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数学建模论文班级：商英1002班学号：14号姓名：谭嘉坤指导老师：周爱群由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。
在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。
在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设S k表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的人数，H k表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I k表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么S k+1=S k-0.01S k (1)H k+1=H k-0.2H k＋0.01S k (2)I k+1=I k+0.2H k (3)其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而离开了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的传染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H k(假设该病的患病期为5(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k 天后病人痊愈的人数。
将(1)，(2)和(3)式化简得如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，将这组值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S k，H k，I k的值。
因此，我们把S k+1，H k＋1，I k+1和S k，H k，I k之间的关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。
在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。
所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和估计。
第五章 微 分 方 程 模 型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.§1 传 染 病 模 型建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N ，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.一. SI 模 型假设条件：1. 人群分为易感染者(Susceptible )和已感染者(Infective )两类人，简称为健康人和病人，在时刻t 这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s 和()t i .2. 每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.试建立描述()t i 变化的数学模型.解： ()()1=+t i t s ()()N N t i N t s =+∴由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有i s N dt di Nλ=………………………………………………(1) i s dtdi λ=∴ 而1=+i s .又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=001i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111［结果分析］作出()t t i ~和i dt di ~的图形如下：1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）.二. SIS 模 型在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.假设1、2同SI 模型，增加假设:3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为i N i Ns dtdi N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=001i i i i i dt di μλ解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=--- ＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］1. 令μλσ=. 注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.()⎪⎩⎪⎨⎧-=∞ 011σi 11≤>σσ1-2. 接触数1=σ是一个阈值.当1≤σ时，病人比例()t i 越来越小，最终趋于零.当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-=∞i .3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形. 三. SIR 模 型大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r .1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.解：由假设1，有()()()1=++t r t i t s 0=++∴dtdr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dtdi i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds ii s dt di λμλ (2)我们在相平面上来讨论解的性质.相轨线的定义域为(){}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解得()000s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线..。
数学建模试题一、传染病模型医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命。
社会、经济、文化、风俗习惯等因素都会影响传染病的传播，而最直接的因素是：传染者的数量及其在人群中的分布、被传染者的数量、传播形式、传播能力、免疫能力等。
一般把传染病流行范围内的人群分成三类：S类，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，与感染者接触后容易受到感染；I类，感病者(Infective)，指染上传染病的人，它可以传播给S类成员；R类，移出者(Removal)，指被隔离或因病愈而具有免疫力的人。
要求：请建立传染病模型，并分析被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来?为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变？二、线性规划模型—销售计划问题某商店拟制定某种商品7—12月的进货、售货计划，已知商店仓库最大容量为1500件，6月底已存货300件，年底的库存以不少于300件为宜，以后每月初进货一次，假设各月份该商品买进、售出单价如下表。
要求：若每件每月的库存费用为0.5元，问各月进货、售货各为多少件，才能使净收益最多？建立数学模型，并用软件求解。
【注】线性规划在MATLAB的库函数为：linprog。
语法为：x = linprog(f,A,b)x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(...)例如：线性规划目标函数的系数：f = [-5; -4; -6]约束方程的系数及右端项：A = [1 -1 13 2 43 2 0];b = [20; 42; 30];lb = zeros(3,1);调用线性规划程序linprog求解，得：[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb);x= 0.000015.00003.0000三、一阶常微分方程模型—人口模型与预测 下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（0=t ），1016540=N 万人，200000=m N 万人。
第3()题传染病传播数学模型山于人体疾病难以控制和变化莫测，医学中数学模型也是较为复杂。
在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及因素很多，例如，传染病人多少，易受感染者多少，免疫者(或感染后痊愈者)多少等。
在将某一地区, 某种传染病统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下规律性：设Sk表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者人数，Hk表示在开始观察后第k天传染病人人数，h表示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)人数，那么S k+l=S k-0.01S k (1)H k+l=H k-0.2H k+0.01S k(2)Ik+l=h+0・2Hk (3)其中(1)式表示从第k天到第k+1天有1 %易受感染者得病而离开了易受感染者人群；(2)式表示在第k+1天传染病人人数是第k天传染病人人数减去痊愈人数0.2Hk(假设该病患病期为5无那么每天為有£ ( = 02〕的传染病人痊包).加上新得病的人数“岛.(3)式表示在第k+1天免疫者人数是第k天免疫者人数加上第k天后病人痊愈人数。
将(1),⑵和⑶式化简得汕=0 99区，爲产①枫+O.OlSk ⑷1屮=1上十°如果已知So, H(), 10值，利用上式可以求得H|,I】值，将这组值再代入上式，乂可求得S2, H2, 12值，这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组Sk，H k, I k 值。
因此，我们把Sk+1，Hk+1，Ik+1和Sk，H k, I k之间关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-lo在建立上述数学模型过程中，如果还要考虑该地区人员迁入和迁出，人口出生和死亡所引起总人数变化等因素，那么传染病传播数学模型变得非常复杂。
所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应数学模型。
如果将山该数学模型计算结果及实际比较后，及传染病传播情况大致吻合，那么我们就可以利用该模型对得病人数进行预测和佔计。
传染病传播的数学模型很多医学工作者试图从医学的不同角度来解释传染病传播时的一种现象,这种现象就是在某一民族或地区,某种传染病传播时,每次所涉及的人数大体上是一常数;结果都不能令人满意,后来由于数学工作者的参与,用建立数学模型来对这一现象进行模拟和论证,得到了较满意的解答;一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程,它受很多社会因素的制约和影响,如传染病人的多少,易受传染者的多少,传染率的大小,排除率的大小,人口的出生和死亡,还有人员的迁入和迁出,潜伏期的长短,预防疾病的宣传以及人的个体差异等;如何建立一个与实际比较吻合的数学模型,开始显然不能将所有因素都考虑进去;为此,必须从诸多因素中,抓住主要因素,去掉次要因素;先把问题简化,建立相应的数学模型;将所得结果与实际比较,找出问题,修改原有假设,再建立一个与实际比较吻合的模型;从而使模型逐步完善;下面是一个由简单到复杂的建模过程,很有代表性,读者应从中体会这一建模过程的方法和思路;一.最简单的模型假设：1 每个病人在单位时间内传染的人数是常数k；2 一个人得病后经久不愈,并在传染期内不会死亡;以it表示t时刻的病人数,k表示每个病人单位时间内传染的人数,i0=i表示最初时有0i个传染病人,则在t 时间内增加的病人数为()()()0i t t i t k i t t +∆-=∆两边除以t ∆,并令t ∆→0得微分方程()()()000di t k i t dt i i ⎧=⎪⎨⎪=⎩………… 2.1 其解为 ()00k t i t i e =这表明传染病的转播是按指数函数增加的;这结果与传染病传播初期比较吻合,传染病传播初期,传播很快,被传染人数按指数函数增长;但由2.1的解可知,当t →∞时,it →∞,这显然不符合实际情况;最多所有的人都传染上就是了;那么问题在那里呢 问题是就出在于两条假设对时间较长时不合理;特别是假设1,每个病人单位时间内传染的人数是常数与实际情况不符;因为随着时间的推移,病人越来越多,而未被传染的人数却越来越少,因而不同时期的传播情况是不同的;为了与实际情况较吻合,我们在原有的基础上修改假设建立新的模型;二. 模型的修改将人群分成两类：一类为传染病人,另一类为未被传染的人,分别用it 和st 表示t 时刻这两类人的人数;i 0= 0i ;假设：1 每个病人单位时间内传染的人数与这时未被传染的人数成正比;即()0k ks t =；2 一人得病后,经久不愈,并在传染期内不会死亡;由以上假设可得微分方程()()()()()()0di t ks t i t dt s t i t n i i⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎪⎩………… 2.2这是变量分离方程,用分离变量法可求得其解为()011knt n i t n e i =⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ………… 2.3其图形如下图2-1所示模型 2.2 可以用来预报传染较快的疾病前期传染病高峰到来的时询; 医学上称di t dt-为传染病曲线,它表示传染病人的增加率与时间的关系,如图2-2所示;由 2.3式可得 2020111knt knt n kn e i di dt n e i --⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ………… 2.4 再求二阶导数()22d i t dt ,并令()220d i t dt =,可解得极大点为 01ln 1n i t kn⎛⎫- ⎪⎝⎭= ………… 2.5从 2.5 式可以看出,当传染病强度k或人口总数n增加时,t都1将变小,即传染病高峰来得快;这与实际情况吻合;同时,如果知道了传染率kk由统计数据得到,即可预报传染病高峰t到来的时间,这对1于预防传染病是有益处的;模型 2.2 的缺点是：当t→∞时,由2.3式可知it→n,即最后人人都要得病;这显然与实袜情况不符;造成这个结果的原因是假设2 中假设一人得病后经久不愈,也不会死亡;为了得到与实际情况更吻合的模型,必须修改假设 2 ;实际上不是每个人得病后都会传染别人,因为其中一部份会被隔离,还有由于医治和人的身抵抗力会痊愈,有的人会死亡从而也就不再会传染给别人了;因此必须对模型作进一步的修改,建立新的模型;三. 模型的进一步完善从上面的分析我们看到模型 2.2 的假设 2 是不合理的;即不可能一人得病后会经久不愈,必有一部份人因医治或自身的免疫力,或是被隔离,或是死去而成为不会再继续传染给别人的第三类人;因此我们把人群分成三类：第一类由能够把疾病传染给别人的那些传染者组成的;用 It 表示 t 时刻第一类人数;第二类是由并非传染者但能够得病而成为传染者的那些人组成的,用 St 表示 t 时刻第二类人数;第三类包括患病后死去的人,病愈后具有长期免疫力的人,以及在得病后被隔离起来的人;用Rt 表示 t 时刻第三类人数;假设疾病传染服从下列法则：1 在所考虑的时期内人口总数保持在固定水平N,即不考虑出生及其他原因引起的死亡,以及人口的迁入迁出的情况;2 易受传染者人数St 的变化率正比于第一类的人数It 与第二类人粉St 的乘积;3 由第一类向第三类转变的速度与第一类的人数成正比; 在这三条假设情况下可得如下微分方程： dS rsIdt dI rsI I dt dR I dt λλ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩………… 2.6 其中r 、λ为比例常数,r 为传染率,λ为排除率;由方程2.6的三个方程相加得则 ()()()()S t I t R t N ++==常数人口总数故 ()()()Rt N S t I t =-- 因此只要求出 St 、It 即可求出 Rt ;方程组 2.6 的第一个和第二个方程与 Rt 无关;因此,由 dS rSI dt dI rSI I dtλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………… 2.7得 1dI rSI I dS rSI rSλλ-==-+- ………… 2.8 积分得 ()ln I S S S c r λ=-++由初始条件：当()()00000,,t t I t I S t S ===时 并记 r λρ=代入上式可确定常数 000ln c I S S ρ=+-最后得 ()000ln S I S I S S S ρ=+-+ ………… 2.9下面我们讨论积分曲线 2.9 的性质,由2.8知所以当S ＜ρ时,IS 是S 的增函数,S ＞ρ时,IS 是S 的减函数;又有I0=－∞,()000,I S I =＞ 由连续函数的中间值定理及单调性知,存在唯一点S ∞,00S S ∞＜＜,使得()00I S =, 而当 0S S S ∞≤＜ 时,IS ＞0 ;由 2.7 知I=0时,0,0dS dI dt dt==,所以(),0S ∞为方程组 2.7 的平衡点;当0t t ≥ 时,方程2.9的的图形如图2-3;当t 由0t 变到 ∞ 时,点St,It 沿曲线 2.9 移动,并沿S 减少的方向移动,因为 St 随时间的增加而单调减少;因此,如果0S 小于ρ,则 It 单调减少到零,St 单调减少到S ∞;所以,如果为数不多的一群传染者0I 分散在居民0S 中,且0S ρ<,则这种病会很快被消灭;如果0S ρ>,则随着 St 减少到ρ时,It 增加,且当S=ρ时,It 达到最大值;当St ＜ρ 时 It 才开始减少;由上分析可以得出如不结论：只有当居民中的易受传染者的人数超过阈值 r λρ=时传染病才会蔓延;用一般常识来检验上面的结论也是符合的;当人口拥挤,密度高,缺少应有的科学文化知识,缺乏必要的医疗条件,隔离不良而排除率低时,传染病会很快蔓延；反之,人口密度低,社会条件好,有良好的医疗条件和较好的管理而排除率高时,则传染病在有限范围内出现会很快被消灭;传染病学中的阈值定理 设0S r ρ=+,且假设r ρ同1相比是小量;并设最初传染者人数0I 很小,则最终患病人数为2r;即是易受传染者的人数最初比阈值高多少,那么最终就会比阈值低多少;这就是有名的传染病阈值定理;生物数学家Kermack 和Mekendrick 在1927年首先证明了这个定理证明从略根据阈值定理就可以由起初易受传染者的人数来估计最终患病的人数;这定理解释了研究人员长期以来难以解释的为什么对于某一民族或地区,某种传染病传播时,每次所涉及的人数大体上是一常数的现象;在传染病发生的过程中,不可能准确地调查每一天或每一星期的得病人数;因为只有那些来医院就医者才能被人知道他们得了病,并把他们隔离起来防止传染;因此,统计的记录是每一天或星期新排除者的人数,而不是新得病的人数;所以,为了把数学模型所预示的结果同疾病的实际情况进行比较,必须解出2.6中的第三个方程;因为 /dS dS dR rSI r S S dR dt dt I dS dR S λλρρ==-=-=-=-所以 ()0R S R S e ρ-=从而有 0R dR N R S e dt ρλ-⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭………… 2.10 方程 2.10 虽是可分离变量的方程,但是不能用显式求解,如果传染病不严重,则R/ρ是小量,取泰勒级数前三项有从而 20200011212dR R R N R S dt S S R N S R λρρλρρ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎪⎪=---+⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦其解 ()20011tanh 2S R t a a t S ρλφρ⎡⎤⎛⎫=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦其中()1220010211tanh1S N SSaSaρρφρ-⎡⎤-⎛⎫=-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-⎪⎝⎭因此2221sec22dR ah a tdt Sλρλφ⎛⎫=-⎪⎝⎭………… 2.11方程 2.11 在dRtdt－平面上定义了一条对称钟形曲线,称为疾病传染曲线;疾病传染曲线很好地说明了实际发生的传染病的情况：每天报告的新病案的数目逐渐上升到峰值,然后又减少下来;Kermak和Mekendrick把 2.11 得到的值, 同取自1905年下半年至1906年上半年在印度孟买发生的瘟疫资料进行比较,他们假设其中t按星期计,在图2-4中的实际数字图中用“.”表示同理论曲线非常一致;这就表明模型2.6是在固定居民中传染病传播的准确而可靠的数学模型;对于传染病传播的数学模型还有人用随机模型,这不是本章的内容,读者可参看有关的其他资料;本节所介绍的传染病传播的数学模型的建模方法,是实际数学建模步骤和方法的典型例子;在实际建模过程中往往都是从简单的开始得出数学模型,再和实际比较逐步修改假设和模型,最终达到完善的地步;这是值得大家仿效和学习的;。
数学建模传染病模型例题一、传染病模型简介传染病模型是数学建模的一个重要分支，主要用于描述传染病在人群中的传播规律。
通过构建合适的数学模型，可以研究传染病的传播动力学、预测疫情发展趋势以及评估防控措施的效果。
本文将重点介绍几种常见的传染病模型及其应用。
二、传染病模型的类型及应用1.SIR模型SIR模型是一种基于微分方程的传染病模型，其中S、I、R分别代表易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）。
该模型通过描述易感者感染、感染者康复以及康复者不再易感的动态过程，揭示了传染病在人群中的传播规律。
SIR模型在分析疫情爆发、研究防控措施等方面具有广泛应用。
2.SEIR模型SEIR模型是在SIR模型基础上发展的一种传染病模型，其中E代表潜伏者（Exposed）。
与SIR模型相比，SEIR模型增加了潜伏期这一概念，使得模型更加符合实际情况。
该模型可以用于研究传染病的传播速度、预测疫情发展趋势以及评估疫苗的效果。
3.SI模型SI模型是一种简化的传染病模型，仅包含易感者和感染者两个群体。
该模型适用于分析短期传染病，如流感等。
通过研究易感者与感染者的动态关系，可以预测疫情爆发的时间和规模。
三、传染病模型的参数估计与预测传染病模型的参数估计是数学建模的关键环节，通常采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
此外，基于传染病模型的预测技术在疫情防控中也具有重要意义。
通过构建时间序列模型，如ARIMA、SVM等，可以预测未来一段时间内疫情的发展趋势。
四、数学建模在传染病防控中的实际应用数学建模在传染病防控中具有广泛应用，如疫情监测、防控措施评估、疫苗研究等。
通过对传染病模型的深入研究，可以为政府部门提供科学依据，协助制定针对性的防控策略。
五、案例分析本文将结合具体案例，如我国2003年非典疫情、2020年新冠肺炎疫情等，详细阐述传染病模型在实际应用中的重要作用。
通过分析案例，可以加深对传染病模型的理解，为今后疫情防控提供借鉴。
传染病数学建模
传染病数学建模是一种使用数学方法来描述和预测传染病传播过程的手段。
通过建立数学模型，研究人员可以更好地理解疾病的传播机制，预测其在未来的发展趋势，并为防控措施的制定提供科学依据。
在传染病数学建模中，常见的模型有SIR 模型、SEIR 模型、SEIRS 模型等。
这些模型通过定义不同的状态变量来描述人群中不同个体的状态，如易感者（Susceptible）、感染者（Infected）、康复者（Recovered）等。
然后，通过建立微分方程或差分方程来描述这些状态变量之间的动态关系。
在SIR 模型中，假设人群中只有易感者和感染者两种状态，感染者经过一段时间后会自行康复并获得免疫力。
在SEIR 模型中，增加了“暴露”状态，表示已经接触但尚未表现出症状的个体。
而在SEIRS 模型中，除了“暴露”状态外，还增加了“易感”状态，表示从未被感染过且没有免疫力的人群。
除了以上提到的模型外，还有许多其他的数学模型用于描述传染病传播过程，如基于agent 的模型、网络模型、元胞自动机模型等。
这些模型各有优缺点，需要根据具体的研究问题和数据来选择合适的模型。
总之，传染病数学建模是一种重要的研究手段，可以帮
助我们更好地理解疾病的传播机制和预测未来的发展趋势。
通过建立数学模型，我们可以更好地制定防控措施，减少疾病的传播和影响。
数学建模论文传染病模型)传染病模型摘要“传染病的传播过程”数学模型是通过控制已感染人群来实现的。
利用隔离等手段来保护未被感染的人群，减少其对健康人群的危害.由于传染病具有研究新型病例有着重要的意义,利用数学知识联系实际问题，作出相应的解答和处理。
问题一:描述传染病的传播过程，将分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中，建立传染病影响健康人的数学模型.问题二,在区分健康人群和已经感染人群的情况下，要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型，必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型，最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
问题三,传染病无免疫性--病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染，问题三加入健康人可以再次感染,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
ﻫ一种疾病的传播过程是一种非常复杂的过程,它受很多社会因素的制约和影响,如传染病人的多少，易受传染者的多少，传染率的大小，排除率的大小,人口的出生和死亡，还有人员的迁入和迁出,潜伏期的长短，预防疾病的宣传以及人的个体差异等。
如何建立一个与实际比较吻合的数学模型，开始显然不能将所有因素都考虑进去。
为此，必须从诸多因素中，抓住主要因素,去掉次要因素。
先把问题简化，建立相应的数学模型.将所得结果与实际比较，找出问题，修改原有假设,再建立一个与实际比较吻合的模型.从而使模型逐步完善。
下面是一个由简单到复杂的建模过程，很有代表性,读者应从中体会这一建模过程的方法和思路。
...文档交流仅供参考...一．问题的提出描述传染病的传播过程,将分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，在传染病过程中,建立传染病影响健康人的数学模型。
问题二，在区分健康人群和已经感染人群的情况下,要建立适合总人数不变，区分已经感染的人群和的数学模型,必须在问题一的条件下作出合理假设,同时得出该模型,最后结合已知数据可算出每个已感染人群每天接触健康人群的函数和数学模型。
数学建模——传染病模型数学建模——传染病模型关键词：数学建模，传染病模型，预测，疫情，发展一、引言传染病模型是数学建模中的一个重要领域，旨在通过数学方法描述和预测传染病的发展趋势。
通过建立传染病模型，我们可以了解疾病传播的机制，评估各种干预措施的效果，并为制定有效的防控策略提供决策支持。
二、传染病模型概述传染病模型是基于生物学、流行病学和数学理论建立的，主要考虑个体之间的接触方式和疾病传播的动态过程。
基本的传染病模型通常假设人群由易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三类组成。
通过分析这三类人群的数量变化，可以揭示疾病传播的规律。
常见的传染病模型包括 SIR 模型、SEIR 模型等。
SIR 模型假设人群分为易感者（S）、感染者（I）和康复者（R），其中感染者与易感者接触后将传染疾病，感染后将进入康复阶段。
SEIR 模型则在 SIR 模型的基础上增加了潜伏期（E），即感染者并非立即变为易感者，而是进入潜伏期，一段时间后才具有传染性。
三、建模方法与步骤1、建立数学模型：根据传染病的基本假设，列出描述疾病传播的微分方程，确定变量及其含义。
2、参数估计：根据历史数据或实验结果，估计模型中的参数值。
这些参数包括感染率、恢复率、潜伏期等。
3、模型求解：通过求解微分方程，得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
4、模型检验：将模型的预测结果与实际数据进行比较，检验模型的准确性和可靠性。
四、案例分析以某个地区的流感疫情为例，通过建立 SIR 模型预测疫情的发展趋势。
首先，根据历史数据估计模型的参数值，包括感染率和恢复率等。
然后，通过求解微分方程得到易感者、感染者和康复者的数量变化情况。
根据预测结果，可以评估各种干预措施的效果，如隔离、疫苗接种等。
通过比较预测结果与实际数据的差异，可以不断修正和完善模型，提高预测精度。
五、结论传染病模型是数学建模中的一个重要领域，通过建立数学模型描述和预测传染病的发展趋势。
传染病数学模型传染病是一种严重的公共卫生问题，它可以通过空气、水和食物等媒介传播，对人类社会造成极大的危害。
为了有效地控制传染病的传播，需要对传染病进行数学建模，以便更好地预测和控制其传播。
一、引言传染病数学模型是一种利用数学工具来模拟传染病的传播和扩散的模型。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
二、传染病数学模型的建立1、确定模型的基本假设和参数建立传染病数学模型需要先确定模型的基本假设和参数。
这些假设和参数包括：传染病的传播途径、潜伏期、感染期、易感人群的数量、人口的流动等。
2、建立数学方程基于上述假设和参数，可以建立传染病传播的数学方程。
常用的方程包括：SIR（易感者-感染者-康复者）模型、SEIR（易感者-暴露者-感染者-康复者）模型、SEIRD（易感者-暴露者-感染者-康复者-死亡者）模型等。
这些模型可以描述传染病的传播过程，并预测其未来的发展趋势。
三、传染病数学模型的应用1、预测和控制传染病的传播通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
例如，通过模拟不同防控措施的效果，可以找到最有效的防控策略，减少传染病的传播。
2、评估疫苗接种的效果通过建立数学模型，可以评估疫苗接种的效果。
例如，通过比较接种疫苗和不接种疫苗的传播情况，可以得出疫苗接种对控制传染病传播的作用。
四、结论传染病数学模型是一种有效的工具，可以帮助我们更好地理解和控制传染病的传播。
通过建立数学模型，可以对传染病的传播过程进行模拟和分析，预测其未来的发展趋势，为制定有效的防控措施提供科学依据。
通过评估疫苗接种的效果，可以为制定合理的疫苗接种策略提供支持。
标题：数学模型在数学论文指导传染病模型1中的应用在当今世界，传染病的爆发和传播已经成为全球面临的共同挑战。
为了有效控制疾病的传播，我们需要对传染病模型进行深入研究。
病害生态学中的数学建模病害生态学是一门研究生物体（包括植物、动物和微生物）与病原体之间相互作用的学科。
数学建模作为一种重要的方法，可以帮助我们深入理解病害的传播机制、病害对生态系统的影响以及疾病的防控策略。
本文将重点探讨病害生态学中的数学建模方法和应用。
一、传染病的传播模型在病害生态学中，我们通常使用传染病的传播模型来描述疾病的传播过程。
最简单的传播模型就是SIR模型，其中"S"代表易感者（Susceptible）、"I"代表感染者（Infectious）、"R"代表康复者（Recovered）。
通过建立微分方程组，我们可以描述这三类个体的数量随时间的变化关系。
以植物病害为例，我们可以考虑病原体在土壤中的存活与传播、植物感染的过程以及植物的恢复和死亡。
通过引入合适的参数，我们可以模拟疾病在不同环境条件下的传播速度和程度，从而为病害的预防和控制提供科学依据。
二、害虫的种群动态模型害虫是农业生产中常见的病害生物，其种群数量的波动对农作物的产量和质量有着重要影响。
为了更好地了解害虫种群的动态变化，我们可以借助数学建模方法。
Lotka-Volterra方程是描述害虫种群与其捕食者之间相互作用的经典模型。
这个模型考虑了捕食者对害虫种群数量的影响以及害虫自然增长的情况，通过求解微分方程组，我们可以得到害虫和捕食者的数量随时间变化的轨迹。
此外，我们还可以考虑其他因素对害虫种群数量的影响，比如环境因素、食物供应等。
通过引入适当的修正项，可以提高模型的准确性，并为害虫的预测、监控和防治提供科学依据。
三、生态系统中的种间关系模型病害生态学研究的一个核心问题是不同生物体之间的相互作用关系。
数学建模可以帮助我们揭示不同物种之间的竞争、捕食和共生关系，从而进一步理解生态系统中的稳定性和动态变化。
以食物链模型为例，我们可以用一个复杂的微分方程组来描述不同物种之间的能量流动和数量变化。
第30题传染病传播的数学模型由于人体的疾病难以控制和变化莫测，医学中的数学模型也是较为复杂的。
在研究传染病传播问题时，人们发现传染病传播所涉及的因素很多，例如，传染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。
在将某一地区，某种传染病的统计数据进行处理和分析后，人们发现了以下的规律性：设S表示在开始观察传染病之后第k天易受感染者的k人数，H表示在开始观察后第k天传染病人的人数，I表kk示在开始观察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人数，那么S+1=S-0.01S(1)kkk(2)H+1=H-0.2H＋0.01S kkkk I+1=I+0.2H(3)kkk其中(1)式表示从第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得天的传k+1式表示在第(2)病而离开了易受感染者的人群；染病人的人数是第k天的传染病人的人数减去痊愈的人数0.2H(假设该病的患病期为5k(3)式表示在第k＋1天免疫者的人数是第k天免疫者的人数加上第k天后病人痊愈的人数。
将(1)，(2)和(3)式化简得如果已知S，H，I的值，利用上式可以求得S，H，10001I的值，将这组值再代入上式，又可求得S，H，I的值，2221这样做下去，我们可以逐个地，递推地求出各组S，H，kk I的值。
因此，我们把S，H，I和S，H，I之间kkkkk+1k+11k＋的关系式叫做递推关系式。
现在假设开始观察时易受感染者，传染病人和免疫者的人数分别为将上述数据(5)代入(4)式右边得利用递推关系式(4)反复计算得表30-1。
在建立上述数学模型的过程中，如果还要考虑该地区人员的迁入和迁出，人口的出生和死亡所引起的总人数的变化等因素，那么传染病传播的数学模型变得非常复杂。
所以必须舍去次要因素，抓住主要因素，把问题简化，建立相应的数学模型。
如果将由该数学模型计算的结果与实际比较后，与传染病传播的情况大致吻合，那么我们就可可以预例如，以利用该模型对得病人数进行预测和估计。
传染病的传播及控制分析数学建模
首先，传染病的传播机理是分析传染病传播的基础。
传染病的传播主
要通过人与人之间的直接接触、空气传播、食物和水传播等途径进行。
数
学建模在研究传染病传播机理时，可以通过建立数学模型来描述不同途径
的传播，例如使用微分方程来描述感染者的增长速度和康复者的增长速度。
其次，传染病的基本模型是了解传染病传播规律的数学工具。
常用的
基本模型包括SIR模型、SEIR模型等。
其中，SIR模型将人群分为易感者（Susceptible）、感染者（Infectious）和康复者（Recovered）三部分。
模型假设人群之间的接触是随机的，并且感染者拥有一定的康复率。
利用
这种模型，可以预测传染病在不同人群中的传播速度和规模，并为制定控
制策略提供科学依据。
最后，传染病的控制策略是基于数学模型进行分析和制定的。
常用的
控制策略包括隔离控制、疫苗接种、社交距离等。
数学模型可以用来评估
不同控制策略的效果和影响。
例如，可以通过调整隔离比例和接种率来观
察传染病的传播趋势和疫情的变化。
此外，数学模型还可以用来优化控制
策略，例如通过数学优化方法来确定最佳的疫苗接种策略或者最佳的防控
资源分配策略。
总之，传染病的传播及控制分析数学建模是研究传染病的传播规律和
制定控制策略的重要工具。
数学模型可以帮助我们理解传染病的传播机理，预测疾病的传播趋势和规模，并为制定控制策略提供科学依据。
因此，加
强传染病传播及控制的数学建模研究对于保障人类健康和社会稳定具有重
要意义。
传染病的传播及控制分析摘要为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。
本文针对该问题建立了SEIR微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。
我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。
前三者作为传染系统。
我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。
本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。
在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。
在模型建立的基础上，通过Matlab软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在=0.4p时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在=0.3p时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在p时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。
=0.6综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。
针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。
关键词：隔离强度潜伏期 SEIR模型一、问题重述：2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。
假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为12a a 天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ(λ为感染率)。
为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。
潜伏期内的患者被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）。
在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。
最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。
二、问题假设：1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。
即：总人口数不变，记为N ；三、符号说明：符号解释说明S(t)t时刻正常人（易受感染）人数E(t)t时刻疑似患者的人数Q(t)t时刻处于潜伏期的人数I(t)t时刻确诊患者的人数R(t)t时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者）β1 潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例β2 每日退出传染系统的人数比例a3 确诊患者的治愈时间r患者的人均日接触人数因接触被感染的概率p潜伏期内的患者被隔离的强度四、问题分析：根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。
我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。
在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。
再利用matlab编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。
五、模型的建立和求解：5.1传染病模型的准备不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。
查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I 模型、SI模型、SIR模型、SEIR模型等[2]。
I模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；SI模型是I模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR模型对SI模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。
SEIR模型[3]-[4]对SIR模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR模型进行此次建模。
根据题目所给的条件，人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。
根据SEIR模型重新归类，得到以下结果：（1）健康人群，即易感染（Susceptibles）人群。
记其数量为S(t)，表示t 时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；（2）确诊患者，即被感染（Infection）该疾病的人群，记其数量为I(t)，表示t时刻已经确诊为患者入院的人数；（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E(t)，表示t时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q(t)表示t时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。
（5）恢复人群（Recovered），记其数量为R(t)，表示t时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。
该传染病的传播流程图如下：图1 传染病传播流程图5.2传染病模型的建立[5]传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。
对S来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S；对于E来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；对于I来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H 中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；对于R来说，它只有从I中治愈转化而来的流入者。
以上过程在传染的每一时刻都是相同的。
为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S、E、I、R取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：1、控制前阶段：前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。
分析控制前t 阶段时间内，疫情的发展与变化。
（1）正常人-----疑似患者：控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触r 个正常人，假设t 时刻病人人数为()I t ，则新增疑似患者人数为E ∆，()()E I t r t r I t t ∆=⋅⋅∆=⋅⋅∆。
（2）疑似患者-----潜伏期：疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。
设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为λ，假设t 时刻疑似患者人数为()E t ，潜伏期患者人数为()Q t ，则()()Q t E t λ=⋅，故新增潜伏期人数为Q E λ∆=∆⋅。
（3）潜伏期-----确诊患者：因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用1β表示这一特性。
那么新增确诊患者人数为()1I Q t t β∆=⋅⋅∆，现在要确定1β，如果潜伏期天数为1a 到2a ，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有()()21111/t a a e ----概率的人变为猪流感患者，即()()121111/e t a a β-=---。
所以新增患者人数：()()()21111/e t I a a Q t -∆=---⋅∆⋅∆。
（4）确诊患者-----治愈、死亡：设T 为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为3a ，那么3a 天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。
设系统退出率为3a ，则有退出人数()2T I t t β∆=⋅⋅∆。
2β的求解方法与1β相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则()23111/t a e β-=--⋅。
故新退出传染系统的人数()()311/e t T a I t t -∆=-⋅⋅∆。
根据上述（1）（4）的式子可进一步得出： Q E λ=⋅()()21()()(1(11/()))()t Q t t Q t r I t t a a e Q t t λ-+∆-=⋅⋅⋅∆----⋅⋅⋅∆()()()()()()()()21111/e (1(1(1/3)))t t I t t I t a a Q t a e I t t--+∆-=---⋅⋅∆⋅∆---⋅⋅⋅∆ ()()()()(1(1(1/3)))t T t t T t a e I t t -+∆-=--⋅⋅⋅∆所以得出以下：()/(1(11/(21)))()t dQ dt r I t a a e Q t λ-=⋅⋅----⋅⋅()()()()/(1(11/(21))(1(1(1/3))t t dI dt a a e Q t a e I t --=---⋅⋅---⋅⋅()()()()3/111/e t dT dt a I t -=--⋅⋅2、控制后阶段：两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。
