生理解，证明垂径定理的基本思路是：先构造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦;然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论)(多媒体动画引入)垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.②垂径定理的逆定理的探究(仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③解决求赵州桥拱半径的问题4.弧，弦，圆心角(1)通过实验探索圆的另一个特性如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系?为什么?(多媒体图片引入)(教科书展示了一种证明方法——叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓励.)结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等.(2)对(1)中结论的逆命题的探究在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_____;在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_____.(教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索)(3)应用新知，体验成功例. 如图，在⊙O中，= ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.5.圆周角(1)创设情境引入概念如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角(∠ADB和∠AEB)和同学乙的视角相同吗?概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.(意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系.教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：角的顶点在圆上;两边在圆内的部分是圆的两条弦.)(2)圆的相关性质①动手实践活动一：分别量一下所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化?你能发现什么规律?活动二：再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现?(利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试)得到结论：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.②为了进一步研究上面发现的结论，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A.由于A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：在圆周角的一条边上;在圆周角的内部;在圆周角的外部.(学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考.引导学生观察后两种情况，让学生思考：这两种情况能否转化为第一种情况?如何转化?当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题.这是解决问题时常用的策略.)由此得到圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步我们还可以得到下面的推论：半径(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等.(3)圆内接多边形的定义及其相关性质① 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②利用圆周角定理，我们的得到关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.(三)应用新知，体验成功利用资源库中的“典型例题”进行教学.(四)课堂小结，体验收获(PPT显示)这堂课你学会了哪些知识?有何体会?(学生小结)1.圆的有关概念;2.垂径定理及其逆定理;3.弧，弦，圆心角的相关性质;4.圆周角的概念及相关性质;(五)拓展延伸，布置作业利用资源库中或手头的相关材料进行布置.五、学习评价：(一)选择题1.如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，?错误的是( )(A)CE=DE. (B). (C)∠BAC=∠BAD . (D)AC>AD.1题图 2题图3题图2.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，?则下列结论中不正确的是()(A)AB⊥CD . (B)∠AOB=4∠ACD. (C)3.如图，⊙O中，如果=2，那么( ) . (D)PO=PD.(A)AB=AC. (B)AB=AC. (C)AB<2ac. ab="">2AC.4.如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于( )(A)140°. (B)110°.(C)120°.(D)130°.4题图 5题图 6题图5.如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( )(A)∠4<∠1<∠2<∠3 . (B)∠4<∠1=∠3<∠2.(C)∠4<∠1<∠3∠2 . (D)∠4<∠1<∠3=∠2.6.如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于()人教版九年级数学圆的教案2一. 本周教学内容：圆三圆和圆的位置关系[学习目标]1. 掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法;2. 理解并掌握两圆相切的性质定理;3. 掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明;4. 理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角;并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系;5. 通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。

第八讲圆的有关概念一、圆的相关概念1、圆的定义（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径．（2）集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．（3）圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作”⊙“，读作”圆O“．O（4）同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆．注意：注意：同圆或等圆的半径相等．2、弦和弧弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍．弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB ，读作弧AB ．等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．二、圆的基本性质（图十四） （图十五） （图十六）1、 圆的对称性：（1）圆是中心对称图形：将圆绕圆心旋转180º能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（2）圆是轴对称图形：经圆心任意画一条直线，并沿直线将圆对折，直线两旁的部分能够完成重合，所以圆是轴对称图形。

每一条直径所在的的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。

（圆的对称轴不是直径，而是直径所在的直线）2、垂径定理及其推论（1） 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图十四，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦，CD ⊥AB,垂足为E,则AE=EB, ⌒AD = ⌒DB ，⌒AC = ⌒BC 。

（2） 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

1.圆的概念和性质的理解；
2.垂径定理、切线定理、圆周角定理
3.运用圆的性质和相关定理解决实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）
（介绍单元整体教学实施的思路，包括课时安排、教与学活动规划，以结构图等形式整体呈现单元内的课时安排及课时之间的关联。

）
第1课时教学设计（其他课时同）
课题 2.1 圆
新授课□√章/单元复习课□专题复习课□
课型
习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□
1.教学内容分析
圆是初中数学的主要内容之一，本节课主要学习圆的两种定义以及点和圆的位置关系。

本节课是后边全面接触圆的相关内容的基础。

学好本节课，理解好相关概念是学习后面的前提。

学习者分析
（学生与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与需求分析，学生发展需求、发展路径分析，学习本课时可能碰到的困难）
圆是苏科版教材九年级上册第2章的第一节课，在学习本章之前，学生通过对称、平移、旋转、说理等方式认识了许多图形的性质，积累了一定的数学活动经验．圆是研究曲线型图形的开端，作为一种特殊的曲线型图形，学生在小学时就已经接触过，九年级学生已具备一定的分析、归纳的能力，对于圆的描述概念的引入并不算难，但圆的集合概念是一个新的内容，所以需要引导学生在一个身临其境的活动中操作、交流和感知获取知识。

苏科版数学九年级上册《2.2 圆的对称性》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级上册》第二章“圆”的第三节《2.2 圆的对称性》的内容，主要介绍了圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线，以及圆的对称性质在实际问题中的应用。

本节内容是学生对圆的基本性质的进一步理解，也是对圆的轴对称性质的深入探究。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的基本数学知识，对圆的基本性质有一定的了解。

但是，对于圆的对称性质的理解可能还不够深入，需要通过本节课的学习，使学生对圆的对称性质有更深刻的理解。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解圆的对称性质，能运用圆的对称性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解。

2.圆的对称性质在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生通过观察、操作、推理等活动，自主探究圆的对称性质。

六. 教学准备1.教学课件。

2.练习题。

3.圆规、直尺等作图工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的对称图形，如圆、圆环、圆形的桌面等，引导学生观察这些图形的对称性质，引出圆的对称性质的学习。

2.呈现（10分钟）用课件展示圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是直径所在的直线。

同时，让学生用圆规、直尺等作图工具，实际作图，验证圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用圆的对称性质，解决一些实际问题，如如何用圆规和直尺画一个特定角度的圆弧，如何判断一个图形是否是圆的对称图形等。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，巩固对圆的对称性质的理解。

5.拓展（5分钟）引导学生思考圆的对称性质在实际问题中的应用，如圆形的桌面如何摆放才能使每个人到桌子的距离相等，如何设计圆形的图案等。

人教版九年级第二十四章《圆》整章教案五、课后记：24．1．2 垂直于弦的直径教学目标知识技能探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．数学思考在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．解决问题进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．情感态度使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？学生活动设计：如图2所示，连接OA 、OB ，得到等腰△OAB ，即OA ＝OB ．因CD ⊥AB ，故△OA M 与△OB M 都是直角三角形，又O M 为公共边，所以两个直角三角形全等，则A M ＝B M ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合．因此AM =B M ，AC =BC ，同理得到AD BD =．在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动3：如图3，AB 所在圆的圆心是点O ，过O 作OC⊥AB 于点D ，若CD =4 m ，弦AB =16 m ，求此圆的半径．学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC ⊥AB ，则有AD =BD ，且△ADO 是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．〔解答〕设圆的半径为R ，由条件得到OD =R －4，AD =8，在R t △ADO 中222AO OD AD =+，即222(4)8R R =-+． 解得 R ＝10（m ）．答：此圆的半径是10 m ． 图4活动4：如图4，已知AB ，请你利用尺规作图的方法作出AB 的中点，说出你的作法．师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．〔解答〕1．连接AB ；2．作AB 的中垂线，交 于点C ，点C 就是所求的点．三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．活动5 解决下列问题1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB ，桥下面水面宽度AB 为7．2米，桥的最高处点C 离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．图3BA AB A M E A B G H F图5 图6学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．〔解答〕如图6，连接AO 、GO 、CO ，由于弧的最高点C 是弧AB 的中点，所以得到 OC ⊥AB ，OC ⊥G F ，根据勾股定理容易计算OE =1．5米，OM =3．6米．所以ME =2．1米，因此可以通过这座拱桥．2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60 cm ，水面至管道顶部距离为10 cm ，问修理人员应准备内径多大的管道?图7 图8师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．〔解答〕如图8所示，连接OA ，过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交圆于F ，则AE =21AB = 30 cm ．令⊙O 的半径为R ， 则OA =R ，OE ＝OF -EF ＝R -10．在R t △AEO 中，OA 2=AE 2+OE 2，即R 2=302+(R -10)2．解得R =50 cm ．修理人员应准备内径为100 cm 的管道．四、归纳小结、布置作业1、小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．2、作业：第88页练习，习题24．1 第1题，第8题，第9题．五、课后记：24．1．3 弧、弦、圆心角教学过程设计二、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA 与O ′A ′重合．通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． (课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作． 由已知条件可知∠AOB ＝∠A ′O ′B ′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB ＝∠OBA ＝∠O ′A ′B ′=∠O ′B ′A ′；由△AOB ≌△A ′O ′B ′，可得到AB ＝A ′B ′；由旋转法可知''AB A B =．在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA 与O ′A ′重合时，由于∠AOB ＝∠A ′O ′B ′．这样便得到半径OB 与O ′B ′重合．因为点A 和点A ′重合，点B 和点B ′重合，所以AB 和''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合，即''AB A B =，AB =A ′B ′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．师生活动设计： 本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题． 二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．活动2： 1． 如图2，在⊙O 中，AB AC =，∠ACB ＝60°， 求证：∠AOB =∠AOC =∠BOC ．图2学生活动设计：学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由AB AC =，得到AB AC =，△ABC 是等腰三角形，由∠ACB ＝60°，得到△ABC 是等边三角形，AB =AC =BC ，所以得到∠AOB =∠AOC =∠BOC ．教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．OB C〔证明〕∵AB AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．图 3 图42．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．四、归纳小结、布置作业活动4：小结：弦、圆心角、弧三量关系．作业：课本第90页练习2．习题24．1 第2、3题，第10题．五、课后记：24.1.4 圆周角教学任务分析教学目标知识技能1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．3．能运用圆周角的性质解决问题．数学思考1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．解决问题学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情感态度引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．难点发现并论证圆周角定理．教学教程：一、创设情境：[活动1 ] 演示课件或图片：问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB∠和ACB∠）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ADB∠和AEB∠）和同学乙的视角相同吗？教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（AB）所对的圆心角（AOB∠）与圆周角（ACB∠）、同弧所对的圆周角（ACB∠、ADB∠、AEB∠等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．二、自主探索：［活动2］：问题1同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？问题2，同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？B O A CDE O B A C教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化．1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2．改变圆心角的度数；3．改变圆的半径大小．三、合作探究：［活动3］问题1，在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (课件：折痕与圆周角的关系)教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．问题2，当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．问题3，另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．四、自主探索：［活动4］问题1：如图1.半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论） A O BC 1C 2C 3图1 图2 图3问题2：90°的圆周角所对的弦是什么?问题3： 在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？问题4：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ DO A C问题5：如图2，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？问题6：如图3，⊙O的直径AB 为10 cm，弦AC 为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O 于D，求BC、AD、BD的长．五、小结与作业：小结：问题通过本节课的学习你有哪些收获？作业：教科书94页习题24．1第2、3、4、5题．六、课后记：24.2.1点与圆的位置关系图1 A D C B A D C B A D C B 一、问题情境爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一次掷飞镖比赛。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点17 圆考点总结一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．八、正多边形的有关概念正多边形中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．正多边形半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形半径．正多边形中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形中心角．正多边形边心距：正多边形中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．九、与圆有关的计算公式1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=π180n r；扇形的面积S=2π360n r=12lr．2．圆锥与侧面展开图1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为S圆锥侧=12ππ2l r rl⋅=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021秋•临河区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（）A．70°B．120°C．140°D．110°【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．【解答】解：∵BC＝CD，∴BĈ=CD̂，∵∠DAB＝40°，∴∠BAC=12∠DAB＝20°，∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，故选：D．2．（2021•河北模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点M是△ABC内一点，连接BM交AD于点N，已知∠AMB＝108°，若点M是△CAN的内心，则∠BAC的度数为（）A．36°B．48°C．60°D．72°【分析】过点M作ME⊥AD于点E，根据已知条件可得△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，证明ME∥BC，可得∠NME＝∠NBD，由点M是△CAN的内心，可得点M在∠NAC 和∠ANC的角平分线上，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，所以∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∠ENM＝∠CNM＝2y，然后利用∠AMB＝108°，列出方程组{y−x=18°2y+x=72°，求解即可得结论．【解答】解：如图，过点M作ME⊥AD于点E，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴△ABC是等腰三角形，AD是BC边的中垂线，∴NB＝NC，∠BAD＝∠CAD，∴∠NBD＝∠NCD，∵ME⊥AD，AD⊥BC，∴ME∥BC，∴∠NME＝∠NBD，∵点M是△CAN的内心，∴点M在∠NAC和∠ANC的角平分线上，∴∠NAM＝∠CAM，∠ANM＝∠CNM，设∠NAM＝x，∠NBD＝y，∴∠BAC＝4x，∠NBD＝∠NCD＝∠NME＝y，∴∠ENM＝∠CNM＝∠NBC+∠NCB＝2y，∵∠AMB＝108°，∴∠AME＝∠AMB﹣∠EMN＝108°﹣y，在△AEM中，∠EAM+∠AME＝90°，∴x+108°﹣y＝90°，∴y ﹣x ＝18°，在△ANM 中，∠NAM +∠ANM ＝180°﹣108°，∴x +2y ＝72°，{y −x =18°2y +x =72°， 解得{x =12°y =30°， ∴∠BAC ＝4x ＝48°．故选：B ．3．（2021•桥东区二模）如图，点O 为△ABC 的内心，∠B ＝58°，BC ＜AB ，点M ，N 分别为AB ，BC 上的点，且∠MON ＝122°．甲、乙、丙三人有如下判断：甲：OM ＝ON ；乙：四边形OMBN 的面积是定值；丙：当MN ⊥BC 时，△MON 的周长取得最小值．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲正确B ．只有丙错误C ．乙、丙都正确D ．甲、乙、丙都正确【分析】过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，根据三角形内心可得OD ＝OE ，然后证明△DON ≌△EOM ，可得ON ＝OM ；连接OB ，根据△DON ≌△EOM ，可得四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，根据点D 的位置固定，可得四边形OMBN 的面积是定值；过点O 作OF ⊥MN 于点F ，根据ON ＝OM ，∠MON ＝122°，可得∠ONM ＝29°，MN ＝2NF ＝2ON cos29°，所以△MON 的周长＝2ON （cos29°+1），可得当ON 最小时，即当ON ⊥BC 时，△MON 的周长最小值，进而可得结论．【解答】解：如图，过点O 作OD ⊥BC ，OE ⊥AB 于点D ，E ，∵点O 为△ABC 的内心，∴OB 是∠ABC 的平分线，∴OD ＝OE ，∵∠B ＝58°，∴∠DOE ＝122°，∵∠MON ＝122°，∴∠DON ＝∠EOM ，在△DON 和△EOM 中，{∠DON =∠EOMOD =OE ∠NDO =∠MEO，∴△DON ≌△EOM （ASA ），∴ON ＝OM ，所以甲的判断正确；连接OB ，∵△DON ≌△EOM ，∴四边形OMBN 的面积＝2S △BOD ，∵点D 的位置固定，∴四边形OMBN 的面积是定值，所以乙的判断正确；如图，过点O 作OF ⊥MN 于点F ，∵ON ＝OM ，∠MON ＝122°，∴∠ONM ＝29°，∴MN＝2NF＝2ON cos∠ONM＝2ON cos29°，∴△MON的周长＝MN+2ON＝2ON cos29°+2ON＝2ON（cos29°+1），∴当ON最小时，即当ON⊥BC时，△MON的周长最小值，此时，MN不垂直于BC，所以丙的判断错误．综上所述：说法正确的是甲、乙．故选：B．4．（2021•开平区一模）如图所示的正方形网格中，A，B，C三点均在格点上，那么△ABC的外接圆圆心是（）A．点E B．点F C．点G D．点H【分析】根据三角形的外接圆圆心的性质即可得到结论．【解答】解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故选：C．5．（2021•河北模拟）已知：直线AB及AB外一点P．如图求作：经过点P，且垂直AB的直线，作法：①以点P为圆心，适当的长为半径画弧，交直线AB于点C，D．②分别以点C、D为圆心，适当的长为半径，在直线AB的另一侧画弧，两弧交于点Q．③过点P、Q作直线．直线PQ即为所求．在作法过程中，出现了两次“适当的长”，对于这两次“适当的长”，下列理解正确的是（）A．这两个适当的长相等B．①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离C．②中“适当的长”指大于线段CD的长D．②中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离【分析】利用基本作图进行判断．【解答】解：①中“适当的长”指大于点P到直线AB的距离；②中“适当的长”指大于线段CD的长的一半．故选：B．6．（2021•河北模拟）有一题目：已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2√3，求∠A的度数．嘉嘉这样求解：如图，作直径CD，点A在BDĈ上，∵CD为直径，∴∠CBD＝90°，在Rt△BCD中，∵sin D=BCCD=2√34=√32，∴∠D＝60°，∴∠A＝∠D＝60°．琪琪说：“嘉嘉的答案不全，∠A还有一个不同的值．”下列判断正确的是（）A．嘉嘉的答案没有遗漏B．嘉嘉的结果错误，∠A＝30°C．琪琪的说法错误D．琪琪的说法正确，还有一个答案为120°【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．故∠A′＝180°﹣60°＝120°．故选：D．7．（2021•桥东区二模）下列由实线组成的图形中，为半圆的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆的有关定义进行解答．【解答】解：根据半圆的定义可知，选项B的图形是半圆．故选：B．8．（2021•桥东区二模）阅读图中的材料，解答下面的问题：已知⊙O是一个正十二边形的外接圆，该正十二边形的半径为1，如果用它的面积来近似估计⊙O的面积，则⊙O的面积约是（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．π【分析】设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，由正十二边形的性质得出∠AOB＝30°，由直角三角形的性质得出AD=12OA=12，求出△AOB的面积=12OB•AD=14，即可得出答案． 【解答】解：设AB 为正十二边形的边，连接OB ，过A 作AD ⊥OB 于D ，如图所示： ∴∠AOB =360°12=30°， ∵AD ⊥OB ，∴AD =12OA =12，∴△AOB 的面积=12OB ×AD =12×1×12=14，∴正十二边形的面积＝12×14=3， ∴⊙O 的面积≈正十二边形的面积＝3，故选：A ．9．（2021•顺平县二模）如图，每个小三角形都是边长为1的正三角形，D 、E 、F 、G 四点中有一点是△ABC 的外心，该点到线段AB 的距离是（ ）A ．√32B ．√2C ．12D ．1【分析】根据等边三角形的性质、等腰三角形的三线合一得到△ABC 为直角三角形，根据直角三角形的外心的位置是斜边的中点解答．【解答】解：∵每个小三角形都是正三角形，∴AM ＝AN ，MB ＝BN ，∴AB ⊥MN ，∴△ABC 为直角三角形，∵G 是AN 的中点，GE ∥BC ，∴点E 是△ABC 斜边的中点，∴△ABC 的外心是斜边的中点，即点E ，∴E 到AB 的距离1，故选：D ．10．（2021•河北模拟）如图，取正六边形ABCDEF 的各边中点并依次连接，得到正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，再取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边中点并依次连接，得到正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，则正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比为（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45 【分析】如图，设AF 1＝FF 1＝a ，求出AF ，F 2E 2（用a 表示），可得结论．【解答】解：如图，设AF 1＝FF 1＝a ，∵∠A ＝120°，AA 1＝AF 1＝a ，∴A 1F 1=√3a ，∴A 1F 2＝F 2F 1=√32a ，∵∠F 2F 1E 2＝120°，∴F 2E 2=√3F 2F 1=32a ，∴A 2B 2C 2D 2E 2F 2与正六边形ABCDEF 的边长之比=32a ：2a ＝3：4，故选：C ．二．填空题（共5小题）11．（2021•开平区一模）正多边形的外角为120度，边长为m ，则这个正多边形的面积是√34m 2 ． 【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解．【解答】解：正多边形的边数是：360÷120＝3．等边三角形的边长为2cm ，所以正六边形的面积=12×m ×m ×√32=√34m 2． 故答案为：√34m 2． 12．（2021•路南区二模）如图所示，以▱ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，交AD ，BC于E ，F ，延长BA 交⊙A 于G ，连结GF 、FE ，当∠D ＝60°时，∠GFE ＝ 30 °．【分析】先根据平行四边形的性质和平行线的性质得到∠GAD ＝∠D ＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠GAD ＝∠D ＝60°，∴∠GFE =12∠GAE =12×60°＝30°．故答案为30．13．（2021•长安区二模）如图，正方形ABCD 和正六边形AEFCGH 均内接于⊙O ，连接HD ；若线段HD 恰好是⊙O 的一个内接正n 边形的一条边，则n ＝ 12 ．【分析】连接OH 、OD 、OA ，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接六三角形的中心角得到∠HOA ＝60°，∠DOA ＝90°，∠DOH ＝∠DOA ﹣∠HOA ＝90°﹣60°＝30°，然后计算n ．【解答】解：连接OH 、OD 、OA ，如图，∵正方形ABCD和正六边形AEFCGH均内接于⊙O，∴∠HOA=360°6=60°，∠DOA=360°4=90°，∠DOH＝∠DOA﹣∠HOA＝90°﹣60°＝30°，∴n=360°30°=12，即HD恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故答案为12．14．（2021•石家庄模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是√552，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是√552−√5，最大值是√552+√5．【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最值．【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC=12AB=32，由勾股定理得，OC =√OB 2−BC 2=√552，由勾股定理得，OD =√22+12=√5，当点D 在直线OC 上时，点D 到AB 的距离的最小或最大，∴点D 到AB 的距离的最小值为√552−√5，点D 到AB 的距离的最大值为√552+√5， 故答案为：√552；√552−√5；√552+√5．15．（2021•石家庄一模）如图，已知AB ＝AC ＝BE ＝CD ，AD ＝AE ，点F 为△ADE 的外心，若∠DAE ＝40°，则∠BFC ＝ 140 °．【分析】由等腰三角形的性质得出∠BEA ＝∠BAE ＝70°，求出∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，由三角形外心的性质求出∠EBF ＝∠FCB ＝20°，由三角形内角和定理可得出答案．【解答】解：∵∠DAE ＝40°，AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ，∴∠AED =12（180°﹣40°）＝70°，∵AB ＝BE ，∴∠BEA ＝∠BAE ＝70°，∴∠ABE ＝40°，连接AF ，EF ，DF ，∵点F 为△ADE 的外心，∴AF ＝EF ，AF ＝DF ，∴点F 在AE 的垂直平分线上，同理点B 在AE 的垂直平分线上，∴∠ABF ＝∠EBF ，∴∠EBF =12∠ABE ＝20°，同理∠FCB ＝20°，∴∠BFC ＝180°﹣∠FBC ﹣∠FCB ＝180°﹣20°﹣20°＝140°．故答案为：140．三．解答题（共3小题）16．（2021•开平区一模）如图，∠AOB 内有一点P ，PC ⊥OA ，垂足为C ，以P 为圆心PC 为半径画14⊙P ，与OB 交于点E ， （1）过点D 作PD 的垂线与OB 交于点M ，连接PM ，过圆心P 作PN ⊥PM 交OA 于点N ，求证△PMN 是等腰直角三角形．（2）若PC ＝2，∠DPE ＝15°，计算扇形PEC 的面积（结果保留π）．【分析】（1）连接MN ．证明△DPM ≌△CPN （ASA ），推出PM ＝PN ，可得结论．（2）利用扇形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：连接MN ．∵PM ⊥PN ，∴∠MPN ＝90°，∵∠CPD ＝90°，∴∠CPD ＝∠MPN ，∴∠DPM ＝∠CPN ，∵DM ⊥PD ，PC ⊥OA ，∴∠PDM ＝∠PCN ＝90°，在△PDM 和△PCN 中，{∠PDM =∠PCNPD =PC ∠DPM =∠CPN，∴△DPM ≌△CPN （ASA ），∴PM ＝PN ，∵∠MPN ＝90°，∴△PMN 是等腰直角三角形．（2）解：∵∠DPE ＝15°，∴∠CPE ＝90°﹣15°＝75°，∴S 扇形PEC =75×π×22360=5π6．17．（2021•滦州市一模）如图，AM ∥BN ，AB ⊥BN ，点C 在射线BN 上且∠ACB ＝50°，BQ ⊥AC于点Q ，点P 是线段QA 上任意一点，延长BP 交AM 于点D ，AB ＝6．（1）若点P 为AC 中点，求证：△APD ≌△CPB ；（2）当△PBC 为等腰三角形时，求∠PBC 的度数；（3）直接写出△PBC 的外心运动的路径长．【分析】（1）根据全等三角形的判定方法：ASA即可得到结论；（2）分三种情况：当PC＝PB时，当BC＝BP时，当BC＝BP时，分别计算即可；（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ＝x，AQ＝y，设△PBC外心运动路径长为h，外心一定在直线l1上，根据三角函数可得答案．【解答】解（1）∵P为AC中点，∴PA＝PC，∵AM∥BN，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠APD，∴△APD≌△CPB（ASA）．（2）当PC＝PB时，∠PBC＝∠ACB＝50°，当CP＝CB时，∠PBC＝∠CPB=180°−50°2=65°，当BC＝BP时，∠PBC＝108﹣2x50＝80°，综上：∠PBC＝50°或65°或80°．（3）作BC的垂直平分线l1，QC的垂直平分线l2，AC的垂直平分线l3，l2交QC于E，l3交AC于F，设CQ ＝x ，AQ ＝y ，∴EF =x+y 2−x 2=y 2，设△PBC 外心运动路径长为h ，外心一定在直线l 1上，∵∠CFT ＝∠CAB ＝40°，∴cos40°＝（y 2）÷h =AB AC =AQ AB =y 6， ∴y 2÷h ＝y ÷6， ∴h ＝3，故△PBC 的外心运动的路径长为3．18．（2021•南皮县一模）如图，射线AM ⊥AB ，O 是AM 上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径，在AM 上方作半圆AOC ，BE 与半圆相切于点D ，交AM 于点E ，EF ⊥BO 于点F ．（1）求证：BA ＝BD ；（2）若∠ABE ＝60°，①判断点F 与半圆AOC 所在圆的位置关系，并说明理由；②若AB =√3，直接写出阴影部分的面积．【分析】（1）由切线长定理可得出答案；（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，∴BA是半圆的切线，切点为A，又∵BE与半圆相切于点D，∴BA＝BD；（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：∵∠ABE＝60°，∴∠BEA＝30°，又∵OBA＝∠OBE=12∠ABE＝30°，∴∠OBE＝∠OEB，∴OB＝OE，又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，∴△OBA≌△OEF（AAS），∴OF＝OA，∴点F在半圆AOC所在的圆上；②连接OD，则OD⊥BE，∵OB＝OE，∴DE＝BD＝AB=√3，∵∠OBA＝30°，∴OD＝OA＝AB•tan30°=√3×√33=1，2 360=√32−π6．∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD=12×√3×1−60π×1。

苏科版数学九年级上册2.2《圆的对称性》教学设计一. 教材分析《圆的对称性》是苏科版数学九年级上册第二章第二节的内容。

本节课主要学习了圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线等。

通过本节课的学习，使学生能够理解圆的对称性质，并能运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了圆的基本概念，如圆的定义、圆的方程等，同时也学习了平面图形的对称性。

因此，学生对于对称性的概念已经有所了解，但对于圆的对称性质还需要进一步的引导和探究。

三. 教学目标1.理解圆的对称性质，知道圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线。

2.能够运用圆的对称性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性质的理解和运用。

2.圆的对称轴的确定。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作学习法等，引导学生通过观察、思考、讨论、实践等方式，掌握圆的对称性质，并能够运用到实际问题中。

六. 教学准备1.教学课件或黑板。

2.圆形教具。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图形，如圆、正方形、矩形等，引导学生回顾对称性的概念，并提问：你们认为圆具有对称性吗？圆的对称性质是什么？2.呈现（10分钟）利用多媒体课件或黑板，呈现圆的对称性质，包括圆是轴对称图形，圆有无数条对称轴，圆的对称轴是圆的直径所在的直线。

同时，通过举例说明圆的对称性质。

3.操练（10分钟）让学生拿出圆形教具，观察并尝试找出圆的对称轴。

学生可以自行尝试，也可以与同桌相互讨论。

在学生操作过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些关于圆的对称性的练习题，让学生独立完成。

题目可以包括判断题、选择题和解答题等。

学生完成后，教师进行讲解和点评。

5.拓展（10分钟）让学生思考：圆的对称性质在实际生活中有哪些应用？引导学生举例说明，如圆形的桌面、圆形的路面等。