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】第二十九章直线与圆的位置关系一、选择题(每小题4分，共40分)1．已知⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是( ) A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定2.如图29－Z－1所示，PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2 3，∠APO＝30°，则⊙O 的半径长为( )A．4 B．2 3 C．2 D．3图29－Z－1 图29－Z－23.如图29－Z－2，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm4．如图29－Z－3，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC.若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为( )图29－Z－3A．40° B．50° C．80° D．100°5．在平面直角坐标系中，半径为5的圆的圆心为M(0，1)，则下列各点落在此圆外的是( )A．(3，4) B．(4，5)C．(5，1) D．(1，5)6．如图29－Z－4，圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r.下列等式成立的是( )图29－Z－4A．a＝2r sin36° B．a＝2r cos36°C ．a ＝r sin36°D ．a ＝2r sin72°7．已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为( ) A ．3 3 B ．3 6 C.32 3 D.3268．如图29－Z －5，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D .连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD ＝33°，则∠BEC 等于( )A ．66°B ．114°C ．123°D ．132°图29－Z －5 图29－Z －69．如图29－Z －6所示，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，O 为BC 的中点，以点O 为圆心作圆交BC 于点M ，N ，与AB ，AC 相切，切点分别为D ，E ，则⊙O 的半径和∠MND 的度数分别为( )A ．2，22.5°B ．3，30°C ．3，22.5°D ．2，30°10．如图29－Z －7，已知点A ，B 在半径为1的⊙O 上，∠AOB ＝60°，延长OB 至点C ，过点C 作直线OA 的垂线，记为l ，则下列说法正确的是( )图29－Z －7A ．当BC 等于0.5时，l 与⊙O 相离B ．当BC 等于2时，l 与⊙O 相切 C ．当BC 等于1时，l 与⊙O 相交D ．当BC 不为1时，l 与⊙O 不相切二、填空题(每小题4分，共24分)11．已知⊙O 的半径为4 cm ，点A 到圆心O 的距离为3 cm ，则点A 在⊙O ________(填“上”“外”或“内”)．12. 在矩形ABCD 中，AC ＝8 cm ，∠ACB ＝30°，以点B 为圆心、4 cm 长为半径作⊙B ，则⊙B 与直线AD 和CD 的位置关系依次是_________________．图29－Z －813．如图29－Z －8，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为________．图29－Z－914．如图29－Z－9，PA与⊙O相切于点A，弦AB⊥OP，垂足为C，OP与⊙O相交于点D，已知OA＝2，OP＝4，则弦AB的长为________．15．在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6，0)，半径是2 5的⊙P与直线y＝x的位置关系是________．16．如图29－Z－10，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交⊙M于P，Q两点，点P在点Q的下方．若点P的坐标是(2，1)，则圆心M的坐标是________．图29－Z－10三、解答题(共36分)17．(10分)如图29－Z－11，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，⊙O的切线PC交BA 的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为4，AF＝3，求AC的长.图29－Z－1118．(12分)如图29－Z －12，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于E ，F 两点，连接DE .已知∠B ＝30°，⊙O 的半径为12，DE ︵的长度为4π.(1)求证：DE ∥BC ；(2)若AF ＝CE ，求线段BC 的长．图29－Z －1219．(14分)如图29－Z －13，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是AB 边上一动点，以点O 为圆心，OB 长为半径的圆交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E .(1)当O 为AB 的中点时，如图①，求证：DE 是⊙O 的切线；(2)当O 不是AB 的中点时，如图②，DE 还是⊙O 的切线吗？请写出你的结论并证明； (3)若⊙O 与AC 相切于点F ，如图③，且⊙O 的半径长为3，CE ＝1，求AF 的长．① ② ③图29－Z －13参考答案：1．C [解析] 因为4<5，所以直线与圆相离．2．C [解析] 连接OA .因为PA 是⊙O 的切线，所以OA ⊥PA ，OA ＝AP ·tan30°＝2. 故选C. 3．C4．C [解析] ∵在⊙O 中，AB 为直径，BC 为弦，CD 为切线，∴∠OCD ＝90°. ∵∠BCD ＝50°，∴∠OCB ＝40°，∴∠AOC ＝80°. 5．B6．A [解析] 如图，作OF ⊥BC 于点F .∵∠COF ＝72°÷2＝36°，∴CF ＝r ·sin36°，∴a ＝2r sin36°.7．C [解析] 如图，由⊙O 的面积为2π，可求得半径为 2.根据“正三角形的三条半径、三条边心距恰好将正三角形分成6个全等的直角三角形”得OC ＝2，∠OCD ＝30°，由cos30°＝CD OC 得CD ＝62，BC ＝6， S △ABC ＝34BC 2＝3 32. 8．C [解析] 在⊙O 中，∵∠CBD ＝33°，∴∠CAD ＝33°.∵点E 是△ABC 的内心，∴∠BAC ＝66°，∴∠EBC ＋∠ECB ＝12(180°－66°)＝57°，∴∠BEC ＝180°－57°＝123°.故选C. 9．A [解析] ∵AB 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥AB ，∴∠ODB ＝∠A ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△OBD ∽△CBA ，∴OD CA ＝BO BC ＝12， ∴OD ＝12CA ＝2，∠MND ＝12∠DOB ＝12∠C ＝22.5°.故选A.10．D [解析] 设直线l 与OA 的垂足为D . A 项，∵BC ＝0.5， ∴OC ＝OB ＋CB ＝1.5. ∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，∴DO ＝12OC ＝0.75＜1，∴l 与⊙O 相交，故A 项错误． B 项，∵BC ＝2， ∴OC ＝OB ＋CB ＝3. ∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，∴DO ＝12OC ＝1.5＞1，∴l 与⊙O 相离，故B 项错误． C 项，∵BC ＝1，∴OC ＝OB ＋CB ＝2. ∵∠AOB ＝60°，∴∠ACO ＝30°，∴DO ＝12OC ＝1，∴l 与⊙O 相切，故C 项错误． D 项，∵BC ≠1， ∴OC ＝OB ＋CB ≠2. ∵∠AOB ＝60°， ∴∠ACO ＝30°， ∴DO ＝12OC ≠1，∴l 与⊙O 不相切，故D 项正确．故选D.11．内 [解析] ∵OA ＝3 cm ＜4 cm ，∴点A 在⊙O 内．12．相切、相离 [解析] 在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ＝4 cm ，∴BC ＝AC 2－AB 2＝4 3 cm>4 cm ，∴点B 到AD 的距离等于半径，点B 到CD 的距离大于半径，∴⊙B 与直线AD 相切，⊙B 与直线CD 相离．13.133[解析] 如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠A ＝∠B ＝90°.又∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点， 又∵OE ＝OF ＝OG ，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°. ∴四边形AFOE ，FBGO 是正方形， ∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2，∴DE ＝3. ∵DM 是⊙O 的切线， ∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG ， ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝42＋(3－MN )2，解得MN ＝43，∴DM ＝DN ＋MN ＝3＋43＝133.故答案为133.14．2 3 [解析] ∵PA 与⊙O 相切于点A ，∴OA ⊥AP ，∴△POA 是直角三角形．∵OA ＝2，OP ＝4，即OP ＝2OA ， ∴∠P ＝30°，∠O ＝60°. 则在Rt △AOC 中，OC ＝12OA ＝1，从而AC ＝3，∴AB ＝2 3.故答案为2 3. 15．相交16．(0，2.5) [解析] 连接MP ，过点P 作PA ⊥y 轴于点A ，设点M 的坐标是(0，b )，且b ＞0，∵PA ⊥y 轴，∴∠PAM ＝90°，∴AP 2＋AM 2＝MP 2，∴22＋(b －1)2＝b 2，解得b ＝2.5，故答案是(0，2.5)．17．解：(1)AF 与⊙O 相切． 理由：如图，连接 OC .∵PC 为⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°. ∵OF ∥BC ，∴∠AEO ＝∠BCA ＝90°， ∴OF ⊥AC .∵OC ＝OA ，∴∠COF ＝∠AOF ，又CO ＝AO ，OF ＝OF ，∴△OCF ≌△OAF ， ∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°， ∴FA ⊥OA .∵点A 在⊙O 上，∴AF 与⊙O 相切．(2)∵⊙O 的半径为4，AF ＝3，FA ⊥OA ，∴在Rt △OFA 中，OF ＝AF 2＋OA2＝ 3 2＋4 2＝5.∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，易证△AOE ∽△FOA ，∴AE FA ＝OA OF ，即AE 3＝45， 解得AE ＝125，∴AC ＝2AE ＝245.18．解：(1)证明：如图，连接OD ，OE . 设∠EOD ＝n °.∵DE ︵的长度为4π， ∴n π×12180＝4π，∴n ＝60，即∠EOD ＝60°.∵OD ＝OE ，∴△OED 是等边三角形， ∴∠ODE ＝60°.∵⊙O 与边AB 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ，∴∠ODA ＝90°， ∴∠EDA ＝30°. ∵∠B ＝30°， ∴∠EDA ＝∠B ， ∴DE ∥BC .(2)如图， 连接OF .∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠FED ＝∠C ＝90°.∵△OED 是等边三角形，∴OD ＝OE ＝DE ＝12， ∴AE ＝DE ·tan ∠EDA ＝12×33＝4 3. ∵AF ＝CE,∴AF －EF ＝CE －EF ，即AE ＝CF ＝4 3.∵∠FED ＝90°， ∴FD 是⊙O 的直径，即点F ，O ，D 在一条直线上， ∴EF ＝DE ·tan ∠FDE ＝12×3＝12 3， ∴AC ＝AE ＋EF ＋FC ＝20 3，∴在Rt △ABC 中，BC ＝ACtan B ＝20 3×3＝60.19．解：(1)证明：连接OD .∵OB ＝OD ， ∴∠ABC ＝∠ODB .∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ODB ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC .∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE . ∵点D 在⊙O 上， ∴DE 是⊙O 的切线． (2)DE 仍是⊙O 的切线． 证明：如图①，连接OD . ∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB . ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ODB ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC .∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE . ∵点D 在⊙O 上，∴DE是⊙O的切线．图①图②(3)如图②，连接OD，OF.∵DE，AF是⊙O的切线，∴OF⊥AC，OD⊥DE.又∵DE⊥AC，∴四边形ODEF为矩形．又OF＝OD，∴矩形ODEF为正方形，EF＝OF＝3.设AF＝x，则AO＝AB－OB＝AC－OB＝AC－EF＝(x＋4)－3＝x＋1.在Rt△AOF中，AO2＝AF2＋OF2.即(x＋1)2＝x2＋32，解得x＝4.即AF的长为4.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
