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第26章 二次函数二次函数y =ax 2的图象与性质1．关于抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知抛物线y ＝ax 2()a >0经过A ()－2，y 1，B ()1，y 2两点，则下列关系式一定正确的是( )A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>03．在同一坐标系中画出下列函数的图象： (1)y ＝3x 2；(2)y ＝－13x 2.4．当物体自由下落时，下落的高度h (m)与下落时间t (s)之间的关系式是h ＝12gt 2(g 为定值，g 取9.8 m/s 2)，这表明h 是t 的函数．(1)当t ＝1、2、3时，求出物体的下落高度h ； (2)画出函数h ＝12gt 2的图象．5．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 与y ＝ax 2的图象有可能是( )A B C D6．[2018·株洲]已知二次函数y ＝ax 2的图象如图，则下列表示的点有可能在反比例函数y ＝a x的图象上的是( )A ．(－1，2)B ．(1，－2)C ．(2，3)D ．(2，－3)7．[2018·岳阳]在同一直角坐标系中，二次函数y ＝x 2与反比例函数y ＝1x(x >0)的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A (x 1，m )、B (x 2，m )、C (x 3，m )，其中m 为常数，令ω＝x 1＋x 2＋x 3，则ω的值为( )A ．1B ．mC ．m2D.1m8．[2018·孝感]如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是______________．9．已知直线y ＝kx ＋b 与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴正半轴相交于点C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D .若∠AOB ＝60°，AB ∥x 轴，AB ＝2，求a 的值．10．二次函数y ＝3x 2的图象如图所示，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，求菱形OBAC的面积．11．如图，平行于x 轴的直线AC 分别交函数y 1＝x 2(x ≥0)与y 2＝x 23(x ≥0)的图象于B 、C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC ，交y 2的图象于点E ，求DEAB的值．12．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20 m ，拱顶距离水面4 m. (1)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；(2)设正常水位时桥下的水深为 2 m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．参考答案【分层作业】 1．B 2．C 3．解：列表：3(2)描点，连线，图略．4．解：(1)把t ＝1、2、3分别代入关系式h ＝12gt 2，可求得h 1＝12×9.8×12＝4.9(m)，h 2＝12×9.8×22＝19.6(m)， h 3＝12×9.8×32＝44.1(m)．(2)列表：答图在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数h ＝12gt 2的图象，如答图所示．5．C 6．C【解析】∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∴点(2，3)可能在反比例函数y ＝ax的图象上． 7．D【解析】根据题意可得A ，B ，C 三点有两点在二次函数图象上，一点在反比例函数图象上．不妨设A ，B 两点在二次函数图象上，点C 在反比例函数图象上．∵二次函数y ＝x 2的对称轴是y 轴，∴x 1＋x 2＝0.∵点C 在反比例函数y ＝1x (x >0)上，∴x 3＝1m ，∴ω＝x 1＋x 2＋x 3＝1m .8．x 1＝－2，x 2＝1【解析】∵抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为A (－2，4)、B (1，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝bx ＋c 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝4， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1， 即方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1. 9． 解：∵AB ∥x 轴，∴点A 、B 关于y 轴对称． ∵AB ＝2，∴AC ＝BC ＝1. ∵∠AOB ＝60°， ∴OC ＝3，AD ＝ 3. 又∵点A 在第二象限， ∴点A 的坐标是(－1，3)． ∴3＝a ·(－1)2，解得a ＝ 3.10．答图解：连结BC 交OA 于点D ，如答图． ∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥O A. ∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°， ∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B (t ，3t )， 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1，∴BD ＝1，OD ＝ 3. ∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝23， ∴菱形OBAC 的面积＝12×2×23＝2 3.11．解：设A 点坐标为(0，a )(a ＞0)， 则x 2＝a ，解得x ＝a ， ∴点B (a ，a )． 又∵x 23＝a ，则x ＝3a ，∴点C (3a ，a )． ∵CD ∥y 轴，∴点D 的横坐标与点C 的横坐标相同，为3a ， ∴y ＝(3a )2＝3a ，∴点D 的坐标为(3a ，3a )． ∵DE ∥AC ，∴点E 的纵坐标为3a ， ∴x 23＝3a ，∴x ＝3a ， ∴点E 的坐标为(3a ，3a )， ∴DE ＝3a －3a ，∴DEAB＝3a－3aa＝3－ 3.12．解：(1)设该抛物线的解析式是y＝ax2.结合图象，把(10，－4)代入，得100a＝－4,∴a＝－125，则该抛物线的解析式是y＝－125x2.(2)当x＝9 m时，则有y＝－125×81＝－3.24，4＋2－3.24＝2.76(m)，所以水深超过2.76 m时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．。
