初二数学.春.直升班.教师版.第7讲 四点共圆(二)1

初中数学联赛体系第7讲 四点共圆1【知识要点与基本方法】思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上. 思路二：四点到某定点（中垂线交点）的距离都相等，从而确定其共圆． 思路三：运用有关定理或结论（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径． （2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅⇔四点共圆.【例1】在半圆O 的直径AB 的延长线上取一点P ，作PC 切半圆O 于C ，又过P 任作一直线交半圆O 于N M 、，过点C 作AB CD ⊥，垂足为D .求证：DC 是MDN ∠的平分线.【证明1】：如图，连ON OM OC 、、.由PO 为半圆的切线，可知PC OC ⊥.由AB CD ⊥，可知PO PD PC ⋅=2.显然PN PM PC ⋅=2，可知PO PD PN PM ⋅=⋅，有N D O M 、、、四点共圆，于是MNO MDA ∠=∠，NMO NDB ∠=∠.由NMO MNO ∠=∠，可知NDB MDA ∠=∠，有NDB MDA ∠-︒=∠-︒9090，就是CDN CDM ∠=∠，即CD 平分MDN ∠.所以DC 是MDN ∠的角平分线. 【证明2】：如图，连.,OM OC 由PO 为半圆的切线，可知PC OC ⊥.由AB CD ⊥，可知OP OD OC ⋅=2，有OP OD OM ⋅=2，于是△ODM ∽△OMP ，得OMP MDA ∠=∠.显然PO PD PC ⋅=2，PN PM PC ⋅=2，可知PO PD PN PM ⋅=⋅，有△PDN ∽△PMO ，于是PMO PDN ∠=∠，得PDN MDA ∠=∠.显然PDN CDP MDA CDA ∠-∠=∠-∠，就是CDN CDM ∠=∠，所以DC 是MDN ∠的角平分线. 【证明3】：如图，设CD 交☉O 于F ，M D 交☉O 于E ，连OC OM FP EP EO 、、、、.显然，C F 、关于PA 对称，可知PF 为☉O 的切线，有PC PF =. 由F O C P 、、、四点共圆，可知DE DM DF DC DP DO ⋅=⋅=⋅有P E O M 、、、四点共圆，于是MPO MEO EMO EPO ∠=∠=∠=∠，点E 与N 关于PA 对称.显然PA 为NDE ∠的平分线.由PA CD ⊥，可知CD 为MDN ∠的平分线.【例2】在△ABC 中，BD AB BC ，>平分ABC ∠交AC 于点D ，BD CP ⊥于P ，BP AQ ⊥于Q ，M 是边AC 的中点，E 是边BC 的中点，若△PQM 的外接圆⊙O 与AC 的另一个交点为H .求证：M E H O 、、、四点共圆.【证明】：如图，作AQ 延长线交BC 于点N ，则Q 为AN 的中点， 又M 为边AC 的中点，则BC QM //， ∴ABC PBC PQM ∠=∠=∠21，同理ABC MPQ ∠=∠21， 因此PM QM =.又∵M P H Q 、、、四点共圆∴PQM PHM PHC ∠=∠=∠，故PBC PHC ∠=∠，因此，C B H P 、、、四点共圆，有︒=∠=∠90BPC BHC ， 故EP BC HE ==21. 结合OP OH =，知OE 为HP 中垂线易知OMP OPM EPO EHO ∠=∠=∠=∠， ∴M E H O 、、、四点共圆，注：结尾用到P M E 、、三点共线，由PM AB EM ////知其显然成立.【例3】设圆内接四边形ABCD ，AB ，DC 延长交于点E ，AD ，BC 延长交于点F ，EF 的中点为G ，AG 与圆又交于点K .求证：K F E C ，，，四点共圆.【证明】：如图，延长AG 一倍至点J ，作平行四边形AEJF ，连CK ，则 AKC ADE CEJ ∠=∠=∠，于是J K C E 、、、共圆，或K 在△CEJ 的外接圆上.又ECF BCD EAF EJF ∠-︒=∠-︒=∠=∠180180，故J F C E 、、、共圆，或F 在△CEJ 的外接圆上.于是K F J E C ，，，，五点共圆，结论成立. 【例4】已知：△ABC 各边AB CA BC 、、中点分别为N M L 、、，三条高线CF BE AD 、、相交于F E D H 、、、为其垂点，HC HB HA 、、的中点分别是R Q P 、、.求证：R Q N M L F E D 、、、、、、、九点共圆.【证明】：设△ABC 外心为O ，OH 中点为V ，现考虑以V 为心，OA 21为半径的圆.由于OA VP =//，所以点P 位于☉V 上，同理，R Q ，都在☉V 上.再因QL PQ ⊥，所以L 在☉V 上，而且PVL 为直径，同理N M ，也都在☉V 上.从而F E D ，，也都在☉V 上，证毕.推论1：九点圆的圆心是外心与垂心所连线段的中点，也即垂心与外心关于九点圆圆心对称.九点圆的半径是三角形外接圆半径的一半.如果连结AL 交OH 于G ，则易知12：：=GL AG ，故G 为△ABC 的重心，于是又有: 推论2：外心O 、重心G 、垂心H 、九心圆心V 四点共线，而且21：：=GH OG ，21：：=VH OV .推论3：垂心组H C B A 、、、的四个三角形△ABC 、△HBC 、△HCA 、△HAB 有共同的九点圆，因此△ABC 的九点圆实际上是垂心组H C B A 、、、的九点圆，由推论1，上述四个三角形的外接圆半径相等.推论4：△ABC 的九点圆与△ABC 的外接圆是外位似形，位似中心是垂心H ，位似比是21：，而且它们又是内位似形，其位似中心为重心G . 这是由于△PQR 与△ABC 是位似形，位似中心是垂心H ，又因为△IMN 与△ABC 相似，相似中心为G .【例5】如图，☉O 的半径等于R ，△ABC 的顶点B 、C 都在☉O 上，点A 在☉O 外，AB AC 、分别交☉O 于点F E 、，BE 交CF 于点P ，在射线OP 上取一点Q ，使得2R OQ OP =⋅.求证：Q C B A 、、、四点共圆.【证明1】：如图，联结QF QE QC QB OF OE OC OB 、、、、、、、. 因为OQ OP R OB ⋅==22，即OPOBOB OQ =，BOP QOB ∠=∠， 所以，△QOB ∽△BOP .故OEB OBE OBP OQB ∠=∠=∠=∠. 从而，Q E O B 、、、四点共圆.注意到OE OB =，则QO 平分BQE ∠.同理，Q F O C 、、、四点共圆，QO 平分CQF ∠. 易证△QBP ∽△QOE ， △QOF ∽△QCP .则QC QF QP QO QE QB ⋅=⋅=⋅，即QEQFQC QB =. 又CQE OQE OQC OQB OQF BQF ∠=∠-∠=∠-∠=∠， 则△QBF ∽△QCE . 故QEC QFB ∠=∠. 于是，AEQ AFQ ∠=∠.从而，Q E F A 、、、四点共圆. 因此，BAC FAE FQB ∠=∠=∠.但BQC CQE BQE BQE BQF FQE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 所以，BAC BQC ∠=∠. 故Q C B A 、、、四点共圆.【证明2】：如图，联结QC QB OF OE OC OB 、、、、、. 因为OQ OP R OB ⋅==22，即OPOBOB OQ =，BOP QOB ∠=∠， 所以，△QOB ∽△BOP . 同理，△COP ∽△QOC ，所以PBO BQO ∠=∠，PCO CQO ∠=∠.设α=∠=∠PBO BQO ，β=∠=∠PCO CQO . ∵BOC BPC PCO PBO ∠=∠+∠+∠. 即BOC BPC ∠=∠++βα①，再由圆内角、圆外角得知)(21BOC EOF BPC ∠+∠=∠，)(21EOF BOC A ∠-∠=∠② 将②代入①得知A ∠=+βα. 即A BQC ∠=∠.故Q C B A 、、、四点共圆.【例6】(1992年全国高中数学联赛试题)如图，设4321A A A A 是☉O 的内接四边形，1H ，2H ，3H ，4H 依次为△432A A A 、△143A A A 、△214A A A 、△321A A A 的垂心.求证：1H ，2H ，3H ，4H 在同一圆上，并定出该圆的圆心.【证明】：如图，过3A 作☉O 的直径B A 3，连42124121421A H A H A H A H BA BA BA 、、、、、、，因为4312A A H A ⊥，434A A BA ⊥， 故412//BA H A ，又3214A A H A ⊥；∴241BA A H 是□.∴412//BA H A =；同理，142BA A H 也是□，∴221//BA H A ，∴2112//H A H A =，∴2121H H A A 是□.连2211H A H A 、，设它们的交点为P ，则P 平分11H A ，22H A . 同理，3322H A H A 、也互相平分，故它们的交点也为P . ∵4321A A A A 、、、共圆，∴4321H H H H 、、、，设它们的交点为P ，则P 平分11H A ，22H A .同理，P 为44H A 的中点，故i A 与i H （4,3,2,1=i ）关于点P 是中心对称的. ∵4321A A A A 、、、共圆，∴4321H H H H 、、、四点共圆，其圆心是点O 关于点P 的中心对称点.连接OP ，延长OP 至'P ，使PO PO ='，则'O 即为4321H H H H 、、、所在圆的圆心.【例7】如图，已知在☉O 中，CD AB 、是两条互相垂直的直径，点E 在半径OA 上，点F 在半径OB 的延长线上，且BF OE =,直线CF CE 、与☉O 分别交于点H G 、，直线AH AG 、分别与直线CD 交于点M N ,.求证：1=-NCDNMC DM .【证明】：如图，连结DH DG 、，延长CG 到点P .因为CD AB 、是相互垂直的直径，所以，BD BC AD AC ===. 则︒=∠=∠=∠=∠45PGN AGC AHD AHC 由四点共圆知︒=∠=∠45AHD DGN . 故DGN PGN DHM CHM ∠=∠∠=∠，于是，HM 是△CHD 的内角平分线，GN 是△CGD 的外角平分线所以，GC GDNC DN HC HD MC DM ==，. 从而，GCGDHC HD NC DN MC DM -=-. 由Rt △CDH 与Rt △CFO 及Rt △CDG 与Rt △CEO 相似，分别得OC OEGC GD OC OF HC HD ==，. 故OCOE OF OC OE OC OF GC GD HC HD -=-==-. 又BF OE =，且BF B OF +=0，故OC OB OE OF ==-. 因此，1=-NCDNMC DM .【例8】如图，△ABC 的内切圆☉I 分别切AC AB 、于点E D 、，延长DI 至M 、EI 至N ，使IE IN IM 9==，N M C I B 、、、、五点共圆，△ABC 的周长与BC 之比为最简分数nm（n m 、为互质的正整数）.求n m +10的值.【解析】：如图，设AI 与△ABC 的外接圆交于点Q P ，为边BC 的中点，过点P 作DMPF ⊥于点F ，联结PC .则BC PQ ⊥，BC CQ 21=，Rt △ADI 相似于△Rt PFI ，Rt △CQP 相似于△Rt ADI .易证PI PC PB ==.所以，J C B 、、三点在以P 为圆心、PB 为半径为的☉P上.由题意可知也在☉P 上.则IM MF IF 21==. 故△CQP 全等于△PFI ，BC CQ PF 21==.又☉I 是△ABC 的内切圆，则BC CE BD AE AD IE ID =+==，，. 而△ADI 全等于△PFI ，于是，5.492121=⨯===IEIEID IM ID FI AD PF 所以AD BC AD PF 95.4==，. 故△ABC 的周长为 BC AC AB ++BC CE AE BD AD ++++=)()( BC AD CE BD AD ++++=)(AD BC AD 2022=+=则92020==BC AD n m . 因为n m 、为互质的正整数，所以920==n m ， 故2009100=+n m .【课后强化训练】A 组1、如图，圆21O O 、相交于点B A 、，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交圆1O 于D C 、，割线PEF 交圆2O 于F E 、.求证：F E D C 、、、四点共圆.【证明】：由题意知C D B A 、、、四点共圆，则有PD PC PB PA ⋅=⋅.又E F B A 、、、四点共圆，则有PF PE PB PA ⋅=⋅.所以PF PE PD PC ⋅=⋅，即 F E D C 、、、四点共圆. 2、（1949年匈牙利数学竞赛试题）已知点P 是等腰ABC ∆的底边上一点，BA PQ //，CA PR //，分别交两腰于Q ，R ；D 是P 关于QR 的对称点，求证：D 在ABC ∆的外接圆上.【证明1】因为△ABC 为等腰三角形， ∴21∠=∠ ① ∵AC RP //，∴23∠=∠ ∴31∠=∠，有RP RB =. 又∵P 和D 关于RQ 对称， ∴QD PQ DR PR ==，.因此DR RB =，有54∠=∠. ② 由AB PQ //，AC RP //. 则四边形ARPQ 平行四边形 于是PQ AR =. 即AR QD =， 再由RD RP AQ ==可得△ADQ 与△DAR 全等，于是QAD ADR ∠=∠. ③ 由①、②、③得ADR QAD ∠+∠+∠=∠+∠+∠5241. 所以D B C A 、、、四点共圆，即D 在△ABC 的外接圆上.【证明2】：由证明1可得RD RB RP ==, 同法可证QD QC QP ==.所以D B P 、、在以R 为圆心的圆上，D C P 、、在以Q 为圆心的圆上， 由于同弧上的圆心角等于圆周角的一半.∴PRB PDB CQP CDP ∠=∠∠=∠2121，. 又CAB PRB CQP ∠=∠=∠，及CAB PDB CDP ∠=∠+∠，即CAB CDB ∠=∠.于是C B D A 、、、共圆，即D 在△ABC 的外接圆上.3、设⊙1O ，⊙2O ，⊙3O ，两两外切，M 是⊙1O ，⊙2O 的切点，S R ，分别是⊙1O ，⊙2O 与⊙3O 的切点.连心线21O O 交于⊙1O 于P ，⊙2O 于Q . 求证：S R Q P ，，，四点共圆.【证明】：如图，连结PR MR ，，则︒=∠90PRM ，欲证S R Q P ，，，四点共圆，只需证︒=∠+∠180Q PRS .事实上，连结SQ RS PR RM ，，，，并作切线RN ，则在四边形PQSR 中，32121O O O Q ∠=∠，331232121902190O O O O O P NRS MRN PRM PRS ∠+∠+︒=∠+∠+︒=∠+∠+∠=∠∴︒=︒+︒=∠+∠+∠+︒=∠+∠1809090)(21903312321O O O O O O O PRS Q ∴S R Q P ，，，四点共圆4、如图，已知☉1O 与☉2O 相离，自点1O 向☉2O 作切线B O A O 11、（B A 、为切点）分别交☉1O 于点F E 、，自点2O 向☉1O 作切线D O C O 22、（D C 、为切点）分别交☉2O 于点H G 、.假定G E 、两点在连心线21O O 的同侧.求证：FH EG //.【证明1】：如图，联结AC AG CE A O C O 、、、、21.︒=∠=∠902121CO O AO O .于是C A O O 、、、21四点共圆 因此221ACO ACG O AO ∠=∠=∠，A GO C AO C AO C EO 2211∠=∠=∠=∠.在等腰△EC O 1与△GA O 2中，易知CGA CAE ∠=∠.所以G E C A 、、、四点共圆. 于是，2ACO ACG AEG ∠=∠=∠， 从而，2121//O O EG AEG O AO ⇒∠=∠ 同理，21//O O FH故21//O O EG【证明2】：如图，过G E 、分别向连心线21O O 引垂线，垂足为N M 、.联结A O C O 21、.由A O O M EO 121∠=∠，得Rt △EM O 1与△Rt △A O O 2121212112O O A O E O EM O O E O A O EM⋅=⇒=⇒同理，Rt △GN O 2与△Rt △C O O 2121212111O O G O C O GN O O E O C O GN⋅=⇒=⇒由G O A O E O C O 2211==，，知GN EM = 所以，21//O O EG 同理，21//O O FH故FH EG //5、在Rt △ABC 中，︒=∠90BAC ，BC AH ⊥于H ，S 为AH 的中点，过点S 作各边的平行线与三边交于N M L K Q P ，，，，，.如图，求证：N M L K Q P ，，，，，六点共圆.【证明】：连结KM QL ML QK 、、、，则QKLM 为矩形， 故M L K Q ，，，共圆，且LQ KM ，为圆的直径.又KLM KNM ∠=︒=∠90，故N M L K ，，，在以KM 为直径的圆周上， 同理，P L K Q ，，，在以QL 为直径的圆周上.6、证明：若凸五边形ABCDE 中，ADE ABC ∠=∠，ADB AEC ∠=∠，则D A E BAC ∠=∠.（第21届全俄中学生（十年级）奥林匹克试题）【证明】：设对角线BD 与CE 相交于F . 由ADF ADB AEF AEC ∠=∠=∠=∠，知F D E A ，，，共圆. 因此ABC ADE AFE ∠=∠=∠， 即︒=∠+∠180AFC ABC ， 故ABCF 共圆.此时，两圆⊙ABCF 与⊙AFDE 相交于点A F ，，从而相交两圆性质2的推论1，知△ADB 相似于△AEC ， 即CAE BAD ∠=∠，故DAE BAC ∠=∠7、锐角△ABC 的三条高CF BE AD 、、交于H ，联结DF 交BH 于P ，过P 作AD PQ //交AB 于Q .求证：直线QE 平分线段AH .【证明】：如图，连结EF ，设QE 与AH 交于点O 由E H F A 、、、四点共圆知，FAH EFH ∠=∠. 由AD PQ //，得FQP FAH ∠=∠ 故FQP FEH ∠=∠于是，Q E P F 、、、四点共圆 所以，BFD QEP ∠=∠.由A C D F 、、、及H E C D 、、、分别四点共圆得AHE DCA BFD ∠=∠=∠. 所以，AHE QEP ∠=∠ 于是，OE OH =又OEH OEA ∠-︒=∠90OAE OHE ∠=∠-︒=90，则OA OE =从而，OA OH = 故QE 平分线段AH .8、（2006年全国高中联赛黑龙江预赛，1994年印度数学奥林匹克）设△ABC 的内切圆与边BC AB 、相切于F E 、，A ∠的平分线与线段EF 相交于K .求证：CKA ∠为直角【证明1】：如图，连OF OC OB 、、，由ACB ABC BAC OBA OAB BOK OKE BOK ∠-︒=∠+∠=∠+∠=∠︒=∠+∠2190212190，， 可知OCF ACB OKE ∠=∠=∠21，于是C F K O 、、、四点共圆，得︒=∠=∠90OFC OKC 所以CKA ∠为直角. 【证明2】：如图，设D 为圆O 与AC 的切点，过C 作AB 的平行线分别交直线EK AK 、于H G 、，连KD .由BEF BFE ∠=∠，可知CHF CFH ∠=∠，有CF CH =，进而CD CH =. 由GAC GAB G ∠=∠=∠，可知CA CG =，有AD GH =，进而AE GH =. 显然△GKH 与△AKE 全等，可知K 为AG 的中点， 于是CK 是等腰三角形CAG 的底边AG 上的高线. 所以CKA ∠为直角.B 组1、如图，△ABC 内部有一个半圆，其直径PQ 在边BC 上且与AB 、AC 分别切于点E 、F 设PF 与QE 交于点S ．证明：AS ⊥BC ．解：如图，过A 分别作QE 、PF 的垂线于PF 、QE 分别交于点X 、Y ，连结XY 、EF 、PE 、QE ． 则S 为△AXY 的垂心． 故AS ⊥XY ．由∠PEQ =∠PFQ = 90°，AX ⊥QE ，AY ⊥PF ，得PE ∥AX ，QF ∥AY ． 因为∠AEF =∠EPF =∠AXF ，所以，A 、E 、X 、F 四点共圆． 同理，A 、F 、Y 、E 四点共圆． 故A 、E 、X 、Y 、F 五点共圆．由此得E 、X 、Y 、F 四点共圆，此时∠FXY =∠FEY =∠FEQ =∠FPQ ． 于是，XY ∥PQ ．因此，AS ⊥PQ ，即AS ⊥BC ．2、如图，AD 为☉O 直径，过点D 的切线交BC 延长线于P ，连PO 并延长分别交AC 、AB 于N 、M ，求证：ON OM =【证明】：过C 作PNM CEF //，取弦BC 中点G ，连DC GD OG EG ，，，， 令1∠=∠GDE ，2∠=∠M PB ，3∠=∠FCB ，4∠=∠EGC ，5∠=∠EDC . ∵O 为圆心，G 为弦BC 的中点. ∴︒=∠⊥90OGP BC OG ，又DP 为⊙O 的切线，O 为圆心， 所以DP OD ⊥，︒=∠90ODP 于是，P D G O 、、、四点共圆 故21∠=∠∵MP FC //，∴23∠=∠ 从而31∠=∠故E C D G 、、、四点共圆 有54∠=∠ 又5∠=∠B ∴B ∠=∠4∴EF CE FB EG =，// 在△AOM 与△AEF 中 ∵EF OM // ∴AE AO EF OM =.同理，AEAOEC ON =又EC EF =，故ON OM =3、由圆O 外一点A 引圆O 的两条切线AT AS 、，T S 、为切点，过点A 引圆O 的任一割线APQ 交ST 于R .若M 为PQ 的中点，则AM AR AQ AP ⋅=⋅.【证明1】：如图，连OM OS OA 、、，由M 为PQ 中点，可知PQ OM ⊥，由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，有R N O M 、、、四点共圆，于是AQ AP AS AO AN AM AR ⋅==⋅=⋅2， 所以AM AR AQ AP ⋅=⋅. 【证明2】：如图，连OA SM OS OM 、、、.由M 为PQ 的中点，可知PQ OM ⊥，由AS 为圆O 的切线，可知AS OS ⊥，有S A O M 、、、四点共圆，于是SOA SMA ∠=∠.由AT AS 、为圆O 的切线，可知AQ ST ⊥，可知RSA SOA ∠=∠， 有SMA RSA ∠=∠，于是△RSA 与△SMA 相似，得AM AR AS ⋅=2. 显然AQ AP AS ⋅=2，可知AM AR AQ AP ⋅=⋅.4、（2003年全国高中数学联赛）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为B A 、，所作割线交圆于D C 、两点，C 在D P 、之间，在弦CD 上取一点Q ，使PBC DAQ ∠=∠. 求证：PAC DBQ ∠=∠.【证明1】：如图，连AB ，显然QPB PBC DCB DAQ DAB QAB ∠=∠-∠=∠-∠=∠， 可知P B Q A ，，，四点共圆，有PQB PAB ∠=∠，于是-∠=∠-∠=∠PQB CAB PAB PAC DBQ CDB ∠=∠， 所以PAC DBQ ∠=∠ 【证明2】：如图，连AB ，显然ABP ABC PBC ADQ DAQ PQA ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 可知P B Q A ，，，四点共圆，有PQB PAB ∠=∠，于是-∠=∠-∠=∠PQB CAB PAB PAC DBQ CDB ∠=∠. 所以PAC DBQ ∠=∠.【证明3】：如图，设E 为PD AB ，的交点.由PB PA ，为圆的切线，可知PAC PDA ∠=∠， PBC PDB ∠=∠由PBC DAQ ∠=∠，可知DAQ PDB BAC ∠=∠=∠， 有AQP DQA ADQ BAC ADC PAE ∠=∠+∠=∠+∠=∠. 由PB PA =，可知PQPBPB PE = 由QPB BPE ∠=∠，可知△PBE 相似于△PQB ，有DBQ BAC DBQ PDB PQB PBE ∠+∠=∠+∠=∠=∠.由PAC BAC ABC PBC PBE ∠+∠=∠+∠=∠，可知PAC DBQ ∠∠.【证明4】：如图，连AB由ADQ ABC ∠=∠，DAQ PBC BAC ∠=∠=∠,可知△ABC 相似于△ADQ ， 有AQACDQ BC = （1） 由△PAC 相似于△PDA ，可知DA ACPD PA =，由△PBC 相似于△PDB ，可知DBBCPD PB =， DBBCDA AC =（2） 由（1）、（2），可知DBDADQ AQ = 由PDB DAQ ∠=∠，可知△ADQ 相似于△DBQ ，有QBD ∠=PAC ADP ∠=∠. 所以PAC DBQ ∠=∠. 【证明5】：如图，连AB显然BDQADQPBC PAC S S S S △△△△=，可知 BDQ DQ BD ADQ DQ AD PBC BC PB PAC AC PA ∠⋅∠⋅=∠⋅∠⋅sin 21sin 21sin 21sin 21 有BDADBC AC =① 由ADQ ABC CAB PBC DAQ ∠=∠∠=∠=∠，，可知△ADQ 相似于△ABC有DQAQBC AC = ② 有①、②，可知DQAQBD AD =. 由PAC ADQ BDQ PBC DAQ ∠=∠∠=∠=∠，，可知PAC DBQ ∠=∠. 【证明6】：如图，设圆心为O ，连AB OP OA OQ ，，，，由PB PA ，为圆的切线，可知AOP PAB ∠=∠由DAQ PBC BAC PDA PAC BAC PAC PAB ∠=∠=∠∠=∠∠+∠=∠，，， 可知PQA QDA QAD AOP ∠=∠+∠=∠，有P O Q A ，，，四点共圆， 于是︒=∠=∠90OAP OQP ，得QD QC =. 由DAQ CAB ∠=∠，可知BAD CAQ ∠=∠. 由ABD ACD ∠=∠，可知△CAQ 相似于△BAD ，有AQCQAD BD =. 将CQ DQ =代入上式，可知AQDQAD BD =. 由DAQ PBC PDB ∠=∠=∠，可知△BDQ 相似于△PAC ，有DBQ PDA ∠=∠. 所以PAC DBQ ∠=∠ 【证明7】：如图，设AQ 与圆相交于点E ，BQ 与圆相交于点F ，连FA BE BA ，，.同前，先证明B M A P ，，，四点共圆.由PA OA ⊥，可知DP OQ ⊥，有Q 为DC 的中点. 由BAC PBC DAQ ∠=∠=∠，可知DC EB //，有EA BF =，于是CD FA =，得PAC ABC DBF DBQ ∠=∠=∠=∠. 所以PAC DBQ ∠=∠.【备选题】1、如图，设A 为⊙O 外一点，AC AB ，和⊙O 分别切于C B ，，APQ 为⊙O 的一条割线，过B 作AQ BR //交⊙O 于R ，连CR 交AQ 于M ，试证：M O C B A ，，，，五点共圆.【分析】：由于过不在一条直线上的三点可作且只可作一个圆. 因此，证明多点共圆除了上述方法外，我们还可以采用证明你其中的三个与其余的各点均为四点共圆.【证明】：连接BC OC OB ，，，则AC OC AB OB ⊥⊥，，故C O B A ，，，四点共圆.由于AQ BR //，所以BAQ GBR ∠=∠.而BCR GBR ∠=∠，故BCR BAQ ∠=∠∴BCM BAM ∠=∠∴C M B A ，，，四点共圆但过C B A ，，三点只能作一个圆，因此M O C B A ，，，，五点共圆.2、在△ABC 中，从点A 向B ∠、C ∠的平分线引垂线，垂足分别为Q P 、；从点B 向C∠的平分线引垂线，垂足为E ；从点C 向B ∠的平分线引垂线，垂足为F .求证：F E Q P 、、、四点共圆.【证明】：如图，延长AQ AP 、分别交BC 于N M 、.∵BP 平分ABC ∠，BP AP ⊥，∴PM AP =.同理，QN AQ =.∴PBC QPB BC PQ ∠=∠，//. 连结EF∵CFB BEC ∠=︒=∠90， ∴E F C B 、、、四点共圆. 故FBC CEF ∠=∠. 从而CEF QPB ∠=∠. ∴F E Q P 、、、四点共圆.。

【例 1】 ⑴ A、E、H 、F 四点共圆， 圆心是 AH 的中点； ⑵ B、D、H 、F 四点共圆，圆心是 BH 的中点； ⑶ C、 D、 H、 E 四点共圆，圆心是 CH 的中点； ⑷ A、B、D、E 四点共圆，圆心是 AB 的中点； ⑸ B、C、E、F 四点共圆，圆心是 BC 的中点； ⑹ A、C、D、F 四点共圆，圆心是 AC 的中点． 习题1. ∵ AD、BE、CF 是高， ∴ B、D、H 、F ， C、D、H 、E 分别四点共圆， ∴ FBH FDH ， ECH EDH ， ∵ ， ∴ FDH EDH ， ∴ AD FBH ECH 平 分 EDF ． 同 理 BE、CF 分 别 平 分 DEF 、 DFE ， ∴ H 是 △ DEF 的内心． 【例 2】
P A
连接 P B、P Q、 P C、 P R， ∵ △ ABC 是等腰三角形，PQ ∥ AC ，PR ∥ AB ， ∴ QB QP ， RP RC ， BQP A PRC ． ∵ P ，P 关于直线 QR 对称，∴ QP QB QP ，
RP RP RC ， ∴ Q 是 △BPP 的外心， R 是
∵
I1
是
连 接 AI C ，AI B ，BI C ， BI B ， DI D ∵ I A ，I B ，I C ，I D 1 都 是 内 心 ， ∴ AIC B 90 ADB ， 2 1 AID B 90 ACB ， ∴ A、B、 I D、I C 四 点 2 共圆，∴ AIC I D ABI D 180 ． 同 理 ， A、D、 I B 、IC 四 点 共 圆 ， 则 AIC I B ADI B 180 ．
A F D O I H E C
所 以 ABO OBD CBE ， ABC ABE (90 A) 30 ∵ ， BOC 2 BAC 120 1 BIC 90 BAC 120 ， 2 BHC EHF 180 A 120 则 知 B、 O、 I、 H、 BOC BIC BHC ，于是， C 五 点 共 圆 ．此 时 ， OBC OCB 30 ， CIH CBH ， OIC 180 OBC 150 故 OIH 150 . ⑴ (150 ) (30 ) 120 OIH ABC （定值） ⑵ OIH ACB （定值）

成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin22711模块一 四点共圆的判定（二）模块二 四点共圆的应用模块三 四点共圆的构造22成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin227模块一：四点共圆的判定（二）两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于H ， 若AH CH BH DH ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.四边形ABCD 的对边BA 、CD 的延长线交于P ， 若PA PB PD PC ⋅=⋅，则A B C D 、、、四点共圆.模块二：四点共圆的应用 模块三：四点共圆的构造（1）如图1-1，若过相交两圆的公共弦上一点P 作一个圆的弦CD ，另一圆的弦EF ．求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．（2）如图1-2，AD 为ABC △中BC 边上的高线，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ．求证：B 、C 、F 、E 四点共圆．图1-1 图1-2【解析】（1）在圆O 中，OP DP AP BP ⋅=⋅．在圆O '中，EP FP AP BP ⋅=⋅，所以CP DP EP FP ⋅=⋅，故C 、D 、E 、F 四点共圆． （2）∵AD BC ⊥，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴2AD AE AB =⋅，AE AB AF AC ⋅=⋅， ∴AE AB AF AC ⋅=⋅，∴B 、E 、F 、C 四点共圆．【教师备课提示】这道题主要考查利用圆幂定理证明四点共圆．P O'O F E DCBAFE D CBADCABH OBCDAP333如图，P 是O ⊙外一点，P A 和PB 是O ⊙的切线，A 、B 为切点，PO 与AB 交于点M ，过M 任作O ⊙的弦CD ．求证：C 、O 、D 、P 四点共圆．【解析】连接OC 、OD ，∵P A 、PB 是切线，∴OA PA ⊥，AB OP ⊥，AM BM =，∴2AM OM PM =⋅，∵AM BM CM DM ⋅=⋅，∴OM PM CM DM ⋅=⋅，∴C 、O 、D 、P 四点共圆．【教师备课提示】这道题主要让孩子们进行练习，主要是例题1的拔高练习．（1）如图3-1，四边形ABCD 是正方形，M 是BC 上一点，ME AM ⊥交BCD ∠的外角平分线于E ，求证：AM EM =．（2）如图3-2，正方形ABCD 的中心为O ，面积为1989cm 2，P 为正方形内一点，且45OPB ∠=︒，:5:14PA PB =，求PB 的长．图3-1 图3-2【解析】（1）连接AC 、AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴，∵CE 是外角平分线，∴，∴， ∵，∴A 、M 、C 、E 四点共圆， ∴，∴，∴．ABCDEMOPDCB A45ACD ∠=︒45DCE ∠=︒90ACE ∠=︒90AME ∠=︒45AEM ACB ∠=∠=︒45EAM ∠=︒AM EM =0M EDCBACO AB D MCOAB DM44成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin227（2）连接OA 、OB ，∵ABCD是正方形，∴90AOB ∠=︒，45OAB ∠=︒，∵45OPB ∠=︒，∴A 、B 、O 、P 四点共圆， ∴90APB ∠=︒．在Rt ABP △中，90APB ∠=︒，∴222PA PB AB +=，设5PA k =，14PB k =，则22251961989k k +=， 解得29k =，∴3k =，∴42cm PB =．（1）如图4-1，在五边形ABCDE 中，ABC ADE ∠=∠，AEC ADB ∠=∠．求证：BAC DAE ∠=∠．（2）如图4-2，锐角ABC △，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高线，DG CE ⊥于G ，EF BD ⊥于F ．求证：FG//BC ．图4-1 图4-2【解析】（1）设BD CE 、相交于O ，连接AO∵AEC ADB ∠=∠，∴A 、O 、D 、E 四点共圆， ∴AOE ADE ∠=∠，DOE DAE ∠=∠， ∵ABC ADE ∠=∠，∴ABC AOE ∠=∠，∴A 、O 、C 、B 四点共圆，∴BAC BOC ∠=∠， ∵BOC DOE ∠=∠，∴BAC DAE ∠=∠． （2）连接DE ，∵BD 、CE 是高线， ∴90BEC BDC ∠=∠=︒， ∴B 、C 、D 、E 四点共圆， ∴CBD CED ∠=∠，∵DG CE ⊥，EF BD ⊥， ∴90EFD DGE ∠=∠=︒， ∴D 、E 、F 、G 四点共圆，∴DFG DEG ∠=∠，∴DFG DBC ∠=∠， ∴FG//BC ．【教师备课提示】例3和例4主要考查四点共圆的应用．EDCBA GF ED C B AOP D CAB OABCDABCDEFG555如图，已知ABC △中，AH 是高，AT 是角平分线，且TD AB ⊥，TE AC ⊥．求证：（1）AHD AHE ∠=∠；（2）BH CH BD CE =．【解析】（1）∵TD AB ⊥，TE AC ⊥，∴90ADT AET ∠=∠=︒，∴A 、D 、T 、E 四点共圆，且AT 是直径， ∵AH BC ⊥，∴90AHT ∠=︒， ∴H 也在圆上，即A 、D 、T 、H 、E 五点共圆． ∵AT 是角平分线，∴DT ET =， ∴AD AE =，∴AHD AHE ∠=∠．（2）由（1）可知，BT BH BD BA ⋅=⋅，CH CT CE CA ⋅=⋅， ∴BH BA BD BT =，CH CACE CT=． ∵AT 是角平分线，∴AB AC BT CT =，∴BH CHBD CE=． 【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的应用练习，主要是例3和例4的拔高练习．（1）如图6-1，在四边形ABCD 中，98DAC ∠=︒，82DBC ∠=︒，70BCD ∠=︒，BC AD =，则ACD ∠=______________．（2）如图6-2，在ABC △的边AB 、AC 上分别取点Q 、P ，使得12PBC QCB A ∠=∠=∠．求证：BQ CP =．图6-1 图6-2QP C BAA B DECBAC D66成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin227【解析】（1）28°；（2）∵，∴．作点P 关于BC 的对称点M ，连接BM 、CM ，则，，∴B 、M 、C 、Q 四点共圆， ∵，∴，∴．【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆的构造和应用，有互补的角可以构造．在四边形ABCD 中，25BAC ∠=︒，20BCA ∠=︒，50BDC ∠=︒，40BDA ∠=︒，求DBA ∠．【解析】延长到使得，连接AE 、CE ．∵，， ∴，∵，∴，∴A 、B 、C 、E 四点共圆， ∴，∵，∴， ∴，∴D 是圆心，DB DA =， ∴．【教师备课提示】这道题主要考查四点共圆求角度．12PBC QCB A ∠=∠=∠BQC BPC A ACQ A ABP ∠+∠=∠+∠+∠+∠A ABP PBC ACQ BCQ =∠+∠+∠+∠+∠180A ABC ACB =∠+∠+∠=︒180BQC BMC ∠+∠=︒MC PC =MBC PBC BCQ ∠=∠=∠BQ CM =BQ CP =ABCDPEPDCBABD E DE AD =40ADB ∠=︒AD ED =20DAE DEA ∠=∠=︒20ACB ∠=︒ACB AED ∠=∠25CEB CAB ∠=∠=︒50BDC ∠=︒25DEC DCE ∠=∠=︒CD DE =70DAB DBA ∠=∠=︒MABC P Q777如图，ABCD 是圆内接四边形，AB 、DC 的延长线交于E ，AD 、BC 的延长线交于F ，EP 、FQ 切圆于P 、Q 两点，求证：222EP FQ EF +=．【解析】设BCE △的外接圆交EF 于G ，连接CG ．∵PE 、QF 是O ⊙的切线，∴2PE EC ED =⋅，2QF FC FB =⋅，∵ABCD 是圆内接四边形，∴180CBE CDF ∠+∠=︒，∵B 、C 、D 、E 四点共圆，∴CGF CBE ∠=∠，FG FE FC FB ⋅=⋅，∴180CGF CDF ∠+∠=︒，∴C 、D 、F 、G 四点共圆，∴EC ED EG EF ⋅=⋅， ∴222EP FQ EC ED FC FB EG EF FG EF EF +=⋅+⋅=⋅+⋅=．【教师备课提示】这道题主要是考查四点共圆的构造．QP FEDCB AGA B CDEF P Q初二数学目标名校直升班88成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin227如图，圆1O 、2O 相交于点A 、B ，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交圆1O 于C 、D ，割线PEF 交圆2O 于E 、F ．求证：C 、D 、F 、E 四点共圆．【解析】由题意知A 、B 、D 、C 四点共圆，则有PA PB PC PD ⋅=⋅． 又A 、B 、F 、E 四点共圆， 则有PA PB PE PF ⋅=⋅． 所以PC PD PE PF ⋅=⋅，所以C 、D 、F 、E 四点共圆．如图，P 是O ⊙外一点，P A 切O ⊙于点A ，PBC 是O ⊙的割线，AD PO ⊥于D ．求证：B 、C 、O 、D 四点共圆．【解析】连接OA ，OB ，∵P A 是切线，∴OA PA ⊥，∵AD OP ⊥，∴2PA PD PO =⋅，又2PA PB PC =⋅，∴PD PO PB PC ⋅=⋅， ∴B 、C 、O 、D 四点共圆．AB CDP O OPD C BA模块一 四点共圆的判定（二）演练 1O 2O 1P FEDCBA999（1）如图3-1，2AB =，AC 平分DAB ∠，180DAB DCB ∠+∠=︒，120DCB ∠=︒，当ABD CBF ∠=∠时，则AC =__________．（2）如图3-2，正方形ABCD 的中心为O ，面积为2009，P 为正方形内的一点，且45OPB ∠=︒，:4:5PA PB =，则PB =__________．图3-1 图3-2【解析】（1）31+；（2）35．（2013年成都中考）如图，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=︒，BD BE ⊥，AD BC =．若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ DP ⊥，交直线BE 与点Q ，当点P 与A ，B 两点不重合时，求DPPQ 的值．【解析】由题意得，90DPQ DBQ ∠=∠=︒，∴D 、P 、B 、Q 四点共圆．∴DQP DBA ∠=∠，∴3=tan tan 5DP AD DQP DBA PQ AB ∠=∠==．PO DCBA 0E D A P B C Q E D A P B CQADCEB F1010成套资料，欢迎添加官方微信：alexlin227如图，已知在五边形ABCDE 中，3BAE α∠=，BC CD DE ==，且1802BCD CDE α∠=∠=︒-．求证：BAC CAD DAE ∠=∠=∠．【解析】连接BD 、CE ，∵BC CD =，1802BCD α∠=︒-，∴CBD CDB α∠=∠=，∴1803BDE α∠=︒-，∴180BAE BDE ∠+∠=︒，∴A 、B 、C 、D 、E 四点共圆． 同理A 、B 、C 、E 四点共圆，∴A 、B 、C 、D 、E 五点共圆， ∵BC CD DE ==，∴BAC CAD DAE ∠=∠=∠．如图所示，在梯形ABCD 中，AD//BC ，1BC BD ==，AB AC =，1CD <，且180BAC BDC ∠+∠=︒，求CD 的长．【解析】如图，作点D 关于BC 的对称点D ，连接AE 、BE 、CE ．设AE 与BC 交于点F ． 由AD//BC ，知点A 、E 到BC 的距离相等．则． 设，．由，得．故A 、B 、E 、C 四点共圆．由，得．故．又．故．由角平分线的性质得． 又因为，所以，，．于是，由，解得．故．EDCBA ABCDEAF EF =CD CE x ==AF EF m ==180BAC BDC ∠+∠=︒180BAC BEC ∠+∠=︒AB AC =ABC ACB ∠=∠AEB ACB ABC AEC ∠=∠=∠=∠EBF EAC ∠=∠BE AEBFE ACE EF CE⇒⇒=△∽△22m AE EF BE CE x =⋅=⋅=1BF BE CF CE x==1BF CF +=11BF x =+1xCF x =+22(1)xm AF EF BF FC x =⋅=⋅=+22(1)xx x =+21x =-21CD =-0A B DF CEA B D C111111。

专题07四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。

相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。

本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。

四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。

这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。

条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。

例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．【分析】根据题意得到四边形ABCD共圆，利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数．【详解】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故答案为：140°．【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．例2．（2022·安徽合肥·校考一模）如图，O 是AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC BD ，．下列结论不一定成立的是（）A ．12∠=∠B ．3=4∠∠C ．180ABC ADC ∠+∠=︒D ．AC 平分BAD∠【答案】D 【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆内接四边形的性质，圆周角定理逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知：OA OB OC OD ===．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．∵AB AB =，∴12∠=∠，故A 不符合题意；B ．∵BC BC =，∴3=4∠∠，故B 不符合题意；C ．∵四边形ABCD 是O 的内接四边形，∴180ABC ADC ∠+∠=︒，故C 不符合题意；D ．∵BC 和CD 不一定相等，∴BAC ∠和DAC ∠不一定相等，∴AC 不一定平分BAD ∠，故D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．例3．（2023·陕西·九年级期中）如图，已知AB=AC=AD ，∠CBD=2∠BDC ，∠BAC=44°，则∠CAD 的度数为（）A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°【答案】B 【详解】试题分析：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB ，再求出∠CBD ，然后根据∠ABD=∠ABC ﹣∠CBD 计算即可得解．如图，∵AB=AC=AD ，∴点B 、C 、D 在以点A 为圆心，以AB 的长为半径的圆上；∵∠CBD=2∠BDC ，∠CAD=2∠CBD ，∠BAC=2∠BDC ，∴∠CAD=2∠BAC ，而∠BAC=44°，∴∠CAD=88°，例4．（2022·绵阳市4模型2、定边对双直角共圆模型同侧型异侧型1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90ABD ACD ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。