矩形中的折叠问题

例1如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=6，BC=10，则CE的长为多少？分析：根据折叠可知：△ADE≌△AFE⇒AD=AF=BC=10,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=6，AF=10,根据勾股定理，得BF==8,所以CF=10-8=2.设CE的长为x,则DE=EF=6-x.在Rt△CEF中，CF=2,CE=x,EF=6-x,根据勾股定理列出方程，即可求出x的长.例2如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF,若AB=3,AD=4,你能求折痕EF的长吗？分析：连接AC交EF与点O，由翻折可得到FE垂直平分AC，那么AF=FC，易证△AEO≌△CFO.那么求出OF长，乘2后就是EF长，利用直角三角形ABF求解即可．总结矩形折叠问题解题技巧和关键步骤（1）折叠确定全等等量线段转移（2）求出线段长度（3）设未知数，利用勾股关系建立方程好记性不如烂笔头，快快整理笔记在笔记本上，找题目练练哦！题目已经给你们准备好啦专题小练一．选择题1．（2018•牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（ ）A．6 B．5C．4 D．32．（2019•辽阳）如图，直线EF是矩形ABCD的对称轴，点P在CD边上，将△BCP沿BP 折叠，点C恰好落在线段AP与EF的交点Q处，BC＝4，则线段AB的长是（ ）3．（2019•桂林）将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（ ）4．（2018•朝阳）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，E为AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A恰好落在对角线BD上的点F处，则折线BE的长为（ ）5．（2018•毕节市）如图，在矩形ABCD中，AD＝3，M是CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折得到△ANM，若AN平分∠MAB，则折痕AM的长为（ ）二．填空题（共4小题）6．（2019•盘锦）如图，四边形ABCD是矩形纸片，将△BCD沿BD折叠，得到△BED，BE交AD于点F，AB＝3．AF：FD＝1：2，则AF＝ ．7．（2019•西藏）如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为 ．8．（2019•长春）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC 相交于点G，则△GCF的周长为 ．9．（2019•青岛）如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为 cm．三．解答题10．（2019•滨州）如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．▍ 声明：本文整理自网络，如有侵权，请联系删除。

矩形的五种折叠方法折叠问题的实质是轴对称问题，折叠原理实际上是图形的全等问题，对应角相等，对应线段相等。

对应点的连线被折痕垂直平分。

矩形在日常生活中随处可见，矩形的性质又具有平行四边形的所有性质，并且具有对角线互相平分且相等的特有性质，它不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形.所以矩形的折叠问题是中考热点问题，并且折叠的方法不同，问题不同，给参加中考的考生带来各种各样的困境，为了让参加中考的孩子们轻松应考，先把矩形的折叠问题进行总结一下.一.沿对角线折叠例1.在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别落在x轴，y轴上，且OA=4，0C=3。

如图，将△OAB沿对角线OB翻折得到△OBN，ON与AB交于点M。

（1）判断△OBM是什么三角形，并说明理由，并求出△OBM的面积（2）求MN的长.【分析】由矩形性质可知，AB=OC=3,BC=OA=4,∠COA=∠OAB=90°OA∥BC 所以∠AOB=∠MBO根据折叠原理得∠AOB=∠MOB，所以∠MBO=∠MOB，∴MB=MO所以△OBM是等腰三角形，二．折一角，使直角顶点到对边例2.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A 在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝5，OC ＝4.在OC 边上取一点D ，将纸片沿AD 翻折，使点O 落在BC 边上的点E 处．则点D 的坐标是 ．【分析】折叠原理知，AE=AO=5，AB=OC=4，OD=ED 由勾股先求得BE=3，∴CE=2，然后设OD=x ，则CD=4-x在Rt △DCE 中由勾股定理即可求得OD 的长，然后就得到点D 的坐标。

练习：如图，折叠矩形的一边AD ，点D 落在BC 边上点F 处，已知AB=8，BC=10，则EC 的长是 。

（这道题目先求BF 的长，再求CF 的长，然后再勾股定理）练习2.如图，矩形纸片ABCD ，若把△ABE 沿折痕BE 上折叠，使A 点恰好落在CD 上，此时，AE:ED=5:3，BE=55，求矩形的长和宽。

长方形折叠问题的四个类型
长方形折叠问题是计算几何学中一个经典的问题，需要将一个矩形
单片纸折叠成不同的形状。

根据折叠的方式不同，长方形折叠问题可
以划分为四个类型。

一、矩形对折型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一边对折，得到的形状为一个小矩形。

其面积为原矩形面积的四分之一。

二、两个小矩形型
把矩形沿着某一边对折后再沿着另一个边对折，将得到两个小矩形。

这两个小矩形的面积之和等于原矩形面积。

三、梯形型
将矩形沿着某一边对折后再折成一三角形，将三角形的一条边与另一
边平行，得到的形状为梯形。

梯形的面积为原矩形面积的一半。

四、折叠成立体型
把矩形按一定方式折叠成一个几何立体体，如立方体、正四棱锥等。

这种类型的长方形折叠问题需要对几何概念和立体几何有一定的认识。

无论是哪种类型的长方形折叠问题，其解题方法都需要灵活掌握，考
虑到折叠的方向和次数，从而推导出最终的形状和面积。

长方形折叠
问题不仅能够训练我们的空间想象力，也有助于提高我们的计算能力和数学应用能力。

若点E，点F分别是边AB，边AD
上的点，将⊿AEF沿EF对折，使
C
点A落在边BC上，记为A′．观察
图形，请回答下列问题：
D
E
B
图4 A'
F
A
（1）如图1，BA’ = 3 .
（2）如图5，BA’ = 1 ，
5
AE= 3
.
（3）如图4，A’B的范围 是 1≤ A’B≤3 .
C
B (E)
A' 图1
D (F)
x
请探索：是否存在这样的点
F，使得将△CEF沿EF对折
后，C点恰好落在OB上？
若存在，求出点F的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2)过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于 点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求 点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
H B1
备用图
直击中考
（2015•绍兴）在平面直角坐标系中，O为原点，四边 形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P， 点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点 B关于PQ的对称点。 （1）若四边形OABC为矩形，如图1，①求点B的坐标；
（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题
课后练习
已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA所
在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边
BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比y例函k 数(k 0)
的图象与AC边交于点E．
动手折一折
如图矩形ABCD，在边BC上找一点E ，边 AD上找一点F ， 将矩形沿着直线EF折叠，使 点A对应点A′落在BC边上.