高三一轮复习等差数列(一)

高考数学第一轮复习：《等差数列》最新考纲1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系.【教材导读】1．“a ，A ，b 是等差数列”是“A ＝a ＋b2”的什么条件？ 提示：充分必要条件．2．如何推导等差数列的通项公式？ 提示：可用累加法．3．如何推导等差数列的前n 项和公式？ 提示：利用倒序相加法推导．1．等差数列的相关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n －a n －1＝d (n ≥2，n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 2．等差数列的通项公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)通项的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d . 3．等差数列的前n 项和公式(1)已知等差数列{a n }的首项a 1和第n 项a n ，则其前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2.(2)已知等差数列{a n }的首项a 1与公差d ，则其前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d .4．等差数列{a n }的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (其中m ，n ，p ，q ∈N *)，特别地，若p ＋q ＝2m ，则a p ＋a q ＝2a m (p ，q ，m ∈N *)．(2)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列． (3)若下标成等差数列，则相应的项也成等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)成等差数列．(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2n －1＝(2n －1)a n . 5．等差数列的增减性与最值公差d >0时为递增数列，且当a 1<0时，前n 项和S n 有最小值；d <0时为递减数列，且当a 1>0时，前n 项和S n 有最大值．6．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可得a n ＝dn ＋(a 1－d )，如果设p ＝d ，q ＝a 1－d ，那么a n ＝pn ＋q ，其中p ，q 是常数．当p ≠0时，(n ，a n )在一次函数y ＝px ＋q 的图象上，即公差不为零的等差数列的图象是直线y ＝px ＋q 上的均匀排开的一群孤立的点．当p ＝0时，a n ＝q ，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x 轴的直线(或x 轴)上的均匀排开的一群孤立的点．【重要结论】1．等差数列{a n }中，若a m ＝n ，a n ＝m ，则a m ＋n ＝0. 2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＝S n (m ≠n )， 则S m ＋n ＝0.3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ＝n ，S n ＝m ， 则S m ＋n ＝－(m ＋n )．1．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋1为等差数列，则a 11等于( )(A)0 (B)12 (C)23(D)2B 解析：由已知可得1a 3＋1＝13，1a 7＋1＝12分别是等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1 的第3项和第7项，其公差d ＝12－137－3＝124，由此可得1a 11＋1＝1a 7＋1＋(11－7)d ＝12＋4×124＝23.解之得a 11＝12. 2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)4(D)8C解析：设等差数列{an }的公差为d ，∴⎩⎨⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，∴d ＝4，故选C.3．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d 的取值范围是( ) (A)(－3，＋∞) (B)－∞，－83 (C)－3，－83(D)－3，－83D 解析：由题意知a 9≥0，a 10<0， ∴a 9＝a 1＋8d ＝24＋8d ≥0，d ≥－3. a 10＝a 1＋9d ＝24＋9d <0，d <－83. 综上知－3≤d <－83.故选D.4．设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为( ) (A)1 (B)2 (C)3(D)4B 解析：等差数列{a n }的前10项和为20，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)＝20.所以a 6＝4－a 5＝3.则{a n }的公差为a 6－a 5＝3－1＝2.故选B.5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝3，S 5＝25，则a 8＝( ) (A)16(B)15(C)14 (D)13B 解析：设公差为d ，由a 2＝3，S 5＝25可得a 1＋d ＝3,5a 1＋5×42d ＝25 ∴a 1＝1，d ＝2，则a 8＝a 1＋7d ＝15.考点一 等差数列的基本量运算(1)已知等差数列{a n }中，a 1010＝3，S 2017＝2017，则S 2018＝( ) (A)2018 (B)－2018 (C)－4036(D)4036(2)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) (A)8 (B)9 (C)10(D)11(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S 10＝110，则S n ＋64a n的最小值为( ) (A)7 (B)152 (C)172(D)8解析：(1)由等差数列前n 项和公式结合等差数列的性质可得： S 2017＝a 1＋a 20172×2017＝2a 10092×2017＝2017a 1009＝2017，则a 1009＝1，据此可得：S 2018＝a 1＋a 20182×2018＝1009(a 1009＋a 2010)＝1009×4＝4036.故选D.(2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10.(3)设{a n }的公差为d ，由a 2＝4，S 10＝110得⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，10a 1＋10×92d ＝110，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，故a n ＝2＋2(n －1)＝2n ， S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n . 所以S n ＋64a n＝n 2＋n ＋642n＝n 2＋32n ＋12≥2n 2·32n ＋12＝172，当且仅当n 2＝32n ，即n ＝8时取等号．故选C.【反思归纳】 等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可知三求二．解决这些问题一般设基本量a 1，d ，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用，体现整体代入的思想．【即时训练】 (1)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) (A)12 (B)13 (C)14(D)15(2)已知在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝3 700，则数列的公差d ，项数n 分别为( )(A)d ＝0.34，n ＝100 (B)d ＝0.34，n ＝99 (C)d ＝3499，n ＝100(D)d ＝3499，n ＝99(3)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份的量为( )(A)52(B)54(C)53 (D)56解析：(1)B 由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d＝3＋5×2＝13.故选B.(2)C由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，得⎩⎪⎨⎪⎧54＝20＋(n －1)d ，3700＝20n ＋n (n －1)d 2，解得d ＝3499，n ＝100.故选C.(3)C 易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a 1，公差为d ，根据题意，有[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53.故选C.考点二 等差数列的判断与证明已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，b n ＝S nn (n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， ∴b n ＝S n n ＝a 1＋12(n －1)d .法一：b n ＋1－b n ＝a 1＋12nd －a 1－12(n －1)d ＝d2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列．法二：b n ＋1＝a 1＋12nd ，b n ＋2＝a 1＋12(n ＋1)d ， ∴b n ＋2＋b n ＝a 1＋12(n ＋1)d ＋a 1＋12(n －1)d ＝2a 1＋nd ＝2b n ＋1. ∴数列{b n }是等差数列．【反思归纳】 判定数列{a n }是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数；(2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1； (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数；(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.【即时训练】 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x4x ＋1的图象上，b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)试问数列{a n }中a k ·a k ＋1(k ∈N *)是否仍是{a n }中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a n 4a n ＋1，1a n ＋1＝4＋1a n，∴1a n ＋1－1a n＝4，即b n ＋1－b n ＝4， ∴数列{b n }是以1为首项，4为公差的等差数列， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋4(n －1)＝4n －3. 又b n ＝1a n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝14n －3.(2)由(1)可得a k ·a k ＋1＝14k －3·14(k ＋1)－3＝116k 2－8k －3＝14(4k 2－2k )－3， ∵4k 2－2k ＝2k (2k －1)∈N *，∴a k ·a k ＋1∈{a n }，所以a k ·a k ＋1是数列{a n }中的项，是第4k 2－2k 项． 考点三 等差数列的性质(1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )(A)0(B)37(C)100 (D)－37(2)等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是()(A)20 (B)22(C)24 (D)－8(3)等差数列{a n}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．解析：(1)设{a n}，{b n}的公差分别为d1，d2，则(a n＋1＋b n＋1)－(a n＋b n)＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝d1＋d2，所以{a n＋b n}为等差数列．又a1＋b1＝a2＋b2＝100，所以{a n＋b n}为常数列．所以a37＋b37＝100.(2)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(3)由S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，可得2(S2m－S m)＝S m＋S3m－S2m，即S2m＝3S m＋S3m3＝3×30＋903＝60.答案：(1)C(2)C(3)60【反思归纳】一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(m，m，p，q∈N*)．【即时训练】(1)等差数列{a n}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，则数列{a n}的前9项和为()(A)66 (B)99(C)144 (D)297(2)设S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当S n最大时，n等于()(A)6 (B)7(C)8 (D)9(3)在等差数列{a n}中，S n为前n项和，2a7＝a8＋5，则S11＝()(A)55 (B)11(C)50 (D)60解析：(1)由a1＋a7＝2a4＝26，得a4＝13.由a3＋a9＝2a6＝18，得a6＝9.S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝99.故选B.(2)因为S 5＝S 9， 所以a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0. 又a 6＋a 9＝a 7＋a 8， 所以a 7＋a 8＝0， 又a 1>0， 所以a 7>0，a 8<0.所以当n ＝7时S n 最大．故选B.(3)由2a 7＝a 8＋5，a 6＝5，S 11＝(a 1＋a 11)·112＝11a 6＝55.故选A.答案：(1)B (2)B (3)A等差数列的最值问题教材源题：已知等差数列5,427，347，…的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值． 解：由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57， 所以S n ＝n 22×5＋(n －1)－57 ＝75n －5n 214＝－514n －1522＋1 12556.于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，S n 取最大值．【规律总结】 求等差数列的前n 项和S n 的最值时，需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件．若对称轴取不到，需考虑最接近对称轴的自变量n (n 为正整数)；若对称轴对应两个正整数的中间，此时应有两个符合题意的n 值．【源题变式】 等差数列{a n }的首项a 1>0，设其前n 项和为S n ，且S 5＝S 12，则当n 为何值时，S n 有最大值？解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－18a 1<0. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2·－18a 1 ＝－116a 1(n 2－17n ) ＝－116a 1n －1722＋28964a 1，因为a 1>0，n ∈N *，所以n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值． 法二 设等差数列{a n }的公差为d ，同法一得 d ＝－18a 1<0.设此数列的前n 项和最大，则⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)·－18a 1≥0，a n ＋1＝a 1＋n ·－18a 1≤0，解得⎩⎨⎧n ≤9，n ≥8，即8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) (A)28 (B)21 (C)14(D)7D 解析：解法一 由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5(a 1＋3d )＝5，即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D.解法二 由6a 3＋2a 4－3a 2＝5，得6(a 4－d )＋2a 4－3(a 4－2d )＝5， 即5a 4＝5，所以a 4＝1，所以S 7＝7×(a 1＋a 7)2＝7×2a 42＝7a 4＝7，故选D.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( ) (A)18 (B)12 (C)9(D)6D 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.3．等差数列{a n }中，已知a 5＞0，a 4＋a 7＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) (A)S 7 (B)S 6 (C)S 5(D)S 4C 解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5.故选C.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )(A)10 (B)9 (C)5(D)4C 解析：解法一 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧11a 1＋11×102d ＝22，a 1＋3d ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－33，d ＝7.所以S n ＝－33n ＋n (n －1)2×7＝72n 2－73n 2＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫n －73142－72×⎝ ⎛⎭⎪⎫73142，因为n ∈N *，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.解法二 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又a 5＝－5＜0，a 6＝2＞0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.5．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )(A)54钱 (B)43钱 (C)32钱(D)53钱B 解析：依题意，设甲所得为a 1，公差为d ，则a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5＝52，即2a 1＋d ＝3a 1＋9d ＝52，解得a 1＝43，∴甲得43钱．故选B.6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为( ) (A)15 (B)21 (C)23(D)25D 解析：由题意有：a 1＋5d ＝3(a 1＋3d )⇒a 1＝－2d ，λ＝S 10a 4＝10a 1＋10×92d a 1＋3d＝25，故选D.7．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：∵a n ＋1－a n ＝2(n ≥1)，∴{a n }为等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)×2，即a n ＝2n －1. 答案：2n －1.8．(2019苏北四市一模)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 8＝11，则3a 3＋a 11的值为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得a 2＋a 8＝11＝2a 5，则a 5＝112，所以3a 3＋a 11＝3(a 5－2d )＋a 5＋6d ＝4×112＝22.答案：229．由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且a n b n ＝2n －13n －1，则S 5T 5＝________.解析：由S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3，T 5＝5(b 1＋b 5)2＝5b 3，得S 5T 5＝a 3b 3＝2×3－13×3－1＝58.答案：5810．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3.因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.能力提升练(时间：15分钟)11．今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )(A)12日 (B)16日 (C)8日(D)9日D 解析：由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即n (103＋13n ＋90)2＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.12．已知数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，则a n ＝________. 解析：数列{a n ＋1－a n }是公差为2的等差数列，且a 1＝1，a 3＝9，∴a n ＋1－a n ＝(a 2 －1)＋2(n －1)， a 3－a 2 ＝(a 2－1)＋2，∴3－a 2＝(a 2－1)＋2，∴a 2＝1. ∴a n ＋1－a n ＝2n －2，∴a n ＝2(n －1)－2＋2(n －2)－2＋……＋2－2＋1＝2×(n －1)n2－2(n －1)＋1＝n 2－3n ＋3. ∴a n ＝(n 2－3n ＋3)2.n ＝1时也成立． 则a n ＝(n 2－3n ＋3)2. 答案：(n 2－3n ＋3)2.13．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d ＝________. 解析：因为a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，所以(m －n )d ＝1n －1m ，所以d ＝1mn ，所以a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12015，即d ＝12015.答案：1201514．设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N ＋)；②b n ≤M (n ∈N ＋，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和：a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18， 解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋9n .(2){S n }是“特界”数列，理由如下：由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝a n ＋2－a n ＋12＝d 2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N ＋)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．15．(2019南昌模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明：因为b n ＝1a n，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n 2a n ＋1＝2a n ＋1a n .所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n－1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又b n ＝1a n，所以a n ＝1b n＝12n －1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝1.2n－1。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（ ） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（ ） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（ ） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（ ） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（ ） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（ ） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （ ） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（ ） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____． 三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =， 所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由535S =得151035a d +=， 因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+， 所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立， 所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=， 所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-； 选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．三、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式：①()12nnn a aS+=；②()112nn nS na d-=+．五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例2．下列数列中不是等差数列的为（ ） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0二、等差数列通项公式例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26C ．18D ．13例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )A ．2-B ．3-C ．2D ．3例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8三、等差数列的性质例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．3例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66C ．144D ．297例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．23X Z Y +=B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（ ）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，214a =，且a 4+a 5=6a 3．练习A1．下列说法中正确的是（ ）A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（ ）A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )A ．9-B ．6-C ．3-D ．275．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．126．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141(3a a -= )A ．15B ．30C ．45D ．607．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )A ．9-B ．8-C ．92-D ．4-8．在等差数列{}n a 中，公差为12，1359960a a a a +++⋯+=，则246100(a a a a +++⋯+= ) A ．60 B ．70 C ．75 D ．859．已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=，则有( )A ．3890a a +=B ．2900a a +<C ．1910a a +>D ．4646a =10．已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan (a = )A．BC． D．11．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．412．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20C ．24D ．2813．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22C ．24D ．2814．等差数列{}n a 中，156a a +=，65a =，那么9a 的值是( ) A ．7- B ．7 C ．113-D ．11315．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于( )A．1+B．1-C．3+D．3-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．317．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13(S = ) A ．13 B ．14C ．26D ．5218．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5 B ．7C ．9D ．1019．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13C ．16D ．2620．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9(S = ) A ．66 B ．99C ．144D ．29721．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6(S = ) A ．6 B ．12C ．15D ．1822．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．923．数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项24．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 得最小正值时，n 等于( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．2125．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④26．在等差数列{}n a 中，128a =-，公差4d =，若前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为( ) A ．7 B ．8C ．7或8D ．8或927．数列{}n a 是首项为111a =，公差为2d =-的等差数列，那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7练习B1．设{}n a 为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2C ．3D ．42．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( ) A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n <<C ．1n n Sa a n<<D ．1,,n n Sa a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若3916S S =，则612(S S = )A ．110B ．310C ．510D ．7105．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是( )A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S6．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若3221n n S n T n -=+，则77(ab = ) A ．3727B ．3828C ．3929D ．40307．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．已知点(n ，*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上，那么在数列n a 中有79(a a += )A ．790a a +>B ．790a a +<C ．790a a +=D ．790a a =9．已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a10．在等差数列{}n a 中，15a =，470a a +=，则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．已知数列{}n a 中，132(3n n a a ++= *)n N ∈，且356820a a a a +++=，那么10a 等于( ) A ．8 B ．5 C ．263D ．712．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n=，则( ) A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2dC ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为dD ．数列{}n n a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2d13．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．5114．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( )A ．83d > B ．3d < C ．833d < D ．833d <15．在数列{}n a 中，若1332()n n a a n N +=+∈，且247920a a a a +++=，则10a 为( ) A ．5 B ．7C ．8D ．1016．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．917．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48(a a += )A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值318．已知实数序列1a ，2a ，⋯，n a 满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5C ．6D ．719．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ，下列四个命题中，假命题是( )A ．公差d 的最大值为2-B ．70S <C ．记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30D ．20162017a a >练习C1．已知||0x y >>．将四个数,,x x y x y -+( )A ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列B ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列C ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列D ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( )A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n<<C ．1nn S a a n<< D ．1,,nn S a a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．等差数列，的前项和分别为，，若，则 A ． B ．C ．D ．5．在等差数列中，，其前项和为，若，则 A ． B ．C ．2008D ．20096．设为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设表示等差数列的前项和，已知，那么等于 A ．B ．C ．D ．8．等差数列中，，，则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A ．B ．C ．D ．9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为A ．22B ．21C ．20D ．1910．设等差数列的公差为，前项和为．若，则的最小值为 A ．10 B ．C ．D ．二．填空题（共2小题） 11．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则使取得最小正数的 19 ．12．已知两个等差数列、的前项和分别为和，若，则使为整数的正整数的个数是 5个 ．课后练习1．等差数列中，若，则 ．2．设等差数列的前项和为，若，，则 0 ，的最小值为 ．3．等差数列中，，，则取最大值时， 6或7 ．4．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为 （答案不唯一） ．5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于 ．6．若等差数列满足，则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二．解答题（共3小题）7．在等差数列中，已知，，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求．8．设等差数列满足，． （1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值．9．已知为等差数列，，． ( I ) 求数列的通项公式以及前项和． （Ⅱ）求使得的最小正整数的值．{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。

城东蜊市阳光实验学校第三课时等差数列一、复习目的：1、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题；2、理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质并能灵敏运用。

二、重难点：理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式、前n项和公式并能解决实际问题；理解等差中项的概念,掌握等差数列的性质，灵敏运用等差数列的性质解题.会求等差数列的公差、求项、求值、求S最值等通常运用等差数列的有关公式及其性质.和、求n三、教学方法：讲练结合，归纳总结，稳固强化。

四、教学过程〔一〕、谈最新考纲要求及高考命题考察情况，促使积极参与。

数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。

对于本节来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列及等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等根本知识和根本性质的灵敏应用，对根本的计算技能要求比较高。

〔1〕题型以等差数列及等比数列的公式、性质的灵敏应用为主的1~2道客观题目；〔2〕关于等差数列，等比数列的实际应用问题或者者知识交汇题的解答题也是重点；〔二〕、知识梳理，方法定位〔学生完成以下填空，教师准对问题讲解〕1.等差数列的概念：假设一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d，这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差.2.通项公式与前n项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.⑵前n 项和公式2)(1n na a n S +=或者者d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项：假设b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的断定方法： ⑴定义法：d a a n n =-+1〔+∈N n ，d 是常数〕⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.5.等差数列的常用性质： ⑴数列{}n a 是等差数列，那么数列{}p a n +、{}n pa 〔p 是常数〕都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等间隔取出假设干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n)(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷假设),,,(+∈+=+N q p n m q p nm ，那么q p n m a a a a +=+；⑸假设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，那么⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列；⑹当项数为)(2+∈N n n ，那么nn a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n，那么nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. 6.等差数列中求n S 最值的方法：〔1〕、不等式组法；〔2〕、性质法；〔3〕、二次函数配方法。

自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1． 已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名 班主任 日期时间段 年级 课时 教学内容 等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点 等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一 等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二 等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三 等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四 等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。

第二节 等差数列及其前n 项和等差数列(1)理解等差数列的概念．(2)掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． (4)了解等差数列与一次函数的关系． 知识点一 等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫作a ，b 的等差中项．易误提醒1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．[自测练习]1．现给出以下几个数列：①2,4,6,8，…，2(n －1)，2n ；②1,1,2,3，…，n ；③常数列a ，a ，a ，…，a ；④在数列{a n }中，已知a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝2.其中等差数列的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由4－2＝6－4＝…＝2n －2(n －1)＝2，得数列2,4,6,8，…，2(n －1)，2n 为等差数列；②因为1－1＝0≠2－1＝1，所以数列1,1,2,3，…，n 不是等差数列；③常数列a ，a ，a ，…，a 为等差数列；④当数列{a n }仅有3项时，数列{a n }是等差数列，当数列{a n }的项数超过3项时，数列{a n }不一定是等差数列．故等差数列的个数为2.答案：B2．若2，a ，b ，c,9成等差数列，则c －a ＝________. 解析：由题意得该等差数列的公式d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.答案：72知识点二 等差数列的通项及求和公式 等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝(a 1＋a n )n2. 必记结论1．巧用等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．2．前n 项和公式S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 视为关于n 的一元二次函数，开口方向由公差d 的正负确定；S n ＝(a 1＋a n )n2中(a 1＋a n )视为一个整体，常与等差数列性质结合利用“整体代换”思想解题．[自测练习]3．(2016·日照模拟)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝2，a 2＋a 3＝13，那么a 4＋a 5＋a 6等于( )A ．40B ．42C ．43D ．45解析：设等差数列公差为d ，则有a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝4＋3d ＝13，解得d ＝3，故a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3(a 1＋4d )＝3×(2＋4×3)＝42，故选B.答案：B4．(2015·兰州诊断)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝( ) A ．18 B ．36 C ．54D ．72解析：由S 8＝8×(a 1＋a 8)2，又a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝18，∴S 8＝8×182＝72.答案：D5．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 2＋a 6＝a 8，则S 5a 5＝________.解析：在等差数列中，由a 2＋a 6＝a 8得2a 1＋6d ＝a 1＋7d ，即a 1＝d ≠0， 所以S 5a 5＝5a 1＋5×42d a 1＋4d ＝5a 1＋10da 1＋4d ＝155＝3.答案：3考点一 等差数列的基本运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11解析：法一：数列{a n }为等差数列，设公差为d ，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝5(a 1＋2d )＝5.法二：数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝5.答案：A2．等差数列{a n }中，a 1＝12 015，a m ＝1n ，a n ＝1m (m ≠n )，则数列{a n }的公差d 为________．解析：∵a m ＝12 015＋(m －1)d ＝1n ，a n ＝12 015＋(n －1)d ＝1m ，∴(m －n )d ＝1n －1m ，∴d ＝1mn ，∴a m ＝12 015＋(m －1)1mn ＝1n ，解得1mn ＝12 015，即d ＝12 015. 答案：12 0153．(2015·通州模拟)已知等差数列{a n }中，a 2＝－2，公差d ＝－2，那么数列{a n }的前5项和S 5＝________.解析：将已知条件代入公式易得S 5＝5(a 2－d )＋5×42d ＝－20.答案：－20等差数列的基本运算的两个解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．考点二 等差数列的判断与证明|已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． [解] (1)证明：1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13，∴{b n }是等差数列．(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.等差数列的四种判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列． 证明：∵a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1， ∴当n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52，∴数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．考点三 等差数列的性质及最值|(1)(2016·泉州质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＋a 14＝10，则S 18＝( )A ．20B ．60C ．90D ．100[解析] 因为{a n }是等差数列，所以S 18＝18(a 1＋a 18)2＝9(a 5＋a 14)＝90，故选择C.[答案] C(2)(2015·广州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40[解析] 本题考查等差数列的性质．这个数列的项数为2n ，于是有2×n ＝25－15＝10,2n ＝10，即这个数列的项数为10，故选A.[答案] A(3)已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项的和，S 10＝S 22. ①求S n ；②这个数列前多少项的和最大？并求出这个最大值．[解] ①∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10， S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0， 即12(a 11＋a 22)2＝0，即a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0. 又a 1＝31，∴d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.②法一：由①知，S n ＝32n －n 2＝－(n －16)2＋256， ∴当n ＝16时，S n 有最大值256. 法二：由①知，令⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝31＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋33≥0，a n ＋1＝31＋n ·(－2)＝－2n ＋31≤0(n ∈N *)，解得312≤n ≤332，∵n ∈N *，∴n ＝16时，S n 有最大值256.求等差数列前n 项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．(2)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋12时，S n 最大．2．(2015·深圳调研)等差数列{a n }中，已知a 5>0，a 4＋a 7<0，则{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )A ．S 7B ．S 6C ．S 5D ．S 4解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6<0，a 5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0，a 6<0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：C3．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝18，则a 8＝________.解析：等差数列性质可得S 3＝3，S 6－S 3＝15，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8成等差数列，故有2(S 6－S 3)＝S 3＋S 9－S 6⇒2×15＝3＋3a 8，解得a 8＝9.答案：917.整体思想在等差数列中的应用【典例】 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A.94 B.32 C.53D ．4[思路点拨] 若利用a ，d 基本计算较繁，可考虑S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，采用整体求值较简便．[解析] 由等差数列的性质可知S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，由S 4S 2＝4，得S 4－S 2S 2＝3，则S 6－S 4＝5S 2，所以S 4＝4S 2，S 6＝9S 2，S 6S 4＝94.[答案] A[方法点评] 利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手，把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法．有不少等差数列题，其首项、公差无法确定或计算烦琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 解析：∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∴S 30－S 20＝10＋2×10＝30， ∴S 30＝60.答案：60A 组 考点能力演练1．已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 9＝18，a n －4＝30(n >9)，若S n＝336，则n 的值为( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：因为{a n }是等差数列，所以S 9＝9a 5＝18，a 5＝2，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 5＋a n －4)2＝n2×32＝16n ＝336，解得n ＝21，故选择D.答案：D3．(2015·武昌联考)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案：C4．在等差数列{a n }中，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝40，则3a 1＋a 11＝( ) A ．20 B ．30 C ．40D ．60解析：本题考查等差数列的通项公式及性质的应用．由等差数列的性质得a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2(a 3＋a 4)＝40，解得a 3＋a 4＝20，即a 3＋a 4＝2a 1＋5d ＝20，又3a 1＋a 11＝4a 1＋10d ＝2(2a 1＋5d )＝40，故选C.答案：C5．已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，S n ，T n 分别是它们的前n 项和，并且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( ) A.345 B ．5 C.314D.315解析：法一：令S n ＝(7n ＋1)n ，T n ＝(n ＋3)n ，则a n ＝14n －6，b n ＝2n ＋2，所以a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝22＋64＋232＋30218＋22＋26＋34＝315.法二：设等差数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝4a 1＋42d 14b 1＋42d 2＝2a 1＋21d 12b 1＋21d 2＝a 1＋a 22b 1＋b 22＝S 22T 22＝7×22＋122＋3＝315.答案：D6．(2015·广州一模)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 8－S 3＝20，则S 11＝________. 解析：因为{a n }是等差数列，所以S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝20，所以a 6＝4，所以S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝44.答案：447．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝1×S 1＋(1＋2)a 1＝1×a 1＋3a 1＝4，b 2＝2×S 2＋(2＋2)a 2＝2×(a 1＋a 2)＋(2＋2)a 2＝8，所以等差数列{b n }的首项为4，公差为4，所以b n ＝4＋(n －1)×4＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n .当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2(n ＋1)n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，所以a n ＝n2n －1. 答案：n 2n－18．设等差数列{a n }满足公差d ∈N *，a n ∈N *，且数列{a n }中任意两项之和也是该数列的一项．若a 1＝35，则d 的所有可能取值之和为________．解析：本题考查等差数列的通项公式．依题意得a n ＝a 1＋(n －1)d ，a i ＋a j ＝2a 1＋(i ＋j －2)d ＝a 1＋(m －1)d (i ，j ，m ∈N *)，即(m －i －j ＋1)d ＝a 1，kd ＝a 1＝35(其中k ，d ∈N *)，因此d 的所有可能取值是35的所有正约数，即分别是1,3,32,33,34,35，因此d 的所有可能取值之和为1－35×31－3＝364. 答案：3649．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55，a 2＋a 7＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 1＝a 1且b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．解：(1)由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16，∵公差d >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n ≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1， ∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n ≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．10．(2015·南昌一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n >a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ，①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1(n ≥2)，②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n . (2)λb n >a n 恒成立⇒λ>n2n 恒成立，设c n ＝n 2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n， 当n ≥2时，c n <1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ>12. B 组 高考题型专练1．(2015·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0，故选B. 答案：B2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192，选B. 答案：B3．(2015·高考北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( )A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0解析：若{a n }是递减的等差数列，则选项A ，B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 答案：C4．(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．解析：因为a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，所以数列{a n }是首项为1、公差为12的等差数列，所以前9项和S 9＝9＋9×82×12＝27. 答案：275．(2015·高考北京卷)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．6．(2015·高考重庆卷)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2,3a 1＋3×22d ＝92， 即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32， 解得a 1＝1，d ＝12， 故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12. (2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2， 故{b n }的前n 项和T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.。

等差数列1、在等差数列｛a n}中,已知a3+ａ4=10,ａａ—３+a n-2=３0,前n项之和是１00,则项数ａ为() ﻫＡ、９B、10Ｃ、1１Ｄ。

12２、在等差数列{a n｝中,ａ3+a６＋a9=54,设数列{a n｝的前n项和为S n,则Ｓ１1=( )A、１8B、９９C。

19８D。

2973。

设｛ａn}是等差数列,下列结论中正确的是()A。

若a1a2＞0,则a2a3＞0Ｂ、若a1a3＜0,则a1a２<０ﻫＣ。

若ａ１<a2,则ａ2２＜a１a3Ｄ。

若a１≥a２,则a22≥ａ1a34、已知等差数列数列｛ａn｝满足a n+1＋a n=4ａ,则a1=( )A。

—1B、１Ｃ。

2Ｄ、35、在等差数列｛a n}中,已知a1=3,a9=11则前9项和S9=( )A、63B、65C、72Ｄ、6２６、已知等差数列{aａ}满足a1=—4,ａ4＋ａ6=16,则它的前10项和Ｓ10＝( )A。

138B、９5C。

２3D、１３５7、已知等差数列{ａn｝的前n项和为S n,公差为d,若ａ1＜０,S１2=S6,下列说法正确的是()A。

ａ<０B。

Ｓ1９〈0C。

当n=9时S n取最小值Ｄ、S10＞08。

在等差数列{a n}中,已知a5+a10＝12,则3a7＋ａ９等于()A、30B、２4C、18Ｄ、1２9、已知S n是等差数列｛a n}的前n项和,且S６=3,S11=18,则a９等于( ) ﻫA。

3Ｂ、5Ｃ。

8D、1５1０、在等差数列｛a n｝中,ａ９=ａ12＋６,a２=4,设数列｛a n}的前n项和为Ｓａ,则数列{｝的前10项和为( ) ﻫA、B、C、D、11。

在等差数列｛a n}中,已知a2+a3=13,a1=2,则a4+ａ５＋a6= _＿____ 、12。

在公差大于1的等差数列{a n｝中,已知ａ1２=64,ａ2+ａ3＋ａ１0=３6,则数列{｜a n｜}的前20项和为______ 。

13、已知｛a n｝为等差数列,S n为其前n项和、若a1=６,a3+a5=0,则S6= _＿＿___ 、１4。

7.2等差数列基础篇固本夯基考点一等差数列及其前n项和1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D. 2 3答案D2.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n答案A3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a n}中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2022届福建南平10月联考,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+2a4+a10=32,则S9=. 答案725.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案256.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.答案3n2-2n7.(2019课标Ⅲ理,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.答案 48.(2022届海南东方琼西中学月考,17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项公式a n ; (2)若S n =242,求n.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,依题意有{a 10=a 1+9d =30,a 20=a 1+19d =50,解得{a 1=12,d =2,所以a n =2n+10(n ∈N *). (2)由(1)可得S n =12n+n(n−1)2×2=n 2+11n,令n 2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11. 9.(2022届广东肇庆统一检测一)在等差数列{a n }中,a 1=10,公差d>0,其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列{b n }的前三项. (1)求d 的值;(2)设{a n }中不包含{b n }的项按从小到大的顺序构成新数列{c n },记{c n }的前n 项和为S n ,求S 100. 解析 (1)由a 1=10,公差为d,得a 2=10+d,a 3=10+2d,a 4=10+3d. ①若删去第1项,则(10+2d)2=(10+d)(10+3d),解得d=0,不符合题意; ②若删去第2项,则(10+2d)2=10×(10+3d),解得d=0或d=-52,不符合题意; ③若删去第3项,则(10+d)2=10×(10+3d),解得d=0(舍去)或d=10; ④若删去第4项,则(10+d)2=10×(10+2d),解得d=0,不符合题意. 综上可知,d=10.(2)由(1)可知,a n =10+(n-1)×10=10n,等比数列{b n }的前三项分别为10,20,40,所以数列{b n }是以10为首项,2为公比的等比数列,所以b n =10·2n-1, 所以b 7=640,b 8=1280,又a 107=1070,所以可知{a n }的前107项中有7项被删除,即c 100=a 107.设数列{a n }的前n 项和为H n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则S 100=H 107-T 7=107×(10+1 070)2-10×(1−27)1−2=56510.10.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=S 5,a 2·a 4=S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)求使得S n >a n 成立的n 的最小值.解析 (1)a 3=S 5⇒a 1+2d=5a 1+10d ⇒4a 1+8d=0⇒a 1+2d=0⇒a 1=-2d,① a 2·a 4=S 4⇒(a 1+d)(a 1+3d)=4a 1+6d,② 将①代入②得-d 2=-2d ⇒d=0(舍)或d=2, ∴a 1=-2d=-4,∴a n =-4+(n-1)×2=2n-6. (2)由(1)知a n =2n-6, S n =na 1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n 2-5n. S n >a n ⇔n 2-5n>2n-6⇔n 2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0, 解得n<1(舍)或n>6,∴n 的最小值为7.11.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解析 (1)设{a n }的公差为d.由S 9=-a 5得a 1+4d=0.由a 3=4得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d,故a n =(n-5)d,S n =n(n−9)d2.由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N *}.考点二等差数列的性质1.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n,且a4b6=13,则S7T11=()A.7 33B.13C.1433D.711答案A2.(2021广州月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D3.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{a n}是公差为d的等差数列,前n项和是S n,若S9<S8<S10,则()A.d>0,S17>0B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0D.d>0,S18>0答案D4.(2020浙江,7,4分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能．．．成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8答案D5.(2020北京,8,4分)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B6.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 答案 167.(2021广东韶关一模,14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 6+a 7=1,则S 12= ,若a 7<0,则使得不等式S n <0成立的最小整数n= . 答案 6;13综合篇 知能转换A 组考法一 等差数列的判定1.(2021山东聊城二模,8)已知数列{a n },a n =1f(n),其中f(n)为最接近√n 的整数,若{a n }的前m 项和为20,则m=( )A.15B.30C.60D.110 答案 D2.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *且n ≥2. (1)求证:数列{1a n −3}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设b n =a n(n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n−1−9a n−1,∴1a n −3-1a n−1−3=a n−13a n−1−9-1a n−1−3=a n−1−33(a n−1−3)=13.又∵1a 1−3=13,∴数列{1a n −3}是以13为首项,13为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n −3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n.(3)∵b n=a n(n+1)2=3n(n+1)=3(1n−1n+1),∴T n=b1+b2+…+b n=3(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)=3(1−1n+1)=3n n+1.3.(2022届江苏苏州调研)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2n+1+2(n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=a n4n,若T n=b1+b2+b3+…+b n,求T n.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1-2n,化简得a n=2a n-1+2n,即a n 2n -a n−12n−1=1,因此,数列{a n2n}是首项和公差均为1的等差数列,所以a n2n=n,a n=n·2n(n∈N*).(2)由(1)可得b n=n2n =n+12n−1-n+22n,则T n=220-321+321-422+…+n+12n−1-n+22n=2-n+22n.4.(2022届江苏百校联考一,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)若{a n}为等差数列,求S10.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1可得a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由S1=a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知a3=λ+1,因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4,故a n+2-a n=4,所以数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,可得a2n-1=4n-3=2(2n-1)-1,数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,可得a2n=4n-1=2·2n-1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以S10=10×(1+19)2=100.5.(2022届广东开学考,17)已知数列{a n}中,a1=1,且满足a n+1=a n-2n,b n=a n+n2(n∈N*).(1)证明:数列{b n}是等差数列,并求数列{b n}的通项公式;(2)设S n为数列{1b n·b n+1}的前n项和,求满足S n≥512的n的最小值.解析 (1)因为b n+1-b n =a n+1+(n+1)2-(a n +n 2)=a n+1-a n +2n+1=1,b 1=a 1+12=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列.所以b n =2+(n-1)=n+1. (2)因为1b n ·b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以S n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n 2(n+2),由n 2(n+2)≥512解得n ≥10,所以满足S n ≥512的n 的最小值为10.6.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1={a n +1,n 为奇数,a n +2,n 为偶数.(1)记b n =a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式; (2)求{a n }的前20项和.解析 (1)由题意得a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, 所以a 2n+2=a 2n +3,即b n+1=b n +3,且b 1=a 2=a 1+1=2, 所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列, 所以b 1=2,b 2=5,b n =2+(n-1)×3=3n-1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1-1. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=[(a 2-1)+(a 4-1)+…+(a 20-1)]+(a 2+a 4+…+a 20) =2(a 2+a 4+…+a 20)-10,由(1)可知a 2+a 4+…+a 20=b 1+b 2+…+b 10=10×2+10×92×3=155, 故S 20=2×155-10=300,即{a n }的前20项和为300.7.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{a n}的公差为d,因为{√S n}是等差数列,所以2√S2=√S1+√S3,即2√2a1+d=√a1+√3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2√a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2√a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1−d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列{a n}的前n项和S n=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以√S n=n√a1.则√S n+1-√S n=(n+1)√a1-n√a1=√a1,所以数列{√S n}是公差为√a1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{√S n}的公差为d,因为√S1=√a1,√S2=√a1+a2=√a1+3a1=2√a1,所以d=√S2-√S1=2√a1-√a1=√a1,则等差数列{√S n}的通项公式为√S n=√a1+(n-1)√a1=n√a1,所以S n=n2a1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2n-1)a1,n∈N*,则a n+1-a n=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{a n}是公差为2a1的等差数列.8.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+a n-1=2n(n≥2,n∈N*).(1)记b n=a2n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)依题意得,a2+a1=4,又a1=1,故b1=a2=3.因为a2n+2+a2n+1=4n+4,a2n+1+a2n=4n+2,所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2. 因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1. (2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k−1)·k 2+(3+2k+1)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)−12. 因此,S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.解法二:当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2) =1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n−1)(n+3)2+1=n(n+2)−12,S 1=a 1=1=1×3−12也满足上式. 故S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.9.(2021全国乙理,19,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n +1b n=2. (1)证明:数列{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.解析 (1)证明:由b n =S 1·S 2·…·S n 可得,S n ={b 1,n =1,b nb n−1,n ≥2.由2S n +1b n=2知,当n=1时,2S 1+1b 1=2,即2b 1+1b 1=2,所以b 1=S 1=32,当n ≥2时,2b n b n−1+1b n =2,即2b n =2b n-1+1,即b n -b n-1=12,故数列{b n }是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =32+(n-1)×12=n+22,故当n ≥2时,S n =b n b n−1=n+2n+1,S 1也符合该式, 即S n =n+2n+1(n ∈N *),从而a 1=S 1=32, 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+2n+1-n+1n =-1n(n+1),a 1不符合该式,所以a n ={32,n =1,−1n(n+1),n ≥2. 考法二 等差数列前n 项和的最值问题1.(多选)(2022届石家庄二中开学考试,11)设数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 1>0且S 6=S 9,则( ) A.d>0 B.a 8=0C.S 7或S 8为S n 的最大值D.S 5>S 6 答案 BC2.(多选)(2022届广东珠海二中10月月考,11)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则( ) A.a 5=0B.{a n }的前n 项和中S 5最小C.nS n 的最小值为-49D.S n n的最大值为0 答案 BC3.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,3)已知等差数列{a n }的通项公式为a n =9-2n,则其前n 项和S n 的最大值为( )A.15B.16C.17D.18 答案 B4.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,814] 答案 C 5.(多选)(2022届江苏苏州调研,10)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题正确的是( )A.若d<0,则数列{S n }有最大值B.若数列{S n }有最大项,则d<0C.若对任意的n ∈N *,S n+1>S n 恒成立,则S n >0D.若对任意的n ∈N *,均有S n >0,则S n+1>S n 恒成立答案 ABD6.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析 方案一:选①.因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−3, 当n 为奇数时,S n =4[1−(−12)n]1+12=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1−12n ),且S n =83(1−12n )<83<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(−16)=-16n+256,由-16n+256≥0,得n ≤25, 所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(−16)=50,所以S n 的最大值为50.方案三:选③.因为a n+1=a n +n-8,所以a n+1-a n =n-8,所以a 2-a 1=-7,a 3-a 2=-6,……,a n -a n-1=n-9(n ≥2),则a n -a 1=a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n -a n-1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162,又a 1=4,所以a n =n 2−17n+242, 当n ≥16时,a n >0恒成立,故S n 不存在最大值.7.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值.解析 (1)设{a n }的公差为d,由题意得3a 1+3d=-15.由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.(2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16.8.(2022届湖南湘潭模拟,17)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且a n+1=a n +d(n ∈N *,d 为常数),若S 3=12,a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0.求:(1)数列{a n }的通项公式;(2)S n 的最值.解析 (1)由a n+1=a n +d(d 为常数)知数列{a n }是等差数列,且d 为公差.由S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12得a 2=4, 由a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0得(a 3-5)(a 5+2)=0,所以a 3=5或a 5=-2,由{a 2=4,a 3=5得a 1=3,d=1,此时a n =n+2. 由{a 2=4,a 5=−2得a 1=6,d=-2,此时a n =-2n+8.所以a n =n+2或a n =-2n+8.(2)当a n =n+2时,S n =n 2+5n 2,因为S n =n 2+5n 2是关于正整数n 的增函数,所以S 1=3为S n 的最小值,S n 无最大值;当a n =-2n+8时,S n =-n 2+7n=-(n −72)2+494,因为n 为正整数,所以当n=3或n=4时,S n 取最大值S 3=S 4=12,S n 无最小值.B 组1.(多选)(2022届河北大联考)若直线3x+4y+n=0(n ∈N *)与圆C:(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,则() A.a 1=65B.数列{a n }为等差数列C.圆C 可能经过坐标原点D.数列{a n }的前10项和为23答案 BCD2.(多选)(2022届鄂东南联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,下列说法正确的是( )A.若S n =n 2-11n+1,则a n =2n-12B.若a n =-2n+11,则数列{|a n |}的前10项和为49C.若a n =-2n+11,则S n 的最大值为25D.若数列{a n }为等差数列,且a 1011<0,a 1011+a 1012>0,则当S n <0时,n 的最大值为2021 答案 CD。