人教数学八年级下册人教16.3二次根式的加减(知识点自测自检)(原创)

16.3 二次根式的加减（1）同步练习姓名：__________班级：__________学号：__________本节应掌握和应用的知识点１.同类二次根式(１)同类二次根式的定义几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式．(２)同类二次根式的合并合并同类二次根式类似于合并同类项,就是将同类二次根式的“系数”合并 ,根指数与被开方数保持不变．２.二次根式的加减(１)二次根式的加减实质是合并同类二次根式,非同类二次根式不能合并．(２)二次根式加减法的一般步骤: ①先把各根式化成最简二次根式; ②找出其中的同类二次根式; ③合并同类二次根式．3. 比较二次根式大小时,可将根号外的非负数(或式子) 移到根号内．基础知识和能力拓展训练一、选择题1．下列各组二次根式中，是同类二次根式的是( )A. 6和32B. a和2aC. 12和13D. 3和92．下列二次根式中，不能与2合并的是（）A. 12B. 8C. 12D. 183．已知二次根式24a 与2是同类二次根式，则a的值可以是（）A. 5B. 3C. 7D. 84．下列运算正确的是（）A. （﹣a2）3=a6B. （a+b）2=a2+b2C. 8﹣2=2D. 55﹣5=4 5．已知等腰三角形的两边长为23和52，则此等腰三角形的周长为（）A. 43+52B. 23+102C. 43+102D. 43+52或23+102 6．计算|2﹣5|+|4﹣5|的值是（）A. ﹣2B. 2C. 25﹣6D. 6﹣257．计算：32﹣8的结果是（）A. 30B. 2C. 22D. 2.88．实数的值在( )A. 0和1之间B. 1和2之间C. 2和3之间 D . 3和4之间9．设a＝6－2，b＝3－1，c＝231，则a，b，c之间的大小关系是( )A. c＞b＞aB. a＞c＞bC. b＞a＞cD. a＞b＞c10．设的小数部分为，则的值是（）A. B. 是一个无理数C. D. 无法确定二、填空题11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝______，b ＝___________．12．若最简二次根式1x +与22x -能合并为一个二次根式，则x =_______。

同类项合并就是字母不变，系数相加减。
新课学习
二次根式的加减
7.5dm
现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，
能否采用如图的方式，在这块木板
5dm
上截出两个分别是8dm2和18dm2的
dm
dm
正方形木板？
( + )dm
问题转化为比较7.5dm与( + )dm的大小。
新课学习
( + )
复习导入
2、把下列各根式化简
(1) 12
2
3
1
(5)
2
2
2
(2) 48
4
3
(6) 32
4
2
(3) 18
3
2
(4) 50
5
2
1
(7) 45 (8) 1
3
3
5
2
3
3
导入新课
计算下列各式：
（1）2x+3x
5x
（2）2x5-5x5+5x5
2x5
（3）3x+2x+3y
5x+3y
（4）3a2-2a2+a3
a2+a3
先化为最简二次根式
把同类二次根式合并。
二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的
运算实质也基本相同。
拓展提升
1.解下列方程和不等式．
（1）

x+
−

=2x+1
+
（2） （x-1）＞3（x+1）
分析：（1）先将分母有理化，再解方程即可解答本题；
（2）根据解不等式的步骤进行解答即可，注意不等号的方向。

16.3 二次根式的加减知识点解读知识点1:同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式。

知识点2:二次根式的加减二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简的二次根式,再将被开方数相同的根式进行合并。

知识点3:二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里；(2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.对点例题解析【例题1】（2020•常德）计算:√92−√12+√8= ．【答案】3√2．【解析】原式=3√22−√22+2√2＝3√2．【点拨】直接化简二次根式进而合并得出答案．【例题2】（2019•山东省滨州市）计算:（﹣）﹣2﹣|﹣2|+÷＝ ． 【答案】2+4．【解析】根据二次根式的混合计算解答即可．原式＝,故答案为:2+4．【例题3】计算)b ba a(ab a ab2b a b 2a b 4a +÷+++---【答案】见解析。

【解析】设y b ,x a ==,则ba yx y y 2x y x xy)y x (x )y x (y 2x )y 2x )(y 2x ()y yx x (xy x xy2y x y 2x y 4x y b ,x a 2222222222+=+=-+=+⋅++---+=+÷+++---===原式【例题4】（2019山东枣庄）观察下列各式:＝1+＝1+（1﹣）,＝1+＝1+（﹣）,＝1+＝1+（﹣）,…请利用你发现的规律,计算:+++…+,其结果为 ．【答案】2018．【解析】根据题意找出规律,根据二次根式的性质计算即可．+++…+＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝2018达标训练题一、选择题1．（2020•泰州）下列等式成立的是（ ）A ．3+4√2=7√2B ．√3×√2=√5C ．√3÷√6=2√3D ．√(−3)2= 3【答案】D【解析】A ．3与4√2不是同类二次根式,不能合并,此选项计算错误；B ．√3×√2=√6,此选项计算错误；C ．√3÷√6=√3×√6=3√2,此选项计算错误；D ．√(−3)2=3,此选项计算正确。

（2 5）2 4 10 （ 2）2 20 4 10 2
22 4 10
x 3 1, y 3 1
1 x2 2xy y2; 2 x2 y2
解：（1）原式=（x+y）2 （2）原式 （x+y）（x-y）
=（ 3+1+ 3-1 ）2 =( 3+1+ 3-1)( 3+1- 3+1) （2 3）2 =2 3 2
( 6 2)( 6 2)
3 ( 5 3Biblioteka ( 5 2)4 ( 6 2)( 6 2)
（ 5）2 2 5 3 5 6 5 55 6 11 5 5
（ 6）2 （ 2）2 62 4
( 3 2)2
5 ( 3 2)2
（ 3）2 4 3 4 3 43 4 7 43
(2 5 2)2
6 (2 5 2)2
（2 5）2 4 10 （ 2）2 20 4 10 2 22 4 10
（ 48+ 20）-（ 12- 5）= 4 3+2 5-2 3+ 5 =2 3+3 5
化成最简 二次根式
合并被开方数相 同的二 次根式
归纳：
x3 y2 x3
解：（1）（2 x3 + y2）·x3
=（2 x3）2 + x3 y 2
23 6
66
若 x 3, y 2
(4 6 3 2) 2 2
解：（1）(4 6 3 2) 2 2 4 62 23 22 2
3 3 3
适用
2( 3 5) ( 5 3)( 5 2) ( 3 2)2
( 80 40 ) 5 ( 6 2)( 6 2)
(2 5 2)2
2( 3 5) 解： 1 2( 3 5)

人教版八年级数学下册《16.3 二次根式的加减》课时练学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A=B．3= C3=- D2= 2．计算﹣﹣6的结果是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列二次根式中，不能与合并的是（ ） A ． B ．C ．D ． 4．若最简二次根式和能合并，则x 的值可能为（ ） A ． B ． C ．2 D ．55．已知：a，b a 与b 的关系是（ ） A ．a －b ＝0B ．a ＋b ＝0C ．ab ＝1D ．a 2＝b 2 6．已知，，则与的关系为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．已知的值是（ ）A ．B ．C ．24D ．8．已知，）A ．9B．±3 C ．3D 9．已知x =√5−12，y =√5+12，则x 2+xy +y 2的值为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．7 10．设M =(√1ab−√a b )⋅√ab ，其中a =3，b =2，则M 的值为（ ） A ．2B ．-2C ．1D ．-1二、填空题 11．计算______．12．已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，1a =b =a b a b =1ab ==-a b 1ab =-3a =+3b =±1m =1n =5则2a＋b＝________．13．已知m4+2m3﹣145m2的值为___．14．已知__________．15．设a、b、c是ABC a b c-+的结果是________．三、解答题16．计算：（1）-（2）()23212123 3.1452π----⎛⎫⎛⎫-++--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．（．18．计算：（1）+；（2）（﹣+）÷．19．在一个边长为（+）cm的正方形内部挖去一个边长为（）cm的正方形（如图所示），求剩余部分的面积．m=a b==33a ab b-+-=20．先化简，再求值（1）()()222243323a b ab ab a b ---+，其中1a =-，2b =-．（2）2132111a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中1a =．21．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，点A 设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值；（2）求|m ﹣1|＋（2（4﹣m ）的值．22．若一个含根号的式子a +m +a ，b ，m ，n 都是整数，x是正整数），即(2a m +=+，则称a +m +a +方根．例如：因为(2191-=-，所以1-19-（1）已知3是a -a 的值．（2）若m +a +m ，n 的式子分别表示a ，b ．（3）已知17-参考答案1．D 2．C 3．B 4．C 5．C 6．A 7．A 8．C 9．B 10．B 1112．2.5 13．014． 15．22-b a16．（1）1-（2）43- 17．解：原式＝（3﹣1）+2＝2+2．18．解：（1）原式＝﹣+ ＝﹣+ ＝3﹣2+5＝6；（2）原式＝（4﹣3+6）÷ ＝7÷ ＝7．19．解：剩余部分的面积为：（+）2﹣（）2 ＝（++）×（+﹣+） ＝2×2 ＝4（cm 2）．20．（1）3a 2b +2ab 2；-14；（2）11a -21．（1）2m =-（2122．（1）21a =；（2）227a m n =+，2b mn =；（3）3-3是17- 526427-。

人教版初中数学八年级下册16.3.1二次根式的加减同步练习夯实基础篇一、单选题：1）A BC D2．墨迹覆盖了等式-=）A．＋B．-C．×D．÷3．下列二次根式合并过程正确的是()A=B ．a =+C ．=D ．2-=4）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和55．若两个最简二次根式）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据同类二次根式的定义求出m 的值，然后代入合并即可．6．已知3a =+3b =-，则22a b ab -的值为（）A ．1B ．17C ．D ．-7x 的取值范围是（）A ．6x ≥B ．6x ≤C ．8x ≥D ．8x ≤二、填空题：11．数轴上A、B两点所表示的数是-C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_________．12．如图，要在长7.5dm、宽5dm的矩形木板上截两个面积为218dm的正方形，是否可行？8dm和2___________．(填“行”或“不行”)13．若最简二次根式3x-__．14．已知2a =2b =22a b -=________．【点睛】此题主要考查了平方差以及二次根式的计算，正确进行二次根式混合运算是解题关键．三、解答题：15．计算：16．计算：；（2-17．己知x =y =，求222x xy y -+-的值．【答案】8-【分析】先把所求代数式变形为()2x y --，再代值计算即可．【详解】解：222x xy y -+-()222x xy y =--+能力提升篇一、单选题：1．一个等腰三角形的两边长分别为3和）A．5+B．3+C．6+或3+D．3+10+2=n为整数），则m的值可以是（）A．6B．12C．18D．24是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．3．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（）A．8-B．12C．4-D．2二、填空题：4．三角形周长为（）cm，cmcm，则第三边的长是__________cm．6．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+-⎪⨯⎝⎭111112323⎛⎫+=+-⎪⨯⎝⎭111113434⎛⎫+=+-⎪⨯⎝⎭…三、解答题：733b b ++=+，x 的整数部分，y 的小数部分．求23x y -的值．8．我们知道，2=3，(2233=3=4-，…如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．如33互为有理化因式．利用这种方法，可以将分母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化，_________________；_________________；_________________；(4)。

（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
解：（1）（ 8 3） 6 （2）（4 2 - 3 6） 2 2
8 6 3 6
4 2 2 2-3 6 2 2
巩固练习
16.3 二次根式的加减/
1.计算：（1） 2 3 5 （2） 80 40 5
解：(1)原式 2 3 2 5 (2)原式 80 5 40 5
∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正 方形木板．
探究新知
二次根 式性质
16.3 二次根式的加减/
整式加 分配律 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 用分配 整式 二次根式 律合并 加减
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
（4）3 12 - 1 6 3- 1 6 3 3
27
33
9 15
巩固练习
16.3 二次根式的加减/
4.下列计算正确的是 （ C ）
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3 D. 3 2 5
5.已知一个矩形的长为 48 ,宽为 12 ，则其 周长为_1_2__3__.
A． 8
1
B．3
C． 18
D．9
2.（2019•兰州）计算： 12 - 3 ＝（ A ）
A． 3
B．2 3
C．3
D．4 3
课堂检测
16.3 二次根式的加减/
基础巩固题
1. 与 12 能合并的二次根式是( D )
A. 32 B. 24
C.
12 5
2.下列计算正确的是 （ C ）

知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1

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③ 将原有无理数的分子化为有理数的过程，也就是将分子中的根号化去，叫做分子有理化．
1 ⋅ (√2 − √5 ) 1 1 ⋅ √3 1 √3 √5 − √2 = = , = = ; 3 √2 + √5 3 (√2 + √5 ) ⋅ (√2 − √5 ) √3 √3 ⋅ √3 (√2 − √3 )(√2 + √3 ) √2 − √3 = 1 ． √3 − √2
B．减号 C．乘号 D．除号
2. 在算式 (− A．加号
答案： D 解析：
)
当填入加号时，(− 当填入减号时，(−
2√3 √3 √3 ； ) + (− )=− 3 3 3 √3 √3 ) − (− ) = 0； 3 3 ) ( )
(
当填入乘号时，(− 当填入除号时，(−
(
1 √3 √3 ) × (− )= ； 3 3 3 √3 √3 ) ÷ (− ) = 1． 3 3
− − − ，则下列表示正确的是 ( 4. 设 √2 = a ， √3 = b ，用含 a ， b 的式子表示 √− 0.54
A．0.3ab
答案： A 解析：
B．3ab
C．0.1ab 2
D．0.1a2 b
− − − = √− − − − − − − − − − − − × √2 × √3 = 0.3 × √2 ×√3 = 0.3ab ．故选 A． √− 0.54 0.09 × 2− × 3 = √− 0.09
化简 √a3 （a > 0）． − − 解：√a3 = ∣a∣√a = a√a ． 化简 √(a − b)2 + a （a < b）．
− − −− − 3 1 − + √− −) + (√3 − √5 )；（4） ÷ √ ；（3） (√− 12 20 2 18

专题16.3二次根式的加减【十大题型】【人教版】【题型1判断同类二次根式】 (1)【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】 (3)【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】 (5)【题型4比较二次根式的大小】 (8)【题型5已知字母的取值化简求值】 (10)【题型6已知条件式化简求值】 (12)【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】 (14)【题型8二次根式混合运算的实际应用】 (16)【题型9二次根式的新定义类问题】 (19)【题型10二次根式的阅读理解类问题】 (24)【知识点1同类二次根式】把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．【题型1判断同类二次根式】【例1】（2023·上海·八年级假期作业）判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？(1)24，48，(2)4，33o<0)，−2B3(<0)．【答案】(1)不是(2)不是【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案．【详解】（1）解：∵24=26；48=43；12=6∴24，48，12（2）解：4J2；33=−3B(<0)；−2B3=2B(<0)；∴4，33，−2B3不是同类二次根式．【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键．【变式1-1】（2023春·四川宜宾·）A．216B．125C．48D．32【答案】C【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义判断．=，216=66，125=55，48=43，32=42，是同类二次根式的是48，故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【变式1-2】（2023春·上海·八年级期末）下列各式中，属于同类二次根式的是（）A．B与B2B．2与2C．3与D．与3【答案】C【分析】化简各选项后根据同类二次根式的定义判断．【详解】A、B与B2=的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；B、2与2的被开方数不同，所以它们不是同类二次根式；故本选项错误；C、3与D、3是三次根式；故本选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．【变式1-3】（2023春·河南洛阳·八年级统考阶段练习）下列各式经过化简后与−−273不是同类二次根式的是（）A．273B C．D【答案】A【分析】同类二次根式是指化为最简二次根式后，被开方式相同的二次根式.【详解】解：−−273=-−3x⋅(3p2=-3x−3选项A：273=3δ(3x)2=3x3；选项B选项C：选项D−3.B、C、D中都含有−3，是同类二次根式，A不是，故选A.【点睛】本题考查了同类二次根式的概念.【题型2根据同类二次根式的概念求字母的取值】【例2】（2023·上海·八年级假期作业）若5+8与7是同类二次根式，求的最小正整数？【答案】=4【分析】5+8不一定是最简二次根式，从而由同类二次根式定义列出方程求解即可得到答案．【详解】解：由题意得：5+8=2×7（为正整数），∵2>0，则5+8>0，∴当=1时，5+8=7，解得=−0.2，不是正整数，舍去；当=2时，5+8=28，解得=4，符合题意，即的最小正整数为4．【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，此题中要注意前面一个二次根式并不是最简的，根据题意列出方程求解是解决问题的关键．【变式2-1】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)若最简二次根式3与﹣8是同类二次根式；(2)若二次根式3与﹣8是同类二次根式．【答案】(1)=23(2)=223【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案；（2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）∵﹣8＝﹣22，最简二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2，解得=23．（2）∵二次根式3与﹣8是同类二次根式，∴3a＝2n2，解得a＝223．【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．【变式2-2】（2023春·重庆綦江·八年级校考期中）最简二次根式2+1与r47+可以合并成一个二次根式，则−=．【答案】−8【分析】最简二次根式2+1与r47+能合并成一个二次根式，则两个二次根式的被开方数相等，即可求得a，b值，代入即可求解．【详解】解：根据题意得：2+1=7+s+4=2，则=−2，=6，所以−=−2−6=−8，故答案是：−8．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【变式2-3】（2023春·河南信阳·八年级统考期末）先阅读解题过程，再回答后面的问题．如果、是正整数，且162+和KK1+7在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值．解：∵162+和KK1+7可以合并，∴−−1=2162+=+7，即−=331+16=7，解得=5547=8647．∵、是正整数，∴此题无解．问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？（2）给出正确的解答过程．【答案】（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）见解析【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．（2）先把162+转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．【详解】解：（1）不正确，原因是没有把162+转化为最简二次根式；（2）正确解答过程如下：∵162+=42+，162+和KK1+7可以合并，∴−−1=22+=+7，解得：=5=2，经检验=5，=2符合题意，∴=5，=2．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．【知识点2二次根式的加减法则】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．【题型3运用乘法公式和运算律简化二次根式的混合运算】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）计算(1)412−+48÷23(2)26+3×26−3−(33−2)2+【答案】(1)143(2)−8+76+2【分析】（1）先计算括号里，再计算除法；（2）先运用平方差公式和完全平方公式、分母有理化进行计算，再相加减即可【详解】（1）原式=83−+43÷23=3÷23=143=143（2）原式=24−3−27−66+2+=21−29+66+6+2=−8+76+2【点睛】本题考查二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，分母有理化，掌握二次根式混合运算的计算方法是解题的关键．【变式3-1】（2023春·广东江门·八年级统考期末）计算：27+6+36−3−42−36÷22+1【分析】先化简二次根式，同步计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可．【详解】解：27+6+36−3−42−36÷22=33+6−3−2+=+1．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算的运算顺序是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）计算：(1)48÷3+×12−24(2)(7+43)(7−43)−(35−1)2【答案】(1)4−6(2)65−45【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算即可得；（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得．【详解】（1）解：原式=48÷3+−26=16+6−26=4−6（2）解：原式=49−48−(45−65+1)=1−46+65=65−45【点睛】本题考查了二次根式的计算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握这些知识点．【变式3-3】（2023春·湖北黄冈·八年级校联考阶段练习）计算：(1)3×−÷2(2)212−+348；(3)2+32−5+25−2；(4)2−32022×2+32023−2−−−20．【答案】(1)−154(2)143(3)4+26(4)1【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．【详解】（1）解：原式=3×−×2×=3×−×2×5=−154；（2）原式=43−23+123=143；（3）原式=2+26+3−5−4=2+26+3−1=4+26；（4）原式=2−32+32022×2+3−3−1=12022×2+3−3−1=1×2+3−3−1=2+3−3−1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．【题型4比较二次根式的大小】【例4】（2023春·八年级课时练习）比较大小错误的是（）A．5＜7B．35＋2＜82﹣1C6D．|1－3|＞3－1【答案】D【分析】利用比较实数大小的方法逐项判断正误即可．【详解】A、由于5<7，则5＜7，故正确；B、由于35＋2<6+2=8，而8=9-1<82－1，则35＋2＜82﹣1，故正确；C、由于−23>−5>−7−5=−6，故正确；D、由于1−=3−1，故1>3−1错误．故选：D【点睛】本题考查了实数大小的比较，涉及二次根式的比较，不等式的性质等知识，其中掌握二次根式大小的比较是关键．【变式4-1】（2023春·江苏·从小到大排列．<<【分析】先求出三个数的平方，再比较大小即可．【详解】2=15，2=16，2=17，∵1117，<<<【点睛】本题考查了比较二次根式的大小，熟知正数比较大小的法则是解答此题的关键．平方法是比较二次根式的大小常用的方法．【变式4-2】（2023春·河南新乡·八年级校考阶段练习）阅读下列化简过程：=2−1，==3−2，==4−3，…从中找出化简的方法与规律，然后解答下列问题：…·2021+1；(2)设===，，的大小关系．【答案】(1)2020(2)>>【分析】（1）根据题意将式子先化简，再运用平方差公式求解即可；（2）根据题意将a，b，c求出来，再进行二次根式的大小比较即可．【详解】（1）根据题意可得，原式=2−1+3−2+…+2021−2020·2021+1=2021−1·2021+1=2021−1=2020；（2）根据题意可得，==3+2，==2+3，==5+2，∵2<2，∴3+2<2+3，即<，∵5>3，∴2+3<2+5，即<，∴>>．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算和平方差公式，正确的理解题意是解决本题的关键．<<m的个数是．【变式4-3】（2023春·【答案】7【分析】先将前后二次根式化为最简二次根式，再进行估值，根据估值确定m的个数．【详解】解：∵2≈1.414，5≈2.236，=（2-1（2-1）≈3.312=3+5）8×（3+5）4=2（3+5）≈10.472，m∴3.312<m<10.472，∵3.3121与10.472之间的整数有4、5、6、7、8、9、10，共7个，∴整数m的个数是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了二次根式的化简以及二次根式的估值，解题的关键是熟练化简二次根式．【题型5已知字母的取值化简求值】【例5】（2023春·云南昭通·八年级统考期末）若x＝3＋22，y＝3－22，求−【答案】0【分析】先运用平方差及完全平方公式进行因式分解，再约分，将分式化到最简即可．−r−K=−−+=0．故当x＝3+22，y＝3−22时，原式=0．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值．运用公式将分子因式分解可使运算简便．由于所求代数式化简之后是一个常数0，与字母取值无关．因而无论x、y取何值，原式都等于0．【变式5-1】（2023春·四川自贡·八年级统考期末）已知=2+1，求代数式3−222+2−1−2的值.【答案】0【分析】把x值带入后，利用完全平方公式和平方差公式计算即可.【详解】当x=2+1时，原式=3−222+12+2−12+1−2=3−223+22+2−12+1−2=32−(22)2+22−1−2=9-8+2-1-2=0【点睛】本题考查了整式的混合运算−化简求值，解题的关键是把x代入求值时利用公式，比较简单．【变式5-2】（2023春·山东临沂·八年级校考期末）已知=2+1，求2K1−−1的值.【分析】根据分式的运算法则将2K1−−1化简，然后将=2+1代入计算即可求出答案．【详解】解：2K1−−1=2−1−(+1)=2−(2−1)−1=1−1当=2+1时，==原式=【点睛】本题考查分式的运算，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．⋅B，再求当==.【变式5-3】（2023春·上海·【答案】xy；1【分析】分子中先提出公因式B进行因式分解，分子分母约去公因式后再利用二次根式乘法进行化简，然后代入数值进行求解即可.⋅Br B=B⋅B=B，=当=【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.【题型6已知条件式化简求值】【例6】（2023春·贵州毕节·八年级校考期末）若，为实数，且=1−4+4−1+12．【答案】22【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵=1−4+4−1+12要有意义，∴1−4≥04−1≥0，∴14≤≤14即=14，∴=1−4+4−1+12=12，∴1，=2++=22．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，正确求出x、y的值是解题的关键．【变式6-1】（2023春·四川乐山·八年级统考期末）已知a、b满足4−+1+−12−9=0，求代数式⋅+−÷−−的值．【答案】3+1【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵4−+1+−12−9=0，4−+1≥0，−12−9≥0，∴4−+1=0，−12−9=0∴4−+1=0−12−9=0．解得=−1=−3．⋅÷−−=−3−1×−3−1−−3÷−−1−−3=3×33+−1+3÷1+3=3+2÷2=3+1．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，解二元一次方程组，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式6-2】（2023春•肥城市期中）已知=为奇数，求(+【答案】43【分析】由二次根式的非负性可确定的取值范围，再根据为奇数可确定的值，然后对原式先化简再代入求值．【详解】解：由分式和二次根式有意义的条件，可得−6≥09−>0，解得6≤<9，且为奇数，∴=7，∴原式=(+=(+1)+1=(+1)(−1)=(7+1)×(7−1)=43．【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件、二次根式的化简求值等知识，解答本题的关键是根据x的取值范围，确定x的值，然后代入求解．【变式6-3】（2023·八年级单元测试）若=2+4++1的值.【答案】2.【分析】已知条件比较复杂，将已知条件变形得出所求式子的结构求值即可.【详解】∵+=，∴2+=∴2=−∴4++1=−2++1=∵>0，∴2+4++1=−++3=2．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，式子较复杂需要先化简条件.【题型7与二次根式有关的整体代入求值问题】【例7】（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考阶段练习）若=5+1，=5−1，求下列代数式的值．(1)2+B(2)2−2【答案】(1)85(2)45【分析】（1）先求解+=25，B=5+15−1=5−1=4，再结合因式分解求解代数式的值即可；（2）先求解+=25，−=2，再结合平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：∵=5+1，=5−1，∴+=25，B=5+15−1=5−1=4，∴2+B=B+=4×25=85；（2）∵=5+1，=5−1，∴+=25，−=2，∴2−2=+−=25×2=45．【点睛】本题考查的是求解代数式的值，二次根式的加减运算，二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键．【变式7-1】（2023春·陕西安康·八年级统考期末）已知=3−7，=3+7，求−的值．【答案】−67【分析】先计算出+s−与B的值，再把−变形为【详解】解：∵=3−7，=3+7，∴+=6,−=−27,B=2,∴−=2−2B===−67．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确进行变形能简化计算．【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）已知a＝2＋1，求a3－a2－3a＋2016的值．【答案】2017【分析】先根据a＝2＋1,可得:a－1＝2,然后利用完全平方公式两边平方可得:(a－1)2＝2,继而可得:a2－2a ＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016=a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解.【详解】解:∵a＝2＋1,∴a－1＝2,∴(a－1)2＝2,即a2－2a＝1,∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017.【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解.【变式7-3】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知+1=7，求下列各式的值；(1)2+12；(2)2−12．【答案】(1)5(2)±21【分析】（1）利用完全平方公式可得2+12=(+1)2−2，即可求解；（2）根据完全平方公式可得(−1)2=(+1)2−4，求得−1=3，然后利用平方差公式计算2−12的值．【详解】（1）解：∵+1=7，∴+=2+2+12=7，∴2+12=5；（2）解：由（1）得2+12=5，∴−=2−2+12=5−2=3，∴−1=±3，又∵2−12=+−∴当−1=3时，2−12=7×3=21，当−1=−3时，2−12=7×(−3)=−21．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值及完全平方公式、平方差公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键．【题型8二次根式混合运算的实际应用】【例8】（2023春·北京海淀·八年级期末）快递公司为顾客交寄的快递提供纸箱包装服务．现有三款包装纸箱，底面规格如下表：型号长宽小号20cm18cm中号25cm20cm大号30cm25cm已知甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，若要将它们合在一个包装箱中寄出，底面摆放方式如左上图，从节约枌料的角度考虑，应选择哪种底面型号的纸箱？请说明理由．【答案】应选择中底面型号的纸箱【分析】先求出甲、乙两件礼品的边长之和为105cm，进而估算出20<105<25<30，由此即可得到答案．【详解】解：应选择中型号的纸箱，理由如下：∵甲、乙两件礼品底面都是正方形，底面积分别为80cm2，180cm2，∴甲、乙两件礼品的边长分别为45cm，65cm，∴甲、乙两件礼品的边长之和为45cm+65cm=105cm，∵400<500<625<900，∴20<105<25<30，∴只有中型号和大型号两个型号可供选择，∵25×20<30×25，∴从节约枌料的角度考虑，应选择中底面型号的纸箱．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，正确估算出甲、乙两件礼品的边长之和的范围是解题的关键．【变式8-1】（2023春·广东汕头·八年级校联考期末）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【变式8-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）（1）用“=”、“>”、“<”填空：4+324×3，1+165+525×5．（2）由（1）中各式猜想+与2B(≥0，≥0)的大小关系，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为2002的花圃，所用的篱笆至少是多少米？【答案】（1）>，>，=；（2）+≥2B(≥0，≥0)；（3）40米【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想+≥2B；比较大小，可以作差，根据完全平方公式进行计算，问题得证；（3）设花圃的长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为（a＋2b）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．【详解】解：（1）∵4+3=7,24×3=43∴72=49,(43)2=48∵49>48∴4+3>24×3∵1+16=7=<1∴1+16>×6∵5+5=10,25×5=10,∴5+5=25×5故答案为：＞，＞，＝．（2）+≥2B理由如下：当m≥0，n≥0时，∵(−p2≥0∴(p2−2⋅+(p2≥0∴−2B+≥0∴+≥2B（3）设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S＝ab＝200，根据（2）的结论可得：+2≥2⋅2=22B=22×200=40．∴篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．【变式8-3】（2023春·江苏·八年级专题练习）甲容器中装有浓度为a的果汁40kg，乙容器中装有浓度为b 的果汁90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后=90m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为40akg，乙容器中纯果汁含量为90bkg，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，40=整理得，610a-610b=5ma-5mb，∴610（a-b）=5m（a-b），∴m【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．【题型9二次根式的新定义类问题】【例9】（2023春·贵州黔西·八年级校考阶段练习）我们规定用，表示数对，给出如下定义：记==（0，>0，与，称为数对，的一对“对称数对”．例如：4，1的一对“对称数对”1与1(1)数对25，4的一对“对称数对”是______和______；(2)若数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；(3)若数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，求的值．【答案】(1)(15，2)和(2，15)(2)=13(3)=1=即可；【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入=（2）(3，y)）的一对“对称数对”（3）将数对，2的一对“对称数对”=1，解出x即可．=15，4=2，【详解】（1∴数对25，4的一对“对称数对”是(15，2)和(2，15)．故答案为：(15，2)和(2，15)；（2）∵数对3，的一对“对称数对”的两个数对相同，=，解得：=1；=（3∴数对，2的“对称数对”分别为，2)和(2，．∵数对，2的一对“对称数对”的其中一个数对是2，1，=1，解得：=1．【点睛】本题考查新定义题型，严格按照新定义要求，结合学过的相关知识根据题意列方程求解是解决问题的关键．【变式9-1】（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若两个二次根式a，b满足⋅=，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．(1)若a与2是关于4的共轭二次根式，求a的值；(2)若2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，求m的值．【答案】(1)22(2)-2【分析】（1）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案；（2）根据共轭二次根式的定义建立等式，即可得到答案．【详解】（1）∵a与2是关于4的共轭二次根式，∴2=4．=22．∴=（2）∵2+3与4+3是关于2的共轭二次根式，∴2+3⋅4+3=2．==4−23．∴4+3=∴=−2．【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算．【变式9-2】（2023春·重庆涪陵·八年级统考期末）对于任意实数m，n，若定义新运算⊗=−≥,+<，给出三个说法：①18⊗2=22；②11⊗2+12⊗3+13⊗4+⋅⋅⋅+199⊗100=100⊗1；③⊗⋅⊗=−．以上说法中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【分析】利用新定义进行计算逐一判断即可．【详解】解：∵18>2，∴18⊗2=18−2=32−2=22，所以①正确；11⊗212⊗313⊗4199⊗100=1+23+4+⋯+=2−1+3−2+⋯+100−99=100−1=100⊗1所以②正确；当≥时，⊗⋅⊗=−+=−=−，当<时，⊗⋅⊗=+−=−=−，所以③正确；故正确的为①②③，有3个，故选D．【点睛】本题考查新定义，二次根式的混合运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键．【变式9-3】（2023春·北京·八年级校考阶段练习）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么2±2B+2=|±U．如何将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(2)2=(3±2)2完全平方的形式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±2得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若′={o>0)−o<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2,−3)的“横负纵变点”为______，点(−33,−2)的“横负纵变点”为______；(2)化简：7+210；(3)已知a为常数（1≤a≤2），点M（−2，m）且=(+2−1+−2−1)，点′是点M的“横负纵变点”，求点′'的坐标．【答案】(1)（2，−3）；（−33，2）(2)5+2(3)（﹣2，﹣2）【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可；（2）根据材料一，双重二次根式的化简，将7+210化为(5)2+210+(2)2，再根据2±2B+2=(±p2，即可化简；（3）根据1≤≤2，得−1−1≤0；将=2(+2−1+−2−1)化简得=((−1+1)2+(−1−1)2；根据2±2B+2=|±U，得=(|−1+1|+|−1−1|，求出的值，求出的坐标，根据横负纵变点”的定义，′={o>0)−o<0)，即可求出′的坐标．【详解】（1）∵2>0∴点（2，−3）的“横负纵变点”为（2，−3）∵−33<0∴点（−33，−2）的“横负纵变点”为（−33，2）故答案为：（2，−3）；（−33，2）．（2）7+210=(5)2+210+(2)2=(5+2)2=5+2∴7+210化简得：5+2．（3）∵1≤≤2∴0≤−1≤2−1∴0≤−1≤1∴0≤−1≤1∴−1−1≤0∵=2(+2−1+−2−1)=((−1)2+2−1×1+12+(−1)2−2−1×1+12)((−1+1)2+(−1−1)2==(|−1+1|+|−1−1|)∴=∴=∴点（−2，2）∵−2<0∴′（−2，−2）故′的坐标为：（−2，−2）．【点睛】本题考查了二次根式的加减，新定义等知识，解题的关键是理解新定义公式，化简最简二次根式．【题型10二次根式的阅读理解类问题】【例10】（2023春·江苏·八年级期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22．善于思考的小明进行了以下探索：设+2=+22（其中a、b、m、n均为整数），则有+2=2+22+2B2．∴=2+22，=2B．这样小明就找到了一种把类似+2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a、b、m、n均为正整数时，若+3=+32，用含m、n的式子分别表示a、b，得：=，=；(2)利用所探索的结论，请找一组正整数a、b、m、n填空：=+32；(3)若−65=−52且a、m、n均为正整数，求a的值．【答案】(1)2+32，2B(2)13，4，1，2(3)14或46【分析】（1）根据上面的例子，将+32，按完全平方展开，可得出答案；（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；（3）将−52展开得出2−25B+52，由题意得B=3，2+52=，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．【详解】（1）解：∵+3=+32，∴+3=2+32+2B3，∴=2+32，=2B；故答案为：2+32，2B．（2）由（1）可得=13，=4，=1，=2；故答案为：13，4，1，2．（3）∵−65=−52，∴+5=2+52+2B5，∴B=3，2+52=，∵a、m、n均为正整数，∴=3，=1，=14或=1，=3，=46；故答案为：14或46．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，分析所给的材料进行解答是解题的关键．==3−23−2=【变式10-1】（2023春·江西赣州·八年级统考期中）3−2，像上述解题过程中，3+2与3−2相乘的积不含二次根式，我们可以将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．解答下面的问题：(1)=___________；若n=___________．(2)×2022+1；(3)3+15+3+⋅⋅⋅+2022×2024+1．【答案】(1)2−1；4−3（或2−3)；+1−(2)2021(3)2023【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式，再化简整理即可；（2）将括号内每一项都进行分母有理化，再相消，整理之后利用平方差公式求解即可；（3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答．===2−1=2−1；【详解】（1=43（或2−3)；+1−；（22+1+3+2…+2022+20212022+1=2−1+3−2+…+2022−20212022+1=2022−12022+1=2022−1=202120241（3=331+35−3+⋅⋅⋅+2024×2024+1 =3−1+5−3+⋅⋅⋅+2024−20222024+1=2024−12024+1=2023．【点睛】本题主要考查分母有理化，二次根式混合运算，解题的关键是理解材料中分母有理化的方法并应用方法解决问题．【变式10-2】（2023春·八年级单元测试）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：7−6==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较7−6和6−5的大小．可以先将它们分子有理化如下：7−6=7+66−5=6+5因为7+6>6+5，所以7−6<6−5．再例如：求=+2−−2的最大值．做法如下：解：由+2≥0,−2≥0可知≥2，而=+2−−2=当=2时，分母+2+−2有最小值2，所以y的最大值是2．解决下述问题：（1）比较32−4和23−10的大小；（2）求=1−+1+−的最大值和最小值．【答案】（1）32−4<23−10；（2）的最大值为2，最小值为2−1．【分析】（1）利用分子有理化得到32−4=23−10=然后比较32+4和23+10的大小即可得到32−4与23−10的大小；（2）利用二次根式有意义的条件得到0⩽N1，而=1−=01+r1，1−有最大值1得到所以的最大值；利用当=1有最小值2−1，1−有最小值0得到的最小值．【详解】解：（1）32−4==23−10=3+10=而32>23，4>10，∴32+4>23+10，∴32−4<23−10；（2）由1−O0，1+O0，O0得0⩽N1，=1−+1+−J1−+∴当=0时，1++有最小值，则1，此时1−有最大值1，所以的最大值为2；当=1时，1++有最大值，有最小值2−1，此时1−有最小值0，所以的最小值为2−1．【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．【变式10-3】（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）阅读材料：①我们知道：式子+1的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−1的点之间的距离，且+1＝(+1)2；②把根式±2进行化简，若能找到两个数m、n，是2+2=且B=，则把x±2变成2+2±2B=±2开方，从而使得±2化简．如：3+22＝1+22+2＝12+2×1×2+22＝1+22＝1+=1+2；(1)化简：5+26．(2)5+26+7+212+9+45(3)直接写出代数式2+2+5+2−22+130的最小值为．【答案】(1)2+3(2)5−1(3)5【分析】（1）先将根号下的数变形为完全平方公式格式，再化简即可；（2）先将各个分母化为完全平方公式格式，再分母有理化，最后合并即可得出答案；（3）先根据完全平方公式化简，再根据非负数的性质得出+12+4≥4，−112+9≥9，即可求出最小值．【详解】（1）5+26=2+26+3=22+2×2×3+32=2+32=2+3=23（2===2+1=2−1+3−2+4−3+5−4 =5−1（3）2+2+5+2−22+130=2+2+1+4+2−22+121+9=+12+4+−112+9。

第十六章 二次根式16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念01 基础题知识点1 二次根式的定义1．下列式子不是二次根式的是( B )A . 5B .3－π C.0.5 D.132．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A .－7 B .3m C .1＋x 2 D .2x3．已知a 是二次根式，则a 的值可以是( C )A ．－2B ．－1C ．2D ．－54．若－3x 是二次根式，则x 的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．知识点2 二次根式有意义的条件5．x 取下列各数中的哪个数时，二次根式x －3有意义(D )A ．－2B ．0C ．2D ．46．(2017·广安)要使二次根式2x －4在实数范围内有意义，则x 的取值范围是(B)A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ＜2D ．x ＝27．当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)－x ；解：由－x ≥0，得x ≤0.(2)2x ＋6；解：由2x ＋6≥0，得x ≥－3.(3)x 2；解：由x 2≥0，得x 为全体实数．(4)14－3x； 解：由4－3x>0，得x<43.(5) x －4x －3. 解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，x －3≠0 得x ≥4.知识点3 二次根式的实际应用8．已知一个表面积为12 dm 2的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A ．1 dm B. 2 dmC. 6 dm D ．3 dm9．若一个长方形的面积为10 cm 2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为，02 中档题10．下列各式中：①12；②2x ；③x 3；④－5.其中，二次根式的个数有(A ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．(2017·济宁)若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C)A ．x ≥12B ．x ≤12C ．x ＝12D ．x ≠12 12．使式子1x ＋3＋4－3x 在实数范围内有意义的整数x 有(C ) A ．5个B ．3个C ．4个D ．2个13．如果式子a ＋1ab有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a ，b)的位置在(A) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 14．使式子－（x －5）2有意义的未知数x 的值有1个．15．若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是3或－2．16．要使二次根式2－3x 有意义，则x 的最大值是23． 17．当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)32x －1； 解：x>12.(2)21－x；解：x≥0且x≠1.(3)1－|x|；解：－1≤x≤1.(4)x－3＋4－x.解：3≤x≤4.03综合题18．已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋3a－6＋32－a，求此三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2时，符合实际情况，4×2＋2＝10.∴此三角形的周长为10.第2课时 二次根式的性质01 基础题知识点1 a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数m ，n 满足|n －2|＋m ＋1＝0，则m ＋2n 的值为3．2．当x ＝2__017时，式子2 018－x －2 017有最大值，且最大值为2__018．知识点2 (a )2＝a (a ≥0)3．把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5 (2)3.4(3)16＝ (4)x ≥0)． 4．计算：( 2 018)2＝2__018．5．计算： (1)(0.8)2；解：原式＝0.8.(2)(－34)2； 解：原式＝34.(3)(52)2；解：原式＝25×2＝50.(4)(－26)2.解：原式＝4×6＝24.知识点3 a 2＝a (a ≥0)6．计算（－5）2的结果是(B )A ．－5B ．5C ．－25D ．257．已知二次根式x 2的值为3，那么x 的值是(D)A ．3B ．9C ．－3D ．3或－38．当a ≥0时，化简：9a 2＝3a ．9．计算：(1)49；解：原式＝7.(2)（－5）2；解：原式＝5.(3)（－13）2； 解：原式＝13.(4)6－2.解：原式＝16.知识点4 代数式10．下列式子不是代数式的是(C )A ．3xB .3xC ．x>3D ．x －311．下列式子中属于代数式的有(A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦x 2＋1；⑧x ≠2.A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个02 中档题12．下列运算正确的是(A ) A ．－（－6）2＝－6B ．(－3)2＝9C .（－16）2＝±16D ．－(－5)2＝－2513．若a ＜1，化简（a －1）2－1的结果是(D )A ．a －2B ．2－aC ．aD ．－a14．(2017·枣庄)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a －b ）2的结果是(A )A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b15．已知实数x ，y ，m 满足x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且y 为负数，则m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616．化简：（2－5）217．在实数范围内分解因式：x 2－518．若等式（x －2）2＝(x －2)2成立，则x 的取值范围是x ≥2．19．若a 2＝3，b ＝2，且ab ＜0，则a －b ＝－7．20．计算：(1)－2（－18）2； 解：原式＝－2×18＝－14.(2)4×10－4；解：原式＝2×10－2.(3)(23)2－(42)2； 解：原式＝12－32＝－20.(4)（213）2＋（－213）2.解：原式＝213＋213＝423.21．比较211与35的大小．解：∵(211)2＝22×(11)2＝44， (35)2＝32×(5)2＝45，又∵44＜45，且211＞0，35＞0，∴211＜3 5.22．先化简a ＋1＋2a ＋a 2，然后分别求出当a ＝－2和a ＝3时，原代数式的值．解：a ＋1＋2a ＋a 2＝a ＋（a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当a ＝－2时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1；当a ＝3时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7.03 综合题23．有如下一串二次根式： ①52－42；②172－82；③372－122；④652－162…(1)求①，②，③，④的值；(2)仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式； (3)仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简．解：(1)①原式＝9＝3.②原式＝225＝15.③原式＝ 1 225＝35.(3)第个二次根式为（4n2＋1）2－（4n）2.化简：（4n2＋1）2－（4n）2＝（4n2－4n＋1）（4n2＋4n＋1）＝（2n－1）2（2n＋1）2＝(2n－1)(2n＋1)．16.2 二次根式的乘除第1课时 二次根式的乘法01 基础题知识点1 a·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)1．计算2×3的结果是(B )A . 5B . 6C ．2 3D ．3 22．下列各等式成立的是(D ) A ．45×25＝8 5 B ．53×42＝20 5C ．43×32＝7 5D ．53×42＝20 63．下列二次根式中，与2的积为无理数的是(B )A .12B .12C .18D .32 4．计算：8×12＝2． 5．计算：26×(－36)＝－36．6．一个直角三角形的两条直角边分别为a ＝2 3 cm ，b ＝3 6 cm ，那么这个直角三角形的面积为2.7．计算下列各题：(1)3×5； (2)125×15； 解：原式＝15. 解：原式＝25＝5.(3)(－32)×27； (4)3xy·1y. 解：原式＝－62×7 解：原式＝3x. ＝－614.知识点2 ab ＝a·b (a ≥0，b ≥0)8．下列各式正确的是( D )A .（－4）×（－9）＝－4×－9B .16＋94＝16×94C .449＝4×49D .4×9＝4×9 9．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是32的结果是( C ) A . 6 B .12 C .18 D .3610．化简（－2）2×8×3的结果是(D )A ．224B ．－224C ．－4 6D ．4 611．化简：(1)100×36＝60；(2)2y312．化简：(1)4×225；解：原式＝4×225＝2×15＝30.(2)300；解：原式＝10 3.(3)16y；解：原式＝4y.(4)9x2y5z.解：原式＝3xy2yz.13．计算：(1)36×212；解：原式＝662×2＝36 2.(2)15ab2·10ab.解：原式＝2a2b＝a2b.02中档题14.50·a的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)A．1 B．2 C．3 D．515．已知m＝(－33)×(－221)，则有(A)A．5＜m＜6 B．4＜m＜5C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5 16．若点P(a，b)在第三象限内，化简a2b2的结果是ab．17．计算：(1) 75×20×12；解：原式＝25×3×4×5×3×4＝60 5.(2)（－14）×（－112）；＝2×72×42＝28 2.(3) －32×45×2；解：原式＝－3×16×2 2＝－96 2.(4)200a 5b 4c 3(a ＞0，c ＞0)． 解：原式＝2×102·（a 2）2·a ·（b 2）2·c 2·c＝10a 2b 2c 2ac.18．交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16df ，其中v 表示车速(单位：km /h )，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m )，f 表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？(结果精确到0.01 km /h ) 解：当d ＝20 m ，f ＝1.2时，v ＝16df ＝16×20×1.2＝1624＝326≈78.38.答：肇事汽车的车速大约是78.38 km /h .19．一个底面为30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为x cm ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝30×30×2，x ＝30×30×2＝30 2.答：铁桶的底面边长是30 2 cm.03 综合题 20. (教材P 16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c.记：p ＝a ＋b ＋c 2，则三角形的面积S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为“海伦公式”．思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.解：∵AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，∴p ＝a ＋b ＋c 2＝7＋5＋82＝10. ∴S ＝p （p －a ）（p －b ）（p －c ）＝10×（10－7）×（10－5）×（10－8）＝10×3×5×2＝10 3.∴李大爷这块菜地的面积为10 3 m 2.第2课时 二次根式的除法01 基础题知识点1 a b ＝a b (a ≥0，b ＞0)1．计算：10÷2＝(A ) A . 5B ．5C .52D .102 2．计算23÷32的结果是(B ) A ．1B .23C .32D ．以上答案都不对 3．下列运算正确的是(D )A .50÷5＝10B .10÷25＝2 2C .32＋42＝3＋4＝7D .27÷3＝3 4．计算：123＝2． 5．计算：(1)40÷5； (2)322； 解：原式＝8＝2 2. 解：原式＝4.(3)45÷215； (4)2a 3b ab(a>0)． 解：原式＝ 6. 解：原式＝2a.知识点2a b ＝a b(a ≥0，b ＞0) 6．下列各式成立的是(A ) A .－3－5＝35＝35 B .－7－6＝－7－6C .2－9＝2－9D .9＋14＝9＋14＝3127．实数0.5的算术平方根等于(C ) A ．2B . 2C .22D .12 8．如果（x －1x －2）2＝x －1x －2，那么x 的取值范围是(D )A ．1≤x ≤2B ．1＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＞2或x ≤19．化简： (1)7100； 解：原式＝7100＝710.(2)11549； 解：原式＝6449＝6449＝87.(3)25a 49b 2(b>0)． 解：原式＝25a 49b 2＝5a 23b.知识点3 最简二次根式10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C )A .13B .0.3C . 3D .2011．把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5；解：原式＝52＝102.(2)85； 解：原式＝2510.(3)122； 解：原式＝232＝ 3.(4)2340. 解：原式＝232×20＝13×20＝13×25 ＝530.02 中档题12．下列各式计算正确的是(C ) A .483＝16B .311÷323＝1C .3663＝22D .54a 2b 6a ＝9ab 13．计算113÷213÷125的结果是(A ) A .27 5B .27C . 2D .27 14．在①14；②a 2＋b 2；③27；④m 2＋1中，最简二次根式有3个．15．如果一个三角形的面积为15，一边长为3，那么这边上的高为16．不等式22x －6＞0的解集是x ＞2 17．化简或计算：(1)0.9×121100×0.36； 解：原式＝9×12136×10＝32×11262×10＝336110 ＝336×1010＝111020.(2) 12÷27×(－18)；解：原式＝－12×1827 ＝－4×3×2×93×9＝－2 2.(3)27×123； 解：原式＝3×9×123 ＝3×2 3＝6 3.(4)12x÷25y. 解：原式＝(1÷25)12x÷y ＝5212xy y 2 ＝53xy y.18．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝18 cm 2，BC ＝ 3 cm ，AB ＝3 3 cm ，CD ⊥AB 于点D.求AC ，CD 的长．解：∵S △ABC ＝12AC·BC ＝12AB·CD ，∴AC ＝2S △ABC BC ＝2183＝26(cm )，CD ＝2S △ABCAB ＝21833＝236(cm )．03 综合题19．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题． 化简：a b －a b 3－2ab 2＋a 2ba (b<a<0)．解：原式＝ab －a b （b －a ）2a ①＝a （b －a ）b －a ba ②＝a·1a ab ③＝ab.④(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；(2)错误的原因是什么？(3)请你写出正确的解法．解：(2)∵b<a ，∴b －a<0.∴(b －a)2的算术平方根为a －b.(3)原式＝a b －ab （b －a ）2a ＝a b －a ·(a －b)b a＝－a·(－1aab) ＝ab.16.3 二次根式的加减第1课时 二次根式的加减01 基础题知识点1 可以合并的二次根式1．(2016·巴中)下列二次根式中，与3可以合并的是(B )A .18B .13C .24D .0.32．下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B ) A .12－ 2B .18－8C .8a 2＋2aD .x 2y ＋xy 23．若最简二次根式2x ＋1和4x －3能合并，则x 的值为(C )A ．－12B .34C ．2D ．54．若m 与18可以合并，则m 的最小正整数值是(D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点2 二次根式的加减5．(2016·桂林)计算35－25的结果是(A )A . 5B ．2 5C ．3 5D ．6 6．下列计算正确的是(A )A .12－3＝ 3B .2＋3＝ 5C ．43－33＝1D ．3＋22＝5 27．计算27－1318－48的结果是(C ) A ．1 B ．－1 C ．－3－ 2 D .2－ 38．计算2＋(2－1)的结果是(A)A ．22－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 29．长方形的一边长为8，另一边长为50，则长方形的周长为10．三角形的三边长分别为20 cm ，40 cm ，45 cm ，. 11．计算：(1)23－32； 解：原式＝(2－12) 3 ＝332.(2)16x ＋64x ；＝(4＋8)x＝12x.(3) 125－25＋45；解：原式＝55－25＋3 5 ＝6 5.(4)(2017·黄冈)27－6－1 3.解：原式＝33－6－3 3＝833－ 6.02中档题12．若x与2可以合并，则x可以是(A) A．0.5 B．0.4C．0.2 D．0.1 13．计算|2－5|＋|4－5|的值是(B) A．－2 B．2C．25－6 D．6－2 514．计算412＋313－8的结果是(B)A.3＋ 2B. 3C.33 D.3－ 2习题解析15．若a ，b 均为有理数，且8＋18＋18＝a ＋b 2，则a ＝0，b ＝214.16．已知等腰三角形的两边长分别为27和55，则此等腰三角形的周长为 17．在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为18.计算： (1)18＋12－8－27；解：原式＝32＋23－22－3 3＝(32－22)＋(23－33) ＝2－ 3.(2) b 12b 3＋b 248b ；解：原式＝2b 23b ＋4b 23b＝6b 23b.(3)(45＋27)－(43＋125)； 解：原式＝35＋33－233－5 5 ＝733－2 5.(4) 34(2－27)－12(3－2)． 解：原式＝342－943－123＋122 ＝(34＋12)2－(94＋12) 3 ＝542－114 3.19．已知3≈1.732，求(1327－413)－2(34－12)的近似值(结果保留小数点后两位)． 解：原式＝3－433－3＋4 3 ＝833≈83×1.732≈4.62.03综合题20．若a，b都是正整数，且a＜b，a与b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，使a＋b＝75？若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由．解：∵a与b是可以合并的二次根式，a＋b＝75，∴a＋b＝75＝5 3.∵a<b，∴当a＝3，则b＝48；当a＝12，则b＝27.第2课时 二次根式的混合运算01 基础题知识点1 二次根式的混合运算1．化简2(2＋2)的结果是(A )A ．2＋2 2B ．2＋ 2C ．4D ．3 22．计算(12－3)÷3的结果是(D )A ．－1B ．－ 3C . 3D ．13．(2017·南京)计算：12＋8×6 4．(2017·青岛)计算：(24＋16)×6＝13．5．计算：40＋55 6．计算：(1)3(5－2)；解：原式＝15－ 6.(2)(24＋18)÷2；解：原式＝23＋3.(3)(2＋3)(2＋2)；解：原式＝8＋5 2.(4)(m ＋2n)(m －3n)．解：原式＝m －mn －6n.知识点2 二次根式与乘法公式7．(2017·天津)计算：(4＋7)(4－7)的结果等于9． 8．(2016·包头)计算：613－(3＋1)2＝－4． 9．计算：解：原式＝12.(2)(2＋3)(2－3)；解：原式＝－1.(3)(5＋32)2.解：原式＝23＋610.10．(2016·盐城)计算：(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．解：原式＝9－7＋22－2＝2 2.02 中档题11．已知a ＝5＋2，b ＝2－5，则a 2 018b 2 017的值为(B )A .5＋2B ．－5－2C ．1D ．－112．按如图所示的程序计算，若开始输入的n 值为2，则最后输出的结果是(C )A ．14B ．16C ．8＋5 2D ．14＋ 2 13．计算：(1)(1－22)(22＋1)；(2)12÷(34＋233)； 解：原式＝12÷(3312＋8312) ＝12÷11312＝23×12113 ＝2411. (3)(46－412＋38)÷22； 解：原式＝(46－22＋62)÷2 2＝(46＋42)÷2 2＝23＋2.(4)24×13－4×18×(1－2)0. 解：原式＝26×33－4×24×1 ＝22－ 2＝ 2.14．计算： (1)(1－5)(5＋1)＋(5－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－2 5＝2－2 5.(2)(3＋2－1)(3－2＋1)．解：原式＝(3)2－(2－1)2＝3－(2＋1－22)＝3－2－1＋2 2＝2 2.15. 已知a ＝7＋2，b ＝7－2，求下列代数式的值：(1)ab 2＋ba 2；(2)a 2－2ab ＋b 2；(3)a 2－b 2. 解：由题意得a ＋b ＝(7＋2)＋(7－2)＝27，a －b ＝(7＋2)－(7－2)＝4，ab ＝(7＋2)(7－2)＝(7)2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b ＋a)＝3×27＝67.(2)原式＝(a —b)2＝42＝16.(3)原式＝(a ＋b)(a —b)＝27×4＝87.03综合题16．观察下列运算：①由(2＋1)(2－1)＝1，得12＋1＝2－1；②由(3＋2)(3－2)＝1，得13＋2＝3－2；③由(4＋3)(4－3)＝1，得14＋3＝4－3；…(1)通过观察你得出什么规律？用含n的式子表示出来；(2)利用(1)中你发现的规律计算：(12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 017＋ 2 016＋12 018＋ 2 017)×( 2 018＋1)．解：(1)1n＋1＋n＝n＋1－n(n≥0)．(2)原式＝(2－1＋3－2＋4－3＋…＋ 2 017－ 2 016＋ 2 018－ 2 017)×( 2 018＋1) ＝(－1＋ 2 018)( 2 018＋1)＝2 017.小专题(一) 二次根式的运算类型1 与二次根式有关的计算1．计算： (1)62×136； 解：原式＝(6×13)2×6 ＝212＝4 3.(2)(－45)÷5145； 解：原式＝－45÷(5×355) ＝－45÷3 5＝－43.(3)72－322＋218； 解：原式＝62－322＋6 2 ＝122－32 2 ＝212 2. (4)(25＋3)×(25－3)．解：原式＝(25)2－(3)2＝20－3＝17.2．计算：(1)334÷(－12123)； 解：原式＝[3÷(－12)]34÷53 ＝－6920 ＝－69×520×5＝－95 5.＝32＋15 2＝18 2.(3)354×(－89)÷7115； 解：原式＝3×(－1)×54×89÷7115 ＝－348÷765＝－3748×56 ＝－6710.(4)(12－418)－(313－40.5); 解：原式＝23－2－3＋2 2 ＝3＋ 2.(5)(32－6)2－(－32－6)2.解：原式＝(32－6)2－(32＋6)2＝18＋6－123－(18＋6＋123)＝－24 3.3．计算：(1)(2 018－3)0＋|3－12|－63； 解：原式＝1＋23－3－2 3＝－2.(2)(2017·呼和浩特)|2－5|－2×(18－102)＋32. 解：原式＝5－2－12＋5＋32 ＝25－1.类型2 与二次根式有关的化简求值4．已知a ＝3＋22，b ＝3－22，求a 2b －ab 2的值．解：原式＝a 2b －ab 2＝ab(a －b)．当a ＝3＋22，b ＝3－22时，原式＝(3＋22)(3－22)(3＋22－3＋22) ＝4 2.5．已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝⎩⎨⎧b （a ≤b ），a 2－b 2（a>b ），求7★(2★3)的值． 解：由题意，得2★3＝ 3. ∴7★(2★3)＝7★3＝7－3＝2.6．已知x ＝2＋3，求代数式(7－43)x 2＋(2－3)x ＋3的值．解：当x ＝2＋3时， 原式＝(7－43)×(2＋3)2＋(2－3)×(2＋3)＋ 3＝(7－43)×(7＋43)＋4－3＋ 3＝49－48＋1＋ 3＝2＋ 3.7．(2017·襄阳)先化简，再求值：(1x ＋y ＋1x －y )÷1xy ＋y 2，其中x ＝5＋2，y ＝5－2. 解：原式＝2x （x ＋y ）（x －y ）·y(x ＋y) ＝2xy x －y . 当x ＝5＋2，y ＝5－2时， 原式＝2（5＋2）（5－2）5＋2－5＋2＝12.8．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考(1)当a ，b ，m ，n 均为正整数时，若a ＋b 3＝(m ＋n 3)2，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a ，b ，m ，n 填空：4＋(1＋2；(答案不唯一)(3)若a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a ，m ，n 均为正整数，求a 的值．解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m 2＋3n 2，4＝2mn. ∵2mn ＝4，且m ，n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2.∴a ＝7或13.章末复习(一) 二次根式01 基础题知识点1 二次根式的概念及性质1．(2016·黄冈)在函数y ＝x ＋4x中，自变量x 的取值范围是(C) A ．x >0 B ．x ≥－4C ．x ≥－4且x ≠0D ．x >0且x ≠－42．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B) A.10 B.8C. 6D. 23．若xy ＜0，则x 2y 化简后的结果是(D )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点2 二次根式的运算4．与－5可以合并的二次根式的是(C )A .10B .15C .20D .255．(2017·十堰)下列运算正确的是(C )A .2＋3＝ 5B ．22×32＝6 2C .8÷2＝2D ．32－2＝3 6．计算5÷5×15所得的结果是1． 7．计算：(1)(2017·湖州)2×(1－2)＋8； 解：原式＝2－22＋2 2＝2.(2)(43＋36)÷23；解：原式＝43÷23＋36÷2 3＝2＋322.(3)1232－275＋0.5－3127； 解：原式＝22－103＋22－33＝(2＋12)×2＋(－10－13)× 3 ＝52－31 3.＝9×2－4×3＝6.知识点3 二次根式的实际应用8．两个圆的圆心相同，它们的面积分别是25.12和50.24.求圆环的宽度d.(π取3.14，结果保留小数点后两位)解：d ＝50.243.14－25.123.14＝16－8＝4－2 2≈1.17.答：圆环的宽度d 约为1.17.02 中档题9．把－a －1a中根号外面的因式移到根号内的结果是(A ) A .－a B ．－ a C ．－－aD . a 10．已知x ＋1x ＝7，则x －1x的值为(C) A. 3B ．±2C ．± 3 D.711．在数轴上表示实数a 的点如图所示，化简（a －5）2＋|a －2|的结果为3．12．(2016·青岛)计算：32－82＝2． 13．计算：(3＋2)3×(3－2)3＝－1． 14．已知x ＝5－12，则x 2＋x ＋1＝2． 15．已知16－n 是整数，则自然数n 所有可能的值为0，7，12，15，16．16．计算：(1)(3＋1)(3－1)－16＋(12)－1； 解：原式＝3－1－4＋2＝0.(2)(3＋2－6)2－(2－3＋6)2.解：原式＝(3＋2－6＋2－3＋6)×(3＋2－6－2＋3－6)＝22×(23－26)＝46－8 3.17．已知x ＝3＋7，y ＝3－7，试求代数式3x 2－5xy ＋3y 2的值．解：当x ＝3＋7，y ＝3－7时，3x 2－5xy ＋3y 2＝3(x 2－2xy ＋y 2)＋xy＝3(x －y)2＋xy＝3(3＋7－3＋7)2＋(3＋7)×(3－7)＝3×28－4＝80.18．教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为800 cm 2，另一张面积为450 cm 2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m 长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金彩带？(2≈1.414，结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为800 cm ，450 cm . 镶壁画所用的金彩带长为4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为1.2 m＝120 cm＜197.96 cm，所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)．故还需买约78 cm长的金彩带．03综合题19．已知a，b，c满足|a－8|＋b－5＋(c－18)2＝0.(1)求a，b，c的值；(2)试问以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得a－8＝0，b－5＝0，c－18＝0，即a＝22，b＝5，c＝3 2.(2)∵22＋32＝52＞5，∴以a，b，c为边能构成三角形．三角形的周长为22＋32＋5＝52＋5.。

=7.
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数学RJ八下16.3节作业帮
2.计算：（1）( 12 + 5 8) × 3 .（2）(5 3 + 2 5)2 .
解：（1）原式= 2 3 + 10 2 × 3
=2 3 × 3+10 2 × 3
=6+10 6.
（2）原式= (5 3)2 +2 × 5 3 × 2 5 + (2 5)2
16.3 二次根式的加减
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做
最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
二次根式化成最简二次根式的
1.分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方
数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的
B选项 63 2 = ab 6.
C选项
2
3
=
2× 3
3× 3
=
6
.
3
C. 3
D.
2
3
将下列二次根式化成最简二次根式：
0.5 =
1
1
= =
2
2
2
2
= .
2× 2
2
当小数无法开方时，
将它转化为分数.
83 = 42 ⋅ 2= 42 · 2= 2a 2.
44 =
8dm2 和 18dm2 的正方形木板？
7.5dm
面 积 为 8dm2 和
18dm2的正方形的
5dm
边 长 分别 是 多少 ？
8dm2
18dm2
解：因为 8 = 2 2 ， 18 = 3 2 ，

专题16.3 二次根式的加减【教学目标】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【教学重难点】1、同类二次根式2、二次根式的加减运算3、二次根式的混合运算4、分母有理化5、二次根式的应用【知识亮解】知识归纳：1、二次根式的加减二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．二次根式的加减步骤：①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．③合并被开方数相同的二次根式．2、二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．①与实数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个单项式，多个不同类的二次根式的和可以看作多项式．（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式或整式．（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3、二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法．亮题一：同类二次根式1．（2021·）B C DA【答案】C【分析】化成最简二次根式，判断是否是同类二次根式即可.【详解】===∴故选C.【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式即化为最简二次根式后，被开方数相同的根式，熟练掌握定义是解题的关键.2．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）A B．C．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，二次根式的乘法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则逐个判断即可．【详解】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的乘法法则，同底数幂的乘法法则以及幂的乘方法则，熟练掌握相关定义及运算法则是解决本题的关键．3．（2021·河南息县·八年级期末）已知最简二次根式a+a，b的值分别为（）A．a＝1，b＝2 B．a＝﹣1，b＝0 C．a＝1，b＝0 D．a＝﹣1，b＝2【答案】C【分析】根据最简二次根式和合并同类二次根式的法则得出方程组，求出方程组的解即可．【详解】∵最简二次根式a+∴12 33a ba b++=⎧⎨-=⎩，解得：a＝1，b＝0，故选：C．【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式，二元一次方程组的解法，掌握这些知识点是关键.4．（2020·河北·育华中学七年级阶段练习）计算|1|2|++的值为（）A．1 B．﹣1 C．1﹣D．﹣1【答案】A【分析】直接利用绝对值的性质分别化简，然后合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式121=．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，正确去掉绝对值，然后合并同类二次根式是解题关键．5．（2021·河北永年·合并，则a的值不可以是（）A．12B．8 C．18 D．28【答案】D【分析】是同类二次根式，是否为同类二次根式即可．【详解】当a=12是同类二次根式，故该项不符合题意；当a=8=当a=18=当a=28故选：D．【点睛】此题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，化简二次根式，正确化简二次根式是解题的关键．6．（2021·全国·）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】到此方程的正整数解的组数有三组．【详解】解：x，y为正整数，====∴113 27x y =⎧⎨=⎩，224812xy=⎧⎨=⎩，331473xy=⎧⎨=⎩，共有三组正整数解．故选：C．【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．7．（2021·全国·八年级专题练习）那么下列各数中，n可以取的数为（）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】是同类二次根式．【详解】解：A2=BC是同类二次根式，正确；D故选：C．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断．8．（2019·同类二次根式的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的概念解答即可．【详解】被开方数相同，故是同类二次根式；2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．9．（2020·全国·x≥0是同类二次根式的个数是（）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】各式化简后，利用同类二次根式定义判断即可．【详解】x≥0）中，（x≥0）共2个，故选B【点睛】本题考查同类二次根式，熟练掌握二次根式的基本性质是解题关键.10．（2020·全国·八年级课时练习）那么a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程组求解．【详解】由题意，得7-2a=3，解得a=2，故选D．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．亮题二：二次根式的加减运算11．（2021·湖南·衡阳市实验中学九年级期中）下列计算正确的是（ ）A B ．3=C 3-D 2= 【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断，根据二次根式的性质对C 进行判断，根据二次根式的除法法则对D 进行判断．【详解】解：A A 选项不符合题意；B ．=B 选项不符合题意；C 3，所以C 选项不符合题意；D 2==，所以D 选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解决问题的关键．12．（2021·上海市罗南中学八年级阶段练习）若0a <，0b <，化简 ）A ．(23-b aB ．(23--b aC ．(23-+b aD ．(23+b a 【答案】C 【分析】a 化简 ，注意0a <，0b <，最后加减运算即可． 【详解】解：223,ab a ab =- 0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+ 故选：C ．【点睛】a是解题关键．13．（2021·江西·南昌市心远中学八年级期末）己知0a ≥，那么下列等式中一定不成立的是（ ）A．0= B．0=C D=【答案】A【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质判断即可．【详解】A.==0a =时0=式子成立，而0a ≠，所以本选项一定不成立；B. 0=，对于任意a 的值都成立；C.20a -≥，解得0a =，此时本选项成立；D.，只有当0a =时成立；故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键． 14．（2021·全国·10=，则x 的值等于（ ） A ．4B ．2±C ．2D ．4±【答案】C【分析】先化简、合并等号左边的二次根式，再将系数化为，继而两边平方，进一步求解可得．【详解】解：原方程化为10=，合并，得2=，即24=x ，∴2x =．故选：C【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．15．（2021·河北沧县·12)2+的结果是（ ）A ．1B 1C ．1D ．3【答案】B【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式1412⨯-21-1． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的加减、绝对值的应用，正确化简各数是解题关键．16．（2021·河北沧县·八年级期中）如图为小明的答卷，他的得分应是（ ）A．40 B．60 C．80 D．100【答案】B【分析】根据二次根式的基本性质及二次根式的运算法则逐个计算即可得答案．【详解】解：1、255=，故该题正确；2、2(2)2-=，故该题正确；3、623÷=，故该题错误；4、233266⨯=，故该题正确；5、92535834a a a a a a+=+=≠，故该题错误，故小明答对3题，答错2题，他的得分是3×20＝60（分），故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的化简及加减乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．17．（2021·湖北十堰·八年级期末）如图，数轴上与1，2对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为点C，设点C表示的数为x，则|x﹣2|＋2x＝（）A2B．2C．2D．2【答案】C【分析】根据题意A点表示的数是B，C两点表示的数的平均数，可求出x的值为22计算，即可得出结论．【详解】解：∵点B 关于点A 的对称点为点C ，∴AB ＝AC ．∴1﹣x 1，解得，x ＝2∴点C 表示的数x 为2∵|x ＝﹣2，2x＝2，∴2＋2，故选：C ．【点睛】本题考查了绝对值的化简、二次根式的化简等知识点．利用对称的性质求出x 的值是解决本题的关键． 18．（2021·河南开封·一模）下列运算正确的是（ ）A ．824x x x ÷=B =C ．()32628a a -=-D ．101(1)32-⎛⎫--=- ⎪⎝⎭ 【答案】C【分析】分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的加法法则，积的乘方运算法则以及零指数幂、负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．【详解】A 、826x x x ÷=原计算错误，不符合题意；B 、 235=+=≠C 、()32628a a -=-正确，符合题意；D 、101(1)1212-⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭原计算错误，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，二次根式的运算，零指数幂、负整数指数幂的运算，熟记二次根式的运算、幂的运算法则是解答本题的关键．19．（2021·北京·九年级专题练习）下列计算正确的是（ ）A ．=B 6=C ．-=D 5=【答案】D【分析】根据二次根式的运算法则和性质进行计算，然后判断即可．【详解】 解：33-=A 错误，不符合题意；选项B B 错误，不符合题意；233-=C 错误，不符合题意；5，故选项D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的运算和性质，解题关键是熟练运用二次根式运算法则准确计算．20．（2021·全国·八年级专题练习）下列运算正确的有（ ）个.①6-=7==2=④⑤=5=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】 根据二次根式的运算法则分别进行计算，计算出正确结果即可作出判断．【详解】①-===①错误.1122===②错误.=22=-2=，故③错误.④==④错误.⑤12=⨯122=⨯24=，故⑤错误.==5=，故⑥正确. ∴①②③④⑤⑥中只有⑥1个正确.故选A.．【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是能熟练运用二次根式的性质和运算法则进行计算．亮题三：二次根式的混合运算21．（2021·重庆一中八年级期中）估计 ） A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间 【答案】A【分析】根据乘法分配律先化简，然后估算即可． 【详解】解：原式1， ∵459，∴23<<，∴112<，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的计算，无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．22．（2021·江西婺源·八年级阶段练习）计算：（3－）2020（3＋）2021的结果是（）A．3－B．3＋C．1 D．2021【答案】B【分析】先根据积的乘方得到原式=（3－2020×（3＋）2020×（3＋）=[(3－(3＋2020×(3＋，然后利用平方差公式计算．【详解】解, 原式=（3－）2020×（3＋）2020×（3＋=[(3－(3＋2020×(3＋=(9-8) 2020×(3＋=3＋故答案为:B【点睛】本题考查了积的乘方，平方差公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力．23．（2021·河北·石家庄市第四十二中学八年级期中）下列运算中正确的是（）A B．C D．）1）=3【答案】C【分析】根据二次根式的运算法则注意判断即可.【详解】解：A不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．C ．6÷2=3，此选项正确；D ．（2+1）（2﹣1）=2﹣1=1，此选项错误；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.24．（2021·河南·郑州外国语学校经开校区八年级阶段练习）如图，数轴上与1，3对应的点分别为A ，B ，点B 与点C 的到点A 的距离相等，设点C 表示的数为x ，则|x ﹣33|+x 2等于（ ）A 3B ．3C ．3D ．5【答案】D【分析】根据题意，以及数轴上的点的位置，求得点C 表示的数，进而求得代数式的值．【详解】数轴上与13A ，B ，点B 与点C 的到点A 的距离相等，设点C 表示的数为x ，311x =-， 解得23x =∴|x ﹣3x 222333(23)=32433=+- 5=．故选D ．【点睛】本题考查了实数与数轴，实数的混合运算，求得点C 表示的数是解题的关键．25．（2021·福建莆田·八年级期末）下列计算中，正确的是（ ）A 358B ．22＝2C ．232D 6÷23【答案】D【分析】根据二次根式的加减法对A、B、C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：AB、2C、与-3不能合并，所以选项不符合题意；D2故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则是解题关键．26．（2021·湖南龙山·八年级期末）下列计算中正确的是（）A=B．3=C．已知a＜0＜b，则|a bD．当a＝2，b＝﹣8，c＝5=【答案】D【分析】先利用二次根式的加减，计算A、B，利用二次根式、绝对值的性质化简C，利用二次根式的混合运算计算D．最后得结论．【详解】=，故选项A错误；≠，故选项B错误；3当a＜0＜b时，||a＝﹣a+b﹣a＝b﹣2a≠﹣b，故选项C错误；当a＝2，b＝﹣8，c＝5D正确．故选：D．【点睛】本题考查了二次根式及绝对值，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则是解决本题的关键．27．（2021·浙江浙江·八年级期末）若使算式○表示的运算符号是（）A．+ B．-C．×D．÷【答案】C【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果，选取结果最大的运算符号即可．【详解】解：因为12,45<<<，所以57；=<；=，89<<；<；1∵>>>“×”的运算结果最大，∴故选：C．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则．28．（2021·广东·中考真题）设6a，小数部分为b，则(2a b的值是（）A．6 B．C．12 D．【答案】A【分析】首先根据10的整数部分可确定a 的值，进而确定b 的值，然后将a 与b 的值代入计算即可得到所求代数式的值． 【详解】 ∵3104<<，∴26103<-<，∴610-的整数部分2a =，∴小数部分6102410b =--=-，∴()()()()()210221041041041016106a b +=⨯+-=+-=-=．故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确确定610-的整数部分a 与小数部分b 的值是解题关键．29．（2021·内蒙古·中考真题）若21x =+，则代数式222x x -+的值为（ ）A ．7B ．4C ．3D ．322- 【答案】C【分析】先将代数式222x x -+变形为()211x -+，再代入即可求解．【详解】解：()()22222=1121113x x x -+-+=+-+=． 故选：C【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题关键，也可将x 的值直接代入计算．30．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在ABC 中，4,45,30,AC B C AD AB =∠=︒∠=︒⊥交BC 于点,D DE 平分ADB ∠交AB 于点E ，则AE 的长为（ ）A ．2B ．22C ．42D ．422-【答案】D【分析】 分别过点A 、E 作AF ⊥BC ，EG ⊥BC ，分别交BC 于点F ，G ，由题意易得AF =2，则有22AB =，设EG =BG =AE =x ，进而可得2EB x =，然后可得222x x +=，最后问题可求解．【详解】解：分别过点A 、E 作AF ⊥BC ，EG ⊥BC ，分别交BC 于点F ，G ，如图所示：∵45,B AD AB ∠=︒⊥，∴△AFB 、△BEG 、△BAD 都为等腰直角三角形，∴EG =BG ，AF =BF =DF ，2,2AB AF BE EG ==，∵4,30AC C =∠=︒，∴122BF AF AC ===， ∴222AB AF ==∵DE 平分ADB ∠，∴EG =AE ，设EG =BG =AE =x ，则有2EB x =，∵AE BE AB +=，222x x +=422x =-∴422AE =-故选D ．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算，熟练掌握等腰直角三角形及含30°直角三角形的性质、角平分线的性质定理及二次根式的运算是解题的关键．亮题四：分母有理化b则a与b的关系是（）31．（2021·江苏·常熟市第一中学八年级阶段练习）已知：aA．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2【答案】C【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出选项．【详解】解：分母有理化，可得a b∴a-b=（-（A选项错误，不符合题意；a+b=（+（=4，故B选项错误，不符合题意；ab=（×（=4-3=1，故C选项正确，符合题意；∵a2=（2b2=（2∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．32．（2021·全国·八年级专题练习）下列二次根式的运算：==，2-；其中运算正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】由二次根式的性质、二次根式的混合运算进行计算，再进行判断，即可得到答案．【详解】=①正确；==②正确；22555=，故③正确；()222-=，故④错误；∴正确的3个；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．33．（2021·全国·八年级专题练习）已知，在ABC中，D是BC边上一点，30,45ABC ADC∠=∠=．若D 是BC边的中点，则ACB∠的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，即可得出CE=DE-CD=()23x，进而得到AE=(23CE，再根据3，CF=2CE，得到AF=AE-EF=2CE=CF，即可得到∠ACE的度数，从而得到结果．【详解】解：如图所示，过A作AE⊥BC于E，在AE上取点F，连接CF，使得∠CFE=30°，设DE=x，∵∠ABE=30°，∠ADE=45°，∴AE=x，3，BD=CD=)31x，∴CE=x-)31x=(23x，∴AECE=23AE=(23CE，又∵Rt△CEF中，3，CF=2CE，∴AF=AE-EF=2CE=CF ，∴∠FAC=∠FCA=12∠CFE=15°，∴∠ACE=∠ACF+∠ECF=15°+60°=75°，∴∠ACB=105°，故选C ．【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．34．（2020·广东·深圳市宝安中学（集团）九年级期中）已知三个数224如果再添加一个数，使这四个数成比例，则添加的数是（ ）． A ．22B ．222 C ．24282．22或42【答案】D【分析】运用比例的基本性质，将所添的数当作比例式a ：b =c ：d 中的任何一项，进行计算即可，【详解】设添加的这个数是x 当224:x =时，242x =2x = 当2:42x =时，242x =2x = 当2:42x =422x =2x = 当22:4x =28x =， 解得42x =故选D ．【点睛】本题考查比例的基本性质，注意写比例式的时候，一定要按照顺序写，顺序不同，结果不同.35．（2021·全国·八年级课时练习）已知a =b ，则a 与b 的大小关系是（ ）． A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法确定 【答案】B【分析】 将a =b =进行分母有理化，再比较即可． 【详解】 解：451451515151a ， 462462626262b ，1<1< ∴a b <．故选B ．【点睛】 本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．36．（2021·全国·八年级课时练习）已知1a =，b =a 与b 的关系为（ ） A ．a b =B ．1ab =C ．=-a bD ．1ab =-【答案】A 【分析】根据分母有理化的知识，即可得解．【详解】解:1a =，b =1，a b ∴=，故选A ．【点睛】本题考查了分母有理化的法则，正确找出有理化因式是解题的关键．37．（2020·河北·八年级期末）若a ，2b =a b 的值为（ ） A ．12B ．14CD 【答案】B【分析】将a 乘以可化简为关于b 的式子, 从而得到a 和b 的关系, 继而能得出a b 的值 【详解】解：4b a === 14a b ∴= 故选：B .【点睛】本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．38．（2020·全国·八年级课时练习）下列结论正确的是（ ）ABC 1=D ．不等式(21x >的解集是(2x >- 【答案】A【分析】根据二次根式的性质、最简二次根式的概念和不等式的解法逐项判断即可.【详解】解：A.B.C.11==，故本选项错误；D. 不等式(21x >的解集(2x -＜，故本选项错误故选A【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是关键.39．（2020·全国·八年级课时练习）已知1a =,b =则a 与b 的关系是（ ） A ．1ab = B ．0a b += C ．1ab =- D ．a b =【答案】D【分析】先化简b 再找关系即可．【详解】b =4∵1a =，∴a b =，故选D. 【点睛】此题考查分母有理化，解题关键在于掌握运算法则.40．（2020·辽宁营口·八年级期中）已知a 2b =则a 与b 的关系是()A ．a b =B ．1ab =C ．=-a bD ．1ab =-【答案】C 【分析】将a 分母有理化，然后求出a+b 即可得出结论．【详解】解：2a ====∴()220a b +=-+=∴=-a b故选C ．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握分母有理化是解决此题的关键．亮题五：二次根式的应用41．（2021·湖北利川·八年级期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为218cm和232cm的两个小正方形，则剩余部分（阴影部分）的面积等于（）A．260cm C．298cm B．238cm48cm D．2【答案】C【分析】如图，由题意知S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)，得BC=32=42（cm），HG=18=32（cm），进而求得S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF．【详解】解：如图．由题意知：S正方形BCDM＝BC2＝32(cm2)，S正方形HMFG＝HG2＝18(cm2)．∴BC32=42cm），HG18=32cm）．∵四边形BCDM是正方形，四边形HMFG是正方形，∴BC=BM=MD2，HM=HG=MF2cm．∴S阴影部分=S矩形ABMH+S矩形MDEF=BM•HM+MD•MF222×2=48（cm 2）．故选：C ．【点睛】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的化简以及运算是解决本题的关键．42．（2021·福建·厦门市集美区乐安中学八年级阶段练习）若实数x ，y 2440y y -+=，则y x 的值是( )A ．3-B ．19C ．9D ．3【答案】C【分析】直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而得出答案．【详解】解：2440y y -+=，2(2)0y -=，30x ∴+=，20y -=，解得：3x =-，2y =，则2(3)9y x =-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，正确得出x ，y 的值是解题的关键．43．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积S =a ，b ，c 用公式计算出它的面积为（ ）A ．132BCD ．2【答案】B【分析】直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．【详解】∴它的面积是：S =∴S∴S =∴S == 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．44．（2021·河北沧县·八年级期中）我们把形如b （a ，b型无理数，如12是（ ）AB C D【答案】D【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式8=+【详解】解：2358=+=+所以2故选：D ．【点睛】本题考查了完全平方公式在二次根式中的计算，也考查了无理数，熟练掌握完全平方公式及二次根式的运算法则是解决本题的关键．45．（2021·四川江油·八年级期末）已知1a a -=1a a +的值是（ ）A ．23B ．23±C ．23-D ．6±【答案】B【分析】 根据21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭，求21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，即可求得1a a +的值 【详解】解：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 211=+4a a a a ⎛⎫-⋅⋅ ⎪⎝⎭ ()2224=+=12所以，123a a +=±． 故选B ．【点睛】本题考查完全平方公式和二次根式的的运用，解题的关键是21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与21a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭的关系． 46．（2021·辽宁朝阳·八年级期中）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“三角形的面积＝底×高÷2”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求取三角形面积，用现代式子可表示为：S ＝2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦（其中a 、b 、c 为三角形的三条边长，S 为三角形的面积）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝6，AD ＝3，对角线BD ＝5，则平行四边形ABCD 的面积为（ ）A ．11B ．14C ．142D ．72【答案】B【分析】 根据已知条件的公式计算即可；【详解】根据题意可知：a ＝6，b ＝3，c ＝5，∴S ＝2222221()42a b c a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦， ＝216+3563()42-⎡⎤⨯-⎢⎥⎣⎦， ()11844=-， 72=， 142=， ∴△142ABD S =， ∴平行四边形△=214ABCD ABD S S =；故答案选B ．【点睛】 本题主要考查了二次根式的应用，准确分析计算是解题的关键．47．（2021·河北宽城·八年级期末）如图．从一个大正方形中裁去面积为8m 2和18cm 2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（ ）A ．22B ．12cm 2C ．8cm 2D ．24cm 2【答案】D【分析】直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．【详解】解：∵两个小正方形面积为8cm 2和18cm 2，∴=∴大正方形面积为（2=50，∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm 2）故选：D ．【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．48．（2021·江苏·九年级专题练习）已知实数x y ，满足50x -=，则x y ，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．21或18B ．21C ．18D ．以上均不对．【答案】A【分析】根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得 5080x y -=⎧⎨-=⎩ 解得58x y =⎧⎨=⎩1（）若5是腰长，则三角形的三边长为：5、5、8，能组成三角形，周长为55818++=；2（）若5是底边长，则三角形的三边长为：5、8、8，能组成三角形，周长58821++=； 即等腰三角形的周长是21或18．故选：A ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断，根据题意列出方程是正确解答本题的关键．49．（2021·湖南岳阳·八年级期末）如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为216cm 和212cm 的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）2cmA ．1683-B ．1283-+C ．843-D ．423-【答案】B【分析】 先根据正方形的面积公式求出两张正方形纸片的边长，从而可得长方形ABCD 的长与宽，再利用长方形ABCD 的面积减去两个正方形的面积即可得．【详解】面积为216cm 164()cm ，则4CD cm =，面积为212cm 1223()cm =， 则(423)BC cm =+， 因此，图中空白部分面积为21612168316128312()BC CD cm ⋅--=+-=，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确求出两个正方形的边长是解题关键．50．（2021·全国·八年级单元测试）设n ，k 为正整数，A 1(3)(1)4n n +-+，A 21(5)4n A ++A 3＝2(7)4n A ++…A k 1(21)4k n k A -+++A 100＝2005，则n ＝（ ）A ．1806B ．2005C ．3612D ．4011【答案】A【分析】利用多项式的乘法把各被开方数进行计算，然后求出A 1、A 2、A 3的值，从而找出规律并写出规律表达式，再把k ＝100代入进行计算即可求解．∵（n＋3）（n−1）＋4＝n2＋2n−3＋4＝n2＋2n＋1＝（n＋1）2，∴A1n＋1，（n＋5）A1＋4＝（n＋5）（n＋1）＋4＝n2＋6n＋5＋4＝n2＋6n＋9＝（n＋3）2，∴A2n＋3，（n＋7）A2＋4＝（n＋7）（n＋3）＋4＝n2＋10n＋21＋4＝n2＋10n＋25＝（n＋5）2，A3n＋5，…依此类推A k＝n＋（2k−1），∴A100＝n＋（2×100−1）＝2005，解得n＝1806．故选：A．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，对被开方数整理，求出A1、A2、A3，从而找出规律写出规律的表达式是解题的关键．【亮点训练】1．（2021·）A B．C D【答案】D【分析】先将各选项进行二次根式的化简，再根据同类二次根式的概念求解即可．【详解】解：A==B=-C=D=【点睛】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．2．（2021·吉林德惠·a等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【答案】A【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程解即可．【详解】解：∵∴3a=5-2a，解得，a=1．故选：A．【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．3．（2021·江苏昆山·八年级期中）下列运算或叙述正确的是（）A B．4的平方根是C．面积为12的正方形的边长为D±【答案】C【分析】根据合并同类二次根式，平方根，二次根式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A：被开方数不同，不能合并二次根式，故本选项不合题意；B：4的平方根是±2，故本选项不合题意；C：面积为12∴符合题意；D故选：C．本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．4．（2021·河北·＝±2；②立方根是本身的数为0，1；x ＞3；④210.0×104精确到千位，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义逐个分析判断即可【详解】解：2=，故①不正确；②立方根是本身的数为0，±1，故②不正确；③有意义，则x ≥3，故③不正确；④2④正确； ⑤10.0×104100000=∴近似数10.0×104精确到千位，故⑤正确故正确的有④⑤，共计2个故选B【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式有意义的条件，分母有理化，近似数的定义，掌握以上知识是解题的关键．5．（2021·浙江嘉兴·中考真题）能说明命题“若x 为无理数，则x 2也是无理数”是假命题的反例是（ ）A ．1xB ．1x =C ．x =D ．x =【答案】C【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论，所以利用此特征可对各选项进行判断．【详解】解：A 、)221=3x =-。

【变式2-1】（2022春•藁城区校级期中）如果最简二次根式 与 能够合并，那么a的值为（ ）
A．1B．2C．4D．10
【变式2-2】（2022秋•萧县期中）若最简二次根式 与 是可以合并的二次根式，则a的值
为（ ）
A．5B． C．﹣2D．
【变式2-3】（2022秋•揭阳期中）若两个最简二次根式 与2 可以合并，则合并后的结果是（ ）
（2）观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：．
（3）应用运算规律，求a1+a2+a3+…+a20的值．
解题技巧提炼
二次根式的规律探究题主要探究数式，算法，算理的规律，解题的关键在于观察并分析题中所给的运算过程，准确推理，合理猜想，得出一般的规律，然后进行论证，最后运用规律来解决所给的问题.
（1）请仿照上面方法化简a，b；
（2）求代数式2a2﹣5ab+2b2的值．
【例题7】（2022春•孝义市期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（ ）
A．6 cm2B．21cm2C．2 cm2D．4 cm2
解题技巧提炼
利用二次根式的加减法运算俩解决生活中的问题，应先认真分析题意，注意计算的准确性和结果的要求.
表示的数为x，则x 的值为（ ）
A．1 B．1 C． 1D．2
【变式3-5】计算下列各式：
（1） （2）
（3） （4） ．
【变式3-6】计算下列各题：
（1） ；（2）（ 3 ）﹣（ ）．
【例题4】（2022秋•方城县月考）计算：
（1） （﹣1）2018 |2 |；
（2）4 （ ） 1）2．

16.3二次根式的加减人教版2024—2025学年八年级下册一、知识点梳理：1、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式。

20a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称 为最简二次根式．（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．3、二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．4、合并同类二次根式：(a b +．同类二次根式才可加减合并．二、典型例题：例1、把下列各式化成最简二次根式：（1______；（2______；（3______；（4______． 变式1、把下列各式化成最简二次根式：（1 （2（3（4变式2、化简:8)4(12)3(27)2(18)1(例2、（1 ）（2 ）变式1、开方数相同的有 ；的被开方数相同的有 ；的被开方数相同的有 ．变式2、化简后，与2的被开方数相同的二次根式是（ ）．A ．12B ．18C ．41D ．61 变式3、下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式；D. 同类二次根式是根指数为2的根式例3____a =． 变式1、当a ＝ 时，最简二次根式与能够合并．变式2、则______a =。

变式3、若最简二次根式与是同类根式，则2a ﹣b ＝ ．变式4n m 、n 的值．变式5、若a a ，b 的值．变式6、若最简二次根式a 是同类根式，求2b a -的值例3、计算：(1)、3322323--+(2)、453227)2(3250+-+变式1、计算（1； （2； （3）0)13(27132--+-变式2、计算：﹣×＝ ． 例4、计算：（1）． （2）． （3）．变式1、计算：．变式2、计算．（1）；（2）； （3）；变式3、计算：（1）；（2）．变式4、计算．（1）；（2）； （3）；（4）．三、课后练习1=_______2、已知代数式M =M =_______3、下列式子中正确的是（ ）=a b =-C. (a b =-D. 22==4、计算：（1）（2）3118122++-5、计算：（1）；（2）6能合并成一项，求a。