任务七平面图形的几何性质
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初中数学知识点归纳——平面几何图形的性质平面几何图形是初中数学中的重要内容,其中包括了很多与图形性质相关的知识点。
本文将对初中数学中平面几何图形的性质进行详细归纳和介绍。
首先,我们来讨论三角形的性质。
三角形是由三条线段组成的图形,具有以下特点:1. 三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。
2. 三角形的角关系:三角形的三个内角之和为180度,其中每个内角小于180度。
3. 三角形的边对角关系:如果两个三角形的两边及夹角分别相等,则两个三角形全等;而如果两个三角形的两边及其夹角分别相等,则两个三角形相似。
接下来,我们来讨论四边形的性质。
四边形是由四条线段组成的图形,具有以下特点:1. 四边形对角线关系:四边形的对角线互相平分,即对角线的交点处于对角线上的点被平分为两等分。
2. 四边形的内角和关系:四边形的内角和为360度。
3. 平行四边形的性质:平行四边形的对边互相平行且相等,对角线互相平分。
4. 矩形的性质:矩形是一种特殊的平行四边形,有四个直角,对边相等。
5. 正方形的性质:正方形是一种特殊的矩形,有四个相等的边和四个直角。
此外,还有一些其他平面几何图形的性质也需要了解:1. 直线的性质:直线是由无数个点组成的,无宽度和无端点。
两个互不重合的直线在平面上最多只有一个交点。
2. 射线的性质:射线是由一个端点和一个方向所确定的线段,可以延伸到无穷远。
两个射线共线时,它们有一个公共端点。
3. 角的性质:角是由两条射线共享一个端点而形成的图形。
角的大小可以用度数来表示,一个完整的角是360度。
4. 圆的性质:圆是由一组等距离于圆心的点组成的。
圆的周长公式是C=2πr,其中C代表周长,r代表半径。
圆的面积公式是S=πr^2,其中S代表面积。
最后,我们来讨论一下平面几何图形的应用。
在实际生活中,平面几何图形的知识经常被用于解决各种问题,比如测量房屋面积、计算行驶的路径等。
掌握了平面几何图形的性质,可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
任务七 平面图形的几何性质一、填空题1. 图示B H ⨯的矩形中挖掉一个b h ⨯的矩形,则此平面图形的z W =( 2366z BH bh W H=- )。
2. 对图示矩形,若已知x I 、y I 、b 、h ,则11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。
3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴,等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。
4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形,则该图形对y 轴的惯性矩为( 454a )。
5.图形对所有平行轴的惯性矩中,图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。
6.对直径为d 的圆形截面,它的惯性半径为( i=d/4 )。
二、选择题1.在下列关于平面图形的结论中,( D )是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心;B.图形两个对称轴的交点必为形心;C.图形对对称轴的静矩为零;D.使静矩为零的轴为对称轴。
2.在平面图形的几何性质中,( D )的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩B.极惯性矩和惯性矩C.惯性矩和惯性积D.静矩和惯性积。
3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ,则当其长宽比保持不变。
而面积增加1倍时,该矩形对z 的惯性矩将变为( D )。
A. 2IB. 4IC. 8ID. 16I 4.若截面图形有对称轴,则该图形对其对称轴的( A )。
A.静矩为零,惯性矩不为零B.静矩不为零,惯性矩为零C.静矩和惯性矩均为零D.静矩和惯性矩均不为零 5.若截面有一个对称轴,则下列说法中( D )是错误的。
A. 截面对对称轴的静矩为零;B. 对称轴两侧的两部分截面,对对称轴的惯性矩相等;C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零;D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。
6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。
——材料力学教案§A-1 引言不同受力形式下杆件的应力和变形,不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸,而且与杆件截面的几何性质有关。
当研究杆件的应力、变形,以及研究失效问题时,都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。
这些几何量包括:形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等,统称为“平面图形的几何性质”。
研究上述这些几何性质时,完全不考虑研究对象的物理和力学因素,作为纯几何问题加以处理。
§A-2 静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。
在其上取面积微元dA ,该微元在Oxy 坐标系中的坐标为x 、y 。
定义下列积分:⎰=Ax A y S d ⎰=Ay A y S d (A-1)分别称为图形对于x 轴和y 轴的截面一次矩或静矩,其单位为3m 。
如果将dA 视为垂直于图形平面的力,则ydA 和zdA 分别为dA 对于z 轴和y 轴的力矩;x S 和y S 则分别为dA 对z 轴和y 轴之矩。
图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于 图形平面的力,则形心即为合力的作用点。
设C x 、C y 为形心坐标,则根据合力之矩定理⎭⎬⎫==C y C x Ax S Ay S (A-2)或⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎰⎰A ydA AS y A xdA A S x A x CAyC (A-3) 这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。
根据上述定义可以看出:1.静矩与坐标轴有关,同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。
对某些坐标轴静矩为正;对另外某些坐标轴为负;对于通过形心的坐标轴,图形对其静矩等于零。
2.如果已经计算出静矩,就可以确定形心的位置;反之,如果已知形心位置,则可计算图形的静矩。
实际计算中,对于简单的、规则的图形,其形心位置可以直接判断。
例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。
对于组合图形,则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形);然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩,并求其代数和;再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。
平面图形的性质与判定导语:平面图形是几何学中的重要概念,它们具有不同的性质和特点。
本文将探讨平面图形的性质与判定,包括图形的对称性、角度、边长、面积等方面。
通过深入研究这些性质,我们可以更好地理解和应用平面图形。
一、对称性对称性是平面图形的一个重要性质,它可以分为轴对称和中心对称两种。
轴对称是指图形可以通过一条直线进行折叠,两边完全重合。
而中心对称是指图形可以通过一个点进行旋转,旋转180度后与原图形完全一致。
对称性的判定对于解题和构图都有重要意义。
例如,正方形就具有轴对称性。
当我们将正方形沿着中心线折叠时,两边完全重合。
而圆形则具有中心对称性,因为它可以通过旋转180度后与原图形完全一致。
二、角度角度是平面图形的重要性质之一,它可以分为直角、锐角和钝角。
直角是指两条线段相互垂直,形成90度的角。
锐角是指两条线段夹角小于90度,而钝角则是指两条线段夹角大于90度。
通过角度的判定,我们可以确定图形的性质和特点。
例如,在三角形中,如果有一个角是直角,则这个三角形是直角三角形。
如果三个角都是锐角,则这个三角形是锐角三角形。
而如果有一个角是钝角,则这个三角形是钝角三角形。
三、边长边长是平面图形的另一个重要性质,它可以帮助我们判断图形的大小和形状。
例如,在矩形中,如果四条边的长度相等,则这个矩形是正方形。
而如果四条边的长度不相等,则这个矩形是长方形。
另外,边长还可以用来计算图形的周长。
周长是指图形的边界长度,可以通过将所有边长相加来计算。
例如,在正方形中,如果一条边的长度是a,则它的周长是4a。
四、面积面积是平面图形的一个重要性质,它可以帮助我们计算图形所占的空间大小。
面积的计算方法因图形而异。
例如,在矩形中,面积可以通过将长和宽相乘来计算。
在三角形中,面积可以通过将底边长度与高相乘再除以2来计算。
面积的计算不仅可以帮助我们理解图形的大小,还可以应用于各种实际问题中。
例如,在建筑设计中,我们需要计算各种房间的面积,以确定材料的使用量。
平面图形的性质与特征一、点、线、面的基本概念及关系1.点:平面上的位置,没有长度、宽度和高度。
2.线:点的移动轨迹,有长度,没有宽度和高度。
3.面:线的移动轨迹,有长度和宽度,没有高度。
4.点、线、面的关系:点构成线,线构成面。
二、直线与射线的性质1.直线:无端点,无限长,同一平面内,直线外一点与直线上一点确定一条直线。
2.射线:有一个端点,无限长,从端点出发,沿直线方向延伸。
三、线段的性质1.线段:有两个端点,有限长。
2.线段的长度:两个端点之间的距离。
3.线段的垂直平分线:线段的中垂线,将线段平分为两个相等的部分,且与线段垂直。
四、角度的性质1.角度:由两条射线的公共端点和这两条射线的非公共部分组成的图形。
2.角度的度量:用度(°)作为单位,180°为直角,90°为锐角,小于90°为锐角,大于90°小于180°为钝角。
3.角度的补角:两个角的度数之和为180°。
4.角度的余角:两个角的度数之和为90°。
五、平行线的性质1.平行线:在同一平面内,永不相交的两条直线。
2.平行线的性质:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。
3.平行线的判定:同位角相等,内错角相等,同旁内角互补。
六、三角形的性质1.三角形:由三条边和三个角组成的多边形。
2.三角形的内角和:180°。
3.三角形的分类:根据边长关系,分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形;根据角度关系,分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4.三角形的高:从顶点到对边的垂线段。
七、四边形的性质1.四边形:由四条边和四个角组成的多边形。
2.四边形的内角和:360°。
3.四边形的分类:根据边长关系,分为矩形、正方形、平行四边形和普通四边形;根据角度关系,分为锐角四边形、直角四边形和钝角四边形。
4.四边形的角度性质:对角线互相平分,对边平行。
八、圆的性质1.圆:平面上所有到圆心距离相等的点组成的图形。
任务七 平面图形的几何性质一、填空题1. 图示B H ⨯的矩形中挖掉一个b h ⨯的矩形,则此平面图形的z W =( 2366z BH bh W H=-)。
2. 对图示矩形,若已知x I 、y I 、b 、h ,则11x y I I +=( 1122()/12y z y z I I I I bh b h +=+=+ )。
3. 任意平面图形至少有( 1 )对形心主惯性轴,等边三角形有( 无穷多 )对形心主惯性轴。
4.在边长为2a 的正方形的中心部挖去一个边长为a 的 正方形,则该图形对y 轴的惯性矩为( 454a )。
5.图形对所有平行轴的惯性矩中,图形对形心轴的惯性矩为( 最小 )。
6.对直径为d 的圆形截面,它的惯性半径为( i=d/4 )。
二、选择题1.在下列关于平面图形的结论中,( D )是错误的。
A.图形的对称轴必定通过形心;B.图形两个对称轴的交点必为形心;C.图形对对称轴的静矩为零;D.使静矩为零的轴为对称轴。
2.在平面图形的几何性质中,( D )的值可正、可负、也可为零。
A.静矩和惯性矩B.极惯性矩和惯性矩C.惯性矩和惯性积D.静矩和惯性积。
3.设矩形对其一对称轴z 的惯性矩为I ,则当其长宽比保持不变。
而面积增加1倍时,该矩形对z 的惯性矩将变为( D )。
A. 2IB. 4IC. 8ID. 16IBbhH Czy 1x 1ybxha2 ayz4.若截面图形有对称轴,则该图形对其对称轴的( A )。
A.静矩为零,惯性矩不为零B.静矩不为零,惯性矩为零C.静矩和惯性矩均为零D.静矩和惯性矩均不为零 5.若截面有一个对称轴,则下列说法中( D )是错误的。
A. 截面对对称轴的静矩为零;B. 对称轴两侧的两部分截面,对对称轴的惯性矩相等;C. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零;D. 截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零。
6.任意图形,若对某一对正交坐标轴的惯性积为零,则这一对坐标轴一定是该图形的( B )。
A.形心轴 B.主惯性轴 C.行心主惯性轴 D.对称轴7.有下述两个结论:①对称轴一定是形心主惯性轴;②形心主惯性轴一定是对称轴。
其中 (B )。
A. ①是正确的;②是错误的B. ①是错误的;②是正确的C. ①、②都是正确的D. ①、②都是错误的 8. 由惯性矩的平行移轴公式,2z I 的答案有四种:( C )A.2134z z bh I I =+;B. 234z z bh I I =+;C.23z z I I bh =+; D.213z z I I bh =+。
9. 工字形截面如图所示,z I 有四种答案:( A )A.311144bh B.311121bh C.3132bh D.329144bh 10. 图示由三角形和半圆组成的图形,1y 轴通过O 点,关于1y 轴有四种答案( C )A.是形心轴bh /4h /4h /4h /4z b /3b /3b /3yzz 1z 2h /2h /2h /2b /2b /2B.是形心主轴C.是主轴D.不是主轴11. y 轴上、下两部分图形面积相等,1y 轴通过O 点,关于1y 轴有四种答案( C )A.是形心轴;B.是形心主轴;C.是主轴;D.不是主轴。
12.惯性矩的量纲为长度的( D )次方。
A.一B.二C.三D.四13.静矩的量纲为长度的( C )次方。
A.一B.二C.三D.四14.极惯性矩的量纲为长度的( D )次方。
A.一B.二C.三D.四15.惯性半径的量纲为长度的( A )次方。
A.一B.二C.三D.四16.受弯构件正应力计算公式σ=My/Iz 中,Iz 叫(C )A.截面面积B.截面抵抗矩C.惯性矩D.面积矩三、计算题1. 试应用p I ,y I 及z I 间的关系式求直角扇形的y I 及z I 。
解:4p 8R I π=因为y z I I =,所以416y z R I I π==zyRay 1aO ︒45︒45y 1y b bba O a2. 求由三个直径为d 的相切圆,构成组合截面对形心轴x 的惯性矩。
解:三角形的形心即该组合截面的形心。
4222[π/64(π/4)(3/6)]x I d d d =+222[π/64(π/4)(23/6)]d d d ++⨯ 411π/64d = 3.计算惯性矩(1) 矩形: a 截面对形心轴的I z ,I y解:d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=y h h bd y ⎰-2/2/2=b[y 3/3]2/2/h h -=bh 3/12D A =hd zI y =A A d z ⎰2=hdA z b b ⎰-2/2/2= h[z 3/3]2/2/b b -=hb 3/12B 截面对z ,y 轴的I z ,I y 解:d A =bd yI z =A Ad y ⎰2=y hbd y ⎰02=b[y 3/3]h0 =bh 3/3I y =A A d z ⎰2=hdz z b⎰02= h[z 3/3]b 0=hb 3/3 (2)圆形截面: I z ,I y解:I z =I y=dA y d d ⎰-2/2/2==y d d d y d y 222/2/2)2/(2-⋅⋅⎰-=64/4d πd A =d y ⋅⋅222)2/(y d -4.求图形对形心主轴的惯性矩Izc 。
答案:xd ybd zd AAd yxbyd zd zyd/2d yyyzd A5.求图形对形心主轴的惯性矩Izc。
答案:6.用平行移轴定理求图形对Z' 轴的惯性矩,已知。
答案:7.试求图所示图形的形心位置(图中单位mm)。
(a )解:将图形分成三部分,28001008mm A Ⅰ=⨯= , mm x Ⅰ4= , 0=Ⅰy 27207210mm A Ⅱ=⨯= , mm x Ⅱ442728=+= ,mm y Ⅱ45-= 27207210mm A Ⅲ=⨯= ,mm x Ⅲ44= , mm y Ⅲ45=mm A x A x C 71.2972072080044720447204800=++⨯+⨯+⨯=∑⋅∑=072072080045720)45(7200800=++⨯+-⨯+⨯=∑⋅∑=A y A y C(b )解:将图形看成矩形减去圆形,矩形:280000200400mm A Ⅰ=⨯= , 0=Ⅰx , 0=Ⅰy 22278505014.3mm R A Ⅱ-=⨯-=-=π , mm x Ⅱ100= ,0=Ⅱymm A x A x C 88.107850800001007850080000-=-⨯-⨯=∑⋅∑=0=C y8. 矩形截面截去一角,如图5-19所示,求其形心位置。
解:将图形看成矩形截面减去等腰三角形,矩形:2120000300400mm A Ⅰ=⨯= ,0=Ⅰx , mm yⅠ150= 21125015015021mm A Ⅱ-=⨯⨯-= , mm x Ⅱ1501503250=⨯+= ,mm y Ⅱ5015031=⨯=mm A x A x C 5.1511250120000150112500120000-=-⨯-⨯=∑⋅∑=mm A y A y C 34.160112501200005011250150120000=-⨯-⨯=∑⋅∑=9. 水坝截面如图所示,求其形心位置(图中单位m)。
解:将图形分成三部分,25.255.0m A Ⅰ=⨯= , m x Ⅰ75.025.05.0=+= , m y Ⅰ5.35.21=+= 225.655.221m A Ⅱ=⨯⨯=,m x Ⅱ83.15.2311=⨯+= ,m y Ⅱ67.25311=⨯+=2441m A Ⅲ=⨯= ,m x Ⅲ2= , m y Ⅲ5.0=m A x A x C 67.1425.65.22483.125.675.05.2=++⨯+⨯+⨯=∑⋅∑=m A y A y C 15.2425.65.25.0467.225.65.35.2=++⨯+⨯+⨯=∑⋅∑=10. 如图所示为Z 形截面型钢,求其形心位置(图中单位cm )。
解:将Z 图形分成三部分,250105cm A Ⅰ=⨯= , cm xⅠ5-= , cm y Ⅰ5.375.240=-= 2200405cm A Ⅱ=⨯= ,cm x Ⅱ5.2= ,cm y Ⅱ20=275155cm A Ⅲ=⨯= ,cm x Ⅲ5.122155=+= , cm y Ⅲ5.2= cm A x A x C 65.375200505.12755.2200)5(50=++⨯+⨯+-⨯=∑⋅∑=cm A y A y C 65.1875200505.275202005.3750=++⨯+⨯+⨯=∑⋅∑=11. 确定下列图形的形心位置,计算平面图形对形心轴y c 的惯性矩。
解:(1)查型钢表得 槽钢No14bcmz cm I cm A o yc 67.1 1.61 316.2114121===工字钢No20bcm h cm I cm A yc 20 2500 578.394222===(2)计算形心位置由组合图形的对称性(对称轴是z c 轴)知:y c =0;cmA A z A z A z c c c 09.14578.39316.2110578.39)2067.1(316.21212211=+⨯++⨯=+⋅+⋅=(3)用平行移轴公式计算各个图形对y c 轴的惯性矩421211)18.1285316.21)09.142067.1(1.61cm A CC I I yc yc =⨯-++=+=42222)21.3162578.39)1009.14(2500cmA CO I I yc yc =⨯-+=+=(4)求组合图形对yc 轴的惯性矩4)2)19.4447cm I I I yc yc yc =+=z cyy c 1y cy c 2c)C C 1C 2No14bNo20bO z o 1 hz c。